2020-2021学年高三数学一轮复习知识点专题2-2 函数的单调性与最值(1)

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2021版新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第2讲函数的单调性与最值

第2讲函数的单调性与最值一、知识梳理 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间．[注意] 有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“逗号”或“和”联结．2．函数的最值前提设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件 (1)对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ； (2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M(1)对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ； (2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论 M 为最大值M 为最小值1．函数单调性的两个等价结论设∀x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，则(1)f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0(或(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0)⇔f (x )在D 上单调递增．(2)f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0(或(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0)⇔f (x )在D 上单调递减．2．函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．二、教材衍化1．函数f (x )＝x 2－2x 的单调递增区间是________．答案：[1，＋∞)(或(1，＋∞))2．若函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，则k 的取值范围是________．解析：因为函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，所以2k ＋1＜0，即k ＜－12.答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－12 3．已知函数f (x )＝2x －1，x ∈[2，6]，则f (x )的最大值为________，最小值为__________．解析：可判断函数f (x )＝2x －1在[2，6]上为减函数，所以f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min ＝f (6)＝25. 答案：2 25一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．( ) (2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数f (x )的单调递增区间是[1，＋∞)．( ) (3)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )(4)所有的单调函数都有最值．( )(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．( )(6)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点处取到．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ 二、易错纠偏常见误区| (1)求单调区间忘记定义域导致出错；(2)混淆“单调区间”与“在区间上单调”两个概念出错． 1．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为( ) A ．(－∞，1] B ．[3，＋∞) C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)解析：选B ．设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3.所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．2．若函数f (x )＝x 2－2mx ＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________．解析：由题意知，[2，＋∞)⊆[m ，＋∞)，所以m ≤2. 答案：(－∞，2]考点一确定函数的单调性(区间)(基础型) 复习指导| 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义．核心素养：数学抽象角度一判断或证明函数的单调性(一题多解)试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1，1)上的单调性．【解】法一：设－1<x 1<x 2<1， f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1＝a （x 2－x 1）（x 1－1）（x 2－1），由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )在(－1，1)上单调递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．法二：f ′(x )＝（ax ）′（x －1）－ax （x －1）′（x －1）2＝a （x －1）－ax （x －1）2＝－a（x －1）2.当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1，1)上单调递减；当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．利用定义法证明或判断函数单调性的步骤[注意] 判断函数的单调性还有图象法、导数法、性质法等．角度二利用函数图象求函数的单调区间求函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋1的单调区间．【解】 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧－（x －1）2＋2，x ≥0，－（x ＋1）2＋2，x <0. 画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和(0，1]，单调递减区间为(－1，0]和(1，＋∞)．【迁移探究】 (变条件)若本例函数变为f (x )＝|－x 2＋2x ＋1|，如何求解？解：函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的图象如图所示．由图象可知，函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的单调递增区间为(1－2，1]和(1＋2，＋∞)；单调递减区间为(－∞，1－2]和(1，1＋2]．确定函数的单调区间的方法[注意] (1)函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域上不一定是单调函数，如函数y ＝1x在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，但在定义域上不具有单调性．(2)“函数的单调区间是M ”与“函数在区间N 上单调”是两个不同的概念，显然N ⊆M .1．函数y ＝|x |(1－x )在区间A 上是增函数，那么区间A 可能是( ) A ．(－∞，0) B ．⎣⎡⎦⎤0，12 C ．[0，＋∞)D ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析：选B ．y ＝|x |(1－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），x ≥0－x （1－x ），x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≥0x 2－x ，x <0＝⎩⎨⎧－⎝⎛⎭⎫x －122＋14，x ≥0，⎝⎛⎭⎫x －122－14，x <0.画出函数的草图，如图．由图易知原函数在⎣⎡⎦⎤0，12上单调递增． 2．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( ) A ．f (x )＝2x B ．f (x )＝|x －1| C ．f (x )＝1x－xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选C ．由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A 、D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调，对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x 与y＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．3．判断函数y ＝2x 2－3x的单调性．解：因为f (x )＝2x 2－3x ＝2x －3x ，且函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而函数y ＝2x和y ＝－3x 在区间(－∞，0)上均为增函数，根据单调函数的运算性质，可得f (x )＝2x －3x 在区间(－∞，0)上为增函数．同理，可得f (x )＝2x －3x在区间(0，＋∞)上也是增函数．故函数f (x )＝2x 2－3x 在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均为增函数．考点二函数的最值(值域)(基础型) 复习指导| 理解函数的最大(小)值，并能利用函数的单调性求最值．核心素养：逻辑推理(1)(一题多解)函数y ＝x ＋x －1的最小值为________．(2)(2020·福建漳州质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋a ，x ≤0，x ＋4x ，x ＞0有最小值，则实数a 的取值范围是________．【解析】 (1)法一(换元法)：令t ＝x －1，且t ≥0，则x ＝t 2＋1，所以原函数变为y ＝t 2＋1＋t ，t ≥0. 配方得y ＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34，又因为t ≥0，所以y ≥14＋34＝1，故函数y ＝x ＋x －1的最小值为1.法二：因为函数y ＝x 和y ＝x －1在定义域内均为增函数，故函数y ＝x ＋x －1在[1，＋∞)内为增函数，所以y min ＝1.(2)(基本不等式法)由题意知，当x >0时，函数f (x )＝x ＋4x≥2x ·4x＝4，当且仅当x ＝2时取等号；当x ≤0时，f (x )＝2x ＋a ∈(a ，1＋a ]，因此要使f (x )有最小值，则必须有a ≥4.【答案】 (1)1 (2)[4，＋∞)求函数最值的五种常用方法1．函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝________．解析：易知f (x )在[a ，b ]上为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＝1，f （b ）＝13，即⎩⎨⎧1a －1＝1，1b －1＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4.所以a ＋b ＝6. 答案：62．(一题多解)对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．解析：法一：在同一直角坐标系中，作出函数f (x )，g (x )的图象，依题意，h (x )的图象如图所示．易知点A (2，1)为图象的最高点，因此h (x )的最大值为h (2)＝1.法二：依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0＜x ≤2，－x ＋3，x ＞2.当0＜x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数，当x ＞2时，h (x )＝3－x 是减函数，所以h (x )在x ＝2处取得最大值h (2)＝1. 答案：1考点三函数单调性的应用(综合型) 复习指导| 利用函数单调性求解，要明确函数的所给区间，不同区间有不同的单调性．角度一比较两个函数值已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >bD ．b >a >c【解析】因为f (x )的图象关于直线x ＝1对称．由此可得f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52.当x 2>x 1>1时， [f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，知f (x )在(1，＋∞)上单调递减．因为1<2<52<e ，所以f (2)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (e)，所以b >a >c . 【答案】 D比较函数值大小的思路：比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．角度二解函数不等式已知函数f (x )＝－x |x |，x ∈(－1，1)，则不等式f (1－m )<f (m 2－1)的解集为________．【解析】由已知得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1<x ≤0，－x 2，0<x <1，则f (x )在(－1，1)上单调递减，所以⎩⎨⎧－1<1－m <1，－1<m 2－1<1，m 2－1<1－m ，解得0<m <1，所以所求解集为(0，1)．【答案】 (0，1)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解，此时应特别注意函数的定义域．角度三求参数的值或取值范围(1)(2020·南京调研)已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是________．【解析】 (1)设1<x 1<x 2，所以x 1x 2>1. 因为函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数，所以f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a2－⎝⎛⎭⎫x 2－a x 2＋a 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1＋a x 1x 2<0. 因为x 1－x 2<0，所以1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2.因为1<x 1<x 2，x 1x 2>1，所以－x 1x 2<－1，所以a ≥－1. 所以a 的取值范围是[－1，＋∞)．(2)作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.【答案】 (1)[－1，＋∞) (2)(－∞，1]∪[4，＋∞)利用单调性求参数的策略(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；(2)若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．