理论力学n第六章 点的运动学
第六章点的运动和刚体的基本运动
例 题 6-1
解：取坐标轴 Ox 如图。由三角形相似关
L A
系，有
l
B
OM BM OL AB
h O
M x
即
x x vt h l
vt
x
从而求得 M 点的直线运动方程
x h vt hl
M 点的速度
v dx h v dt h l
而加速度 a = 0 ，即 M 点作匀速运动。
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第六章 点的运动与刚体的基本运动
例 题 6-6
解：
已知销钉B的轨迹是圆弧DE，中心 在A点 ， 半径是R。选滑道上O' 点作为 弧坐标的原点，并以O'D为正向。则B
+s ω O R -s E φ A
D
C B s
点在任一瞬时的弧坐标
s R
但是，由几何关系知 且 得
θ R O'
2 ，
dr dx dy dz v i j k dt dt dt dt
又 v vx i vy j vz k
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第六章 点的运动与刚体的基本运动
dx 故 vx dt
速度大小
dy vy dt
2 2
dz vz dt
2
v v x v y vz vx vy vz 方向 cos( v , i ) cos( v , k ) cos(v , j ) v v v
π sin 2π t ，将其代入上式， 8
π sin 2π t 40
s 2 R
这就是B点的自然形式的运动方程。
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第六章 点的运动与刚体的基本运动
理论力学教案-运动学
论力学--运动学运动学研究点和刚体运动的几何规律，即运动方程、轨迹、速度、加速度或角速度、角加速度等运动特征量。
第六章 点的运动学点的运动学是研究一般物体运动的基础，又具体独立的应用意义。
描述点的运动有矢径法、直角坐标法、自然法三种方法。
§6.1 矢量法一．矢量法表示点的运动方程设动点M 在空间作曲线运动，在参考坐标系上任取 某确定的点O 为坐标原点，则动点的位置可用原点至动 点的矢径r 表示。
当动点M 运动时，矢径r 的大小和方 向一般也随时间而改变，并且是时间的单值连续函数， 即)(t r r =上式称为用矢量表示的点的运动方程。
动点M 在运动过程中，其矢径r 的末端在空间 描绘出的曲线，称为动点M 的运动轨迹。
也称为矢径r 的矢端曲线。
二．矢量法表示点的速度)()(t t t r r r -+=∆∆平均速度tt t t t ∆∆∆∆)()(r r r υ-+== 瞬时速度dtd t t t rr υυ===→→∆∆∆∆00limlim 三．矢量法表示点的加速度 )()(t t t υυυ-+=∆∆ 平均加速度tt t t t ∆∆∆∆)()(υυυa -+==瞬时加速度2200lim lim dt d dt d t t t rυυa a ====→→∆∆∆∆结论：动点的速度等于它的矢径r 对时间的一阶导数，其加速度等于动点的速度对时间的一阶导数，也等于动点的矢径r 对时间的二阶导数。
§6.2 直角坐标法一．直角坐标表示动点的运动方程由于k j i r z y x ++=，当动点在轨迹上运动时，r 随时间而变化，则动点M 的坐标值x ，y 和z 随时间 而变化。
即⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(321t f z t f y t f x消去方程中的参数t ，则得到动点运动的轨迹。
二．直角坐标表示动点的运动速度由于动点M 的矢径可表示为 k j i r z y x ++=，所以动点M 的速度可表示为 k j i r υdtdzdt dy dt dx dt d ++==将动点M 的速度写成投影形式，即k j i υz y x υυυ++=比较以上两式，可得dt dx x =υ，dt dy y =υ，dtdz z =υ 三．直角坐标表示动点运动的加速度动点M 的速度可表示为k j i r υdtdz dt dy dt dx dt d ++==，其加速度可表示为 k j i υa 222222dtzd dt y d dt x d dt d ++==将动点M 的加速度写成投影形式，即k j i a z y x a a a ++=比较以上两式，可得 22dt x d a x =，22dt y d a y =，22dt z d a z =结论：动点的速度在各坐标轴上的投影等于各对应的坐标对时间的一阶导数，动点的加速度在各坐标轴上的投影等于各对应的坐标对时间的二阶导数。
理论力学--运动学总结
速度瞬心位置的确定总结
瞬时平动
几点注意 1、基点法是速度分析的基本方法；
