样条函数

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样条(Spline)函数

I 、三次Spline 插值函数的定义给定区间],[b a 上的一个分划∆，且<<=10x x a …b x n =<和一组函数值0y ，1y ，2y ，…，n y ，如果)(x ∆ϕ具有下列性质：1],[)(2b a C x ∈∆ϕ；2 在每个子区间)1](,[1n k x x k k ≤≤-上，)(x ∆ϕ是一个三次多项式；3i i y x =∆)(ϕ，i =0，1，…，n 。

（称为插值条件）则称)(x ∆ϕ是关于分划∆的分段三次样条函数，简称为Spline 函数。

将)(x ∆ϕ表示成如下分段形式：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∈⋯⋯∈⋯⋯∈∈=--∆],[),(],[),(],[),(],[),()(11212101n n n k k kx x x x s x x x x s x x x x s x x x x s x ϕ其中)1)((n k x s k ≤≤是一个三次多项式，且满足插值条件： 11)(--=k k k y x s ，k k k y x s =)( 为了得到)(x s k 的具体表达式，根据],[)(2b a C x ∈∆ϕ可知，对每个内部结点)11(-≤≤n k x k 有：)0()()()0(''''+===-∆∆k k k k k k x x s x s x ϕϕ)0()()()0(""""+===-∆∆k k k k k k x x s x s x ϕϕ下面利用上述条件导出)(x s k 的表达式。

II 、三次Spline 插值函数的表示设)10()('n k m x k k ，，，⋯==∆ϕ，则k k k k k m x s x s ==+)()('1'。

利用分段Hermite 插值公式得)()()()()(1111x m x m x y x y x s k k k k k k k k k ββαα+++=---- （*）其中)(x k α和)(x k β称为Hermite 插值的基函数（在下面附录中将详细介绍），这里的k x 一阶导数k m 是未知待定的。

样条插值方法-空间分析-空间统计

空间统计方法-样条插值1. 样条插值拉格朗日插值和牛顿插值的结果中，插值函数的为n-1次多项式函数（n 是已知点的个数）。

当样本点很多时，多项式的次数会很高。

这会导致插值结果对已知点的取值非常敏感。

样条插值可以解决上述问题。

样条插值的基础是样条函数。

样条函数是一种特殊的函数，由多项式分段定义, 通常是指分段定义的多项式参数曲线。

在插值问题中，样条插值通常比多项式插值好用。

用低阶的样条插值能产生和高阶的多项式插值类似的效果，分段插值具有良好的稳定性和收敛性，可以避免被称为龙格现象的数值不稳定的出现。

并且低阶的样条插值还具有“保凸”的重要性质。

样条插值一般包括线性样条插值、二次样条插值和三次样条插值，其中三次样条插值最为实用，本节主要介绍三次样条插值。

样条函数插值采用两种不同的计算方法：规则样条(Regularized Spline)和张力样条(Tension Spline)。

设在区间[a,b]上取n+1个节点01a x x x n b =<<<=L ，函数f(x)y =在各个节点处的函数值为f(x )(i 0,1,,1)i i y n ==-L ,若S(x)满足S(x )y ,(i 0,1,,1)i i n ==-L ；S (x )在区间[a ,b ]上具有连续的二阶导数；在每个小区间1[x ,x ](i 0,1,,1)i i n +=-L 上S(x)是三次多项式。

则称S(x)是函数y f(x)=在区间[a,b]上的三次样条插值函数。

从定义可知，要求出S(x)在每个小区间1[x ,x ](i 0,1,,1)i i n +=-L 上要确定4个待定系数，共有n 个小区间，根据上述条件(2)有S(x 0)S(x 0)i i -=+S (x 0)S (x 0),i 1,2,,1i i n ''-=+=-LS (x 0)S (x 0)i i ''''-=+共有3n-3个条件，再加上条件(1),共有4n-2个条件，因此还需2个条件才能确定S(x)，通常在区间[a,b]的端点0a x ,b x n ==上各加一个条件(称为边界条件)，可根据实际问题的要求给定。

§1 样条函数及其基本性质

第七章 §1 样条函数及其基本性质1.产生样条函数的原因？多项式逼近→分段多项式逼近→样条逼近，多项式逼近简单易行，局部性好，但高次多项式逼近会产生龙格现象，另外高次多项式零点很多导致函数震荡剧烈，不适合逼近平滑的函数；分段多项式逼近只保证了各分段之间的连续性，连接处左、右导数存在，但不相等，函数不光滑，不能满足精密机械设计；样条函数是一种各相邻段上的多项式之间具有某种连接性质的特殊的分段多项式，它既有低次多项式的简单性，又有相当的光滑性和灵活适应性，还避免了高次多项式插值的不稳定性，是函数逼近的重要工具。

2.样条函数的定义和构造 (1)定义设给定一组结点011N N x x x x +-∞=<<<<=∞又设分段函数()S x 满足条件：1 在每个区间1[,]j j x x +上()S x 是一个次数不超过n 的实系数代数多项式；（分段多项式）2 ()S x 于[,]-∞∞上具有一直到1n -阶的连续导数；（由于每个子区间为n 次多项式，故在各分段上已经具有1n -阶的连续导数，故需要在连接点处满足1n -阶的连续导数，样条函数构造的出发点）则称()y S x =为n 次样条函数，12(,)n N S x x x 表示以点i x 称为样条结点的n 次样条函数.对于21n -次样条函数()y S x =如果在区间1(,]x -∞和[,)N x ∞上的表达式都是1n -次多项式，则特别称之为21n -次的自然样条函数，记作2112(,)n N N x x x -.(2)构造（见教材）任一12()(,,)n N S x S x x x ∈均可唯一记为1()()()()Nn n j j j S x p x c x x x +==+--∞<<∞∑，函数系211,,,,(),()n n n N x x x x x x x ++--为构成样条函数12(,,)n N S x x x 的一组基底，任一2112()(,,)n N S x N x x x -∈记为2111()()()()Nn n j j j S x p x c x x x --+==+--∞<<∞∑，为了保证在[,)N x ∞上是一个1n -次多项式（定理3），则系数必须满足约束条件10(0,1,,1)Nkj jj c xk n ===-∑。