1．已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫13，23 B ．⎣⎡⎭⎫13，23 C ．⎝⎛⎭⎫12，23D ．⎣⎡⎭⎫12，23解析：选D ．因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13.所以0≤2x －1<13，解得12≤x <23.故选D ．2．函数y ＝f (x )在[0，2]上单调递增，且函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，则下列结论成立的是( )A ．f (1)<f ⎝⎛⎭⎫52<f ⎝⎛⎭⎫72B ．f ⎝⎛⎭⎫72<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫52C ．f ⎝⎛⎭⎫72<f ⎝⎛⎭⎫52<f (1)D ．f ⎝⎛⎭⎫52<f ⎝⎛⎭⎫72<f (1)解析：选B ．因为f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以f (x )＝f (4－x )，所以f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫32，f ⎝⎛⎭⎫72＝f ⎝⎛⎭⎫12.又0<12<1<32<2，f (x )在[0，2]上单调递增，所以f ⎝⎛⎭⎫12<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫32，即f ⎝⎛⎭⎫72<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫52. 3．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是[3，＋∞)，则a 的值为________．解析：由图象(图略)易知函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是⎣⎡⎭⎫－a 2，＋∞，令－a2＝3，得a ＝－6.答案：－6[基础题组练]1．下列四个函数中，在x ∈(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：选C ．当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．2．函数f (x )＝－x ＋1x 在⎣⎡⎦⎤－2，－13上的最大值是( ) A ．32B ．－83C ．－2D ．2解析：选A ．函数f (x )＝－x ＋1x 的导数为f ′(x )＝－1－1x 2，则f ′(x )<0，可得f (x )在⎣⎡⎦⎤－2，－13上单调递减，即f (－2)为最大值，且为2－12＝32.3．已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－1，1) B ．(0，1)C ．(－1，0)∪(0，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：选C ．由f (x )为R 上的减函数且f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪1x ＞1，x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧|x |＜1，x ≠0.所以－1＜x ＜0或0＜x ＜1.故选C ．4．(多选)(2021·预测)已知f (x )是定义在[0，＋∞)上的函数，根据下列条件，可以断定f (x )是增函数的是( )A ．对任意x ≥0，都有f (x ＋1)>f (x )B ．对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1≥x 2，都有f (x 1)≥f (x 2)C ．对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1－x 2<0，都有f (x 1)－f (x 2)<0D ．对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0解析：选CD ．根据题意，依次分析选项：对于选项A ，对任意x ≥0，都有f (x ＋1)>f (x )，不满足函数单调性的定义，不符合题意；对于选项B ，当f (x )为常数函数时，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，都有f (x 1)＝f (x 2)，不是增函数，不符合题意；对于选项C ，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1－x 2<0，都有f (x 1)－f (x 2)<0，符合题意；对于选项D ，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，设x 1>x 2，若f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，必有f (x 1)－f (x 2)>0，则函数在[0，＋∞)上为增函数，符合题意．5．(创新型)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C ．由题意知当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2，又f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在相应的定义域内都为增函数，且f (1)＝－1，f (2)＝6，所以f (x )的最大值为6.6．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是________．解析：由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.结合图象可知函数的单调减区间是[1，2]．答案：[1，2]7．函数y ＝2＋－x 2＋4x 的最大值是________，单调递增区间是________．解析：函数y ＝2＋－x 2＋4x ＝2＋－（x －2）2＋4，可得当x ＝2时，函数y 取得最大值2＋2＝4；由4x －x 2≥0，可得0≤x ≤4，令t ＝－x 2＋4x ，则t 在[0，2]上为增函数，y －2＋t 在[0，＋∞)上为增函数，可得函数y ＝2＋－x 2＋4x 的单调递增区间为[0，2]．答案：4 [0，2]8．已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3，1)是其图象上的两点，那么不等式－3<f (x ＋1)<1的解集为________．解析：由函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3，1)是其图象上的两点，知不等式－3<f (x ＋1)<1，即为f (0)<f (x ＋1)<f (3)，所以0<x ＋1<3，所以－1<x <2.答案：(－1，2)9．已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值．解：(1)证明：任取x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，因为x 1>x 2>0，所以x 1－x 2>0，x 1x 2>0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)由(1)可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上为增函数，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝1a －2＝12， f (2)＝1a －12＝2，解得a ＝25.10．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)上单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围．解：(1)证明：设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2（x 1－x 2）（x 1＋2）（x 2＋2）.因为(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，所以f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增． (2)设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a （x 2－x 1）（x 1－a ）（x 2－a ）.因为a >0，x 2－x 1>0，所以要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，所以a ≤1.综上所述，a 的取值范围为(0，1]．[综合题组练]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3（a －3）x ＋2，x ≤1，－4a －ln x ，x >1对任意的x 1≠x 2都有(x 1－x 2)[f (x 2)－f (x 1)]>0成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，3]B ．(－∞，3)C ．(3，＋∞)D ．[1，3)解析：选D ．由(x 1－x 2)[f (x 2)－f (x 1)]>0，得(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0，所以函数f (x )在R 上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3<0，3（a －3）＋2≥－4a ，解得1≤a ＜3.故选D ． 2．(多选)若函数f (x )满足条件：①对于定义域内任意不相等的实数a ，b 恒有f （a ）－f （b ）a －b >0；②对于定义域内任意x 1，x 2都有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22≥f （x 1）＋f （x 2）2成立．则称其为G 函数．下列函数为G 函数的是( ) A ．f (x )＝3x ＋1 B ．f (x )＝－2x －1 C ．f (x )＝x 2－2x ＋3D ．f (x )＝－x 2＋4x －3，x ∈(－∞，1)解析：选AD ．①对于定义域内任意不相等的实数a ，b 恒有f （a ）－f （b ）a －b >0，则函数f (x )在定义域为增函数；②对于定义域内任意x 1，x 2都有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22≥f （x 1）＋f （x 2）2成立，则函数f (x )为“凸函数”．其中A ．f (x )＝3x ＋1在R 上为增函数，且f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＝f （x 1）＋f （x 2）2，故满足条件①②；B ．f (x )＝－2x －1在R 上为减函数，不满足条件①；C ．f (x )＝x 2－2x ＋3在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)为增函数，不满足条件①；D ．f (x )＝－x 2＋4x －3的对称轴为x ＝2，故函数f (x )＝－x 2＋4x －3在(－∞，1)上为增函数，且为“凸函数”，故满足条件①②.综上，为G 函数的是AD ．3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －a ）2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x ＞0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为________．解析：因为当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，f (0)是f (x )的最小值，所以a ≥0.当x ＞0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2，所以a 的取值范围是0≤a ≤2. 答案：[0，2]4．(创新型)如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数，且函数y ＝f （x ）x 在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f (x )是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数f (x )＝12x 2－x ＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为________．解析：因为函数f (x )＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x ≥1时，f （x ）x ＝12x －1＋32x ，令g (x )＝12x －1＋32x (x ≥1)，则g ′(x )＝12－32x 2＝x 2－32x 2，由g ′(x )≤0得1≤x ≤3，即函数f （x ）x ＝12x －1＋32x 在区间[1，3 ]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1， 3 ]．答案：[1， 3 ]5．已知函数f (x )＝x 2＋a |x －2|－4.(1)当a ＝2时，求f (x )在[0，3]上的最大值和最小值；(2)若f (x )在区间[－1，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋2|x －2|－4＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －8，x ≥2x 2－2x ，x ＜2＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2－9，x ≥2（x －1）2－1，x ＜2，当x ∈[0，2)时，－1≤f (x )<0，当x ∈[2，3]时，0≤f (x )≤7，所以f (x )在[0，3]上的最大值为7，最小值为－1.(2)因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax －2a －4，x ＞2x 2－ax ＋2a －4，x ≤2，又f (x )在区间[－1，＋∞)上单调递增，所以当x ＞2时，f (x )单调递增，则－a2≤2，即a ≥－4.当－1＜x ≤2时，f (x )单调递增，则a2≤－1.即a ≤－2，且4＋2a －2a －4≥4－2a ＋2a －4恒成立，故a 的取值范围为[－4，－2]．6．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2，9]上的最小值．解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)证明：任取x 1，x 2∈()0，＋∞，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0，所以f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间()0，＋∞上是单调递减函数．(3)因为f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数，所以f (x )在[2，9]上的最小值为f (9)，由f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得f ⎝⎛⎭⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2.所以f (x ) 在[2，9]上的最小值为－2.。

