离散数学自考第二章(课堂课资)
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自考离散数学课件
离散概率论在计算机科学中还应用于随机算法的设计。随机算法可以在某些情况 下提供比确定算法更高效的解决方案，离散概率论为随机算法的分析提供了理论 基础。
离散概率论在统计学中的应用
离散概率论在统计学中用于描述和分 析离散随机事件。例如，在调查研究 时，离散概率论可以用于估计样本大 小、计算抽样误差和置信区间等。
自考离散数学课件
目录
CONTENTS
• 离散数学简介 • 集合论基础 • 图论基础 • 离散概率论基础 • 组合数学基础 • 离散概率论的应用
01 离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学 研究，最初是为了解决当时的一些实 际问题而发展起来的。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、 图、树等）的数学分支，它不涉及连 续的量或函数，而是专注于研究离散 结构及其性质。
离散概率论在统计学中还用于构建和 检验离散随机变量的统计模型。这些 模型可以帮助我们理解和预测离散随 机变量的分布和性质。
离散概率论在决策理论中的应用
离散概率论在决策理论中用于评估不 确定环境下的决策效果。通过离散概 率模型，可以计算期望效用和期望收 益，从而帮助决策者做出最优决策。
离散概率论在决策理论中还用于风险 评估和管理。通过离散概率模型，可 以评估风险的大小和性质，并制定相 应的风险管理策略。
集合的运算和性质
总结词
集合的运算包括并集、交集、差集等，这些运算具有一些重要的性质，如交换律、结合律等。
详细描述
集合的运算包括并集、交集、差集等，这些运算具有一些重要的性质，如交换律、结合律等。交换律指的是集合 的并集和交集运算满足交换性；结合律指的是集合的并集和交集运算满足结合性。这些性质在离散数学的后续内 容中有着广泛的应用。
离散概率论在统计学中的应用
离散概率论在统计学中用于描述和分 析离散随机事件。例如，在调查研究 时，离散概率论可以用于估计样本大 小、计算抽样误差和置信区间等。
自考离散数学课件
目录
CONTENTS
• 离散数学简介 • 集合论基础 • 图论基础 • 离散概率论基础 • 组合数学基础 • 离散概率论的应用
01 离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学 研究，最初是为了解决当时的一些实 际问题而发展起来的。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、 图、树等）的数学分支，它不涉及连 续的量或函数，而是专注于研究离散 结构及其性质。
离散概率论在统计学中还用于构建和 检验离散随机变量的统计模型。这些 模型可以帮助我们理解和预测离散随 机变量的分布和性质。
离散概率论在决策理论中的应用
离散概率论在决策理论中用于评估不 确定环境下的决策效果。通过离散概 率模型，可以计算期望效用和期望收 益，从而帮助决策者做出最优决策。
离散概率论在决策理论中还用于风险 评估和管理。通过离散概率模型，可 以评估风险的大小和性质，并制定相 应的风险管理策略。
集合的运算和性质
总结词
集合的运算包括并集、交集、差集等，这些运算具有一些重要的性质，如交换律、结合律等。
详细描述
集合的运算包括并集、交集、差集等，这些运算具有一些重要的性质，如交换律、结合律等。交换律指的是集合 的并集和交集运算满足交换性；结合律指的是集合的并集和交集运算满足结合性。这些性质在离散数学的后续内 容中有着广泛的应用。
离散数学第2章第2节
¬(x)P(x)(x)¬P(x) 可表为
¬(P(x1)∨…∨P(xn))¬P(x1)∧…∧ ¬P(xn). 这正是熟知的摩根律. 而当个体域不为有限集时, 量词否定可视 为摩根律的推广.
3、量词扩张/收缩律(1) 量词的作用域中常有合取项和析取项， 如果其中一个为命题，可将该命题移至量词 之外。
例题3：对(x)(P(y)∧R(x,y))代入 解：对y实施代入，经代入后公式为
(x)(P(z)∧R(x,z))
三、有限论域客体变元的枚举
量词作用域中的约束变元，当论域的元素是有限时， 客体变元的所有可能的取代是可枚举的。
(x) A( x) A(a1 ) A(a2 )
A(an )
(x)(A(x)∧B(x))(x)A(x)∧(x)B(x) (x)(A(x)B(x))(x)A(x)(x)B(x) (x)(A(x)B(x))(x)A(x)(x)B(x) (x)A(x)(x)B(x)(x)(A(x)B(x))
用分析法证明 (x)A(x)∨(x)B(x)(x)(A(x)∨B(x)) 。 证明 若(x)(A(x)∨B(x))为假, 则必有个体a, 使 A(a)∨B(a)为假; 因此A(a), B(a)皆为假, 所以(x)A(x)和(x)B(x)为假， 即 (x)A(x)∨(x)B(x)为假。 故(x)A(x)∨(x)B(x)(x)(A(x)∨B(x))
将量词前面¬的移到量词后面去时，存在量词 改为全称量词，全称量词改为存在量词； 反之，将量词后面的¬移到量词前面去时，也 要做相应的改变。
量词的否定与德摩根律--与的对偶性
当个体域为有限集{x1,…,xn}时, ¬(x)P(x) (x)¬P(x) 可表为 ¬(P(x1)∧…∧P(xn))¬P(x1)∨…∨¬P(xn);
自考离散数学 PPT课件
第一章 命题演算
设命题公式 A 中含有 n 个命题变元，且 A 的主析取范式中含有 k 个小项 mi1，mi2，…，mik，则 A 的主合取范式必含有 2n-k 个大项。如果命题公 式 A 的主析取范式为∑(i1,i2,…,ik)，则 A 的主合取范式为： ∏(0，1，2，…，i1-1，i1+1，…，ik-1，ik+1，…，2n-1)。 从 A 的主析取范式求其主合取范式步骤为：
本章的学习主要是在掌握命题逻辑的基础上，理解个体，谓词，量 词等概念，学会将命题进一步用谓词逻辑表示；在熟记谓词逻辑中的等 价式和蕴含式的基础上，将一个谓词演算公式化为与它等价的前束范式； 并能运用 US、UG、ES、EG 等规则，进行谓词演算的推理。
本章的重点是带量词的公式变换，即前束范式。难点是谓词演算的
具有确切真值的陈述句称作命题。 所谓真值就是命题为真或为假的性质。
判断一个语句是否为命题，首先要判断它是否是陈述句，然后判断 是否具有唯一的真假值。
在判断一个陈述句是否具有唯一的真假时，要注意：一个陈述句的 真假暂时不能唯一地确定，但总有一天可以唯一确定，与一个陈述句的 真假不能唯一确定是两件事。
第一章 命题演算
第一章 命题演算
等值公式表和蕴含公式表整理归纳如表 1.表 2
第一章 命题演算
（3） 构造论证法
常用的推理规则有：
（1）前提引入规则：在证明的任何步骤上，都可以引入前提，简称 P 规则。
（2）结论引入规则：在证明的任何步骤上，所证明的结论都可作为后续 证明的前提，称为 T 规则。
（3）置换规则：在证明的任何步骤上，命题公式中的任何子命题公式都 可以用与之等值的命题公式置换。亦记为 T 规则。
推理理论。
离散数学第2章 关系(祝清顺版)
第二章 二元关系 2007年8月20日
离散数学
关系矩阵的实例
例9 设A={3, 5, 6, 9}, A上的二元关系
R={<x, y｜x＞y},
试求出关系矩阵。
[解] 关系的集合表示为:
R＝{9, 3, 9, 5, 9, 6, 6, 3, 6, 5, 5, 3}.