b样条的边界函数 -回复

b样条的边界函数-回复样条插值方法是一种常用于曲线拟合和插值的数学方法，在许多实际问题中都有广泛的应用。

边界函数是样条插值中的重要组成部分，它用于确定样条曲线的边界条件。

本文将以“样条的边界函数”为主题，详细介绍样条插值和边界函数的相关概念，并逐步解释具体的实现步骤。

首先，让我们来了解一下样条插值的基本概念。

样条插值是一种通过连接给定数据点之间的曲线来逼近未知函数的方法。

它的基本思想是将整个插值区间划分为多个小的子区间，并在每个子区间上使用不同的插值函数进行插值。

这些子区间的插值函数被称为样条函数，它们的连接处应满足一定的条件以保证整个曲线的连续性和平滑性。

在样条插值中，边界函数用于确定样条曲线的边界条件。

边界条件可以是两种类型：第一类边界条件和第二类边界条件。

第一类边界条件是通过给定边界点的函数值来确定的，例如给定曲线起点和终点的函数值。

而第二类边界条件是通过给定边界点的导数值来确定的，例如给定曲线起点和终点的一阶导数值。

接下来，我们将逐步回答如何确定样条曲线的边界函数。

第一步：确定边界条件的类型在确定样条曲线的边界函数之前，我们首先需要确定边界条件的类型。

根据实际问题的要求，我们可以选择第一类边界条件或第二类边界条件。

第二步：求解边界函数根据边界条件的类型，我们需要对样条曲线的边界函数进行求解。

具体的求解方法包括：- 第一类边界条件：通过将边界点的函数值代入到样条函数中，可以得到边界函数的表达式。

- 第二类边界条件：通过将边界点的导数值代入到样条函数的导数表达式中，可以得到边界函数的表达式。

第三步：确定样条插值函数确定了边界函数之后，我们就可以根据样条插值的方法来确定整个样条曲线的插值函数。

样条插值函数的表达式可以通过连接各个子区间的边界函数来得到。

第四步：调整插值函数的参数在确定了样条插值函数之后，我们还可以根据实际问题的要求来调整插值函数的参数，以得到更好的拟合效果。

常见的调整方法包括调整样条插值函数的阶数、节点的选择以及插值函数的平滑度等。

均匀b样条基函数

均匀b样条基函数均匀B样条基函数是工程、计算机科学、金融等多个领域中广泛应用的计算机图形学中的专有名词。

B样条（B-spline）和Bézier曲线是计算机图形学中最简单、最常用的曲线之一。

B-spline曲线是由均匀B样条基函数（Uniform B-Spline Basis Function）和控制点（Control Points）组成的一种曲线。

均匀B样条基函数是一种数学函数，用于控制B样条曲线的形状。

均匀B样条基函数的定义是：给定定义域[a, b]和正整数k，均匀B样条基函数是由一个非零有限支撑的k次多项式定义的，支撑在定义域[a, b]上的每个B样条基函数由k+1个控制点控制，符合B样条条件。

在均匀B样条基函数中，定义域[a, b]被均分成k个区间，每个区间的长度为1/k。

均匀B样条基函数的基本形式为：N(i, k, t)，其中i表示B样条的第i段区间，k表示B样条的次数，t为取值范围在[0, 1]之间的参数，表示B样条的位置。

其中，具体的均匀B样条基函数的计算方式是以递归方式进行计算的，即：当k=0时：if i≤t<i+1, N(i, 0, t)=1; else N(i, 0, t)=0;当k≥1时：N(i, k, t)=[(t−i)/(i+k−1−i)]N(i, k−1, t)+[(i+k−i−t)/(i+k−i)]N(i+1, k−1, t)1. 大于等于1次的均匀B样条基函数都是非负的、单调递增的和有限支撑的。

最高次的B样条基函数是非负的和单调递增的，但是它的支撑不是有限的；2. 任意k-1个相邻的均匀B样条基函数的和为一个常数，即这个性质被称为插值条件，保证了B样条曲线穿过k-1个连续的控制点；3. 对于一个给定的控制点序列，B样条曲线是由一个k-1次连续可导的分段函数组成的；4. B样条曲线在任何一点处都具有局部控制的特性，即某个控制点位置的改变只可能影响到曲线某个区间内的局部形状。

样条函数

由 zi Si ''(ti ) ，z Si ''(t ) i 1 i 1
z z 得到 Si'' ( x) i (t x) i 1 ( x ti ) (5) h i 1 h i i 这里 hi t - ti . i 1
将 (5)积分两次，就得S (x): i z z S ( x) i (t x)3 i 1 ( x ti )3 i 6h i 1 6h i i C ( x ti ) D(t x) (6) i 1
称S ( x)为满足插值条件的k次样条。
零次样条
零次样条为分段常数，即具有如下形式 S ( x) c x [t , t ) 0 0 0 1 S ( x) c x [t , t ) 1 1 1 2 S(x)
S ( x) c n 1 n-1
这里，C,D为积分常数，待定。
将插值条件Si (ti ) yi ， i (t ) y S i 1 i 1
可以确定C , D：
z z S ( x) i (t x)3 i 1 ( x ti )3 i 6h i 1 6h i i y z h y zh ( i 1 i 1 i )( x ti ) ( i i i )(t x) (7) h 6 h 6 i 1 i i
该系统可以用高斯消元法求解，不必选主元
input n, (ti ), (yi ), m0 , mn (转角条件) for i 0 to n-1 do h t ti； i 1 i bi 6( y yi ) / hi i 1 enddo
zn 0 for i n-1 to 1 step -1 do zi (vi hi z )/ui 回代 i 1 enddo z 0 0 output ( zi )

