高考数学试题汇编抛物线

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2023年新高考数学一轮复习9-5 抛物线(真题测试)含详解

专题9.5 抛物线（真题测试）一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线24y x =上一点M 到x 轴的距离是2，则点M 到焦点F 的距离为（）A B ．2C ．D ．32．（2023·全国·高三专题练习）抛物线21:4E y x =的焦点到其准线的距离为（） A ．18B ．14C ．2D ．43．（2022·全国·高考真题（文））设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF =，则AB =（）A ．2B ．C ．3D ．4．（2021·全国·高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（）A ．1B ．2C ．D ．45．（2020·北京·高考真题）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（）．A ．经过点OB ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP6.（2019·全国·高考真题（文））若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =（）A ．2B ．3C ．4D ．87．（山东·高考真题（文））已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于 ,A B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（） A ．1x = B ．1x =- C ．2x =D ．2x =-8.（2017·全国·高考真题（理））已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（） A ．16B ．14C ．12D ．10二、多选题9．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，过点(0,1)B -的直线交C 于P ，Q 两点，则（） A ．C 的准线为1y =- B ．直线AB 与C 相切 C ．2|OP OQ OA ⋅>D ．2||||||BP BQ BA ⋅>10．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C y px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（）A ．直线AB 的斜率为B ．||||OB OF =C ．||4||AB OF >D ．180OAM OBM ∠+∠<︒11．（2022·全国·高三专题练习）已知O 为坐标原点，抛物线E 的方程为214y x =，E 的焦点为F ，直线l 与E 交于A ，B 两点，且AB 的中点到x 轴的距离为2，则下列结论正确的是（）A ．E 的准线方程为116y =- B ．AB 的最大值为6C ．若2AF FB =，则直线AB 的方程为1y x =+D ．若OA OB ⊥，则AOB 面积的最小值为1612．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线Γ：()220x py p =>，过其准线上的点(),1T t -作的两条切线，切点分别为A ，B ，下列说法正确的是（） A ．2p =B ．当1t =时，TA TB ⊥C ．当1t =时，直线AB 的斜率为2D ．TAB △面积的最小值为4三、填空题13．（2018·北京·高考真题（文））已知直线l 过点（1,0）且垂直于x 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.14．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C ：26y x =的焦点为F ，A 为C 上一点且在第一象限，以F 为圆心，线段FA 的长度为半径的圆交C 的准线于M ，N 两点，且A ，F ，M 三点共线，则AF =______．15．（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点重合，若两曲线相交于M ，N 两点，且线段MN 的中点是点F ，则该双曲线的离心率等于______.16.（2021·北京·高考真题）已知抛物线24y x =的焦点为F ，点M 在抛物线上，MN 垂直x 轴与于点N .若6MF =，则点M 的横坐标为_______； MNF 的面积为_______．四、解答题17.（2017·北京·高考真题（理））已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)．过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点． (1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．18.（2019·全国·高考真题（理））已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程；（2）若3AP PB =，求|AB |．19．（2019·北京·高考真题（理））已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）．（Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．20．（2022·全国·高考真题（理））设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(),0D p ，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，3MF =． (1)求C 的方程；(2)设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ．当αβ-取得最大值时，求直线AB 的方程．21.（2020·全国·高考真题（理））已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |.（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.22.（2021·全国·高考真题（文））已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2．（1）求C 的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值.专题9.5 抛物线（真题测试）一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线24y x =上一点M 到x 轴的距离是2，则点M 到焦点F 的距离为（）A B ．2C ．D ．3【答案】B【分析】有题意可知()1,2M ±,由焦点(1,0)F 则可求出点M 到焦点F 的距离. 【详解】M 到x 轴的距离是2，可得()1,2M ±，焦点(1,0)F 则点M 到焦点的距离为2. 故选:B.2．（2023·全国·高三专题练习）抛物线21:4E y x =的焦点到其准线的距离为（） A ．18B ．14C ．2D ．43．（2022·全国·高考真题（文））设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF =，则AB =（）A ．2B ．C ．3D ．故选：B4．（2021·全国·高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（） A ．1 B ．2 C．D ．45．（2020·北京·高考真题）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（）．A ．经过点OB ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP【详解】如图所示：．故选：B.6.（2019·全国·高考真题（文））若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =（） A ．2B ．3C ．4D ．87．（山东·高考真题（文））已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于 ,A B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（） A ．1x = B ．1x =- C ．2x = D ．2x=-8.（2017·全国·高考真题（理））已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（） A ．16 B ．14C ．12D ．10二、多选题9．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，过点(0,1)B -的直线交C 于P ，Q 两点，则（） A ．C 的准线为1y =- B ．直线AB 与C 相切 C ．2|OP OQ OA ⋅> D ．2||||||BP BQ BA ⋅>所以2212||||(1)||15BP BQ k x x k ⋅=+=+>，而2||5BA =，故D 正确.故选：BCD10．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)Cy px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（） A ．直线AB 的斜率为B ．||||OB OF =C ．||4||AB OF >D ．180OAM OBM ∠+∠<︒33选项；由0OA OB ⋅<，0MA MB ⋅<求得，易得(,0)2p F ，由AF AM =3(4p OA OB ⋅=又(4p MA MB ⋅=-又360AOB AMB OAM OBM ∠+∠+∠+∠=，则180OAM OBM ∠+∠<，D 正确. 故选：ACD.11．（2022·全国·高三专题练习）已知O 为坐标原点，抛物线E 的方程为214y x =，E 的焦点为F ，直线l 与E 交于A ，B 两点，且AB 的中点到x 轴的距离为2，则下列结论正确的是（）A ．E 的准线方程为116y =- B ．AB 的最大值为6C ．若2AF FB =，则直线AB 的方程为1y x =+D ．若OA OB ⊥，则AOB 面积的最小值为16 ，联立抛物线，由2AF FB =解出A 即可求出面积最小值，即可判断D 选项.【详解】由2AF FB =得直线设直线AB 的方程为4A B x x =-.由于2AF FB =，所以22x =±，所以2124A A y x ==，直线AB 的方程为),y OA ⊥所以AOB 面积的是小值为故选：BCD.12．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线Γ：()220x py p =>，过其准线上的点(),1T t -作的两条切线，切点分别为A ，B ，下列说法正确的是（） A ．2p =B ．当1t =时，TA TB ⊥C ．当1t =时，直线AB 的斜率为2D ．TAB △面积的最小值为4220x y ，故AB k C ，切线方程TA ：的方程为1xt y -=-三、填空题13．（2018·北京·高考真题（文））已知直线l过点（1,0）且垂直于x轴，若l被抛物线24y ax=截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.14．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C：26=的焦点为F，y xA为C上一点且在第一象限，以F为圆心，线段FA的长度为半径的圆交C的准线于M，N两点，且A，F，M三点共线，则AF=______．【答案】6【分析】根据圆的几何性质以及抛物线的定义即可解出．故答案为：6．15．（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F与双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左焦点重合，若两曲线相交于M，N两点，且线段MN的中点是点F，则该双曲线的离心率等于______.M在抛物线上，所以M在双曲线上，22cb=-故答案为：16.（2021·北京·高考真题）已知抛物线24y x=的焦点为F，点M在抛物线上，MN垂直x轴与于点N.若6MF=，则点M的横坐标为_______；MNF的面积为_______．FMNS.【FMNS=故答案为：四、解答题17.（2017·北京·高考真题（理））已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)．过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点．故A 为线段BM 的中点.18.（2019·全国·高考真题（理））已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程；（2）若3AP PB =，求|AB |．利用3AP PB =可得y ()22,B x y 1252x x ∴+= 3AP PB = ∴则419AB =+⋅19．（2019·北京·高考真题（理））已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）．（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．D p，过F的直线交C于20．（2022·全国·高考真题（理））设抛物线2=>的焦点为F，点(),0:2(0)C y px pMF=．M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，3(1)求C 的方程；(2)设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ．当αβ-取得最大值时，求直线AB 的方程．21.（2020·全国·高考真题（理））已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |.（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.）(),0F c ，的方程为x =21c=+，解得抛物线2C 的方程为24y cx =，联立24x c y cx=⎧⎨=⎩，43CD =即223c ac +01e <<，解得（2）[方法一由椭圆的第二定义知所以12-a22.（2021·全国·高考真题（文））已知抛物线2=>的焦点F到准线的距离为2．C y px p:2(0)（1）求C的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值. ，则(99PQ QF ==-)09,10y ，由P 在抛物线上可得Q 的轨迹方程为的斜率0025OQ y k x ==(1,0),9=PQ QF ，所以29(1)9x y =-=-，所以的斜率为244=y x t 方法四利用参数法，由题可设()24,4(0),(,)>P t t t Q x y ，求得x,y 关于t 的参数表达式，得到直线OQ 的斜率关于t 的表达式，结合使用基本不等式，求得直线OQ 斜率的最大值.。

高考数学专题《抛物线》习题含答案解析

专题9.5 抛物线1.（2020·全国高考真题（理））已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（） A ．2 B ．3 C ．6 D ．9【答案】C 【解析】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122A p AF x =+=，即1292p=+，解得6p.故选：C.2．（2020·北京高三二模）焦点在x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（） A ．x 2＝4y B ．y 2＝4x C ．x 2＝8y D ．y 2＝8x【答案】D 【解析】根据题意，要求抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，设其标准方程为22(0)y px p =>，又由焦点到准线的距离为4，即p ＝4，故要求抛物线的标准方程为y 2＝8x ，故选：D.3.（全国高考真题）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，曲线()0ky k x=>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，则k =（）A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】D 【解析】由抛物线的性质可得(1,2)221kP y k ⇒==⇒=，故选D. 4．（2020·全国高考真题（文））设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（） A ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,0)D ．(2,0)练基础【答案】B 【解析】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥，根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2，故选：B.5.（2019·四川高三月考（文））若抛物线22y px =的准线为圆2240x y x ++=的一条切线，则抛物线的方程为（） A.216y x =- B.28y x =-C.216y x =D.24y x =【答案】C 【解析】∵抛物线22y px =的准线方程为x=2p-，垂直于x 轴．而圆2240x y x ++=垂直于x 轴的一条切线为4x =-，则42p=，即8p =．故抛物线的方程为216y x =．故选：C ．6.（2019·北京高考真题（文））设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．【答案】(x -1)2+y 2=4. 【解析】抛物线y 2=4x 中，2p =4，p =2，焦点F （1,0），准线l 的方程为x =-1，以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 (x -1)2+y 2=22,即为(x -1)2+y 2=4.7.（2019·山东高三月考（文））直线l 与抛物线22x y =相交于A ，B 两点，当AB 4=时，则弦AB 中点M 到x 轴距离的最小值为______. 【答案】32【解析】由题意，抛物线22x y =的焦点坐标为（0，12），根据抛物线的定义如图，所求d=111A B AF BF 113M 2222A B AB M ++--==≥= 故答案为：32． 8.（2021·沙湾县第一中学（文））设过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且直线AB 的倾斜角为4π，则线段AB 的长是____，焦点F 到A ，B 两点的距离之积为_________.【答案】8 8 【分析】由题意可得直线AB 的方程为1y x =-，然后将直线方程与抛物线方程联立方程组，消去y 后，利用根与系数的关系，结合抛物线的定义可求得答案【详解】解：由题意得(1,0)F ，则直线AB 的方程为1y x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，由241y x y x ⎧=⎨=-⎩，得2610x x -+=，所以12126,1x x x x +==，所以12628AB x x p =++=+=，因为11221,122=+=+=+=+p pAF x x BF x x ，所以()()1212121116118AF BF x x x x x x ⋅=+⋅+=+++=++=，故答案为：8，89．（2021·全国高三专题练习）已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点(),3A m -到焦点F 的距离为5，则m 的值为__________；抛物线方程为__________. 【答案】答案见解析答案见解析【分析】由于抛物线的开口方向未定，根据点(),3A m -在抛物线上这一条件，抛物线开口向下，向左、向右均有可能，以此分类讨论，利用焦半径公式列方程可得p 的值，根据点(),3A m -在抛物线上可得m 的值. 【详解】根据点(),3A m -在抛物线上，可知抛物线开口向下，向左、向右均有可能，当抛物线开口向下时，设抛物线方程为22x py =-（0p >），此时准线方程为2py =，由抛物线定义知(3)52p --=，解得4p =.所以抛物线方程为28x y ，这时将(),3A m -代入方程得m =±当抛物线开口向左或向右时，可设抛物线方程为22y ax （0a ≠），从p a =知准线方程为2ax =-，由题意知()25232am am⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解此方程组得11192a m =⎧⎪⎨=⎪⎩，22192a m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，33912a m =⎧⎪⎨=⎪⎩，44912a m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，综合（1）、（2）得92m =，22y x =； 92m =-，22y x =-；12m =，218y x =； 12m =-，218y x =-；m =±28xy .故答案为：92，92-，12，12-，±22y x =，22y x =-，218y x =，218y x =-，28x y .10.（2019·广东高三月考（理））已知F 为抛物线2:4T x y =的焦点，直线:2l y kx =+与T 相交于,A B 两点.()1若1k =，求FA FB +的值；()2点(3,2)C --，若CFA CFB ∠=∠，求直线l 的方程.【答案】（1）10（2）3240x y +-= 【解析】（1）由题意，可得()0,1F ，设221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立方程组224y kx x y=+⎧⎨=⎩，整理得2480x kx --=，则124x x k +=，128x x =-，又由22121144x x FA FB +++=+()2121222104x x x x +-=+=.（2）由题意，知211,14x FA x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，222,14x FB x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3.3FC =--，由CFA CFB ∠=∠，可得cos ,cos ,FA FC FB FC =又2114x FA =+，2214x FB =+，则FA FC FB FC FA FC FB FC =，整理得()1212420x x x x ++-=，解得32k =-，所以直线l 的方程为3240x y +-=.1．（2021·吉林长春市·高三（理））已知M 是抛物线24y x =上的一点，F 是抛物线的焦点，若以Fx 为始边，FM 为终边的角60xFM ∠=，则FM 等于（） A ．2 B C ．D ．4【答案】D 【分析】设点200,4y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，取()1,0a =，可得1cos ,2FM a <>=，求出20y 的值，利用抛物线的定义可求练提升得FM 的值. 【详解】设点()00,M x y ，其中2004y x =，则()1,0F ，2001,4y FM y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，取()1,0a =，则211cos ,2y FM a FM a FM a-⋅<>===⋅⎛，可得4200340480y y -+=，因为20104y ->，可得204y >，解得2012y =，则20034y x ==，因此，014MF x=+=. 故选：D.2.（2017·全国高考真题（文））过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线交C 于点M （在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MNl ⊥，则点M 到直线NF 的距离为（）A. B. D.【答案】A 【解析】设直线l 与x 轴相交于点P ，与直线MN 相交于点Q ，(1,0)F ，设||||MN MF m ==，因为||2,30PF NQM =∠=，所以||4,||2QF QM m ==，所以42m m +=，解得：4m =，设00(,)M x y ，由焦半径公式得：014x +=，所以03x=，0y =，所以sin sin 42NP MNF NFP NF ∠=∠===，所以点M 到直线NF 的距离为||sin 4NM MNF ⋅∠=⋅=3．（2020·广西南宁三中其他（理））已知抛物线28C y x =：的焦点为F ，P 是抛物线C 的准线上的一点，且P 的纵坐标为正数，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若PQ =，则直线PF 的方程为（）A ．20x y --=B ．20x y +-=C ．20x y -+=D ．20x y ++=【答案】B 【解析】过Q 点作QH PM ⊥于H ，因为PQ =，由抛物线的定义得PQ =，所以在Rt PQH ∆中，4PQH π∠=，所以4PFM π∠=，所以直线PF 的斜率为1k =-，所以直线PF 的方程为()()012y x -=--，即20x y +-=，故选B.4.（2020·浙江高三月考）如图，已知抛物线21:4C y x =和圆222:(1)1C x y -+=，直线l 经过1C 的焦点F ，自上而下依次交1C 和2C 于A ，B ，C ，D 四点，则AB CD ⋅的值为（）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C 【解析】因为抛物线21:4C y x =的焦点为(1,0)F ，又直线l 经过1C 的焦点F ，设直线:(1)l y k x =-，由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222(24)0k x k x k -++=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则121=x x由题意可得：1111=-=+-=AB AF BF x x ，同理2=CD x ，所以12cos01︒⋅=⋅⋅==AB CD AB CD x x . 故选C5．【多选题】（2022·全国高三专题练习）已知抛物线21:C y mx =与双曲线222:13y C x -=有相同的焦点，点()02,P y 在抛物线1C 上，则下列结论正确的有（）A ．双曲线2C 的离心率为2B ．双曲线2C 的渐近线为y x = C ．8m =D ．点P 到抛物线1C 的焦点的距离为4【答案】ACD 【分析】由双曲线方程写出离心率、渐近线及焦点，即可知A 、B 、C 的正误，根据所得抛物线方程求0y ，即知D 的正误. 【详解】双曲线2C 的离心率为2e ==，故A 正确；双曲线2C 的渐近线为y =，故B 错误；由12,C C 有相同焦点，即24m=，即8m =，故C 正确；抛物线28y x =焦点为()2,0，点()02,P y 在1C 上，则04y =±，故()2,4P 或()2,4P -，所以P 到1C 的焦点的距离为4，故D 正确．故选：ACD ．6．【多选题】（2021·海南鑫源高级中学）在下列四个命题中，真命题为（）A ．当a 为任意实数时，直线(a -1)x -y +2a +1=0恒过定点P ，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是243x y =B ．已知双曲线的右焦点为(5，0)，一条渐近线方程为2x -y =0，则双曲线的标准方程为221205x y -= C ．抛物线y =ax 2(a ≠0)的准线方程14y a=-D ．已知双曲线2214x y m +=，其离心率()1,2e ∈，则m 的取值范围(-12，0)【答案】ACD 【分析】求出直线定点设出抛物方程即可判断A ；根据渐近线方程与焦点坐标求出,a b 即可判断B ；根据抛物线方程的准线方程公式即可判断C ；利用双曲线离心率公式即可判断D ．【详解】对A 选项，直线(a -1)x -y +2a +1=0恒过定点为()2,3P -，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程设为22x py =，将点()2,3P -代入可得23p =，所以243x y =，故A 正确；对B 选项，知5,2bc a==，又22225a b c +==，解得225,20a b ==，所以双曲线的标准方程为221520x y -=，故B 错；对C 选项，得21x y a =，所以准线方程14y a=-，正确；对D 选项，化双曲线方程为2214x y m-=-，所以()1,2e =，解得()12,0m ∈-，故正确．故选：ACD7．（2021·全国高二课时练习）已知点M 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，若点M 到两定点(,)A p p ，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离之和最小，则点M 的坐标为______．【答案】,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】过点M 作抛物线准线的垂线，垂足为B ，根据抛物线的定义可得||||MF MB =，易知当A ，B ，M 三点共线时||MB MA +取得最小值且为||AB ，进而可得结果. 【详解】过点M 作抛物线准线的垂线，垂足为B ，由抛物线的定义，知点M 到焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离与点M 到准线的距离相等，即||||MF MB =，所以||||||||MF MA MB MA +=+，易知当A ，B ，M 三点共线时，||MB MA +取得最小值，所以min 3(||||)||2p MF MA AB +==，此时点M 的坐标为,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭．故答案为：2p p ⎛⎫⎪⎝⎭，8．（2021·全国高二课时练习）抛物线()220y px p =>的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒，过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为______.【分析】设=AF a ，=BF b ，根据中位线定理以及抛物线定义可得()12MN a b =+，在AFB △中，由余弦定理以及基本不等式可得)AB a b ≥+，即可求得MN AB 的最大值．【详解】设=AF a ，=BF b ，作AQ 垂直抛物线的准线于点Q ，BP 垂直抛物线的准线于点P .由抛物线的定义，知AF AQ =，BF BP =.由余弦定理得()2222222cos120AB a b ab a b ab a b ab =+=︒=++=+-.又22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴()()()()22221344a b ab a b a b a b +-≥+-+=+，当且仅当a b =时，等号成立，∴)AB a b ≥+，∴()1a b MN AB +≤=MN AB9．（2020·山东济南外国语学校高三月考）抛物线C ：22y x =的焦点坐标是________；经过点()4,1P 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且点P 恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则AF BF +=________.【答案】1,02⎛⎫⎪⎝⎭9【解析】抛物线C ：22y x =的焦点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭．过A 作AM ⊥准线交准线于M ，过B 作BN ⊥准线交准线于N ，过P 作PK ⊥准线交准线于K ，则由抛物线的定义可得AM BN AF BF +=+．再根据P 为线段AB 的中点，119(||||)||4222AM BN PK +==+=， ∴9AF BF +=，故答案为：焦点坐标是1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，9AF BF +=．10.（2019·四川高考模拟（文））抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，抛物线过点(),1P p .（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程与其准线l 的方程；（Ⅱ）过F 点作直线与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线的切线，证明两条切线的交点在抛物线C 的准线l 上.【答案】（Ⅰ）抛物线的标准方程为24x y =，准线l 的方程为1y =-；（Ⅱ）详见解析. 【解析】（Ⅰ）由221p p =⨯，得2p =，所以抛物线的标准方程为24x y =，准线l 的方程为1y =-.（Ⅱ）根据题意直线AB 的斜率一定存在，又焦点()0,1F ，设过F 点的直线方程为1y kx =+，联立241x yy kx ⎧=⎨=+⎩，得，2440x kx --=. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，124x x =-.∴()22221212122168x x x x x x k +=+-=+.由214y x =得，1'2y x =，过A ，B 的抛物线的切线方程分别为 ()()1112221212y y x x x y y x x x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，即21122211241124y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相加，得()()2212121148y x x x x x =+-+，化简，得()221y kx k =-+，即()21y k x k =--，所以，两条切线交于点()2,1k -，该点显然在抛物线C 的准线l ：1y =-上.1．（2021·全国高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（） A ．1 B ．2 C ．D ．4【答案】B 【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p 的值. 【详解】抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其到直线10x y -+=的距离：d == 解得：2p =(6p =-舍去). 故选：B.2．（2021·天津高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD AB ．则双曲线的离心率为（） A B C ．2D ．3练真题【答案】A 【分析】设公共焦点为(),0c ，进而可得准线为x c =-，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c =，再由双曲线离心率公式即可得解. 【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c ya b-=，解得2b y a =±，所以22b AB a =, 又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a c ，所以222212a cbc =-=，所以双曲线的离心率ce a== 故选：A.3．（2020·北京高考真题）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（）． A ．经过点O B ．经过点P C ．平行于直线OP D ．垂直于直线OP【答案】B 【解析】如图所示：．因为线段FQ 的垂直平分线上的点到,F Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，PQ PF =，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P .故选：B.4.（2021·全国高考真题）已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______. 【答案】32x =-【分析】先用坐标表示P Q ，，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p ，即得结果. 【详解】抛物线C ：22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，所以P 的横坐标为2p，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±, 不妨设(,)2pP p ,因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧，又||6FQ =， (6,0),(6,)2pQ PQ p ∴+∴=- 因为PQ OP ⊥，所以PQ OP ⋅=2602pp ⨯-=, 0,3p p >∴=，所以C 的准线方程为32x =-故答案为：32x =-.5．的直线过抛物线C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．【答案】163【解析】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，又∵直线AB 过焦点F AB 的方程为：1)y x =- 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=，解法一：解得121,33x x ==所以12116||||3|33AB x x =-=-= 解法二：10036640∆=-=> 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=, 过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：1636．（2020·浙江省高考真题）如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若116=p ，求抛物线2C 的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．【答案】（Ⅰ）1(,0)32；【解析】（Ⅰ）当116=p 时，2C 的方程为218y x =，故抛物线2C 的焦点坐标为1(,0)32；（Ⅱ）设()()()112200,,,,,,:A x y B x y M x y I x y m λ=+，由()22222222220x y y my m x y mλλλ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩， 1200022222,,222m m my y y x y m λλλλλλ--∴+===+=+++，由M 在抛物线上，所以()222222244222m pm mp λλλλλ=⇒=+++，又22222()220y pxy p y m y p y pm x y mλλλ⎧=⇒=+⇒--=⎨=+⎩， 012y y p λ∴+=，2101022x x y m y m p m λλλ∴+=+++=+，2122222mx p m λλ∴=+-+.由2222142,?22x y x px y px ⎧+=⎪⇒+=⎨⎪=⎩即2420x px +-=12x p ⇒==-222221822228162p p p m p p p λλλλλ+⇒-=+⋅=++≥+，18p ≥，21160p ≤，p ≤ 所以，p，此时A . 法2：设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，()00,A x y .将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得：()2222220m y mty t +++-=，所以点M 的纵坐标为22M mty m =-+.将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得：2220y pmy pt --=，所以02M y y pt =-，解得()2022p m y m+=，因此()220222p m xm+=，由220012x y +=解得22212242160m m p m m ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当m t ==p .。