2、速度投影法 应用起来简单，但必须知道待求速度 点的方位，致命的弱点—是不能求图形的角速度 2、当平面几何简单时，分析速度可采用瞬心法； 瞬心法既可以求某点的速度，也可以求刚体运动 的角速度； 4、确定速度瞬心的速度是该点的绝对运动速度； 5、具体分析时三种方法灵活运用；
（1）刚体的基本运动 平动
v A vB
aA aB
各点的轨迹相同；
可简化为一个点的运动。
定轴转动
v R
a R
an R 2
轮系的传动比：
1 n1 R1 Z 2 i12 2 n2 R2 Z1
各处不打滑时： 接触点有相同的线速度和相同的切向加速度。
（2）刚体的平面运动 1. 定义 任一点到某固定平面的距离保持不变。
B点的加速度分析
D
C
a a 2 a a 2 ae 2 ar 2
n
aa 2 ae 2
O1
30°
ar 2
B
aa 2cos60 aa2cos30 ae 2
n
aa 2
1
30° O2
n
A
a a2 O2 B 2
n 2 aa2 O2 B2
ae2 657mm/ s
2
三、刚体的运动
va=v
vCA
动点：滑块C 动系：固结于AE
u=vA
vr
vC' A
ωAE
分析三种运动
牵连运动：刚体的平面运动
牵连转动
va ( vA vCA ) vr
va cos vCA v A sin
理论力学重难点及相应题解
运动学部分：一、点的运动学重点难点分析1．重点：点的运动的基本概念（速度与加速度，切向加速度和法向加速度的物理意义等）；选择坐标系，建立运动方程，求速度、加速度。
求点的运动轨迹。
2．难点：运动方程的建立。
解题指导：1．第一类问题（求导）：建立运动方程然后求导。
若已知点的运动轨迹，且方程易于写出时，一般用自然法，否则用直角坐标法。
根据点的运动性质选取相应的坐标系，对于自然法要确定坐标原点和正向。
不管用哪种方法，注意将点置于一般位置，而不能置于特殊位置。
根据运动条件和几何关系把点的坐标表示为与时间有关的几何参数的函数，即可得点的运动方程。
2．第二类问题（积分）：由加速度和初始条件求运动方程，即积分并确定积分常数。
二、刚体的简单运动重点难点分析：1．重点：刚体平移、定轴转动基本概念；刚体运动方程，刚体上任一点的速度和加速度。
2．难点：曲线平移。
解题指导：首先正确判断刚体运动的性质。
其后的分析与点的运动分析一样分两类问题进行。
建立刚体运动方程时，应将刚体置于一般位置。
三、点的合成运动（重要）重点难点分析：1．重点：动点和动系的选择；三种运动的分析。
速度合成与加速度合成定理的运用。
2．难点：动点和动系的选择。
解题指导：1．动点的选择、动系的确定和三种运动的分析常常是同时进行的，不可能按顺序完全分开。
2．常见的运动学问题中动点和动系的选择大致可分以下五类：（1）两个（或多个）不坟大小的物体独立运动，（如飞机、海上的船舶等）对该类问题，可根据情况任选一个物体为动点，而将动系建立在另一个物体上。
由于不考虑物体的大小，因此动系（刚体）与物体（点）只在一个点上连接，可视为铰接，建立的是平移动坐标系。
（2）一个小物体（点）相对一个大物体（刚体）运动，此时选小物体为动点，动系建立在大物体上。
（3）两个物体通过接触而产生运动关系。
其中一个物体的接触只发生在一个点上，而另一个物体的接触只发生在一条线上。
选动点为前一物体的接触点，动系则建立在后一物体上。
38理论力学第六章点的运动学PPT课件
一.运动方程，轨迹
当点M运动时，矢径r随时间而 变化，并且是时间的单值函数：
rrt —以矢量表示的 点的运动方程
矢端曲线：动点M在运动过程中，矢 径r的末端绘出的一条连续曲线。——动点M的运动轨迹
二.点的速度
dr v
r
dt
方向：沿着矢径r的矢端曲线的切线 方向，且与此点的运动方向一致。
大小：速度矢的模，表明点运动的快慢。 4
1.弧坐标的运动方程
动点M在轨迹上位置的确定： 动点M在轨迹上的位置
由弧长确定，视弧长S为代数 量，称其为动点M在轨迹上 的弧坐标。
s= f (t)
12
2.自然轴系
以点M 为原点，以切线、 主法线、副法线为坐标轴组 成的正交坐标系称为动点M 的自然坐标系，这三个轴称 为自然轴。
,n,b,分别为切线、主法
线和副法线的单位向量。
—与弧坐标的正向一致
n —指向曲线内凹一侧
b —与 , n构成右手系
b n
[注]：自然坐标系是沿曲 线而变动的游动坐标系13 。
6-3 自然法
3、曲率(1/ ：)
定义——曲线切线的转角对弧长 一阶导数的绝对值。表示曲线的 弯曲程度。
1
d
lim | |
t0 S dS
14
1
引言
运动学的基本概念：
①运动学：：研究物体在空间位置随时间变化的几何性质的 科学，不考虑运动的原因。
②运动学研究目的: ①建立机械运动的描述方法 ②建立运动量之间的关系
③运动是相对的 :参考体(物);参考系;静系;动系。
④运动分类 1)点的运动 2)刚体的运动
2
第六章 点的运动学
3
