随机过程6.3 齐次马氏链状态的分类(一)

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随机过程习题集-第四章马尔可夫过程

1第四章马尔可夫过程内容提要1. 马尔可夫过程的概念（1）马尔可夫过程给定随机过程{}(),X t t T ∈，如果对122,∀≥∀<<<∈n n t t t T ，有11221111{()|(),(),,()}{()|()}n n n n n n n n P X t x X t x X t x X t x P X t x X t x ----<====<=则称{}(),X t t T ∈为马尔可夫过程。

称(){}:,==∈E x X t x t T 为状态空间。

参数集和状态空间都是离散的马尔可夫过程称为离散参数马氏链. 参数连续、状态空间离散的马尔可夫过程称为连续参数马氏链. （2）k 步转移概率设{}(),0,1,2,=X n n 为离散参数马氏链，称()(),(,){|},0,1=+==≥≥i j p n k P X n k j X n i n k为{}(),0,1,2,=X n n 在时刻n 的k 步转移概率，称(),(,)((,)),P =∈i j n k p n k i j E为{}(),0,1,2,=X n n 在时刻n 的k 步转移概率矩阵. 特别地，当1k =时，在时刻n 的一步转移概率和一步转移概率矩阵分别简记为()ij p n 和()n P . （3）初始分布、绝对分布称((0)),,==∈i p P X i i E 为离散参数马氏链{}(),0,1,2,=X n n 的初始分布，记为0P ，称()(){},,==∈j p n P X n j j E 为马尔可夫链{}0n X n ≥的绝对分布，记为P n . （4）离散参数齐次马氏链设{}(),0,1,2,=X n n 是一离散参数马氏链，如果其一步转移概率()ij p n 恒与起始时刻n 无关，记为ij p ，则称{}(),0,1,2,=X n n 为离散参数齐次马氏链。

若{}(),0,1,2,=X n n2是离散参数齐次马氏链，则其k 步转移概率记为(),i j p k ，一步转移概率矩阵和k 转移概率矩阵分别记为P 和().P k(5) 离散参数齐次马氏链的遍历性离散参数齐次马氏链{X (n ) ,n=0,1,2… }，若对一切状态i ，j ，存在与i 无关的极限()()lim 0,ij j n p n i j E →+∞=π>∈则称此马氏链具有遍历性.0,1j j j Ej E ππ∈>∈=∑若且则称{},j j E π∈为离散参数齐次马氏链{X (n ) ,n=0,1,2… }的极限分布，或称为最终分布，记为{},j j E ∏=∈π（6）离散参数齐次马氏链的平稳分布离散参数齐次马氏链{X (n ) ,n=0,1,2… }，若存在{v j , j ∈E } 满足条件：1)0,2)13)j jj Ej i iji Ev j E vv v p ∈∈≥∈==∑∑则称此马氏链是平稳的，称 { v j , j ∈E } 为此马氏链的平稳分布。

六.马尔可夫链3

例6.3.2 设状态空间S={1,2,3,4,5}的齐次马氏链,一步转移概率矩阵为
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 0 1 0 1 1 3 0 0 0 0 0 1 0 0 0 2 3 0 0 0 0 ⎞ 0 ⎟ ⎟ 0 ⎟ 0 ⎟ ⎟ 1 ⎟ 0 ⎟ ⎠
P
试分析马氏链的状态的常返与否
随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林
(1) 若fii = 1, 则称状态i是常返的(返回的) 若fii < 1, 则称状态i是非常返的(滑过状态) (2) 若i是常返状态,且µii < +∞, 则称状态i为正常返状态.
若i是常返状态,且µii = +∞, 则称状态i为零常返状态. （消极常返状态） (3) 若di > 1, 则称状态i为周期状态,且周期为di . 若di = 1, 则称状态i为非周期状态. 若状态i是正常返的非周期状态.则称之为遍历状态.
随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林
µii = +∞ ⎧非常返 ⎪ di > 1 状态 ⎨ f = 1 ⎧零常返 ii ⎪ 常返 ⎪ ⎧ 周期 ⎨ µ < +∞ ii ⎩ ⎪正常返 ⎪ ⎨ di = 1 ⎩ ⎪非周期 ⎩
fii < 1
遍历态
随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林
状态类型的判断
⋅P ( X n = j X n −1 = in −1 )
= ∑ ∑ L ∑ pii1 ⋅ pi1i2 ⋅L ⋅ pin−1 j
i1 ≠ j i2 ≠ j in−1 ≠ j
随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林
(n) (3) pij = P{ X n = j X 0 = i}
= P{U ( X l = j, X k ≠ j, k = 1, 2,L , l − 1), X n = j X 0 = i}

