第13章 矩阵位移法
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的，不是新东西，但有几点新考虑：重新规定正负规则，以矩阵 的形式表示，讨论杆件单元的一般情况。
▪杆端局部编码与局部坐标系
1
E，A，I
2
局部坐标系中的杆端位移分量
e
x
局部坐标系中的杆端力分量
y
u1 e
X1 e
q1
v1
{ }D
e=
q1
u2
v2
q2
Y1
{ }F
e
=
M1
X2
Y2
M2
u1 v1
M1 X1 Y1
Y2
@
X
1
Y1
cos sin -sin cos
有限单元法的两个基本环节： 1）单元分析：建立单元刚度方程，形成单元刚度矩阵(物理关系) 2）整体分析：由单元刚度矩阵形成整体刚度矩阵，建立结构的
位移法基本方程(几何关系、平衡条件)
3
§13-2 单元刚度矩阵（局部坐标系）
(element stiffness matrix)
单元刚度矩阵是用来表示杆端力与杆端位移之间的物理关系
手算：怕繁，讨厌重复性的大量运算，追求机灵的计算技巧，
运算次数较少的方法。
电算：怕乱，讨厌头绪太多，零敲碎打的算法，追求计算过
程程序化，通用性强的方法。 矩阵位移法（有限单元法finite element method）的基本思路是：
先将结构离散成有限个单元，然后再将这些单元按一定条件 集合成整体。这样，就使一个复杂结构的计算问题转化为有限 个简单单元的分析与集成问题。
2
Y1
Y1
解的 {D}e { } 为任何值时， F e
性质 都有唯一的解答。且总是一 个平衡力系，不可能是不平
{F}e { } 为不平衡力系时 D e
没有静力解。
{ }e F 为平衡力系时
{D}e
衡力系。
有无穷多组解。
8
▪特殊单元
单元的某个或某些杆端位移的值已知为零。如梁单元、柱单元。 特殊单元的单元刚度矩阵，可由一般单元的单元刚度矩阵删除 与零杆端位移对应的行和列得到。
D = v2 -v1,
M1
=
4EI l
q1
+
2
EI l
q
2
+
6EI l2
(v1
-
v2
)
Y1 = -QAB ,
M
2
=
2
EI l
q1
+
4EI l
q
2
+
6EI l2
(v1
-
v2
)
Y2 =QBA
Y1
=
6EI l2
(q1
+q
2
)
+
12 l
EI
2
(v1
-
v2
)
Y2
=
-
6EI l2
(q1
+q
2
)
-12 l
EI
2
(v1
2）其中每个元素称为单元刚度系数，表示由于单位杆端位移
引起的杆端力。如 kk6ij3 第 三j 个杆端位移分量 Dqj1 =1时引起的第 六i
个杆端力 M 2
kij = k ji 反? 力互等定理
6
3）单元刚度矩阵是对称矩阵。 4）第k列元素分别表示当第k个杆端位移=1时引起的六个杆 端力分量。 5）一般单元的单元刚度矩阵是奇异矩阵。 [k ]@ = 0
1
MATRIX DISPLACEMENT METHOD
❖ ❖ ❖ ❖ ❖ ❖ ❖
基本要求：
上忽计等整单基
熟练掌握两种坐标系中的单元刚度矩阵、 结构的整体刚度矩阵、等效结点 荷载的形成，已知结点位移求单 元杆端力的计算方法，整体刚度 矩阵和结构结点荷载的集成过程。
理解单元刚度矩阵中和整体刚度矩阵中的 元素的物理意义。
不存在逆矩阵 {F }@ = [k ]@{D}@
{D}e {F}e 正问题 {F}e {D}e 反问题
力学
{ } { } 模型
X将控1 单制元的M视附1 为加“约两束端的有杆M六件2个”人工
D e 控制附加约束加以Y指2 定X。2
将件XF单”1 元。e 视M直指1为接定“加的两在杆端自端自由力由端M的作Y22杆为X
▪单元坐标转换矩阵
x α
来自百度文库
X1 = X1 cos + Y1 sin
Y1 = - X1 sin + Y1 cos
M1 = M1
X 2 = X 2 cos + Y2 sin Y2 = - X 2 sin + Y2 cos
M2 = M2
局部坐标系
y 中的杆端力
X1
M1
x
α
M2
Y1 整体坐标系
中的杆端力
X2
y
了解不计轴向变形时矩形刚架的整体分析.
