初级中学相似三角形几何证明技巧窍门
相似三角形证明技巧
相似三角形证明技巧在三角形的几何学中，相似三角形是指具有相同形状但可能不同尺寸的三角形。
相似三角形之间存在着一些重要的性质和关系，通过使用这些性质和关系，我们可以进行相似三角形的证明。
下面整理了一些常用的相似三角形证明技巧：1.边比例法：当两个三角形的各边之间的比例相等时，可以得出它们是相似三角形的结论。
例如，如果两个三角形的对应边之比相等，则可以证明这两个三角形是相似的。
2.角度比例法：当两个三角形的对应角度相等或成比例时，可以证明这两个三角形是相似的。
例如，如果两个三角形的相对内角相等，则可以得出它们是相似的结论。
3.等角法：当两个三角形的一些角度等于另一个三角形的角度时，可以得出它们是相似的结论。
通过将一个三角形的两个角度相等于另一个三角形的两个角度，可以证明这两个三角形是相似的。
4.三边法：当两个三角形的三边之比相等时，可以得出它们是相似的结论。
如果两个三角形的三边长度比例相等，可以通过这个比例关系证明它们是相似的。
5.正弦定理和余弦定理：正弦定理和余弦定理是解决相似三角形问题中常用的两个重要几何定理。
通过使用这两个定理，可以推导出两个三角形之间的边比例关系，从而证明它们是相似的。
6.高度比例法：当两个三角形的高度比例相等时，可以得出它们是相似的结论。
通过使用这个高度比例关系，可以证明两个三角形是相似的。
7.垂直角的性质：当两个三角形的顶点角相等时，可以得出它们是相似的结论。
通过使用这个垂直角的性质，可以证明两个三角形是相似的。
8.平行线法：当两个三角形的相应边平行时，可以得出它们是相似的结论。
通过使用平行线的性质，可以证明这两个三角形是相似的。
以上是一些常用的相似三角形证明技巧，需要根据具体情况选择合适的技巧来进行证明。
在实际应用中，常常需要结合多个技巧进行证明，同时还需要注意使用一些基本的几何推理技巧，如平移、旋转、对称等，来辅助进行证明。
如何证明两个三角形是相似的
如何证明两个三角形是相似的在我们学习几何的过程中，证明两个三角形相似是一个重要的课题。
相似三角形具有很多有趣的性质和应用，那到底如何来证明两个三角形是相似的呢？首先，我们来了解一下什么是相似三角形。
相似三角形指的是对应角相等，对应边成比例的两个三角形。
要证明两个三角形相似，常见的方法有以下几种：第一种方法是“两角分别相等的两个三角形相似”。
比如说，在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，如果角 A 等于角 D，角 B 等于角 E，那么这两个三角形就是相似的。
这是因为三角形的内角和是固定的180 度，当两个角分别相等时，第三个角也必然相等。
第二种方法是“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”。
假设在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，AB/DE ＝ AC/DF ，并且角 A 等于角D ，那么就可以证明这两个三角形相似。
这个方法的关键在于不仅要两边的比例相等，而且这两组边的夹角也必须相等。
第三种方法是“三边成比例的两个三角形相似”。
比如三角形 ABC的三条边分别为 a、b、c ，三角形 DEF 的三条边分别为 d、e、f ，如果 a/d ＝ b/e ＝ c/f ，那么这两个三角形相似。
为了更好地理解这些方法，我们来看几个具体的例子。
假设我们有三角形 ABC 和三角形 DEF ，角 A 为 50 度，角 B 为 60 度，角 D 为 50 度，角 E 为 60 度。
因为角 A 等于角 D ，角 B 等于角E ，所以根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可以得出三角形ABC 和三角形 DEF 相似。
再比如，有三角形 ABC ，AB ＝ 6 ，AC ＝ 8 ，角 A ＝ 40 度，三角形 DEF 中，DE ＝ 9 ，DF ＝ 12 ，角 D ＝ 40 度。
我们可以计算AB/DE ＝ 6/9 ＝ 2/3 ，AC/DF ＝ 8/12 ＝ 2/3 ，并且角 A 等于角 D ，所以根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，这两个三角形相似。
初中数学几何证明题思路方法和技巧
初中数学几何证明题思路方法和技巧
1.利用定义和性质：几何证明题通常需要用到几何图形的定义和性质，因此在做题前需要熟悉相关概念。
2. 运用相似三角形：相似三角形有着相同的角度和比例关系，
因此可以通过相似三角形来证明几何关系。
3. 利用角度和：三角形内角和为180度，四边形内角和为360度，因此可以通过计算角度和来证明几何关系。
4. 利用垂直和平行关系：垂直和平行线有着明显的几何特征，
因此可以通过垂直和平行关系来证明几何关系。
5. 利用勾股定理和正弦定理等定理：勾股定理和正弦定理等定
理是几何证明中常用的工具，可以通过运用这些定理来证明几何关系。
6. 利用反证法：反证法是数学证明中常见的方法，可以通过排
除其他可能性来证明几何关系。
7. 利用矛盾法：矛盾法也是数学证明中常见的方法，可以通过
假设相反的情况来证明几何关系。
在做几何证明题时，还需要注意以下一些技巧：
1. 画图：画图可以帮助我们更好地理解几何关系，同时也可以
在证明中提供一些线索。
2. 标记线段和角度：标记线段和角度可以使证明过程更加清晰，方便读者理解。
3. 步骤清晰：证明过程需要步骤清晰、逻辑性强，不能出现漏
洞或矛盾。
4. 注意细节：几何证明中有时需要注意一些细节问题，例如判
断角度是否是锐角或钝角，判断线段是否相等等。
综上所述，初中数学几何证明题需要掌握一定的思路方法和技巧，并且需要认真、仔细地推导证明。
相似三角形的证明方法总结
相似三角形的证明方法总结相似三角形是指具有相同形状但可能不等长的三角形。
在几何学中，经常需要证明两个三角形是否相似。
下面将总结几种常用的相似三角形的证明方法。
一、AA相似判定法AA相似判定法是基于两个三角形的两个角分别相等的原理，即如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。
证明方法如下：假设有两个三角形∆ABC和∆DEF，已知∠A = ∠D和∠B = ∠E，我们要证明∆ABC ∼∆DEF。
步骤如下：1. 连接AC和DF。
2. 根据已知条件，得到∆ABC和∆DEF中相等的角。
3. 根据等角的定义，∠A = ∠D和∠B = ∠E可以得出∠C = ∠F。
4. 由于三角形内角和为180度，∠A + ∠B + ∠C = 180度和∠D +∠E + ∠F = 180度，代入∠A = ∠D，∠B = ∠E和∠C = ∠F，可以得到∠A + ∠B + ∠C = ∠D + ∠E + ∠F。
由此可知，两个三角形的内角和相等。
5. 根据三角形的内角和相等性质，可以得到∆ABC ∼∆DEF。
二、AAA相似判定法AAA相似判定法是基于两个三角形的对应角分别相等的原理，即如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形相似。
证明方法如下：假设有两个三角形∆ABC和∆DEF，已知∠A = ∠D，∠B = ∠E和∠C = ∠F，我们要证明∆ABC ∼∆DEF。
步骤如下：1. 连接AC和DF。
2. 根据已知条件，得到∆ABC和∆DEF中对应相等的角。
3. 根据等角的定义，∠A = ∠D，∠B = ∠E和∠C = ∠F可以得出两个三角形的对应角相等。
