小学奥数教程之逆推法
小学四年级奥数教程逆推法
这种解题方法叫做逆推法或还原法。
例1： 有一个数，把它乘以4以后减去46，再把所得
5.粮库内有一批面粉，第一次运出总数的一半 多3吨，第二次运出剩下的一半少7吨，还剩4吨。问： 粮库里原有面粉多少吨？
6.有一筐梨，甲取一半又一个，乙取余下的一 半又一个，丙再取余下的一半又一个，这时筐里只 剩下一个梨。这筐梨共值8.80元，那么每个梨值多 少钱？
7.某人去银行取款，第1次取了存款的一半还多 5元，第二次取了余下的一半还多10元，这时存折上 还剩125元。问：此人原有存款多少元？
的差除以3，然后减去10，最后得4。问：这个数 是几？
这个问题是由 （□×4-46）÷3-10＝4， 求出□。我们倒着看，如果除以3以后不减去 10，那么商应该是4＋10＝14；如果在减去46以后 不除以3，那么差该是14×3＝42；可知这个数乘以 4后的积为42＋46＝88，因此这个数是88÷4=22。 解：［（4＋10）×3＋46］÷4＝22。 答：这个数是22。
拿出一些钱给乙和丙，使乙和丙的钱数都比原来 增加了两倍，结果乙的钱最多;接着乙拿出一些钱 给甲和丙，使甲和丙的钱数都比原来增加了两倍， 结果丙的钱最多;最后丙拿出一些钱给甲和乙，使 甲和乙的钱数都比原来增加了两倍，结果三人钱 数一样多了。如果他们三人共有81元，那么甲、 乙、丙三人原来的钱分别是多少元?
甲组有30＋3＝33（本）， 乙组有30-3＋5＝32（本）， 丙组有30-5＝25（本）。
例5： 在A商店我花了所带钱的2/3 ，在B商店又花
五年级奥数汇总第5讲：逆推法
五讲逆推法有这样一类数学问题，当顺着题目条件的叙述去寻找解法时，往往有一定的困难，但是当我们改变思考的顺序，以问题叙述的终点为起点，一步一步从后向前思考，往回算的过程中按照加减互为逆运算，乘除互为逆运算改变原有的运算，这样问题就容易解决了。
这种解题的方法叫做逆推法。
用这样的方法解决的问题是还原问题。
【预备题】互逆的运算是求解还原问题的知识基础。
（1）某数加上2得8，求某数。
（2）某数减去2得10，求某数。
（3）某数乘以5得45，求某数。
（4）某数除以6得8，求某数。
【典型例题】例1：瓜地里来了一群猴子，第一次吃去了西瓜总数的一半又半个；第二次又吃掉剩下西瓜的一半又半个；第三次又来吃掉剩下西瓜的一半又半个；第四次吃掉剩下西瓜数的一半。
这时瓜地里还有50个西瓜。
那么原来瓜地里有多少个西瓜？试一试：口袋里有若干块糖，老师每次拿出其中的一半再放回一块后分给小朋友，这样共做了五次，口袋里还剩下5块糖。
口袋里原有多少块糖？例2：甲、乙、丙三人各有图书若干，开始时甲先拿出自己藏书的一部分分给乙、丙，使他们的图书数增加了1倍；然后乙也这样做了一次，使甲、丙的图书数增加了1倍；最后丙也这样做了一次，使甲、乙的图书数增加了1倍。
这时三人的藏书数都是32本。
甲、乙、丙三人原来各有多少图书？试一试：有甲、乙、丙三个粮仓，总共存有576吨粮食。
从甲粮仓运出与乙粮仓同样多的粮食放到乙粮仓中，再从乙粮仓中运出与丙粮仓同样多的粮食放到丙粮仓，最后从丙粮仓运出与甲粮仓现有的同样多的粮食放到甲粮仓中，这时三个粮仓的粮食恰好一样多。
原来甲粮仓比乙粮仓的粮食多多少吨？例3：有一筐苹果，爷爷把它分成三等份后还多一个苹果，爷爷留下其中的一份和多出的一个苹果，其余的分给了爸爸；爸爸把所得的苹果分成三等份后也多出了一个苹果，爸爸也留下其中的一份和多出的一个苹果，又把其余的给了大儿子；大儿子把所得的苹果分成三等份后也多出了一个苹果，他也留下其中的一份和多出的一个苹果，又把其余的给了弟弟；弟弟发现他得到的苹果分成三份后还是多了一个。
小学数学奥数方法逆推法
小学数学奥数方法逆推法小朋友在玩“迷宫”游戏时，在纵横交错的道路中常常找不到出口。
有些聪明的小朋友，反其道而行之，从出口倒回去找入口，然后再沿着自己走过的路返回来。
由于从出口返回时，途径单一，很快就会找到入口，然后再由原路退回，走出“迷宫”自然就不难了。
解应用题也是这样，有些应用题用顺向推理的方法很难解答，如果从问题的结果出发，从后往前逐步推理，问题就很容易得到解决了。
这种从条件或问题反过去想而寻求解题途径的方法，叫做逆推法。
用逆推法解应用题列算式时，经常要根据加减互逆，乘除互逆的关系，把原题中的加用减算，减用加算；把原题中的乘用除算，除用乘算。
（一）从结果出发逐步逆推例1一个数除以4，再乘以2，得16，求这个数。
（适于四年级程度）解：由最后再乘以2得16，可看出，在没乘以2之前的数是：16÷2=8在没除以4之前的数是：8×4=32答：这个数是32。
*例2 粮库存有一批大米，第一天运走450千克，第二天运进720千克，第三天又运走610千克，粮库现有大米1500千克。
问粮库原来有大米多少千克？（适于四年级程度）解：由现有大米1500千克，第三天运走610千克，可以看出，在没运走61 0千克之前，粮库中有大米：1500+610=2110（千克）在没运进720千克之前，粮库里有大米：2110-720=1390（千克）在没运走450千克之前，粮库里有大米：1390+450=1840（千克）答：粮库里原来有大米1840千克。
*例3 某数加上9后，再乘以9，然后减去9，最后再除以9，得9。
问这个数原来是多少？（适于四年级程度）解：由最后除以9，得9，看得出在除以9之前的数是：9×9=81在减去9之前的数是：81+9=90在乘以9之前的数是：90÷9=10在加上9之前，原来的数是：10-9=1答：这个数原来是1。
*例4 解放军某部进行军事训练，计划行军498千米，头4天每天行30千米，以后每天多行12千米。
奥数的神奇数字逆推
奥数的神奇数字逆推奥数作为一门智力竞赛科目，已经深入人们的生活之中。