机 作
略 轴 向 变 形 时 的 整 体 分
算 步 骤 和 算
效 结 点 荷
体 刚 度 矩
元 刚 度 矩
本 概
业析例载阵阵念
2
§13-1 概述 矩阵位移法以传统的结构力学作为理论基础，以 矩阵作为数学表达形式，以电子计算机作为计算手段， 三位一体的方法。
手算与电算的不同：
1q1
2
u1 =v1 =u2 =v2 =0
q2
M1
M2
为k 了= 使24EE计ll II算过42EEll程II程 序化、-E标E00lAA准化162llE00、E23II 自1 动64lEE00l2化II ，只-EE00Al采A 用--2一16200llEE23般II 单元62lEE00l2II
v（1 13—6）
q1 单元刚
u2 度矩阵
l 0
0
12EI
l3
-
6EI l2
-
6E l2
I
4EI
v2
q2
l
{F }@ = [k]@{D}@
▪单元刚度矩阵的性质
{F1}@
= [k11]
[k12
]
@
{D1}@
{F2} [k21] [k22 ] {D2}
（13—5） 单元刚度方程
1）单元刚度矩阵是杆端力用杆端位移来表达的联系矩阵。
的机某刚程些度 序 特矩去殊阵自单作动元为形的标成刚准。度形矩式阵。是00l 各可种逆-61l2E特的l2E3I I殊。单-26Ell元E2II 的刚00l度矩-1阵26llE3E2有II 计-算46lElE2II
9
§13-3 单元刚度矩阵（整体坐标系）
•选局部坐标系推导单元刚度矩阵方便且单元刚度矩阵的形式简单。 •选整体坐标系是为进行整体分析。按一个统一的坐标系来建立各 单元的刚度矩阵
-
v2
)
X1
e
EA
l
Y1
0
k = M1 e
X2
0
- EA
l
Y2
0
M2
0
0
12EI l3 6EI l2
0
-12lE3 I 6EI l2
0
6EI l2 4EI
l
0
-
6E l2
I
2EI
l
e
5
- EA l 0
0 EA
0
-
12EI l3
-
6EI l2
0
0
6EI
l2
2EI
l
0
u1 e
l
q2
v2 u2
M2 Y2 X 2
▪单元刚度方程
X1
M1
M2
4
DF 方程
v1
由虎克定律：N
=
EA l
Dl
Y1 u1
q1
X1 = -N , X 2 = N , Dl =(u2 -u1)
X1 = ElA(u1 -u2 ),
X 2 = - ElA(u1 -u2 )
X2 Y2 v2
q2
u2
由转角位移方程，并考虑：
▪杆端局部编码与局部坐标系
1
E，A，I
2
局部坐标系中的杆端位移分量
e
x
局部坐标系中的杆端力分量
y
u1 e
X1 e
q1
v1
{ }D
e=
q1
u2
v2
q2
Y1
{ }F
e
=
M1
X2
Y2
M2
u1 v1
M1 X1 Y1
Y2
@
X
1
Y1
cos sin -sin cos
有限单元法的两个基本环节： 1）单元分析：建立单元刚度方程，形成单元刚度矩阵(物理关系) 2）整体分析：由单元刚度矩阵形成整体刚度矩阵，建立结构的
位移法基本方程(几何关系、平衡条件)
3
§13-2 单元刚度矩阵（局部坐标系）
(element stiffness matrix)
单元刚度矩阵是用来表示杆端力与杆端位移之间的物理关系
手算：怕繁，讨厌重复性的大量运算，追求机灵的计算技巧，
运算次数较少的方法。
电算：怕乱，讨厌头绪太多，零敲碎打的算法，追求计算过
程程序化，通用性强的方法。 矩阵位移法（有限单元法finite element method）的基本思路是：
先将结构离散成有限个单元，然后再将这些单元按一定条件 集合成整体。这样，就使一个复杂结构的计算问题转化为有限 个简单单元的分析与集成问题。
2
Y1
Y1
解的 {D}e { } 为任何值时， F e
性质 都有唯一的解答。且总是一 个平衡力系，不可能是不平
{F}e { } 为不平衡力系时 D e
没有静力解。
{ }e F 为平衡力系时
{D}e
衡力系。
有无穷多组解。
8
▪特殊单元
单元的某个或某些杆端位移的值已知为零。如梁单元、柱单元。 特殊单元的单元刚度矩阵，可由一般单元的单元刚度矩阵删除 与零杆端位移对应的行和列得到。
D = v2 -v1,
M1
=
4EI l
q1
+
2
EI l
q
2
+
6EI l2
(v1
-
v2
)
Y1 = -QAB ,
M
2
=
2
EI l
q1
+
4EI l
q
2