关系矩阵为: 0 1 MR= 1 1
关系的三种表示方法： 集合表达式 关系矩阵
关系图
关系矩阵和关系图可以表示有限集合上的关系。
离散数学
第二章 二元关系
2007年8月20日
关系矩阵
设给定集合A={a1,a2,…,an}，B={b1,b2,…,bm}，R为从A到B
的一个二元关系，构造一个n×m矩阵。用集合A的元素标注矩
阵的行，用集合B的元素标注矩阵的列，对于aiA和bjB，令
n2 n2
个. 不
每一个子集代表一个A上的二元关系，所以A上有 2 同的二元关系。 |Ai|=mi，则A1×A2×…×An上有 2 二元关系。
离散数学 第二章 二元关系 2007年8月20日
m1m2…mn
个不同的
常用的关系
定义 对任意集合A，定义 (1) 空关系 (2) 全域关系 EA={<x, y>|x∈A且y∈A}=A×A (3) 恒等关系 IA={<x, x>|x∈A} (4) 小于或等于关系：LA={<x, y>|x, y∈A且x≤y}, 其中 AR。 (5) 整除关系：DA={<x, y>|x, y∈A且x整除y}, 其中 AZ* , Z*是非零整数集 (6) 包含关系：R＝{<x, y>|x, y∈A且xy}, 其中A是集 合族。
离散数学
关系矩阵的实例
例9 设A={3, 5, 6, 9}, A上的二元关系
R={<x, y｜x＞y},
试求出关系矩阵。
[解] 关系的集合表示为:
R＝{9, 3, 9, 5, 9, 6, 6, 3, 6, 5, 5, 3}.
关系矩阵为: 0 1 MR= 1 1
关系的三种表示方法： 集合表达式 关系矩阵
关系图
关系矩阵和关系图可以表示有限集合上的关系。
离散数学
第二章 二元关系
2007年8月20日
关系矩阵
设给定集合A={a1,a2,…,an}，B={b1,b2,…,bm}，R为从A到B
的一个二元关系，构造一个n×m矩阵。用集合A的元素标注矩
阵的行，用集合B的元素标注矩阵的列，对于aiA和bjB，令
n2 n2
个. 不
每一个子集代表一个A上的二元关系，所以A上有 2 同的二元关系。 |Ai|=mi，则A1×A2×…×An上有 2 二元关系。
离散数学 第二章 二元关系 2007年8月20日
m1m2…mn
个不同的
常用的关系
定义 对任意集合A，定义 (1) 空关系 (2) 全域关系 EA={<x, y>|x∈A且y∈A}=A×A (3) 恒等关系 IA={<x, x>|x∈A} (4) 小于或等于关系：LA={<x, y>|x, y∈A且x≤y}, 其中 AR。 (5) 整除关系：DA={<x, y>|x, y∈A且x整除y}, 其中 AZ* , Z*是非零整数集 (6) 包含关系：R＝{<x, y>|x, y∈A且xy}, 其中A是集 合族。
离散数学图论2PPT教学课件
（1）欧拉回路要求边不能重复，结点可以重复. 笔不离开纸，不重复地走完所有的边，
且走过所有结点，就是所谓的一笔画.
2020/12/11
6
（2）欧拉图或通路的判定 1) 无向连通图G是欧拉图G不含奇数度结点(G的
所有结点度数为偶数):(定理1) 2) 非平凡连通图G含有欧拉通路G最多有两个奇
数度的结点；(定理1的推论) 3) 连通有向图D含有有向欧拉回路(即欧拉图)D
m
② mij degvi() j1
nm
nm
③ (m ij 1 ) (m ij 1 )m
2020/12i /11 1 j 1
i 1j 1
3
4．(有向图)邻接矩阵
设D=<V,E>, Vn,Em
A(D)= aij n
其中aij=邻接vi与vj的边的条数 (与A(G)类似) ( 以行和列均为结点)
aij
0
，表明vi是孤立点;
j1
i1
j1
2020/12/11
2
3．(有向图)关联矩阵
设D＝<V,E>, Vn,Em
M(D)= mij nm
1
其中 mij 0
vi为始,点 vj为终点
vi与vj不关联 (结点为行，边为列).