2024高考数学专项一题打天下之抛物线(共25问)

2024高考数学专项一题打天下之抛物线(共25问)一题打天下之抛物线(共25问)题干：已知动圆过定点(4,0)，且在y轴上截得的弦长为8考点1：求标准方程(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；考点2：抛物线的定义(1)已知点F(2,0),若P为轨迹C的点，且PF=4，求P的坐标(注意通径)(2)已知点F(2,0),若P为轨迹C的点，且P到y轴的距离为4，求PF(3)抛物线具有如下光学性质：从焦点发出的光线经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，生活中的探照灯就是利用这个原理设计的，已知F是轨迹C的焦点，从F发出的光线经C上的点M反射后经过点(6,42),求FM(4)已知点F(2,0),点P为轨迹C上第一象限内的一点，作PM垂直于直线l：x=-2，交直线l于M，若PF的斜率为3,求MF答案8(5)M为轨迹C上的点，且FM的延长线交y轴于N，若M为FN的中点，求FN的长（答案6）(6)已知P为直线l：x=-2上的一点，作PA⏊PF交y轴负半轴于A点，连接AF交轨迹C于B点，若PB⎳x轴，求FA的长（答案6,斜边上的中线为斜边的一半）(7)已知点F (2,0),直线l 过点F 且与轨迹C 交于P 、Q 两点，且若PF =3FQ ，求直线l的方程（三种方法）(8)若轨迹C 的焦点为F ，准线为l ，M 是l 上一点，N 是直线MF 与C 的一个交点，若FM =4FN ，求|NF |的长考点3：抛物线中的最值问题(1)若点P 是轨迹C 上的一个动点，求点P 到点(3，0)的距离的最小值(2)已知点F (2,0),T (3，4)，P 是轨迹C 上的一动点，求PF +PT 的最小值(3)已知P 是轨迹C 上的一动点,求点P 到直线y =x +4和y 轴的距离之和的最小值(4)若点P 是轨迹C 上的一个动点，点Q 是圆(x -3)2+y 2=1的动点，则求PQ 的最小值(5)点P 是轨迹C 上的一个动点，求点P 到直线y =x +4的距离的最小值考点3：直线与抛物线的位置关系(1)过点(-2，0)的直线与轨迹C 只有一个公共点，求此直线方程(2)已知点F (2,0),直线l 过点F 且与轨迹C 交于P 、Q 两点，且PQ =16，求直线l 的方程(3)已知点F (2,0),直线y =x -1交轨迹C 交于P 、Q 两点，求PQ 的中点坐标(4)已知点F (2,0),斜率为2的直线l 与轨迹C 的交点为A ,B ，与x 轴的交点为P ，若AP =2PB ,求△ABF 的周长和面积(5)已知点F (2,0),求证：命题“如果直线l 过点F 且与轨迹C 交于P 、Q 两点，那么OP •OQ =-12恒成立”是真命题(6)写出(4)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由。

2022年高考数学一轮复习专题专题41 抛物线基础巩固检测题(解析版)

专题41 抛物线基础巩固检测题（解析版）一、单选题1．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A B 、两点，若F 是线段AB 的中点，则AB =（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D 【分析】依据题意可知线段AB 为抛物线的通径可得结果. 【详解】由题可知：线段AB 为抛物线的通径所以AB 4= 故选：D2．P 为抛物线22(0)y px p =>上一点，点P 到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6，则p =（） A ．2 B ．4C ．4或9D ．2或18【答案】D 【分析】由抛物线22(0)y px p =>可得准线l 的方程为：2px =-，设点(,)P x y ，再由点P 到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6，可得102px +=，6y =±，再与抛物线方程22(0)y px p =>，联立解方程组，即可求解. 【详解】解：由题意可得：抛物线22(0)y px p =>的准线l 的方程为：2p x =-设点(,)P x y ，又因点P 到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6，所以有210262p x y y px⎧+=⎪⎪=±⎨⎪=⎪⎩，解得118x p =⎧⎨=⎩或92x p =⎧⎨=⎩，即p 的值分别为18或2. 故选：D. 【点睛】本题考查了抛物线的标准方程及其性质，考查理解辨析能力及运算求解能力，属于基础题.3．已知抛物线方程为24x y =，则该抛物线的焦点坐标为（） A ．(0,1)- B ．1,016⎛-⎫⎪⎝⎭C ．1,016⎛⎫⎪⎝⎭D ．(0,1)【答案】D 【分析】根据抛物线方程求出2p =，即可得抛物线的焦点坐标. 【详解】由抛物线方程24x y =可知24p =，所以2p =，又抛物线的焦点在y 轴正半轴上，所以该抛物线的焦点坐标为(0,1). 故选：D4．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点在直线10x y +-=上，又经过抛物线C 的焦点且倾斜角为60︒的直线交抛物线C 于A ､B 两点，则||AB =（） A ．12 B ．14C ．16D ．18【答案】C 【分析】直线10x y +-=与y 轴的交点就是抛物线的焦点，从而可求出抛物线方程，然后将倾斜角为60︒的直线方程与抛物线方程联立成方程组，消去x ，整理后利用根与系数的关系可得1214y y +=，从而再利用抛物线的定义可求出||AB 【详解】解：因为直线10x y +-=与y 轴的交点为(0,1)，所以抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点坐标为(0,1)，设(0,1)F ，抛物线方程为24x y =，所以过焦点且倾斜角为60︒的直线方程为1y =+，设1122(,),(,)A x y B x y ，由241x y y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，得21410y y -+=，所以1214y y +=，所以12||14216AB y y p =++=+=，故选：C 5．抛物线2y x 的准线方程是（）A ．14y =-B ．12yC ．14x =-D ．12x =-【答案】A 【分析】利用抛物线准线方程定义求解即可．【详解】抛物线的准线方程为2x y =，焦点在y 轴上，21p ∴=，即12p =，124p ∴=， ∴准线方程是124p y =-=-．故选：A.6．顶点在原点，关于y 轴对称，并且经过点M (－4，5)的抛物线方程为（）A ．y 2＝165x B ．y 2＝－165x C ．x 2＝165yD ．x 2＝－165y【答案】C 【分析】由题意设方程为x 2＝2py (p >0)，点M (－4，5)代入计算即可. 【详解】由题设知，抛物线开口向上，设方程为x 2＝2py (p >0)，将(－4，5)代入得8,5p =所以，抛物线方程为2165x y =．故选：C ．7．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，直线()2y k x =+与抛物线C 交于点()1,2A ，B ，则FB =（） A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【分析】通过A 点的坐标算出p ，再根据点,A B 以及点()2,0-三点共线算出B 点坐标，再利用焦半径公式即可. 【详解】由点()1,2A 在抛物线C 上得2p =，设2,4t B t ⎛⎫⎪⎝⎭，由直线过定点()2,0-得()()221224tk t==----，解得4t =（舍去2），()4,4B 所以452pFB =+= 故选：C.8．已知平面α和两条异面直线,a b 满足,a b αα⊂⊥，平面α内的动点M 到两条直线,a b 的距离相等，则点M 的轨迹是（） A ．两条直线 B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【答案】D 【分析】利用抛物线的定义即可得出选项. 【详解】b α⊥，垂足设为F ，则平面α内的动点M 到定直线a 与到F 的距离相等，满足抛物线的定义. 故选：D9．已知A 为抛物线C ：22x py =(0p >)上一点，点A 到C 的焦点的距离为6，到x 轴的距离为4，则p =（） A ．2 B ．3C ．4D ．6【答案】C 【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案. 【详解】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||62A pAF y =+=，所以642p=+，解得4p =. 故选：C.10．已知()()1,0,2,0A B -为ABC ∆的两个顶点，点C 在抛物线28x y =上，且到焦点的距离为16，则ABC ∆的面积为（） A ．12 B ．18C ．21D ．24【答案】C 【分析】根据抛物线的定义知，得到0216y +=，求得0y 的值，利用三角形的面积公式，即可求解. 【详解】由题意，点C 在抛物线28x y =上，设()00,C x y ，又由抛物线28x y =的准线方程为2y =-根据抛物线的定义知，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，即0216y +=，解得014y =，所以()01121142122ABC S AB y ∆=⨯⋅=⨯+⨯=. 故选：C.11．已知抛物线24y x =，过其焦点F 的直线l 交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点，若1x ，3，2x 三个数构成等差数列，则线段AB 的长为（） A ．9 B ．8C ．7D ．6【答案】B 【分析】先求出抛物线的焦点坐标，再利用抛物线的定义以及等差数列的性质，即可求解. 【详解】由题意，抛物线24y x =，可得其焦点坐标为(1,0)F ，根据抛物线的定义，可得1212222p pAB AF BF x x x x =+=+++=++，又由1x ，3，2x 三个数构成等差数列，所以126x x +=，所以628AB =+=. 故答案为：8.12．已知抛物线21:2(0)C x py p =>的焦点为F ，点A 在抛物线1C 上，且4||3AF =，抛物线22:8C y px =的焦点为F '，若点A 的纵坐标为12，则FF '=（）A ．2B ．4C D ．4【答案】B 【分析】根据焦半径公式计算12p =，然后代入写出点F 和F '的坐标，利用两点距离公式求解. 【详解】因为4||3AF =，所以13224p +=，解得12p =．所以22121:,:4,0,4C x y C y x F ⎛⎫== ⎪⎝⎭，(1,0)F '，所以4FF '==. 故选：B二、填空题13．若抛物线C 顶点在原点，焦点在y 轴上，且过点(2,1)，则C 的标准方程是___________. 【答案】24x y = 【分析】利用待定系数法求出抛物线方程即可；【详解】解：因为抛物线C 顶点在原点，焦点在y 轴上，故设抛物线方程为2x my =，又抛物线过点(2,1)，所以22m =，即4m =，所以抛物线方程为24x y = 故答案为：24x y =14．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22x y =的焦点到准线的距离为__________．【答案】1 【分析】求出抛物线22x y =的焦点坐标与准线方程，从而可得答案. 【详解】由22x y =可得1p =，抛物线22x y =的焦点坐标为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为12y，所以抛物线22x y =的焦点到准线的距离为11122⎛⎫--= ⎪⎝⎭，故答案为：1.15．若点(2021,)P t 在抛物线24y x =上，点F 为该抛物线的焦点，则PF 的值为_______. 【答案】2022 【分析】由抛物线的方程求出抛物线的准线方程，根据抛物线的定义可得PF 等于点(2021,)P t 到准线的距离即可求解. 【详解】由24y x =可得其焦点()1,0F ，准线为1x =-，因为点(2021,)P t 在抛物线24y x =上，所以点(2021,)P t 到焦点的距离等于到准线1x =-的距离，所以()202112022PF =--=，故答案为：2022.16．人们已经证明，抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴，探照灯、手电筒就是利用这个原理设计的.已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，从点F 出发的光线经抛物线上第一象限内的一点P 反射后的光线所在直线方程为y =，若入射光线FP 的斜率为方程为______. 【答案】22y x = 【分析】利用已知条件求出P 的坐标，然后求解p 即可得到抛物线方程．【详解】从点F 出发的光线第一象限内抛物线上一点P 反射后的光线所在直线方程为y可得P （1p，入射光线FP的斜率为2p =-p ＝1或p ＝﹣2（舍去），所以抛物线方程为：y 2＝2x ．故答案为：y 2＝2x 【点睛】方法点睛：求抛物线的标准方程，常用待定系数法，先定式（确定抛物线的形式），后定量.三、解答题17．分别求符合下列条件的抛物线的标准方程. （1）经过点(-3，-1)；（2）焦点为直线3x-4y-12=0与坐标轴的交点. 【答案】（1）y 2=-13x 或x 2=-9y ；（2）x 2=-12y 或y 2=16x. 【分析】（1）设出抛物线方程，根据点()3,1--求得抛物线方程. （2）求得焦点坐标，由此求得p ，进而求得抛物线方程. 【详解】（1）因为点(-3,-1)在第三象限，所以设所求抛物线的标准方程为y 2=-2px (p>0)或x 2=-2py (p>0).若抛物线的标准方程为y 2=-2px (p>0)，则由(-1)2=-2p ×(-3)，解得p=16；若抛物线的标准方程为x 2=-2py (p>0)，则由(-3)2=-2p ×(-1)，解得p=92. 故所求抛物线的标准方程为y 2=-13x 或x 2=-9y. （2）对于直线方程3x-4y-12=0，令x=0，得y=-3；令y=0，得x=4；所以抛物线的焦点为(0,-3)或(4,0).当焦点为(0,-3)时2p ，=3，所以p=6，此时抛物线的标准方程为x 2=-12y ；当焦点为(4,0)时，2p=4，所以p=8，此时抛物线的标准方程为y 2=16x. 故所求抛物线的标准方程为x 2=-12y 或y 2=16x.18．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线与x 轴交于点()1,0M -．（1）求抛物线C 的方程；（2）若过点M 的直线l 与抛物线C 相切，求直线l 的方程．【答案】（1）24y x =；（2）10x y -+=或10x y ++= 【分析】（1）利用准线方程2px =-求解（2）设出直线方程，与抛物线方程联立，利用0∆=求解. 【详解】（1）2:2(0)C y px p =>的准线2px =-过()1,0M - 故12p-=-，则2p = 抛物线方程为24y x = （2）设切线方程为1x my =- 与抛物线方程联立有2440y my -+=()24160m ∆=-=故1m =±故直线l 的方程为：10x y -+=或10x y ++= 【点睛】求抛物线的切线方程的方法：方法一：将抛物线转化为二次函数，然后利用导数求解切线方程，这在开口朝上的抛物线中经常用到。

专题21 抛物线(学生版)-【挑战压轴题】备战2022年高考数学高分必刷必过题(全国通用版)

