2018高中数学必修1课件：1.2.2 函数的表示法 第2课时 分段函数及映射 探究导学课型 精品

规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费1.2元； 若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费按原价的 200%收费；若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水 费按原价的400%收费，如果某人本季度实际用水量为 x(x≤7)吨，试计算本季度他应交的水费y(单位：元).
【解析】由题意知，当0<x≤5时，y=1.2x. 当5<x≤6时，y=1.2×5+(x-5)×1.2×2=2.4x-6. 当6<x≤7时，y=1.2×5+(6-5)×1.2×2+(x-6)×1.2×4
A.f：x→y=x2
B.f：x→y=3x-2
C.f：x→y=-x+4
D.f：x→y=4-x2
(2)(2016·吉安高一检测)已知集合A=B=R，x∈A，y∈B，
f：x→y=ax+b，若6和9在f作用下分别与4和10对应，
则19在f作用下与
对应.
【解题指南】(1)根据映射的定义，判断A中的每一个 元素在对应关系f的作用下，在集合B中是否都有唯一 的元素与之对应. (2)根据6和9在f作用下与4和10对应，建立关于a，b 的方程组，求出y=ax+b的解析式，再将x=19代入可 解y的值.
【规律总结】 1.求分段函数值的方法 先确定要求值的自变量属于哪一段，然后代入该段的 解析式求值，直到求出值为止. 特别地，当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次 求值.
2.已知函数值求字母的值的四个步骤 (1)讨论：对字母的取值范围分类讨论. (2)代入：由不同取值范围，代入对应的解析式中. (3)求解：通过解方程求出字母的值. (4)检验：检验所求的值是否在所讨论的区间内.
2x2，0 x＜1，
4.函数f(x)= 2，1 x＜2， 的定义域为
.
【解析】分段函3，数x的 2定义域为各段定义域的并集，
即定义域为[0，1)∪[1，2)∪[2，+∞)=[0，+∞). 答案：[0，+∞)
5.已知A={1，2，3，…，9}，B=R，从集合A到集合B的
映射f：x→ x .
(1)与A中元素2x1相1 对应的B中的元素是
集合A中任一元素在集合B中对应唯一元素
【预习小测】
1.下列对应是从集合A到集合B映射的是 ( )
①A=N，B=N*，f：x→|x|；
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②A=N，B=N*，f：y=|x-1|；
③A=B=1，f：x→x2；
④A={1，2，3，4，5}，B={1，7，17，31，49}，
f：y=2x2-1.
A.①②
B.①③
_个__确__定__的__对__应__关__系__f_，__使__对__于__集__合__A_中__的__任__意__一__个__元__素__ ________________________________________________ x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就 _________________________________________ 称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射.
【规律总结】判断一个对应是不是映射的方法 判断一个对应是不是映射，看两点： (1)任意性：集合A中任一元素在B中都有元素与之对应. (2)唯一性：对应应是多对一或一对一.
【巩固训练】(2016·惠阳高一检测)下列分别为集合A 到集合B的对应.其中，是从A到B的映射的是( )
A.(1)(2)
B.(1)(2)(3)
2.(增加条件)本例若增加条件f(a)+f(-1)=3，求a的值. 【解析】因为-1<1，所以f(-1)=1-(-1)2=0，当a≤1时， f(a)+f(-1)=1-a2=3，无解. 当a>1时，f(a)+f(-1)=a2-a-3=3， 即a2-a-6=0，所以a=3或a=-2(舍). 所以a=3.
则
的值为
.
x
2
x
3,
x＞1,
f( f 13)
【解题指南】先求
f
1
3
，再求
f(
f
1
3
)
.
【解析】f(3)=32-3-3=3，所以 1 1
.
所以 f(
答案：f
1
3
)
f(
1) 3
1
(1 3
)2
8 9
.
f 3 3
8
9
【延伸探究】 1.(改变问法)本例条件不变，求f(a)的值. 【解析】当a≤1时，f(a)=1-a2， 当a>1时，f(a)=a2-a-3.