4. 根据AAA相似判定法，可以得到∆ABC ∼∆DEF。
三、SAS相似判定法SAS相似判定法是基于两个三角形的其中一对边的比例相等且夹角相等的原理，即如果两个三角形的两边的比例相等且夹角相等，则这两个三角形相似。
证明方法如下：假设有两个三角形∆ABC和∆DEF，已知AB/DE = AC/DF和∠BAC = ∠EDF，我们要证明∆ABC ∼∆DEF。
初中相似三角形几何证明技巧
初中相似三角形几何证明技巧相似三角形是初中几何中的重要知识点，它们在计算和证明中都有着广泛的应用。
下面将介绍一些常见的相似三角形几何证明技巧。
一、基本比例法基本比例法是证明两个三角形相似时最常用的方法之一、根据相似三角形的定义，如果两个三角形的对应角度相等，并且对应边的比例相等，那么这两个三角形就是相似的。
具体的应用步骤如下：1.首先，观察两个待证明相似的三角形，看看它们有没有已知的相等角或者已知的比例关系。
2.如果找到了已知的相等角或者比例关系，就利用比例法来证明它们相似。
3.如果找不到已知的相等角或者比例关系，就要通过辅助线的方式来寻找这样的关系。
例如，在证明两个三角形相似时，如果能找到一个已知的相等角，可以直接利用对应边的比例关系来证明它们相似。
二、全等三角形法全等三角形法是证明相似三角形时的另一种常用方法。
根据全等三角形的性质，如果两个三角形的三个顶角分别相等，那么这两个三角形就是全等的，从而它们也是相似的。
具体的应用步骤如下：1.首先，观察两个待证明相似的三角形，看看它们有没有已知的全等三角形或者已知的相等角。
2.如果找到了已知的全等三角形，就可以直接利用全等三角形的性质来证明相似性。
3.如果找不到已知的全等三角形，就要通过辅助线的方式来构造出全等三角形。
三、角平分线法角平分线法是一种常用的求解相似三角形的方法。
根据角平分线的性质，在一个三角形中，角的平分线把对边分成两个比例相等的线段。
具体的应用步骤如下：1.首先，观察两个待证明相似的三角形，看看它们有没有共有的角的平分线。
2.如果找到了共有的角的平分线，可以利用平分线的性质来形成比例关系，从而证明它们相似。
3.如果找不到共有的角的平分线，就要通过辅助线的方式来构造出共有的角的平分线。
四、辅助线法辅助线法是证明相似三角形时常用的辅助手段。
通过在图形中加入新的辅助线，可以改变原有的几何形状，从而发现一些隐藏的相等角、比例关系等。
具体的应用步骤如下：1.首先，观察两个待证明相似的三角形，思考需要找到哪些已知的相等角、全等三角形或者比例关系。
相似三角形的证明方法
相似三角形的证明方法相似三角形是初中数学中的一个重要概念，它在几何推导和实际问题中都有着广泛的应用。
在本文中，我们将介绍相似三角形的定义，并详细讨论几种证明相似三角形的方法。
一、相似三角形的定义相似三角形是指具有相同形状但不一定相同大小的两个三角形。
当两个三角形的对应角度相等时，它们是相似的。
换句话说，若两个三角形的对应角度分别相等，则它们是相似的。
二、数学证明法1. AA相似定理相似三角形的AA相似定理指的是，如果两个三角形的两个角分别相等，则它们是相似的。
具体而言，当两个三角形的两个对应角相等时，它们一定是相似的。
证明方法：首先，我们选取两个相似三角形的两个对应角，设为∠A1和∠A2，∠B1和∠B2。
然后，利用已知信息，通过角度相等的性质进行证明。
最后，根据相似三角形的定义，我们得出结论：∠A1 = ∠A2，∠B1 = ∠B2，所以两个三角形是相似的。
2. AAA相似定理AAA相似定理是指如果两个三角形的三个内角分别相等，则它们是相似的。
具体来说，当两个三角形的三个对应角都相等时，它们是相似的。
证明方法：假设有两个相似三角形，其三个对应角分别为∠A1、∠B1、∠C1，∠A2、∠B2、∠C2。
根据已知信息，我们进行角度的对应比较。
通过比较∠A1和∠A2、∠B1和∠B2、∠C1和∠C2，我们可以得出结论：两个三角形的三个对应角分别相等，因此它们是相似的。
三、几何证明法1. 边长比较法边长比较法是指通过比较两个三角形的对应边长之间的比值来证明相似。
具体而言，当两个三角形的三个对应边长比值相等时，它们是相似的。
证明方法：假设有两个相似三角形，分别为△ABC和△DEF。
我们可以比较边长AB与DE、BC与EF、AC与DF之间的比值。
如果这三组比值相等，即AB/DE = BC/EF = AC/DF，那么我们可以得出结论：两个三角形是相似的。
2. 三角函数关系法三角函数关系法是通过利用正弦定理、余弦定理等三角函数的性质来证明相似三角形。
初中数学相似三角形六大证明技巧
初中数学相似三角形六大证明技巧初中数学中，相似三角形是一个非常重要的概念。
在学习相似三角形时，我们需要掌握一些证明技巧，以便能够正确地证明相似三角形的性质。
下面是六大证明技巧：1.直角三角形的性质：直角三角形是相似三角形中应用最多的一种情况。
当我们需要证明两个三角形相似且其中一个是直角三角形时，可以使用直角三角形的性质，比如勾股定理、余弦定理等，来进行证明。
2.AAA相似定理：如果两个三角形的三个角分别相等，那么它们是相似的。
可以通过将两个三角形的角度逐一对应，并通过角度相等来得到相似性。
3.SSS相似定理：如果两个三角形的三条边分别成比例，那么它们是相似的。
可以通过将两个三角形的边逐一对应，并通过边的比例来得到相似性。
4.SAS相似定理：如果两个三角形的一个角相等，且两个角分别对应的两边成比例，那么它们是相似的。
可以通过将两个三角形的角和边逐一对应，以及利用边的比例来得到相似性。
5.高度比例定理：如果两个三角形的一个角相等，且两个角分别对应的高分别成比例，那么它们是相似的。
我们可以通过证明两个三角形的高比例相等来得到相似性。
6.视角相等定理：如果两个三角形的一个角相等，且两个角分别对应的一对角的视角相等，那么它们是相似的。
我们可以通过证明两个三角形的视角相等来得到相似性。
在进行相似三角形的证明时，我们可以根据题目给出的条件选择合适的证明技巧。
通过灵活运用以上的六大证明技巧，我们可以较为简洁地完成相似三角形的证明。
同时，大量的练习也是提高证明技巧的重要方法，只有不断地练习才能够真正地掌握相似三角形的证明方法。
通过练习，我们还能够发现一些相似三角形的性质和规律，进一步提升对相似三角形的理解和运用能力。
初中数学相似三角形的选取技巧(几何模型之相似三角形的判定的总结)
初中数学相似三角形的选取技巧（几何模型之相似三角形的判定的总结）相似三角形是初中数学中重要的几何概念之一，它具有许多重要的性质和应用。
在解决相似三角形问题时，我们需要掌握一些相似三角形的选取技巧和判定的方法。
首先，我们来回顾一下相似三角形的定义：如果两个三角形的对应角相等，并且对应边成比例，那么这两个三角形就是相似的。
记作∆ABC∼∆DEF。
在判定相似三角形时，有几种方法可供选择。
1.AA相似判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，并且不包含这两个角的第三个角也相等，则这两个三角形相似。
即∆ABC∼∆DEF，如果∠A=∠D，∠B=∠E，那么∆ABC∼∆DEF。
2.SSS相似判定法：如果两个三角形的对应边成比例，则这两个三角形相似。
即∆ABC∼∆DEF，如果AB/DE=BC/EF=AC/DF，那么∆ABC∼∆DEF。
3.SAS相似判定法：如果两个三角形的其中一对对应边成比例，并且这两个对应边之间的夹角相等，则这两个三角形相似。
即∆ABC∼∆DEF，如果AB/DE=BC/EF，并且∠B=∠E，那么∆ABC∼∆DEF。