具有性质： 1 vi为终， 点vj为始点
n
① mij 0 (列元素之和为 0）； i1
二、图的矩阵表示、欧拉图
1．（无向图)
设G=<V,E>, Vn,Em M(G)= mij nm
其中mij=vi与ej的关联次数(行为结点，列为边). 具有性质：
m
① mij 2(列元素之和为2)；
i1
m
② mij degv,(i若)
且走过所有结点，就是所谓的一笔画.
2020/12/11
6
（2）欧拉图或通路的判定 1) 无向连通图G是欧拉图G不含奇数度结点(G的
所有结点度数为偶数):(定理1) 2) 非平凡连通图G含有欧拉通路G最多有两个奇
数度的结点；(定理1的推论) 3) 连通有向图D含有有向欧拉回路(即欧拉图)D
m
② mij degvi() j1
nm
nm
③ (m ij 1 ) (m ij 1 )m
2020/12i /11 1 j 1
i 1j 1
3
4．(有向图)邻接矩阵
设D=<V,E>, Vn,Em
A(D)= aij n
其中aij=邻接vi与vj的边的条数 (与A(G)类似) ( 以行和列均为结点)
aij
0
，表明vi是孤立点;
j1
i1
j1
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2
3．(有向图)关联矩阵
设D＝<V,E>, Vn,Em
M(D)= mij nm
1
其中 mij 0
vi为始,点 vj为终点
vi与vj不关联 (结点为行，边为列).
具有性质： 1 vi为终， 点vj为始点
n
① mij 0 (列元素之和为 0）； i1
二、图的矩阵表示、欧拉图
1．（无向图)
设G=<V,E>, Vn,Em M(G)= mij nm
其中mij=vi与ej的关联次数(行为结点，列为边). 具有性质：
m
① mij 2(列元素之和为2)；
i1
m
② mij degv,(i若)
离散数学讲义第2章
例2：H(x, y)：“x比y长得高”，l：“李四”，c：“张 三则” H(l, c)：“李四不比张三长得高”； H(l, c) H(c, l)：“李四不比张三长得高且张三不比 李四长得高”，即“李四与张三一样高”。
10
2-2 命题函数与量词（续）
例3：Q(x, y)：“x比y重” 当x，y指人或物时，它是一个命题，若x，y为实数时， Q(x, y)不是命题。
b) (x)(P(x)(y) R(x,y)) (x)的作用域是：(P(x)(y)(R(x,y))， (y)的作用域是：R(x,y)。 x,y为约束变元。
22
2-4 变元的约束（续）
c) (x)(y)(P(x,y)Q(y,z))(x)P(x,y) (x)(y)的作用域是：(P(x,y)Q(y,z)) x,y为约束变元，z是自由变元。 (x)的作用域是P(x,y) x为约束变元，y是自由变元。
例2：没有不犯错误的人。(F(x), M(x)) 解： (x)(M(x) F(x))
且该命题与“任何人都会犯错误”意义相同： (x)(M(x) F(x))
例3：尽管有些人聪明，但未必一切人都聪明。(P(x),M(x)) 解： (x)(M(x) P(x)) ((x)(M(x) P(x)))
18
某些为假。
例5：(P(x, y) P(y, z)) P(x, z)。考虑P(x, y)的解释： （1）“x小于y”，则P(x, y)永真。 （2）“x为y的儿子”，则P(x, y)永假。 （3）“x距离y10米”，则P(x, y)可能为真或假。
12
2-2 命题函数与量词（续）
个体变元：函数P(x)中的x。
(z)(P(z)R(z,y)) Q(x,y) 但不可换名为
(y)(P(y)R(y,y)) Q(x,y) 或
10
2-2 命题函数与量词（续）
例3：Q(x, y)：“x比y重” 当x，y指人或物时，它是一个命题，若x，y为实数时， Q(x, y)不是命题。
b) (x)(P(x)(y) R(x,y)) (x)的作用域是：(P(x)(y)(R(x,y))， (y)的作用域是：R(x,y)。 x,y为约束变元。
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2-4 变元的约束（续）
c) (x)(y)(P(x,y)Q(y,z))(x)P(x,y) (x)(y)的作用域是：(P(x,y)Q(y,z)) x,y为约束变元，z是自由变元。 (x)的作用域是P(x,y) x为约束变元，y是自由变元。
例2：没有不犯错误的人。(F(x), M(x)) 解： (x)(M(x) F(x))
且该命题与“任何人都会犯错误”意义相同： (x)(M(x) F(x))
例3：尽管有些人聪明，但未必一切人都聪明。(P(x),M(x)) 解： (x)(M(x) P(x)) ((x)(M(x) P(x)))
18
某些为假。
例5：(P(x, y) P(y, z)) P(x, z)。考虑P(x, y)的解释： （1）“x小于y”，则P(x, y)永真。 （2）“x为y的儿子”，则P(x, y)永假。 （3）“x距离y10米”，则P(x, y)可能为真或假。
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2-2 命题函数与量词（续）
个体变元：函数P(x)中的x。
(z)(P(z)R(z,y)) Q(x,y) 但不可换名为
(y)(P(y)R(y,y)) Q(x,y) 或
离散数学第2章ppt课件
E AA∪B∪BC
C
n
A k A 1A 2 A n
k 1
二、集合的并 (Union)
3、性质
1)幂等律 A∪A =A
2)零律
A∪U =U
3)同一律 A∪ =A
4)交换律 A∪B =B∪A
5)结合律 A∪(B∪C) =(A∪B)∪C
二、集合的并 (Union)
3、性质
， 6)
若A⊆B，C⊆D，则A∪C
是集合，没有元素
有1个元素的集合
2) ∈{}， {}
五、特殊集合
1、空集
定理 空集是任一集合A的子集，即 ⊆A。
下列命题是否为真。
1)√⊆;
2) ∈ ; 3) ⊆{}; 4) ∈{} 。
√
√
五、特殊集合
1、空集
推理 空集是唯一的。(绝对唯一)
证明： 设1，2是两个空集, 则1 2，且2 1，
证明唯一性 一般采用反