1.从起点站出发，公共汽车的行程x(千米)与票价y(元) 间的函数关系是什么？ 提示：当0<x≤5时，y=2；当5<x≤10时，y=3， 故y=
2，0＜x 5, 3，5＜x 10.
2.这种函数关系的特征是什么？
用文字语言描述：函数式是_分__段__呈现的. ⇓
分段函数的定义：________________________________ _________________在__函__数__的__定__义__域__内__，__对__于__自__变__量. x的 不同取值范围，函数有着不同的对应关系的函数
集合B中与集合A中元素(y1，2)对应的元素是( )
A.(1，2) C.(2，1)
B. (2，1 )
D. 2 (1，1 ) 2
【解析】选B.因为集合A中的元素(x，y)与集合B中的
元素 (xy,
对应.
x y
对应，故A中元素(1，2)与B中元素 )
(2，1 ) 2
3【.解已析知】f(因x)为= 2>xx12，1,所3x, x以＞1,1f,(则2)f=(-f4(+2)3)== -1<1， . 所以f(f(2))=f(-1)=1+1=2. 答案：2
【巩固训练】(2016·广州高一检测)已知f(x)
= x2, x＞0， 则f(2)+f(-2)的值为 ( )
A.8f x 1,x 0，B.5
C.4
D.2
【解析】选B.f(2)=22=4，f(-2)=f(-2+1)=f(-1)= f(-1+1)=f(0)=f(0+1)=f(1)=1， 所以f(2)+f(-2)=4+1=5.
主题2：映射 观察下面的对应，它们有何共同特点？
用文字语言描述：对于集合A中_任__何__一个元素，在集合
B中都有_____的元素与之对应. 唯一 ⇓
用符号语言描述：________.
⇓
f：A→B
映射的定义：_设__A_，__B_是__两__个__非__空__的__集__合__，__如__果__按__某__一__
=4.8x-20.4.所以，y= 1.2x,0＜x 5, 2.4x 6,5＜x 6, 4.8x 20.4,6＜x 7.
类型三：映射的概念及应用
【典例3】(1)(2016·重庆高一检测)设集合A={x|1≤x
≤2}，B={y|1≤y≤4}，则下述对应关系f中，不能构成
A到B的映射的是 ( )
第2课时 分段函数及映射
【自主预习】 主题1：分段函数 某市空调公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5千米以内(含5千米)，票价2元. (2)5千米以上，每增加5千米，票价增加1元(不足5千 米的按5千米计算).
已知两个相邻的公共汽车站间相距1千米，沿途(包括 起点站和终点站)有11个汽车站. 请根据以上内容，回答下面的问题：
【互动探究】 1.分段函数的定义域、值域与每段的定义域、值域有 何关系？ 提示：分段函数的定义域是每段定义域的并集. 分段函数的值域是每段值域的并集.
2.从集合A到集合B的映射f：A→B与从集合B到集合A的 映射f：B→A是不是相同映射？ 提示：映射f：A→B与映射f：B→A不是相同映射. 3.映射一定是函数吗？函数一定是映射吗？ 提示：当集合A，B为非空数集时，映射就是函数，否 则不是，但函数都是映射.
【解析】(1)选D.f：x→y=x2∈[1，4]；f：x→y=3x-2
∈[1，4]；f：x→y=-x+4∈[2，3] [1，4]；f：x→y
=4-x2∈[0，3].
(2)由题意可得
解得
6a b 4, 当x=19时，y=390a . b 10,
答案：30
所以y=2x-8， a 2, b 8,
【深度思考】
结合教材P22例7你认为怎样判断一个对应是否是映射？
第一步：_______________________________________ 集合A中的每一元素，在集合B中是否都有元
___________. 第素二与步之：对_应____________________________________.
C.③④
D.②④
【解析】选C.①A中元素0在集合B中无元素与之对应， 故不是映射；②A中元素1在B中无元素与之对应，故不 是映射；③符合定义，是映射；④中x=1，2，3，4，5 时，y分别是1，7，17，31，49，符合定义，是映射.