在奥数的学习中，有一个非常有趣而神奇的技巧，那就是数字逆推。
数字逆推是一种通过已知条件，通过逆向思维来推导结果的方法。
它在解题过程中常常引人入胜，让人大开眼界。
本文将简要介绍奥数中的数字逆推技巧，并通过实例来展示其魅力所在。
首先，让我们看一个简单的数字逆推问题。
假设一个正整数，它的个位与十位之和是7，十位与百位之和是8，百位与千位之和是9，求该四位数是多少？在解决这个问题之前，我们需要明确一点，即数字逆推的核心思想是逆向思维。
在逆推问题中，我们要找到已知条件和未知数之间的关系，并通过这种逆向关系逐步推导出结果。
首先，设这个四位数的千位、百位、十位和个位分别为a、b、c和d。
根据已知条件，我们可以列出以下等式：d + c = 7 (1)c + b = 8 (2)b + a = 9 (3)现在我们可以从最后一位开始逆推。
根据(1)，我们知道d + c = 7，所以d和c的可能组合可以是(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)。
显然，只有(4,3)满足个位和十位数字的范围（0～9）。
因此，我们可以确定个位数字为4，十位数字为3。
接下来，带入(2)中的b + c = 8，可得3 + b = 8，解得b = 5。
再带入(3)中的a + b = 9，可得a + 5 = 9，解得a = 4。
综上所述，该四位数为4534。
通过逆推法，我们成功地解决了这个数字逆推问题。
数字逆推作为奥数中的一种重要技巧，具有广泛的应用领域。
它不仅能够在数学考试中快速解题，还能培养学生的逻辑思维能力和耐心。
下面，我们将通过另一个实际的例子来展示数字逆推技巧的实用性。
假设一家电视台每晚都会播放一部连续剧，第一天播放1集，第二天播放2集，第三天播放3集，以此类推，第n天播放n集。
现在电视台打算连续播放到第100天，共播放了多少集？在解决这个问题之前，我们需要找到每一天播放的结果与天数之间的关系，然后通过逆推法计算总和。
小学奥数各年级经典题解题技巧大全——逆推法（3）
小学奥数各年级经典题解题技巧大全——逆推法（3）（四）借助公式逆推例1：一个三角形的面积是780平方厘米，底是52厘米。
问高是多少？（适于五年级程度）解：计算三角形面积的公式是：面积=底×高÷2，逆推这个公式得：高=面积×2÷底所以，这个三角形的高是：780×2÷52=30（厘米）答略。
例2：求图17-5平行四边形中CD边的长。
（单位：厘米）（适于五年级程度）解：因为平行四边形的面积是：BC×AE=6×3=18平行四边形的面积也是：CD×AF=5CD所以，5CD=18CD=18÷5=3.6（厘米）答略。
例3：一个圆锥体的体积是84.78立方厘米，底面的直径是6厘米。
求它的高是多少。
（适于六年级程度）解：底面圆的直径是6厘米，则半径就是3厘米。
由V=1/3πR2h逆推得：h=V×3÷π÷R2因此，它的高是：84.78×3÷3.14÷32=254.34÷3.14÷32=9（厘米）答略。
（五）借助假设法逆推解：假设取出存款后没有买书橱，则150元是取出的钱的：取出的钱是：150×3=450（元）老张原有的存款是：450×4=1800（元）答略。
例2：供销社分配给甲、乙、丙三个乡若干吨化肥。
甲乡分得总数的一半少2吨，乙乡分得剩下的一半又多半吨，最后剩下的8吨分给丙乡。
问原来共有化肥多少吨？（适于六年级程度）解：假设乙乡分得剩下一半，而不是又多半吨，则乙乡分走后剩下的化肥是：乙乡分走前的化肥是：假设甲乡分得总数的一半，而不是少2吨，则甲乡分走化肥：17-2=15（吨）这15吨正好是原有化肥吨数的一半，所以原来共有化肥：15×2=30（吨）综合算式：答略。
（六）借助对应法逆推答略。
来源：小学奥数网。
奥数讲座 还原问题逆推法
还原问题逆推法一未知数量依次进行加、减、乘、除等若干次运算后，得到一个已知数量，根据这个已知数量来求未知数量的问题，就称作还原问题。
下面的例子是一个还原问题：某数依次加上2，乘以3，减去4，除以5，结果等于1。
求某数。
想一想，用什么方法才能求得某数呢？还原问题的一般形式可以用下面的关系图示意（x是未知数量，a、b、c、d、……h 是已知数量）：x……）+a）-b）×c）÷d）……=h。
那么，怎样求x呢？【规律】一未知数量依次进行加、减、乘、除等若干次运算后，得到一已知数量。
根据这一已知数量求未知数量的方法是依次逆推——将最后的结果依次进行已知运算的逆运算。
即由x……）+a）-b）×c）÷d）……=h，得x=h……）×d）÷c）+b）-a）……。
【练习】1.某数依次加上4，乘以4，减去4，除以4，最后得7。
求某数。
多长？3.五只猴子分一堆桃子。
第一只猴子先去把桃子分成五份，拿走了自己的一份；第二只猴子以为谁也没来分过，把剩余的桃子又分成五份，拿走了自己的一份。
以后每只猴子都以为谁也没来分过，都把剩余的桃子分成五份，拿走了自己的一份，最后还剩下1024个桃子。
问这堆桃子原来是多少个？4.一种商品，经过连续两次降价后，售价是16元.已知每次降价25%，求这种商品原来的价格是多少钱？5.洞口县粮食连年大丰收，曾两次受到了国务院的表彰。
他们成功的经验是大面积推广了杂交水稻。
如某农户水稻亩产连续三年以20%的速度递增，今年他的水稻亩产量达1440千克。
问这位农户前年的水稻亩产量是多少千克？6.有一个正方形，以它的一条对角线为边长作新正方形；又以新正方形的对角线为边长作新正方形。
如下图所示。
如此这样作下去，得到第八个正方形的面积是384平方厘米。
求原正方形的面积。
小学二年级奥数知识点：逆序推理法
小学二年级奥数知识点：逆序推理法
逆序推理法，也叫逆推法或倒推法.简单说，就是调过
头来往回想.