4.附加定理：如果ΔABC和ΔDEF是相似三角形，且∠C=∠F，则∠A=∠D，∠B=∠E，且相应的对边也成比例。
在选择判定相似三角形的方法时，我们可以根据已知条件和需要证明的结论来选择合适的方法。
以下是一些选取技巧的总结：1.观察图形是否有明显的相似性质，如是否有平行线、角度是否相等等。
2.注意已知条件中是否给出了边长的成比例关系或角度的相等关系，如果有的话可以直接使用相似判定法进行判定。
3.如果已知条件中给出了一个角的大小，并且需要证明两个三角形相似，则选择使用AA相似判定法。
4.如果已知条件中给出了两个角的大小，并且需要证明两个三角形相似，则选择使用SAS相似判定法。
5.如果已知条件中给出了三个边的长度，并且需要证明两个三角形相似，则选择使用SSS相似判定法。
6.在证明相似三角形时，可以尝试使用逆向推理，即根据需要证明的结论，从结果反推已知条件，并利用已知条件进行推理证明。
初中数学相似三角形六大证明技巧(推荐)
初中数学相似三角形六大证明技巧（推荐）第2讲模块一相似三角形6大证明技巧相似三角形证明方法相似三角形的判定方法总结：1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.2. 三边成比例的两个三角形相似.（SSS）3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS)4. 两角分别相等的两个三角形相似.(AA)5. 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL) 相似三角形的模型方法总结：“反A”型与“反X”型.示意图 AECDBBAODC结论反A型：如图，已知△ABC，∠ADE=∠C，则△ADE ∽AC=AD·AB. △ACB（AA），∴AE·BE，若连CD、进而能证明△ACD∽△ABE(SAS) 反X型：如图，已知角∠BAO=∠CDO，则△AOB∽△DOCOC=OD·OB. 若连AD，BC，进而能（AA），∴OA·证明△AOD∽△BOC. “类射影”与射影模型示意图 ADCB 结论类射影：如图，已知△ABC，∠ABD=∠C，则△ABD∽AC. △ACB（AA），∴AB2=AD·C 射影定理如图，已知∠ACB=90°，CH⊥AB于H，则AC2?AH?AB,BC2?BH?BA,HC2?HA?HB A HB1313“旋转相似”与“一线三等角”示意图 AEBDCE结论旋转相似：如图，已知△ABC∽△ADE，则ABAD? ，ACAE ∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD∽△CAE（SAS） D一线三等角：如图，已知∠A=∠C=∠DBE，则△DAB∽△BCE（AA） ABC巩固练习反A型与反X 型已知△ABC中，∠AEF=∠ACB，求证：（1）AE?AB?AF?AC（2）∠BEO=∠CFO，∠EBO=∠FCO（3）∠OEF=∠OBC，∠OFE=∠OCBAEOFCB类射影如图，已知AB2?AC?AD，求证：BDAB? BCACADCB射影定理已知△ABC，∠ACB=90°，CH⊥AB于H，求证：AC2?AH?AB，BC2?BH?BA，HC2?HA?HB14模块二比例式的证明方法通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型”（A型，X型，线束型），也离不开上述的6种“相似模型”. 但是，王老师认为，“模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具，怎样用好工具，取决于我们如何思考问题. 合理的思维方法，能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。
相似三角形的六大证明技巧大全
相似三角形的六大证明技巧大全比例式的证明方法比例式是数学中常见的重要概念，其证明方法也是需要掌握的基本技能。
下面介绍几种比例式的证明方法。
1.相似三角形法若两个三角形相似，则它们对应边的比例相等。
因此，可以通过相似三角形的证明来得到比例式。
2.射影定理法射影定理指：在直角三角形中，直角边上的高的平方等于直角边与这个高的两个部分的乘积。
因此，可以通过射影定理来证明比例式。
3.平行线法若两条直线平行，则它们所截线段的比例相等。
因此，可以通过平行线的证明来得到比例式。
4.等角定理法等角定理指：在同一圆周角或同位角中，对应弧所对应的角相等。
因此，可以通过等角定理来证明比例式。
5.数学归纳法数学归纳法是数学中常见的证明方法，适用于证明一般情况下的比例式。
其基本思路是：证明当n=1时比例式成立，假设当n=k时比例式成立，证明当n=k+1时比例式也成立。
比例式的证明方法多种多样，需要根据具体情况选择合适的方法。
熟练掌握这些方法，可以更加轻松地解决各种数学问题。
通过前面的研究，我们知道，比例线段的证明离不开“平行线模型”（A型、X型、线束型），也离不开上述的6种“相似模型”。
但是，XXX认为，“模型”只是工具，怎样选择工具、怎样使用工具、怎样用好工具，取决于我们如何思考问题。
合理的思维方法能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。
在本模块中，我们将研究比例式的证明中经常用到的思维技巧，包括三点定型法、等线段代换、等比代换、等积代换、证等量先证等比、几何计算。
技巧一：三点定型法例1】在平行四边形ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于F，求证：$\frac{DC}{CF}=\frac{AE}{AD}$。
例2】在直角三角形△ABC中，$\angle BAC=90^\circ$，M为BC的中点，DM垂直于BC交CA的延长线于D，交AB 于E。
求证：$AM^2=MD\cdot ME$。
例3】在直角三角形△ABC中，AD是斜边BC上的高，$\angle ABC$的平分线BE交AC于E，交AD于F。
相似三角形证明技巧(整理)
相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似三角形(1)三角形相似的条件：①；② ；③ . 二、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角 两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似找另一角 两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例 判定定理2 找顶角对应相等 判定定理1找底角对应相等 判定定理1找底和腰对应成比例 判定定理3e)相似形的传递性 若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。
例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC. 求证: BAAC AF AE（判断“横定”还是“竖定”？ ）a)已知一对等b)己知两边对应成比c)己知一个直d)有等腰关例2、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB吗？说明理由。
初中相似三角形几何证明技巧
初中相似三角形几何证明技巧相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个三角形。
在初中的几何学中，相似三角形是一个重要的概念，学生们需要学会如何证明两个三角形是相似的。