样条函数

第五章函数近似计算(插值问题)的插值方法5.6样条函数及三次样条插值在许多工程、工业设计（如建筑设计，汽车、船舶、飞机以及多种工业品、日用品等的外形设计）中，经常用到的一种所谓样条曲线。

它就是数值技术中一类称为样条函数的数学工具。

最简单的一种样条函数是由分段三次多项式连接起来，而在连接点处具有1阶、2阶连续导数的函数（曲线），称为三次样条函数。

如果以样条函数作为插值函数，就称为样条插值，最基本的样条插值是三次样条插值。

1.三次样条函数与三次样条插值定义5.6.1 对函数s（x）和在[a,b]上给定的一组节点（或称分划）△：a=x0<x1<…<x n=b（1）如果函数s（x）在每个小区间[x i,x i+1](i=0,1,…,n-1)上是三次多项式；（2）函数s（x ）∈ [a,b],则称s(x)是关于分划△的三次条样函数。

（3）如果对给定的某函数f在分划△的节点上的函数值f i＝f i(x i)(i=0,1,…,n),三次样条函数s（x）满足插值条件s(x i)= f i (i=0,1,…,n) (5.6.1)则称s（x）为关于分划△的三次条样插值函数。

函数f的三次样条插值也是一种分段插值，与分段三次Hermite插值比较，它只需提供f i (i=0,1,…,n)和两个下面将要说明的所谓边界值，便可得到在节点处具有连续的具有1阶、2阶连续导数的函数（曲线），而且曲线的光滑度更好，更具有“曲线美”。

这就是工程/工业设计中喜欢样条曲线的原因。

那么，如何求分划△上函数f的三次样条插值函数s（x）呢？由于在每个小区间[x i, x i+1]上s（x）是三次多项式，故要确定s（x）就需确定4个参数，而一共有n个小区间，故需确定4n个参数。

但这里仅有n+1个插值条件(5.6.1)和在内节点处3*（n-1）个连续性条件：s(x i-0)= s(x i+0)s’(x i-0)= s’(x i+0)（i=1，2，…，n-1）s’’(x i-0)= s’’(x i+0)即总共仅有4n-2个定解条件。

三次样条插值函数matlab

三次样条插值函数matlab一、 MATLAB 三次样条插值函数MATLAB 提供了一系列的函数可以进行数据的插值，样条插值函数提供了基于曲线和曲面的插值，MATLAB 主要提供了两类样条插值函数：一类是 spline 函数，另一类是 csapi 函数。

1. spline 函数spline 函数是基于经典的三次样条插值理论，它接受三维点集并用一条三次样条曲线连接。

使用 spline 函数时，您可以向函数提供三维点集，例如：x=[1,2,3,4,5];y=[2,8,16,30,50];z=[3,6,12,24,42];spline_curve=spline(x,y,z);2. csapi 函数csapi 函数是 MATLAB 的一种“三次样条插值”，允许你使用固定的方程，更有效地解决插值问题。

它可以把一组三维点集拟合成一条三次样条曲线。

使用 csapi 时，您可以向函数提供三维点集，例如：x=[1,2,3,4,5];y=[2,8,16,30,50];z=[3,6,12,24,42];csapi_curve=csapi(x,y,z);二、MATLAB 三次样条插值函数使用1. spline 函数spline 函数可以实现三次样条曲线的插值，该函数的基本格式如下：y2=spline(x,y,x2)其中，x 为一个由 N 个不重复的坐标值组成的向量，y 为长度为 N 的向量，x2 为要求的坐标值向量；而 y2 为长度为 length(x2) 的向量，其中的每个元素表示一个拟合结果。

例如，有以下数据：x=[2.1;3.3;4.2;5.1]，y=[7.2;11.7;15.3;20.5]，现在要求 x=2.8 时，插值结果 y2：x=[2.1;3.3;4.2;5.1];y=[7.2;11.7;15.3;20.5];x2=2.8;y2=spline(x,y,x2)2. csapi 函数csapi 函数可以实现三次样条曲线的插值，该函数的基本格式如下：pp=csapi(x,y)其中，x 为一个由 N 个不重复的坐标值组成的向量，y 为长度为 N 的向量；而 pp 为三次样条插值函数的拟合结果。

三次B样条曲线

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B 样条曲线示例
三次B 三次样条曲线示例
数字图像处理
B 样条曲线示例
三次B 三次样条曲线示例
数字图像处理
B 样条曲线示例
四次B 样条曲线示例四次
数字图像处理
B 样条曲线示例
五次B 五次样条曲线示例
数字图像处理
2.2 B 样条曲线基函数的性质
B样条函数基函数为：
1 n−i G i ,n (t ) = ( − 1 ) j C nj+ 1 ( t + n − i − j ) n ∑ n! j = 0 t ∈ [ 0 ,1 ], i = 0 ,1 ,..., n
如左图所示，六个控制顶点控制的三次B样条曲线由三段B样条曲线段组成。其中，每一条曲线段由四个顶点控制。
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B 样条曲线的性质
2.几何不变性
由于定义式所表示的B样条曲线是参数形式，因此，和 Bezier曲线一样，B样条曲线的形状和位置与坐标系选择无关。
3. 连续性
当给定的m+n+1个控制顶点Pi (i=0，1，…，m+n)互不相重，则所控制的整条B样条曲线具有n-1阶几何连续 (G n-1)。当给定的控制顶点相邻最大重顶点数为h（即h 个控制顶点重合在一起），则整条B样条曲线具有n-h1阶几何连续(G n-h-1)。
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B 样条曲线的性质
4. 对称性
根据B样条曲线的基函数的对称性可推导
Pk , n (1 − t ) = =
∑
n
n
i=0
Pi + k G i , n (1 − t ) Pi + k G n − i , n ( t ) ( t ∈ [ 0 ,1 ])