6-1 矢量法
理论力学第六章 点的合成运动 [同济大学]
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解： 从例6-2已知得： 1 =
vr r 3 , 2
ω 4
O
解： 从上例已知得： 1 =
r
M
ω 4
va
A
aaτ =0 ，
3 , 4
aan=2r aen=
ωr 8
x’
2
ac 21vr 2 r
va
30°
3 1 1/ s2 8
2
动点取A，
va v A
ar
dvr d 2 x ' ' d 2 y ' ' d 2 z ' ' 2 r 2 j 2 k dt dt dt dt
dx ' di ' dy ' dj' dz ' dk ' dt dt dt dt dt dt
ar ω vr
a a ae a r ac； ac= 2vr
ve
a n a ae a rn a rτ
矢量
1.瞬时状态； 2.可解两个未知量 (大小，方向)。
例6-5 曲柄滑道机构，OA=01A=r=10cm, =30°,=4, 求: 转到30°时直杆的加速度a。 va vr 动点取A； 绝对:圆周； ve 解：相对:圆周；牵连:直线。 [速度] =
a a ae a r ac； aa a an ae aen ar arn ac；
例6-8 曲柄绕O转动，並通过滑块M带动滑槽绕O′摆动， ’ y 求摆动到30°时的角加速度1。
例6-9 将例6-8滑槽改变为图示牛头刨床机构，MA=2r, 求:刨床刨刀的速度，加速度。
vr
dv e dω dr r ω dt dt dt α r ω v e ω v r ae ω v r
理论力学-点的运动学
求该瞬时动点A的 x ,y , x , y ,
y v
30 0
A
0 v 10 cos 30 ( m/s 解： x x
0 y v 10 sin 30 ( m/s) y
o
v v v
x y z
a
x y z
x
x y z
18
2.速度：
v M v r
ds v dt
_
r
0
S M* +
`
r*
19
3
点的切向加速度和法向加速度
dv a a a n dt
n
M
+
dv a dt
v an n
2
20
自然轴系
21
例：已知图示瞬时动点A的速度和加速度，其中
2 ：v ，设动点的坐标为x , y 10 m/s, a 10 m/s
z
r o
x
M
y
一、矢量法
1、运动方程
r r(t)
2、速度
3、加速度
dr v r dt 2 d v dr a 2 v r d t d t
8
二、直角坐标法
x x (t) 1、运动方程 y y (t) r x i y j z k z z(t)
0??za??yrx15三自然坐标法1运动方程tss?xyzoms0r2曲线的几何性质?曲率curvaturesks??????0limmtt??smm??mtk1???曲率半径radiuscurvaturemtt极限位置的平面称为密切面osculatingplane已知点的运动轨迹16mtt极限位置的平面称为密切面面osculatingplane17bn??????法面ms?密切面切线b副法线主法线nbn??自然轴系trihedralaxesonacurve1
006理论力学-点的运动学
x = (BC+ CM) cosϕ = (l + a) cosωt y = AMsinϕ = (l − a) sinωt
9
这就是动点M的运动方程。从运动方程中消去时间t，即得轨 迹方程
x2 y2 + =1 2 2 (l + a) (l − a) 可见，动点M的轨迹为一椭圆，其长轴与x轴重合，短轴与y 轴重合。当M点在BC段上时，椭圆的长轴将与y轴重合，短轴 将与x轴重合。 x M点的速度在坐标轴上的投影为
1
引
言
运动学的一些基本概念 是研究物体在空间位置随时间变化的几何性质的科学。 ① 运动学 (包括轨迹、速度、加速度等)，而不考虑运动的原因。 ② 运动学研究的对象 ③ 运动学学习目的 ① 建立机械运动的描述方法 ② 建立运动量之间的关系 为后续课打基础及直接运用于工程实际。
④ 运动是相对的 ( relativity ) ：参考体(物)；参考系； 静系；动系。 瞬时、 ⑤ 瞬时、时间间隔 (⋅)t (⋅− − − ⋅)∆t = t 2 − t1 ⑥ 运动分类 1)点的运动； 2)刚体的运动
dx = −ω (l + a ) sin ωt vx = dt dy vy = = ω (l − a ) cos ωt dt
10
速度的大小为
2 2 v = vx + vy =ω (l + a)2 sin2 ωt + (l − a)2 cos2 ωt =ω l 2 + a2 − 2alcos2ωt
速度的方向余弦为
12
§6-3 平面极坐标法
• 平面极坐标系 • 位置坐标（r , • 轨道方程 •
ϑ）
r = r (t ),
r j
r
理论力学第六章点的运动学.
