第01招函数的定义域常见求法

高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第01讲：

函数的定义域常见求法

【知识要点】

一、函数的定义域的定义

函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围

二、求函数的定义域的主要依据

1分式的分母不能为零•

2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即阪(其中n = 2k,k^ N冷中x K0,奇次方根

的被开方数取全体实数，即n x (其中n= 2k+1,k E N j 中，x 运R.

3、指数函数y =a x的底数a必须满足a • 0且R.

4、对数函数y = log a x的真数x必须大于零，底数a必须满足a 0且a = 1.

5、零次幕的底数不能为零，即x0中X = 0 .

6、正切函数y =tanx的定义域是{x|x = k ,k・z}.

2

7、复合函数的定义域的求法

(1)已知原函数f (x)的定义域为(a,b)，求复合函数f[g(x)]的定义域：只需解不等式a ：：：g(x) ：：：b，不等式的解集即为所求函数的定义域.

(2)已知复合函数f[g(x)]的定义域为(a,b)，求原函数f(x)的定义域：只需根据a ：：：x ：：：b求出函数g(x)的值域，即得原函数f (x)的定义域.

8、求函数y = f (x) • g (x)的定义域

一般先分别求函数y = f (x)和函数y = g(x)的定义域A和B，再求Ap] B，则川B就是所求函数的定义域.

9、求实际问题中函数的定义域

不仅要考虑解析式有意义，还要保证满足实际意义

三、函数的定义域的表示

函数的定义域必须用集合表示，不能用不等式表示.函数的定义域也可以用区间表示，因为区间实际上

是集合的一种特殊表示形式

四、求函数的定义域常用的方法有直接法、求交法、抽象复合法和实际法

五、函数的问题，必须遵循“定义域优先”的原则

研究函数的问题，不管是具体的函数，还是抽象的函数，不管是简单的函数，还是复杂的函数，必须

优先考虑函数的定义域•之所以要做到这一点，不仅是为了防止出现错误，有时还会为解题带来方便【方法讲评】

方法一直接法

使用情景函数的结构比较简单•

解题步骤直接列出不等式解答，不等式的解集就是函数的定义域

【例1】求函数y =-：j2x2- 5x「3的定义域•

【解析】由题得2乂+ 5尤一3二0 I)0c+3)乏0

所以函数的定义域为U|x>^或沐£}.

【点评】对于类似例题的结构单一的函数，可以直接列出不等式再解答即得到函数的定义域

方法二求交法

使用情景函数是由一些函数四则运算得到的，即函数的形式为 f (x) = g(x) + h(x)型•

解题步骤

一般先分别求函数g(x)和h(x)的定义域A和B,再求A" B, A" B就是函数f (x)的定义域•【例2】求函数y = •. 25-x2+log3cosx的定义域•

【反馈检测

【解析】由题得丿「2

25 -X2-0

COSX 0

ji

2k — x 2k-

2

Tt

十—z

2 3 兀

{x | -5 - x 或-—：：x

2 2

所以函数的定义域为{x| -5乞x 兀 3

或x 二5}

2 2

3 、、3

或x 或x二5}

2 2 2 2

1】求函数

【点评】(1)求函数y = f(x) g(x)的定义域，一般先求y = f (x)和函数y = g(x)的定义域A 和B ,

再求A 「|B ，则A 「|B 就是所求函数的定义域•( 2)该题中要考虑偶次方根的被开方数是非负数，对数函数 的真数大于零，列不等式求函数的定义域时，

必须考虑全面，不能漏掉限制条件.(3)解不等式cosx 0时,

f 5 _ x _ 5

主要是利用余弦函数的图像解答

.(4)求

一.

-

的解集时，只需给参数 k 赋几个

]2k 兀 一一v x < 2k 兀+— k ^z I 2 2

整数值，再通过数轴求交集 •( 5)注意等号的问题，其中只要有一个错误，整个解集就是错误的，所以要 仔细认真•学科#网

0< x

2

二 v x h 芒 一6 /. 0 < x < lS^x 芒 y

x^-

所臥函数的定义域为｛划0 < X U 皿H 扌h

【点评】(1)该题中要考虑真数大于零，分式的分母不能为零，零次幕的底数不能为零，考虑要全面, 不要遗漏•( 2)求不等式的

交集一般通过数轴完成

x

【例4】求函数y=log a (a -1) (a • 0且a =1)的定义域•

【解析】由题得 a x -1 0 . a x •仁a 0

当 a ・1 时，x>0;当 00｝, 当0

【点评】(1 )求含有参数的函数的定义域时，注意在适当的地方分类讨论 数，如果已知条件

中，没有给定底数

a 的取值范围，一般要分类讨论 •

1

【反馈检测2】求函数y = ln(a x T) + ：

的定义域•

J-x 2 -2x + 3

【例3】求函数

"和卩一2)

0的定义域•

X-X* >0

【解析】由题得仆+3 -3H 0 (2 )对于指数函数和对数函