第7章样条函数(Spline)

概述

样条函数的分类：

B(Basis-基)样条函数

典型：贝塞尔曲线（也称贝兹曲线）

一般样条函数

二次样条函数三次样条函数
7.1 二次样条函数

它是分段的二次插值多项式
1、定义

7.1.1 二次样条函数的定义和特性
设有n 1个节点xi , yi , i 0,1,2,, n, 则定义二次样条
7.1 二次样条函数

令hi xi 1 xi 2、系数的计算：

i 0,1,, n 1
(1) ci的计算 ci yi i 0,1,, n 1

(2) bi的计算 bi yi 1 yi i 0,1,, n 1
hi

h0 通常让一个边界点的导数值已知 , 设为 a hi 1 a bi bi 1 i 1, , n 1 i i 1 h hi i f x0 y0
7.1 二次样条函数

7.1.3 二次样条计算过程和算例
1 5 例1 作二次样条函数逼近 x , 节点取x0 , x1 , x2 1, 4 8 并计算S 0.875的值.

7.1.4 插值余项
i
M b a h 2 R( x) 8
Байду номын сангаас
其中, h max hi , M max f x
7.2 三次样条函数

是分段的三次插值多项式

7.2.1 三次样条函数的定义设有n 1个节点xi , yi , i 0,1,2,, n, 则满足下列条件的
函数称为三次样条函数 :
项式;

三次B样条曲线

果满足下列条件：
(1)在每个小区间
x i
1 2
,
x i
1 2
i 0,1,...,n内，S(x)是二次
多项式函数，这里，
x
i
1
2
xi1 xi 2
(i 1,2,...,n), x1 2
x0 , xn1 2
xn ,称为半节点；
(2)在半节点
x i
1
(i=1，2，…，n)处成立
2
S
(k
)
(
x i
1
➢ 2.4: 二次B样条曲线
数字图像处理
1. 样条函数概念
➢ 样条函数的概念是美国数学家I.J.Schoenberg在 1946年首先提出的，他定义了一种B样条函数。尽管有 10年的时间未受到重视，但从60年代开始，随着电子计算机技术的飞速发展和数据拟合以及函数逼近在生产实验中的广泛应用，样条函数的理论和应用已迅速发展成了一门成熟的学科。由于样条(Spline)函数发展的开始，就具有广泛而又深刻的实用背景，因此，样条函数及其参数表示形式的曲线和曲面方法是自由曲线与曲面设计的基础。
➢ 4. 当给定一组顶点P0，P1，…，Pm(m＞2)，若存在 Pi=Pi+1 (0＜i≤m-2)，则二次B样条曲线经过顶点Pi，且在此处是尖点。
三点共线的情况
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尖点的情况
2.5 三次B样条曲线
取n=3，则有三次B样条曲线的基函数如下：
G0,3 G1,3
G2,3
(t) (t) (t)
具有如下性质：
1）有界正性：当 t [0,1] 时，0 Gi,n (t) 1, (i 0,1,..., n)
n
2）权性：即 Gi,n (t) 1, t [0,1] i0

样条函数法的工作原理(来自arcgis10帮助)

样条函数法的工作原理Resource Center » 专业库» 地理处理» 地理处理工具参考» Spatial Analyst 工具箱» 插值工具集» 插值工具集概念样条函数法工具应用的插值方法是利用最小化表面总曲率的数学函数来估计值，从而生成恰好经过输入点的平滑表面。