专题21抛物线（解答题压轴题）1．（2021·全国高三模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线E ：()220y px p =>上一点00(4,)(0)S y y >到焦点F 的距离5SF =.不经过点S 的直线l 与E 交于A ，B .（1）求抛物线E 的标准方程；（2）若直线AS ，BS 的斜率之和为2，证明：直线l 过定点.2．（2021·全国高三月考（理））已知直线l 过原点O ，且与圆A 交于M ，N 两点，4MN =，圆A 与直线2y =-相切，OA 与直线l 垂直，记圆心A 的轨迹为曲线C ．（1）求C 的方程；（2）过直线1y =-上任一点P 作C 的两条切线，切点分别为1Q ，2Q ，证明：①直线12Q Q 过定点；②12PQ PQ ⊥．3．（2021·安徽高三开学考试（理））已知中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为2的椭圆C 过点1)2.（1）求C 的标准方程；（2）是否存在不过原点O 的直线:l y kx m =+与C 交于,P Q 两点，使得直线OP ､PQ ､OQ 的斜率成等比数列､若存在，求k 的值及m 的取值范围；若不存在，请说明理由.4．（2021·全国高三专题练习）如图，已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为()1,0F ，D 为x 轴上位于F 右侧的点，点A 为抛物线C 在第一象限上的一点，且AF DF =，分别延长线段AF 、AD 交抛物线C 于M 、N .（1）若AM MN ⊥，求直线AF 的斜率；（2）求三角形AMN 面积的最小值.5．（2021·全国高三月考（理））已知抛物线()220x py p =>上一点()02,P y 到其焦点F 的距离为2，过点(),0T t ()0t >作两条斜率为1k ，2k 的直线1l ，2l 分别与该抛物线交于A ，B 与C ，D 两点，且120k k +=，FAB FCD S S =△△．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）求实数t 的取值范围．6．（2021·浙江瑞安中学高三模拟预测）已知抛物线()21:20C y px p =>和右焦点为F 的椭圆222:143x y C +=．如图，过椭圆2C 左顶点T 的直线交抛物线1C 于,A B 两点，且2AB TA =．连接AF 交2C 于两点,M N ，交1C 于另一点C ，连BC ，Q 为BC 的中点，TQ交AC 于D ．（1）证明：点A 的横坐标为定值；（2）记CDT ∆，QMN ∆的面积分别为1S ，2S ，若12512S S =，求抛物线的方程．7．（2021·全国高三专题练习（理））已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4．（1）求p ；（2）若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB ∆面积的最大值．8．（2021·浙江省杭州第二中学高三模拟预测）已知抛物线()2:20C y px p =>经过点(2,，P 是圆()22:11M x y ++=上一点，PA 、PB 都是C 的切线．（1）求抛物线C 的方程及其准线方程；（2）求PAB ∆的面积的最大值．9．（2021·广东汕头·高三三模）已知圆()22:21C x y +-=与定直线:1l y =-，且动圆M 与圆C 外切并与直线l 相切.（1）求动圆圆心M 的轨迹E 的方程；（2）已知点P 是直线1:2l y =-上一个动点，过点P 作轨迹E 的两条切线，切点分别为A 、B .①求证：直线AB 过定点；②求证：PCA PCB ∠=∠.10．（2021·河南郑州·高三三模（理））已知抛物线2:4C x y =和圆()22:11E x y ++=，过抛物线上一点()00,P x y ，作圆E 的两条切线，分别与x 轴交于,A B 两点.（1）若切线PB 与抛物线C 也相切，求直线PB 的斜率；（2）若02y ≥，求PAB ∆面积的最小值.11．（2021·浙江高三三模）如图，已知抛物线C ：214y x =，点()()000,1A x y y ≥为抛物线上一点，过点A 的圆G 与y 轴相切于点()0,M t ，且与抛物线C 在点A 处有相同切线，8OM NO =，过点N 的直线l 交抛物线于点E ，F ，直线AE ，AF 的斜率分别为1k ，2k ，满足120k k +=.（1）求抛物线C 的焦点坐标和准线方程；（2）求点A 到直线l 的距离的最小值.12．（2021·四川泸州·高三三模（理））从抛物线24y x =上各点向x 轴作垂线段，记垂线段中点的轨迹为曲线P ．（1）求曲线P 的方程，并说明曲线P 是什么曲线；（2）过点()2,0M 的直线l 交曲线P 于两点A 、B ，线段AB 的垂直平分线交曲线P 于两点C 、D ，探究是否存在直线l 使A 、B 、C 、D 四点共圆？若能，请求出圆的方程；若不能，请说明理由．13．（2021·浙江高三期末）如图，已知抛物线21:C x y =在点A 处的切线l 与椭圆222:12x C y +=相交，过点A 作l 的垂线交抛物线1C 于另一点B ，直线OB （O 为直角坐标原点）与l 相交于点D ，记()11,A x y 、()22,B x y ，且1>0x ．（1）求12x x -的最小值；（2）求DODB的取值范围．14．（2021·河北沧州·高三二模）已知(2,0)M -，(2,0)N ，动点P 满足：直线PM 与直线PN 的斜率之积为常数14-，设动点P 的轨迹为曲线1C .抛物线22:2(0)C x py p =>与1C 在第一象限的交点为A ，过点A 作直线l 交曲线1C 于点B 交抛物线2C 于点E (点,B E 不同于点A ).（1）求曲线1C 的方程.（2）是否存在不过原点的直线l ，使点E 为线段AB 的中点？若存在，求出p 的最大值；若不存在，请说明理由.15．（2021·湖南长沙·高三模拟预测）已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，点(),1m 在抛物线C 上，该点到原点的距离与到C 的准线的距离相等．（1）求抛物线C 的方程；（2）过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且与以焦点F 为圆心2为半径的圆交于M ，N 两点，点B ，N 在y 轴右侧．①证明：当直线l 与x 轴不平行时，AM BN≠②过点A ，B 分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，1l 与2l 相交于点D ，求DAM △与DBN 的面积之积的取值范围．16．（2021·浙江高三专题练习）已知椭圆22:14x T y +=，抛物线2:2M y px =的焦点是F ，且动点()1,G t -在其准线上.（1）当点G 在椭圆T 上时，求GF 的值；（2）如图，过点G 的直线1l 与椭圆T 交于,P Q 两点，与抛物线M 交于,A B 两点，且G 是线段PQ 的中点，过点F 的直线2l 交抛物线M 于,C D 两点.若//AC BD ，求2l 的斜率k 的取值范围.17．（2021·河南高三月考（理））已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且点F 与圆()22:41M x y ++=171．（1）求p ；（2）已知直线:4l y kx =+与C 相交于A ，B 两点，过点B 作平行于y 轴的直线BD 交直线:4l y '=-于点D ．问：直线AD 是否过y 轴上的一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由．18．（2021·上海市实验学校高三月考）已知直线2y x =与抛物线:Γ()220y px p =>交于1G ，2G 两点，且125G G ，过椭圆221:143x y C +=的右顶点Q 的直线l 交于抛物线Γ于A ，B 两点.（1）求抛物线Γ的方程；（2）若射线OA ，OB 分别与椭圆1C 交于点D ，E ，点O 为原点，ODE ，OAB 的面积分别为1S ，2S ，问是否存在直线l 使213S S =？若存在求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由；（3）若P 为2x =-上一点，PA ，PB 与x 轴相交于M ，N 两点，问M ，N 两点的横坐标的乘积M N x x ⋅是否为定值？如果是定值，求出该定值，否则说明理由.19．（2021·全国高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，原点为O ，抛物线C 的方程为24x y =，线段AB 是抛物线C 的一条动弦．（1）求抛物线C 的准线方程；（2）求=4OA OB ⋅-，求证：直线AB 恒过定点；（3）过抛物线的焦点F 作互相垂直的两条直线1l 、2l ，1l 与抛物线交于P 、Q 两点，2l 与抛物线交于C 、D 两点，M 、N 分别是线段PQ 、CD 的中点，求FMN 面积的最小值．20．（2021·浙江高三模拟预测）已知点F 为抛物线C ：214y x =的焦点，点()0,4D ，点A 为抛物线C 上的动点，直线l ：y t =截以AD 为直径的圆所得的弦长为定值.（1）求t 的值；（2）如图，直线l 交y 轴于点E ，抛物线C 上的点B 满足AB 的中垂线过点D 且直线AB 不与x 轴平行，求ABE 的面积的最大值.。