例1 老师心中想了一个数，对他的学生说：“给这个数加上9，再取和的一半应是 5.”他叫学生们把这个数算出来.你会算吗?
解：用逆推法求解，就是这样想：因为老师想的数加上9后之和的一半是5，那么和就应是5×2=10;再往前逆推，在没有加上9之前应是10-9=1，这就是老师心中想的数.
让我们再从另一种思路去想：
首先，把老师想的数用□代表，顺着题意列式应有：
(□+9)÷2=5，我们可以叫它做顺序式.
然后，再把前面的逆推过程写成算式，就应有：
5×２-9=，“1”就是方框所代表的数，所以把它写在方框里.我们可以把这个算式叫做逆序式.把两式进行对照比较(如下图如示)可见：
①顺序的运算结果(或最后结论)是逆序式的已知数据(或起始条件);
②顺序式中除以2变为逆序式中乘以2;
③顺序式中加上9变为逆序式中减去9;
④顺序式中起始未知数变为逆序式中最后运算结果;
总之，逆序式恰为顺序式的逆运算.
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(完整版)五年级奥数：逆推问题
智能测试---逆推法姓名： 逆推法是一种很常用的数学方法，它是根据变化后的结果，一步一步进行逆向推理，逐步推出原来的已知条件，从而使问题得到解决。
例1. 某数加上8，减去4，乘以2，除以6，等于10，这个数是多少？x +-⨯÷−→−−→−−→−−→−842610○○○ 综合列式：例2. 一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，最后还剩22米，这捆电线原来有多少米？ 思路分析：为了帮助同学们分析数量关系，画线段图：第二次用去的例3：一种有益的细菌每小时可增长一倍，现在有一批这样的细菌，5小时后可达到100万个，当他们达到25万个是，经过了多长时间？ 例4. 四个小朋友共有课外读物120本，甲给乙3本，乙给丙4本，丙给丁5本，丁给甲6本，这时这四个小朋友的课外读物的本数相等，他们原来各有几本课外读物？ 根据题意：120430÷=（本） 应用逆推法得：甲乙丙丁-+=-+=-+=-+=3630433054306530甲：（本）乙：（本）丙：（本）丁：（本）306327303431304531305631-+=-+=-+=-+=一、灵活运用，创造发展：1. 有一种昆虫，由幼虫长到成虫，体长每天增长1倍，20天后正好长到20厘米，请问长到5厘米时用了几天？2. 瓶内装有油，倒进500克油以后又倒出31后，又倒进600克，这时瓶内有油1300克，求瓶内原装有多少克油？3、有一筐苹果，第一次取出全部的一半多4个，第二次取出余下的一半多1个，筐中还剩20个，筐中原来有多少个苹果？4、某服装店有一套时尚女装，因销售困难，就按原定售价打对折（原售价的一半）销售，生意顿时红火起来，过来几天，这套女装又加价100元出售，当顾客渐渐少了，有降价50元 ，按现价200元出售，问这套女装原来售价多少？5、小雨、大宝、思思、浩浩四人共有课外书200本，为了广泛阅读，小雨给大宝13本，大宝给思思18本，思思给浩浩16本，浩浩给小雨2本，这时4人的本数一样多，他们原来各有多少本书？ 二、简便计算： 7.74×（2.8-1.3）+1.5×2.26101×0.87-0.91×87 16.15÷1.7＋0.85÷1.73.65×2.3 +3.65×1.4+3.7×6.3517.8÷1.25÷2÷0.4 4800÷12.5÷2.5÷3.2 0.9999×0.7+0.1111×2.7 1.98×5.1 20082008×2007-20072007×2008三、应用题1、甲、乙两人带了相同数量的钱，全部买了相同价格的水果糖，甲拿去了9袋，乙拿去了5袋。
(完整版)五年级奥数：逆推问题
智能测试---逆推法姓名： 逆推法是一种很常用的数学方法，它是根据变化后的结果，一步一步进行逆向推理，逐步推出原来的已知条件，从而使问题得到解决。
例1. 某数加上8，减去4，乘以2，除以6，等于10，这个数是多少？x +-⨯÷−→−−→−−→−−→−842610○○○ 综合列式：例2. 一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，最后还剩22米，这捆电线原来有多少米？ 思路分析：为了帮助同学们分析数量关系，画线段图：第二次用去的例3：一种有益的细菌每小时可增长一倍，现在有一批这样的细菌，5小时后可达到100万个，当他们达到25万个是，经过了多长时间？ 例4. 四个小朋友共有课外读物120本，甲给乙3本，乙给丙4本，丙给丁5本，丁给甲6本，这时这四个小朋友的课外读物的本数相等，他们原来各有几本课外读物？ 根据题意：120430÷=（本） 应用逆推法得：甲乙丙丁-+=-+=-+=-+=3630433054306530甲：（本）乙：（本）丙：（本）丁：（本）306327303431304531305631-+=-+=-+=-+=一、灵活运用，创造发展：1. 有一种昆虫，由幼虫长到成虫，体长每天增长1倍，20天后正好长到20厘米，请问长到5厘米时用了几天？2. 瓶内装有油，倒进500克油以后又倒出31后，又倒进600克，这时瓶内有油1300克，求瓶内原装有多少克油？