多变量线性系统解耦控制中极点配置问题的一种简便解法

303
证明 GK L ( s ) = C( s I - A+ BK ) - 1BL = - 1 - 1 C( s I - A ) [ ( sI - A + BK) - BK ] ( s I - A+ BK ) BL= - 1 - 1 C( s I - A) [ I - BK( s I - A+ BK ) ] BL = C( s I - A) - 1 B[ I - K ( sI - A+ BK ) - 1B] L= GO( s ) [ I- K( s I - A+ BK ) 由矩阵反演公式知 : [ I - K ( s I- A+ BK) 定理的证明 由 [ sI - A] - 1= 1 [ I - A ] - 1 = 1 [ I+ A + A2 + … ] , 则 GO ( s ) 的第 i 行 s s s s s d - 1 d i 1 C i AB C iA B C iA i B - 1 g oi ( s ) = C i [ sI - A] B= s [ C i B+ s + … + s di - 1 + sd i + …] = d d+ 1 1 Ci A i B C i A i B [ + + …] = s- ( d i + 1) C i [ Adi + Adi + 1 s - 1+ Adi + 2s - 2+ …] B , s s di sd i + 1 A i ( s ) g oi ( s ) = ( s
3 举例
304
山 东 工 业 大 学 学 报
2000 年
0
・
0 0
0 1 x+
1 0 0
0 0 v, 1
x= 设系统为 y=
0 - 1 1 1
- 2 - 3 0
x 0 0 1 对其进行解耦控制并配置期望极点. 解 ( 1) 可解耦性 因为 C 1B= [ 1 0] ≠ 0, C 2B = [ 0 1] ≠ 0, 故 d 1 = 0, d 2= 0, 且 E 1 = C1 B= [ 1 0] , E 2 = C 2B= [ 0 1] , 并由 E= ( 2) 积分型解耦 F= C1 A = 0 0 1 , 取 L = E- 1 = 1 0 , K = E - 1F = 0 - 1 0 - 2 1 - 3 E1 E2 = 1 0 0 1 非奇异可知系统是可解耦的 .
- 1
, 其中 F* =
C p A ( A)
* p
.
B ] L = GO( s ) [ I + K( s I - A)
- 1
- 1
B]
- 1
L,
其中 GO ( s ) 为被控对象的传递函数矩阵 , GO ( s) = C( sI - A)
B.
第4期
田国会等 : 多变量线性系统解耦控制中极点配置问题的一种简便解法
C2 A - 1 - 2 - 3 0 1 可实现积分型解耦 , 且解耦控制系统的传递函数矩阵为 1 s 1 s 1 1 s+ 1 1 s+ 2 1
GK L ( s ) =
* * - 1 ( 3) 指定期望极点 K 1 = - 1, K 2 = - 2, 则 A 1 ( s ) = s + 1, A 2 ( s ) = s + 2, 当取 L = E =
*
d +j- 1 d
i + …+ A id - j + 1 ・A ] Bs + …= i
C i A i B+ Ci [ A i C i[ A i C i[ A i
d+ 1 d+ 1 * id * id
d
d+ 1
i i + A id ・ A + A id - 1・ A + …+ A i 0 ・I ] Bs i i
对此我们给出下列结论 : 定理 当选取 { L , K} 为 L = E- 1 , K= E- 1F* 时, 解耦控制系统的传递函数矩阵为 1 * * A 1 ( s) C1 A 1 ( A) GK L ( s ) = w 1 * A p ( s) 上述结论的证明要用到以下引理 . 引理 2 闭环传递函数 GKL ( s ) 能表为下述形式: GKL ( s ) = GO ( s ) [ I - K ( sI - A + BK )
d+ 1
i
d+ 2 - 2 * id - 1
+ … ] B= ・Adi ] Bs - 2 +
C i A B+ Ci [ A
i
d
d+ 1
i
+ A i ・ A ] Bs
* id d
i
- 1
+ C i[ A
*
+ A i ・A
d - j *
+ Ai
- 1
i … + C i[ A i + A id ・A i
d+ j
305
参 考 文 献