又 d 1 n dS
an
v2
n an
v2
an是一个沿主法线正方向 的矢量，指向曲率中心 。
法向加速度反映点的速度方向改变的快慢程度。
dv v2 a a a n a a n n n dt
— 与 弧 坐 标 的 正 向 一 致 n — 指 向 曲 线 内 凹 一 侧 b — 与 , n 构 成 右 手 系
b n
[注]：自然坐标系是沿曲 13 线而变动的游动坐标系。
6-3 自然法 3、曲率 (1 / ) ：
定义——曲线切线的转角对弧长 一阶导数的绝对值。表示曲线的 弯曲程度。
一.运动方程、轨迹
矢径是点的单值连续函数，
r xi yj zk
故x,y,z也是时间的单值函数：
x f1 (t ), y f 2 ( t ), z f 3 ( t )
——以直角坐标表示的点的运动方程 上式消去t,即为点的轨迹方程：f ( x , y , z ) 0
6
6-2 直角坐标法
当点M运动时，矢径r随时间而 变化，并且是时间的单值函数：
r r t
—以矢量表示的 点的运动方程
矢端曲线：动点M在运动过程中，矢 径r的末端绘出的一条连续曲线。 ——动点M的运动轨迹
二.点的速度
dr v r dt
方向：沿着矢径r的矢端曲线的切线 方向，且与此点的运动方向一致。
大小：速度矢的模，表明点运动的快慢。
t dv k dt v0 v 0 v ln kt , v v0 e kt v0 v
dx 3、 由 v v0e kt dt
理论力学：第6章 点的合成运动
·1·第6章 点的合成运动6.1 主要内容6.1.1 点的绝对运动、相对运动和牵连运动1．定系和动系若存在两个有相对运动的坐标系，则可指定其中一个为定系，另一个即为动系。
但工程上一般以固定在地面上的坐标系为定系，相对于定系运动着的坐标系称为动系。
2．动点和牵连点动点为研究的对象，牵连点是动点在动系上的重合点，随动点的相对运动而变，是动系上的点，不同瞬时，有不同的牵连点。
3．三种运动的关系动点相对于定系的运动定义为绝对运动；动点相对于动系的运动定义为相对运动；动系相对于定系的运动定义为牵连运动。
本章的主要任务就是建立这三者之间的定量关系，从而用来解决工程实际某些运动分析问题。
6.1.2 点的速度合成定理动点的绝对速度等于它的牵连速度与相对速度的矢量和。
这就是点的速度合成定理。
a e r =+v v v6.1.3 牵连运动为平移时，点的加速度合成定理当牵连运动为平移时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。
a e r =+a a a6.1.4 牵连运动为转动时，点的加速度合成定理当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和，这就是牵连运动为转动时点的加速度合成定理。
a e r C =++a a a a其中r C v a ⨯=ω2。
当取平动动系时0=e ω；0=C a 。
6.2 基本要求1．掌握运动合成与分解的基本概念和方法，准确理解本章阐述的若干概念。
2．明确动点与动系的选择原则，能在具体问题中恰当地选择动点与动系，并正确地分析三种运动。
3．熟练掌握点的速度合成定理和牵连运动为平动时的加速度合成定理及其应用。
4．掌握科氏加速度的概念和计算，准确应用牵连运动为转动时的加速度合成定理及其应用。
6.3 重点讨论应用点的合成运动理论解决实际问题时，其关键是正确地选择动点和动系。
选择原则因具体情况不同而略有区别。
常见的问题有三种题型。
1．两个独立运动的物体，研究两者的相对运动。
理论力学n第六章 点的运动学
第六章 点的运动学6-1 图示曲线规尺的各杆，长为OA=AB=200mm ，CD=DE=AC=AE=50mm 。
如杆OA 以等角速度s rad /5πω=绕O 轴转动，并且当运动开始时，杆OA 水平向右。
求尺上点D的运动方程和轨迹。
解：1. 取D 点为研究对象，坐标如图，2. 由图，t πϕ2.0=，故点D 的运动方程为ty t x D D ππ2.0sin 1002.0cos 200==3. 消去时间t ，得点D 的轨迹方程：11002002222=+DD yx6-2套管A由绕过定滑轮B 的绳索牵引而沿导轨上升，滑轮中心到导轨的距离为l ，如图所示。
