信号与线性系统(管致中)

dt
L 1, R 5,
(1). 当e'(t) 2et ,t 0,i(0) 2,i'(0) 1时的全解
C1 6
(2). 当e'(t) e2t ,t 0,i(0) 1,i'(0) 0时的全解
解(1)：特征方程： 2 5 6 0 2, 3
齐次解为： in (t) C1e2t C2e3t
零输入响应和零状态响应 r(t)(全响应) rzi (t)(零输入响应 ) rzs (t（) 零状态响应） 2. 用叠加积分的方法求解零状态响应：原理——系统的叠加性 若f1(t) r1(t)，f2 (t) r2 (t) 则a1 f1(t) a2 f2 (t) a1r1(t) a2r1(t)
连续系统的时域分析
1、数学模型的确立： 举例：RLC电路如图见黑板
L di(t) Ri(t) 1
t
i( )d e(t)
dt
C
d 2i(t) di(t) 1
de(t)
L
R i(t)
dt
dt C
dt
n阶线性系统激励函数与响应函数之间的微分方程：
d
n i (t ) dt
an 1
di n 1 (t ) dt
零状态响应： 系统在无初始储能或称为状态为零 的情况下，仅由外在激励源引起的 响应。
零输入响应和零状态响应
r(t)(全响应) rzi (t)(零输入响应 ) rzs (t（) 零状态响应）
1. 用经典法求解 求解零输入响应就是求解当外加激励源为零时，系
统的全响应。 r(t)(零输入响应 ) rn (t)(齐次解) rf (t（) 特解）
自然响应
受迫响应
对于一个稳定的系统而言，系统的零输入响应必然是 自然响应的一部分
零状态响应中又可以分为自然响应和受迫响应两部分。
零输入响应和零状态响应中的自然响应部分和起来构 成总的自然响应，零状态响应中有外加激励源作用产生的 响应是受迫响应
自然响应 瞬态响应
受迫响应 稳态响应
对真实系统而言，自然响应必然是瞬态响应。受迫响应中 随时间增长而衰减消失的部分也是瞬态响应的部分，随时 间增长仍继续存在并趋于稳定的部分则是稳态响应。
12
22
32
2n
c3
r (n1) (0)
1n1
n1 2
n1 3
n1 n
cn
范德蒙德矩阵
c1 1 1 1 1 1 r(0)
c2
1
2
3
n
r '源自文库(0)
举例：RLC电路如图见黑板
微分方程为： L d 2i(t) R di(t) 1 i(t) de(t)
dt
dt C
dt
算子方程：
Lp
2
Rp
1 C
i(t)
pe(t)
p2
R L
p
1 LC
i(t)
1 L
pe(t)
一般系统的算子表示法：
pn an1 pn1 L a0 r(t) bm pm bm1 pm1 L b0 e(t)
D( p)r(t) N( p)e(t)
r(t) N ( p) e(t) D( p)
转移算子：
H ( p) N( p) D( p)
转移算子描述了响应函数和激励函数在时域中的关系
2-2 系统方程的算子表示法
二、算子多项式的运算法则
1、代数运算： ( p a)( p b) p2 (a b) p ab
( p a)( p b)x(t) d a d bx(t) dt dt
由算子p的多 项式组成的运算 符号可以像代数 式那样相乘和因 式分解。代数运 算中的分配和结 合律在算子方程 中完全适用。
d a dx(t) bx(t)
dt dt
d dx(t) bx(t) a dx(t) b
例题
如图（见黑板）所示的双耦合电路，激励函 数为电压e(t)，响应函数为电流i2(t)，求激励函 数与响应函数之间的关系。 假设e(t)，i1(t)，i2(t)在t为负无穷的时刻均为零。