1 F alb P L , W olov ich W A . Decoupling in the design o f multi-var iable contr ol systems. IEEE T r ans. A utoma tic Contr ol , 1967, AC - 12( 4) : 651 ～ 659 2 G ilbert E G . T he decoupling o f multi var iable sy st ems by state feedback . SIA M J. Co nt ro l, 1969, 7 ( 1) : 50～ 63 3 吴 麒 . 自动控制原理 ( 下册 ) . 北京 : 清华大学出版社 , 1990. 91～ 105 4 胡寿松 . 自动控制原理 ( 第三版 ) . 北京 : 国防工业出版社 , 1994. 442 ～ 551 5 陈启宗 . 线性系统理论与设计 . 北京 : 科学出版社 , 1988. 337 ～ 417 6 郑大钟 . 线性系统理论 . 北京 : 清华大学出版社 , 1990. 142 ～ 173 7 W onham W M , M o rse A S. Decoupling a nd poleassig nment in linear multi-var iable systems - a g eometr ic appr oach . SI AM J. Contr ol , 1970, 8( 1) : 1～ 18
同理, 对 GK L ( s ) 中对角线上的其它每个元素可分别提出 d i + 1 个极点要求, 并有
* * * d + 1 * d * * i1 ) ( s - K i2 ) … ( s - K id + 1) = s i + A id s i + …+ A i1 s + A i 0 , ( i= 2, 3, …, p ) . A ( s) = ( s- K i i * i
*
*
d - 1
+
+ A i ・A i + A i ・ A i + …+ A ・I ] ABs
d d * id - 1 * id - 1 d- 1 d- 1 * i0 * i0
- 1
+ …+
- j
+ A i ・A i + A i ・ A i + …+ A ・I ] A
j- 1
Bs + … =
d * - 1 i ( A) ・( sI - A) ・B. C i A i B+ Ci ・A * - 1 故 g oi ( s ) = * 1 ・[ C i Ad i B+ C i ・ A i ( A) ・ ( s I - A) ・B] , A i ( s) 1 * A 1 ( s)
[ 6, 7]
302
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山 东 工 业 大 学 学 报 [ 6]
2000 年
1 可解耦条件及积分型解耦的实现
・
引理 1 对具有相同输入、 输出个数的多输入—多输出线性定常系统 x = Ax + Bu y = Cx 设 p 为系统的输入、 输出个数, 则可采用控制规律 u = - K x + L v , 既存在输入变换和状态反 E1 馈矩阵对{ L , K } 进行解耦的充要条件是 : 可解耦性判别矩阵 E= { L , K} 为 L= E- 1 , K = E- 1F 时 , 解耦控制系统的传递函数矩阵为 1 d + 1 s1 GKL ( s ) = w 1 s dp + 1 C 1A d1 + 1 其中 F =
1 0
0 1
, K= E F =
- 1
*
C 1 ( A+ I ) C 2( A+ 2I )
=
1 - 1
- 2 - 1
时, 有
GKL ( s ) =
.
( 4) 验证 1 s+ 1 1 s+ 2
对上述{ K, L } , 可验证 GK L ( s ) = C( s I - A+ BK ) - 1BL=
, 验证过程略 .
2000 年 8 月 第 30 卷 第 4 期
山 东 工 业 大 学 学 报 JOURNAL OF SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
V ol. 30 N o. 4 A ug. 2000
多变量线性系统解耦控制中极点配置 问题的一种简便解法*
田国会 李晓磊 杨西侠 ( 山东工业大学自动化工程系 济南 250061) 摘 要 解耦控制和极点配置问题是多输入—多输出线性定常系统控制综合研究中十 分重要的问题 . 对如何在保证实现解耦控制的同时又能进行任意极点配置这一重要问题 , 本文给出了一种简便且有效的解决方法. 关键词 解耦 ; 极点配置; 线性系统 中图法分类号 T P13 解耦控制问题是多输入—多输出线性定常系统控制综合理论中的重要问题 . 一般多输 入—多输出受控系统的每个输入分量对各个输出分量都互相关联 ( 耦合 ) , 解耦控制就是寻 找合适的控制规律使具有相同输入输出个数的系统 , 实现一个输出分量只受一个输入分量 的控制 , 而且不同的输出分量受不同的输入分量控制 , 这样就把一个多输入—多输出系统化 成了多个单输入—单输出系统, 实现了互不影响的一对一控制 , 使得对系统的研究大为简 化 , 具有重要的理论价值和实际工程意义 [ 1, 2] . 极点配置是通过设计合适的控制规律以使系 统具有良好的动态特性 , 更是系统控制综合理论中的重要问题.