高三数学一轮复习 2.2函数的单调性与最值课件

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9
2.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( )
A.ylnx2
C.y(1)x 2
B.y x1 D.yx1
x
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10
【解析】选A.
选项
具体分析
因为内外函数在(0,+∞)上都是增函数,根据 A 复合函数的单调性,此函数在(0,+∞)上是增
函数
内函数在(0,+∞)上是增函数,外函数在 B (0,+∞)上是减函数,根据复合函数的单调性,
f(x2)
_都__有__f_(_x_1_)_>_f_(_x_2)_
结论
函数f(x)在_区__间__D_ 函数f(x)在_区__间__D_上
上是增函数
是减函数
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3
增函数
减函数
图象描述
自左向右看图象是 _上__升__的__
自左向右看图象是 _下__降_的___
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4
(2)单调性、单调区间:若函数y=f(x)在区间D上是_增__函__数__或 _减__函__数__,则称函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性, _区__间__D_叫做y=f(x)的单调区间.
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7
④函数y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是
[1,+∞);
⑤在闭区间上单调的函数,其最值一定在区间端点取到.
其中正确的是( )
A.①②
B.③④
C.④⑤
D.⑤
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8
【解析】选D.①错误.函数的单调递增区间应为(-∞,0]和 (0,+∞). ②错误.对R上的特殊的-1<3,有f(-1)<f(3),f(x)在R上不一定为增函数. ③错误.函数y=|x|在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数. ④错误.[1,+∞)是单调递增区间的子集. ⑤正确.若函数在闭区间上单调,则其图象的最高、最低点一定在端点,即最值在端点取到.

2021年新高考数学一轮专题复习第05讲-函数的单调性与最值(讲义版)

【例
2－1】（2020·安徽省六安一中高一月考）若函数
f
x
2x2 1
3 x2
，则
f
x
的值域为（
）
A． ,3
B． 2,3
C． 2,3
D．3,
【答案】C 【分析】
利用分子分离法化简 f x ，再根据不等式的性质求函数的值域.
【详解】
f
x
2x2 3 1 x2
2(x2 1) 1 1 x2
2
1
1 x
考点一确定函数的单调性(区间)
【例 1－1】（2019·安徽省泗县第一中学高二开学考试（理））如果函数 f(x)在[a，b]上是增函数，
对于任意的 x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论不正确的是( )
A．
f
x1
x1
f x2
x2
>0
B．f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b)
C．(x1－x2) [f(x1)－f(x2)]>0
取到.
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值). 2.函数 y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与 y＝－f(x)，y＝ 1 的单调性相反.
f（x） 3.“对勾函数”y＝x＋a(a>0)的增区间为(－∞，－ a)，( a，＋∞)；单调减区间是[－ a，0)，
x (0， a].
三、经典例题
的最大值为（）
A．-2
B．-3
C．-4
D．-6
10．（2020·安徽省六安一中高一月考）已知函数 f (x) log 1 (3x2 ax 5) 在 (1, ) 上是减函数，则实数 a
2

2021届高三高考数学理科一轮复习知识点专题2-2 函数的单调性与最值【含答案】

2021届高三高考数学理科一轮复习知识点专题2.2 函数的单调性与最值【核心素养分析】1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义．2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.3.培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象能力。

【重点知识梳理】知识点一函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．知识点二函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M(4)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M 结论M 为最大值M 为最小值【特别提醒】1.函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f （x ）的单调性相反. 2.“对勾函数”y ＝x ＋ax (a >0)的单调增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)；单调减区间是[－a ，0)，(0，a ].【典型题分析】高频考点一确定不含参函数的单调性(区间)例1.（2020·新课标Ⅱ）设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（） A. 是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B. 是奇函数，且在11(,)22-单调递减C. 是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D. 是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减【答案】D【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--， ()ln 21y x =+在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭，2121x μ=+-在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上单调递减，D 正确. 【举一反三】（2020·山东青岛二中模拟）函数y ＝x 2＋x －6的单调递增区间为________，单调递减区间为________．【答案】[2，＋∞) (－∞，－3] 【解析】令u ＝x 2＋x －6，则y ＝x 2＋x －6可以看作是由y ＝u 与u ＝x 2＋x －6复合而成的函数．令u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.易知u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y ＝u 在[0，＋∞)上是增函数，所以y ＝x 2＋x －6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)。

高三高考数学复习课件2-2函数的单调性与最值

【答案】
1 x0<x<3
或1<x<3
角度三求参数范围
【例 6】 (1)如果函数 f(x)＝ax2＋2x－3 在区间(－∞，4)上是
单调递增的，则实数 a 的取值范围是( )
A．a>－41
B．a≥－14
C．－41≤a<0
D．－41≤a≤0
(2)已知 f(x)＝（ ax，2－x≥a）1 x＋1，x<1，满足对任意 x1≠x2，都有 f（x1）x1－－fx（2 x2）>0 成立，那么 a 的取值范围是________．
对称，当 x2>x1>1 时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0 恒成立，设 a＝f－12， b＝f(2)，c＝f(3)，则 a，b，c 的大小关系为( )
A．c>a>b
B．c>b>a
C．a>c>b
D．b>a>c
【解析】根据已知可得函数 f(x)的图象关于直线 x＝1 对称，且在(1，＋∞)上是减函数，因为 a＝f－21＝f25，且 2<52<3，所以 b>a>c.
§2.2 函数的单调性与最值
1．函数的单调性 (1)单调函数的定义
(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增_函__数____或减_函__数_____，那么就说函数 y ＝ f(x) 在这一区间具有 ( 严格的 ) 单调性， __区__间__D__叫做y＝f(x)的单调区间．
跟踪训练 2 (1)函数 y＝ x－x(x≥0)的最大值为________．
(2)(2016·北京高考 ) 函数