2-3 零输入响应的求解
零输入响应是由系统初始的能量分布状态， 即系统的初始条件决定的。
n阶算子方程
D( p)r(t) N( p)e(t)
解得： B1 1, B0不可解
即： if (t) (B0 t)e2t
i(t) in (t) if (t) (C1 B0 )e2t C2e3t tet
其中待定常数C1+B0，C2由初始条件确定：
i(0) C1 B0 C2 1 1, i'(0) 2(C1 B0 ) 3C2 1 0 C1 B0 2, C2 1
p dt
算子方程：
pn an1 pn1 L a0 r(t) bm pm bm1 pm1 L b0 e(t)
返回
2-2 系统方程的算子表示法
利用算子，电路中电感和电容的伏安特性可
以表示为：
uL LpiL
uC
1 Cp
iC
其中，Lp 和 1 分别为电感和电容的阻抗 Cp
2-2 系统方程的算子表示法
r(t) c1e1t c2e2t
若1,2 j
则r(t) et (C1 sin t C2 cos t) Cet cos(t )
3、n阶方程的求解： D( p)r(t) 0
即：
pn an1 pn1 L a0 r(t) 0
把上述奇次方程写成多个因式相乘的形式：
D( p)r(t) ( p 1)( p 2 )L ( p n )r(t) 0
当e'(t) 2et时,其特解为： if (t) Bet 将其代入微分方程得： Bet 5(Bet ) 6Bet 2et
解得： B 1 即：
if (t) et
i(t) in (t) if (t) C1e2t C2e3t et
其中待定常数C1，C2由初始条件确定：
i(0) C1 C2 1 2, i'(0) 2C1 3C2 1 1
dt dt
dt
d 2x(t) b dx(t) a dx(t) ab
dt
dt
dt
d 2x(t) (a b) dx(t) ab p2 (a b) p ab
dt
dt
2、相消计算：
一般情况下，系统微分和积分的运算次序不能 任意颠倒，两种运算也不一定能抵消。
p 1 1 p
p 1 d
1. 用经典法求解
求解零输入状态就是求解当系统初始状态为零时，系统 的全响应。
r(t)(零状态响应 ) rn (t)(齐次解) rf (t（) 特解）
系统的零状态响应由系统的初始状态和外加激励源共同决 定，因此零状态响应不但包含特解的部分，也包含齐次解 的部分。
注：初始条件
rzs (0 ) 0, rzs '(0 ) 0
令：D(p)=0，可以求得系统的特征根
1，2，L n
若这些根都是单根，则系统的零输入响应可以表示
为： 定解的条件
n
rzi (t) Cieit , i 1
t0
r(0 ), r' 0 L , r(n1) 0
r(0) 1 1 1 1 c1
r ' (0)
1
2
3
n
c2
r ' ' (0)
连续系统的时域分析
连续系统的时域分析
线性连续时间系统：建立并且求解线性微分方程。
在分析过程中，所涉及的函数的变量都是时间t，因此这 种分析方法称为时域分析法(time-domain method)。
微分方程的阶数就是系统的阶数，描述了系统的复杂度。 时域分析法直观，物理概念清楚，是变换域分析法的基础， 但其求解过程较为复杂。
齐次解做为系统的响应来说就是系统的自然响应 (natural response)。由系统的特征根决定。
特解的形式由激励函数的形式决定，这部分解是系统的 受迫响应(forced response)。
例：RLC电路如图见黑板
L d 2i(t) R di(t) 1 i(t) de(t)
dt
dt C
t
x(t)d x(t)
p dt
1 p=1 p
?