抛物线【九大题型】(举一反三)(新高考专用)(解析版)—2025年高考数学一轮复习

抛物线【九大题型】专练【题型1 抛物线的定义及其应用】........................................................................................................................3【题型2 抛物线的标准方程】................................................................................................................................5【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】............................................................................................................6【题型4 抛物线的轨迹方程】................................................................................................................................7【题型5 抛物线上的点到定点的距离及最值】....................................................................................................9【题型6 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】..............................................................................11【题型7 抛物线的焦半径公式】..........................................................................................................................14【题型8 抛物线的几何性质】..............................................................................................................................16【题型9 抛物线中的三角形（四边形）面积问题】 (18)1、抛物线【知识点1 抛物线及其性质】1．抛物线的定义(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线.(2)集合语言表示设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}.2．抛物线的标准方程与几何性质(0,0)(0,0)3．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异：①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形；②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点；③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是0<e<1,双曲线的离心率范围是e>1，抛物线的离心率是e=1；⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线.【知识点2 抛物线标准方程的求解方法】1．抛物线标准方程的求解待定系数法：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.【知识点3 抛物线的焦半径公式】1．焦半径公式设抛物线上一点P的坐标为，焦点为F.(1)抛物线：；(2)抛物线：(3)抛物线：；(4)抛物线：.注：在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式.【知识点4 与抛物线有关的最值问题的解题策略】1．与抛物线有关的最值问题的两个转化策略(1)转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决.(2)转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.【方法技巧与总结】1．通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.2．抛物线P，也称为抛物线的焦半径.【题型1 抛物线的定义及其应用】【例1】（2024·贵州贵阳·二模）抛物线y2=4x上一点M与焦点间的距离是10，则M到x轴的距离是（）A．4B．6C．7D．9【解题思路】借助抛物线定义计算即可得.【解答过程】抛物线y2=4x的准线为x=―1，由抛物线定义可得x M+1=10，故x M=10―1=9，则|y M|===6，即M到x轴的距离为6.故选：B.【变式1-1】（2024·河北·模拟预测）已知点P为平面内一动点，设甲：P的运动轨迹为抛物线，乙：P到平面内一定点的距离与到平面内一定直线的距离相等，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【解题思路】根据已知条件，结合充分条件、必要条件的定义，即可求解．【解答过程】解：当直线经过定点时，点的轨迹是过定点且垂直于该直线的另一条直线，当直线不经过该定点时，点的轨迹为抛物线，故甲是乙的充分条件但不是必要条件．故选：A．【变式1-2】（2024·北京大兴·三模）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过F且斜率为―1的直线与直线x=―1交于点A，点M在抛物线上，且满足|MA|=|MF|，则|MF|=（）A．1B C．2D．【解题思路】由题意先求出过F且斜率为―1的直线方程，进而可求出点A，接着结合点M在抛物线上且|MA|=|MF|可求出x M，从而根据焦半径公式|MF|=x M+1即可得解.【解答过程】由题意可得F(1,0)，故过F且斜率为―1的直线方程为y=―(x―1)=―x+1，令x=―1⇒y=2，则由题A(―1,2)，因为|MA|=|MF|，所以MA垂直于直线x=―1，故y M=2，又M 在抛物线上，所以由22=4x M ⇒x M =1，所以|MF |=x M +1=2.故选：C.【变式1-3】（2024·福建莆田·模拟预测）若抛物线C 的焦点到准线的距离为3，且C 的开口朝左，则C 的标准方程为（）A ．y 2=―6xB ．y 2=6xC ．y 2=―3xD ．y 2=3x【解题思路】根据开口设抛物线标准方程，利用p 的几何意义即可求出.【解答过程】依题意可设C 的标准方程为y 2=―2px(p >0)，因为C 的焦点到准线的距离为3，所以p =3，所以C 的标准方程为y 2=―6x .故选：A.【题型2 抛物线的标准方程】【例2】（2024·山东菏泽·模拟预测）已知点A (a,2)为抛物线x 2=2py (p >0)上一点，且点A 到抛物线的焦点F 的距离为3，则p =（）A ．12B ．1C ．2D ．4【解题思路】由题意,根据抛物线的性质,抛物线x 2=2py (p >0),则抛物线焦点为F 0,M (x 1,y 1)为抛物线上一点,有|MF |=y 1+p 2,可得|AF |=2+p2=3,解得p =2.【解答过程】因为抛物线为x 2=2py (p >0),则其焦点在y 轴正半轴上,焦点坐标为由于点A (a,2)为抛物线x 2=2py ,(p >0)为上一点,且点A 到抛物线的焦点F 的距离为3, 所以点A 到抛物线的焦点F 的距离为|AF |=2+p2=3,解得p =2,故选：C.【变式2-1】（2024·陕西安康·模拟预测）过点(2,―3)，且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是（）A ．x 2=―3yB ．x 2=―43yC ．x 2=―23yD ．x 2=―4y【解题思路】利用待定系数法，设出抛物线方程，把点代入求解即可.【解答过程】设抛物线的标准方程为x 2=ay (a ≠0)，将点点(2,―3)代入，得22=―3a，解得a=―43，所以抛物线的标准方程是x2=―43y.故选：B.【变式2-2】（2024·新疆·三模）已知抛物线y2=2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（）A．y2=x B．y2=2x C．y2=4x D．y2=8x【解题思路】根据抛物线的定义求解．【解答过程】由题意抛物线y2=2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离与它到直线x=―1的距离相，因此―p2=―1，p=2，抛物线方程为y2=4x．故选：C．【变式2-3】（2024·宁夏石嘴山·三模）如图，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于两点A、B，交其准线于C，AE与准线垂直且垂足为E，若|BC|=2|BF|,|AE|=3，则此抛物线的方程为（）A．y2=3x2B．y2=9xC．y2=9x2D．y2=3x【解题思路】过点A,B作准线的垂线，设|BF|=a，得到|AC|=3+3a，结合抛物线的定义，求得a=1，再由BD//FG，列出方程求得p的值，即可求解.【解答过程】如图所示，分别过点B作准线的垂线，垂足为D，设|BF|=a，则|BC|=2|BF|=2a，由抛物线的定义得|BD|=|BF|=a，在直角△BCD中，可得sin∠BCD=|BD||BC|=12，所以∠BCD=30∘，在直角△ACE中，因为|AE|=3，可得|AC|=3+3a，由|AC |=2|AE |，所以3+3a =6，解得a =1，因为BD //FG ，所以1p =2a3a ，解得p =32，所以抛物线方程为y 2=3x .故选：C.【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】【例3】（2024·内蒙古赤峰·二模）已知抛物线C 的方程为 x =―116y 2, 则此抛物线的焦点坐标为（）A ．(-4,0)B ．―14,C ．(-2,0)D ．―12,【解题思路】由抛物线的几何性质求解．【解答过程】依题意得：y 2=―16x ，则此抛物线的焦点坐标为：―4，0，故选：A.【变式3-1】（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知抛物线C:y =6x 2，则C 的准线方程为（）A ．y =―32B ．y =32C ．y =―124D ．y =124【解题思路】根据抛物线的准线方程直接得出结果.【解答过程】抛物线C ：y =6x 2的标准方程为x 2=16y ，所以其准线方程为y =―124.故选：C.【变式3-2】（2024·河南·三模）抛物线y 2=―28x 的焦点坐标为（）A ．(0,―14)B ．(0,―7)C ．(―14,0)D ．(―7,0)【解题思路】根据抛物线的标准方程直接得出结果.【解答过程】∵2p =28,∴p =14,∴抛物线y 2=―28x 的焦点坐标为(―7,0).故选：D.【变式3-3】（2024·福建厦门·模拟预测）若抛物线y 2=mx 的准线经过双曲线x 2―y 2=2的右焦点，则m的值为（）A．―4B．4C．―8D．8【解题思路】根据题意，分别求得双曲线的右焦点以及抛物线的准线方程，代入计算，即可得到结果.【解答过程】因为双曲线x2―y2=2的右焦点为(2,0)，又抛物线y2=mx的准线方程为x=―m4，则―m4=2，即m=―8.故选：C.【题型4 抛物线的轨迹方程】【例4】（2024·湖南衡阳·三模）已知点F(2,0)，动圆P过点F，且与x=―2相切，记动圆圆心P点的轨迹为曲线Γ，则曲线Γ的方程为（）A．y2=2x B．y2=4x C．y2=8x D．y2=12x【解题思路】分析题意，利用抛物线的定义判断曲线是抛物线，再求解轨迹方程即可.【解答过程】由题意知，点P到点F的距离和它到直线x=―2的距离相等，所以点P的轨迹是以(2,0)为焦点的抛物线，所以Γ的方程为y2=8x，故C正确.故选：C.【变式4-1】（23-24高二上·北京延庆·期末）到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1的动点且动点不在x轴的负半轴的轨迹方程是（）A．y2=8x B．y2=C．y2=2x D．y2=x【解题思路】根据抛物线的定义即可得解.【解答过程】因为动点到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1，所以动点到定点F(1,0)的距离等于到x=―1的距离，所以动点的轨迹是以F(1,0)为焦点，x=―1为准线的抛物线，所以动点的轨迹方程是y2=4x.故选：B.【变式4-2】（23-24高二上·重庆·期末）已知点P(x,y)=|x+1|，则点P的轨迹为（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆【解题思路】根据已知条件及抛物线的定义即可求解.P(x,y)到点(1,0)的距离；|x+1|表示点P(x,y)到直线x=―1的距离.=|x+1|，所以点P(x,y)到点(1,0)的距离等于点P(x,y)到直线x=―1的距离，所以P的轨迹为抛物线.故选：C.【变式4-3】（23-24高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）一个动圆与定圆F：(x+2)2+y2=1相内切，且与定直线l:x=3相切，则此动圆的圆心M的轨迹方程是（）A．y2=8x B．y2=4x C．y2=―4x D．y2=―8x【解题思路】先利用圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系找到动点M的几何条件，再根据抛物线的定义确定动点M的轨迹，最后利用抛物线的标准方程写出轨迹方程．【解答过程】设动圆M的半径为r，依题意：|MF|=r―1，点M到定直线x=2的距离为d=r―1，所以动点M到定点F(―2,0)的距离等于到定直线x=2的距离，即M的轨迹为以F为焦点，x=2所以此动圆的圆心M的轨迹方程是y2=―8x.故选：D．【题型5 抛物线上的点到定点的距离及最值】【例5】（2024·全国·模拟预测）已知A是抛物线C：y2=4x上的点，N(4,0)，则|AN|的最小值为（）A．2B．C．4D．【解题思路】由抛物线的方程，利用二次函数的性质求最值【解答过程】设,t，则|AN|===≥当且仅当t=±故选：D．【变式5-1】（2024高三·全国·专题练习）已知P是抛物线y2=2x上的点，Q是圆(x―5)2+y2=1上的点，则|PQ |的最小值是（）A ．2B ．C ．D ．3【解题思路】将问题转化为求|PC|的最小值，根据两点之间的距离公式，求得|PC|的最小值再减去半径即可.【解答过程】如图，抛物线上点P (x,y )到圆心C (5,0)的距离为|PC |,|CP |≤|CQ |+|PQ |，因此|PQ |≥|CP |―1，当|CP |最小时，|PQ |=|CP |―1最小，而|CP |2=(x ―5)2+y 2=―52+y 2=2―82+9，当y =±|CP |min =3，因此|PQ |的最小值是2．故选：A.【变式5-2】（2024·湖南益阳·三模）已知M 是抛物线y²=4x 上一点，圆C 1:(x ―1)2+(y ―2)2=1关于直线y =x ―1对称的圆为C 2，N 是圆C 2上的一点，则|MN |的最小值为（）A ．1B ―1C―1D ．37【解题思路】根据对称性求出圆C 2的方程，设y 0，求出|MC 2|的最小值，即可求出|MN |的最小值.【解答过程】圆C 1:(x ―1)2+(y ―2)2=1圆心为C 1(1,2)，半径r =1，设C 2(a,b )，=―1―1=0，解得a =3b =0，则C 2(3,0)，所以圆C2 :(x ―3)2+y 2=1，设y 0，则|MC 2|==所以当y 20=4，即y 0=±2时，|MC 2|min=所以|MN |的最小值是―1.故选：A.【变式5-3】（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，M为C上的动点，N为圆A:x2+ y2+2x+8y+16=0上的动点，设点M到y轴的距离为d，则|MN|+d的最小值为（）A．1B C D．2【解题思路】作出图形，过点M作ME垂直于抛物线的准线，垂足为点E，利用抛物线的定义可知d=|MF|―2，分析可知，当且仅当N、M为线段AF分别与圆A、抛物线C的交点时，|MN|+d取最小值，即可得解.【解答过程】根据已知得到F(2,0)，圆A:(x+1)2+(y+4)2=1，所以A(―1,―4)，圆A的半径为1，抛物线C的准线为l:x=―2，过点M作ME⊥l，垂足为点E，则|ME|=d+2，由抛物线的定义可得d+2=|ME|=|MF|，所以，|MN|+d=|MN|+|MF|―2≥|AM|+|MF|―1―2≥|AF|―1―2=1―2=2.当且仅当N、M为线段AF分别与圆A、抛物线C的交点时，两个等号成立，因此，|MN|+d的最小值为3.故选：D.【题型6 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】【例6】（2024·四川成都·模拟预测）设点A(2,3)，动点P在抛物线C:y2=4x上，记P到直线x=―2的距离为d，则|AP|+d的最小值为（）A．1B．3C1D【解题思路】根据抛物线的定义，P到焦点F的距离等于P到准线的距离，可得d=|PF|+1，从而转化为求|AP|+|PF|+1的值，当A,P,F三点共线时，d=|PF|+1取得最小值，即可求解.【解答过程】由题意可得，抛物线C的焦点F(1,0)，准线方程为x=―1，由抛物线的定义可得d=|PF|+1，所以|AP|+d=|AP|+|PF|+1，因为|AP|+|PF|≥|AF|==所以|AP|+d=|AP|+|PF|+1≥+1.当且仅当A,P,F三点共线时取等号，所以|AP|+d+1.故选：D.【变式6-1】（2024·湖南常德·一模）已知抛物线方程为:y2=16x，焦点为F.圆的方程为(x―5)2+(y―1)2 =1，设P为抛物线上的点，Q|PF|+|PQ|的最小值为（）A．6B．7C．8D．9【解题思路】根据抛物线定义将点到焦点的距离转化为点到直线的距离，即|PF|=|PN|，从而得到|PF|+ |PQ|=|PN|+|PQ|，P、Q、N三点共线时和最小；再由Q在圆上，|QN|min=|MN|―r得到最小值.【解答过程】由抛物线方程为y2=16x，得到焦点F(4,0)，准线方程为x=―4，过点P做准线的垂线，垂足为N，因为点P在抛物线上，所以|PF|=|PN|，所以|PF|+|PQ|=|PN|+|PQ|，当Q点固定不动时，P、Q、N三点共线，即QN垂直于准线时和最小，又因为Q在圆上运动，由圆的方程为(x―5)2+(y―1)2=1得圆心M(5,1)，半径r=1，所以|QN|min=|MN|―r=8，故选：C.【变式6-2】（2024·全国·模拟预测）在直角坐标系xOy中，已知点F(1,0)，E(―2,0)，M(2,2)，动点P满足线段PE的中点在曲线y2=2x+2上，则|PM|+|PF|的最小值为（）A．2B．3C．4D．5【解题思路】设P(x,y)，由题意求出P的轨迹方程，继而结合抛物线定义将|PM|+|PF|的最小值转化为M 到直线l的距离，即可求得答案.【解答过程】设P(x,y)，则PE y2=2x+2，可得y2=4x，故动点P的轨迹是以F为焦点，直线l：x=―1为准线的抛物线，由于22<4×2，故M(2,2)在抛物线y2=4x内部，过点P作PQ⊥l，垂足为Q，则|PM|+|PF|=|PM|+|PQ|，（抛物线的定义），故当且仅当M，P，Q三点共线时，|PM|+|PQ|最小，即|PM|+|PF|最小，最小值为点M到直线l的距离，所以(|PM|+|PF|)min=2―(―1)=3，故选：B．【变式6-3】（2024·陕西西安·一模）设P为抛物线C：y2=4x上的动点，A(2,6)关于P的对称点为B，记P到直线x=―1、x=―4的距离分别d1、d2，则d1+d2+|AB|的最小值为（）A B．C+3D．+3【解题思路】根据题意得到d1+d2+|AB|=2d1+3+2|PA|=2(d1+|PA|)+3，再利用抛物线的定义结合三角不等式求解.【解答过程】抛物线C：y2=4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x=―1，如图，因为d 2=d 1+3，且A (2,6)关于P 的对称点为B ，所以|PA |=|PB |，所以d 1+d 2+|AB |=2d 1+3+2|PA |=2(d 1+|PA |)+3 =2(|PF |+|PA |)+3≥2|AF |+3 ==.当P 在线段AF 与抛物线的交点时，d 1+d 1+|AB |取得最小值，且最小值为.故选：D.【题型7 抛物线的焦半径公式】【例7】（2024·青海西宁·一模）已知F 是抛物线C:x 2=4y 的焦点，点M 在C 上，且M 的纵坐标为3，则|MF |=（）A ．B ．C ．4D ．6【解题思路】利用抛物线的标准方程和抛物线的焦半径公式即可求解.【解答过程】由x 2=4y ，得2p =4，解得p =2.所以抛物线C:x 2=4y 的焦点坐标为F (0,1)，准线方程为y =―1，又因为M 的纵坐标为3，点M 在C 上，所以|MF |=y M +p2=3+22=4.故选：C.【变式7-1】（2024·河南·模拟预测）已知抛物线C:y 2=2px (p >0)上的点(m,2)到原点的距离为为F ，准线l 与x 轴的交点为M ，过C 上一点P 作PQ ⊥l 于Q ，若∠FPQ =2π3，则|PF |=（）A ．13B ．12C D ．23【解题思路】根据点(m,2)到原点的距离为再设点P 坐标，利用抛物线的定义和等腰三角形的性质列出方程即可求解.【解答过程】因为点(m,2)到原点的距离为所以m 2+22=8，解得m =2，（负值舍），将点(2,2)代入抛物线方程y 2=2px (p >0)，得4=4p ，所以p =1，所以C:y 2=2x,F(12,0),l:x =―12.由于抛物线关于x 轴对称，不妨设，因为|PQ|=|PF|=x +12，∠FPQ =2π3，所以△PQF 为等腰三角形，∠PQF =π6，所以|QF|=+12)，所以|QF|==+12)，解得x =16或x =―12(舍)，所以|PF |=16+12=23.故选：D.【变式7-2】（2024·新疆·三模）已知抛物线C ：y 2=x 的焦点为F ，在抛物线C 上存在四个点P ，M ，Q ，N ，若弦PQ 与弦MN 的交点恰好为F ，且PQ ⊥MN ，则1|PQ |+1|MN |=（）A B ．1C D ．2【解题思路】由抛物线的方程可得焦点F 的坐标，应用抛物线焦点弦性质|PF |=p1―cos θ，|QF |=p1+cos θ，|MF |=p1+sin θ，|NF |=p1―sin θ，结合三角的恒等变换的化简可得1|PQ |+1|MN |=12p ，即可求解.【解答过程】由抛物线C:y 2=x 得2p =1，则p =12，F(14,0)，不妨设PQ 的倾斜角为θ0<θ<则由|PF |cos θ+p =|PF |，p ―|QF |cos θ=|QF |，得|PF |=p 1―cos θ，|QF |=p1+cos θ，所以|MF |==p1+sin θ，|NF |==p1―sin θ，得|PQ |=|PF |+|QF |=p1―cos θ+p1+cos θ=2psin 2θ，|MN |==2pcos 2θ，所以1|PQ |+1|MN |=12p =1.故选：B.【变式7-3】（2024·北京西城·三模）点F 抛物线y 2=2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若FA +FB +FC =0，则|FA |+|FB |+|FC |=（）A ．2B ．C ．3D ．【解题思路】设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3)，根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，再由FA +FB +FC =0可得F 为△ABC 的重心，从而可求出x 1+x 2+x 3，再根据抛物线的定义可求得结果.【解答过程】设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3)，由y 2=2x ，得p =1，所以F(12,0)，准线方程为x =―12，因为FA +FB +FC =0，所以F 为△ABC 的重心，所以x 1+x 2+x 33=12，所以x 1+x 2+x 3=32，所以|FA |+|FB |+|FC |=x 1+12+x 2+12+x 3+12=x 1+x 2+x 3+32=32+32=3，故选：C.【题型8 抛物线的几何性质】【例8】（2024·重庆·模拟预测）A,B 是抛物线y 2=2px(p >0)上的不同两点，点F 是抛物线的焦点，且△OAB 的重心恰为F ，若|AF|=5，则p =（）A ．1B ．2C ．3D ．4【解题思路】根据重心可得x 1+x 2=3p 2y 1=―y 2，结合对称性可得x 1=3p4，再根据抛物线的定义运算求解.【解答过程】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，因为△OAB 的重心恰为F=p2=0，解得x 1+x 2=3p2y 1=―y 2，由y 1=―y 2可知A,B 关于x 轴对称，即x 1=x 2，则x 1+x 2=2x 1=3p2，即x 1=3p 4，又因为|AF |=x 1+p2=5p 4=5，解得p =4.故选：D.【变式8-1】（23-24高二下·福建厦门·期末）等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y 2=2x 上，则这个等边三角形的边长为（）A ．2B ．C ．4D．【解题思路】正三角形的另外两个顶点关于x 轴对称，设另外两个顶点坐标分别是A ),B―a)，把顶点代入抛物线方程化简即可求解.【解答过程】设正三角形得边长为2a ，由图可知正三角形的另外两个顶点关于x 轴对称，可设另外两个顶点坐标分别是A),B―a )，把顶点代入抛物线方程得a 2=解得a =所以正三角形的边长为故选：D.【变式8-2】（23-24高三下·北京·阶段练习）设抛物线C 的焦点为F ，点E 是C 的准线与C 的对称轴的交点，点P 在C 上，若∠PEF =30°，则sin ∠PFE =（）A B C D 【解题思路】先设P(x 0,y 0)，根据图形分别表示出tan ∠ P EF 和sin ∠ P FE 即可得解.【解答过程】由于抛物线的对称性，不妨设抛物线为C:y 2=2px(p >0)，则其焦点为F(p2,0)，点E 是C 的准线与C 的对称轴的交点，其坐标为E(―p2,0)，点P 在C 上，设为P(x 0,y 0)，若∠ P EF =30∘，则tan ∠ P EF =|y 0|x 0+p 2=且|PF|=x 0+p 2，则sin ∠ P FE =sin (π―∠ P FE )=|y 0||PF|=故选：B.【变式8-3】（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知x 轴上一定点A (a,0)(a >0)，和抛物线y 2=2px (p >0)上的一动点M ，若|AM |≥a 恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．B ．(0,p ]C ．D ．(0,2p ]【解题思路】设M (x 0,y 0) (x 0≥0)，表示出|AM |，依题意可得x 20―(2a ―2p )x 0≥0恒成立，分x 0=0和x 0>0两种情况讨论，当x0>0时x0≥2a―2p恒成立，即可得到2a―2p≤0，从而求出a的取值范围.【解答过程】设M(x0,y0)(x0≥0)，则y20=2px0，所以|AM|====因为|AM|≥a恒成立，所以x20―(2a―2p)x0+a2≥a2恒成立，所以x20―(2a―2p)x0≥0恒成立，当x0=0时显然恒成立，当x0>0时x0≥2a―2p恒成立，所以2a―2p≤0，则a≤p，又a>0，所以0<a≤p，即实数a的取值范围为(0,p].故选：B.【题型9 抛物线中的三角形（四边形）面积问题】【例9】（2024·江西新余·二模）已知点Q(2,―2)在抛物线C：y2=2px上，F为抛物线的焦点，则△OQF （O为坐标原点）的面积是（）A．12B．1C．2D．4【解题思路】将点Q代入抛物线C的方程，即可求解p，再结合抛物线的公式，即可求解【解答过程】∵点Q(2,―2)在抛物线C:y2=2px上，F为抛物线C的焦点，∴4=4p，解得p=1，故抛物线C的方程为y2=2x，F(12,0)，则△OQF的面积S△OQF=12×12×2=12．故选：A．【变式9-1】（23-24高二上·广东广州·期末）已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，直线l与C相交于A、B两点，与y轴相交于点E．已知|AF|=5，|BF|=3，若△AEF的面积是△BEF面积的2倍，则抛物线C的方程为（）A ．y 2=2xB ．y 2=4xC ．y 2=6xD ．y 2=8x【解题思路】过A,B 分别作C 的准线的垂线交y 轴于点M,N ，根据抛物线定义可得|AM |=5―p2，|BN |=3―p 2，再由S △AEF S △BEF=|AE ||BE |=|AM ||BN |即可求参数p ，进而可得抛物线方程.【解答过程】如图，过A,B 分别作C 的准线的垂线交y 轴于点M,N ，则AM //BN ，故|AE ||BE |=|AM ||BN |，因为C 的准线为x =―p2，所以|AM |=|AF |―p2=5―p2，|BN |=|BF |―p2=3―p2，所以S △AEFS △BEF=12|EF ||AE |sin ∠AEF 12|EF ||BE |sin ∠BEF =|AE ||BE |=|AM ||BN |=5―p 23―p 2=2，解得p =2，故抛物线C 的方程为y 2=4x .故选：B.【变式9-2】（23-24高二上·广东广州·期末）设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A,B,C 为该抛物线上不同的三点，且FA +FB +FC =0,O 为坐标原点，若△OFA 、△OFB 、△OFC 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则S 21+S 22+S 23=（）A ．3B ．4C ．5D ．6【解题思路】设点A,B,C 的坐标，再表示出△OFA,△OFB,△OFC 的面积，借助向量等式即可求得答案.【解答过程】设点A,B,C 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3)，而抛物线的焦点F(1,0)，|OF|=1，FA =(x 1―1,y 1),FB =(x 2―1,y 2),FC =(x 3―1,y 3)，由FA +FB +FC =0，得x 1+x 2+x 3=3，于是S 1=12|y 1|,S 2=12|y 2|,S 3=12|y 3|，所以S 21+S 22+S 23=14(y 21+y 22+y 23)=x 1+x 2+x 3=3.故选：A.【变式9-3】（23-24高二·全国·课后作业）已知抛物线C：y2=8x，点P为抛物线上任意一点，过点P向圆D：x2+y2―4x+3=0作切线，切点分别为A，B，则四边形PADB的面积的最小值为（）A．1B．2C D【解题思路】由题意圆的圆心与抛物线的焦点重合，可得连接PD，则S四边形PADB=2S Rt△PAD=|PA|，而|PA|=|PD|最小时，四边形PADB的面积最小，再抛物线的定义转化为点P到抛物线的准线的距离的最小值，结合抛物线的性质可求得结果【解答过程】如图，连接PD，圆D：(x―2)2+y2=1，该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为1，则S四边形PADB=2S Rt△PAD=|PA|．又|PA|=PADB的面积最小时，|PD|最小．过点P向抛物线的准线x=―2作垂线，垂足为E，则|PD|=|PE|，当点P与坐标原点重合时，|PE|最小，此时|PE|=2．==故S四边形PADBmin故选：C.一、单选题1．（2024·江西·模拟预测）若抛物线x 2=8y 上一点(x 0,y 0)到焦点的距离是该点到x 轴距离的2倍．则y 0=（）A ．12B ．1C ．32D ．2【解题思路】根据抛物线的方程，结合抛物线的标准方程，得到抛物线的焦点和准线，利用抛物线的定义，得到抛物线上的点(x 0,y 0)到焦点的距离，根据题意得到关于y 0的方程，求解即可．【解答过程】已知拋物线的方程为x 2=8y ，可得p =4．所以焦点为F (0,2)，准线为l ：y =―2．抛物线上一点A (x 0,y 0)到焦点F 的距离等于到准线l 的距离，即|AF |=y 0+2，又∵A 到x 轴的距离为y 0，由已知得y 0+2=2y 0，解得y 0=2．故选：D ．2．（2024·四川·模拟预测）已知抛物线C:x 2=8y 的焦点为F,P 是抛物线C 上的一点，O 为坐标原点，|OP |=4|PF |=（）A ．4B ．6C ．8D ．10【解题思路】求出抛物线焦点和准线方程，设P (m,n )(m ≥0)，结合|OP |=n =4，由焦半径公式得到答案.【解答过程】抛物线C:x 2=8y 的焦点为F (0,2)，准线方程为y =―2，设P (m,n )(m ≥0)=，解得n =4或n =―12（舍去），则|PF |=n +2=6．故选：B ．3．（23-24高二下·甘肃白银·期中）若圆C 与x 轴相切且与圆x 2+y 2=4外切，则圆C 的圆心的轨迹方程为（）A ．x 2=4y +4B ．x 2=―4y +4C ．x 2=4|y |+4D ．x 2=4y ―4【解题思路】设圆心坐标为(x,y )=2+|y |，化简整理即可得解.【解答过程】设圆心坐标为(x,y)=2+|y|，化简得x2=4|y|+4，即圆C的圆心的轨迹方程为x2=4|y|+4.故选：C.4．（2024·北京海淀·三模）已知抛物线y2=4x的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若|MF|=6，则△MNF的面积为（）A．8B．C．D．【解题思路】确定抛物线的焦点和准线，根据|MF|=6得到M.【解答过程】因为抛物线y2=4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x=―1，所以|MF|=x M+1=6，故x M=5，不妨设M在第一象限，故M×(5―0)×=所以S△MNF=12故选：C.5．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知抛物线y2=8x上一点P到准线的距离为d1，到直线l:4x―3y+12=0的距离为d2，则d1+d2的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【解题思路】点P到直线l:4x―3y+12=0的距离为|PA|，到准线l1:x=―2的距离为|PB|，利用抛物线的定义得|PF|=|PB|，当A，P和F共线时，点P到直线l:4x―3y+12=0和准线l1:x=―2的距离之和的最小，由点到直线的距离公式求得答案.【解答过程】由抛物线y2=8x知，焦点F(2,0)，准线方程为l:x=―2，根据题意作图如下；点P到直线l:4x―3y+12=0的距离为|PA|，到准线l1:x=―2的距离为|PB|，由抛物线的定义知：|PB|=|PF|，所以点P到直线l:4x―3y+12=0和准线l1:x=―2的距离之和为|PF|+|PA|，=4，且点F(2,0)到直线l:4x―3y+12=0的距离为d=|8―0+12|5所以d1+d2的最小值为4.故选：D.6．（2024·四川雅安·三模）已知过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆(x―2)2+(y+1)2=4的一条直径与拋物线x2=2py(p>0)的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则p=（）B．1C．2D．4A．12【解题思路】根据圆的通径的上端点就是抛物线通径的上右端点，可得抛物线x2=2py(p>0)经过点(2,1)，从而可得答案.【解答过程】因为圆(x―2)2+(y+1)2=4的一条直径与抛物线x2=2py(p>0)的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，而抛物线x2=2py(p>0)的通径与y轴垂直，所以圆(x―2)2+(y+1)2=4的这条直径与x轴垂直，且圆的直径的上端点就是抛物线通径的右端点，因为圆(x―2)2+(y+1)2=4的圆心为(2,―1)，半径为2，所以该圆与x轴垂直的直径的上端点为(2,1)，即抛物线x2=2py(p>0)经过点(2,1)，则4=2p，即p=2.故选：C.7．（2024·山西运城·三模）已知抛物线C:y 2=4x 的焦点为F ，动点M 在C 上，点B 与点A (1,―2)关于直线l:y =x ―1对称，则|MF ||MB |的最小值为（）AB ．12CD ．13【解题思路】根据对称性可得B(―1,0)，即点B 为C 的准线与x 轴的交点，作MM ′垂直于C 的准线于点M ′，结合抛物线的定义可知|MF ||MB |=|MM ′||MB |= cos θ(∠MBF =θ)，结合图象可得当直线MB 与C 相切时，cos θ最小，求出切线的斜率即可得答案.【解答过程】依题意，F(1,0)，A(1,―2)，设B(m,n)=―1m+12―1，解得m =―1n =0，即B(―1,0)，点B 为C 的准线与x 轴的交点，由抛物线的对称性，不妨设点M 位于第一象限，作MM ′垂直于C 的准线于点M ′，设∠MBF =θ,θ∈ (0,π2)，由抛物线的定义得|MM ′|=|MF |，于是|MF ||MB |=|MM ′||MB |= cos θ，当直线MB 与C 相切时，θ最大，cos θ最小，|MF||MB|取得最小值，此时直线BM 的斜率为正，设切线MB 的方程为x =my ―1(m >0)，由x =my ―1y 2=4x消去x 得y 2―4my +4=0，则Δ=16m 2―16=0，得m =1，直线MB 的斜率为1，倾斜角为π4，于是θmax =π4，(cos θ)min =，所以|MF||MB|的最小值为故选：A.8．（2024·江西九江·二模）已知抛物线C:y 2=2px 过点A (1,2)，F 为C 的焦点，点P 为C 上一点，O 为坐标原点，则（）A ．C 的准线方程为x =―2B ．△AFO 的面积为1C ．不存在点P ，使得点P 到C 的焦点的距离为2D ．存在点P ，使得△POF 为等边三角形【解题思路】求解抛物线方程，得到准线方程，判断A ；求解三角形的面积判断B ；利用|PF|=2．判断C ；判断P 的位置，推出三角形的形状，判断D ．【解答过程】由题意抛物线C:y 2=2px 过点A(1,2)，可得p =2，所以抛物线方程为C:y 2=4x ，所以准线方程为x =―1，A 错误；可以计算S △AFO =12×1×2=1，B 正确；当P(1,2)时，点P 到C 的焦点的距离为2，C 错误；△POF 为等边三角形，可知P 的横坐标为：12，当x =12时，纵坐标为：则12×=≠则△POF 为等腰三角形，不是等边三角形，故等边三角形的点P 不存在，所以D 错误．故选：B ．二、多选题9．（2024·湖南长沙·二模）已知抛物线C 与抛物线y 2=4x 关于y 轴对称，则下列说法正确的是（）A ．抛物线C 的焦点坐标是(―1,0)B ．抛物线C 关于y 轴对称C ．抛物线C 的准线方程为x =1D ．抛物线C 的焦点到准线的距离为4【解题思路】依题意可得抛物线C 的方程为y 2=―4x ，即可得到其焦点坐标与准线方程，再根据抛物线的性。