(解答)《随机过程》第二章习题

第二章 Markov 过程习题解答1、设}1,{≥n n ξ为相互独立同分布的随机变量序列，其分布为：01}0{,0}1{>-===>==p q P p P n n ξξ定义随机序列}2,{≥n X n 和}2,{≥n Y n 如下：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=========----;1,1,3;0,1,2;1,0,1;0,0,01111n nn n n n n nn X ξξξξξξξξ ⎩⎨⎧===-;,1;0,0,01其它n n n Y ξξ试问随机序列}2,{≥n X n 和}2,{≥n Y n 是否为马氏链？如果是的话，请写出其一步转移概率矩阵并研究各个状态的性质。

不是的话，请说明理由。

解：（1）显然，随机序列}2,{≥n X n 的状态空间为}3,2,1,0{=S 。

任意取S i i i j i n ∈-132,,,,, ，由于当i X n =给定时，即1,-n n ξξ的值给定时，就可以确定1+n X 的概率特性，即我们有：}{},,,,{12233111i X j X P i X i X i X i X j X P n n n n n n ========+--+因此}2,{≥n X n 是齐次马氏链，其一步转移概率矩阵为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=p qp q p q p qP 0000000 由于01,0>-=>p q p ，画出状态转移图，可知各个状态都相通，且都是非周期的，因此此链是不可约的遍历链。

（也可以利用02>P 判定此链是不可约的遍历链）（2）显然，}2,{≥n Y n 的状态空间为}1,0{=S ，由于：}1,1{}1,1,0{}1,10{23234234=========Y Y P Y Y Y P Y Y Y P}0,1{}0,1,0{}0,10{23234234=========Y Y P Y Y Y P Y Y Y P由}2,{≥n Y n 的定义，可知}1,1,1{}1,1,0{}0,1,1{}0,1,0{}1,0,1{}1,1{12312312312312323===⋃===⋃===⋃⋃===⋃======ξξξξξξξξξξξξξξξY Y}1,1,0,0{}0,1,0,0{}1,1,0{12341234234====⋃========ξξξξξξξξY Y Y}0,0,1{}0,1{12323======ξξξY Y ， ∅====}0,1,0{234Y Y Y利用}1,{≥n n ξ是相互独立同分布的随机变量序列及其分布，我们有：322233}1,1{q q p pq Y Y P ++=== 223234}1,1,0{q p pq Y Y Y P +==== 223}0,1{pq Y Y P ===0}0,1,0{234====Y Y Y P即有：22222343}1,10{q p pq qp pq Y Y Y P +++==== 0}0,10{234====Y Y Y P由于01,0>-=>p q p ，因此有}0,10{}1,10{234234===≠===Y Y Y P Y Y Y P根据马氏链的定义可知}2,{≥n Y n 不是马氏链。

随机过程马氏过程

5
一齐次马氏链的遍历性
定义4.1 设齐次马氏链的状态空间为 E={1,2,…}，若对于E中所有的状态 i,j，存在不依赖于i的常数πj，为其转移概率的极限，即
lim p ij
n (n)
j,
i, j E
其相应的转移矩阵有
6
P
(n)
n P
P
(2)
P
2
即知其所有的二步转移概率均大于0，由定理 4.1知，此链具有遍历性.
11
再由转移概率与稳态概率满足的方程组得
1 1 1 2 3 0 1 2 2 1 1 2 1 2 0 3 2 2 1 1 0 1 2 3 3 2 2
(n) n
lim p 12
n
(n)
0 1 lim p 22 ,
(n) n
故由定义4.1知，此链不具有遍历性,也不存在稳态概率。
14
二齐次马氏链的平稳分布
定义4.2 设{X(n),n≥0}是一齐次马氏链，若存在实数集合{rj,j∈E}，满足
(1 )
(2)
rj 0
于是由此可推测
(n)
lim P
n
0 0 0
1/ 2 1 0
1/2 0 1
4
因此,一般来说，通常讨论关于齐次马氏链的n步转移概率的两方面问题，一是其极限是否存在？二是如果此极限存在，那么它是否与现在所处状态i无关，在马氏链理论中，有关这两方面问题的定理，统称为遍历性定理。

i E
p i ( 0 ) p ij
(1 )
(n)

《随机过程答案》第二章习题答案

第二章Markov 过程习题完整答案，请搜淘宝1、设}1,{≥n n ξ为相互独立同分布的随机变量序列，其分布为：01}0{,0}1{>-===>==p q P p P n n ξξ定义随机序列}2,{≥n X n 和}2,{≥n Y n 如下：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=========----;1,1,3;0,1,2;1,0,1;0,0,01111n nn n n n n nn X ξξξξξξξξ ⎩⎨⎧===-;,1;0,0,01其它n n n Y ξξ试问随机序列}2,{≥n X n 和}2,{≥n Y n 是否为马氏链？如果是的话，请写出其一步转移概率矩阵并研究各个状态的性质。