下面，我将介绍几种常用的相似三角形几何证明技巧。
1.AA相似定理证明法AA相似定理指出，如果两个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形是相似的。
在证明中，可以先找到两个对应的角相等，然后通过其他已知条件来证明另外两个对应的角也相等。
最后，根据AA相似定理，可以得出两个三角形是相似的。
2.SAS相似定理证明法SAS相似定理指出，如果两个三角形的两个对应边成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形是相似的。
在证明中，可以从已知条件出发，利用比例关系和夹角相等来证明两个对应边成比例。
最后，根据SAS相似定理，可以得出两个三角形是相似的。
3.SSS相似定理证明法SSS相似定理指出，如果两个三角形的三个对应边成比例，那么这两个三角形是相似的。
在证明中，同样可以从已知条件出发，利用三边成比例的关系来证明两个对应边成比例。
最后，根据SSS相似定理，可以得出两个三角形是相似的。
4.辅助线法辅助线法是一种常用的证明技巧，在通过辅助线的引入可以简化证明过程。
对于一些复杂的相似三角形问题，通过引入辅助线，可以将问题拆解成多个简单的相似三角形的证明。
这样，可以分步骤进行证明，更容易理解和思考。
5.割线法割线法是一种用于证明两个相似三角形的证明技巧。
通过在三角形内部或者外部引入割线，并证明割线和三角形的一些边成比例关系，从而导出相似三角形的结论。
这种证明方法常用于证明特殊的相似三角形问题。
总结起来，学习相似三角形的几何证明技巧需要掌握不同的相似定理和常用的辅助线法、割线法等技巧。
在解题过程中，需要灵活运用这些技巧和定理，从已知条件出发，逐步推导出证明结论。
通过反复练习和思考，可以提高解题的能力和几何推理的水平。
证明三角形相似的方法
证明三角形相似的方法三角形相似是初中数学中的重要概念，它在几何学中有着重要的应用。
那么，如何证明两个三角形是相似的呢？下面我们将介绍几种常见的方法来证明三角形的相似性。
一、AAA相似定理。
AAA相似定理是最为直观的相似性证明方法之一。
它指出，如果两个三角形的对应角分别相等，则这两个三角形是相似的。
这是因为对应角相等意味着两个三角形的形状相似，只是大小不同而已。
例如，如果两个三角形的对应角分别为60°、50°、70°和40°、50°、90°，那么这两个三角形是相似的。
二、相似三角形的边长比例。
除了AAA相似定理外，我们还可以通过相似三角形的边长比例来证明它们的相似性。
如果两个三角形的对应边长之比相等，那么这两个三角形就是相似的。
例如，如果两个三角形的对应边长分别为3:4:5和6:8:10，那么这两个三角形是相似的。
三、AA相似定理。
AA相似定理是另一种常用的相似性证明方法。
它指出，如果两个三角形的一个角相等，且另外一个角也相等，则这两个三角形是相似的。
例如，如果两个三角形的一个角分别为30°，另一个角分别为50°，那么这两个三角形是相似的。
四、SAS相似定理。
SAS相似定理是另一种重要的相似性证明方法。
它指出，如果两个三角形的一个角相等，且两个角的对边的比值相等，则这两个三角形是相似的。
例如，如果两个三角形的一个角分别为40°，另外两个角的对边比值分别为3:4，那么这两个三角形是相似的。
五、SAA相似定理。
SAA相似定理是最后一种常用的相似性证明方法。
它指出，如果两个三角形的两个角相等，且另一个角也相等，则这两个三角形是相似的。
例如，如果两个三角形的两个角分别为60°和90°，另外一个角分别为40°和60°，那么这两个三角形是相似的。
综上所述，证明三角形相似的方法有很多种，我们可以根据具体情况选择合适的方法来进行证明。
相似三角形的六大证明技巧大全
相似三角形的六大证明技巧大全1.AA判定法AA判定法指的是若两个三角形的两个对应角度相等，则这两个三角形相似。
该方法一般用于解决两个三角形已经有一个角度相等的情况。
证明过程中，首先要证明两个对应角度相等，然后在利用角度相等证明其余对应边的比例关系。
2.SAS判定法SAS判定法指的是若两个三角形的一个角度相等，而另两边的比例相等，则这两个三角形相似。
该方法一般用于解决两个三角形已经知道两个对应边的比例相等的情况。
证明过程中，首先要证明一个角度相等，然后根据比例关系证明其余边的比例关系。
3.SSS判定法SSS判定法指的是若两个三角形的三边长度比例相等，则这两个三角形相似。
该方法一般用于解决两个三角形已经知道三边长度比例相等的情况。
证明过程中，需要证明各个对应边的比例相等。
4.直角三角形的相似证明直角三角形的相似证明可以利用勾股定理、正弦定理、余弦定理等三角函数关系进行证明。
当两个直角三角形的一个角度相等，而另两个边的比例相等时，可以通过三角函数关系证明两个三角形的相似性。
5.角平分线相似证明角平分线相似证明利用了角平分线的性质，也可以通过角度相等和角平分线的长度比例相等来证明两个三角形的相似性。
此外，利用角平分线的性质可以导出很多关于比例的等式或者比例关系，进而推导出相似三角形。
6.边平分线相似证明边平分线相似证明利用了边平分线的性质，要证明两个三角形相似，可以利用角平分线切分三角形，并利用与之相关的角度相等和边长比例相等进行推导，最终得到两个三角形相似的结论。
以上六大相似三角形的证明技巧是解决各种几何问题的基础。
在实际应用中，可以根据题目给出的条件选择合适的证明方法，灵活运用这些技巧，帮助我们解决各种与相似三角形相关的问题。
总结起来，相似三角形的证明技巧主要包括AA判定法、SAS判定法、SSS判定法、直角三角形的相似证明、角平分线相似证明和边平分线相似证明。
通过熟练掌握这些技巧，我们可以更好地解决各种相似三角形的证明问题。
初中数学几何证明的口诀
初中数学几何证明的口诀数学几何证明是中学数学学习中的重要一环，通过证明可以深入理解几何定理和推理方法，并培养学生的逻辑思维和创造力。
然而，对于初学者来说，证明过程可能会显得复杂而困难。
为了帮助初中生更好地理解和掌握几何证明，下面将提供几个口诀，帮助他们记忆和应用。
一、相似三角形的证明在几何证明中，相似三角形是经常出现的题型。
相似三角形有一些重要的证明方法：1. 边比例法：两个三角形的对应边比例相等，则两个三角形相似。
2. 角对应法：两个三角形的对应角相等，则两个三角形相似。
3. 边角对应法：两个三角形有一个对应边比例相等，另外两个对应角相等，则两个三角形相似。
二、垂直性的证明证明两条线段或两条直线垂直的方法有：1. 互余角法：两条直线相交，且相交角互为余角，则两条直线垂直。
2. 垂直角法：两条直线相交，且形成的四个角中，两个相邻角为垂直角，则两条直线垂直。
三、平行性的证明证明两条线段或两条直线平行的方法有：1. 对顶角法：两条直线被一条直线截断，截断直线上的对顶角相等，则两条直线平行。
2. 平行线夹角法：两条直线被一条直线截断，截断直线上的内错角相等，则两条直线平行。
四、三角形形状与大小的证明证明三角形形状和大小的方法有：1. 等腰三角形证明：两条边相等的三角形，其对应的两个角也相等。
2. 直角三角形证明：一个角为直角的三角形，其余两个角为锐角或钝角。
3. 等边三角形证明：三条边相等的三角形，其对应的三个角也相等。
以上是初中数学几何证明中常见的口诀，通过记忆这些口诀，学生可以更好地理解和应用几何证明的方法。
当然，这些口诀只是一个指导，要想在实际学习中获得更好的成果，还需要多做几何证明的练习，不断提升自己的证明能力与思维能力。
祝愿大家在数学学习中取得好成绩！。