设绳索以等速0v 拉下，忽略滑轮尺寸。
求套管A 的速度和加速度与距离x 的关系式。
解：1. 取套筒A 为研究对象，坐标如图，2. 设0=t 时，绳上C 点位于B 处，在瞬时t ，到达图示位置，则=++=+t v l x BC AB 022常量3. 将上式对时间求导，得套筒A 的速度和加速度为3220220,xl v dt dva l x xv dt dx v -==+-==负号表示v, a 的实际方向与x 轴方向相反。
题6-1图题6-2图6-3 如图所示，OA 和O 1B 两杆分别绕O ，O 1轴转动，用十字形滑块D 将两杆连接。
在运动过程中，两杆保持相交成直角。
已知：OO 1=a ；kt =ϕ，其中k 为常数。
求滑块D的速度和相对OA 的速度。
解：1. 取套筒D 为研究对象，2. 点D 的轨迹是圆弧，运动方程和速度为ak sakt R s ====&D v,θ3. 点D在x O '轴向的坐标和速度为ktak x kt a x D D sin v ,cos D -='='='&D v 和D v '的方向如图所示。
6-4 小环M 由作平移的丁字形杆ABC 带动，沿着图示曲线轨道运动。
设杆ABC 以速度v =常数向左运动，曲线方程为y 2=2px 。
理论力学第6章点的运动
（6-27a）
（6-27b） （6-28a）
a
2 ，
a 2
，
az z
（6-28b）
6.5曲线坐标、球坐标描述法
6.5.1曲线坐标描述法
图6-10 点的曲线坐标描述法
r r q1, q2 , q3 xi yj zk
1 r ei H i qi
• 按从特殊到一般的顺序： • 质点的运动通常分为： 直线运动、 圆周运动和曲线运动三种。 • 刚体的运动通常分为： 平行移动、 定轴转动、 平面运动、 定点转动和一般运动五种。
第6章 点的运动
本章从点的运动开始讨论。点的位置、速度 和加速度有各种表示方法，其中直角坐标应用最 为普遍。但在分析具体问题时，有时使用柱坐标 或球坐标更为方便。实际上根据研究对象的不同 特点，可任意选择独立的长度或角度坐标确定点 的位置。点的位置确定以后，只要对坐标作微分 运算，就能导出点的速度和加速度。对于点的运 动轨迹已预先确定的特殊情况，也可利用沿轨迹 的弧坐标表示点的位置，称为点的自然法表示。
v lim v * lim
t 0
v dr r t 0 t dt
(6-2)
其方向沿 r 矢量端图的切线方向，亦即轨迹的切线方向，
v dv a lim a lim vr t 0 t 0 t dt 加速度矢量沿速度矢量端图的切线方向（图6-1b）， 2 单位为 m s。
x ax v x
y ay v y
z az v z
(6-7)
将式（6-4）对时间两次求导，可得加速度的直角坐标表达式： a ax i ay j az k
(6-7a)
ax x ， ay y ，
理论力学6—点的运动学
2021/7/31
19
6.3 自然法
t
两个相关的计算 结果(当Δt→0)
△s M'
M △
O
t'
t"
△t
τ 2 τ sin
2
dτ lim τ lim n 1 n
ds s0 s s0 s
n为法线方向
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6.3 自然法
3 点的速度
r
S ds
v lim lim
at c
dv at dtv v0 att
s
s0
v0t
1 2
at
t
2
了解上述关系后，容易得到曲线运动的运
动规律。例如所谓匀速曲线运动，即动点速度
的代数值保持不变。 s s0 vt
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25
例3 已知点的运动方程为x＝2sin4t m, y＝2cos4t m, z＝4t m。求点的运动轨迹的曲率半径。
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8
r xi yj zk
6.2 直角坐标法
速度Байду номын сангаас
v r xi yj zk vxi vy j vzk