不是的话，请说明理由。

2、天气预拨模型如下：今日是否下雨依赖于前三天是否有雨（即一连三天有雨；前两天有雨，第三天是晴天；…），试将此问题归纳为马尔可夫链，并确定其状态空间。

如果过去一连三天有雨，今天有雨的概率是0.8；过去三天连续为晴天，而今天有雨的概率为0.2；在其它天气情况时，今日的天气和昨日相同的概率为0.6。

试求此马氏链的转移概率矩阵。

3、设}0;{≥n X n 是一齐次马氏链，状态空间为}2,1,0{=S ，它的初始状态的概率分布为：4/1}0{0==X P ，2/1}1{0==X P ，4/1}2{0==X P ，它的一步转移转移概率矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4341031313104341P （1）计算概率：}1,1,0{210===X X X P ；（2）计算)3(12)2(01,p p 。

4、独立地连续抛掷一颗质地均匀的骰子，以n ξ表示前n 次抛掷出的最大点数，试证明}1;{≥n n ξ是一马氏链，并求其n 步转移概率矩阵。

5、设有一个三个状态}2,1,0{=S 的齐次马氏链，它的一步转移概率矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=33221100p q q p q p P 试求：（1） )3(01)2(01)1(01)3(00)2(00)1(00,,,,,f f f f f f ；（2）确定状态分类，哪些属于常返的，哪些属于非常返的。

马尔可夫链

n
n
P{Tij l, X n j | X 0 i} P{Tij l | X 0 i}P{X n j | Tij l, X 0 i}
l 1
l 1
n
fij (l)P{X n j | X 0 i, X1 j, X l1 j, X l j} l 1
n
n
fij (l)P{X n j | X l j} fij (l)Pjj (n l)
p
j
jl
n
m
p
j
i
mpii
n
pij
l
pii
n
定理8 若 i j ，则（1）i与j同为常返或同为非常返；（2）若i与j常返，则i与j同为正常返或同为零常返；（3）i与j或同为非周期的，或同为周期的且有相同的周期。
遍历性与平稳分布
1 遍历性
定义1 设齐次马氏链 {X (n), n 0}的状态空间为E，若对一切 i, j E ，存在不依赖于i的极限
显然有
fij () P{Tij } 1 fij
（i 不能到达 j 的概率）
0 fij (n) fij 1
fjj 表示从 j 出发迟早返回 j 的概率
定理4：对任何状态 i, j G, n 1, 有
n
pij n fij lp jj n l i 1
证明：
pij (n) P{X n j | X 0 i} P{Tij n, X n j | X 0 i}
则称马尔可夫链具有遍历性。并 p j称为状态j的稳态概率。
定理9
对于一有限状态的马氏链，如 m 0,对一切i, j I, pij m 0
则此链具有遍历性。且 p j p1, p2,p3, , pN
是

马氏链状态的基本属性

n
p ij
(n)
P { ( X l j , X k j , k 1, 2 , , l 1), X n j X 0 i }
l 1
n
P { ( X l j , X n j , X k j , k 1, 2 , , l 1) X 0 i }
f ji 0
i j， j i i j
引理 6 设 i , j S , i j， j 是常返状态， j i
则 i j, 且 f ij f ji 1
证
令 j f ji 表示从状态 j出发最终到达状态 i而中间不经过 j的概率 .
l 1
n
P { ( X l j , X k j , k 1, 2 , , l 1, X n j ) X 0 i }
l 1

P(X
l 1
n
l
j , X k j , k 1, 2 , , l 1, X n j ) X 0 i }

P { ( T j n ) X 0 i )}
n 1

P (T j n ) X 0 i ) f ij
(n)
n 1

n 1
f ij
系统从状态i出发,首次到达状态j的平均转移步数
(3) ij E[T j X 0 i ]

n P (T
n 1
为系统首次到达状态 j的时间，简称首达时 .
当 {n n 1, X n j} 时，定义T j
引理2

《马氏链及其应用》课件

马氏链的性质
总结词
马氏链具有无记忆性、强马尔可夫性和转移概率性等性质。
详细描述
马氏链的一个重要性质是无记忆性，即下一个状态与过去状态无关，只与当前状态有关。此外，马氏链还具有强马尔可夫性和转移概率性等性质，这些性质使得马氏链在描述随机现象时具有独特的优势。
马氏链的分类
要点一
总结词
马氏链可以分为离散时间和连续时间的马氏链，以及有向和无向的马氏链。
机器学习算法
马氏链在强化学习中用于估计策略值函数和近似最优策略，提高机器学习的效率和准确性。
图像处理
通过马氏链模拟图像的随机过程，实现图像的降噪、增强和修复等处理。
数据压缩
利用马氏链对数据进行编码和压缩，降低存储和传输成本，提高数据处理的效率。
在其他领域的应用
物理学中的随机过程模拟
在生态领域的应用
种群动态模拟
01
马氏链用于模拟物种数量的变化过程，研究种群的增长规律和
生态平衡机制。
生态系统稳定性分析
02
通过马氏链分析生态系统中的反馈机制和稳定性条件，评估生
态系统受到干扰后的恢复能力。
生物多样性保护
03
利用马氏链预测物种的灭绝风险和保护策略，为生物多样性保
护提供科学依据。
在计算机科学领域的应用
马氏链面临的挑战和问题
理论体系的完善
马氏链理论体系仍需不断完善和发展，以适应不断涌现的新问题和挑战。
应用领域的拓展
尽管马氏链在某些领域已经取得广泛应用，但仍需拓展更多应用领域，解决实际问题。
计算效率的提高
随着数据规模的增大，如何提高马氏链的计算效率成为亟待解决的问题。
THANKS