2024年中考数学几何证明技巧总结
2024年中考数学几何证明技巧总结中考数学中的几何证明题一直是许多同学感到头疼的部分，但只要掌握了正确的技巧和方法，其实并没有想象中那么难。
下面就为大家总结一些 2024 年中考数学几何证明的实用技巧。
一、牢记基本定理和性质几何证明题的解答离不开各种定理和性质，比如三角形的内角和定理、勾股定理、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等等。
同学们一定要将这些基础知识牢记于心，这样在解题时才能迅速找到思路。
例如，在证明三角形全等时，要清楚全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），并且能够根据题目所给的条件，准确选择合适的判定方法。
二、学会识图与画图良好的识图能力是解决几何证明题的关键。
拿到一道题，首先要仔细观察图形，找出其中的隐含条件。
比如，两条平行线被第三条直线所截，同位角、内错角相等；等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线三线合一等等。
如果题目所给的图形不够清晰或者不利于解题，还可以自己动手重新画图。
在画图的过程中，可能会发现一些新的线索和关系。
三、添加辅助线当题目中的条件不足以直接得出结论时，添加辅助线往往能起到关键作用。
常见的辅助线有连接两点、作垂线、作平行线、延长线段等等。
比如，在证明三角形内角和为 180°时，可以通过作平行线将三角形的三个内角转化为平角；在证明梯形问题时，可以通过作高将梯形转化为三角形和矩形来解决。
四、运用逆向思维有时候从已知条件正向推导很难得出结论，这时可以尝试从结论出发，逆向思考需要什么条件才能得到这个结论，然后再看已知条件是否能够提供这些条件。
例如，要证明一个四边形是平行四边形，可以先思考平行四边形的判定条件，然后看题目中的条件是否能够满足其中的某一个判定条件。
五、多做练习题熟能生巧，只有通过大量的练习，才能真正掌握几何证明的技巧。
在练习的过程中，要注意总结不同类型题目的解题方法和规律，积累经验。
同时，做完一道题后，要认真反思自己的解题过程，看看有没有更简单的方法，或者自己在哪些地方容易出错，以便在今后的学习中加以改进。
初中相似三角形解题技巧集锦
运用角平分线
1. 角平分线的基本概念和性质：角平分线是指将一个角平分成两个相等的 角的线段，具有对称性和比例性质。 2. 利用角平分线求相似三角形的边长比例：在一些相似三角形的题目中， 可以通过利用角平分线的比例性质，以及已知三角形中某个角的度数或边 长比例，求解出其他角的度数或相应边的比例。 3. 利用角平分线证明两条线段平行：当两条平行线段中夹角被角平分线平 分时，这两条线段与角平分线所形成的两个小三角形必定相似，因此它们 之间的对应边也成比例关系，从而可以通过此法证明两条线段平行。
利用比例求两直线平行
1. 利用角的对应性质确定直线之间的关系：当两直线上的对应角相等时，这两直线平行。 2. 利用对应线段成比例的性质求解：在相似三角形中，两直线与三角形相对的边成比例，因此可以利用已知边长求解未知边长，从而判断两直线是否 平行。
04
知识点巩固题型
Knowledge point consolidation question type
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05
实例分析解题
Example analysis and problem-solving
实例分析解题
图形比较 关键词 关键词 关键词 关键词 关键词 关键词
边长比较 比较边长的大小关系
内角相等 边长比例
比例计算 比例的性质 求解未知量
实际应用
06
解题技巧总结
Summary of problem-solving techniques
02
角度相等法解题
Solving problems using the method of equal angles
相等角作边比
1. 什么情况下可以使用相等角作边比法？ 2.需要强调的是，只有在两个三角形中存在对应的相等角才能使用相等角作边比法进行解题。如果没有找到相等角，就不能使用这个解题方法。 3. 如何判断哪些边是对应边？ 4.可以观察两个三角形的图形，找出它们的相等角，然后根据对应角对应边的关系，就可以判断出两个三角形的对应边。
证明相似三角形的方法
证明相似三角形的方法相似三角形是指两个或多个三角形，在形状上相似但尺寸不同的情况下，它们的对应角度相等，对应边的比值相等。
在几何学中，证明两个三角形相似是十分重要的一项技巧，下面将介绍三种常见的证明相似三角形的方法。
方法一：AA法（角-角相似定理）AA法是指通过两个三角形之间的两个对应角相等来证明它们相似。
具体步骤如下：1. 首先，观察两个三角形，找出它们之间的对应角;2. 接着，通过角的对应关系写出等式；3. 最后，用图形中已有的信息利用等式求解，判断对应边是否成比例。
方法二：SAS法（边-角-边相似定理）SAS法是指通过两个三角形之间的两个对应边成比例且夹角相等来证明它们相似。
具体步骤如下：1. 首先，观察两个三角形，找出它们之间的对应边和夹角;2. 接着，通过对应边比例和夹角相等写出等式；3. 最后，用图形中已有的信息利用等式求解，判断剩余两边是否成比例。
方法三：SSS法（边-边-边相似定理）SSS法是指通过两个三角形之间的三个对应边成比例来证明它们相似。
具体步骤如下：1. 首先，观察两个三角形，找出它们之间的对应边;2. 接着，通过对应边成比例写出等式；3. 最后，用图形中已有的信息利用等式求解，判断对应角是否相等。
在使用这些方法证明相似三角形时，需要注意以下几点：1. 证明时要清晰地写出各个步骤，并在图形上标注对应关系；2. 为了证明相似的正确性，应该尽量用已有的已知条件进行判断，而不是基于猜测或推测；3. 在证明过程中，遵循严密的逻辑推理，确保每一步合理且准确。
需要强调的是，证明相似三角形并非仅限于上述三种方法，根据具体问题的要求，还可以结合角平分线定理、中位线定理等进行推导。
总结起来，证明相似三角形的方法主要有AA法、SAS法和SSS法。
通过运用这些方法，我们可以有效地判定两个三角形是否相似，并进一步推导出各项相似比。
通过这些证明方法的应用，我们可以更深入地理解三角形的相似性质，并在实际问题解决中灵活运用。
相似三角形证明技巧(整理)
（2）设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式（只要求根据2的情况说明理由）；
9.（1）如图1，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P．求证： ．
（2） 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．
说明理由。
分析方法：
1）先将积式______________
2）______________（“横定”还是“竖定”？）
例3、已知：如图，△ABC中，∠ACB=900，AB的垂直平分线交AB于D，交BC延长线于F。
求证：CD2=DE·DF。
分析方法：
1）先将积式______________
2）______________（“横定”还是“竖定”？）
有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。
例1、已知:如图,ΔABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.