高考数学一轮复习第2章第2节函数的单调性与最值

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第二级
Hale Waihona Puke • 第三级解析：由– 第题»四意第级应五有级a2≤2，
∴－4＜a≤4，
4－2a＋3a＞0，
∴a 的取值范围是(－4,4]．
答案：(－4,4]
(2)函数 y＝ x2－1的单调递增区间为________，单调递减区间为________．
解析：∵y＝ x2－1， ∴该函数的定义域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．又∵y＝ x2－1可看作是由 y＝ u与 u＝x2－1 两个函数复合而成的，且 y＝ u在 u∈[0，＋∞)上为增函数，而 u＝x2－1 在(－∞，－1]上为减函数且 u≥0，在[1，＋∞)上为增函数且 u≥0.
(3)基本不等式法：借助于基本不等式 a＋b≥2 ab(a＞0，b ＞0)求值域．用不等式法求值域时，要注意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”．
(4)单调性法：首先确定函数的定义域，然后再根据其单调性求函数的值域．常用到函数 y＝x＋kx(k>0)的单调性：增区间为(－∞，－ k ]和[ k，＋∞)，减区间为(－ k，0)和(0， k)．
增函数
减函数
图象描
述自左向右看图象是
自左向右看图象是逐渐上升
逐渐下降
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第二级
• 第三级
– 第四级
增函数
»第五级
减函数区间D
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单击此处编辑母版文本样式第二级 • 第三级 – 第四级 »第五级
(2)方法一：由 1－2x≥0，得 x≤12. ∴函数的定义域为－∞，12. 又 y＝x－ 1－2x在定义域上为增函数， ∴y≤12－ 1－2×12＝12. ∴函数的值域为－∞，12.

高考数学一轮复习热点难点精讲精析 2.2函数的单调性与最值

高考一轮复习热点难点精讲精析：2.2函数的单调性与最值一、函数单调性的判定1、用定义证明函数单调性的一般步骤，即：（1）取值：即设x 1、x 2是该区间内的任意两个值，且x 1< x 2.（2）作差：即f(x 2) –f(x 1)(或f(x 1)-f(x 2))，并通过通分、配方、因式分解等方法，向有利于判断差的符号的方向变形。

（3）定号：根据给定的区间和x 2- x 1符号，确定差f (x 2) –f(x 1)(或f(x 1)-f(x 2))的符号。

当符号不确定时，可以进行分类讨论。

（4）判断：根据定义得出结论。

2、利用导数的基本步骤是：2、求函数的单调性或单调区间的方法（1）能画出图象的函数，用图象法,其思维流程为:（2）由基本初等函数通过加、减运算或复合运算构成的函数，用转化法，其思维流程为：（3）能求导的用导数法，其思维流程为：（4）能作差变形的用定义法，其思维流程为：注：函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制。

例如函数y =1/x 在(,0)(0,)-∞+∞和内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即()(),00,-∞+∞内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(,0)(0,)-∞+∞和，不能用“∪”2．例题解析〖例1〗(2011·江苏高考)函数f(x)=log 5(2x+1)的单调增区间是______. (2)判断函数+=+x 2y x 1在(-1，+∞)上的单调性. 【方法诠释】本例为判断函数的单调性或求函数的单调区间. (1)转化为基本初等函数的单调性去判断； (2)可用定义法或导数法.解析：(1)函数f(x)的定义域为(12-，+∞)，令t=2x+1(t>0), 因为y=log 5t 在t ∈(0,+∞)上为增函数，t=2x+1在(12-，+∞)上为增函数，所以函数f(x)=log 5(2x+1)的单调增区间为(12-,+∞).答案：(12-，+∞)(2)方法一：定义法：设x 1>x 2>-1, 则()().++--=-=++++1221121212x 2x 2x x y y x 1x 1x 1x 1 ∵x 1>x 2>-1,x 2-x 1<0,x 1+1>0,x 2+1>0,()(),-∴<++2112x x 0x 1x 1即y 1-y 2<0,y 1<y 2.+∴=+x 2y x 1在(-1,+∞)上是减函数. 方法二：导数法：()()()()(),+-++-'='==+++22x 1x 2x 21y x 1x 1x 1 ∴在(-1，+∞)上，y ′<0,故+=+x 2y x 1[在(-1,+∞)上为减函数.〖例2〗求函数的单调区间思路分析：该函数整体来说是一个二次根式，首先要考虑被开方数大于等于零，在此基础上求被开方函数的单调性即可．解析：设u=x 2+x-6 ．由x2+x-6≥0，得x≤-3或x≥2，结合二次函数图象可知，函数u=x2+x-6在(-∞，-3］上是递减的，在［2，+∞)上是递增的．又∵函数是递增的，∴函数在(-∞，-3］上是递减的，在［2，+∞)上是递增的．〖例3〗设，(1) 试判断函数的单调性，并用函数单调性定义，给出证明；(2) 若的反函数为，证明:对任意的自然数n(n≥3)，都有;解析: 1) ∵>0且2－x≠0 ∴的定义域为判断在上是增函数，下证明之：………………………………………1分设任………………………………………2分∵∴………………………………3分∵∴x2－x1＞0，2－x1＞0，2－x2＞0则………………………………………4分用数学归纳法易证证略. …… 12分二、应用函数的单调性1．应用函数的单调性可求解的问题(1)由x1,x2的大小，可比较f(x1)与f(x2)的大小；(2)知f(x1)与f(x2)的大小关系，可得x1与x2的大小关系；(3)求解析式中参数的值或取值范围；(4)求函数的最值；(5)得到图象的升、降情况，画出函数图象的大致形状.2．例题解析〖例1〗(1)若f(x)为R上的增函数，则满足f(2-m)<f(m2)的实数m的取值范围是______.(2)已知函数y=f(x)是偶函数，y=f(x-2)在［0,2］上是单调减函数，试比较f(-1),f(0)，f(2)的大小.【方法诠释】(1)根据f(x)的单调性，得到2-m与m2的大小关系，从而求解.(2)根据函数f(x)的性质先得到y=f(x)在［0,2］上的单调性或［-2,2］上的图象，进而借助于单调性或图象比较出函数值的大小.解析：(1)因为f(x)为R上的增函数，且f(2-m)<f(m2)，则有:2-m<m2,即m2+m-2>0.解得:m<-2或m>1.所以m的取值范围为:(-∞,-2)∪(1,+∞).答案：(-∞,-2)∪(1,+∞)(2)方法一：因为y=f(x-2)的图象可由y=f(x)的图象向右平移2个单位而得到，而y=f(x)为偶函数，其图象关于直线x=0对称，∴函数y=f(x-2)的图象关于直线x=2对称，又y=f(x-2)在［0,2］上单调递减,∴函数y=f(x-2)在［2,4］上单调递增，因此,y=f(x)在［0,2］上单调递增，又f(-1)=f(1),0<1<2,∴f(2)>f(-1)>f(0).方法二：由方法一可得函数y=f(x)在［-2,2］上图象的大致形状为由图象知f(2)>f(-1)>f(0).注：1.根据函数的单调性，解含有“f”号的不等式时，要根据函数的性质，转化为如“f(g(x))>f(h(x))”的形式，再利用单调性，转化为具体不等式求解，但要注意函数的定义域.2.比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择、填空题能数形结合的尽量用图象法求解.〖例2〗已知函数f(x)对于任意a，b∈R,总有f(a+b)=f(a)+f(b)-1，并且当x＞0时，f(x)＞1．(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(4)=5，解不等式f(3m2-m-2)＜3；(3)若关于x的不等式f(nx-2)+f(x-x2)＜2恒成立，求实数n的取值范围．【解析】(1)设x1,x2∈R，且x1＜x2，则x2-x1>0，∴f(x2-x1)＞1 ，f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1＞0,∴f(x 1)-f(x 2)＜0，即f(x 1)＜f(x 2)． ∴f(x)在R 上是增函数.(2)∵f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5,∴f(2)=3, ∴不等式f(3m 2-m-2)＜3即为 f(3m 2-m-2)＜f(2). 又∵f(x)在R 上是增函数， ∴3m 2-m-2＜2，解得-41m 3＜＜．因此不等式的解集为{m|-41m 3＜＜}； (3)令a=b=0,得 f(0)=2f(0)-1,∴f(0)=1. ∵f(nx-2)+f(x-x 2)＜2，即f(nx-2)+f(x-x 2)-1＜1， ∴f(nx-2+x-x 2)＜f(0)．由(1)知nx-2+x-x 2＜0恒成立， ∴x 2-(n+1)x+2＞0恒成立． ∴ Δ=［-(n+1)］2-4×2＜0,.∴---1n 1＜＜注：判定复合函数的单调性及确定单调区间,关键是把复合函数分解成已知单调性的初等函数.另外，注意不要忽略函数的定义域.三、抽象函数的单调性及最值〖例1〗已知f (x )是定义在R 上的增函数，对x ∈R 有f (x )>0，且f (5)=1，设F (x )= f (x )+)(1x f ，讨论F (x )的单调性，并证明你的结论解析：这是抽角函数的单调性问题，应该用单调性定义解决。