马氏链分类

马氏链分类马氏链是一种数学模型，用于描述随机过程中的状态转移规律。

它可以用来分类和分析各种现象，从社会科学到自然科学都有广泛的应用。

本文将以马氏链分类为题，从不同领域的实际案例入手，以人类的视角进行叙述，让读者能够更好地理解和感受马氏链的分类方法。

一、社会科学领域在社会科学领域，马氏链分类可以用来研究人们的职业选择和升迁情况。

假设我们有一个大学毕业生群体，他们可以选择进入不同的行业工作。

我们可以建立一个马氏链模型，来描述他们在不同行业之间的转移情况。

通过分析大量的数据，我们可以计算出每个行业的吸引力和升迁概率，从而为毕业生提供职业选择的建议。

二、自然科学领域在自然科学领域，马氏链分类可以用来研究动物的迁徙和栖息地选择。

以候鸟为例，它们在不同季节会迁徙到不同的地方。

我们可以建立一个马氏链模型，来描述它们在不同地区之间的转移情况。

通过分析大量的迁徙数据，我们可以了解候鸟的迁徙路径和迁徙规律，从而为保护候鸟提供科学依据。

三、经济金融领域在经济金融领域，马氏链分类可以用来研究股票市场的行情变化和投资组合的优化。

假设我们有一组不同类型的股票，我们可以建立一个马氏链模型，来描述它们之间的转移情况。

通过分析历史数据，我们可以计算出每只股票的涨跌概率和相关性，从而优化投资组合的配置，降低风险，获得更好的收益。

四、医学健康领域在医学健康领域，马氏链分类可以用来研究疾病的发展和治疗效果。

以癌症为例，我们可以建立一个马氏链模型，来描述癌症患者的不同病情状态之间的转移情况。

通过分析大量的临床数据，我们可以预测疾病的进展和治疗效果，从而为医生提供个体化的治疗方案。

通过以上实际案例的描述，我们可以看出马氏链分类在不同领域中的应用和意义。

它可以帮助我们理解和预测各种现象的发展趋势，为决策提供科学依据。

同时，我们也要意识到马氏链分类的局限性，它是基于历史数据和概率统计的方法，不能完全预测未来的变化。

因此，在实际应用中需要结合其他方法和考虑实际情况，以提高分类的准确性和可靠性。

马氏链理论与随机过程的连接

马氏链理论与随机过程的连接马氏链理论是概率论中非常重要的一个分支，它主要研究随机过程中状态与状态之间的转移概率以及状态的演变规律。

随机过程则是一种在时间或空间上随机变化的数学模型。

马氏链理论与随机过程之间有着密切的联系，下面将详细探讨二者之间的关系。

1. 马氏链理论的基本概念马氏链是一个具有马氏性质的随机过程，其特点是在给定当前状态下，其未来状态只依赖于当前状态，而与过去的状态无关。

这一性质称为马氏性。

马氏链理论主要研究马氏链的性质及其在不同领域中的应用。

2. 马氏链的应用领域马氏链理论在众多领域中都有着广泛的应用，如金融工程、生态学、信号处理等。

以金融工程为例，股票市场的涨跌可以看做是一个随机过程，而马氏链理论可以用来描述市场的波动规律，从而帮助投资者做出正确的决策。

3. 马氏链与随机过程的联系马氏链可以被看作是一个离散时间的马氏过程，而随机过程则是一个更加广泛的概念，包括了连续时间的随机变量。

马氏链理论是随机过程理论的一个重要组成部分，通过研究马氏链的性质，可以更好地理解随机过程的基本规律。

4. 马氏链与随机过程的统一性马氏链理论和随机过程理论虽然有着一定的差异，但二者又有着紧密的联系和统一性。

马氏链可以被看作是随机过程的一个特例，是随机过程理论中的一个重要分支。

通过对马氏链的研究，可以更好地理解随机过程的特性和规律。

总之，马氏链理论与随机过程有着密切的联系与相互作用，通过研究二者之间的关系，可以更好地理解和应用概率论在实际问题中的解决方法。

