土木工程力学教案——静定结构的内力分析

第五章静定结构的内力分析

第一节多跨静定梁、斜梁

一、多跨静定梁

若干根梁用中间铰连接在一起，并以若干支座与基础相连，或者搁置于其他构件上而组成的静定梁，称为多跨静定梁。在实际的建筑工程中，多跨静定梁常用来跨越几个相连的跨度。图13—1a所示为一公路或城市桥梁中，常采用的多跨静定梁结构形式之一，其计算简图如图13—1b所示。

在房屋建筑结构中的木檩条，也是多跨静定梁的结构形式，如图13—2a所示为木檩条的构造图，其计算简图如图13—2b所示。

连接单跨梁的一些中间铰，在钢筋混凝土结构中其主要形式常采用企口结合(图13—1a)，而在木结构中常采用斜搭接或并用螺栓连接(图13—2a)。

从几何组成分析可知，图13—1b中AB梁是直接由链杆支座与地基相连，是几何不变的。且梁AB本身不依赖梁B C和CD就可以独立承受荷载，所以，称为基本部分。如果仅受竖向荷载作用，CD梁也能独立承受荷载维持平衡，同样可视为基本部分。短梁BC是依靠基本部分的支承才能承受荷载并保持平衡，所以，称为附属部分。同样道理在图13—2b 中梁AB，CD和EF均为基本部分，梁BC和梁DE为附属部分。为了更清楚地表示各部分之间的支承关系，把基本部分画在下层，将附属部分画在上层，分别如图13—1c和图13—2c所示，我们称它为关系图或层叠图。

从受力分析来看，当荷载作用于基本部分时，只有该基本部分受力，而与其相连的附属部分不受力；当荷载作用于附属部分时，则不仅该附属部分受力，且通过铰接部分将力传至 与其相关的基本部分上去。因此，计算多跨静定梁时，必须先从附属部分计算，再计算基本部分，按组成顺序的逆过程进行。例如图13—1c ，应先从附属梁BC 计算，再依次考虑

（1）作层叠图

如图13-3b 所示，AC 梁为基本部分，CE 梁是通过铰C 和D 支座链杆连接在AC

梁上，要依靠AC 梁才能保证其几何不变性，所以CE 梁为附属部分。 （2）计算支座反力

从层叠图看出，应先从附属部分CE 开始取隔离体，如图13-3c 所示。

∑=0C

M 04680=⨯-⨯D V kN V D 120=（↑） ∑=0D

M

04280=⨯-⨯C V kN V C 40=（↓）

将C V 反向，作用于梁AC 上，计算基本部分

∑=0X 0=A

H

∑=0A

M －40×10+V B ×8+10×8×4-64=0 ∑=0B

M

－40×2－10×8×4－64+V A ×8=0

V A =58kN （↑） V B =18kN （↓） 校核：由整体平衡条件得

∑Y ＝—80十120—18十58—10×8＝0， 无误。 (3)作内力图。

除分别作出单跨梁的内力图，然后拼合在同一水平基线上这一方法外，多跨静定梁的内力图也可根据其整体受力图(图13—3a)直接绘出。

将整个梁分为AB 、BD 、DE 三段，由于中间铰C 处是外力的连续点，故不必将它选为分段点。

由内力计算法则，各分段点的剪力为

kN Q A 58 右 左

B Q =58－10×8=－22kN 右B Q =58－10×8－18=－40 kN 左D Q =80－120=－40 kN 右

Q =80 kN 左Q =80 kN

M AB=－64 kN·m

M BA=－64+58×8－10×8×4=80 kN·m

M DE=－80×2=－160 kN·m

M ED=0

M F=－64+58×5.8－10×5.8×5.8/2=104.2 kN·m

据此作弯矩图如图13-3e所示。其中AB段内有均布荷载，故需在直线弯矩图（图中虚线）的基础上叠加相应简支梁在跨中间（简称跨中）荷载作用的弯距图。

多跨静定梁比相同跨度的简支梁的弯矩要小，且弯矩的分布比较均匀，此即多跨静定梁的受力特征。多跨静定梁虽然比相应的多跨简支梁要经济些，但构造要复杂些。一个具体工

等效换算成q 后再作计算，即由ql l q =''得 α

cos /1q l l q l l q q '

=

''=''

= （13-1） 式（13-1）表明：沿斜梁轴线分布的荷载q ′除以cos α就可化为沿水平分布的荷载q 。这样换算以后，对斜梁的一切计算都可按图13-5c 的简图进行。

【例13—2】 斜梁如图13—6a 所示。已知其倾角为α，水平跨度为l ，承受沿水平方向集度为q 的均布载荷作用。试作该斜梁的内力图，并与相应水平梁的内力图作比较。 解：

（1） 求支座反力；

以全梁为分离体，由静力平衡条件求得支座反力为 H A =0， V A =2

ql

（2）求内力

K

可得弯矩方程为 22

22x q x ql x qx

x V M A -=-= 故知弯矩图为一抛物线，如图13—6c 所示，跨中弯矩为2

8

1

ql 。可见斜梁中最大弯矩的位置

（梁跨中）和大小（8

2

ql ）与直梁是相同的。

求剪力和轴力时，将反力V A 和荷载qx 沿截面方向(v 方向)和杆轴方向(u 方向)分解(图13—6b)，由∑v = 0，得 αααcos 2cos cos ⎪⎭

⎫

⎝⎛-=-=qx ql qx V Q A 由

∑=0u ，得

αααsin 2sin sin ⎪⎭

⎫

⎝⎛--=+-=qx ql qx V N A 根据以上二式分别作出剪力图和轴力图，如图13—6d 、e 所示。

图13—6f 所示，为与上述斜梁的水平跨度相等并承受相同载荷的简支梁。由截面法可求得任一截面K 的弯矩0M 、剪力0Q 和轴力0

N 的方程为 20

22x q x ql M -=

， qx ql

Q -=2

0， 00=N 作得内力图如图13—6g 、h 、i 所示。

将斜梁与水平梁的内力加以比较，可知二者有如下关系：

M M =， αcos 0

Q Q =， αsin 0

Q N -=