速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐 标对时间的一阶导数。
若已知速度在各个方向上的投影，则速度的大
小为:
v x2 y 2 z2
其方向余弦为
cos(v, i ) x , cos(v, j ) y , cos(v, k) z
4
4
由此可得滑块B的速度和加速度：
v dx rw(sinwt sin 2wt)
dt
2
a dv rw2 (coswt cos 2w)
理论力学课件第6章：点的运动学
解： s bt c v ds b 常数 dt 故点运动快慢不变。
dv
v2 b2
a dt 0, an ,
b2
a an
由于点由外向内运动,曲率半径 越来越小,所以加速度
越来越大。
例6-4 列车沿半径为R=800m的圆弧轨道作匀 加速运动。如初速度为零，经过2min后，速度到 达54km/h。求列车起点和未点的加速度。
已知：R=800m=常数， at 常数, v t0 v0 0
v
t 2min
54km
h。求：a
t0 ,
a
。
t 2min
解：列车作曲线加速运动，取弧坐标如上图。
由 at 常数, v0 0 有 v att
at
v t
15m s 120s
= 0.125m
s2
① t 0, an 0 a at 0.125m s2
已知：r, t, 常数。
求：M点的运动方程、速度、切向和法向加速度。
vx x r 1 cost , vy y r sin t
v
vx2
v
2 y
r
2(1 cos t) 2r sin t （0 t 2 )
2
ax x r 2 sin t , ay y r 2 cos t
§6-1 矢量法
轨迹或路径：点运动时在空间所占位置随时间连续变化而 形成的一条曲线。
（一）运动方程 1.参考系： 固定点O
2.动点的位置：用矢径 r 表示
3.运动方程： r r(t)
4.轨迹：矢径 r 的矢端线
（二）速度
v lim Δ r dr r t0 t dt
①矢量、瞬时量
②大小：
v dr dt
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第二篇运动学·第六章点的运动学·6.1 矢量法2. 6-6．下列说法正确的是。
（A）点的位移就是点走过的路程（B）点的矢端曲线，就是点运动的轨迹（C）如果在运动中点的矢径保持不变，点必作直线运动（D）如果在运动中点的矢径没有增量，点的速度一定为零参考答案：BD3. 6-7．下列说法正确的是。
（A）位移是矢量（B）当点作直线运动时，位移不是矢量（C）当点作曲线运动时，位移也可以是代数量（D）不论运动轨迹如何，位移一定是矢量参考答案：AD4. 6-1．运动学是研究物体运动的几何性质的科学。
（）.参考答案：√5. 6-2．运动学中通常采用两种参考系：定参考系和动参考系。
（）.参考答案：√6. 6-3．运动方程反映了物体运动的速度与时间的对应规律。
（）.参考答案：×7. 6-4．点的加速度等于矢径对时间的一阶导数。
（）.参考答案：×第二篇运动学·第六章点的运动学·6.2 直角坐标法3. 6-13．下列说法正确的是。
（A）在直角坐标法中，点的坐标和时间的对应关系，就是点的运动方程（B）当点作直线运动时，位移就等于路程（C）点作匀变速直线运动时，点的加速度和速度方向一定相同（D）点作匀速直线运动时，加速度一定为零参考答案：AD4. 6-8．动点的速度在直角坐标轴上的投影等于该点的对应坐标对时间的一阶导数。
（）.参考答案：√5. 6-9．动点的加速度在直角坐标轴上的投影等于该点速度的对应投影对时间的一阶导数。
（）.参考答案：√6. 6-10．点作直线运动时，若有加速度存在，则加速度必沿着直线方向。
（）.参考答案：√第二篇运动学·第六章点的运动学·6.3 自然法2. 6-20．点M 沿螺线自外向内运动，它走过的弧长与时间的一次方成正比，则该点（）。
（A）越跑越快（B）越跑越慢（C）加速度越来越大（D）加速度越来越小答题： A. B. C. D.参考答案：C6. 6-24．点作曲线运动，若其法向加速度越来越大，则该点的速度____________。
《理论力学》第六章-点的运动试题及答案
理论力学6章作业题解6-5 半圆形凸轮以匀速v =10mm/s 沿水平方向向左运动,活塞杆AB 长l ，沿铅直方向运动。