1 p t dx(t) x(t) x()
p
dt
当且仅当x() 0时等号成立
dx(t) dy(t) dt dt
x(t) y(t) C
px py x y
C x() y()
推论：当f(t)=g(t)，则pf(t)=pg(t)； 当1/pf(t)=1/pg(t)，则f(t)=g(t)
C1 6
(2). 当e'(t) e2t ,t 0,i(0) 1,i'(0) 0时的全解
解(2)：特征方程： 2 5 6 0 2, 3
齐次解为： in (t) C1e2t C2e3t
当e'(t) e2t时,其特解为： if (t) (B0 B1t)e2t
将其代入微分方程得： B1e2t e2t
)
bm1
dem1 dt
(t)
L
b1
de(t) dt
b0 e(t )
2. 常系数微分方程的求解：
a) 常系数微分方程的古典解法：直接法
i(t)(全响应) in (t)(齐次解) i f (t（) 特解）
齐次解是齐次方程的解：
d ni(t)
d n1i(t)
di(t)
dt an1 dt a1 dt a0i(t) 0
L
a1
di(t) dt
a0 i (t )
bm
d
m e(t ) dt
bm 1
dem1 (t) dt
L
b1
de(t) dt
b0 e(t )
线性时不变系统 <-> 常系数线性微分方程
d
n i (t ) dt
an 1
di n 1 (t ) dt
L
a1
di(t) dt
a0 i (t )
bm
d
me(t dt
2-2 系统方程的算子表示法
d ni(t)
di n 1 (t )
di(t)
dt an1 dt L a1 dt a0i(t)
d me(t)
dem1 (t)
de(t)
bm dt bm1 dt L b1 dt b0e(t)
微分算子：
p d dt
pn dn dt
积分算子：
1 t d
2、微分方程的求解：
数学上
齐次方程的解
自然响应
n个指数项之和，由n个初始条件决定
非齐次方程的特解
受迫响应
根据系统激励函数的具体形式求解
连续系统的时域分析
1、数学模型的确立： 线性时不变系统 <-> 常系数线性微分方程
2、微分方程的求解：
工程上
零输入响应： 系统在无输入激励的情况下仅由初 始条件引起的响应
系统的特征根决定了零输入响应的形式，系统的零输入响 应只包含有齐次解的部分。
注：初始条件 rzi (0 ) rzi (0 ) r(0 ), rzi '(0 ) rzi '(0 ) r'(0 )
零输入响应和零状态响应
r(t)(全响应) rzi (t)(零输入响应 ) rzs (t（) 零状态响应）
1、零输入响应： 系统在无输入激励的情况下仅由初始条件引起的响应。
D( p)r(t) 0
pn an1 pn1 L a0 r(t) 0
返回
1、一阶方程的求解：
( p )r(t) 0
dr(t) r(t) 0，即：dr(t)
dt
r(t)dt
ln r(t) t k
r(t) cet
系统的全解： i(t) e3t 2e2t te2t
自然响应 受迫响应
t0
注： i(0 )和i(0 )的区别
i(0 ) 包含了输入信号的信息，包括自然响应和受迫响应。
i(0 ) 仅有系统的历史状态决定，与外加激励无关，只包含 自然响应，用于描述系统的历史信息。
连续系统的时域分析
1、数学模型的确立： 线性时不变系统 <-> 常系数线性微分方程
C1 3, C2 2
系统的全解：
i(t) 3e2t 2e3t et
自然响应
受迫响应
例：RLC电路如图见黑板
L d 2i(t) R di(t) 1 i(t) de(t)
dt
dt C
dt
L 1, R 5,
(1). 当e'(t) 2et ,t 0,i(0) 2,i'(0) 1时的全解
常数c可以根据t=0时未加激励前的初始条件 决定，即：c=r(0)
2、二阶方程的求解：
( p2 a1 p a2 )r(t) 0 ( p 1)( p 2 )r(t) 0
即: ( p 1)r(t) 0 或: ( p 2 )r(t) 0
或: r(t ) c1e1t r(t) c2e2t
e(t) ai fi (t) rzs (t) airi (t)
i
i
➢ 选取什么样的子信号集？如何将任意信号分解成子信号 集的和？
➢ 如何求系统对子信号集的响应？ 是否能利用子信号间的 联系找到一个通用的表达式？
➢ 如何求得最后的响应：叠加积分的方法
（杜阿美积分，卷积积分）
零输入响应
零状态响应