概念的背景从概念上讲，采样点被拉伸到它们数量上的高度；样条函数折弯一个橡皮页，该橡皮页在最小化表面总曲率的同时穿过这些输入点。

在穿过采样点时，它将一个数学函数与指定数量的最近输入点进行拟合。

此方法最适合生成平缓变化的表面，例如高程、地下水位高度或污染程度。

基本形式的最小曲率样条函数插值法在内插法的基础上增加了以下两个条件：∙表面必须恰好经过数据点。

∙表面必须具有最小曲率 - 通过表面上每个点获得的表面的二阶导数项平方的累积总和必须最小。

基本最小曲率法也称为薄板插值法。

它确保表面平滑（连续且可微分），一阶导数表面连续。

在数据点的周边，梯度或坡度的变化率（一阶导数）很大；因此，该模型不适合估计二阶导数（曲率）。

通过将权重参数的值指定为 0，可将基本插值法应用到样条函数法工具。

样条函数法类型有两种样条函数方法：规则样条函数方法和张力样条函数方法。

规则样条函数方法使用可能位于样本数据范围之外的值来创建渐变的平滑表面。

张力样条函数方法根据建模现象的特性来控制表面的硬度。

它使用受样本数据范围约束更为严格的值来创建不太平滑的表面。

规则样条函数类型REGULARIZED 选项对最小化条件进行了修改，从而将三阶导数项加入到最小化条件中。

权重参数指定最小化期间附加到三阶导数项的权重，在文献资料中称为τ(tau)。

增大此项的值可以得到更加平滑的表面。

介于 0 和 0.5 之间的值比较适合。

使用 REGULARIZED 选项可确保获得平滑的表面以及平滑的一阶导数表面。

如果需要计算插值表面的二阶导数，此方法很有用。

三次B样条曲线

曲线和曲面
1. 样条函数的概念

1.1: 一般样条函数的定义 1.2: 三次样条函数

1.3: 二次样条函数
2. B 样条曲线

2.1: B样条曲线的定义

2.5: 三次B样条曲线
2.2: B样条曲线基函数性 2.6: 二、三次B样条曲线的质应用 2.3: B样条曲线的性质

2.7: 非均匀B样条曲线
具有如下性质： 1）有界正性：当 t [0,1] 时， Gi,n (t ) 1, 0
(i 0,1,...,n)
(i 0,1,...,n)
2）权性：即
G
i 0
n
i ,n
(t ) 1,
t [0,1]
3）对称性：当 t [0,1] 时， i,n (t ) Gni,n (1 t ), G
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，则称S(x)为插Байду номын сангаас样条函
1.2 三次样条函数
假设在区间〔a，b〕上给定一个分割 Δ： a=x0<x1<…<xn-1<xn=b, 在〔a,b〕上的一个函数S(x)称为插值三次样条函数，如果满足下列条件: (1)在每一小区间〔xi-1,xi〕(i=1，2，…，n)内S(x)分别是三次多项式函数； (2)在节点xi(i＝1，2，…，n-1)处成立 :
5.递推性
n次B样条曲线段的递推曲线表示形式： l 0 Pi k i Pk ,l (t ) i ,l (t ) Pki,l 1 (t ) i ,l (t ) Pki,11 (t ), l 1,2,...,n, l
k 0,1,...,m 其中： 1 i ,l (t ) (i 1 t ); n l 1 1 i ,l (t ) ( n l i t ); n l 1 t [0,1]; i 0,1,...,n l ;