3、有一筐苹果，第一次取出全部的一半多4个，第二次取出余下的一半多1个，筐中还剩20个，筐中原来有多少个苹果？4、某服装店有一套时尚女装，因销售困难，就按原定售价打对折（原售价的一半）销售，生意顿时红火起来，过来几天，这套女装又加价100元出售，当顾客渐渐少了，有降价50元 ，按现价200元出售，问这套女装原来售价多少？5、小雨、大宝、思思、浩浩四人共有课外书200本，为了广泛阅读，小雨给大宝13本，大宝给思思18本，思思给浩浩16本，浩浩给小雨2本，这时4人的本数一样多，他们原来各有多少本书？ 二、简便计算： 7.74×（2.8-1.3）+1.5×2.26101×0.87-0.91×87 16.15÷1.7＋0.85÷1.73.65×2.3 +3.65×1.4+3.7×6.3517.8÷1.25÷2÷0.4 4800÷12.5÷2.5÷3.2 0.9999×0.7+0.1111×2.7 1.98×5.1 20082008×2007-20072007×2008三、应用题1、甲、乙两人带了相同数量的钱，全部买了相同价格的水果糖，甲拿去了9袋，乙拿去了5袋。
小学四年级奥数教程-逆推法
分析与解 三人最后一样多，所以都是81÷3=27元，然后我们开始还原： 甲和乙把钱还给丙：每人增加2倍，就应该是原来的3倍，所以甲和乙都是27÷3=9，丙是81-9-9=63; 甲和丙把钱还给乙：甲9÷3=3，丙63÷3=21，乙81-3-21=57; 最后是乙和丙把钱还给甲：乙57÷3=19，丙21÷3=7，甲81-19-7=55元。
小学四年级奥数教程-逆推法
例题精选
例3：
学校运来36棵树苗，乐乐与欢欢两人争着去栽，乐乐先拿了若干树苗，欢欢看到乐乐拿得太多，就抢了10棵，乐乐不肯，又从欢欢那里抢回来6棵，这时乐乐拿的棵数是欢欢的2倍。问：最初乐乐拿了多少棵树苗？
小学四年级奥数教程-逆推法
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小学四年级奥数教程-逆推法
例题精选
例6： 一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩7米，这捆电线原有多少米？
小学四年级奥数教程-逆推法
分析与解
利用还原法。第二次用完还剩下15＋7=22（米），第一次用完还剩下（22-10）×2＝24（米），原来电线长（24＋3）×2＝54（米）。 解：［（15＋7-10）×2＋3］×2＝54（米）。 答：这捆电线原有54米。
小学四年级奥数教程-逆推法
小学四年级奥数教程-逆推法
练习提升
某数加上11，减去12，乘以13，除以14，其结果等于26，这个数是多少？ 某数加上6，乘以6，减去6，其结果等于36，求这个数。 在125×□÷3×8—1=1999中，□内应填入什么数？ 小乐爷爷今年的年龄数减去15后，除以4，再减去6之后，乘以10，恰好是100。问：小乐爷爷今年多少岁？
小学四年级奥数教程-逆推法
二年级奥数教程：逆序推理法
二年级奥数教程：逆序推理法我们解决数学问题，经常根据已知的条件，一步步推算出结果．但有时也会遇到类似下面的问题：有一个数，把它减去5后，再乘以3，得到30，这个数是几?正确答案是15．其实方法很简单，只要从结果出发，利用已知条件倒着分析、推算就可以了，这种方法叫逆序推理法，又叫倒推法，这也是解决数学问题中一种常用的思考方法．下面就用这个方法来解决数学问题吧!例1、有一个数加上3，再乘以5，然后减去7，最后结果等于38，这个数是多少?解我们先按照题意画出图22—1：口\xrightarrow[ ]{+3}口\xrightarrow[ ]{×5}口\xrightarrow[ ]{- 7} 38图22—1然后从结果出发，倒着分析、推算，每次计算都用它的逆运算，我们也把逆序推理的过程用图22—2表示：6\xleftarrow[ ]{+3}9\xleftarrow[ ]{÷5}45\xleftarrow[ ]{+7}38图22—2也可以列出算式：(38+7)÷5—3 = 6．随堂练习1、有一个数先减去5，再除以2，然后加上3，最后乘以3，结果等于27．这个数是多少?例2、水果店运来一批甜橙，第一天卖出一半，第二天卖出了剩下的一半，这时还剩下8箱甜橙，你知道运来多少箱甜橙吗?解从最后的结果“还剩下8箱甜橙”来思考：因为第二天卖出的是剩下的一半，说明另一半就是这剩下的8箱甜橙，那么在第二天还没有卖时，甜橙有8×2 = 1 6(箱)．同样，第一天卖出一半，那么剩下的一半就是这1 6箱甜橙，因此这批甜橙一共有l 6×2 =3 2(箱)．算式是‘8×2×2 = 32(箱)．除此之外，还可以根据题意画出线段图22—3：从图中可以看出，最后剩下的8箱和剩下箱数的一半一样长，那么总箱数的一半就是8×2 = 16(箱)，那么总箱数就是16×2 = 32(箱)．随堂练习2、星星玩具店购进了一批可爱的卡通猫，第一天卖出一半，第二天卖出剩下的一半，这时玩具店还有6只．原来玩具店有多少只呢?例3、水池中睡莲所遮盖的面积，每天都增加1倍，6天正好遮住了整个水池，如果只要遮住水池的一半，那么需要多少天呢?