2.已知f：(x，y)→
(xy,
x
是从集合A到集合B的映射，在 )
【探究总结】 知识归纳：
方法总结：映射的判断方法 (1)在A中取元素的任意性. (2)在B中对应元素的唯一性. 注意事项：(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数. (2)作分段函数图象时要注意衔接点的虚实.
【题型探究】
类型一：分段函数的求值
【典例1】(2016·吉林高一检测)函数f(x)= 1 x2, x 1,
【解题指南】(1)根据当x<0时，y=x2，为抛物线的一 段；当x≥0时，y=x-1为射线判断. (2)分0≤x≤20和20<x≤200两种情况，分别求解析式， 最后分段表示.
【解析】(1)选C.当x<0时，y=x2，为抛物线y=x2在y轴 左侧的部分，当x≥0时，y=x-1，为射线且与y轴交于 (0，-1).
.
(2)与B中元素 相对应的A中的元素是
.
4
9
【解析】(1)因为x=1，所以相对应B中的元素为 1 1. 211 3
(2)由 x 得4x, =4. 答案：2(x1)11 9(2)4
3
6.已知f(x)= 2 x, x 0, 且f(a)=4，求a的值. 【解析】当a≤0x 时1,，x＞由02-a=4，得a=-2， 当a>0时，由a+1=4，得a=3. 所以a=-2或3.
C.(1)(2)(4)
D.(1)(2)(3)(4)
【解析】选A.映射关系中可以是一对一的关系，可以
是多对一的关系，不能是一对多的关系，因此(1)(2)
构成映射关系.
【巩固训练】a，b为实数，集合A= {b ,1}，B={a，0}， f：x→2x表示把集合A中的元素x映射a到集合B中为2x， 求a+b的值.
类型二：分段函数的图象及应用问题
【典例2】(1)(2016·周口高一检测)下列图象是函数
y=
的图象的是 ( )
x2, x＜0,
x 1, x 0
(2)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交 通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千 米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数，当桥 上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车 流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速 度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流 速度v是车流密度x的一次函数.当0≤x≤200时，求函 数v(x)的表达式.
(2)利用分段函数求解实际应用题的策略 ①明确条件，将文字语言转化为数学语言； ②建立恰当的分段函数模型解决问题.
【巩固训练】(2015·松原高一检测)“水”这个曾经 被人认为取之不尽、用之不竭的资源，竟然到了严重 制约我国经济发展，影响人民生活的程度，因为缺水， 每年给我国工业造成的损失达2000亿元，给我国农业 造成的损失达1500亿元，严重缺水困扰着全国三分之 二的城市.为了节约用水，某市打算出台一项水费政策，
【解析】由题意，A中的元素1只能对应集合B中的a，
故a=2，所以B={2，0}，而A中的 b 可能对应B中的2或0.
当 对应2时， =1，此时A中有两a 个相同元素，不合
b
b
题意a .当 对应a0时，应有 =0，则b=0，此时A={0，1}，
b
b
符合题意a.综上，a=2，b=0a，a+b=2.
(2)由题意，当0≤x≤20时，v(x)=60；
当20≤x≤200时，设v(x)=ax+b.
故由函已数知v22(00x0a)a的b表b6达00,,式解得为ab
1, 3
200 3
.
vx
60,0
1 3
200
x
20，
x , 20＜x
200.
【规律总结】(1)作分段函数图象的方法 作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每 一段图象时，先不考虑范围的限制，作出其图象，再 保留对应范围内的一段图象即可，作图时要特别注意 衔接点处点的虚实，保证不重不漏.