样条函数拟合

样条函数拟合方法样条函数拟合是将复杂曲线分为多段，段内用3次多项式进行拟合，同时保证分段的左右短连续且一、二次可导，以保证连接处的光滑。

Public Function FitBySpline(ByVal X() As Single, ByVal Y() As Single, ByVal SectorIndexs() As Integer) As Array ‘按照X点生成拟合后Y坐标'SectorIndex段索引，SectorIndexs段端所指的点索引Dim Y1(UBound(X)) As Single, i As Integer, SectorIndex As Integer, XLK As Single, Conf As ArrayConf = FitBySpline(X, Y, SectorIndexs) ‘拟合出曲线系数For i = 0 To UBound(X)SectorIndex = SearchSectorIndex(SearchIndex(X(i), X), SectorIndexs)XLK = 2 * (X(i) - X(SectorIndexs(SectorIndex))) / (X(SectorIndexs(SectorIndex + 1)) - X(SectorIndexs(SectorIndex))) – 1Y1(i) = Conf(7 * SectorIndex + 0) + Conf(7 * SectorIndex + 1) * XLK + Conf(7 * SectorIndex + 2) * (2 * XLK ^ 2 - 1) + Conf(7 * SectorIndex + 3) * (4 * XLK ^ 3 - 3 * XLK) NextReturn Y1End FunctionPrivate Function SearchSectorIndex(ByVal Index As Integer, ByVal SectorIndexs() As Integer) As IntegerDim i As IntegerFor i = 0 To UBound(SectorIndexs) - 1If Index >= SectorIndexs(i) And Index <= SectorIndexs(i + 1) ThenReturn iEnd IfIf Index >= SectorIndexs(i) And SectorIndexs(i + 1) = 0 Then '环狀Return iEnd IfNextEnd FunctionPrivate Function SearchIndex(ByVal X1 As Single, ByVal X() As Single) As Integer Dim i As IntegerFor i = 0 To UBound(X)If X1 >= X(i) And X1 <= X(i + 1) ThenReturn iEnd IfNextEnd Function'样条函数拟合计算，返回样条函数系数'x--x序列'y--序列'SectorIndexs--分段点索引序列'技术要求：双端在X的分段，X0和Xn是分段的首末点Private Function FitBySpline(ByVal X() As Single, ByVal Y() As Single, ByVal SectorIndexs() As Integer) As ArrayDim SectorCount = UBound(SectorIndexs) 'M个点将差出M-1段Dim TotalRow As Integer = (SectorCount) * 7 - 3Dim MatrixA(TotalRow - 1, TotalRow - 1), MatrixB(TotalRow - 1) As SingleDim CurrentSectorIndex, CurrentPointIndex, CurrentPointIndexPerSector As IntegerDim H1, XLK As Single, PointCountPerSector As IntegerDim A1, A2, A3, A4 As SingleFor CurrentSectorIndex = 0 To SectorCount - 1H1 = 1 / (X(SectorIndexs(CurrentSectorIndex + 1)) - X(SectorIndexs(CurrentSectorIndex)))PointCountPerSector = SectorIndexs(CurrentSectorIndex + 1) - SectorIndexs(CurrentSectorIndex) '双端在X上，仅计入一个For CurrentPointIndexPerSector = 0 To PointCountPerSector - 1CurrentPointIndex = CurrentPointIndexPerSector + SectorIndexs(CurrentSectorIndex)XLK = 2 * (X(CurrentPointIndex) - X(SectorIndexs(CurrentSectorIndex))) * H1 - 1A1 = 1A2 = XLKA3 = 2 * XLK ^ 2 - 1A4 = (4 * XLK ^ 2 - 3) * XLKMatrixB(CurrentSectorIndex * 7 + 0) = MatrixB(CurrentSectorIndex * 7 + 0) + A1 * Y(CurrentPointIndex)MatrixB(CurrentSectorIndex * 7 + 1) = MatrixB(CurrentSectorIndex * 7 + 1) + A2 * Y(CurrentPointIndex)MatrixB(CurrentSectorIndex * 7 + 2) = MatrixB(CurrentSectorIndex * 7 + 2) + A3 * Y(CurrentPointIndex)MatrixB(CurrentSectorIndex * 7 + 3) = MatrixB(CurrentSectorIndex * 7 + 3)+ A4 * Y(CurrentPointIndex)MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 + 0, CurrentSectorIndex * 7 + 0) = MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 + 0, CurrentSectorIndex * 7 + 0) + A1 ^ 2MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 + 1, CurrentSectorIndex * 7 + 1) = MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 + 1, CurrentSectorIndex * 7 + 1) + A2 ^ 2MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 + 2, CurrentSectorIndex * 7 + 2) = MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 + 2, CurrentSectorIndex * 7 + 2) + A3 ^ 2MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 + 3, CurrentSectorIndex * 7 + 3) = MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 + 3, CurrentSectorIndex * 7 + 3) + A4 ^ 2MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 + 0, CurrentSectorIndex * 7 + 1) = MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 + 0, CurrentSectorIndex * 7 + 1) + A1 * A2MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 + 1, CurrentSectorIndex * 7 + 2) = MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 + 1, CurrentSectorIndex * 7 + 2) + A2 * A3MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 + 2, CurrentSectorIndex * 7 + 3) = MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 + 2, CurrentSectorIndex * 7 + 3) + A3 * A4MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 + 0, CurrentSectorIndex * 7 + 2) = MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 + 0, CurrentSectorIndex * 7 + 2) + A1 * A3MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 + 1, CurrentSectorIndex * 7 + 3) = MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 + 1, CurrentSectorIndex * 7 + 3) + A2 * A4MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 + 0, CurrentSectorIndex * 7 + 3) = MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 + 0, CurrentSectorIndex * 7 + 3) + A1 * A4NextMatrixA(CurrentSectorIndex * 7 + 1, CurrentSectorIndex * 7 + 0) = MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 + 0, CurrentSectorIndex * 7 + 1)MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 + 2, CurrentSectorIndex * 7 + 1) = MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 + 1, CurrentSectorIndex * 7 + 2)MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 + 3, CurrentSectorIndex * 7 + 2) = MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 + 2, CurrentSectorIndex * 7 + 3)MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 + 2, CurrentSectorIndex * 7 + 0) = MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 + 0, CurrentSectorIndex * 7 + 2)MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 + 3, CurrentSectorIndex * 7 + 1) = MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 + 1, CurrentSectorIndex * 7 + 3)MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 + 3, CurrentSectorIndex * 7 + 0) = MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 + 0, CurrentSectorIndex * 7 + 3)If CurrentSectorIndex > 0 ThenMatrixA(CurrentSectorIndex * 7 + 0, CurrentSectorIndex * 7 - 3) = -0.5MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 + 1, CurrentSectorIndex * 7 - 3) = 0.5MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 + 1, CurrentSectorIndex * 7 - 2) = -H1MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 + 2, CurrentSectorIndex * 7 - 3) = -0.5MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 + 2, CurrentSectorIndex * 7 - 2) = 4 * H1MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 + 2, CurrentSectorIndex * 7 - 1) = -8 * H1 ^ 2MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 + 3, CurrentSectorIndex * 7 - 3) = 0.5MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 + 3, CurrentSectorIndex * 7 - 2) = -9 * H1MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 + 3, CurrentSectorIndex * 7 - 1) = 48 * H1 ^ 2MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 - 3, CurrentSectorIndex * 7 + 0) = -1MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 - 3, CurrentSectorIndex * 7 + 1) = 1MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 - 3, CurrentSectorIndex * 7 + 2) = -1MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 - 3, CurrentSectorIndex * 7 + 3) = 1MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 - 2, CurrentSectorIndex * 7 + 1) = -2 * H1MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 - 2, CurrentSectorIndex * 7 + 2) = 8 * H1MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 - 2, CurrentSectorIndex * 7 + 3) = -18 * H1MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 - 1, CurrentSectorIndex * 7 + 2) = -16 * H1 ^ 2MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 - 1, CurrentSectorIndex * 7 + 3) = 96 * H1 ^ 2End IfIf CurrentSectorIndex < SectorCount - 1 ThenMatrixA(CurrentSectorIndex * 7 + 0, CurrentSectorIndex * 7 + 4) = 0.5MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 + 1, CurrentSectorIndex * 7 + 4) = 0.5MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 + 1, CurrentSectorIndex * 7 + 5) = H1MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 + 2, CurrentSectorIndex * 7 + 4) = 0.5MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 + 2, CurrentSectorIndex * 7 + 5) = 4 * H1MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 + 2, CurrentSectorIndex * 7 + 6) = 8 * H1 ^ 2MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 + 3, CurrentSectorIndex * 7 + 4) = 0.5MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 + 3, CurrentSectorIndex * 7 + 5) = 9 * H1MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 + 3, CurrentSectorIndex * 7 + 6) = 48 * H1 ^ 2MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 + 4, CurrentSectorIndex * 7 + 0) = 1MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 + 4, CurrentSectorIndex * 7 + 1) = 1MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 + 4, CurrentSectorIndex * 7 + 2) = 1MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 + 4, CurrentSectorIndex * 7 + 3) = 1MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 + 5, CurrentSectorIndex * 7 + 1) = 2 * H1MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 + 5, CurrentSectorIndex * 7 + 2) = 8 * H1MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 + 5, CurrentSectorIndex * 7 + 3) = 18 * H1MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 + 6, CurrentSectorIndex * 7 + 2) = 16 * H1 ^ 2MatrixA(CurrentSectorIndex * 7 + 6, CurrentSectorIndex * 7 + 3) = 96 * H1 ^ 2End IfNextDim CGsSolveLine As New CGsSolveLine()If CGsSolveLine.LEGauss(TotalRow, MatrixA, MatrixB) Then '全选主元消去法求解线性方程组Return MatrixBEnd IfEnd FunctionPublic Class CGsSolveLine'n-－数组维数'DblA－－输入二维数组'DblB－－输入一维数组，返回结果'全选主元消去法求解线性方程组'Note:A,B数组同时为工作数组，遭到破坏Public Function LEGauss(ByVal n As Integer, ByVal DblA(,) As Single, ByVal DblB() As Single) As BooleanDim i, j, k As IntegerDim nIs As Integer, nJs(n - 1) As IntegerDim d, t As Single'开始求解For k = 0 To n - 2d = 0'归一For i = k To n - 1For j = k To n - 1t = Math.Abs(DblA(i, j))If t > d Thend = tnJs(k) = jnIs = iEnd IfNextNext'无解，返回If d + 1 = 1 ThenLEGauss = FalseExit FunctionEnd If'消元If nJs(k) <> k ThenFor i = 0 To n - 1t = DblA(i, k)DblA(i, k) = DblA(i, nJs(k))DblA(i, nJs(k)) = tNextEnd IfIf nIs <> k ThenFor j = k To n - 1t = DblA(k, j)DblA(k, j) = DblA(nIs, j)DblA(nIs, j) = tNextt = DblB(k)DblB(k) = DblB(nIs)DblB(nIs) = tEnd Ifd = DblA(k, k)For j = k + 1 To n - 1DblA(k, j) = DblA(k, j) / dNextDblB(k) = DblB(k) / dFor i = k + 1 To n - 1For j = k + 1 To n - 1DblA(i, j) = DblA(i, j) - DblA(i, k) * DblA(k, j) NextDblB(i) = DblB(i) - DblA(i, k) * DblB(k)NextNextd = DblA(n - 1, n - 1)'无解，返回If Math.Abs(d) + 1 = 1 ThenReturn FalseEnd If'回代DblB(n - 1) = DblB(n - 1) / dFor i = n - 2 To 0 Step -1t = 0For j = i + 1 To n - 1t = t + DblA(i, j) * DblB(j)NextDblB(i) = DblB(i) - tNext'调整解得顺序nJs(n - 1) = n - 1For k = n - 1 To 0 Step -1If nJs(k) <> k Thent = DblB(k)DblB(k) = DblB(nJs(k))DblB(nJs(k)) = tEnd IfNextReturn TrueEnd FunctionEnd Class。