解从最后的结果开始倒着想：如果第6天睡莲正好遮住了整个水池，那么前一天正好遮住水池的一半，这一天应是第5天．所以睡莲遮住水池的一半需要5天．随堂训练3、池塘里的浮萍盖住水面的面积，每天都增加1倍，10天正好遮住了整个水面，如果只要遮住水面的一半，那么需要多少天呢?例4、有一根绳子，第一次剪去一半多1米，第二次剪去剩下的一半多1米，结果还剩下1米．这根绳子原来长多少米?解这样的问题我们可以用图22—4来表示剪的过程：□\xrightarrow[ ]{÷2}□\xrightarrow[ ]{ -1}□\xrightarrow[ ]{÷2}□\xrightarrow[ ]{-1} 1图22—4我们用逆序推理法得图22—5：10\xleftarrow[ ]{×2}5\xleftarrow[ ]{+1}4\xleftarrow[ ]{×2}2\xleftarrow[ ]{+1} 1图22—5算式是：(1+1)×2 = 4(米)，(4+1)×2 = 10(米)．随堂练习4、商店里有一批卡通手表，第一天卖出总数的一半多l块，第二天卖出剩下的一半多1块，结果还剩下4块卡通表．原来商店里一共有多少块卡通手表?例5、有一根绳子第一次剪去一半多1米，第二次剪去一半少1米，结果剩下3米．这根绳子原来长多少米?解我们仍可以用图22—6来表示剪的过程：□\xrightarrow[ ]{÷2}□\xrightarrow[ ]{ -1}□\xrightarrow[ ]{÷2}□\xrightarrow[ ]{+1} 3图22—6因为第二次是剪去一半少1米，因此剩下的是一半多1米，所以要先除以2再加上1．我们用逆序推理法得图22—7：10\xleftarrow[ ]{×2}5\xleftarrow[ ]{+1}4\xleftarrow[ ]{×2}2\xleftarrow[ ]{-1} 3图22—7算式是：(3—1)×2 = 4(米)，(4+1)×2 =10(米)．随堂练习5、有一袋苹果，小星拿了其中的一半多1个，小芳拿了剩下的一半少1个，袋子里还有4个苹果．那么原来这袋苹果有多少个?例6、小胖、小亚和小丁丁三人一共有铅笔30支，小胖给小亚6支，小亚给小丁丁5支，小丁丁给小胖2支，这时三人铅笔数就相等了．你知道他们三人原来分别有铅笔多少支吗?解因为最后三人铅笔的支数相等，而总支数没有发生变化，那么我们就可以知道最后三人每人都有铅笔30÷3 = 10(支)．然后我们从结果往前推算，可以列出下表来帮助分析．观察三人铅笔支数的变化，可以列出下面的算式来解答：30÷3=10(支)．小胖：10—2+6 = 14(支)；小亚：10+5—6 = 9(支)；小丁丁：10+2—5 = 7(支)．随堂练习6三个篮子里一共有30只苹果，如果从第一个篮子里取3只苹果放入第二个篮子，再从第二个篮子里取出5只苹果放入第三个篮子，这时三个篮子里的苹果就一样多了．你知道三个篮子里原来分别有几只苹果吗?说明用逆序推理法解决数学问题时，首先要理解题中数量变化的顺序，再从结果出发，按它变化的相反方向一步一步往前推算．推算时一定要周密、全面哦!练习题1、有一个数，先加上5，再乘以5，然后减去5，最后除以5，结果还是等于5，这个数是多少?2、一根彩带第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，最后还剩10米．这根彩带原来长多少米?3、亮亮、红红和军军分香蕉，亮亮分到总数的一半，剩下的平均分给红红和军军，最后军军得到了5只香蕉．那么一共有多少只香蕉?4、小丁丁往一只篮子里放苹果，如果篮子里的苹果数目每分钟增加一倍，5分钟后篮子放满了．那么几分钟时篮子里有一半的苹果?5、小丸子采完苹果要出果园，果园里有三道门，出第一道门时，小丸子给了看门人自己所采苹果的一半多1个；出第二道门时，她又给看门人剩下苹果的一半多1个；出第三道门时，小丸子仍然给看门人剩下苹果的一半多1个；最后她只剩1个苹果．那么小丸子原先一共采了几只苹果?6、小朋友们分一堆苹果，先把苹果的一半给女同学，然后再把剩下的一半多2个分给男同学，最后还剩4个苹果，这堆苹果原来有多少个?7、小丽用4元买了一本《童话大王》，又用剩下的钱的一半买了一本《儿童时代》，买钢笔又用去剩下的钱的一半多1元，最后还剩4元．小丽原有多少元?8、老师买了一些练习本奖励给小朋友，第一组得到了总数的一半少3本，第二组得到了其余的一半多1本，余下的6本奖给了第三组．老师一共买来多少本练习本?9、小胖、小亚和小丁丁三个小朋友交流年历片，小胖给小亚2张，小亚给小丁丁1张，小丁丁给小胖3张，他们都有了5张．那么他们原来分别有多少张?10、超市的一个三层货架上共有60瓶可乐，从第一层拿出5瓶放入第三层，从第二层拿7瓶放入第一层后，三层就一样多．三层货架上原来各有多少瓶可乐?11、小白兔上山采摘了许多蘑菇，它把这些蘑菇先平均分成四堆，三堆送给其他的小白兔，自己留一堆；后来它又把留下的这一堆平均分成三堆，两堆送给别的小白兔，一堆留给自己吃，自己吃的这一堆有3个．它共采摘了多少个蘑菇?。
小学四年级暑假奥数培训第16讲：逆推法