求证:
（判断“横定”还是“竖定”？）
例2、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的
平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB吗？
求证： BC2＝2CD·AC．
中考综合题型
1.已知：如图，在 中， 是角平分线，试利用三角形相似的关系说明 ．
2.如图，矩形 中， 厘米， 厘米（ ）．动点 同时从 点出发，分别沿 ， 运动，速度是 厘米／秒．过 作直线垂直于 ，分别交 ， 于 ．当点 到达终点 时，点 也随之停止运动．设运动时间为 秒．
例2 如图6，□ABCD中，E是BC上的一点，AE交BD于点F，已知BE：EC＝3：1，
初中相似三角形几何证明技巧
初中几何证明技巧（分类）证明两线段相等1.两全等三角形中对应边相等。
2.同一三角形中等角同等边。
3.等腰三角形顶角的均分线或底边的高均分底边。
4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。
5.直角三角形斜边的中点到三极点距离相等。
6.线段垂直均分线上任意一点到线段两段距离相等。
7.角均分线上任一点到角的两边距离相等。
8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。
*9. 同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。
*10. 圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。
11.两前项（或两后项）相等的比率式中的两后项（或两前项）相等。
*12. 两圆的内（外）公切线的长相等。
13.等于同一线段的两条线段相等。
证明两个角相等1.两全等三角形的对应角相等。
2.同一三角形中等边同等角。
3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）均分顶角。
4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。
5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。
*6. 同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
*7. 圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线均分两条切线的夹角。
8.相像三角形的对应角相等。
*9. 圆的内接四边形的外角等于内对角。
10.等于同一角的两个角相等。
证明两条直线互相垂直1.等腰三角形的顶角均分线或底边的中线垂直于底边。
2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。
3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。
4.邻补角的均分线互相垂直。
5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。
6.两条直线订交成直角则两直线垂直。
7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直均分线上。
8.利用勾股定理的逆定理。
9.利用菱形的对角线互相垂直。
*10. 在圆中均分弦（或弧）的直径垂直于弦。
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初中几何证明技巧（分类）证明两线段相等1. 两全等三角形中对应边相等。
2. 同一三角形中等角对等边。
3. 等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。
4. 平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。
5. 直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。
6. 线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。
7. 角平分线上任一点到角的两边距离相等。
8. 过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。
*9. 同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。
*10. 圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。
11. 两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。
*12. 两圆的内（外）公切线的长相等。
13. 等于同一线段的两条线段相等。
证明两个角相等1. 两全等三角形的对应角相等。
2. 同一三角形中等边对等角。
3. 等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。
4. 两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。
5. 同角（或等角）的余角（或补角）相等。
*6. 同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
*7. 圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
8. 相似三角形的对应角相等。
*9. 圆的内接四边形的外角等于内对角。
10. 等于同一角的两个角相等。
证明两条直线互相垂直1. 等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。
2. 三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。
3. 在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。
4. 邻补角的平分线互相垂直。
5. 一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。
6. 两条直线相交成直角则两直线垂直。
7. 利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。
8. 利用勾股定理的逆定理。
9. 利用菱形的对角线互相垂直。
*10. 在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。
*11. 利用半圆上的圆周角是直角。
证明两直线平行1. 垂直于同一直线的各直线平行。
2. 同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。
3. 平行四边形的对边平行。
4. 三角形的中位线平行于第三边。
5. 梯形的中位线平行于两底。
6. 平行于同一直线的两直线平行。
7. 一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。
证明线段的和差倍分1. 作两条线段的和，证明与第三条线段相等。
2. 在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。
3. 延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。
4. 取长线段的中点，再证其一半等于短线段。
5. 利用一些定理（三角形的中位线、含30 度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等）。
证明角的和差倍分1. 与证明线段的和、差、倍、分思路相同。
2. 利用角平分线的定义。
3. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
证明线段不等1. 同一三角形中，大角对大边。
2. 垂线段最短。
3. 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
4. 在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大。
*5. 同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小。
6. 全量大于它的任何一部分。
证明两角的不等1. 同一三角形中，大边对大角。
2. 三角形的外角大于和它不相邻的任一内角。
3. 在两个三角形中有两边分别相等，第三边不等，第三边大的，两边的夹角也大。
*4. 同圆或等圆中，弧大则圆周角、圆心角大。
5. 全量大于它的任何一部分。
证明比例式或等积式1. 利用相似三角形对应线段成比例。
2. 利用内外角平分线定理。
3. 平行线截线段成比例。
4. 直角三角形中的比例中项定理即射影定理。
*5. 与圆有关的比例定理--- 相交弦定理、切割线定理及其推论。
6. 利用比利式或等积式化得。
证明四点共圆*1. 对角互补的四边形的顶点共圆。
*2. 外角等于内对角的四边形内接于圆。
*3. 同底边等顶角的三角形的顶点共圆（顶角在底边的同侧）。
*4. 同斜边的直角三角形的顶点共圆。