1、符号表示法
通常用大写字母A, B, C, …代表集合; 用小写字母a, b, c, …代表元素。
1)如果a是集合A的一个元素, 则记为 a∈A, 读做“a属于A”,或 “a在集合A中”。
2)如果a不是集合A的一个元素, 则记为 a∈A, 读做“a不属于A”,或 “a不在集合A中”。
注：任一元素, 对某一集合而言, 或属于该集合, 或不属于该集合, 二者必居其一, 且只居其一。
1) 若b∈A，则b是不给自己刮脸的人， 而由题意，b只给集合A中的人刮脸。 ∴b 要给b 刮脸， 即b ∈ A。
理发师问题
在一个很僻静的孤岛上，住着一些人家，岛上只 有一位理发师，该理发师专给那些并且只给那些自己 不刮脸的人刮脸。那么，谁给这位理发师刮脸？
C
n
A k A 1A 2 A n
k 1
二、集合的并 (Union)
3、性质
1)幂等律 A∪A =A
2)零律
A∪U =U
3)同一律 A∪ =A
4)交换律 A∪B =B∪A
5)结合律 A∪(B∪C) =(A∪B)∪C
二、集合的并 (Union)
3、性质
， 6)
若A⊆B，C⊆D，则A∪C
是集合，没有元素
有1个元素的集合
2) ∈{}， {}
五、特殊集合
1、空集
定理 空集是任一集合A的子集，即 ⊆A。
下列命题是否为真。
1)√⊆;
2) ∈ ; 3) ⊆{}; 4) ∈{} 。
√
√
五、特殊集合
1、空集
推理 空集是唯一的。(绝对唯一)
证明： 设1，2是两个空集, 则1 2，且2 1，
证明唯一性 一般采用反
1、符号表示法
通常用大写字母A, B, C, …代表集合; 用小写字母a, b, c, …代表元素。
1)如果a是集合A的一个元素, 则记为 a∈A, 读做“a属于A”,或 “a在集合A中”。
2)如果a不是集合A的一个元素, 则记为 a∈A, 读做“a不属于A”,或 “a不在集合A中”。
注：任一元素, 对某一集合而言, 或属于该集合, 或不属于该集合, 二者必居其一, 且只居其一。
1) 若b∈A，则b是不给自己刮脸的人， 而由题意，b只给集合A中的人刮脸。 ∴b 要给b 刮脸， 即b ∈ A。
理发师问题
在一个很僻静的孤岛上，住着一些人家，岛上只 有一位理发师，该理发师专给那些并且只给那些自己 不刮脸的人刮脸。那么，谁给这位理发师刮脸？
离散数学 第2章
9
10
命题公式的分类
定义2.10：设A为任一命题公式
1）若A在各种赋值下取值均为真，称A是重言式或永真式 2）若A在各种赋值下取值均为假，称A是矛盾式或永假式
3）若A不是矛盾式，称A是可满足式
注意: 重言式是可满足式，但反之不成立 例题：求下列公式的类型(命题变项是p,q,r) 1) (pqr)(pq) 2) (qp)qp 3) (pq)q
6
基本复合命题的真值
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p 1 1 0 0 p∧ q 0 0 0 1 p∨ q 0 1 1 1 p q 1 1 0 1 pq 1 0 0 1
7
注意：联结词优先级:( ),, , , ,
例题：令p：北京比天津人口多；q：2+2=4；
r：乌鸦是白色的，求下列复合命题的真值
p q 0 0 1 1 0 1 0 1
F0( 2) F1( 2) F2( 2) F3( 2) F4( 2) F5( 2) F6( 2) F7( 2)
0 0 0 0
F8( 2)
0 0 0 1
F9( 2)
0 0 1 0
( 2) F10
0 0 1 1
( 2) F11
0 1 0 0
( 2) F12
0 1 0 1
11
基本等值式
双重否定律 幂等律 交换律 AA A A A AAA A B B A ABBA (AB)CA(BC) (AB)CA(BC) A(BC)(AB)(AC) A(BC)(AB)(AC) (AB)AB (AB)AB A(AB)A A(AB)A
12
结合律
分配律 德摩根律
吸收律
基本等值式(续)
零律 同一律 排中律 矛盾律 蕴涵等值式 等价等值式 假言易位 等价否定等值式 归谬论 A11 A00 A0A A1A AA1 AA0 ABAB AB(AB)(BA) ABBA ABAB (AB)(AB)A
自考离散数学02324课后答案：[2]1.3章节
![自考离散数学02324课后答案：[2]1.3章节](https://img.taocdn.com/s3/m/2e8cceaf284ac850ad02425f.png)
沾襟.独坐墙角落孤寞,窗外风交雨狂作.念当初,情深意切
应用(3)得到的式子为合式公式。 3.设 P、Q 的真值为 0；R、S 的真值为 1；求
下列各命题公式的真值。 a)P∨(Q∧R)； b)(P←→R)∧(|Q∨S)； c)(P∧(Q∨R))→((P∨Q)∧(R∧S))； d)|(P∨(Q→(R∧|P)))→(R∨|S).
沾襟.独坐墙角落孤寞,窗外风交雨狂作.念当初,情深意切
·9.P∧Q 自考需要坚持，为自己加油！自考离散数学 02324 课后答案(共 5 篇)上一篇：1.2 章节|下一 篇：1.4 章节
1001011 1011111
1101111
1111111 c)合取(∧)对析取(∨)之分配律，(答案及 点评)c)见下表:可证：P∧(Q∨R)=(P∧Q)∨(P∧ R)
沾襟.独坐墙角落孤寞,窗外风交雨狂作.念当初,情深意切
PQR(Q∨R)P∧QP∧RP∧(Q∨R)(P∧Q)∨(P ∧R)
00000000 00110000 01010000 01110000 10000000
1010100
1110000 6 下表为含有两上变元的命题公式的各种情 况真值表，对于每一列试写出一个至多包含此两 个变元的命题公式。
PQ12345678910111213141516 TTFFFFFFFFTTTTTTTT TFFFFFTTTTFFFFTTTT FTFFTTFFTTFFTTFFTT FFFTFTFTFTFTFTFTFT 答案（答案不唯一，以下仅供参考）： ·1.(|P∧P)
pqpqpqpqpq00011110111000101010011100006下表为含有两上变元的命题公式的各种情况真值表对于每一列试写出一个至多包含此两个变元的命题公式
离散数学第二章
种
相当于 “任意”,“凡是”,“所有”...