小学四年级暑假奥数培训第16讲：逆推法第一篇：小学四年级暑假奥数培训第16讲：逆推法倒推法的应用知识导航在分析应用题的过程中，倒推法是一种常用的思考方法.这种方法是从所叙述应用题或文字题的结果出发，利用已知条件一步一步倒着分析、推理，直到解决问题.用倒推法解题时要注意：①从结果出发，逐步向前一步一步推理.②在向前推理的过程中，每一步运算都是原来运算的逆运算.③列式时注意运算顺序，正确使用括号.例1：一次数学考试后，李军问于昆数学考试得多少分.于昆说：“用我得的分数减去8加上10，再除以7，最后乘以4，得56.”小朋友，你知道于昆得多少分吗？解析:这道题如果顺推思考，比较麻烦，很难理出头绪来.如果用倒推法进行分析，就像剥卷心菜一样层层深入，直到解决问题.如果把于昆的叙述过程编成一道文字题：一个数减去8，加上10，再除以7，乘以4，结果是56.求这个数是多少？把一个数用□来表示，根据题目已知条件可得到这样的等式：｛［（□－8）＋10］÷7｝×4＝56.如何求出□中的数呢？我们可以从结果56出发倒推回去.因为56是乘以4后得到的，而乘以4之前是56÷4＝14.14是除以7后得到的，除以7之前是14×7＝98.98是加10后得到的，加10以前是98-10＝88.88是减8以后得到的，减8以前是88＋8＝96.这样倒推使问题得解.解：｛［（□－8）＋10］÷7｝×4＝56 ［（□－8）＋10]÷7＝56÷4=14（□－8）＋10=14×7=98 □－8=98-10=88□=88+8=96答：于昆这次数学考试成绩是96分.【巩固】某数加上6,乘以6,减去6,除以6,其结果等于6,则这个数是_____.【解题技巧】解答此类问题的方法规律是：原题加，逆推为减；原题减，逆推为加；原题乘，逆推为除；原题除，逆推为乘。
例2 ：小玲问一老爷爷今年多大年龄,老爷爷说：“把我的年龄加上17后用4除,再减去15后用10乘,恰好是100岁”那么,这位老爷爷今年_____岁.解析：｛［（□ + 17）÷4］-15｝×10 ＝ 100采用逆推法,易知老爷爷的年龄为(100÷10+15)×4-17=83(岁)【巩固】某数除以4，乘以5，再除以6，结果是615，求某数.例3：马小虎做一道整数减法题时，把减数个位上的1看成7，把减数十位上的7看成1，结果得出差是111.问正确答案应是几？解析：马小虎错把减数个位上1看成7，使差减少7-1＝6，而把十位上的7看成1，使差增加70-10＝60.因此这道题归结为某数减6，加60得111，求某数是几的问题.解：111-（70-10）＋（7-1）＝57 答：正确的答案是57.【巩固】在计算一道减法题时，小马虎把被减数个位上的3看做8，把减数十位上的6看做9，结果得出的差是60.正确的结果是多少？例4：树林中的三棵树上共落着48只鸟.如果从第一棵树上飞走8只落到第二棵树上；从第二棵树上飞走6只落到第三棵树上，这时三棵树上鸟的只数相等.问：原来每棵树上各落多少只鸟？解析：倒推时以“三棵树上鸟的只数相等”入手分析，可得出现在每棵树上鸟的只数48÷3＝16（只）.第三棵树上现有的鸟16只是从第二棵树上飞来的6只后得到的，所以第三棵树上原落鸟16-6＝10（只）.同理，第二棵树上原有鸟16＋6-8＝14（只）.第一棵树上原落鸟16＋8＝24（只），使问题得解.解：①现在三棵树上各有鸟多少只？48÷3＝16（只）②第一棵树上原有鸟只数.16＋8＝24（只）③第二棵树上原有鸟只数.16＋6-8＝14（只）④第三棵树上原有鸟只数.16-6＝10（只）答：第一、二、三棵树上原来各落鸟24只、14只和10只.【巩固】ABC三个小朋友共有玩具48个。
小学奥林匹克之逆推法含答案
文档仅供参照逆推法有些数学识题顺向思虑很难解答，这时假如能从反向进行思虑，有时能化难为易，很快找到解题门路。
其思虑的方法是从问题或结果出发，一步一步倒着推理，逐渐聚拢已知条件，直到问题的解决。
（一）思路指导：例 1. 一种细菌， 1 小时增加 1 倍，此刻有一批这样的细菌， 10 小时可增加到 400 万个，问增加到 100 万个需要多少小时？思路剖析：由于细菌每小时增加 1 倍。
10 小时增加到400 万个，那么 9 小时就增加到400 万个的一半，即9 小时增加到200 万个， 8 小时增加到100 万个。
算式：（小时）答：增加到 100 万个时需要8 小时。
例2. 四个小朋友共有课外读物 120 本，甲给了乙 3 本，乙给了丙 4 本，丙给了丁 5 本，丁给了甲 6 本，这时他们四个人课外读物的本数相等。
他们本来各有课外书多少本？思路剖析：四个人相互给，总本数仍旧是120 本，那么每人应有（本），而后各自把给他人的本数拿回来，再把他人给自己的本数退回去，就获得原有的本数。
算式：（本）丁原有的本数：（本）丙原有的本数：（本）乙原有的本数：（本）甲原有的本数：（本）答：甲、乙、丙、丁四人本来各有书27 本、 31 本、 31 本、 31 本。
例 3. 粮仓里存大米若干袋，第一天卖出的比存米的一半少8 袋，次日又卖出节余米的一半，这时粮仓里还存米32 袋，这个粮仓原存大米多少袋？思路剖析：依据粮仓里最后还有32 袋，一步一步地求出粮仓原存大米多少袋。