+
6EI l2
(v1
-
v2
)
Y2 =QBA
Y1
=
6EI l2
(q1
+q
2
)
+
12 l
EI
2
(v1
-
v2
)
Y2
=
-
6EI l2
(q1
+q
2
)
-12 l
EI
2
(v1
2）其中每个元素称为单元刚度系数，表示由于单位杆端位移
引起的杆端力。如 kk6ij3 第 三j 个杆端位移分量 Dqj1 =1时引起的第 六i
个杆端力 M 2
kij = k ji 反? 力互等定理
6
3）单元刚度矩阵是对称矩阵。 4）第k列元素分别表示当第k个杆端位移=1时引起的六个杆 端力分量。 5）一般单元的单元刚度矩阵是奇异矩阵。 [k ]@ = 0
1
MATRIX DISPLACEMENT METHOD
❖ ❖ ❖ ❖ ❖ ❖ ❖
基本要求：
上忽计等整单基
熟练掌握两种坐标系中的单元刚度矩阵、 结构的整体刚度矩阵、等效结点 荷载的形成，已知结点位移求单 元杆端力的计算方法，整体刚度 矩阵和结构结点荷载的集成过程。
理解单元刚度矩阵中和整体刚度矩阵中的 元素的物理意义。
不存在逆矩阵 {F }@ = [k ]@{D}@
{D}e {F}e 正问题 {F}e {D}e 反问题
力学
{ } { } 模型
X将控1 单制元的M视附1 为加“约两束端的有杆M六件2个”人工
D e 控制附加约束加以Y指2 定X。2
将件XF单”1 元。e 视M直指1为接定“加的两在杆端自端自由力由端M的作Y22杆为X
▪单元坐标转换矩阵
x α
来自百度文库
X1 = X1 cos + Y1 sin
Y1 = - X1 sin + Y1 cos
M1 = M1
X 2 = X 2 cos + Y2 sin Y2 = - X 2 sin + Y2 cos
M2 = M2
局部坐标系
y 中的杆端力
X1
M1
x
α
M2
Y1 整体坐标系
中的杆端力
X2
y
了解不计轴向变形时矩形刚架的整体分析.
机 作
略 轴 向 变 形 时 的 整 体 分
算 步 骤 和 算
效 结 点 荷
体 刚 度 矩
元 刚 度 矩
本 概
业析例载阵阵念
2
§13-1 概述 矩阵位移法以传统的结构力学作为理论基础，以 矩阵作为数学表达形式，以电子计算机作为计算手段， 三位一体的方法。
手算与电算的不同：
1q1
2
u1 =v1 =u2 =v2 =0
q2
M1
M2
为k 了= 使24EE计ll II算过42EEll程II程 序化、-E标E00lAA准化162llE00、E23II 自1 动64lEE00l2化II ，只-EE00Al采A 用--2一16200llEE23般II 单元62lEE00l2II
v（1 13—6）
q1 单元刚
u2 度矩阵
l 0
0
12EI
l3
-
6EI l2
-
6E l2
I
4EI
v2
q2
l
{F }@ = [k]@{D}@
▪单元刚度矩阵的性质
{F1}@
= [k11]
[k12
]
@
{D1}@
{F2} [k21] [k22 ] {D2}
（13—5） 单元刚度方程
1）单元刚度矩阵是杆端力用杆端位移来表达的联系矩阵。
的机某刚程些度 序 特矩去殊阵自单作动元为形的标成刚准。度形矩式阵。是00l 各可种逆-61l2E特的l2E3I I殊。单-26Ell元E2II 的刚00l度矩-1阵26llE3E2有II 计-算46lElE2II
9
§13-3 单元刚度矩阵（整体坐标系）
•选局部坐标系推导单元刚度矩阵方便且单元刚度矩阵的形式简单。 •选整体坐标系是为进行整体分析。按一个统一的坐标系来建立各 单元的刚度矩阵
-
v2
)
X1
e
EA
l
Y1
0
k = M1 e
X2
0
- EA
l
Y2
0
M2
0
0
12EI l3 6EI l2
0
-12lE3 I 6EI l2
0
6EI l2 4EI
l
0
-
6E l2
I
2EI
l
e
5
- EA l 0
0 EA
0
-
12EI l3
-
6EI l2
0
0
6EI
l2
2EI
l
0
u1 e
l
q2
v2 u2
M2 Y2 X 2
▪单元刚度方程
X1
M1
M2
4
DF 方程
v1
由虎克定律：N
=
EA l
Dl
Y1 u1
q1
X1 = -N , X 2 = N , Dl =(u2 -u1)
X1 = ElA(u1 -u2 ),
X 2 = - ElA(u1 -u2 )
X2 Y2 v2
q2
u2
由转角位移方程，并考虑：