高考数学复习(47) 抛物线

高考数学复习（47）抛物线1．抛物线y ＝2x 2的准线方程为________．解析：因为x 2＝12y ，所以2p ＝12，p ＝14，所以准线方程为y ＝－18.答案：y ＝－182．(2018·扬州期末)若抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点也是双曲线x 2－y 2＝8的一个焦点，则p ＝________. 解析：抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，双曲线x 2－y 2＝8的右焦点为(4,0)，故p 2＝4，即p ＝8.答案：83．已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，AB ＝4，则AB 中点C 的横坐标是________．解析：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则AB ＝x 1＋x 2＋p ＝4，又p ＝1，所以x 1＋x 2＝3，所以点C 的横坐标是x 1＋x 22＝32. 答案：324．(2018·前黄中学检测)已知抛物线y 2＝2px(p ＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为________．解析：由于抛物线y 2＝2px(p ＞0)的准线方程为x ＝－p 2，由题意得－p 2＝－1，p ＝2，所以焦点坐标为()1，0. 答案：()1，05．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，且点P 到y 轴的距离与其到焦点的距离之比为12，则点P 到x 轴的距离为________．解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，根据抛物线的定义，点P 到焦点的距离等于点P 到准线的距离，故x Px P －－＝12，解得x P ＝1，所以y 2P ＝4，所以|y P |＝2. 答案：26．一个顶点在原点，另外两点在抛物线y 2＝2x 上的正三角形的面积为________．解析：如图，根据对称性：A ，B 关于x 轴对称，故∠AOx ＝30°.直线OA 的方程y ＝33x ，代入y 2＝2x ，得x 2－6x ＝0，解得x ＝0或x ＝6. 即得A 的坐标为(6,23)．所以AB ＝43，正三角形OAB 的面积为12×43×6＝12 3.答案：12 3二保高考，全练题型做到高考达标1．抛物线y ＝4ax 2(a≠0)的焦点坐标是________．解析：将y ＝4ax 2(a≠0)化为标准方程得x 2＝14a y(a≠0)，所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116a .答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116a2．过抛物线x 2＝－12y 的焦点F 作直线垂直于y 轴，交抛物线于A ，B 两点，O 为抛物线的顶点，则△OAB 的面积是________．解析：由题意F(0，－3)，将y ＝－3代入抛物线方程得x ＝±6，所以AB ＝12，所以S △OAB ＝12×12×3＝18.答案：183．已知过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则AFBF＝________.解析：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由题意知AB 所在的直线方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立⎩⎨⎧y 2＝2px ，＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2得x 2－5p 3x ＋p24＝0，解得x 1＝3p 2，x 2＝p6，所以AF BF ＝32p ＋p 2p 2＋p6＝3.答案：34．已知抛物线y 2＝2px(p>0)上一点M 到焦点F 的距离等于2p ，则直线MF 的斜率为________．解析：由题意F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设M(x ，y)，由抛物线的定义可知x ＋p 2＝2p ，故x ＝32p ，由于M 在抛物线上，所以y 2＝2p·32p ＝3p 2，得y ＝±3p.当M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32p ，3p 时，k MF ＝3p －032p －p 2＝3；当M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32p ，－3p 时，k MF ＝－3p －032p －p 2＝－3，所以k MF ＝± 3.答案：± 35．已知抛物线y 2＝2x 的弦AB 的中点的横坐标为32，则AB 的最大值为________．解析：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝3，由抛物线的定义可知，AF ＋BF ＝x 1＋x 2＋1＝4，由图可知AF ＋BF≥AB，AB≤4，当且仅当直线AB 过焦点F 时，AB 取得最大值4.答案：46．抛物线x 2＝2py(p ＞0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.解析：在等边三角形ABF 中，AB 边上的高为p ，AB 2＝33p ，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫±33p ，－p 2. 又因为点B 在双曲线上，故p 233－p243＝1，解得p ＝6. 答案：67．(2018·无锡调研)过点P(－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且PA ＝12AB ，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为________．解析：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，分别过点A ，B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为D ，E(图略)，因为PA ＝12AB ，所以{ 1＋＝x 2＋2，1＝y 2，又{ y 21＝4x 1，22＝4x 2，得x 1＝23，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53.答案：538．抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且MF ＝4OF ，△MFO 的面积为43，则抛物线的方程为________．解析：设M(x ，y)，因为OF ＝p 2，MF ＝4OF ，所以MF ＝2p ，由抛物线定义知x ＋p 2＝2p ，所以x ＝32p ，所以y ＝±3p.又△MFO 的面积为43，所以12×p2×3p ＝43，解得p ＝4(p ＝－4舍去)．所以抛物线的方程为y 2＝8x.答案：y 2＝8x9．已知抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，点P 是抛物线上的动点，点A(3,2)，求PA ＋PF 的最小值，并求取最小值时点P 的坐标．解：将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝± 6. 因为6＞2，所以A 在抛物线内部．设抛物线上的点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知PA ＋PF ＝PA ＋d.当PA ⊥l 时，PA ＋d 最小，最小值为72，即PA ＋PF 的最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2，所以点P 的坐标为(2,2)．10．(2018·扬州中学检测)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点． (1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA ―→·OB ―→的值；(2)如果OA ―→·OB ―→＝－4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点．解：(1)由题意：抛物线焦点为(1,0)，设l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4ty －4＝0，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4，所以OA ―→·OB ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2 ＝t 2y 1y 2＋t(y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4t 2＋4t 2＋1－4＝－3. (2)证明：设l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线y 2＝4x ，消去x ，得 y 2－4ty －4b ＝0，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b ，所以OA ―→·OB ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b)(ty 2＋b)＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋bt(y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b. 令b 2－4b ＝－4，得b 2－4b ＋4＝0，解得b ＝2. 所以直线l 过定点(2,0)．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知抛物线C ：x 2＝2py(p ＞0)，P ，Q 是C 上任意两点，点M(0，－1)满足MP ―→·MQ ―→≥0，则p 的取值范围是________．解析：过M 点作抛物线的两条切线，设切线方程为y ＝kx －1，切点坐标为A(x 0，y 0)，B(－x 0，y 0)，由y ＝x 22p ，得y′＝1px ，则⎩⎪⎨⎪⎧x 20＝2py 0，y 0＝kx 0－1，x 0p ＝k ，解得k ＝±2p. 因为MP ―→·MQ ―→≥0恒成立，所以∠AMB≤90°，即∠A MO≤45°，所以|k|≥tan 45°＝1，即 2p≥1，解得p≤2，由p ＞0，则0＜p≤2，所以p 的取值范围为(0,2]．答案：(0,2]2．过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线AB ，CD 与抛物线交于A ，B ，C ，D 四点，且AB ⊥CD ，则FA ―→·FB ―→＋FC ―→·FD ―→的最大值等于________．解析：依题意可得，FA ―→·FB ―→＝－(|FA ―→|·|FB ―→|)．又因为|FA ―→|＝y A ＋1，|FB ―→|＝y B ＋1，所以FA ―→·FB ―→＝－(y A y B ＋y A ＋y B ＋1)．设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1(k≠0)，联立x 2＝4y ，可得x 2－4kx －4＝0，所以x A ＋x B ＝4k ，x A x B ＝－4. 所以y A y B ＝1，y A ＋y B ＝4k 2＋2. 所以FA ―→·FB ―→＝－(4k 2＋4)．同理FC ―→·FD ―→＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋4.所以FA ―→·FB ―→＋FC ―→·FD ―→＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋4k 2＋8≤－16.当且仅当k ＝±1时等号成立．答案：－163.如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程．(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率．解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px(p>0)．因为点P(1,2)在抛物线上，所以22＝2p×1，解得p ＝2.故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1. (2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB . 则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)，因为PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，所以k PA ＝－k PB .由A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)均在抛物线上，得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1， ①y 22＝4x 2， ②所以y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，所以y 1＋2＝－(y 2＋2)．所以y 1＋y 2＝－4.由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1(x 1≠x 2)．。

人教版高考数学试题：抛物线及其标准方程

抛物线的几何性质（1）一. 选择题(共5小题，每小题5分,共25分)1．顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线，过点(-2，3)，则它的方程是（ B ） A.y x 292-=或x y 342= B. y x 292-=或y x 342= C. y x 342= D. y x 292-= 2．以x 轴为对称轴，抛物线通径的长为8，顶点在坐标原点的抛物线的方程是（ C ） A.x y 82= B. x y 82-= C. x y 82=或x y 82-= D. y x 82=或y x 82-=3．抛物线x 2=-4y 的通径为AB ，O 为抛物线的顶点，则（ D ）A.通径长为8，△AOB 的面积为4B.通径长为-4，△AOB 的面积为2C.通径长为4，△AOB 的面积为4D.通径长为4，△AOB 的面积为24．已知直线y =kx -k 及抛物线px y 22=(p ＞0)，则（ C ）A.直线与抛物线有一个公共点B.直线与抛物线有两个公共点C.直线与抛物线有一个或两个公共点D.直线与抛物线可能没有公共点5．等腰直角三角形AOB 内接于抛物线px y 22= (p ＞0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△AOB 的面积是（ B ）A.8p 2B.4p 2C. 2p 2D.p 2二、填空题(共4小题，每小题5分,共20分)6．边长为1的等边三角形AOB ，O 为原点，AB ⊥x 轴，以O 为顶点且过A 、B 的抛物线方7．已知点(x ,y )在抛物线x y 42=上，则32122+-=y x z 8．若抛物线px y 22=(p ＞0)上横坐标为6的点到焦点的距离为8，则焦点到准线的距离为9．已知A （6，2），在抛物线上求一点|QA|+|QF|最小。

三、解答题(共3小题，15+20+20,共55分)10．设M 是抛物线px y 22= (p ＞0)上的任一点，F 是它的焦点，求证：以FM 为直径的圆和y 轴相切.证明：作AA1⊥l 于A1，BB1⊥l 于B1，M 为AB 的中点，作MM1⊥l 于M1，则由抛物线的定义可知：|AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|．又在直角梯形BB1A1A 中故以AB 为直径的圆，必与抛物线的准线相切．11．过定点A (-2,-1)倾斜角为４５°的直线与抛物线2ax y =交于B 、C ，且｜ＢＣ｜是｜ＡＢ｜、｜ＡＣ｜的等比中项，求抛物线方程.答案：y =x２12．已知抛物线C 的准线为x =43，对称轴上有一点坐标为(6，2)，C 与直线l :y =x -1相交所得弦的长为32，求抛物线方程.解：由题意，可设C 的方程为(y -2)2=2a （x -x 0）,顶点为（x 0,2）.∵准线方程为x =43, ∴x 0-43=2a ,即a =2x 0-23. 代入C 的方程，并与l 方程联立，消去x ，得y 2-（4x 0+1）y +477020+-x x =0. 于是27364)(02122121-=-+=-x y y y y y y .∵直线l 的斜率为1，倾斜角为45°，弦长为32， ∴345sin 2321=︒=-y y 即21,1,3273600===-a x x ∴抛物线方程为（y -2）2=x -1.。