依据次日又卖出节余米的一半后还剩32 袋，能够求出第一天卖出后粮仓里存有 2 个 32 袋（即64 袋），依据第一天卖出原存大米的一半少8 袋可知，第一天卖后剩下的是原存大米的一半多 8 袋，原存大米的一半多8 袋是 64 袋，能够求出原存大米是（袋）列式：（袋）文档仅供参照答：粮仓里原有存米112 袋。
例4. 有甲、乙两个港口，各停小船若干只，假如按下边的规则挪动船只：第一次从甲港开出和乙港相同多的船只到乙港，第二次从乙港开出和甲港剩下的相同多的船只到甲港，那么照这样挪动四次后，甲乙两港所停的小船只数都是48 只，甲乙两港最先各有小船多少只？思路剖析：第四次从乙港开出船只到甲港后，两港各有船48 只，那么在乙港船只挪动前，甲港所停的船只数应是只，乙港所停船的只数应是只。
奥数知识二十——逆推问题
奥数知识⼆⼗——逆推问题逆推问题逆推问题⼜称还原问题,即已知⼀个数量经过若⼲次变化之后的结果，寻求原始的数量。
这类问题就好⽐⼀团乱⿇，不管当初是怎样纠成⼀团的，要解开它，我们只能先找到线头，从最后⼀个疙瘩出发⼀步⼀步地，由外到内解开所有的疙瘩。
解决这类问题，我们常常先找到结果，再沿着与原始数量变化相反的顺序，倒过来思考，⽤倒推法⼀步⼀步还原，最终推导出原始数据。
解题过程中，⼀般很少⽤综合算式（在现阶段，使⽤综合算式将使问题复杂化）。
对于简单的、变化不太复杂的逆推问题，可以直接列式⼀步步倒着推算，如果变化⽐较复杂，可借助列表和画图来帮助解决问题。
逆推问题逻辑性很强、逆向思考，有利于培养孩⼦的推理能⼒和发散思维。
【题⽬】：有⼀根绳⼦，第⼀次⽤去全长的⼀半，第⼆次⽤去余下的⼀半多4⽶，还剩9⽶。
这根绳⼦全长多少⽶？【解析】：根据题意画出线段图：第⼀步倒推：从最后⼀步变化出发：“第⼆次⽤去余下的⼀半多4⽶，还剩9⽶”，所以剩下的9⽶不到余下的⼀半，⽐余下的⼀半少4⽶。
如上图所⽰，第⼀次⽤去后余下的另⼀半就是：9+4=13（⽶）。
这⼀步是解题的关键。
第⼆步倒推：已求出第⼀次⽤去后余下的⼀半是13⽶，因此第⼀次⽤去后余下：13×2=26（⽶）。
第三步倒推：第⼀次⽤去全长的⼀半，则第⼀次⽤去后余下的也是全长的⼀半，所以绳⼦全长为：26×2 =52（⽶）。
逆推问题逻辑性很强、逆向思考，有利于培养孩⼦的推理能⼒和发散思维。
【题⽬】：⼩虎在做⼀道减法题时，把被减数⼗位上的6错写成9，减数个位上的9错写成6，最好所得的差是577，这题的正确答案应该是多少？【解析】：推理过程：根据题意，假设被减数是四位数（也可以假设成三位数）列出竖式，未知数字⽤⽅框代替：从上式分析：先把减数个位上6还原成9，减数增加了：9-6=3，差应该减少3。
所以，当被减数不变，减数个位上6还原成9时，差为：577-3=574。
1、小学奥数精讲精练系列之逆推法解题
第一讲逆推法解题知识、规律、方法：1、关于逆推法解题。
有这样一些题目，条件中只说明了中间的过程和最后的结果，要求最初的状态。
如果按正常的顺序进行推导和运算，将会十分麻烦，或许得不到答案。
它要求我们按照与原来运算顺序（或思维方向）相反的运算顺序（或思维方向）,进行相应的逆运算或逆变换，再求出原来的数。
我们把这种解题方法称之为“逆推法”2、怎样用逆推法解题。
解答时通常要用逆推法，即从最后的结果出发，一步一步倒着往前推算（因此这种解题方法又叫“倒退法”），直到问题解决。
用逆推法解题也就是由结果出发，逐步还原至最初。
还可以列方程进行解答。
3、辅助手段：画线段图、列表等。
范例、解析：例1：将一个数扩大7倍后，减去5，再除以5，最后加上最大的一位数，得22。
这个数是多少？解析告诉了中间过程和最后结果是22，用逆推法从结果出发，逐步进行还原（倒推）就可以得到答案。
要注意运算也是互逆的。
例2：小华的阿姨给小华送来一筐苹果，小华将其中的一半分给弟弟，又将剩下的一般分给哥哥，最后将第二次剩下的一半留给爸爸和妈妈，自己拿了剩下的4个苹果。
问阿姨一开始送来了多少个苹果？解析边画线段图边分析：最后剩下的4个，也是第二次分后剩下的一半，乘以2后得第一次分后剩下的，以此类推，倒推出最初的数量。
例3：王强利用假期看了一本课外读物，第一个星期看了这本书的一半少20页，第二个星期看了剩下的一半多30页，第三个星期看了80页，正好看完，这本书共有多少页？解析边画图边分析：因最后80页是第二个星期看后剩的页数的一半少30页，80＋30得到的110页，为第一个星期看后剩的页数的一半。
把110乘以2后得到的220正好比全书的一半多20页（第一个星期差20页正好一半）。
再逆推一步可得全书页数。
例4：有三袋大米，从甲袋中取出10千克加到乙袋，从乙袋中取出8千克加到丙袋，从丙袋中取出14千克加到甲袋，这时三袋大米都重50千克，甲、乙、丙三袋大米原来各重多少千克？解析可以列表分析：先列“最后的三袋大米都重50千克”，再一步一步进行还原，即可得到它们原来各自的重量。
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逆推法
有些数学问题顺向思考很难解答，这时如果能从反向进行思考，有时能化难为易，很快找到解题途径。
其思考的方法是从问题或结果出发，一步一步倒着推理，逐步靠拢已知条件，直到问题的解决。
（一）思路指导：
例1. 一种细菌，1小时增长1倍，现在有一批这样的细菌，10小时可增长到400万个，问增长到100万个需要多少小时？