4.3 样条函数插值

相同数据3次样条插值与相同数据3次样条插值与Lagrangr插值效果比较插值效果比较
Cubic Spline Interpolation
Lagrangr Interpolation
如果采用分段多项式插值, 如果采用分段多项式插值, 则由于插值基函数只是局部活跃(它们的支集是局部紧致的), 结点上的误局部活跃(它们的支集是局部紧致的), 结点上的误支集是局部紧致的差可以被控制在小的范围内, 因而也带来了内在的高差可以被控制在小的范围内, 因而也带来了内在的高度稳定性. 这是分段插值的一大优势! 度稳定性. 这是分段插值的一大优势! 许多实际问题希望插值函数具有较高阶的整体光许多实际问题希望插值函数具有较高阶的整体光滑性. 此时, 高次Hermite插值或分段高次插值或滑性. 此时, 高次插值分段高次Hermite插插可以利用(注意:分段高次Lagrange插值和插值和Newton插值可以利用(注意:分段高次插值和插值等是做不到的, 值等是做不到的,在插值结点上它们只能保证插值函数连续). 数连续). 注:函数的支集 Supp 定义为 f ( x) f
a
a
4.8.2 一般 k 次样条
定义4.8.1( 次样条函数) 定义4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ8.1( k 次样条函数)设 π 是区间或分割，或分割，即
,b] [ a上的一个分划
π : a = x0 < x1 < L < xn 1 < xn = b
称 S (为定义在区间上关于分划的一个次样条 k x) [a , b ] π 函数, 函数,如果 :S 节点 xi处 S 的 k 阶导数 , xi ) (1) 在每一区间 [ xi 1上是次数间断,因而转折灵活的多项式. 不超过的多项式. k (2)在区间 (2)在区间 [ a上是次连续可微的. , b ] 次连续可微的. k 1

样条函数

样条函数定义：设给定一组节点：01231N N x x x x x x +-∞=<<<<<<=+∞又设分段函数()S x 满足条件：1. 于每个区间1[,](0,1,,)j j x x j N += 上，()S x 是一个次数不超过n的多项式； 2.()S x 于(,)-∞+∞上具有一直到阶的连续导数。

称()y S x =为 n 次样条函数。

而称123,,,,N x x x x则为样条函数的节点。

通常将以 123,,,,Nx x x x为节点的n 次样条函数的全体记为123(,,,,)n N x x x x ϕ称一个21n -次的奇次样条函数()S x 为21n -次的自然样条函数，如果其在区间1(,](,)N x x -∞⋃+∞上的表达式为1n -多项式。

通常将以123,,,,Nx x x x为节点的21n -次的自然样条函数的全体记为21123(,,,,)n N N xx x x - 。

样条函数的表达式：关于自然样条函数的存在、唯一性有下面定理：定理1 设1n N ≤≤，则对任意给定的12,,,N y y y ，存在唯一的自然样条函数()()2112,,,n N S x N x x x -∈ ，使得(),1,2,,.j j S x y y N ==定理2 设1n N ≤≤，且12N a x x x b ≤<<<≤ .又设()()2112,,,n N S x N x x x -∈ 是满足插值条件(),1,2,,.j j S x y y N ==()*的自然样条函数，则对任何满足()*的函数()[],n f x C a b ∈：()()1,2,,j j f x y j N ==必有()()()()22a an n bbSx dx fx dx ≤⎰⎰ ()**且等号成立⇔()()f x S x ≡时才成立. 特别当2n =时，()**化为()()22a a bbS x dx f x dx ''''≤⎰⎰在几何上，常称自然插值样条为最光滑曲线插值.()3221y y k y ''''≈='+ 当y '很小时.三次样条插值问题：设给定区间[],a b 且12N a x x x b≤<<<≤ 又任意给定常数012,,,,N y y y y ，要求构造一个3123(,,,,)N S x x x x ϕ∈ 使得满足如下插值条件：(),0,1,2,,j j S x y j N==补充插值条件：自然样条条件()S x 在1,j j x x -⎡⎤⎣⎦上的表达式为()1,1,2,,j S x j N -= 。