当运动开始时,活塞杆A 端在凸轮的最高点上。
如凸轮的半径R =80mm ，求活塞B 的运动方程和速度方程。
解答 选铅直方向为y 坐标，圆心与轮心O 高程相同，则活塞B 的运动方程为)( 1006400)(222mm l t AB vt R y +-=+-=速度方程为)/( 641022s mm t t dt dy v --== 6-9 点M 以匀速率u 在直管OA 内运动，直管OA 又按t w j =规律绕O 转动。
当t=0时， M 在O 点，求其在任一瞬时的速度及加速度的大小。
解答 采用直角坐标法建立M 点的运动方程。
îíì====)sin(sin )cos(cos t ut ut y t ut ut x w j w j 速度分量及大小为îíì+==-==)cos()sin(/)sin()cos(/t t u t u dt dy v t t u t u dt dx v yx w w w w w w 222)(1t u v v v y x w +=+=加速度分量及大小为ïîïíì-+==---==)sin()cos()cos(/)cos()sin()cos(/22t t u t u t u dt dv a t t u t u t u dt dv a y yx x w w w w w w w w w w w w 222)(4t u a a a y x w w +=+=6-12 一点作平面曲线运动，其速度方程为3=x v 、)4sin(2t v y p p =，其中速度单位为m/s ，时间单位为s 。
已知初瞬时该点在坐标原点，试求该点的运动方程和轨迹方程。
解 求直角坐标表示的运动方程。
理论力学-点的运动学
速度和加速度的矢量表示
04
CHAPTER
点的运动轨迹和运动参数
通过已知的初始位置和速度矢量，利用矢量合成法则确定点的运动轨迹。
直角坐标系
极坐标系
参数方程
利用极坐标表示点的位置，通过已知的初始位置和速度矢量，确定点的运动轨迹。
通过设定参数表示点的位置，根据初始条件和运动规律，确定参数方程，从而确定点的运动轨迹。
加速度与轨迹的关系
根据点的加速度矢量，可以判断点加速或减速的情况，进一步推断出其运动轨迹的变化趋势。
位移与轨迹的关系
根据点的位移矢量，可以确定点在平面或空间中的运动轨迹。
运动参数与轨迹的关系
05
CHAPTER
点的运动学应用
刚体的平动是指刚体在空间中的移动，其上任意两点之间的距离保持不变。
总结词
刚体的平动是刚体运动的一种基本形式，它描述了刚体在空间中的移动。在这种运动中，刚体的所有点都以相同的速度和方向移动，因此刚体上任意两点之间的距离保持不变。平动不会改变刚体的形状和大小。
点的速度和加速度
总结词
速度是描述物体运动快慢的物理量，其大小等于物体在单位时间内通过的位移。
详细描述
速度的大小可以用矢量表示，其大小等于物体在单位时间内通过的位移量，方向与物体运动方向相同。在直角坐标系中，速度矢量可以表示为位置矢量对时间的一阶导数。
速度的定义与计算
总结词
加速度是描述物体速度变化快慢的物理量，其大小等于物体在单位时间内速度的变化量。
详细描述
加速度的大小可以用矢量表示，其大小等于物体在单位时间内速度的变化量，方向与物体速度变化方向相同。在直角坐标系中，加速度矢量可以表示为速度矢量对时间的一阶导数。
理论力学第6章 ppt课件
25
作业
• 6-4 • 6-6
ppt课件
26
第六章 点的运动学
• §6-1 矢量法和直角坐标法
• 1. 表示质点运动的矢量法：
• 质点的空间位置用矢径r表示，它是时间的 函数，
•
r = r(t)
• 投影式： r = xi+yj+zk
• 轨迹：矢径r 端点的连线。
ppt课件
1
• 速度：
v dr lim r(t t) r(t)
a dv dt
• 动点移动时，速度大小和方向都发生改变。
a
dv dt
d dt
( ds dt
τ)
d 2s dt 2
τ
ds dt
dτ dt
ppt课件
15
• 切向加速度
at
d 2s dt 2
τ
dv dt
τ
• 法向加速度
an
ds dt
dτ dt
v
dτ dt
dτ dτ ds 1 vn
vy y r sin t
v