思路分析：因为细菌每小时增长1倍。
10小时增长到400万个，那么9小时就增长到400万个的一半，即9小时增长到200万个，8小时增长到100万个。
算式：100118-+=()（小时）
答：增长到100万个时需要8小时。
例2. 四个小朋友共有课外读物120本，甲给了乙3本，乙给了丙4本，丙给了丁5本，丁给了甲6本，这时他们四个人课外读物的本数相等。
他们原来各有课外书多少本？ 思路分析：
学习奥数的优点
1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。
2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。
要使经过奥数训练的学生，思维更捷，考虑问题比别人更深层次。
3、锻炼学生优良的意志品质。
可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心， 以及战胜难题的勇气。
可以养成坚韧不拔的毅力
4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。
四个人互相给，总本数仍然是120本，那么每人应有120430÷=（本），然后各自把给别人的本数拿回来，再把别人给自己的本数退回去，就得到原有的本数。
算式：120430÷=（本）
丁原有的本数：306531+-=（本）
丙原有的本数：305431+-=（本）
乙原有的本数：304331+-=（本）
甲原有的本数：303627+-=（本）
答：甲、乙、丙、丁四人原来各有书27本、31本、31本、31本。
例3. 粮仓里存大米若干袋，第一天卖出的比存米的一半少8袋，第二天又卖出剩余米的一半，这时粮仓里还存米32袋，这个粮仓原存大米多少袋？
思路分析：根据粮仓里最后还有32袋，一步一步地求出粮仓原存大米多少袋。
根据第二天又卖出剩余米的一半后还剩32袋，可以求出第一天卖出后粮仓里存有2个32袋（即64袋），根据第一天卖出原存大米的一半少8袋可知，第一天卖后剩下的是原存大米的一半多8袋，原存大米的一半多8袋是64袋，可以求出原存大米是()6482112-⨯=（袋） 列式：()32282112⨯-⨯=（袋）
答：粮仓里原有存米112袋。
例4. 有甲、乙两个港口，各停小船若干只，如果按下面的规则移动船只：第一次从甲港开出和乙港同样多的船只到乙港，第二次从乙港开出和甲港剩下的同样多的船只到甲港，那么照这样移动四次后，甲乙两港所停的小船只数都是48只，甲乙两港最初各有小船多少只？
思路分析：
第四次从乙港开出船只到甲港后，两港各有船48只，那么在乙港船只移动前，甲港所停的船只数应是48224÷=只，乙港所停船的只数应是482472+=只。
这是第四次移动船只前的情况。
依照这个逆推的过程，可以逆推出每次移动前的情况，直到推出甲乙两港最初停有船的只数。
列式：（1）第四次移动前：
甲港：48224÷=（只）
乙港：482472+=（只）
（2）第三次移动前：
乙港：72236÷=（只）
甲港：243660+=（只）
（3）第二次移动前：
÷=（只）
甲港：60230
+=（只）
乙港：363066
（4）第一次移动前：
÷=（只）
乙港：66233
+=（只）
甲港：333063
答：最初甲港有船63只，乙港有船33只。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 某数扩大7倍后，再缩小2倍，加上8减去6，等于51，求某数？
2. 一根电线一半一半地剪去，剪了4次，剩下的正好是2米。
这根电线原来长多少米？
3. 小明、小军和小华共制作科技模型36件。
如果小明给小军6件，小军给小华4件，他们三人制作的科技模型的件数正好相等。
问他们原来各制作多少件？
4. 瓶内装有酒精，倒进500克以后又倒出一半，又倒进500克，这时瓶内有酒精1200克。
问瓶内原有酒精多少克？
5. 幸福小学暑假毕业学生86人，开学招进新生148人，同时又转入学生7人，转出3人，这时全校共有学生654人，问暑假前幸福小学有多少学生？
【试题答案】
1. 某数扩大7倍后，再缩小2倍，加上8减去6，等于51，求某数？
+-⨯÷=
()
51682714
2. 一根电线一半一半地剪去，剪了4次，剩下的正好是2米。
这根电线原来长多少米？
⨯⨯⨯⨯=（米）
2222232
3. 小明、小军和小华共制作科技模型36件。
如果小明给小军6件，小军给小华4件，他们三人制作的科技模型的件数正好相等。
问他们原来各制作多少件？
÷=（件）
36312
-=（件）
小华：1248
+=（件）
小明：12618
-+=（件）
小军：126410
4. 瓶内装有酒精，倒进500克以后又倒出一半，又倒进500克，这时瓶内有酒精1200克。
问瓶内原有酒精多少克？
-⨯-=（克）
12005002500900
()
5. 幸福小学暑假毕业学生86人，开学招进新生148人，同时又转入学生7人，转出3人，这时全校共有学生654人，问暑假前幸福小学有多少学生？
+--+=（人）
6543714886588。