高三数学函数的单调性及最值知识点归纳.doc

高三数学函数的单调性及最值知识点归纳.doc高三数学函数的单调性及最值知识点总结高三数学函数的单调性及最值知识点总结高三数学函数的单调性、最值知识点(一)单调性的定义：1、对于给定区间D上的函数f(x)，若对于任意x1，x2 D，当x1f(x2)，则称f(x)是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f(x)在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f(x)在区间D上具有(严格的)单调性，区间D称为函数f(x)的单调区间。

如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f(x)的单调增或减区间3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M，满足：①对于任意的x I，都有f(x) ②存在x0 I，使得f(x0)=M;那么，称M是f(x)的最大值.最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M，满足：①对于任意的x I，都有f(x) ②存在x0 I，使得f(x0)=M;那么，称M是f(x)的最小值判断函数f(x)在区间D上的单调性的方法：(1)定义法：其步骤是：①任取x1，x2 D，且x1②作差f(x1)-f(x2)或作商，并变形;③判定f(x1)-f(x2)的符号，或比较与1的大小;④根据定义作出结论。

(2)复合法：利用基本函数的单调性的复合。

(3)图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。

高三数学函数的单调性、最值知识点(二)函数的单词性函数的单调性也叫函数的增减性.函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念.单调性的单词区间若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,则就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做函数的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数。

在单调区间上,增函数的图像是上升的,减函数的图像是下降的。

注:在单调性中有如下性质(增函数) (减函数)(增函数)+ (增函数)= (增函数) (增函数)- (减函数)= (增函数) (减函数)+ (减函数)= (减函数) (减函数)- (增函数)= (减函数) 用定义证明函数的单词性步骤1取值即取x1，x2是该区间崆的任意两个值且x1 x22作差变形即求f(x1)-f(x2)，通过因式分解，配方、有理化等方法3定号即根据给定的区间和x2-x1的符号确定f(x1)-f(x2)的符号4判断根据单词性的定义得出结论判断函数f(x)在区间D上的单调性的方法1定义法：其步骤是：①任取x1，x2 D，且x1②作差f(x1)-f(x2)或作商，并变形;③判定f(x1)-f(x2)的符号，或比较与1的大小;④根据定义作出结论。

高三数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第2课时函数的单调性与最值精品课件

3．若函数 y＝ax 与 y＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则 y＝ax2
＋bx 在(0，＋∞)上是( )
A．增函数
B．减函数
C．先增后减
D．先减后增
解析： ∵函数y＝ax与y＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，
∴a＜0，b＜0，
∴函数y＝ax2＋bx的图象的对称轴为x＝－2ba＜0，
∴函数y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是减函数．答案： B
解析：要使函数有意义，则16－4x≥0.又因为4x＞0，
∴0≤16－4x＜16，即函数y＝ 16－4x的值域为[0,4)．
答案： C
2．(2009·福建卷)下列函数f(x)中，满足“对任意的x1，x2∈(0，＋
∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)”的是( )
A．f(x)＝1x
B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex
D．f(x)＝ln(x＋1)
解析：由题意知函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
在A中，由f′(x)＝－x12＜0得x在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数；
在B中，由f′(x)＝2(x－1)＜0得x＜1，所以f(x)在(－∞，1)上为减函
数；
在C中，由f′(x)＝ex＞0知f(x)在R上为增函数；
在D中，由f′(x)＝
1 x＋1
且x＋1＞0和f′(x)＞0，所以f(x)在(－1，＋∞)
上为减函数．答案： A
x2＋4x 3．(2009·天津卷)已知函数f(x)＝ 4x－x2
x≥0， x＜0.
若f(2－a2)＞
f(a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－1,2)
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2021高考浙江版数学一轮复习讲义：第2章第2节函数的单调性与最值