存在量词(Existential Quantifier):
表示个体域中部分个体的词， 记作
相当于 “存在”,“至少有一个”,“有些”...
若个体域中所有个体x,均使A(x)为真,记作(x)A(x) 若个体域中存在某些个体x,使A(x)为真,记作(x)A(x)
4.特性谓词: 若在全总个体域讨论问题,还需在命题表达中
增加特性谓词,以说明命题中个体的取值范围.
5.命题符号化
“每个计算机系的学生都学离散数学“
“存在着偶素数”
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谓词逻辑 >谓词公式
课堂练习
在谓词逻辑中符号化： 1. 北京是中国的首都 2. 甲是乙的父亲 3. 3介于2与4之间 4. 3大于2仅当3大于4。 5. 张三和李四是同班同学 6. 天下乌鸦一般黑 7. 火车都比汽车跑得快 8. 有的火车比所有汽车快。
例题 用谓词逻辑处理苏格拉底三段论：
人总是要死的, (x) (M(x) P(x)),
苏格拉底是人, M(a),
所以,苏格拉底是要死的。 P(a).
令 P(x): x是要死的,
M(x): x是人, a: 苏格拉底
推理形式为: (x) (M(x) P(x)), M(a) P(a).
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谓词逻辑
２-1 谓词的概念与表示 ２-2 量词 ２-3 谓词公式
２-4 谓词公式的解释 ２-5 等价式与蕴含式 2－6 前束范式 ２-7 谓词演算的推理理论
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《离散数学》完整课件
第三节 复合关系与逆关系
本节讨论关系的复合运算与逆运算极其 性质;主要考虑了下列问题:
1.关系的复合是否满足交换律、结合律、 关系的复合对于集合的并(交)是否有分 配律;
2.关系的复合运算与逆运算在关系图和 关系矩阵上的反应;
3.关系的复合运算与关系的逆运算之间 的运算规律.
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11 2021/6/7
|A|<|B|三条中有且仅有一条成立；
2.Bernstein定理:设A,B是两个集合,若|A|≥|B| 且|A| ≤ |B|,则集合A,B等势;
3.设A是任意集合,P(A)为A的幂集,则P(A)的基 数大于A的基数.
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23 2021/6/7
本章小结
本章的主要内容有：集合的等势、有限 集与无限集、可数集与不可数集、较为 常见的集合的基数等.集合的基数反映了 集合的元素的多少，它是集合的一种性 质，一种与该集合等势的集合构成的集 合族的共同性质.
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17 2021/6/7
第九节 复合映射与逆映射
映射的复合就是关系的复合,须注意的是 复合的次序,主要内容有:
1.映射的复合具有结合律,但不符合交换律; 2.区分了左逆与右逆；给出里左逆、右逆
与单射、满射之间的关系； 3.可逆与左、右逆之间的关系.
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18 2021/6/7
本章小结
1.本节首先给出了公式的蕴涵关系的三个等价定 义,及蕴涵关系具有的性质,给出了15个基本蕴 涵式；
2.把蕴涵概念推广,得到公式的逻辑结果的定义；
3.为了研究推理，还引进演绎的概念；
4.用实例说明推理方法.
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30 2021/6/7
第六节 形式演绎
离散数学第2章(2)
离散数学
1
离散数学（Discrete Math）
数学所研究的对象根据它们的取值分为： 连续的，如长度、温度、面积等。 离散的，如商店商品，学生所学课程等。
离散数学是研究离散对象的结构以及它们 之间相互关系的一门数学学科。
因为计算机不论硬件还是软件都属于离散 结构，所以所应用的数学必是离散数学。
注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题。 陈述句中的悖论以及判断的结果不惟一确
定的也不是命题。
15
实例
例1 下列句子中那些是命题？ (1) 北京是中华人民共和国的首都. (2) 2 + 5 ＝8.
(3) x + 5 ＞ 3.
(4) 你会开车吗？ (5) 2050年元旦北京是晴天. (6) 这只兔子跑得真快呀！ (7) 请关上门！ (8) 我正在说谎话.
教学基本要求
要求掌握基本概念、基本原理，培养学 生用离散数学的观点去分析解决计算机 科学及工程应用中所遇到的问题，努力 提高逻辑推理和抽象思维的能力。
先修课程
高等数学、线性代数
4
学习内容
数理逻辑 （第二、三章）
计算机科学的基础，应熟练掌握将现实生活中的条件 化成逻辑公式，并能做适当的推理，这对程序设计、 数字电路等课程是极有用处的。
2
课程的性质、目的和任务
离散数学是计算机学科的专业基础课， 通过介绍离散数学的基本理论、基本 思想和基本方法，使学生掌握学习后 继课程，如数据结构、数据库、网络、 人工智能等必备的基础知识和基本技 术，得到一个较好的数学训练，为从 事计算机科学技术领域的工作打下一 个扎实的理论基础。
3
课程的要求
真命题 假命题 真值不确定 疑问句 真值确定, 但未知 感叹句 祈使句 悖论
1
离散数学（Discrete Math）
数学所研究的对象根据它们的取值分为： 连续的，如长度、温度、面积等。 离散的，如商店商品，学生所学课程等。
离散数学是研究离散对象的结构以及它们 之间相互关系的一门数学学科。
因为计算机不论硬件还是软件都属于离散 结构，所以所应用的数学必是离散数学。
注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题。 陈述句中的悖论以及判断的结果不惟一确
定的也不是命题。
15
实例
例1 下列句子中那些是命题？ (1) 北京是中华人民共和国的首都. (2) 2 + 5 ＝8.