希望本文能够帮助读者更好地理解马氏链理论与随机过程的连接。

随机环境马氏链的状态分类

１引言及符号．
＝
｛，２）ｏ，… 为非负数整数集，＝＝ ‘ ＝．ｌ，ｎ面Ｏ，
ｆ＊
一
１
Ｊ
：＋为坐标函数（０＿＠ｎＥｚ，ｒＯｌｎｌ１（ｏ≤ｋ）Ａ（（ｋ＜ — ＋）ｏ ≤∞）一，
ｃｃ令Ｔｎ—ｎ为推移算子，：＝０Ｂ＝Ｂ：即Ｖ０（，ｎＥＺＥＴ０：００）（）０，（）丌是可测空问（）ＶＥＺ令ｎ，上任一概率测度，且满足丌・＝于ｒ丌，是ｆ，０ｎＥｚ是概率空间（，，－值于０的严平稳序列。ｌｎｗ）ｌ取
ｒｃｒｅｔｓａｅｕｄｒｓｍｅｃｎｉｉｎｅｕｒｎｔｔｎｅｏｏｄｔｓ．ｏ
Ｋｅｏｄ：ＭａｋｖＣａｎｎＲｄｍｎｉｎｎｓｓｏｇｃｒｎｓａｗａｃｒｎｔｔｌ－ｒｄｃｂｌｙｙｗｒｓｒｏｈｓａｏＥｖｒｍｔ；ｔｎｌｒｕｅｔｔｔｅｒｕｒｔａｅ；卜Ｉｅｕｉｉｔｉｉｎｏｅｒｙｅｅ；ｋｅｅｓｌｒｉ
ＣｈｉｅｔａｆＳａｔｓＯｎＭａｋｖＣｈａｎｉｎｄｍｍｓｆａｉｎｏｔｅｒｏｉｉｎＲａｏＥｎｖｒｎｅｔｉｏｍｎＧｕｏｇｎｇｙｏｕａ－ａ
（ｎｔｕｅｏｃｅｃ，ｕａｎｔｕｅｏｅｈｏｏｙｈｈｉＷｕａ，３０３ＩｓｉｔｆｉｎｅＷｈｎＩｓｔｔｆＴｃｎｌｇ，ｕｅ，ｔＳｉｈｎ４ｏ７）ＡｂｔａｔＬｔｌｅＭａｋｖＣａｎｎｒｎｏｎｉｎｎｓｉｏｎａｌＳａａｅＩｉｐｐｒｆｓｏｌｗｅｎｐｒｏｈｉｓｓｒｃ：ｅ｛ｒｏｈｉｓａｄｍｅｖｒｍｅｔｗｔｃｕｔｂｅｔｔｓｃ．ｎｔｓａｅ，ｒｔｆｌ，ｅｄｆｅＨｏｆＭａｋｖＣａｎｘｂｉｏｈｅｐｈｉａｉａｄｓｅｒｕｔｒｏｈｉ．ｎｏｈｒｃｅｕｂｒｏｋｗｐｄｃＭａｋｖｃａ．ＢｈｓｈｒｃｅｕｂｒｗｎｒｄｃｏｅｂｓｎｋｗｐｏｃＭａｋｖｃａａｄｓｍｅｃａａｔｎｍｅｓｆｓｅｒｕｔｒｏｈｉｄｎｒｏｎｙｔｅｅｃａａｔｒｍｅｓ，ｅｉｔｕｅｓｍａｉｎｏｃ

随机过程6.3 齐次马氏链状态的分类(二)

电子科技大学
续EX.3 醉汉问题
酒吧
家
12
3
4
5
醉汉在街上徘徊, 在每一个街口以1/3的概率停下, 以1/3的概率向前或向后.
若他又返回酒吧或到家门, 不再游动 .
状态转移图为
电子科技大学
1
1/3
1/3
1/3
1
1/3
1/3
1/3
1
2
3
4
5
1/3
1/3
1/3
分析状态“2”的类型很困难.
先讨论状态“3”的类型.
常返态仅到达有限次. 即在进行限次经营后, 企业或者破产或者
达到目标值N.
现需求 fiN ?, i 1,2, , N 1.
电子科技大学
解记 fi ˆ fiN P{经有限步最终达到N X (0) i} 根据定理6.3.9的结论，有
fi pfi1 qfi1, i 1,2, , N 1,
推论齐次马氏链不可约的充要条件是它的任意两个状态均互通.
电子科技大学
定理6.3.8 分解定理
齐次马氏链的状态空间可唯一地分解成有限个或可列多个不相交的状态子集之并.
E=N∪C1∪C2∪… 其中 1）N是所有非常返态所成之集；
2）每个Cn,（n=1,2,…）均为常返状态组成的不可约闭集.
电子科技大学
EX.4 设马氏链的状态空间E={1,2,3,4,5}, 其一步转移矩阵为
1
2
1
P

4 0
0
0
1
1 00
2
300
4
001
0
1 2
0
001
2电子科3 技大4学

随机过程(七)-马氏链

第四章Markov过程主要内容⏹离散时间Markov链⏹转移概率⏹平稳分布⏹状态分类⏹极限定理⏹连续时间Markov链⏹Kolomogrov微分方程⏹连续时间马氏过程第一节离散时间Markov 链一、Markov 链的定义⏹ 直观含义：要确定过程将来的状态，只需知道过程现在的状态就足够了，并不需要知道过程以往的状态。