历年高三数学高考考点之抛物线必会题型及答案

历年高三数学高考考点之<抛物线>必会题型及答案体验高考1.设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( ) A.(1，3) B.(1，4)C.(2，3) D.(2，4) 答案 D解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，当直线l 的斜率不存在时，符合条件的直线l 必有两条；当直线l 的斜率k 存在时，如图x 1≠x 2，则有y 1＋y 22·y 1－y 2x 1－x 2＝2，即y 0·k ＝2，由CM ⊥AB 得，k ·y 0－0x 0－5＝－1，y 0·k ＝5－x 0， 2＝5－x 0，x 0＝3，即M 必在直线x ＝3上，将x ＝3代入y 2＝4x ，得y 2＝12， ∴－23＜y 0＜23， ∵点M 在圆上，∴(x 0－5)2＋y 20＝r 2，r 2＝y 20＋4＜12＋4＝16，又y 20＋4＞4，∴4＜r 2＜16，∴2＜r ＜4.故选D.2.如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1 答案 A解析由图形可知，△BCF 与△ACF 有公共的顶点F ，且A ，B ，C 三点共线，易知△BCF 与△ACF 的面积之比就等于|BC ||AC |.由抛物线方程知焦点F (1，0)，作准线l ，则l 的方程为x ＝－1.∵点A ，B 在抛物线上，过A ，B 分别作AK ，BH 与准线垂直，垂足分别为点K ，H ，且与y 轴分别交于点N ，M .由抛物线定义，得|BM |＝|BF |－1，|AN |＝|AF |－1.在△CAN 中，BM ∥AN ，∴|BC ||AC |＝|BM ||AN |＝|BF |－1|AF |－1. 3.(2016·四川)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( ) A.33B.23C.22D.1 答案 C 解析如图，由题意可知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0，显然，当y 0<0时，k OM <0；y 0>0时，k OM >0，要求k OM 的最大值，不妨设y 0>0.则OM →＝OF →＋FM →＝OF →＋13FP →＝OF →＋13(OP →－OF →)＝13OP →＋23OF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 26p ＋p 3，y 03，k OM ＝y 03y 206p ＋p 3＝2y 0p ＋2p y 0≤222＝22，当且仅当y 20＝2p 2时等号成立.故选C.4.(2016·课标全国乙)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( ) A.2B.4C.6D.8 答案 B解析不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，则圆的方程可设为x 2＋y 2＝r 2(r >0)，如图，又可设A (x 0，22)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，5，点A (x 0，22)在抛物线y 2＝2px 上，∴8＝2px 0， ① 点A (x 0，22)在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴x 20＋8＝r 2， ②点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22＋5＝r 2， ③联立①②③，解得p ＝4，即C 的焦点到准线的距离为p ＝4，故选B.5.(2015·上海)抛物线y 2＝2px (p >0)上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p ＝______. 答案 2解析根据抛物线的性质，我们知道当且仅当动点Q 运动到原点的时候，才与抛物线焦点的距离最小，所以有|PQ |min ＝p2＝1⇒p ＝2.高考必会题型题型一抛物线的定义及其应用例1 已知P 为抛物线y 2＝6x 上一点，点P 到直线l ：3x －4y ＋26＝0的距离为d 1.(1)求d 1的最小值，并求此时点P 的坐标；(2)若点P 到抛物线的准线的距离为d 2，求d 1＋d 2的最小值. 解 (1)设P (y 206，y 0)，则d 1＝|12y 20－4y 0＋26|5＝110|(y 0－4)2＋36|，当y 0＝4时，(d 1)min ＝185，此时x 0＝y 206＝83，∴当P 点坐标为(83，4)时，(d 1)min ＝185.(2)设抛物线的焦点为F ，则F (32，0)，且d 2＝|PF |，∴d 1＋d 2＝d 1＋|PF |，它的最小值为点F 到直线l 的距离|92＋26|5＝6110，∴(d 1＋d 2)min ＝6110.点评与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.变式训练1 (1)(2016·浙江)若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则点M 到y 轴的距离是________.(2)已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到Q (2，1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( ) A.(14，1) B.(14，－1)C.(1，2) D.(1，－2) 答案 (1)9 (2)B解析 (1)抛物线y 2＝4x 的焦点F (1，0).准线为x ＝－1，由M 到焦点的距离为10，可知M 到准线x ＝－1的距离也为10，故M 的横坐标满足x M ＋1＝10，解得x M ＝9，所以点M 到y 轴的距离为9.(2)抛物线y 2＝4x 焦点为F (1，0)，准线为x ＝－1，作PQ 垂直于准线，垂足为M ，根据抛物线定义，|PQ |＋|PF |＝|PQ |＋|PM |，根据三角形两边之和大于第三边，直角三角形斜边大于直角边知：|PQ |＋|PM |的最小值是点Q 到抛物线准线x ＝－1的距离. 所以点P 纵坐标为－1，则横坐标为14，即(14，－1).题型二抛物线的标准方程及几何性质例2 (2015·福建)已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1，0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切.方法一 (1)解由抛物线的定义得|AF |＝2＋p2.因为|AF |＝3，即2＋p2＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2，22). 由A (2，22)，F (1，0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1).由⎩⎨⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又G (－1，0)，所以k GA ＝22－02－(－1)＝223，k GB ＝－2－012－(－1)＝－223.所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切. 方法二 (1)解同方法一.(2)证明设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r . 因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2，22). 由A (2，22)，F (1，0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1). 由⎩⎨⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0.解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又G (－1，0)，故直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0. 从而r ＝|22＋22|8＋9＝4217.又直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0.所以点F 到直线GB 的距离d ＝|22＋22|8＋9＝4217＝r .这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切.点评 (1)由抛物线的标准方程，可以首先确定抛物线的开口方向、焦点的位置及p 的值，再进一步确定抛物线的焦点坐标和准线方程.(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.变式训练2 已知抛物线C 的顶点在坐标原点O ，其图象关于y 轴对称且经过点M (2，1). (1)求抛物线C 的方程；(2)若一个等边三角形的一个顶点位于坐标原点，另两个顶点在抛物线上，求该等边三角形的面积；(3)过点M 作抛物线C 的两条弦MA ，MB ，设MA ，MB 所在直线的斜率分别为k 1，k 2，当k 1＋k 2＝－2时，试证明直线AB 的斜率为定值，并求出该定值. 解 (1)设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p >0)，由点M (2，1)在抛物线C 上，得4＝2p ，则p ＝2，∴抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)设该等边三角形OPQ 的顶点P ，Q 在抛物线上，且P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，则x 2P ＝4y P ，x 2Q ＝4y Q ，由|OP |＝|OQ |，得x 2P ＋y 2P ＝x 2Q ＋y 2Q ，即(y P －y Q )(y P ＋y Q ＋4)＝0.又y P >0，y Q >0，则y P ＝y Q ，|x P |＝|x Q |，即线段PQ 关于y 轴对称. ∴∠POy ＝30°，y P ＝3x P ，代入x 2P ＝4y P ，得x P ＝43，∴该等边三角形边长为83，S △POQ ＝48 3. (3)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＝4y 1，x 22＝4y 2，∴k 1＋k 2＝y 1－1x 1－2＋y 2－1x 2－2＝14x 21－1x 1－2＋14x 22－1x 2－2＝14(x 1＋2＋x 2＋2)＝－2.∴x 1＋x 2＝－12，∴k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝14x 22－14x 21x 2－x 1＝14(x 1＋x 2)＝－3.题型三直线和抛物线的位置关系例3 已知圆C 1的方程为x 2＋(y －2)2＝1，定直线l 的方程为y ＝－1.动圆C 与圆C 1外切，且与直线l 相切.(1)求动圆圆心C 的轨迹M 的方程；(2)直线l ′与轨迹M 相切于第一象限的点P ，过点P 作直线l ′的垂线恰好经过点A (0，6)，并交轨迹M 于异于点P 的点Q ，记S 为△POQ (O 为坐标原点)的面积，求S 的值. 解 (1)设动圆圆心C 的坐标为(x ，y )，动圆半径为R ，则|CC 1|＝x 2＋(y －2)2＝R ＋1，且|y ＋1|＝R ，可得x 2＋(y －2)2＝|y ＋1|＋1.由于圆C 1在直线l 的上方，所以动圆C 的圆心C 应该在直线l 的上方， ∴有y ＋1>0，x 2＋(y －2)2＝y ＋2，整理得x 2＝8y ，即为动圆圆心C 的轨迹M 的方程.(2)设点P 的坐标为(x 0，x 208)，则y ＝x 28，y ′＝14x ，k l ′＝x 04，k PQ ＝－4x 0，∴直线PQ 的方程为y ＝－4x 0x ＋6.又k PQ ＝x 208－6x 0，∴x 208－6x 0＝－4x 0，x 20＝16，∵点P 在第一象限，∴x 0＝4，点P 的坐标为(4，2)，直线PQ 的方程为y ＝－x ＋6.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋6，x 2＝8y ，得x 2＋8x －48＝0，解得x ＝－12或4，∴点Q 的坐标为(－12，18). ∴S ＝12|OA |·|x P －x Q |＝48.点评 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.变式训练3 (2015·课标全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点，(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由. 解 (1)由题设可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )，或M (－2a ，a )，N (2a ，a ).又y ′＝x 2，故y ＝x 24在x ＝2a 处的导数值为a ，C 在点(2a ，a )处的切线方程为y －a ＝a(x －2a )，即ax －y －a ＝0.y ＝x 24在x ＝－2a 处的导数值为－a ，C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a (x ＋2a )，即ax ＋y ＋a ＝0.故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0. (2)存在符合题意的点，证明如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2. 将y ＝kx ＋a 代入C 的方程得x 2－4kx －4a ＝0. 故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a . 从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－b x 2＝2kx 1x 2＋(a －b )(x 1＋x 2)x 1x 2＝k (a ＋b )a. 当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，故∠OPM ＝∠OPN ，所以点P (0，－a )符合题意.高考题型精练1.如图所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线l ′于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )A.y 2＝9x B.y 2＝6x C.y 2＝3x D.y 2＝3x 答案 C解析如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设|BF |＝a ，则由已知得： |BC |＝2a ，由定义得：|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°. 在直角三角形ACE 中，∵|AF |＝3，∴|AE |＝3，|AC |＝3＋3a ， ∴2|AE |＝|AC |，∴3＋3a ＝6，从而得a ＝1，∵BD ∥FG ， ∴1p ＝23，求得p ＝32，因此抛物线方程为y 2＝3x ，故选C.2.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 、Q 是抛物线上的两个点，若△PQF 是边长为2的正三角形，则p 的值是( ) A.2±3B.2＋3C.3±1D.3－1 答案 A解析依题意得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212p ，y 1，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222p ，y 2(y 1≠y 2).由抛物线定义及|PF |＝|QF |，得y 212p ＋p 2＝y 222p ＋p 2，∴y 21＝y 22，∴y 1＝－y 2.又|PQ |＝2，因此|y 1|＝|y 2|＝1，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12p ，y 1.又点P 位于该抛物线上，于是由抛物线的定义得|PF |＝12p ＋p2＝2，由此解得p ＝2±3，故选A.3.设F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|的值是( ) A.6B.8C.9D.12 答案 D解析由抛物线方程，得F (2，0)，准线方程为x ＝－2. 设A ，B ，C 坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，则由抛物线的定义，知|FA |＋|FB |＋|FC |＝x 1＋2＋x 2＋2＋x 3＋2＝x 1＋x 2＋x 3＋6. 因为FA →＋FB →＋FC →＝0，所以(x 1－2＋x 2－2＋x 3－2，y 1＋y 2＋y 3)＝(0，0)，则x 1－2＋x 2－2＋x 3－2＝0，即x 1＋x 2＋x 3＝6，所以|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝|FA |＋|FB |＋|FC | ＝x 1＋x 2＋x 3＋6＝12，故选D.4.已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，点M (－2，2)，过点F 且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若∠AMB ＝90°，则k 等于( )A.2B.22C.12D.2 答案 D解析抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F (2，0)，由题意可知直线AB 的斜率一定存在，所以设直线方程为y ＝k (x －2)，代入抛物线方程可得 k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4＋8k2，x 1·x 2＝4，所以y 1＋y 2＝8k，y 1·y 2＝－16，因为∠AMB ＝90°，所以MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝16k 2－16k＋4＝0，解得k ＝2，故选D.5.已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( ) A.12B.23C.34D.43答案 D解析抛物线y 2＝2px 的准线为直线x ＝－p 2，而点A (－2，3)在准线上，所以－p2＝－2，即p ＝4，从而C ：y 2＝8x ，焦点为F (2，0).设切线方程为y －3＝k (x ＋2)，代入y 2＝8x 得k 8y 2－y ＋2k ＋3＝0(k ≠0)，①由于Δ＝1－4×k 8(2k ＋3)＝0，所以k ＝－2或k ＝12. 因为切点在第一象限，所以k ＝12. 将k ＝12代入①中，得y ＝8，再代入y 2＝8x 中得x ＝8，所以点B 的坐标为(8，8)，所以直线BF 的斜率为86＝43. 6.已知A (x 1，y 1)是抛物线y 2＝8x 的一个动点，B (x 2，y 2)是圆(x －2)2＋y 2＝16上的一个动点，定点N (2，0)，若AB ∥x 轴，且x 1<x 2，则△NAB 的周长l 的取值范围是( )A.(6，10)B.(10，12)C.(8，12)D.(8，10)解析抛物线的准线l ：x ＝－2，焦点F (2，0)，由抛物线定义可得|AF |＝x 1＋2，圆(x －2)2＋y 2＝16的圆心为(2，0)，半径为4，又定点N (2，0)，∴△NAB 的周长即为△FAB 的周长＝|AF |＋|AB |＋|BF |＝x 1＋2＋(x 2－x 1)＋4＝6＋x 2，由抛物线y 2＝8x 及B (x 2，y 2)在圆(x －2)2＋y 2＝16上，∴x 2∈(2，6)，∴6＋x 2∈(8，12)，故选C.7.如图，从点M (x 0，4)发出的光线，沿平行于抛物线y 2＝8x 的对称轴方向射向此抛物线上的点P ，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点Q ，再经抛物线反射后射向直线l ：x －y －10＝0上的点N ，经直线反射后又回到点M ，则x 0＝________.答案 6解析由题意得P (2，4)，F (2，0)⇒Q (2，－4)，因此N (6，－4)，因为QN ∥PM ，所以MN ⊥QN ，即x 0＝6.8.已知直线l 过点(0，2)，且与抛物线y 2＝4x 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则1y 1＋1y 2＝_____.答案 12解析由题意可得直线的斜率存在且不等于0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入抛物线y 2＝4x 可得y 2－4k y ＋8k＝0， ∴y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝8k ，∴1y 1＋1y 2＝y 1＋y 2y 1y 2＝12. 9.已知抛物线y 2＝4x 与经过该抛物线焦点的直线l 在第一象限的交点为A ，A 在y 轴和准线上的投影分别为点B ，C ，|AB ||BC |＝2，则直线l 的斜率为________.解析设A (x 0，y 0)，则|AB |＝x 0，|BC |＝1，由|AB ||BC |＝x 01＝2，得x 0＝2，y 0＝4×2＝22，又焦点F (1，0)，所以直线l 的斜率为k ＝222－1＝2 2. 10.已知双曲线x 2－y 23＝1上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，且MN 的中点在抛物线y 2＝18x 上，则实数m 的值为________.答案 0或－8解析因为点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，所以MN 的垂直平分线为y ＝x ＋m ，所以直线MN 的斜率为－1.设线段MN 的中点为P (x 0，x 0＋m )，直线MN 的方程为y ＝－x ＋b ，则x 0＋m ＝－x 0＋b ，所以b ＝2x 0＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ＋b ，x 2－y 23＝1得2x 2＋2bx －b 2－3＝0，所以x M ＋x N ＝－b ，所以x 0＝－b 2，所以b ＝m2，所以P (－m 4，34m ). 因为MN 的中点在抛物线y 2＝18x 上，所以916m 2＝－92m ，解得m ＝0或m ＝－8. 11.(2016·课标全国丙)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点.(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. (1)证明由题意知，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ，R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0.由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0.记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－ab a＝－b ＝k 2. 所以AR ∥FQ .(2)解设过AB 的直线为l ，l 与x 轴的交点为D (x 1，0)，则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 由题意可得|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝1，x 1＝0(舍去)，设满足条件的AB 的中点为E (x ，y ).当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1).而a ＋b 2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1).当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，此时E 点坐标为(1，0)满足y 2＝x －1.所以，所求轨迹方程为y 2＝x －1.12.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24； (2)1|AF |＋1|BF |为定值； (3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为(p 2，0). 由题意可设直线方程为x ＝my ＋p 2，代入y 2＝2px ，得y 2＝2p ⎝⎛⎭⎪⎫my ＋p 2，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*) 则y 1，y 2是方程(*)的两个实数根，所以y 1y 2＝－p 2. 因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以y 21y 22＝4p 2x 1x 2，所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 44p 2＝p 24. (2)1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24. 因为x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝|AB |－p ，代入上式，得1|AF |＋1|BF |＝|AB |p 24＋p 2(|AB |－p )＋p 24＝2p (定值). (3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |.所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.。

2024高考数学常考题型抛物线定义及性质常考5种题型(解析版)

第21讲抛物线定义及性质常考5种题型【考点分析】考点一：抛物线定义平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．考点二：抛物线焦点弦焦半径公式图1-3-1图1-3-2焦半径：21p x AF +=，22p x BF +=，||||1cos 1cos p p AF BF αα==-+；．焦点弦：1222||sin pAB x x p a=++=．三角形面积：22sin AOB p S △α=．【题型目录】题型一：抛物线的定义及方程题型二：抛物线的性质题型三：抛物线焦点弦焦半径题型四：有关三角形面积问题题型五：抛物线中的最值问题【典型例题】题型一：抛物线的定义及方程【例1】已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，抛物线上一点)0M y 满足3||2MF p =，则p =（）A ．1B ．2C ．12D ．32【例2】抛物线218y x =-的准线方程是（）A ．132x =B ．2y =C ．132y =D ．2y =-【例3】在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，若OFM△的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆面积为81π，则p =（）A ．6B ．8C ．10D ．12【例4】数学与建筑的结合造就建筑艺术，如图，吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，若将校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线2y ax =的一部分，其焦点坐标为()0,2-，校门最高点到地面距离约为18米，则校门位于地面宽度最大约为（）A ．18米B ．21米C ．24米D ．27米【例5】过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，分别过A 、B 两点作准线的垂线，垂足分别为11,A B 两点，以线段11A B 为直径的圆C 过点(2,3)-，则圆C 的方程为（）A ．22(1)(2)2x y ++-=B ．22(1)(1)5x y ++-=C ．22(1)(1)17x y +++=D ．22(1)(2)26x y +++=而圆心C 是线段11A B 的中点，又1AA ⊥显然直线AB 不垂直于y 轴，设直线AB 则4,4y y t y y +==-，||(y y -=【题型专练】1.已知抛物线24y x =，其焦点为F ，准线为l ，则下列说法正确的是（）A ．焦点F 到准线l 的距离为1B ．焦点F 的坐标为(1,0)C ．准线l 的方程为116y =-D ．对称轴为x 轴2.抛物线2:16C y x =的焦点为F ，点M 在C 上，12MF =，则M 到y 轴的距离是（）A ．4B ．8C ．10D ．123.已知抛物线2:2C y x =的焦点为,(,)F A m n 是抛物线C 上的一点，若52AF =，则OAF △(O 为坐标原点)的面积是（）A ．12B ．1C ．2D ．44．（2022·广东广州·高二期末）已知圆()2214x y -+=与抛物线()220x py p =>的准线相切，则p =（）A ．1B ．2C ．4D ．85.位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为5m ，跨径为12m ，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为______m ．【答案】185##3.6【分析】首先建立直角坐标系，再根据抛物线所过的点求标准方程，进而得到抛物线的焦点到准线的距离.【详解】以抛物线的最高点O 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的解析式为22x py =-，因为抛物线过点()6,5-，所以36所以抛物线的焦点到准线的距离为题型二：抛物线的性质【例1】抛物线()220x py p =>的焦点为F ，其准线与双曲线22133y x -=相交于A ，B 两点，若ABF 为等边三角形，则p =（）A ．2B ．12C ．6D ．16【例2】已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，点P 在抛物线C 上，PQ 垂直l 于点Q ，QF 与y 轴交于点T ，O 为坐标原点，且1OT =，则PF =（）A ．1B ．2C ．3D ．4【例3】已知P ，Q 是抛物线2:4C x y =上位于不同象限的两点，分别过P ，Q 作C 的切线，两条切线相交于点T ，F 为C 的焦点，若2=FP ，5FQ =，则F T =（）A ．5B C ．D ．4【答案】B根据抛物线的定义，可知1P FP y =+=所以P 的纵坐标为1，Q 的纵坐标为4，则由24x y =得24x y =，得2x y '=，所以抛物线在得到两条切线方程并联立124y x y x =--⎧⎨=-⎩，解得所以()2212110FT =+--=．故选：B【例4】已知点A 是抛物线C ：22x y =上一点，F 为焦点，O 为坐标原点，若以点O 为圆心，以OA 的长为半径的圆与抛物线C 的另一个交点为B ，且π3AOB ∠=，则AF 的值是（）A ．112B ．6C ．132D ．7【例5】（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C y px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（）A ．直线AB 的斜率为B ．||||OB OF =C ．||4||AB OF >D ．180OAM OBM ∠+∠<︒【题型专练】1．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线与抛物线交于点A 、B ，与直线l 交于点D ，若3AF FB =，4BD = ，则p =（）A ．1B ．3C ．2D ．4【答案】B【分析】作出辅助线，由抛物线定义得到则11BB FK AA ∥∥．根据抛物线定义知又3AF FB = ，4BD = ，所以设1DBB θ∠=，因为1BB ∥则11cos BB AA DBDAAB θ===2.已知抛物线()2:20C y px p =>过点()1,2B ，过点()1,0A -的直线交抛物线于M ，N 两点，点N 在点M 右侧，若F 为焦点，直线NF ，MF 分别交抛物线于P ，Q 两点，则（）A ．4MF NF ⋅>B ．2OM ON OB ⋅=C ．A ，P ，Q 三点共线D ．4AMP π∠≤3.已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在抛物线C 上，O 为原点，若OAF △为等腰三角形，则点A 的横坐标可能为（）A ．2B 1C 2D ．24.设抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，以F 为圆心，FA 为半径的圆交l 于B ，D 两点，若90ABD ∠=︒，且ABF 的面积为）A ．3BF =B ．ABF 是等边三角形C ．点F 到准线的距离为3D ．抛物线C 的方程为212y x=因为以F 为圆心，|FA |为半径的圆交l 由抛物线的定义可得|AB |＝|AF |＝|BF |所以ABF 是等边三角形，故B 正确；所以∠FBD ＝30°.因为ABF 的面积为34|BF |2＝93，所以|BF |＝6.故A 错误；5.已知C ：()220y px p =>的焦点为FF 的直线l 与抛物线C 交于点A ，B 两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D ，若4AF =，则（）A ．2p =B ．F 为线段AD 的中点C ．2BD BF =D ．2BF =6.已知点F 是抛物线2:8E y x =的焦点，A ，B ，C 为E 上三点，且0FA FB FC ++=，则||||||FA FB FC ++=___________．【答案】12【分析】根据题意可得F 为△ABC 的重心，根据重心坐标公式再结合抛物线定义1||2FA x =+代入整理计算．题型三：抛物线焦点弦焦半径【例1】过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于点A ，B ，若2,AF FB =若直线l 的斜率为k ，则k =（）A ．B ．-C ．-D 或【例2】已知抛物线2:4E y x =的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线与E 交于,A B 两点，,C D 分别为,A B 在l 上的射影，则下列结论正确的是（）A ．若直线AB 的倾斜角为45 ，则8AB =B ．若2AF FB =，则直线AB 的斜率为±C ．若O 为坐标原点，则,,B O C 三点共线^ D．CF DF消x 可得222440,Δ(4)1616160,y m y m m --==-+=+>121244y y m y y +=⎧⎨⋅=-⎩，()()122,,2,FC y FD y =-=-，所以()()12122,2,40FC FD y y y y ⋅=-⋅-=+=，即CF DF ^，故D 正确.故选：ACD.【例3】已知抛物线24y x =，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则||||AC BD +的最小值为（）A ．32B ．2C ．3D ．5【题型专练】1.（2022·全国·高考真题（文））设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF =，则AB =（）A ．2B ．C ．3D ．【答案】B 【解析】【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点A 的横坐标，进而求得点A 坐标，即可得到答案.【详解】由题意得，()1,0F ，则2AF BF ==，即点A 到准线1x =-的距离为2，所以点A 的横坐标为121-+=，不妨设点A 在x 轴上方，代入得，()1,2A ，所以AB ==故选：B2.设F 为抛物线2:6C y x =的焦点，过F 且倾斜角为60°的直线交C 于A ，B 两点，则AB =（）A ．3B ．8C ．12D ．3．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，过点(0,1)B -的直线交C 于P ，Q 两点，则（）A ．C 的准线为1y =-B ．直线AB 与C 相切C ．2|OP OQ OA ⋅>D ．2||||||BP BQ BA ⋅>4.已知抛物线2:4C y x =的焦点F ，过F 分别作直线1l 与C 交于A ，B 两点，作直线2l 与C 交于D ，E 两点，若直线1l 与2l 的斜率的平方和为1，则AB DE +的最小值为_________题型四：有关三角形面积问题【例1】经过抛物线C ：24y x =的焦点F 的直线l 与抛物线交于不同的两点A ，B ，若AOB S =△O 为坐标原点），则直线l 的斜率为______．【例2】抛物线22(0)y px p =>的焦点为F，直线20l y --=与抛物线分别交于A B ，两点（点A 在第一象限），则AOF AOBS S 的值等于________.【答案】34【题型专练】1.2:4C y x =的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则三角形AOB 的面积是（O 为坐标原点）（）A B C ．3D ．1632.已知斜率为()0k k >的直线过抛物线C ：24y x =的焦点F 且与抛物线C 相交于,A B 两点，过,A B 分别作该抛物线准线的垂线，垂足分别为1A ，1B ，若1ABB △与1ABA △的面积之比为2，则k 的值为（）A B ．12C ．2D ．由抛物线C ：24y x =，得(1,0F题型五：抛物线中的最值问题【例1】设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22y x =上任意一点，M 是线段PF 上的点，且2PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值为（）A ．1B ．12C ．2D 【例2】已知P 为抛物线24y x =上任意一点，F 为抛物线的焦点，()4,2M 为平面内一定点，则PF PM+的最小值为__________．当,,P M A 共线时，和最小；过点最小值为5.故答案为：5.【例3】已知F 是抛物线24y x =的焦点，P 是抛物线24y x =上一动点，Q 是()()22:411C x y -+-= 上一动点，则下列说法正确的有（）A ．PF 的最小值为1B ．QFC ．PF PQ +的最小值为4D ．PF PQ +1【答案】AC【分析】根据抛物线的性质判断A ，根据圆的性质判断B ，结合抛物线的定义判断C ，D.【详解】抛物线焦点为()1,0F ，准线为1x =-，作出图象，【例4】已知抛物线2:8C y x =及圆22():21M x y -+=，过()2,0的直线l 与抛物线C 和圆M 从上到下依次交于A ，P ，Q ，B 四点，则4AP BQ +的最小值为___________.圆心()2,0M 即为抛物线C 的焦点F .所以()(414AP BQ AF BF +=-+-【题型专练】1.已知点P 为抛物线24y x =-上的动点，设点P 到2:1l x=的距离为1d ，到直线40x y +-=的距离为2d ，则12d d +的最小值是（）A ．52B ．2C ．2D ()1,0F - ，则1210452d d --==++故选：B ．【点睛】抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点距离．牢记它对解题非常有益．2.已知抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，且33AF BF ==，则p =________；设点M 是抛物线C 上的任意一点，点N 是C 的对称轴与准线的交点，则MNMF的最大值为________.3.（2021·甘肃·民勤县第一中学高二开学考试（文））已知P 为抛物线24y x =上的一个动点，Q 为圆()2241x y +-=上的一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线准线的距离之和的最小值是______.14．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，且F 与圆()22:41M x y ++=上的点的距离的最小值4．(1)求p ；(2)若点P 在圆M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB △面积的最大值．）()11,A x y ，()22,B x y ，00(,)P x y ，由于点P 在圆。