第二节函数的单调性与最值1．增函数、减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果对于任意x1，x2∈D，且x1＜x2，那么都有：(1)f(x)在区间D上是增函数⇔f(x1)＜f(x2)；(2)f(x)在区间D上是减函数⇔f(x1)＞f(x2)．2．单调性、单调区间的定义假设函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．3．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M是y＝f(x)的最大值M是y＝f(x)的最小值1．(思考辨析)判断以下结论的正误．(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)对于函数f(x)，x∈D，假设对任意x1，x2∈D，x1≠x2且(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，那么函数f(x)在区间D上是增函数．()(2)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．()(3)函数y ＝|x |是R 上的增函数．( )(4)所有的单调函数都有最值．( )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×2．以下函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是( )A ．y ＝11－xB ．y ＝cos xC ．y ＝ln(x ＋1)D ．y ＝2－xD [选项A 中，y ＝11－x 在(－∞，1)和(1，＋∞)上为增函数，故y ＝11－x 在(－1,1)上为增函数；选项B 中，y ＝cos x 在(－1,1)上先增后减；选项C 中，y ＝ln(x ＋1)在(－1，＋∞)上为增函数，故y ＝ln(x ＋1)在(－1,1)上为增函数；选项D 中，y ＝2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上为减函数，故y ＝2－x 在(－1,1)上是减函数．] 3．(教材改编)函数f (x )＝2x －1，x ∈[2,6]，那么f (x )的最大值为________，最小值为________．2 25 [可判断函数f (x )＝2x －1在[2,6]上为减函数，所以f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min ＝f (6)＝25.]4．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，那么k 的取值范围是________.【导学号：51062021】⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12 [由题意知2k ＋1＜0，得k ＜－12.] 5．f (x )＝x 2－2x ，x ∈[－2,3]的单调增区间为________，f (x )max ＝________.[1,3] 8 [f (x )＝(x －1)2－1，故f (x )的单调增区间为[1,3]，f (x )max ＝f (－2)＝8.] 函数单调性的判断(1)函数f (x )＝log 2(x 2－1)的单调递减区间为________．(2)试讨论函数f (x )＝x ＋k x (k ＞0)的单调性．(1)(－∞，－1) [由x 2－1＞0得x ＞1或x ＜－1，即函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．令t ＝x 2－1，因为y ＝log 2t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，t ＝x 2－1在x ∈(－∞，－1)上是减函数，所以函数f (x )＝log 2(x 2－1)的单调递减区间为(－∞，－1)．](2)法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任取x 1，x 2，令0＜x 1＜x 2，那么f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋k x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋k x 1＝(x 2－x 1)＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－1x 1＝(x 2－x 1)x 1x 2－k x 1x 2.2分因为0＜x 1＜x 2，所以x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0.故当x 1，x 2∈(k ，＋∞)时，f (x 1)＜f (x 2)，即函数在(k ，＋∞当x 1，x 2∈(0，k )时，f (x 1)＞f (x 2)，即函数在(0，k )上单调递减．考虑到函数f (x )＝x ＋k x (k ＞0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有一样的单调性，故在(－∞，－k )上单调递增，在(－k ，0)上单调递减．综上，函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k法二：f′(x)＝1－kx2.2分令f′(x)＞0得x2＞k，即x∈(－∞，－k)或x∈(k，＋∞)，故函数的单调增区间为(－∞，－k)和(k，＋∞).6分令f′(x)＜0得x2＜k，即x∈(－k，0)或x∈(0，k)，故函数的单调减区间为(－k，0)和(0，k).12分故函数f(x)在(－∞，－k)和(k，＋∞)上单调递增，在(－k，0)和(0，k [规律方法] 1.利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后应注意差式的分解变形要彻底．2．利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确．易错警示：求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如此题(1)．[变式训练1](1)(2021·湖州二次调研)以下四个函数中，在定义域上不是单调函数的是()A．y＝x3B．y＝xC．y＝1x D．y＝⎝⎛⎭⎪⎫12x(2)函数f(x)＝log 12(x2－4)的单调递增区间是()A．(0，＋∞) B．(－∞，0)C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)(1)C(2)D[(1)选项A，B中函数在定义域内均为单调递增函数，选项D为在定义域内为单调递减函数，选项C中，设x1＜x2(x1，x2≠0)，那么y2－y1＝1x2－1 x1＝x1－x2x1x2，因为x1－x2＜0，当x1，x2同号时x1x2＞0，1x2－1x1＜0，当x1，x2异号时x1x2＜0，1x2－1x1＞0，所以函数y＝1x在定义域上不是单调函数，应选C.(2)由x2－4＞0得x＞2或x＜－2，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为y＝log12t在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t＝x2－4的单调递减区间，可知所求区间为(－∞，－2)．]利用函数的单调性求最值f(x)＝x2＋2x＋ax，x∈[1，＋∞)，且a≤1.(1)当a＝12时，求函数f(x)的最小值；(2)假设对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．[思路点拨](1)先判断函数f(x)在[1，＋∞)上的单调性，再求最小值；(2)根据f(x)min＞0求a的范围，而求f(x)min应对a分类讨论．[解](1)当a＝12时，f(x)＝x＋12x＋2，f′(x)＝1－12x2＞0，x∈[1，＋∞)，即f(x)在[1，＋∞)上是增函数，∴f(x)min＝f(1)＝1＋12×1＋2＝72.4分(2)f(x)＝x＋ax＋2，x∈[1，＋∞)．法一：①当a≤0时，f(x)在[1，＋∞)内为增函数．f(x)min＝f(1)＝a＋3.要使f(x)＞0在x∈[1，＋∞)上恒成立，只需a＋3＞0，∴－3＜a≤②当0＜a≤1时，f(x)在[1，＋∞)内为增函数，f(x)min＝f(1)＝a＋3，∴a＋3＞0，a＞－3，∴0＜a≤1.综上所述，f(x)在[1，＋∞)上恒大于零时，a的取值范围是(－3,1].15分法二：f(x)＝x＋ax＋2＞0，∵x≥1，∴x2＋2x＋a＞0，8分∴a＞－(x2＋2x)，而－(x2＋2x)在x＝1时取得最大值－3，∴－3＜a≤1，即a 的取值范围为(－3,1].15分[规律方法]利用函数的单调性求最值是求函数最值的重要方法，假设函数f(x)在闭区间[a，b]上是增函数，那么f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．请思考，假设函数f(x)在闭区间[a，b]上是减函数呢？[变式训练2]函数f(x)＝xx－1(x≥2)的最大值为________．2[法一：∵f′(x)＝－1(x－1)2，∴x≥2时，f′(x)＜0恒成立，∴f(x)在[2，＋∞)上单调递减，∴f(x)在[2，＋∞)上的最大值为f(2)＝2.法二：∵f(x)＝xx－1＝x－1＋1x－1＝1＋1x－1，∴f(x)的图象是将y＝1x的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的．∵y＝1x在[2，＋∞)上单调递减，∴f(x)在[2，＋∞)上单调递减，故f(x)在[2，＋∞)上的最大值为f(2)＝2.法三：由题意可得f(x)＝1＋1x－1.∵x≥2，∴x－1≥1，∴0＜1x－1≤1，∴1＜1＋1x－1≤2，即1＜xx－1≤2.故f(x)在[2，＋∞)上的最大值为2.]函数单调性的应用☞角度1 比拟大小(2021·浙江冲刺卷四)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －2)＝－f (x )，且在区间[0,1]上是增函数，那么( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫54<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫54 C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫54<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53 D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫54 D [由f (x －2)＝－f (x )，得f (x ＋2)＝－f (x )，又f (x )为R 上的奇函数，从而有f (x ＋2)＝f (－x )．那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫54＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34.因为f (x )在区间[0,1]上是增函数，且34>13>0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13>f (0)＝0，即有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫54>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53>0，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>f (0)＝0，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，从而有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫54.] ☞角度2 解不等式函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，那么不等式f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的解集是________. 【导学号：51062021】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 [由题意知⎩⎨⎧ 2x －1≥0，2x －1＜13，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥12，x ＜23，所以12≤x ＜23.]☞角度3 求参数的取值范围(1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，那么实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞ C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 (2)函数f (x )＝⎩⎨⎧ (a －2)x －1，x ≤1，log ax ，x ＞1，假设f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，那么实数a 的取值范围为________．(1)D (2)(2,3] [(1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a ，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a ＜0，且－1a ≥4，解得－14≤a ＜0.综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0. (2)要使函数f (x )在R 上单调递增，那么有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞1，a －2＞0，f (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞1，a ＞2，a －2－1≤0，解得2＜a ≤3，即实数a 的取值范围是(2,3]．][规律方法] 1.比拟大小．比拟函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．2．解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f 〞符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．3．利用单调性求参数．视参数为数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与单调区间比拟求参数．易错警示：(1)假设函数在区间[a，b]上单调，那么该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．[思想与方法]1．判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性一样时为增函数，不同时为减函数．(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性判断函数单调性．(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性．2．求函数最值的常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)换元法：比照拟复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．[易错与防范]1．易混淆两个概念：“函数的单调区间〞和“函数在某区间上单调〞，前者指函数具备单调性的“最大〞的区间，后者是前者“最大〞区间的子集．2．分段函数单调性不仅要考虑各段的单调性，还要注意衔接点．3．函数在两个不同的区间上单调性一样，要分开写，用“，〞隔开，不能用“∪〞连接．课时分层训练(四)函数的单调性与最值A组根底达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．以下函数中，定义域是R且为增函数的是() 【导学号：51062021】A．y＝2－x B．y＝xC．y＝log2x D．y＝－1 xB[由题知，只有y＝2－x与y＝x的定义域为R，且只有y＝x在R上是增函数．]2．假设函数y ＝ax 与y ＝－bx 在(0，＋∞)上都是减函数，那么y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增B [由题意知，a ＜0，b ＜0，那么－b2a ＜0，从而函数y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上为减函数．]3．函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，32 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4 D [要使函数有意义需4＋3x －x 2＞0，解得－1＜x ＜4，∴定义域为(－1,4)．令t ＝4＋3x －x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋254.那么t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，32上递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4上递减，又y ＝ln t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，254上递增， ∴f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4.]4．(2021·绍兴质检)函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，那么a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，－1]C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)A [因为函数f (x )在(－∞，－1)上是单调函数，所以－a ≥－1，解得a ≤1.] 5．(2021·台州调研)函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x ＜0.假设f (－a )＋f (a )≤2f (1)，那么a 的取值范围是( )A ．[－1,0)B ．[0,1]C ．[－1,1]D ．[－2,2]C [因为函数f (x )是偶函数，故f (－a )＝f (a )，原不等式等价于f (a )≤f (1)，即f (|a |)≤f (1)，而函数在[0，＋∞)上单调递增，故|a |≤1，解得－1≤a ≤1.]二、填空题6．(2021·温州一模)函数f (x )＝log 2(－x 2＋22)的值域为________.【导学号：51062022】⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32 [∵0＜－x 2＋22≤22， ∴当x ＝0时，f (x )取得最大值， f (x )max ＝f (0)＝log 222＝32， ∴f (x )的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32.]7．函数f (x )为R 上的减函数，假设m ＜n ，那么f (m )________f (n )；假设f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)，那么实数x 的取值范围是________．＞ (－1,0)∪(0,1) [由题意知f (m )＞f (n )；⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ＞1，即|x |＜1，且x ≠0.故－1＜x ＜1且x ≠0.]8．(2021·宁波模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋a ，x ＜1，2x ，x ≥1的最小值为2，那么实数a 的取值范围是________．[3，＋∞) [当x ≥1时，f (x )≥2，当x ＜1时，f (x )＞a －a －1≥2，∴a ≥3.] 三、解答题 9．函数f (x )＝－2x ＋1，x ∈[0,2]，用定义证明函数的单调性，并求函数的最大值和最小值. 【导学号：51062023】[解] 设0≤x 1＜x 2≤2，那么f (x 1)－f (x 2)＝－2x 1＋1－⎝⎛⎭⎪⎫－2x 2＋1＝－2(x 2＋1－x 1－1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝－2(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1).3分由0≤x 1＜x 2≤2，得x 2－x 1＞0，(x 1＋1)(x 2＋1)＞0，6分所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，故f (x )在区间[0,2] 因此，函数f (x )＝－2x ＋1在区间[0,2]的左端点取得最小值，右端点取得最大值，即最小值是f (0)＝－2，最大值是f (2)＝－23.15分10．f (x )＝xx －a(x ≠a )． (1)假设a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递增；(2)假设a ＞0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围． [解] (1)证明：设x 1＜x 2＜－2，那么f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).4分∵(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0， ∴f (x 1)＜f (x 2)， ∴f (x )在(－∞(2)f (x )＝x x －a ＝x －a ＋a x －a ＝1＋ax －a，当a ＞0时，f (x )在(－∞，a )，(a ，＋∞)上是减函数，10分又f (x )在(1，＋∞)内单调递减，∴0＜a ≤1，故实数a 的取值范围是(0,1].15分B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2021·诸暨市一中模拟)函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，假设存在f (a )＝g (b )，那么实数b 的取值范围为( )A ．[0,3]B ．(1,3)C ．[2－2，2＋2]D ．(2－2，2＋2)D [由题可知f (x )＝e x －1＞－1，g (x )＝－x 2＋4x －3＝－(x －2)2＋1≤1，假设f (a )＝g (b )，那么g (b )∈(－1,1]，即－b 2＋4b －3＞－1，即b 2－4b ＋2＜0，解得2－2＜b ＜2＋ 2.所以实数b 的取值范围为(2－2，2＋2)，应选D.]2．规定符号“*〞表示一种两个正实数之间的运算，即a *b ＝ab ＋a ＋b ，a ，b 是正实数，1] .(1，＋∞) [由题意知1]k )＋1＋k ＝3，解得k ＝1或k ＝－2(舍去)，所以f (x )＝k *x ＝1]x )＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34，因为x ＞0，所以f (x )＞1，即f (x )的值域是(1，＋∞)．]3．定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)假设f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值. 【导学号：51062024】 [解] (1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，那么x 1x 2>1，当x >1时，f (x )<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2<0，5分即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)， ∴函数f (x )在区间(0，＋∞(3)∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数， ∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)，12分而f (3)＝－1，∴f (9)＝－2. ∴f (x )在[2,9]。