(3) x + 5 ＞ 3.
(4) 你会开车吗？ (5) 2050年元旦北京是晴天. (6) 这只兔子跑得真快呀！ (7) 请关上门！ (8) 我正在说谎话.
教学基本要求
要求掌握基本概念、基本原理，培养学 生用离散数学的观点去分析解决计算机 科学及工程应用中所遇到的问题，努力 提高逻辑推理和抽象思维的能力。
先修课程
高等数学、线性代数
4
学习内容
数理逻辑 （第二、三章）
计算机科学的基础，应熟练掌握将现实生活中的条件 化成逻辑公式，并能做适当的推理，这对程序设计、 数字电路等课程是极有用处的。
2
课程的性质、目的和任务
离散数学是计算机学科的专业基础课， 通过介绍离散数学的基本理论、基本 思想和基本方法，使学生掌握学习后 继课程，如数据结构、数据库、网络、 人工智能等必备的基础知识和基本技 术，得到一个较好的数学训练，为从 事计算机科学技术领域的工作打下一 个扎实的理论基础。
3
课程的要求
真命题 假命题 真值不确定 疑问句 真值确定, 但未知 感叹句 祈使句 悖论
离散数学第二章课件
2013-7-27 213页-第19
河南工业大学离散数学课程组
结论
F(x, y)：x是y的父亲
1.谓词中客体词的顺序是十分重要的，不能随意变 更。如命题F(b, c)为‚真‛，但命题F(c, b)为‚假‛； 2.具体命题的谓词表示形式和n元谓词是不同的，前 者是有真值的，而后者不是命题，它的真值是不确 定的。如上例中S(x)：x是一个三好学生， a为王童， S(a)是有真值的，但S(x)却没有真值。 3.一个n元谓词不是一个命题，但将n元谓词中的客 体变元都用具体的客体取代后，就成为一个命题。 而且，客体变元取不同的值对是否成为命题及命题 的真值有很大的影响。
2013-7-27 213页-第6
河南工业大学离散数学课程组 所有的人都是要死的。 苏格拉底是人。 所以苏格拉底是要死的。 逻辑学中著名的三段论方法，是由一个大前 提，一个小前提推出结论的方法。这方面的例 子如： 著名的苏格拉底三段论： 显然这是正确的推理，但在命题逻辑中却 苏格拉底（前469-前399） 无法得到证明，因为三段论的每句话都 古希腊唯心主义哲学家。 是一个原子命题，我们可分别用P，Q， 出现问题的原因 R来表示。这样，三段论方法用形式符号 在于，三段论中， 表示应为 P∧Q R 结论R与前提P， 但在命题逻辑里， P∧Q→R显然不是重言 Q的内在联系不 式。 可能在命题逻辑 命题演算的局限性: 不能反映命题之间的内在 中表示出来。 联系,即不能将命题分解开。
2013-7-27 213页-第20
河南工业大学离散数学课程组
2-2 命题函数与量词
一、命题函数 1、命题函数 单独一个谓词不是命题,例如设A:…是大学生,不是 命题, 只有当这个谓词后面紧跟一个具体客体后才是 命题,如A(张三)是一个命题。 设L(x, y): x小于y, 则L(2, 3)表示‚2小于3” 是真命题, 而L(5, 1)表示‚5小于1”是假命题。 上例中当x,y是客体变元时,谓词L(x,y)不是命题。 设P(x)表示‚x是大学生‛, 当x取特定的客体即客体常量时,则P(x)是命题, 而当x可在一定的范围任意取值, 则P(x)不是命 题，称为命题函数。
河南工业大学离散数学课程组
结论
F(x, y)：x是y的父亲
1.谓词中客体词的顺序是十分重要的，不能随意变 更。如命题F(b, c)为‚真‛，但命题F(c, b)为‚假‛； 2.具体命题的谓词表示形式和n元谓词是不同的，前 者是有真值的，而后者不是命题，它的真值是不确 定的。如上例中S(x)：x是一个三好学生， a为王童， S(a)是有真值的，但S(x)却没有真值。 3.一个n元谓词不是一个命题，但将n元谓词中的客 体变元都用具体的客体取代后，就成为一个命题。 而且，客体变元取不同的值对是否成为命题及命题 的真值有很大的影响。
2013-7-27 213页-第6
河南工业大学离散数学课程组 所有的人都是要死的。 苏格拉底是人。 所以苏格拉底是要死的。 逻辑学中著名的三段论方法，是由一个大前 提，一个小前提推出结论的方法。这方面的例 子如： 著名的苏格拉底三段论： 显然这是正确的推理，但在命题逻辑中却 苏格拉底（前469-前399） 无法得到证明，因为三段论的每句话都 古希腊唯心主义哲学家。 是一个原子命题，我们可分别用P，Q， 出现问题的原因 R来表示。这样，三段论方法用形式符号 在于，三段论中， 表示应为 P∧Q R 结论R与前提P， 但在命题逻辑里， P∧Q→R显然不是重言 Q的内在联系不 式。 可能在命题逻辑 命题演算的局限性: 不能反映命题之间的内在 中表示出来。 联系,即不能将命题分解开。
2013-7-27 213页-第20
河南工业大学离散数学课程组
2-2 命题函数与量词
一、命题函数 1、命题函数 单独一个谓词不是命题,例如设A:…是大学生,不是 命题, 只有当这个谓词后面紧跟一个具体客体后才是 命题,如A(张三)是一个命题。 设L(x, y): x小于y, 则L(2, 3)表示‚2小于3” 是真命题, 而L(5, 1)表示‚5小于1”是假命题。 上例中当x,y是客体变元时,谓词L(x,y)不是命题。 设P(x)表示‚x是大学生‛, 当x取特定的客体即客体常量时,则P(x)是命题, 而当x可在一定的范围任意取值, 则P(x)不是命 题，称为命题函数。
