剪力弯矩图习题课

+
7KN· m
DE 段内 FS=2KN>0 所以 M 为一上升斜直 线。由于 E 处为自由端， 又没有集中力偶作用， 故E处的弯矩 ME=0 。
全梁的 M 图见图示。
4KN· m+ 7KN· m 8KN· m
2KN· m
例8-10 分析梁上荷载作用情况，试用规律做下图梁 的剪力图和弯矩图。
mo=16kN/m A FA=5.5kN 2m 5.5kN + 2.75m M) 5kN · m + 11kN ·m C E 6m 6kN q=2kN/m D P2=2kN B FD=12.5kN 2m
图 9-3
例1：有一外伸梁受力情况如图所示，截面采用T型截面，已 Baidu Nhomakorabea材料的容许拉应力为 40 MPa ,容许压应力 100 MPa 试校核梁的强度。
Z
解（一）作梁的弯矩图如图 最大正弯矩
Mc 10KN .m
最大负弯矩
20kN· m
M A 20 KN .m
max C max
MC y2 34.5 MPa 40 MPa Iz
拉应力强度足够。
2．压应力强度校核 A截面下部受压 ：

A截面 应力 分布图 C截面 应力 分布图
Amax
M A y2 Iz
C截面上部受压 ：

Cmax
MC y1 Iz
由于 B 处有向下集中 FS 图上向下 力 P1 的作用， 有一突变，突变值为 P1=10KN ，所以 B 右段面的 剪力值为：
QB右 7 10 3 KN
BC 段内无分布荷载， 所以 BC 段的剪力图为一 水平线，并从 B右 一直延 伸到 C 点。
由于 CD 段有 向下的均布荷载作 用，即 q(x)=2KN/m（常数）， 所以该段 剪力图 为一下降的斜直线。 C、D 两截面 的剪力之差等于荷 载在该段之和，即 -2×2=-4KN ，所以 D左 截面的剪力值 为： QD左 3 4 7 KN
二、几何方面
（由实验观察得如下现象：） a.变形后，所有横向线仍保持 为直线，只是相对倾斜了一个 角度。 b. 变形后，所有纵向线变成 曲线，仍保持平行;上、下部 分的纵向线分别缩短和伸长 。 图 9-2
根据上述现象，设想梁内部的变形与外表观察到的现象 相一致，可提出如下假设： a. 平面假设：变形前横截面是平面，变形后仍是平面，只是 转过一个角度，仍垂直于变形后梁的轴线。 b. 中性层假设：梁内存在一个纵向层，在变形时，该层的纵 向纤维即不伸长也不缩短，称为中性轴。
复习与提问
★提问5条绘制剪力图和弯矩图的规律： • 在无荷载作用区，剪力图为一段平行于X轴的直 线，当剪力图为正时，弯矩图斜向右下方，当 剪力图为负时，弯矩图斜上右上方。 • 均布荷载作用下：荷载朝下方，剪力图往右降， 弯矩图凹向上。 • 集中力作用处，剪力图发生突变，突变的绝对 值等于该集中力值，弯矩图发生转折。 • 集中力偶作用处，剪力图无变化，弯矩图发生 突变，突变的值等于该集中力偶。 • 在剪力为零的截面有弯矩的极值。
D 处有向上支座反力 FD 作用，剪力图在 D 处 有突变，突变值就是 FD=9KN 。D右 处的剪力 为：
QD右 7 9 2 KN
DE 段内无荷载作用， 剪力图为一水平线，从 D右 一直延伸到 E左 。 在 E 处有集中力 P2 向下作用，Q 图又回到零。
全梁的剪力 图见图示。
（三）作弯矩图 由于A 为铰支座， 又没有集中力偶作用， 所以 MA=0 ；弯矩从零 FS 开始在 AB 段内 =7KN>0 ，所以 M 为一 上升斜直线。 B、A 两截面的弯矩 之差即为剪力图（ AB 段） 的面积。 即 MB M A 7 1 7 KN m
q=10kN/m A C 2m Q) 20kN M) 20kN· m 3m P=20kN x D B 1m 10 A截面 D截面 30 200mm
200 yc 30
y
7.25
压
10
拉
15.75
（四）校核梁的强度（绘出应力分布图） 1.拉应力强度校核 A截面为负弯矩，上部受拉 M A max A y1 Iz
A截面 应力 分布图 C截面 应力 分布图
C截面为正弯矩，下部受拉 MC C max y2 Iz
由于 MC y2 M A y1 ，最大拉应力发生在C截面下边缘
FS )
2kN + - 6.5kN 8kN ·m -
+ 2.56kN ·m
例8C1 作图示梁的内力图
20kN c 1 40kN· m 10kN/m
a Ra
4m X=2.5m
b Rb
答：
FS
图 (kN)
15 20 20
25
M图 (kN· m)
M
20
31.25
例8C2 画内力图
qa2
q
a
Fa a
FS
A截面
10kN· m
C截面 z 拉
弯矩图
压
（二）确定中性轴的位置 截面形心距底边
30 170 85 30 200 185 yc 30 170 30 200 139mm
(三)截面对中性轴的惯性矩
3 200 303 30 170 Iz 200 30 462 30 170 542 12 12 40.3 106 m 4
★回忆规律口诀： 剪力：左上右下为正，反之为负； • 弯矩：左顺右逆为正，反之为负。 • 注意：左-----取左边梁为研究对象 右-----取右截面为研究对象
做题步骤：
• • • • 1、求梁的支座反力 2、作出梁的轴线，定性的标出关键截面点 3、根据规律画剪力图、弯矩图 4、填充竖线，标出正负号，标上剪力图 （kN）、弯矩图(kN.m)字样
例5 绘图示梁的剪力图和弯矩图。
例5图 解 （一）求支座反力 由平衡条件得：FA=7KN ，F0=9KN 。
（二）作剪力图 由梁 A 端开始。 由于 A 处有向上支座 FS 反力 FA=7KN ， 图由零向 上突变，突变值为 FA=7KN 。 由于 AB 段内无分布荷 载，所以 AB 段的剪力图为 一水平直线，并从 A 点一直 延伸到 B 点稍偏左截面处。
b
c
Rb 2a 2a
d Fd
答：
图
qa qa qa
M图 M
例8-11 试用叠加法作梁的弯矩图。
mo A q B mo A B A q B
mo
mo/2
mo
mo/2
mo
ql2/8
ql2/8
ql2/8-mo/2 最终弯矩图
为了研究纯弯曲梁横截面上的正应力分布规律及计算，
要综合考虑变形的几何关系，物理关系及静力平衡关系。
由于 M A y2 MC y1 ，最大压应力发生在A截面的下边缘
max A max
压应力强度足够。
M A y2 69 MPa 100 MPa Iz
• 例9A11 铸铁梁的截面为T字形，其容许拉应力 [σt]=40MPa，容许压应力[σc]=100MPa，试校核梁 的正应力强度。若梁的截面倒置，情况又如何?