⏹ 定义：随机过程{,0,1,2,}n X n =⋅⋅⋅称为马氏链（Markov 链），若它只取有限或可列个值E 0, E 1,E 2,…，且对任意的n ≥0及状态011,,,,,n i j i i i -⋅⋅⋅有10011111{|,,,,}{|}n n n n n n P X j X i X i X i X i P X j X i +--+===⋅⋅⋅=====用条件概率的语言来说11011{,,|,,,}{,,|}n n k k n k k n P X j X j X X X P X j X j X ++==⋅⋅⋅===注：1、E 0, E 1,E 2,…称为Markov 链的状态，通常用0，1，2，…来标记E 0, E 1,E 2,…。

{0，1，2，…}称为过程的状态空间，记为S 。

2、若Markov 链的状态是有限的，则称为有限链，否则称为无限链。

2、条件概率11{|}n n n n P X i X i --==，n ＝1，2，……称为Markov 链的一步转移概率。

3、若转移概率1{|}n n P X j X i -==只与状态,i j 有关，而与时间n 无关，则称该Markov 链是时齐Markov 链，并记1{|}ij n n p P X j X i -===，否则称Markov 链是非时齐的。

矩阵000102101112012()ij ij Sn n n p p p p p p P p p p p ∈⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭称为转移矩阵。

4、(){|}k ij n k n p P X j X i +===称为k 步转移概率，()k P 称为k 步转移矩阵。

马氏链模型1

第十一章马氏链模型一、预备知识。

1、随机过程的概念。

定义：设集合{}T t t ∈:ξ是一族随机变量，T 是一个实数集合，如果对于任意T t ∈，t ξ是一个随机变量，则称{}T t t ∈:ξ是一个随机过程。

其中：（1）t 为参数可以认为是时间，T 为参数集合。

（2）随机变量t ξ的每一个可能值，称为随机过程的一个状态。

其全体可能值构成的集合，称为随机过程的状态空间，用E 表示。

（3）当参数集合T 为非负整数集时，随机过程又称为随机序列。

随机序列可用{} ,3,2,1:=n n ξ表示。

当T 为时间时，该随机序列就是时间序列。

如：（1）用t ξ表示“t 时刻，某商店的库存量”，则{}),0[:+∞∈t t ξ就是一个随机过程。

（2）用t ξ表示“t 时刻，某商店的销售额”，则{}),0[:+∞∈t t ξ也是一个随机过程。

（3）用t ξ表示“在一天中t 时刻，某地区的天气状况”，则{}]24,0[:∈t t ξ是一个随机过程。

（4）用t ξ表示“在一天中t 时刻（整数），某城市的出租汽车的分布状况”，则{}24,,2,1,0: =t t ξ是一个随机时间序列。

马氏链，也称为马尔可夫链，就是一个特殊的随机时间序列，也为随机序列。

2、马尔可夫链——马氏链。

定义：设{} ,3,2,1:=n n ξ是一个随机序列，状态空间E 为有限或可列集。

若对于任意正整数m 、n 。

如果E i ∈、E j ∈、E i k ∈ （1,,2,1-=n k ）满足)(),,,(1111i j P i i i j P n m n n n n m n =======+--+ξξξξξξ成立，则称随机序列{} ,3,2,1:=n n ξ为一个马尔可夫链，简称为马氏链。

从该定义可知：（1）如果将随机变量n ξ的下角标n ，理解为步数。

则随机变量n ξ就是从起始点经过n 步，到达的随机变量。

（2）随机变量)(i n =ξ，是指第n 步时的随机变量n ξ所处的状态i 。

马尔科夫链的状态分类要点

0
由定理2得
n
p ( n ) ij
f p (m) (nm)
ij
jj
0
m1
从而
f (1) ij
，
f (2) ij
，…，
f
(n) ij
中至少有一个为正，
所以 fij
f (m) ij
0
m1
必要性
设 fij 0 因为 fij
f (m) ij
m1
所以至少有一个 n
1 ，使
f (n) ij
0
由定理2得
n
p ( n ) ij
m1
f p (m) (nm)
ij
jj
f p (n) (0) ij jj
f (n) ij
0
所以 i j
推论 i j 的充要条件是 fij 0 且 f ji 0
3．常返态与瞬时态
若 fii 1 则称状态i为常返态
若 fii 1 则称状态i为瞬时态
注 “常返”一词，有时又称“返回”、“常驻”或“持久 “瞬时”也称“滑过” 或“非常返”
j；X m
j,
m 1,2,, n 1| X0 i}
0
f (n) ij
fij
1
对于首次到达时间 Tij 当i j 时
Tii min{ n：X 0 i, X n i, n 1}
表示从状态 i出发首次返回状态i所需的时间
相应的 fii 便是从状态i出发，经有限步终于返回状态 i的概率，
fii
将C按互通关系分类：在 C 中任取一个状态i1 ，
凡是与 i1 互通的状态组成一个集合，记为 C1 ；
在组成C1
后，如果还有余下的状态，那么再从余下的状态中任取一个状态 i2