自考离散数学第2章
域E，若对 A和B的任一组变元进行赋值，所得命题的真值相同，则称 谓词公式A和B在E上是等价的，并记作 A B
定义2.3.2 给定任意谓词公式WffA，其个体域为E，对于A的所有赋值
WffA都为真，则称WffA在E上有效的（或永真的）
定义2.3.3 一个谓词公式WffA，如果在所有赋值下都为假，则称WffA
P
（2）H(s)→M(s)
（3）H(s) （4）M(s)
US(1)
P T(2)(3)I
2.5 谓词演算的推理理论
例：专业委员会成员都是教授，并且是计算机设计师，有些成员是资
深专家，所以有的成员是计算机设计师，且是资深专家。请用谓词推 理理论证明上述推理。
证：设个体域为全总个体域。 M(x):x 是专业委员会成员； H(x):x 是教授； G(x):x 是计算机设计师；
2.3 谓词演算的等价式与蕴含式
表2.3.1
2.3 谓词演算的等价式与蕴含式
2.3 谓词演算的等价式与蕴含式
2.3 谓词演算的等价式与蕴含式
2.4 前束范式
定义2.4.1 一个公式，如果量词均在全式的开头，它们的作用域，延伸
到整个公式的末尾，则该公式叫做前束范式。
定理2.4.1 任意一个谓词公式均和一个前束范式等价。
2.3 谓词演算的等价式与蕴含式
例：寻求下式的真值。
(x)(P Q( x)) R(a) ，其中P:2>1,Q(x):x≦3，R(x):x>5,a=5，
且论域{-2,3,6}
2.3 谓词演算的等价式与蕴含式
2.3 谓词演算的等价式与蕴含式
定义2.3.1 给定任何两个谓词公式 WffA和WffB，设它们有共同的个体
离散数学讲义ppt课件
课程概况
教材：
《离散数学（第三版）》，耿素云等编著 清华大学出版社，2004年3月
参考书：
（1） 《离散数学(第二版)》及其配套参考书《离散 数学题解》作者：屈婉玲，耿素云，张立昂 清华大学出版社
（2） 《离散数学》焦占亚主编 电子工业出版社 2005年1月
2
课程概况
选修课/必修课：选修 周学时：3（学时） 上课周：1－16周 总学时：48（学时）
3
课程内容及学时安排
第一篇 数理逻辑（14学时）
第一章 命题逻辑（8） 第二章 谓词逻辑（6）
第二篇 集合论（12学时）
第三章 集合（4） 第四章 二元关系与函数（8）
第四篇 图论（14学时）
第七章 图论（8） 第八章 一些特殊图（4） 第九章 树 （2）
4
课程考核
第四篇 代数系统（8学时）
第5、6章 图论（8）
所以，伊勒克持拉既知道并且又不知道这个人是她的 哥哥。
20
NO.3 M：著名的理发师悖论是伯特纳德·罗素提出的。一个理发 师的招牌上写着： 告示：城里所有不自己刮脸的男人都由我给他们刮脸，我 也只给这些人刮脸。 M：谁给这位理发师刮脸呢？ M：如果他自己刮脸，那他就属于自己刮脸的那类人。但 是，他的招牌说明他不给这类人刮脸，因此他不能自己来 刮。 M：如果另外一个人来给他刮脸，那他就是不自己刮脸的 人。但是，他的招牌说他要给所有这类人刮脸。因此其他 任何人也不能给他刮脸。看来，没有任何人能给这位理发 师刮脸了！
P
Q
PQ
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0
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1
离散数学标准讲义sy第2章精品PPT课件
2021/2/4
离散数学
10
一阶逻辑命题符号化
例：在个体域分别限制为(a)和(b)条件时，将 下面两个命题符号化: (1) 凡是人都要呼吸. (2) 有的人用左手写字.
其中: (a)个体域 D1为人类集合； (b)个体域 D2为全总个体域.
解答
2021/2/4
离散数学
11
F (x) : x呼吸。
再取i癌痛治疗工作的开展使阿片类止痛药用量出现明显增加的趋势然而阿片类的滥用人数却呈现下降的趋势阿片类止痛药物医疗用药并未增加阿片类药物滥用的危险2020622离散数学57一阶逻辑知识结构21一阶逻辑基本概念22一阶逻辑等值演算23一阶逻辑的推理理论第四次课第一二次课第三次课癌痛治疗工作的开展使阿片类止痛药用量出现明显增加的趋势然而阿片类的滥用人数却呈现下降的趋势阿片类止痛药物医疗用药并未增加阿片类药物滥用的危险2020622离散数学58一阶逻辑等值演算知识点量词消去等值式量词否定等值式量词辖域收缩与扩张等值式量词分配等值式代替规则癌痛治疗工作的开展使阿片类止痛药用量出现明显增加的趋势然而阿片类的滥用人数却呈现下降的趋势阿片类止痛药物医疗用药并未增加阿片类药物滥用的危险2020622离散数学59一阶逻辑等值式b为逻辑有效式则称a与b是等值的记作
(a)个体域 D1为人类集合；
(b)个体域 D2为全总个体域.
2021/2/4
离散数学
13
一阶逻辑命题符号化
例：在个体域限制为(a)和(b)条件时，将下列命题符 号化:
(1) 对于任意的x，均有 x2-3x+2=(x-1)(x-2) .
(2) 存在x，使得 x+5=3.