vx2
v
2 y
r (1 cost)2 sin2 t
2r sin t
2
ppt课件
19
• 求M点的曲线位移： • 方法1
v ds dt
s
vdt
2r
t
0
sin
t
2
dt
4r (1
cos
t
2
)
ppt课件
20
• 求M点的曲线位移：
理论力学第6章-点的运动
t0 t S j
当t→0时，t 与t′的夹角趋近于直角，即t 趋近
于轨迹在点M的法线，指向曲率中心。若记法线法线的
单位矢量为n，规定它指向曲率中心，则有
密切面：
dt v n dt
副法线
b
M
t
T
切线
n
过点M作 MT 的平行线 MT1 ，
MT和MT1可以确定一个平面。当点 无限趋近点M时，则此平面趋近某
4
49sin2 wt cos2 wt
O
加速度在x轴，y轴上的投影
j
yC
xC
C x
B
ax
=
dvx dt
7Lw2
4
cos wt
w 2 xC
C点的加速度的大小
ay
=
dvy dt
Lw2
4
sin wt
w2 yC
a ax2 ay2 w2
加速度的方向余弦
cos(a, i) ax xC ar
xC2 yC2 w2r
例6-6 曲柄OA绕O轴逆时针方向转动。其转过j角与时间t
的关系为
j
t
4
，若OA=10cm，OO1 =10cm，O1B=24cm，试求
B点运动方程、速度和加速度。
解：建立弧坐标
运动方程 速度 加速度
S O1B 12j 3πt
v dS 3π 9.42 cm/s dt d2S
at dt2 0
v vxi vy j vzk
速度v在三个轴上的投影
vx
=
dx dt
x(t)
vy
=
dy dt
y(t)
vz
=
dz dt
z(t)
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第六章 点的运动学
6-1 图示曲线规尺的各杆，长为OA=AB=200mm ，CD=DE=AC=AE=50mm 。
如杆OA 以等角速度s rad /5
π
ω=
绕O 轴转动，并且当运动开始时，杆OA 水平向右。
求尺上点D
的运动方程和轨迹。
解：
1. 取D 点为研究对象，坐标如图，
2. 由图，t πϕ2.0=，故点D 的运动方程为
t
y t x D D ππ2.0sin 1002.0cos 200==
3. 消去时间t ，得点D 的轨迹方程：
1100
2002
222
=+D
D y
x
6-2套管
A 由绕过定滑轮
B 的绳索牵引而沿导轨上升，滑轮中心到导轨的距离为l ，如图所示。
设绳索以等速0v 拉下，忽略滑轮尺寸。
求套管A 的速度和加速度与距离x 的关系式。
解：
1. 取套筒A 为研究对象，坐标如图，
2. 设0=t 时，绳上C 点位于B 处，在瞬时t ，
到达图示位置，则
=++=+t v l x BC AB 02
2常量
3. 将上式对时间求导，得套筒A 的速度和
加速度为
3
2
20220
,x
l v dt dv
a l x x
v dt dx v -==+-==
负号表示v, a 的实际方向与x 轴方向相反。
6-3 如图所示，OA 和O 1B 两杆分别绕O ，O 1轴转动，用十字形滑块D 将两杆连接。
在运动过程中，两杆保持相交成直角。
已知：OO 1=a ；kt =ϕ，其中k 为常数。
求滑块D
题6-1图
题6-2图
的速度和相对OA 的速度。
解：
1. 取套筒D 为研究对象，
2. 点D 的轨迹是圆弧，运动方程和速度为
ak s
akt R s ==== D v
,θ
3. 点D 在
x O '轴向的坐标和速度为
kt
ak x kt a x D D sin v ,cos D -='='='
D v
和D v '的方向如图所示。
6-4 小环M 由作平移的丁字形杆ABC 带动，沿着图示曲线轨道运动。
设杆ABC 以速度
v =常数向左运动，曲线方程为y 2=2px 。
求环M 的速度和加速度的大小（写成杆的位移x 的函数）
解：1.取M 点为研究对象，
2.将px y 22
=对时间求导数，
并注意==v x 常量，0=x
，得:,y
x p y = 则：x
p
v y x v M
212
2
+=+= ，
x p x v y
y x p y a M
2422
-=-==。