python三次样条插值函数

python三次样条插值函数Python中的三次样条插值函数可以通过SciPy库中的interp1d函数实现。

其中，interp1d函数提供了多种插值方式，包括线性插值、多项式插值和三次样条插值等。

下面是一段Python代码，用于实现三次样条插值函数：```Pythonimport numpy as npfrom scipy.interpolate import interp1d# 定义x和y数组x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])y = np.array([3, 4, 2, 1, 5])# 定义三次样条插值函数f = interp1d(x, y, kind='cubic')# 定义插值点数组x_new = np.linspace(1, 5, 100)# 计算插值点对应的函数值y_new = f(x_new)# 输出插值后的函数值print(y_new)```在上述代码中，首先定义了两个数组x和y，分别表示原始函数的自变量和因变量。

然后，通过interp1d函数创建一个三次样条插值函数f，其中kind参数的值设置为'cubic'，表示使用三次样条插值。

接着，定义了一个插值点数组x_new，该数组中包含了一些新的自变量值，用于计算插值函数在这些点处的函数值。

最后，通过调用f函数，计算了插值点对应的函数值，并将结果打印出来。

需要注意的是，在实际应用中，需要根据具体问题中的数据来定义x 和y数组，以及插值点数组x_new。

另外，interp1d函数还提供了一些其他参数，用于控制插值函数的性质，例如边界条件等。

样条函数

= y j 1 + ( x x j 1 )( y j y j 1 ) /( x j x j 1 )
分段线性插值
10 20 v = y j 1 + (u x j 1 )( y j y j 1 ) /( x j x j 1 ) 输出u , v
分段插值函数 I ( x) x ∈ ( x , x ) 0 1 1 I ( x) x ∈ ( x , x ) 1 2 I ( x) = 2 ...... I ( x) x ∈ ( x , x ) n 1 n n
一次样条
一次样条表示如下： S ( x) = a x + b x ∈[t , t ) 0 0 0 0 1 S ( x) = a x + b x ∈[t , t ) 1 1 1 1 2 S(x) = M M Sn -1( x) = an 1x + bn 1 x ∈ [t n - 1, t n )
这里
6 hi = t ti , ui = 2(hi + h ) , bi = (y y ), vi = bi b i +1 i +1 i +1 i i 1 h i
可以如下求解： (高斯消元法，不要选主元）
input n, (ti ), (yi ) for i = 0 to n -1 do h ←t t i +1 i i bi ← 6( y y )/h i +1 i i enddo u ← 2(h + h ), v ← b b 1 0 1 1 1 0 for i = 2 to n -1 do ui ← 2(hi + h ) h 2 /u i 1 i 1 i 1 vi ← bi b h v /u i 1 i 1 i 1 i 1 enddo zn ← 0 for i = n -1 to 1 step -1 do zi = (vi hi z )/u i +1 i enddo z ←0 0 output ( zi )

b样条核函数

b样条核函数B样条核函数是一种数学定义，被广泛应用于工程计算和计算机图形学中。

它是使用计算机来表示一组数据的形式，也可以称为N样条核函数。

指的是一种数学曲线，它可以根据一组由用户提供的控制点（或参数）来形成曲线。

B样条曲线由一系列控制点组成，由这些控制点的变化而形成的，因此它们变平滑，并且不会出现不太平滑的变化。

B样条核函数是一种数学定义，它是和曲线有关的。

它用于表示一系列控制点，最终会形成曲线，它不仅能够模拟曲线出特定的模型，而且还能够表示一些更复杂的模型，如多边形模型、离散点曲线和平滑曲线等。

B样条核函数的应用广泛，在计算机图形学中，B样条核函数可以用来表示多媒体信息（如图形或视频）的变形，而且在工程学中，它也可以用来描述复杂的模型，比如车辆底盘的设计及运动学分析。

B样条核函数的形成是通过假定控制点之间存在一个基本函数式，将这些基本函数式拼接起来，最终形成一个有效的曲线。

此外，由于B样条核函数的特性，计算机可以在曲线的定义空间中移动，这也就解释了其广泛的应用，它可以实时显示动态图形或复杂的模型。

B样条核函数的使用主要是为了解决数学上的一些问题，比如拟合曲线或者插值，它可以实时拟合连续的数据，从而实现数据的可视化。

此外，由于B样条核函数可以根据控制点的变化而自动调整，因此它可以很好地应用在动态图形中，这也是它最常用的应用之一。

B样条核函数在工程应用中同样得到了广泛的应用，它可以用来描述复杂的工程模型，比如可以用于描述车辆底盘的设计及运动学分析，以及描述机械元件的运动学模型等。

B样条核函数在工程计算中的有效性可以说是不容置疑的，它准确的表示出复杂的工程模型，并且可以有效地改变模型，使之可以快速而准确的被计算出来。

B样条核函数的应用广泛，它既可以用来表示动态图形，也可以用来描述复杂的工程模型，它为计算机图形学和工程计算提供了非常有用的一个数学工具，它同样也有助于更好的解释复杂的数学表达式，这不仅有助于我们更好地理解技术，也有助于我们更好地运用技术。