齐次马尔可夫链

・齐次马尔可夫链作者：日期:第二节齐次马尔可夫链一、齐次马尔可夫链的概念一个随机过程｛Xn, n = 0, 1, 2,・・・｝就是一族随机变量，而Xn能取的各个不同的值，则称为状态。

如果一个随机过程｛Xn, n-0, 1,2,山一种状态转移到另一种状态的转移概率只与现在处于什么状态有矢，而与在这时刻之前所处的状态完全无矢，即如果过程｛Xn, n=0, 1,2,-｝中，Xn+1的条件概率分布只依赖于Xn的值，而与所有更前面的值相互独立，则该过程就是所谓马尔可夫（Markov）过程.马尔可夫链是指时间离散，状态也离散的马尔可夫过程。

一个马尔可夫链，若从u 时刻处于状态i,转移到t+u时刻处于状态j的转移概率与转移的起始时间U无矢，则称之为齐次马尔可夫链，简称齐次马氏链。

如果把从状态i到状态j的一步转移概率记为Pij,则Pij=P ｛X八=j I Xn=i｝ i, j = 0, 1, 2,…，且有转移概率矩阵P,这样，一个齐次马氏链，可以山一个转移概率矩阵P以及在时刻零时状态x=0, 1, 2,…的概率分布列向量Q= （q （0） , q⑴，…）完全确定。

由齐次马氏链性质知道，第i状态的行向量Ai与第i + 1状态的行向量Ai+i之间存在着矢系式：Ai+i=AiP o二、齐次马氏链在评估教学质量中的应用教学过程是一个随机过程，也就是说，对于具有相同基础知识背景的学生（个体），在同时接受新知识时是随机的。

我们可以把一个班（群体）的学生划分为不同的等级（譬如：优、良、中、及格、不及格五个等级），近似地认为处于同一等级的学生具有相同的基础知识，用齐次马氏链，通过学生学习状态的转移概率矩阵，最终可以预测一个班学生学习成绩的稳定状态。

对教师而言，也就可用来评估、预测一个班的教学质量。

在教学效果指标的量化过程中'齐次马氏链评估法是将一个群体（如一个班或一个年级）的学生在某次考试中获得优（90分以上）、良（80〜89分)、中(70〜79分)、及格(60〜69分)和不及格(59分以下)各等级学生人数占总人数之比，作为状态变量，并用向量表示之。

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0
0

P 0 0
0
111 333
0
0 0
1 3 0
1 3 0
113
考虑各状态的类型.
电子科技大学
状态示意图：
1
1/3
1/3
1/3
1
1/3
1/3
1/3
1
2
3
4
5
1/3
1/3
1/3
解
1)因
p（111）
f（1） 11

1,
f（11n） 0 (当n 2),
d(1) 1,
电子科技大学
1 0 0 0 0
1 3
1 3
1 3
0
0

P 0
0
1 3 0
1
3 1
1
3 1

0
1

3 3 3
0 0 0 0 1
有两个吸收状态“1”和“5”
若不许他再进入酒吧, 又被家人赶出门, 则转移矩阵为
电子科技大学
0 1 0 0 0
1 3
1 3
{X(0) i, X(n) j}
U n

{X (0) i, X (n) j}I {Tij m}
m1

电子科技大学
U n

{X (0) i, X (n) j} I {Tij m}
n
m1

{ X (0) i, X (n) j,Tij m}

计算
p(n 22
)很
困
难.
n1
一般计算 lim n
p (n) jj

0也困难.
常返意义解释:
令
Y
(n)

1, 0,
X (n) j; X (n) j.

则 Y (n)表示到达状态 j 的次数，有
n1
电子科技大学

E[Y X (0) j] E[ Y (n) X (0) j]
电子科技大学
注 fii=1表示系统从状态i 出发几乎必定会返回状态 i .
定义6.3.6 对常返状态i∈E, 平均返回时间为μii，
若μii<+∞, 称状态i 是正常返的；若μii= +∞, 称状态i 为零常返的.
定义6.3.7 称非周期正常返的状态为遍历状态.
电子科技大学
以三个层次区分状态类型
电子科技大学
续EX.1 设系统有三种可能状态E={1,
2 ,3}, “1”表示系统运行良好, “2”表示系统运
行正常，“3”表示系统失败.
p11
P