高考数学抛物线大题专练30题(含详解)经典收藏版

目录目录-------------------------------------------------------------------------------------------------1抛物线大题专练（一）--------------------------------------------------------------------------------2抛物线大题专练（二）--------------------------------------------------------------------------------5抛物线大题专练（三）--------------------------------------------------------------------------------8抛物线大题专练---------------------------------------------------------------------------------------11参考答案与试题解析---------------------------------------------------------------------------------11抛物线大题专练（一）1．已知抛物线C的方程为x2=2py，设点M（x0，1）（x0＞0）在抛物线C上，且它到抛物线C的准线距离为；（1）求抛物线C的方程；（2）过点M作倾斜角互补的两条直线分别交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（M、A、B三点互不相同），求当∠MAB为钝角时，点A的纵坐标y1的取值范围．2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，过点M（0，﹣2）作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O）．直线l过点M与抛物线交于两点B，C，与直线OA交于点N．（1）求抛物线的方程；（2）试问：的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．3．如图所示，设F是抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点，过点F作斜率分别为k1、k2的两条直线l1、l2，且k1•k2=﹣1，l1与E相交于点A、B，l2与E相交于点C，D．已知△AFO外接圆的圆心到抛物线的准线的距离为3（O为坐标原点）．（1）求抛物线E的方程；（2）若•+•=64，求直线l1、l2的方程．4．已知抛物线C：y2=2px（p＞0），点A、B在抛物线C上．（Ⅰ）若直线AB过点M（2p，0），且|AB|=4p，求过A，B，O（O为坐标原点）三点的圆的方程；（Ⅱ）设直线OA、OB的倾斜角分别为α，β且α+β=，问直线AB是否会过某一定点？若是，求出这一定点的坐标，若不是，请说明理由．5．已知点A（2，1）在抛物线E：x2=ay上，直线l1：y=kx+1（k∈R，且k≠0）与抛物线E相交于B，C两点，直线AB，AC分别交直线l2：y=﹣1于点S，T．（1）求a的值；（2）若|ST|=2，求直线l1的方程；（3）试判断以线段ST为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由．6．已知抛物线y2=2px（p＞0），焦点为F，一直线l与抛物线交于A、B两点，且|AF|+|BF|=8，且AB的垂直平分线恒过定点S（6，0）①求抛物线方程；②求△ABS面积的最大值．7．已知抛物线y2=4x，直线l：y=﹣x+b与抛物线交于A，B两点．（Ⅰ）若x轴与以AB为直径的圆相切，求该圆的方程；（Ⅱ）若直线l与y轴负半轴相交，求△AOB面积的最大值．8．抛物线M：y2=2px（p＞0）的准线过椭圆N：+y2=1的左焦点，以原点为圆心，以t（t＞0）为半径的圆分别与抛物线M在第一象限的图象以及y轴的正半轴相交于点A和B，直线AB与x轴相交于点C．（Ⅰ）求抛物线M的方程；（Ⅱ）设点A的横坐标为a，点C的横坐标为c，抛物线M上点D的横坐标为a+2，求直线CD的斜率．9．已知抛物线y2=4x的焦点为F2，点F1与F2关于坐标原点对称，以F1，F2为焦点的椭圆C，过点（1，），（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设T（2，0），过点F2作直线l与椭圆C交于A，B两点，且=λ，若λ∈[﹣2，﹣1]，求|+|2的最小值．抛物线大题专练（二）10．（2015•福建模拟）如图，已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点P（2，0）且斜率为k1的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，直线AF、BF分别与抛物线交于点M、N．（Ⅰ）证明•的值与k1无关；（Ⅱ）记直线MN的斜率为k2，证明为定值．11．已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且•=﹣3，其中O为坐标原点．（1）求p的值；（2）当|AM|+4|BM|最小时，求直线l的方程．12．已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且•=﹣3，其中O为坐标原点．（1）求p的值；（2）若圆x2+y2﹣2x=0与直线l相交于以C，D（A，C两点均在第一象银），且线段AC，CD，DB长构成等差数列，求直线l的方程．13．已知点A（﹣4，4）、B（4，4），直线AM与BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率之差为﹣2，点M的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；（Ⅱ）Q为直线y=﹣1上的动点，过Q做曲线C的切线，切点分别为D、E，求△QDE的面积S的最小值．14．如图所示，已知过抛物线x2=4y的焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点．（1）求证：以AF为直径的圆与x轴相切；（2）设抛物线x2=4y在A，B两点处的切线的交点为M，若点M的横坐标为2，求△ABM的外接圆方程：（3）设过抛物线x2=4y焦点F的直线l与椭圆+=1的交点为C、D，是否存在直线l使得|AF|•|CF|=|BF|•|DF|，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．15．已知抛物线C：y2=2px（p＞0），直线交此抛物线于不同的两个点A（x1，y1）、B（x2，y2）（1）当直线过点M（p，0）时，证明y1．y2为定值；（2）如果直线过点M（p，0），过点M再作一条与直线垂直的直线l′交抛物线C于两个不同点D、E．设线段AB的中点为P，线段DE的中点为Q，记线段PQ的中点为N．问是否存在一条直线和一个定点，使得点N到它们的距离相等？若存在，求出这条直线和这个定点；若不存在，请说明理由．16．（2014•陕西）如图，曲线C由上半椭圆C1：+=1（a＞b＞0，y≥0）和部分抛物线C2：y=﹣x2+1（y≤0）连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q（均异于点A，B），若AP⊥AQ，求直线l的方程．17．（2014•山东）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．18．（2014•安徽）如图，已知两条抛物线E1：y2=2p1x（p1＞0）和E2：y2=2p2x（p2＞0），过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1、A2两点，l2与E1、E2分别交于B1、B2两点．（Ⅰ）证明：A1B1∥A2B2；（Ⅱ）过O作直线l（异于l1，l2）与E1、E2分别交于C1、C2两点．记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值．19．（2014•福建）已知曲线Γ上的点到点F（0，1）的距离比它到直线y=﹣3的距离小2．（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A．直线y=3分别与直线l及y轴交于点M，N，以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B，试探究：当点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论．20．（2014•江西）如图，已知抛物线C：x2=4y，过点M（0，2）任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D（O为坐标原点）．（1）证明：动点D在定直线上；（2）作C的任意一条切线l（不含x轴），与直线y=2相交于点N1，与（1）中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2﹣|MN1|2为定值，并求此定值．抛物线大题专练（三）21．（2014•杭州二模）设抛物线Γ：y2=2px（p＞0）过点（t，）（t是大于0的常数）．（Ⅰ）求抛物线Γ的方程；（Ⅱ）若F是抛物线Γ的焦点，斜率为1的直线交抛物线Γ于A，B两点，x轴负半轴上的点C，D满足|FA|=|FC|，|FD|=|FB|，直线AC，BD相交于点E，当时，求直线AB的方程．22．（2014•包头一模）设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，l与x轴交于点R，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．（1）若∠BFD=120°，△ABD的面积为8，求p的值及圆F的方程；（2）在（1）的条件下，若A，B，F三点在同一直线上，FD与抛物线C交于点E，求△EDA的面积．23．（2014•长春三模）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|=8．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求的最小值．24．（2014•长沙二模）已知A、B为抛物线C：y2=4x上的两个动点，点A在第一象限，点B在第四象限，l1、l2分别过点A、B且与抛物线C相切，P为l1、l2的交点．（Ⅰ）若直线AB过抛物线C的焦点F，求证：动点P在一条定直线上，并求此直线方程；（Ⅱ）设C、D为直线l1、l2与直线x=4的交点，求△PCD面积的最小值．25．（2015•上海模拟）如图，直线l：y=kx+b与抛物线x2=2py（常数p＞0）相交于不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且|x2﹣x1|=h（h为定值），线段AB的中点为D，与直线l：y=kx+b平行的切线的切点为C（不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点为切点）．（1）用k、b表示出C点、D点的坐标，并证明CD垂直于x轴；（2）求△ABC的面积，证明△ABC的面积与k、b无关，只与h有关；（3）小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小张连AC、BC，再作与AC、BC平行的切线，切点分别为E、F，小张马上写出了△ACE、△BCF的面积，由此小张求出了直线l与抛物线围成的面积，你认为小张能做到吗？请你说出理由．26．（2014•乌鲁木齐三模）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点过F，过H（﹣，0）引直线l交此抛物线于A，B两点．（1）若直线AF的斜率为2，求直线BF的斜率；（2）若p=2，点M在抛物线上，且+=t，求t的取值范围．27．（2014•太原二模）已知抛物线y2=4x的焦点为F，直线l1与抛物线交于不同的两点A、B，直线l2与抛物线交于不同的两点C、D．（Ⅰ）当l1过F时，在l1上取不同于F的点P，使得=，求点P的轨迹方程；（Ⅱ）若l1与l2相交于点Q，且倾斜角互补时，|QA|•|QB|=a|QC|•|QD|，求实数a的值．28．（2014•合肥一模）已知△ABC的三个顶点都在抛物线y2=2px（p＞0）上，且抛物线的焦点F满足，若BC边上的中线所在直线l的方程为mx+ny﹣m=0（m，n为常数且m≠0）．（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）O为抛物线的顶点，△OFA、△OFB、△OFC的面积分别记为S1、S2、S3，求证：为定值．29．（2014•呼和浩特一模）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），直线l过定点A（4，0）且与抛物线C交于P、Q两点，若以弦PQ为直径的圆E过原点O．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）当圆E的面积最小时，求E的方程．30．（2014•普陀区一模）已知点P（2，0），点Q在曲线C：y2=2x上．（1）若点Q在第一象限内，且|PQ|=2，求点Q的坐标；（2）求|PQ|的最小值．抛物线大题专练参考答案与试题解析1．已知抛物线C的方程为x2=2py，设点M（x0，1）（x0＞0）在抛物线C上，且它到抛物线C的准线距离为；（1）求抛物线C的方程；（2）过点M作倾斜角互补的两条直线分别交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（M、A、B三点互不相同），求当∠MAB为钝角时，点A的纵坐标y1的取值范围．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由抛物线的定义，求出p，即可求抛物线C的方程；（2）设直线AM的方程为：y=k（x﹣1）+1，与抛物线方程联立，求出k的范围，利用，即可求出点A的纵坐标y1的取值范围．解答：解：（1）由定义得，则抛物线C的方程：x2=y（2）设直线AM的方程为：y=k（x﹣1）+1联立方程得x2﹣kx+k﹣1=0，A（k﹣1，（k﹣1）2），△1＞0即k≠2同理B（﹣k﹣1，（﹣k﹣1）2），△2＞0即k≠﹣2，令，则所以k＞2或，所以点评：本题考查抛物线的定义与方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．2．（2015•淮安一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，过点M（0，﹣2）作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O）．直线l过点M与抛物线交于两点B，C，与直线OA交于点N．（1）求抛物线的方程；（2）试问：的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由抛物线的准线方程可得p，进而得到抛物线方程；（2）求出函数y=﹣的导数，求出切线的斜率，以及切线方程，联立切线方程和抛物线方程求得切点A，进而直线OA的方程，设出直线BC的方程，联立抛物线方程运用韦达定理，求出N的坐标，代入所求式子化简即可得到定值2．解答：解：（1）由题设知，，即，所以抛物线的方程为y2=x；（2）因为函数的导函数为，设A（x0，y0），则直线MA的方程为，因为点M（0，﹣2）在直线MA上，所以﹣2﹣y0=﹣•（﹣x0）．联立，解得A（16，﹣4），所以直线OA的方程为．设直线BC方程为y=kx﹣2，由，得k2x2﹣（4k+1）x+4=0，所以．由，得．所以，故的为定值2．点评：本题考查抛物线的方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及导数的运用：求切线方程，考查运算能力，属于中档题和易错题．3．（2014•九江三模）如图所示，设F是抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点，过点F作斜率分别为k1、k2的两条直线l1、l2，且k1•k2=﹣1，l1与E相交于点A、B，l2与E相交于点C，D．已知△AFO外接圆的圆心到抛物线的准线的距离为3（O为坐标原点）．（1）求抛物线E的方程；（2）若•+•=64，求直线l1、l2的方程．考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）确定△AFO外接圆的圆心在线段OF的垂直平分线y=上，求出p，即可求抛物线E的方程；（2）利用•+•=64，结合韦达定理，基本不等式，即可求直线l1、l2的方程．解答：解：（1）由题意，F（0，），△AFO外接圆的圆心在线段OF的垂直平分线y=上，∴+=3，∴p=4．∴抛物线E的方程是x2=8y；（2）设直线l1的方程y=k1x+2，代入抛物线方程，得y2﹣（8k12+4）y+4=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=8k12+4，y1y2=4设C（x3，y3），D（x4，y4），同理可得y3+y4=+4，y3y4=4∴•+•=32+16（k12+）≥64，当且仅当k12=，即k1=±1时取等号，∴直线l1、l2的方程为y=x+2或y=﹣x+2．点评：本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，属于中档题．4．（2014•浙江二模）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），点A、B在抛物线C上．（Ⅰ）若直线AB过点M（2p，0），且|AB|=4p，求过A，B，O（O为坐标原点）三点的圆的方程；（Ⅱ）设直线OA、OB的倾斜角分别为α，β且α+β=，问直线AB是否会过某一定点？若是，求出这一定点的坐标，若不是，请说明理由．考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）求出A，B的坐标，可得三角形ABO是Rt△，从而可求过A，B，O三点的圆方程；（Ⅱ）直线AB的方程为：x=my+b，代入抛物线方程，利用韦达定理，结合α+β=，可得b=﹣2p﹣2mp，即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）∵直线AB过点M（2p，0），且|AB|=4p，∴直线x=2p与抛物线y2=2px的两个交点坐标分别是：A（2p，2p），B（2p，﹣2p），∴三角形ABO是Rt△，∴过A，B，O三点的圆方程是：（x﹣2p）2+y2=4p2；（Ⅱ）设点，直线AB的方程为：x=my+b，它与抛物线相交，由方程组消去x可得y2﹣2mpy﹣2pb=0，故y1+y2=2mp，y1y2=﹣2pb，这样，tan==即1=，所以b=﹣2p﹣2mp，∴直线AB的方程可以写成为：x=my﹣2p﹣2mp，即x+2p=m（y﹣2p），∴直线AB过定点（﹣2p，2p）．点评：本题考查圆的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查和角的正切公式，考查直线过定点，属于中档题．5．（2014•广州二模）已知点A（2，1）在抛物线E：x2=ay上，直线l1：y=kx+1（k∈R，且k≠0）与抛物线E相交于B，C两点，直线AB，AC分别交直线l2：y=﹣1于点S，T．（1）求a的值；（2）若|ST|=2，求直线l1的方程；（3）试判断以线段ST为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由．考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据点A（2，1）在抛物线E：x2=ay上，可求a的值；（2）y=kx+1代入抛物线方程，利用韦达定理，确定S，T的坐标，根据|ST|=2，即可求直线l1的方程；（3）确定以线段ST为直径的圆的方程，展开令x=0，即可求这两个定点的坐标．解答：解：（1）∵点A（2，1）在抛物线E：x2=ay上，∴a=4．…（1分）（2）由（1）得抛物线E的方程为x2=4y．设点B，C的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），依题意，，y=kx+1代入抛物线方程，消去y得x2﹣4kx﹣4=0，解得．∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4．…（2分）直线AB的斜率，故直线AB的方程为．…（3分）令y=﹣1，得，∴点S的坐标为．…（4分）同理可得点T的坐标为．…（5分）∴=．…（6分）∵，∴．由，得20k2=16k2+16，解得k=2，或k=﹣2，…（7分）∴直线l1的方程为y=2x+1，或y=﹣2x+1．…（9分）（3）设线段ST的中点坐标为（x0，﹣1），则=．…（10分）而|ST|2=，…（11分）∴以线段ST为直径的圆的方程为=．展开得．…（12分）令x=0，得（y+1）2=4，解得y=1或y=﹣3．…（13分）∴以线段ST为直径的圆恒过两个定点（0，1），（0，﹣3）．…（14分）点评：本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查圆的方程，考查学生的计算能力，属于中档题．6．（2015•兴国县一模）已知抛物线y2=2px（p＞0），焦点为F，一直线l与抛物线交于A、B两点，且|AF|+|BF|=8，且AB的垂直平分线恒过定点S（6，0）①求抛物线方程；②求△ABS面积的最大值．考点：抛物线的标准方程；抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：①利用点差法，确定AB中点M的坐标，分类讨论，根据AB的垂直平分线恒过定点S（6，0），即可求抛物线方程；②分类讨论，求出△ABS面积的表达式，即可求得其最大值．解答：解：①设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x0，y0）当直线的斜率存在时，设斜率为k，则由|AF|+|BF|=8得x1+x2+p=8，∴又得，∴所以依题意，∴p=4∴抛物线方程为y2=8x﹣﹣﹣﹣（6分）当直线的斜率不存在时，2p=8，也满足上式，∴抛物线方程为y2=8x②当直线的斜率存在时，由（2，y0）及，令y=0，得又由y2=8x和得：∴=﹣﹣﹣﹣（12分）当直线的斜率不存在时，AB的方程为x=2，|AB|=8，△ABS面积为∵，∴△ABS面积的最大值为．点评：本题考查抛物线的标准方程，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．7．（2015•路南区二模）已知抛物线y2=4x，直线l：y=﹣x+b与抛物线交于A，B两点．（Ⅰ）若x轴与以AB为直径的圆相切，求该圆的方程；（Ⅱ）若直线l与y轴负半轴相交，求△AOB面积的最大值．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）联立得y2+8y﹣8b=0．由此利用根的判别式、弦长公式，结合已知条件能求出圆的方程．（Ⅱ）由直线l与y轴负半轴相交，得﹣1＜b＜0，由点O到直线l的距离d=，得S△AOB=|AB|d=4．由此利用导数性质能求出△AOB的面积的最大值．解答：解：（Ⅰ）联立得：y2+8y﹣8b=0．依题意应有△=64+32b＞0，解得b＞﹣2．设A（x1，y1），B（x2，y2），设圆心Q（x0，y0），则应有x0=，y0==﹣4．因为以AB为直径的圆与x轴相切，得到圆半径为r=|y1|=4，又|AB|==．所以|AB|=2r，即=8，解得b=﹣．所以x0==2b+8=，所以圆心为（，﹣4）．故所求圆的方程为（x﹣）2+（y+4）2=16．．（Ⅱ）因为直线l与y轴负半轴相交，∴b＜0，又l与抛物线交于两点，由（Ⅰ）知b＞﹣2，∴﹣2＜b＜0，直线l：y=﹣x+b整理得x+2y﹣2b=0，点O到直线l的距离d==，所以∴S△AOB=|AB|d=﹣4b=4．令g（b）=b3+2b2，﹣2＜b＜0，g′（b）=3b2+4b=3b（b+），∴g（b）在（﹣2，﹣）增函数，在（﹣，0）是减函数，∴g（b）的最大值为g（﹣）=．∴当b=﹣时，△AOB的面积取得最大值．点评：本题主要考查圆的方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，考查直线与抛物线、圆等知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．8．（2015•大庆二模）抛物线M：y2=2px（p＞0）的准线过椭圆N：+y2=1的左焦点，以原点为圆心，以t（t＞0）为半径的圆分别与抛物线M在第一象限的图象以及y轴的正半轴相交于点A和B，直线AB与x轴相交于点C．（Ⅰ）求抛物线M的方程；（Ⅱ）设点A的横坐标为a，点C的横坐标为c，抛物线M上点D的横坐标为a+2，求直线CD的斜率．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由椭圆方程求出椭圆左焦点坐标，得到抛物线准线方程，从而求得p值，则抛物线方程可求；（Ⅱ）写出A的坐标，由|OA|=t列式求得t与A的坐标间的关系，求出直线BC的方程，把A代入BC方程，得到a，c的关系，然后直接代入斜率公式求直线CD的斜率．解答：解：（Ⅰ）∵椭圆N：+y2=1，∴c2=a2﹣b2=﹣1=，∴椭圆的左焦点为F1（﹣，0），∴﹣=﹣，则p=1．故M：y2=2x；（Ⅱ）由题意知，A（a，2a），∵|OA|=t，∴a2+2a=t2．由于t＞0，故有t=①由点B（0，t），C（c，0）的坐标知，直线BC的方程为+=1．又∵A在直线BC上，故有+=1．将①代入上式，得：+=1，解得c=a+2+．又∵D（a+2，2），∴直线CD的斜率为：k CD====﹣1．点评：本题主要抛物线方程的求法，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，解答此题的关键是对抛物线定义的灵活应用，是高考试卷中的压轴题．9．（2015•黄冈模拟）已知抛物线y2=4x的焦点为F2，点F1与F2关于坐标原点对称，以F1，F2为焦点的椭圆C，过点（1，），（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设T（2，0），过点F2作直线l与椭圆C交于A，B两点，且=λ，若λ∈[﹣2，﹣1]，求|+|2的最小值．考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由y2=4x求得c=1．设椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），由于椭圆C过点（1，），代入椭圆方程结合a2=b2+c2，联立解得即可；（II）设l：x=ky+1，与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，由λ∈[﹣2，﹣1）可得到k2的取值范围．由于=（x1﹣2，y1），=（x2﹣2，y2），通过换元，令t=∈[，]，即可得出|+|2的最小值．解答：解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由y2=4x得c=1，设椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），∵椭圆C过点（1，），∴，又a2=b2+1，联立解得b2=1，a2=2．故椭圆C的标准方程为椭圆方程为+y2=1…（5分）（Ⅱ）由题意可设l：x=ky+1，由得（k2+2）y2+2ky﹣1=0…（6分）设A（x1，y1），B（x2，y2），则有将①2÷②得+2=﹣⇒λ++2=…（8分）由λ∈[﹣2，﹣1]得﹣≤λ++2≤0⇒﹣≤≤0，0≤k2≤…（9分）=（x1﹣2，y1），=（x2﹣2，y2），+=（x1+x2﹣4，y1+y2）x1+x2﹣4=k（y1+y2）﹣2=﹣，|+|=+==16﹣+令t=∈[，]，|+|2=8t2﹣28t+16∴t=时|+|2的最小值是4点评：本题综合考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数、换元法、分类讨论、向量相等及其向量运算和向量的模等基础知识与基本技能方法，考查了分析问题和解决问题的能力，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．10．（2015•福建模拟）如图，已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点P（2，0）且斜率为k1的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，直线AF、BF分别与抛物线交于点M、N．（Ⅰ）证明•的值与k1无关；（Ⅱ）记直线MN的斜率为k2，证明为定值．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）依题意，设直线AB的方程为x=my+2，与抛物线方程联立消x得关于y的一元二次方程，根据韦达定理即可求得y1y2，进而求出x1x2，根据向量数量积运算公式，可得•的值与k1无关；（Ⅱ）设M（x3，y3），N（x4，y4），设直线AM的方程为x=ny+1，将其代入y2=4x，消去x，得到关于y的一元二次方程，从而得y1y3=﹣4，同理可得y2y4=﹣4，根据斜率公式可把表示成关于y1与y2的表达式，再借助（Ⅰ）的结果即可证明．解答：证明：（Ⅰ）依题意，设直线AB的方程为x=my+2（m≠0）．…（1分）将其代入y2=4x，消去x，整理得y2﹣4my﹣8=0．…（2分）从而y1y2=﹣8，于是，…（3分）∴与k 1无关．…（5分）（Ⅱ）设M（x3，y3），N（x4，y4）．则．…（8分）设直线AM的方程为x=ny+1（n≠0），将其代入y2=4x，消去x，整理得y2﹣4ny﹣4=0∴y1y3=﹣4．同理可得y2y4=﹣4．…（10分）故，…（11分）由（Ⅰ）知，y1y2=﹣8，∴为定值．…（12分）点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及抛物线的简单性质，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，难度较大．11．（2015•洛阳一模）已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且•=﹣3，其中O为坐标原点．（1）求p的值；（2）当|AM|+4|BM|最小时，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：计算题；平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设A（x1，y1），Bx2，y2），直线l：x=my+，代入抛物线方程，运用韦达定理，及平面向量的数量积的坐标表示，即可得到p=2；（2）运用抛物线的定义，及均值不等式，即可得到最小值9，注意等号成立的条件，求得B的坐标，代入直线方程，求得m，即可得到直线l的方程．解答：解：（1）设A（x1，y1），Bx2，y2），直线l：x=my+，代入抛物线方程，消去x，得，y2﹣2pmy﹣p2=0，y1+y2=2pm，y1y2=﹣p2，由于•=﹣3，即x1x2+y1y2=﹣3，x1x2==，即有﹣p2=﹣3，解得，p=2；（2）由抛物线的定义，可得，|AM|=x1+1，|BM|=x2+1，则|AM|+4|BM|=x 1+4x2+5+5=9，当且仅当x1=4x2时取得最小值9．由于x1x2=1，则解得，x2=（负的舍去），代入抛物线方程y2=4x，解得，y2=，即有B（），将B的坐标代入直线x=my+1，得m=．则直线l：x=y+1，即有4x+y﹣4=0或4x﹣y﹣4=0．点评：本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，消去未知数，运用韦达定理，考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．12．（2015•洛阳一模）已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且•=﹣3，其中O为坐标原点．（1）求p的值；（2）若圆x2+y2﹣2x=0与直线l相交于以C，D（A，C两点均在第一象银），且线段AC，CD，DB长构成等差数列，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程．专题：计算题；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设A（x1，y1），Bx2，y2），直线l：x=my+，代入抛物线方程，运用韦达定理，及平面向量的数量积的坐标表示，即可得到p=2；（2）求出AB的长，用m表示，再由等差数列的性质，以及CD为圆的直径，即可得到m的方程，解出m，即可得到直线l的方程．解答：解：（1）设A（x1，y1），Bx2，y2），直线l：x=my+，代入抛物线方程，消去x，得，y2﹣2pmy﹣p2=0，y1+y2=2pm，y1y2=﹣p2，由于•=﹣3，即x1x2+y1y2=﹣3，x1x2==，即有﹣p2=﹣3，解得，p=2；（2）由（1）得，y1+y2=4m，y1y2=﹣4，则（y1﹣y2）2=（y1+y2）2﹣4y1y2=16（1+m2），|AB|2=（y1﹣y2）2+（x1﹣x2）2=（y1﹣y2）2+（）2=y1﹣y2）2[1+（）2]=16（1+m2）2，即有|AB|=4（1+m2），由于线段AC，CD，DB长构成等差数列，则2|CD|=|AC|+|DB|=|AC|+|BC|﹣|CD|=|AB|﹣|CD|，又CD为圆x2+y2﹣2x=0的直径，即有|CD|=2，则4（1+m2）=6，解得，m=，则直线l的方程是x+y﹣=0或x﹣y﹣=0．点评：本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，消去未知数，运用韦达定理，考查等差数列的性质，考查运算能力，属于中档题．13．（2015•衡水模拟）已知点A（﹣4，4）、B（4，4），直线AM与BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率之差为﹣2，点M的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；（Ⅱ）Q为直线y=﹣1上的动点，过Q做曲线C的切线，切点分别为D、E，求△QDE的面积S的最小值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）设M（x，y），由题意可得：，化简可得曲线C的轨迹方程为x2=4y且（x≠±4）．（II）设Q（m，﹣1），切线方程为y+1=k（x﹣m），与抛物线方程联立化为x2﹣4kx+4（km+1）=0，由于直线与抛物线相切可得△=0，即k2﹣km﹣1=0．解得x=2k．可得切点（2k，k2），由k2﹣km﹣1=0．可得k1+k2=m，k1•k2=﹣1．得到切线QD⊥QE．因此△QDE为直角三角形，|QD|•|QE|．令切点（2k，k2）到Q的距离为d，则d2=（2k﹣m）2+（k2+1）2=（4+m2）（k2+1），利用两点之间的距离公式可得|QD|=，|QE|=，代入即可得出．解答：解：（I）设M（x，y），由题意可得：，化为x2=4y．∴曲线C的轨迹方程为x2=4y且（x≠±4）．（II）设Q（m，﹣1），切线方程为y+1=k（x﹣m），联立，化为x2﹣4kx+4（km+1）=0，由于直线与抛物线相切可得△=0，即k2﹣km﹣1=0．∴x2﹣4kx+4k2=0，解得x=2k．可得切点（2k，k2），由k2﹣km﹣1=0．∴k1+k2=m，k1•k2=﹣1．∴切线QD⊥QE．∴△QDE为直角三角形，|QD|•|QE|．令切点（2k，k2）到Q的距离为d，则d2=（2k﹣m）2+（k2+1）2=4（k2﹣km）+m2+（km+2）2=4（k2﹣km）+m2+k2m2+4km+4=（4+m2）（k2+1），∴|QD|=，|QE|=，∴（4+m2）=≥4，当m=0时，即Q（0，﹣1）时，△QDE的面积S取得最小值4．点评：本题考查了直线与抛物线相切的性质、切线方程、相互垂直的斜率之间的关系、两点之间的距离公式、三角形的面积计算公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．14．（2015•郴州二模）如图所示，已知过抛物线x2=4y的焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点．（1）求证：以AF为直径的圆与x轴相切；（2）设抛物线x2=4y在A，B两点处的切线的交点为M，若点M的横坐标为2，求△ABM的外接圆方程：（3）设过抛物线x2=4y焦点F的直线l与椭圆+=1的交点为C、D，是否存在直线l使得|AF|•|CF|=|BF|•|DF|，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）如图所示，设线段AF的中点为O1，过O1作O1O2⊥x轴，垂足为点O2，作AA1⊥x轴．利用抛物线的定义及梯形的中位线定理可得可得r====|O1O2|，即可证明；（2）设直线AB的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．与抛物线方程联立化为x2﹣4kx﹣4=0，可得根与系数的关系，由x2=4y，可得．可得k MA•k MB==﹣1，可得△MAB为直角三角形，可得△MAB的外接圆的圆心为线段AB的中点．设线段AB的中点为P，可得⊙P与抛物线的准线相切，切点为点M，利用中点坐标公式与根与系数的关系可得圆心P（2，3），半径r=|MP|=|3﹣（﹣1）|=4，即可得出所求的△MAB的外接圆的方程．（3）假设存在直线l使得|AF|•|CF|=|BF|•|DF|，设=λ，可得，，设C（x3，y3），D （x4，y4）．利用向量的坐标运算可得x1=﹣λx2，x4=﹣λx3．把x1=﹣λx2代入根与系数的关系可得．把y=kx+1代入椭圆方程可得（3k2+6）x2+6kx﹣1=0，把根与系数的关系与x4=﹣λx3联立可得，联立解得即可．解答：（1）证明：如图所示，设线段AF的中点为O1，过O1作O1O2⊥x轴，垂足为点O2，作AA1⊥x轴．则r====|O1O2|，∴r=|O1O2|，∴以AF为直径的圆与x轴相切；（2）解：设直线AB的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为x2﹣4kx﹣4=0，∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4．。