高中数学一轮复习课件第2章函数函数的单调性与最值

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1.(2011年浙江宁海模拟)四个函数中,在(0,1)上为增函数的是 ( )
(A)y=-log2x.
(B)y=sin x.
(C)y=( 1 )x.
2
(D)y=
x
−
1 2
.
【解析】y=-log2x=lo
g
1 2
x为减函数,y=(
1 2
)x为减函数,y=x−
1 2
=
1 在(0,+∞)
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(1)函数的最大值的定义:
一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: ①对于任意的x∈I,都有f(x)≤M; ②存在x∈I,使得f(x)=M. 那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值. (2)函数的最小值的定义: 一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: ①对于任意的x∈I,都有f(x)≥M; ②存在x∈I,使得f(x)=M. 那么,我们称M是函数y=f(x)的最小值.
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(2)利用定义证明函数f(x)在区间D上的单调性的一般步骤: ①在区间D上任取x1,x2,且x1<x2, ②计算f(x1)-f(x2), ③变形成乘积的形式或者是其他可以判断符号的形式, ④判断f(x1)-f(x2)的符号, ⑤下结论(函数f(x)在区间D上的单调性). (3)函数的单调性与奇偶性的关系奇函数在其关于原点的对称的区间上的单调性相同; 偶函数在其关于原点的对称的区间上的单调性相反.
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第二章函数函数的单调性与最值
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考点
考纲解读
1
函数的单调性
了解函数的单调性,掌握

2020-2021年新高三数学一轮复习考点：函数的单调性与最值

2020-2021 年新高三数学一轮复习考点：函数的单调性与最值函数的单调性经常作为考试内容，是热点知识点之一，考查有关已知单调性求解某一参数的值或范围问题，多以客观题或填空题形式考查，考查难度小，属于基础题。