p21
p31
p12 p22 p32
p13 p23 p33

17 20
0

0
2 20
9 10 0
T13 是系统的工作寿命，有
n1

E[Y (n) X (0) j]
min{ n1, n2 , , nk , } n1
注 1 Tij 表示从 i 出发首次到达 j 的时间, Tii 表示从 i 出发首次回到i 的时间.
注 2 Tij 与首达概率之间有关系式：
1) fi(jn) P{Tij n X (0) i}, i, j E, n , 1,2, 2) fij P{Tij X (0) i}, i, j E.
状态
首返概率
非常返态
零常返态
常返态正常返态
平均返回时间
周期
电子科技大学
有周期非周期
遍历态
EX.3 醉汉问题
酒吧
家
12
3
4
5
醉汉在街上徘徊, 在每一个街口以1/3的概率停下, 以1/3的概率向前或向后.
若他又返回酒吧或到家门, 不再游动 .
状态空间为E=｛1,2,3,4,5｝运动的转移矩阵为
电子科技大学
1) fjj= 1, 即 j 的最终返回概率是1.
定义

2)
p(n) jj

;
n1
常返态判别准则
3) P{Tjj X(0) j} 1.
注从常返状态j 出发, 首次返回状态j 的
转移次数是有限次.
推论1 状态j 是非常返的，当且仅当以下三个条件之一成立
电子科技大学

(1)2 , 3
f
(3) 22

p23 p33 p32
电(13子)科3 ,技大f2学(2n)
?
(n 4)

计算 f22 f2(2n)非常困难.
n1
提示请考虑状态“3”的类型.
二、状态类型判别
从定义出发判别状态类型十分困难, 可通过不同类型状态所具有性质来区别它们.
定理6.3.3 状态j∈E是常返状态, 当且仅当以下三个条件之一成立
2 ,3}, “1”表示系统运行良好, “2”表示系统
运行正常，“3”表示系统失败.
该系统的状态“3”是吸收态, 经有限步均
会被吸收, 直观分析可得
0 0 1
lim
n
P (n)

0
0
1
0 0 1
有必要分析各种状态的类型.
电子科技大学
定义6.3.4 对i∈E, 若正整数集
{n
EX. 2 在股票交易过程中令状态空间为
E={－1, 0, 1}
各状态分别代表“下跌”、“持平”、“上升”
若X(0)=0, 有 n1 n2 nk 使
电子科技大学
X (n1) 1, X (n2 ) 1, , X (nk ) 1, 则 t01 min{ n : X (nk ) 1, X (0) 0}
11

nf1(1n)
1,
f11

f1(1n)
1,
n1
n1 电子科技大学
状态1是非周期的正常返的，即为遍历状态.
同理 , 状态5 也是非周期的正常返的.
2) 考虑状态“2”的类型
1/3
1/3
1/3
1/3
1/3
2
3
4
1/3
1/3
f
(1) 22

1, 3
f
(2) 22

p23 p32
f1(31)

P{T13
1
X (0)

1}
p13

1, 20
电子科技大学
1 20
1110
f1(32) P{T13 2 X (0) 1}
……
21

p11 p13

p12 p23

, 400
P{T13 n}是系统在[0, n]内运行的可靠性, 有

P{T13 n} P{T13 k X (0) 1} f1(3n)
注
若
p (n) ii

0，则有正整数m,
使得n=mdi,
且 di 是满足mdi= n 的最大整数, hi 也相同.
引理1 hi 和 di 同时有定义, 且二者相等.
以下根据状态的返回概率fii 对状态进行分类.
定义6.3.5 对状态i∈E, 最终返回概率为fii，若 fii=1，称状态i 是常返的；若 fii<1，称状态 i 是非常返的(或滑过的).
以X(n)表示系统在n 时刻的状态, 并设 {X(n),n≥0}是一马氏链. 在没有维修及更换的条件下, 其自然转移概率矩阵为
p11
P

p21
p31
p12 p22 p32
p13 p23 p33

17 20
0

0
2 20
9 10 0
1 20
1110

ik j

P {X(1) i1, , X(n 1) in1, X(n) j} X(0) i
i1 j i2 j in1 j

i1 j

i2 j

in1
P{ X (1)
j

i1,
,
X(n
1)

in1,
X (n)
kn
kn
研究首达概率和首达时间有实际工程意义.
电子科技大学
定理6.3.2 对i, j E 及 n 1，任意步转移
概率与首达概率有关系式
证因故
n
p(n) ij

f p (m) (nm)
ij
jj
m1
n
U {X (0) i, X (n) j} {Tij m}
m1

ij E[Tij ]
nf
( ij
n
)
n1
为从状态 i 出发, 到达状态j 的平均转移步
数(时间).
特别当i=j 称 jj 为状态j 的平均返回时间；
f jj : 状态 j 的最终返回概率；
f
(n) jj
:
为从状态j
出发经n步首次返回的概率；
电子科技大学
2. 状态类型分类
续EX.1 设系统有三种可能状态E={1,
m1
p(n
X (0)
i}

P mn1{Tij
m, X (n)
j}
X
(0)

i

n
P{Tij m X (0) i}P{X (n) j X (0) i,Tij m}