*5. 到顶点距离相等的各点共圆一周强化一、一周知识概述（一）相似三角形1、三个角对应相等，且三条边对应成比例的两个三角形，叫做相似三角形．用符号“∽”表示相似，读作“相似于”．①当且仅当一个三角形的三个角与另一个（或几个）三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个（或几个）三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③由相似三角形的定义知如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1 ．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ ABC∽△ A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ ABC的相似比，当且仅当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．（二）相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1：三边对应成比例的两三角形相似．判定定理2：两角对应相等的两个三角形相似．判定定理3：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．方法总结：（1）判定两个三角形相似，至少需要下列条件之一：①两角对应相等；②两边对应成比例且夹角相等；③三条边对应成比例．理解时，可类比全等三角形的判定方法．在①中，只要满足两个角对应相等，这两个三角形就相似，解题时关键是寻找对应角，一般地，在解题过程中要特别注意“公共角”“对顶角”“同角的余角（或补角）”都是相等的，这是常用的判定方法．（2）已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理（1）或判定定理（3）．但是，在选择利用判定定理（3）时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等．2、直角三角形相似的判定如图是一个十分重要的相似三角形的基本图形，图中的三角形，可称为“母子相似三角形”或“双直角三角形”，其应用较为广泛．如图，可简单记为：在Rt△ABC中，CD⊥AB，则△ ABC∽△ CBD∽△ ACD．所以AC2=AD·AB，BC2=BD·AB，CD2=A·D BD.（三）相似三角形的性质1、相似三角形的周长的比等于相似比．如图，其符号语言：2、相似三角形的对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．其符号语言：如图①∵△ ABC∽△ A′B′C′，AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，②∵△ ABC∽△ A′B′C′，BF=CF，B′F′=C′F′，③∵△ ABC∽△ A′B′C′，∠ BAE=∠ CAE，∠B′A′E′=∠C′A′E′，性质(1)与(2) 可简记为：相似三角形中一切对应线段及周长之比都等于相似比．3、相似三角形的面积的比等于相似比的平方．二、重点难点疑点突破1、寻找相似三角形对应元素的方法与技巧正确寻找相似三角形的对应元素是分析与解决相似三角形问题的一项基本功．通常有以下几种方法：(1) 相似三角形有公共角或对顶角时，公共角或对顶角是最明显的对应角；相似三角形中最大的角( 或最小的角) 一定是对应角；相似三角形中，一对相等的角是对应角，对应角所对的边是对应边，对应角的夹边是对应边；(2) 相似三角形中，一对最长的边( 或最短的边)一定是对应边；对应边所对的角是对应角；对应边所夹的角是对应角．2、常见的相似三角形的基本图形：学习三角形相似的判定，要与三角形全等的判定相比较，把证明三角形全等的思想方法迁移到相似三角形中来；对一些出现频率较高的图形，要善于归纳和记忆；对相似三角形的判定思路要善于总结，形成一整套完整的判定方法．如：①“平行线型”相似三角形，②“相交线型”相似三角形，③“旋转型”相似三角形．从基本图形入手能较顺利地找到解决问题的思路和方法，能帮助我们尽快地找到添加的辅助线．以上“平行线型”是常见的，这类相似三角形的对应元素有较明显的顺序，“相交线型”识图较困难，解题时要注意从复杂图形中分解或添加辅助线构造出基本图形．三、典型例题讲解1、寻找相似三角形例1、如图，在□ ABCD中， E 是AB 延长线上一点，连结DE，交AC于点G，交BC于点F，那么图中相似的三角形（不含全等三角形）共有（）A.6 对B.5 对C.4 对D.3 对解：由AE∥ DC，可得△ AEG∽△ CDG，△ DFC∽△ EFB.由BC∥ AD，可得△ BFE∽△ ADE，△ FCG∽△ DAG，△ DCF∽△ EAD. 故选 B.点评：本题主要是考查相似三角形识别的掌握情况．可运用平行线去直接找相似三角形，也可利用相似三角形的判定定理来找相似三角形，但要注意不要漏找．2、画符合要求的相似三角形例2、在大小为4×4的正方形方格中，△ ABC的顶点A、B、C 在单位正方形的顶点上，请在图中画出一个△ A1B1C1，使得△ A1B1C1∽△ ABC（相似比不为1），且点A1、B1、C1都在单位正方形的顶点上．1）（2）分析：1，则△ ABC的三边为设单位正方形的边长为从而根据相似三角形判定定理1或3可画△ A1B1C1，易得点评：在4×4的正方形方格中，满足题设的△ A1B1C1只能画出以上三个，若正方形方格数不加限制，则和△ ABC相似且不全等的三角形可以画无数个．3、利用相似三角形定义求线段长例3、已知△ ABC中，AB=8，AC=6，点D，E 分别在AB，AC 上，如果以A，D，E为顶点的三角形和以A，B，C为顶点的三角形相似，且相似比为，求AD和AE的长．分析：通过相似比，将AD，AE 的长转化到方程中求解．由于已知的两个三角形相似，并没有具体的对应关系，所以结论具有不确定性，应分类讨论．解：①如图(1) 所示，当△ ADE∽△ ABC时，有，②如图(2) 所示，当△ ADE∽△ ACB时，，小结：数形结合思想方法是解答有关相似三角形问题的基本方法．在解题时需借助图形深入理解数量之间的关系，并对问题进行全面的、进一步的分析与探索．4、相似三角形的判定例4、根据下列各组条件，判定△ ABC和△ A′B′C′是否相似，并说明理由．(1)AB=3.5 ，BC=2.5，CA=4，A′B′=24.5，B′C′=17.5，C′A′=28；(2) ∠A=35°，∠ B=104°，∠ C′=44°，∠ A′=35°；(3) AB=3 ，BC=2.6，∠B=48°，A′B′=1.5，B′C′=1.3，∠B′=48°．分析：(1) 中所给出的是两个三角形中的六条边的长，考虑用“三边对应成比例”；(2) 中给出的是两个三角形中的两组角，考虑用“两角对应相等”；(3) 中给出的是两个三角形中的两组边、一组角，考虑用“两边对应成比例且夹角相等”．解：(2) 因为∠ C=180°－∠ A－∠ B=41°，∠ B′=180°－∠ A′－∠ C′=101°，所以两个三角形中只有∠ A=∠A′，所以△ ABC与△ A′B′C′不相似．例5、如图，CD是Rt△ ABC斜边AB上的中线，过点 D 垂直于AB的直线交BC于E，交AC延长线于F．求证：(1) △ADF∽△ EDB；(2)CD2=DE·DF．分析：(1) △ADF与△ EDB都是直角三角形，要证它们相似，只要再找一个角对应相等即可；(2) 注意到CD是斜边AB的中线，AD=BD=C，D 由结论(1) 不难得出结论(2) ．证明：(1) ∵DF⊥AB，∴∠ ADF=∠BDE=90°，又∵∠ F＋∠ A=∠B＋∠ A，∴∠ F=∠B，∴△ ADF∽△ EDB．(2) 由(1) 得，∴ AD·BD=D·E DF．又∵ CD是Rt △ABC斜边上的中线，∴ AD=BD=C．D故CD2=D·E DF．点评：本题综合考查了直角三角形的性质与相似三角形的判定等．这是一道阶梯型问题，第(2) 题根据(1) 得出有关比例式，然后使用“等线代换”使问题简捷获证．其实第(2) 题也可这样思考：把它转化为比例式，证明这三条线段所在的△CDE∽△ FDC．请同学们完成这一证明．例6、如图，AD是△ ABC的角平分线，BE⊥ AD于E，CF⊥ AD于F．求证：分析：待证式中的四条线段不是在两个三角形中，无法直接根据两个三角形相似得出，需要插入一个“中间比”，由题设易证△ ABE∽△ ACF，△ BDE∽△ CDF，从中不难找到这个中间比．证明：∵AD是△ ABC的角平分线，∴∠ 1=∠2．∵ BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠ 3=∠4=90°，∴△ ABE∽△ ACF，点评：①当无法直接由两个三角形相似得出结论中的比例式时，一般可寻找“中间比”帮忙；5、相似三角形的性质的应用例7、如图所示，D是BC上一点，△ ABC∽△ DBA，E，F分别是AC，AD的中点，且AB=28，BC=36，求BE∶BF．解析：BE，BF分别是△ ABC，△ ABD中AC，AD边上的中线，而AC，AD又恰是相似三角形ABC 和三角形DBA的一组对应边，因而考虑利用相似三角形对应中线的比等于相似比来解答．因为△ ABC∽△ DBA，且BC=36，AB=28，所以相似比．又因为BE，BF分别是△ ABC，△ ABD中AC，AD边上的中线，点拨：利用相似三角形对应线段的比等于相似比的性质解决问题时，元素确定准确．注意把相似三角形的对应例 8、如图所示， PN ∥ BC ， AD ⊥BC ，交 PN 于 E ，交 BC 于 D ．