其中: (a) 个体域 D1=N (N为自然数集合) (b) 个体域 D2=R (R为实数集合)
相关主题
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例：P(x)表示x是质数。这是一个命题函数。其值取决于个体域。
可以将命题函数命题，有两种方法： a)将x取定一个值。如：P(4)，P(5) b)将谓词量化。如：xP(x)，xP(x)
个体域的给定形式有二种：
①具体给定。 如：｛j, e, t｝ ②全总个体域任意域：所有的个体从该域中取得。
章节内容
4
作业： P28 1a、c
⑴原子谓词公式是合式公式；
⑵若A是合式公式，则¬A也是合式公式；
⑶若A, B都是合式公式，则(AB)，(AB),(AB),(AB)都是合式公 式；
⑷若A是合式公式பைடு நூலகம்x是任何变元，则xA, xA也都是合式公式；
⑸只有按⑴-⑷有限次所求得的那些公式才是合式公式（谓词公式又 简称“公式”）。
章节内容
9
定义 1.辖域（作用域）：紧接在量词后面括号内的谓词公式。
例：将“对于所有的x和任何的y，如果x高于y，那么y不高于x”写成
命题表达形式。
解： x y(G(x,y) ¬ G(y,x)) G(x,y)：x高于y
章节内容
6
（2）存在量词 “”为存在量词符号，读作“存在一个”，“对于一些”， “对于某些”，“至少存在一个”，“这里存在着这样的” 等等。
例：（a）存在一个人；将（a）,（b）,（c）写成命题。 规定：M(x)：x是人；则 （a） x M(x) ；
章节内容
5
1.2.1量词
（1）全称量词 “”为全称量词符号，读作“对于所有的”，“对任一 个”，“对一切”。 例：“这里所有的都是苹果”，可写成： xA(x)或(x)A(x)
几种形式的读法： ·xP(x)： “对所有的x，x是…”； ·x¬P(x) ： “对所有x，x不是…”； ·¬xP(x) ： “并不是对所有的x，x是…”； ·¬x¬P(x) ： “并不是所有的x，x不是…”。
在上述的谓词合式公式中，有的个体变元既可以是约束出 现，也可以是自由出现，为了避免混淆采用以下两个规 则。
1.下面介绍约束变元的改名规则： （a）在改名中要把公式中所有相同的约束变元全部同时改掉； （b）改名时所用的变元符号在量词辖域内未出现的。
章节内容
11
例： xP(x) yR(x,y)可改写成xP(x) zR(x,z) ，但不能改成 xP(x) xR(x,x) ， xR(x,x)中前面的x原为自由变元，现在变为 约束变元了。
例：张华是学生，李明是学生。则可把它表示成：
H:表示“是学生”，j:表示“张华”，m:表示“李明”，则可用下 列符号表示上述二个命题：H(j)，H(m)。
章节内容
2
1. 命题函数
客体在谓词表达式中可以是任意的名词。 例：C—“总是要死的。” j：张三；t：老虎；e：桌子。 则C(j), C(t), C(e)均表达了命题。
约定：最外层的括号可以省略，但需注意，量词后面若有括号则不能省略。
章节内容
10
例2. (x)(y)(P(x,y) Q(x,z)) (x)P(x，y) (x)( y)的作用域为P(x,y) Q(x,z)，x，y为约束变元，z为自由变元。 (x)为作用域为P(x，y)，x为约束变元，y为自由变元。
例： xP(x) , x(P(x) Q(x)) 。 若量词后括号内为原子谓词公式，则括号可以省去。
2.指导变元（作用变元）：紧接在量词后面括号内的X。 3.约束变元：在量词的辖域内，且与量词下标相同的变元。 4.自由变元：当且仅当不受量词的约束。
例：（ x）（P（x） （x）P（x，y））
（ x）的指导变元为x，作用域为P（x） （x）P（x，y）， （x）的指导变元 为x，作用域为P（x，y），x为约束变元，y为自由变元。
第二章 谓词逻辑
1 谓词的概念与表示法 2 量词与合式公式 3 谓词演算的等价式与蕴含式 4 前束范式 5 谓词演算的推理理论
章节内容
1
2.1 谓词的概念与表示法
在研究命题逻辑中， 原子命题是命题演算中最基本的单位，不再对原子命题
进行分解，但原子命题可进一步用客体和谓词两个部 分刻画。 定义：可以独立存在的对象称为客体，客体亦称个体， 可以是具体事务也可以是抽象的事务。 定义：用以刻划客体的性质或关系的即是谓词。
2.区别是命题还是命题函数的方法 （a）若谓词公式中出现自由变元，则该公式为命题函数； （b）若谓词公式中的变元均为约束出现，则该公式为命题。
例： xP(x,y,z)是二元谓词， yxP(x,y,z)是一元谓词， 而谓词公式中如果没有自由变元出现，则该公式是一个命题。
章节内容
12
3.代入规则：对公式中的自由变元的更改叫做代入。 (a)对公式中出现该自由变元的每一处进行代入， (b)用以代入的变元与原公式中所有变元的名称不 能相同。
在上面的例子中，C：表示“总是要死的”；x：表示变元（客 体变元），则C(x)表示“x总是要死的”，则称C(x)为命题
函数。
《定义》由一个谓词字母和一个非空的客体变元的集合所组成 的表达式，称为命题函数。
章节内容
3
讨论定义： （a）若用任何客体去取代客体变元之后，则命题函数就变为命题； （b）命题函数中客体变元的取值范围称为个体域（论述域）。
“”表达式的读法：
· x A(x) ：存在一个x,使x是…；
· x¬A(x) ：存在一个x, 使x不是…；
·¬ x A(x) ：不存在一个x, 使x是…；
·¬ x¬A(x) ：不存在一个x, 使章节x不内容是…。
7
著名的苏格拉底三段论可论述如下： a. 所有人都是要死的； b. 因为苏格拉底是人； c. 所以苏格拉底总是要死的； 试讲其符号化为谓词公式。 解M（x）：表示x是人，D（x）：x是要死的；a：苏格拉底。 上述三段论可符号化为： a. （x）（M(x) → D（x）） b. M（a） c. D（a） 该三段论可用推理描述为： 前提：（x）（M(x) → D（x） ）， M(a) ， 结论： D（a）
章节内容
8
1.2.2合式公式
定义：原子谓词公式：不出现命题联结词和量词的谓词命名式称为原 子谓词公式，并用P(x1…xn)来表示。（P称为n元谓词， x1…xn称 为客体变元），当n=0时称为零元谓词公式。
定义：由一个或几个原子命题函数以及逻辑联结词组合而成的表达式 称为复合命题函数。
定义：谓词演算的合式公式（合式公式记为WffA）