一、确定函数的单调性；二、函数单调性的应用；【易错警示】1．在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？提示对∀x1，x2∈D，x1≠x2，f xx 1－－f x 2x 2>0⇔f (x)在D上是增函数；对∀x1，x2∈D，x1≠x2，(x1－x2)·[f (x1)1－f(x2)]>0⇔f (x)在D 上是增函数．减函数类似．a2．写出函数y＝x＋x(a>0)的增区间．提示(－∞，－a]和[ a，＋∞)．确定函数的单调性函数的单调性(1)增函数减函数定义一般地，设函数f (x)的定义域为I，如两个自变量的值x1，x2果对于定义域I 内某个区间 D 上的任意当x1<x2 时，都有f (x1)<f (x2)，那么就说函数f (x)在区间D 上是增函数当x1<x2 时，都有f (x1)>f (x2)，那么就说函数f(x)在区间D 上是减函数自左向右看图象是上升的(2)单调区间的定义如果函数y＝f (x)在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y＝f (x)的单调区间．【知识拓展】连续函数在闭区间上一定存在最大值和最小值确定函数单调性的四种方法(1)定义法：利用定义判断．(2)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．(4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性．【易错警示】1.(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1(1).(2)单调区间不能用集合或不等式表达，且图象不连续的单调区间要用“和”“，”连接.2.(1)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.(2)函数y＝f[g(x)]的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.【典例】命题点1求具体函数的单调区间例1(1)(2019·郴州质检)函数f (x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()A．(－∞，－2) B．(－∞，1) C．(1，＋∞) D．(4，＋∞) 答案D 解析由x2－2x－8>0，得f(x)的定义域为{x|x>4 或x<－2}．设t＝x2－2x－8，则y＝ln t 为增函数．要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8 的单调递增区间(定义域内)．∵函数t＝x2－2x－8 在(4，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减，∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．故选D.1，x>0，(2)设函数f (x)＝0，x＝0，g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是__________．－1，x<0，答案[0,1)x2，x>1，解析由题意知g(x)＝0，x＝1，该函数图象如图所示，其单调递减区间是[0,1)．－x2，x<1，命题点2判断或证明函数的单调性ax例2讨论函数f (x)＝(a>0)在(－∞，1)上的单调性．x－1解方法一x1，x2∈(－∞，1)，且x1<x2，f (x)＝a x－x－1＋1 1＝a1＋x－1 1，f(x1)－f(x2)＝a1＋x1－1 1－a1＋x2－11＝a－x12－xx2－11，由于x1<x2<1，x1∴x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，故当a>0 时，f(x1)－f (x2)>0，即f (x1)>f(x2)，∴函数f(x)在(－∞，1)上单调递减．a x－1－ax a 方法二f′(x)＝x－1 2 ＝－x－12，∵(x－1)2>0，a>0，∴f′(x)<0，故a>0时，f (x)在(－∞，1)上是减函数．函数单调性的应用1.函数的最值前提设函数y＝f (x)的定义域为I，如果存在实数M 满足条件(1)对于任意的x∈I，都有 f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M(1)对于任意的x∈I，都有f (x)≥M；(2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M结论M 为最大值M 为最小值2.函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．(2)求最值．(3)解不等式．利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．【拓展延伸】求函数最值的四种常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.利用单调性求参数．①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较．②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．【典例】命题点1比较函数值的大小例3(1)若函数f (x)＝x2，设a＝log54，b＝log，c＝2，则f (a)，f (b)，f (c)的大小关系是()A．f (a)>f (b)>f (c) B．f (b)>f (c)>f (a) C．f (c)>f (b)>f (a)D．f (c)>f (a)>f (b)答案D 解析因为函数f (x) ＝x2 在(0 ，＋∞) 上单调递增，而0< log＝log53<log54<1< 2，所以f(b)<f (a)<f (c)．故选D.(2)已知定义在R 上的函数f (x)＝2|x－m|＋1(m∈R)为偶函数．记a＝f (log22)，b＝f (log24)，c＝f (2m)，则a，b，c 的大小关系为()A．a<b<c B．c<a<bC．a<c<b D．c<b<a答案B 解析∵定义在R 上的函数f(x)＝2|x－m|＋1(m∈R)为偶函数，∴m＝0，∴f(x)＝2|x|＋1，∴当x∈(－∞，0) 时，f(x)是减函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数．∵a＝f(log22)＝f(1)，b＝f(log24)＝f(2)，c ＝f(2m)＝f(0)，∴a，b，c 的大小关系为c<a<b.命题点2求函数的最值例4(1)函数f(x)＝13x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．答案3 解析由于y＝13x在R 上单调递减，y＝log2(x＋2)在[－1,1]上单调递增，所以f(x)在[－1,1]上单调递减，故f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝3.x2＋4(2)(2020·深圳模拟)函数y＝x2＋5 的最大值为________ ．答案解析令x2＋4＝t，则t≥2，∴x2＝t2－4，∴y＝t2＋t 1＝11，t ＋t1设 h (t )＝t ＋t ，则 h (t )在[2，＋∞)上为增函数，时取等号)．即 y 最大值为.命题点 3 解函数不等式例 5 (1)已知函数 f (x )＝若 f (2－x 2)>f (x )，则实数 x 的取值范围是________．x 3，x ≤0， ln x ＋1，x >0，答案 (－2,1) 解析根据函数 f (x )的图象可知，f (x )是定义在 R 上的增函数．∴2－x 2>x ，∴－2<x <1.(2)已知函数 f (x )＝ln x ＋2x ，若 f (x 2－4)<2，则实数 x 的取值范围是______________．答案 (－5，－2)∪(2，5) 解析因为函数 f (x )＝ln x ＋2x 在定义域(0，＋∞)上单调递增，且 f (1)＝ln 1＋2＝2，所以由 f (x 2－4)<2 得，f (x 2－4)<f (1)，所以 0<x 2－4<1，解得－5<x <－2 或 2<x <5.命题点 4 求参数的取值范围3a －1x ＋4a ，x ＜1，例 6 (1)已知 f (x )＝是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数 a 的取值范围是( ) log a x ，x ≥113a －1＜0，解析由 f (x )是减函数，得0＜a ＜1.3a －1×1＋4a ≥log a 1，实数 a 的取值范围是17，13.A ．(0,1) B.0，3 C.17，13答案 C D.17，1x，(2)已知函数f (x)＝若f (x)在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为a x－a，x>1，________．答案(1,2]解析由题意，得，则a≤2，又y＝a x－a (x>1)是增函数，故a>1，所以a 的取值范围为1<a≤2.(3)已知函数y＝log a(2－ax)在[0,1]是减函数，则实数a 的取值范围是________．答案(1,2)解析设u＝2－ax，∵a>0 且a≠1，∴函数u在[0,1]上是减函数．由题意可知函数y＝log a u在[0,1]上是增函数，∴a>1.又∵u 在[0,1]上要满足u>0，2－a×1>0，∴得a<2.2－a×0>0，综上得1<a<2.未来的工作从统一思想开始，再到共同目标同进退，任何声音意见要学会聆听，任何决定决策我们都不要排斥，去试试看，真理来自实践，好了我们用，不好了我们改，但任何时候请不要抱怨，抱怨除了显示你无能以外没有任何意义。