分析： 首先，先说明△ APN 与△ ABC 相似，再根据相似三角形的性质和比例的有关知识结合已 知条件，就可求出这三个问题的结论． 解：(1) 因为 PN ∥BC ，所以可得△ APN ∽△ ABC ．又因为相似三角形面积比等于相似比的平方， 因为 S △ABC=18cm ，2 所以 S △ APN=2cm ．2小结： 两个三角形相似，具有的性质包括： (1) 周长比等于相似比； (2) 对应高 ( 中线、角平分 线)的比等于相似比； (3) 面积比等于相似比的平方． 本题的关键是由相似三角形面积的比等 于相似比的平方这一性质建立比例式，列方程求解，体现了数形结合的思想．例 9、如图，△ ABC 是一块直角三角形余料，∠ C=90°， AC=6cm ， BC=8cm ，现要把它加工成 正方形零件，试说明哪种加工方法的利用率较高．分析：此题实质上是比较两种图形中正方形的面积的大小，即比较这两个正方形的边长小．解：(1) 如图(1) ，设正方形CDEF的边长为x cm．∵EF∥AC，解之得(2) 如图(2) ，设正方形DEFG的边长为y cm．作CN⊥ AB 于N，交DG于M．由勾股定理得AB=10cm．，得AC·BC=AB·CN．∵DG∥ AB，∴△ CDG∽△ CAB．( 相似三角形对应高的比等于相似比)即．解之，得．由于．所以第(1) 种加工方法的利用率较高反思：有关三角形的内接正方形、矩形的问题的解题方法，通常是利用三角形对应高之比等于相似比，当题目中无高时可考虑作适当的垂线段以帮助解题．一、填空题1. 如果线段 a 、b 、c 、d 是成比例线段且 a=3， b=4， c=5 ，则 d= ____________ ；2. 如果两个相似三角形对应高的比为 4∶5，那么这两个相似三角形的相似比 为 __ ；对应中线的比为 ___________ ；对应角平分线的比为 _______ ；对应周 长的比为 ______ ；对应面积的比为 ___________ .图 4－ 703. ________________________________________________________________________ 如图 4－70，线段 AC 、BD 相交于点 O ，要使△ AOB ∽△ DOC ，应具备条件 _________________ ，还 需要补充的条件是 ______________ 或 _____________ 或 _____________ .4.两个相似三角形的最短边分别是 9 cm 和 6 cm ，它们的周长和是 60 cm ，则大三角形的周长 = _____________ cm ，小三角形的周长 = ________________ cm. 二、选择题1.两地实际距离是 500 m ，画在图上的距离是 25 cm ，若在此图上量得 A 、B 两地相距为 40cm ， 则 A 、B 两地的实际距离是 A.800 m B.8000 m C.32250 cm D.3225 m2. Rt △ ABC 中， CD 是斜边 AB 上的高，该图中共有 x 个三角形与△ ABC 相似， x 的值为A.1B.2C.3D.43. 下列各组三角形中，相似的为A. △ ABC 中，∠ A=35°, ∠B=50° △A ′B ′C ′中，∠ A ′=35°, ∠C ′=105°B.△ABC 中，AB=1.5，BC=1.25，∠ B=38°图 7－ 71△A ′ B ′ C ′中， A ′5B ′=2,B ′C ′=3 ,∠B ′=38 C.△ ABC中， AB=12， 中， BC=15，AC=26B ′=20，B ′C ′=25， C ′A ′=40三、解答题如图4－71，已知△ ADE∽△ ABC，AD=3 cm，DB=3 cm，BC=10c m，∠A=70°、∠ B=50°求证： CF 是 EF 与 FG 的比例中项．求：（ 1）∠ ADE 的度数； （2）∠ AED 的度数； （3）DE 的长.参考答案：20一、 1.d= 32.4 ∶5 4 ∶ 5 4 ∶5 4 ∶ 5 16 ∶25.OA OB 3. ∠ AOB=∠DOC ∠B=∠ C∠A=∠ D ODOC4.36 cm 24 cm二、 1.A 2.B 3.B三、（ 1） 50° （2）60° （3）5 cm相似图形精选练习ABCD 中， AD ∥BC ，AB ＝DC ，过点 D 作 AC 的平行线 DE ，交 BA的延长线于点 E ．求证：（1）△ ABC ≌△ DCB ；（2）DE ·DC ＝AE ·BD ．2、如图，在△ ABC 中，∠ CAB=60°，点 D 是△ ABC 内的一点，使∠ CDA=∠ADB=∠CDB.求证：线段 DA 是线段 DB 、 DC 的比例中项3、如图，在 Rt △ABC 中，∠ACB=90°，边 AC 的垂直平分线 EF 交AC 于点 E ，交 AB 于点 F ， BG ⊥ AB ，交 EF 于点 G ．1、已知：如图，在等腰梯形CB7、如图△ ABC 中，∠ B=∠C=α（0<α<600）.将一把三角尺中 300 角顶点 P 放在 BC 边上， 当 P 在 BC 边上移动时，三角尺中 300 角的一条边始终过点 A ，另一条边交 AC 边于点 Q ， P 、 Q不与三角形顶点重合 . 设∠ CPQ=β.4、如图，在正方形 ABCD 中， F 是 BC 上一点， AD 于 G.（1）求证：⊿ ABF ≌⊿ ADE ； （2）求证： BF ·FC ＝DG ·EC ；EA ⊥AF ，AE 交 CD 的延长线于 E ，连结 EF 交5、如图 3，在△ ABC 中， AB=AC ，点 D 、E 、F 分别在 AB 、BC 、AC 边上， DE=DF ，∠ EDF=∠ A ． 1）找出图中相似的三角形，并证明；BD AB2)求证： CE BC ．6、如图，△ ABC 中 D 为 AC 上一点， CD=2DA ，∠ BAC=45°， 连结 AE.求证： (1) ED=DA ； (2) ∠EBA ＝∠ EAB ；(3) BE2=AD ·ACBDC=60°， CE ⊥ BD ，E 为垂足，E C（ 1）用α、β表示∠ 1 和∠ 2； （2）①当β在许可范围内变化时，α取何值总有△ABP ∽△ PCQ ？ ②当α在许可范围内变化时，β取何值总有△ ABP ∽△ QCP ？（3）试探索有无可能使△ ABP 、△ QPC 、△ABC 两两相似？若可能， 写出所有α、β的值（不 写过程）；若不可能，请说明理由 .参考答案：1、证明：（1）∵四边形 ABCD 是等腰梯形，∴ AC ＝ DB ，∵AB ＝ DC ，BC ＝ CB ，∴△ ABC ≌△ BCD ，2)∵△ ABC ≌△ BCD ，∴∠ ACB ＝∠ DBC ，∠ ABC ＝∠ DCB ，∵AD ∥ BC ，∴∠ DAC ＝∠ ACB ，∠ EAD ＝∠ ABC ，∵ED ∥ AC ，∴∠ EDA ＝∠ DAC ，∴∠ EDA ＝∠ DBC ，∠ EAD ＝∠ DCB ， ∴△ ADE ∽△ CBD ， ∴DE ︰ BD ＝AE ︰ CD ，∴ DE ·DC ＝AE ·BD ．2、解：∵∠ CDA=∠ADB=∠ CDB ， ∴ ∠CDA=∠ADB=∠CDB=120°∴∠ ACD=180° -120 ° - ∠ CAD = 60°- ∠ CAD.DC DADA DB . ∴ DA 2DB DC即线段 DA 是线段 DB 、 DC 的比例中项 .3、证明：∵ EF ⊥ AC ， BC ⊥ AC ，∴ EF ∥BC ． ∵AE=CE ，∴ AF=FB ．∴ CF=AF=FB ．∵∠ AFE=∠GFB ，∠ AEF=∠ GBF ，∴△ AEF ∽△ GBF ．EF FB EF CF ∴ AF FG ．∴ CF FG ∴CF 是 EF 与 FG 的比例中项．又 ED BFBF FC DG EC5、(1) 解：△ DEF ∽△ ABC ，△ BDE ∽△ CEF ．DE DF 证明如下：∵ AB=AC ， DE=DF ，∴ AB AC ．EAD FABABF Rt ADE又ADAB Rt 2)∵Rt ABF Rt ADEBFEDDG ∥ CFDG EDED FCDG EC∴ FC EC4、证明 : （1）EAD DAF 90又∵∠ CAB=60°， ∴∠ BAD=60° - ∠CAD. ∴∠ ACD=∠ BAD. ∴△ ACD ∽△ BAD.DAF FAB, B P C∵∠ EDF=∠A，∴△ DEF∽△ ABC．∴∠ DEF=∠ B=∠ C．∵∠BED+∠DEF=∠C+∠CFE，∴∠BED=∠CFE．∴△ BDE∽△ CEF．BD DE2)证明：∵△ BDE∽△ CEF，∴ CE EF ．DE AB BD AB∵△ DEF∽△ ABC，∴ EF BC ．∴CE BC ．6、证明:(1) ∵ CE⊥BD ∴∠CED=9°又∠ BDC=6°0∴∠ECD=3°0∴ CD=2ED ∵CD=2DA∴ ED=DA(2) ∵ ED=DA ∴∠ DEA=∠ DAE∵∠ EDC=6°0 ∴∠ EAD=∠DEA=30° ∵∠BAD=45° ∴∠ EAB=15°又∠ BDC=∠DBA+∠ BAD ∴∠DBA=15°∴∠ EAB=∠EBA(3) ∵∠ EAB=∠ EBA ∴BE=AE∵∠ AED=∠ACE ∴△ AED∽△ ACEAE AD∴ AC AE∴AE2=AD·AC 即BE2=AD·AC7、解：(1)∠ 1=1500－β，∠ 2=300+β－α；(2)①由β =∠2 或∠ 1=∠ CQP，解得α =300. ∴当β在许可范围内变化时，α =300 总有△ ABP∽△ PCQ. ②由β =∠1 或∠ 2=∠ CQP，解得β =750.∴当α在许可范围内变化时，β =750 总有△ ABP∽△ QCP.(3)可能. ①α =300，β＝300；②β =750，α =52.50 ．。