4 结论
本文对解耦控制中的极点配置问题进行了研究, 给出的方法简单、 有效 ; 积分型解耦作
* d+ 1 为一个特例, 求解过程同样可统一在此格式之下 , 即对应于 A i ( s) = s i , i= 1, 2, … , p , 故所
给结果的形式带有一般性.
第4期
田国会等 : 多变量线性系统解耦控制中极点配置问题的一种简便解法
* d+ 1
i i + A 1d s + … + A i1 s + A i0 ) s i
- 1
B] L .
- 1
- 1
B] = [ I+ K( s I - A)
2
B]
- 1
, 故引理 2 得证.
*
d
*
*
- ( d + 1)
i
Ci [ A i+ A i s
d+ 2
i
d
d+ 1 - 1 * id
+ Ai s
[ 3～6]
通常可通过状态反馈和
输入变换方法实现系统的积分型解耦 , 但解耦系统的极点均位于原点, 不具备令人满意的动 态特性 [ 3～7] , 需进一步进行极点配置, 而极点配置的有效方法是通过状态反馈来实现, 这就 面临着极点配置要破坏解耦性的问题 . 如何在保证实现解耦控制的同时又能进行任意极点 配置就是一个非常重要而又必须解决的问题 . 对此 , 文献[ 6] 通过把积分型解耦系统化 为一种解耦规范型, 再进行极点配置. 这种方法步骤烦琐, 计算量大, 更大的缺陷是如何才 能化成这种规范型 , 是否都能化成这种规范型, 文献 [ 6] 并未给出解决方法. 文献[ 7] 中的方 法非常抽象且烦琐 , 有很大的应用困难. 本文对上述问题进行了研究, 并给出了一种简便且 有效的解决方法.
d + 1
E2 Ep
为非奇异. 且当选取
, E i 与 d i ( i = 1, 2, … , p ) 是解耦控制中两个基本特征量 , 其定义及上述引
Cp A p 理的有关证明见文献[ 6] .
2 解耦控制要求下的极点配置
* * 对 GKL ( s ) 中对角线上的第一个元素可提出 d 1 + 1 个极点要求 , 不妨设其为 K 11, K 12 , … , * 1d + 1, 且可得 K 1 * * * * d + 1 * d * * A 1 ( s) = ( s- K 11 ) ( s - K 12) …( s - K 1d + 1 ) = s 1 + A 1d s 1 + … + A 11s + A 10. 1 1
* 本文受山东省自然科学基金 ( Q 99G 09) 和山东工业大学博士后项目基金资助 . 作者简介 : 田国会 , 男 , 副教授 . 1969 年出生 , 1997 年获东北大学自动控制理论及应用专业工学 博士学 位 , 研究方向为离散事件 / 混杂动 态系统控制理论与 仿真、 工业过 程自动化和振动主 动控制等 . 李 晓磊 , 男 , 助教 , 1973 年出生 , 1997 年获山东工业大学 工业自动化专业硕士学位 . 杨西侠 , 女 , 讲师 , 1963 年出生 , 1987 年获西安交通大学系统工程专业硕士学 位 . 收稿日期 : 19991122
GO( s ) =
w
・ [ E+ F* ・( s I - A) - 1B] .
1 * A p ( s) - 1 - 1 * 再由引理 2 和 L = E , K= E F 有 GK L ( s) = GO( s) [ I + K( s I - A) - 1B] - 1L = GO ( s ) { E[ I + K ( s I- A) - 1B] } - 1= - 1 - 1 * - 1 - 1 GO( s) [ E+ E・ K( s I - A) B] = GO( s ) [ E+ F ・ ( s I- A) B] = 1 * 1 ( s) A w 1 * A p ( s) .