高二数学抛物线试题答案及解析

高二数学抛物线试题答案及解析1.已知定点在抛物线的内部，为抛物线的焦点，点在抛物线上，的最小值为4，则= ．【答案】4【解析】由下图可知：当点Q移动到点M时最小，又因为点所以抛物线的准线方程为,所以即．【考点】抛物线的定义及性质．2.如图，抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，点，，均在抛物线上．（Ⅰ）写出该抛物线的方程及其准线方程；（Ⅱ）当与的斜率存在且倾斜角互补时，求的值及直线的斜率．【答案】(1)抛物线的方程是, 准线方程是．；（2）1．【解析】(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程；（2）在解决与抛物线性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此；(3)求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，求出的值．试题解析：（I）由已知条件，可设抛物线的方程为因为点在抛物线上,所以，得．故所求抛物线的方程是, 准线方程是．（II）设直线的方程为，即：，代入，消去得：．设，由韦达定理得：，即：．将换成，得，从而得：，直线的斜率．【考点】(1)抛物线的方程；（2）直线与抛物线的综合问题．3.设抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于、两点，分别过、两点作抛物线的两条切线交于点，则有（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】设出过点F的直线方程即，联立方程组，化简整理得，设，，则由韦达定理得，．，．由可得，，所以，所以抛物线在A,B两点处的切线的斜率分别为，．所以在点A处的切线方程为，即．同理在点B处的切线方程为．于是解方程组可得，，所以点C的坐标为．所以故答案应选A．【考点】直线与抛物线的位置关系；向量的数量积．4.已知抛物线:与点，过的焦点且斜率为的直线与交于,两点，若，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题可得抛物线的焦点坐标为，则过的焦点且斜率为的直线方程为，设直线与抛物线的交点坐标分别为，，则由得，则有，，所以得，，又，，因为所以有，即，即，所以，选D【考点】抛物线的概念、向量的运算5.以抛物线上的任意一点为圆心作圆与直线相切，这些圆必过一定点，则这一定点的坐标是（）A．B．（2，0）C．（4，0）D．【答案】B【解析】画出如下示意图，可知，抛物线的焦点F坐标为(2,0)，准线方程为直线x=-2，根据抛物线的定义,取抛物线上任意一点P，则R=PH=PF，因此所画的圆必过焦点(2,0).【考点】抛物线的定义.6.抛物线y＝x2到直线 2x－y＝4距离最近的点的坐标是 .【答案】【解析】设与直线平行的直线方程为，将和联立消去并整理可得，即时直线与相切。

高考数学专题13 抛物线解答题解法荟萃(解析版)

专题13 抛物线解答题解法荟萃一．【学习目标】1.掌握抛物线的定义；2.掌握焦点三角形的应用和几何意义；3.掌握抛物线方程的求法；4.掌握直线与抛物线的位置关系；5.熟练掌握定点、定值、最值和范围问题。

二．【知识点】 1．抛物线的定义平面内与一定点F 和一条定直线l 的距离______的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程、图形及几何性质标准y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p >0)方程图形焦点 )0,2(p F 准线x ＝p 2范围 ① x ≥0，y ∈R ② x ≤0，y ∈R③ x ∈R ，y ≥0 ④ x ∈R ，y ≤0对称轴 ⑤________ ⑥_________ 顶点 O (0，0) O (0，0) 离心率 e ＝1e ＝1开口⑦____ ⑧____⑨____ ⑩____3.抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点)0,2(pF 的距离|PF |＝x 0＋p 2.三．【方法总结】1.求抛物线标准方程的实质是求p 值，常用的方法是待定系数法，若开口不定时，可以设抛物线方程为y 2＝mx(m≠0)或x 2＝ny(n≠0).2.利用抛物线定义可知，抛物线的焦半径与焦点弦有许多特殊的性质，应用起来非常方便.如：已知AB 是抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点弦，且A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，点F 是抛物线的焦点(如图)，可以证明：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24. (2)|AB|＝x 1＋x 2＋p.(3)1|AF|＋1|BF|为定值2p .(4)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切. (5)以AF(或BF)为直径的圆与y 轴相切. (6)∠CFD ＝90°. 四．【题型方法】（一）抛物线的轨迹方程（二）定点问题（三）直线与抛物线涉及的面积问题（四）直线与抛物线中涉及的角的问题（五）定值问题（六）范围问题（七）抛物线与向量的综合（八）最值问题五．【题型举例】（一）抛物线的轨迹方程例1. 已知曲线()2C:2y x =+上有一点A ，定点()B 2,0，求线段AB 中点P 的轨迹方程。

专题23--抛物线(解答题压轴题)(解析版)-【挑战压轴题】备战2023年高考数学高分必刷必过题

(1)若1l 过抛物线C 的焦点，且垂直于(2)若直线1l 的斜率k ∈2MN MQ =，且MNQ △【答案】(1)22y x =1(1)若B为线段AC的中点，求直线(2)若正方形DFMN的边长为实数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求出【答案】(1)22；λ=，理由见解析(2)存在2（1）由已知可得DN为抛物线的准线．（2）λ=，使得k1＋k2＝λk3，理由如下：存在2(1)若抛物线2C的焦点正好为椭圆1C的上顶点，求(2)椭圆1C与抛物线2C在第一象限的交点为于点Q，交抛物线2C于点M（Q，M值，并求当p取最大时直线l的斜率．(1)证明：以DE为直径的圆经过点(1)求点P的纵坐标的取值范围；(2)设D是抛物线2Γ上一点，且位于椭圆PCD的面积存在最大值．【答案】(1)3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭；32⎛⎫(1)当k 取不同数值时，求直线l 与抛物线公共点的个数；(2)若直线l 与抛物线相交于A 、B (3)在x 轴上是否存在这样的定点均能使得MA MB k k ⋅为定值，若有，找出满足条件的点【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析(3)存在，()0,0M （1）420240x y x y -+-=+-=(1)写出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；(2)求证：1x 、0x 、2x 成等差数列，(3)若A ，F ，B 三点共线，求出动点【答案】(1)焦点坐标为()0,1F ，准线方程为(2)证明见解析(3)1y =-，4（1）(1)抛物线的标准方程为24x y =,于是焦点坐标为(1)若抛物线2C 的焦点恰为椭圆1C (2)若椭圆1C 与抛物线2C 在第一象限的交点为交抛物线2C 于M ，且AM MB =，求【答案】(1)28y x =(2)p 的最大值为3540，此时直线(1)求抛物线的方程；(2)若||||AB CD =，求凹四边形OEBC 面积的最小值．【答案】(1)24y x =(2)324+①若0m ≤，2(22)S m =++②若0m >，((21)2S m ⎡=+⎢⎣综上所述，凹四边形OEBC 面积的最小值是。

高考数学抛物线的定义及性质试题

11.抛物线的准线为，过且斜率为的直线与相交于点，与的一个交点为．假设，那么．2
12. 在平面直角坐标系中，假设抛物线上的点到该抛物线的焦点的间隔为6，那么点P的横坐标
13.过抛物线的焦点(jiāodiǎn)F作倾斜角为的直线(zhíxiàn)交抛物线于A、B两点，假设(jiǎshè)线段AB的长为8，那么(nà me) _____
A． B． C． D．
7.直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的间隔之和的最小值是〔〕A.2B.3C. D.
8.动点到点的间隔与它到直线的间隔相等，那么的轨迹方程为
9. 过抛物线的焦点的直线交该抛物线于、两点，，那么 ________
10.设抛物线的焦点为，点 .假设线段的中点在抛物线上，那么到该抛物线准线的间隔为_____________。
抛物线
1.抛物线的焦点(jiāodiǎn)坐标是〔〕A．〔2，0〕 B．〔- 2，0〕 C．〔4，0〕D．〔- 4，0〕
2.抛物线的焦点(jiāodiǎn)到准线的间隔是〔〕(A) (B)2 (C)4 (D)8
3. 抛物线，过其焦点且斜率(xiélǜ)为1的直线交抛物线与、两点，假设(jiǎshè)线段的中点的纵坐标为2，那么该抛物线的准线方程为 () 〔A〕 (B) (C) (D)
1—7 BCBCBDA 8. y28x 9. 2 10. 11. 212. 5 13. 2
内容总结
4.抛物线y2＝2px〔p>0〕的准线与圆〔x－3〕2＋y2＝16相切，那么p的值是〔〕
〔A〕〔B〕1〔C〕2〔D〕4
5.设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足，假如直线斜率为

2025届高考数学复习：压轴好题专项(抛物线中的切线问题)练习(附答案)

2025届高考数学复习：压轴好题专项(抛物线中的切线问题)练习1.（2023届云南省名校高三上学期月考）已知抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ,斜率为()0k k ≠的直线l 与E 相切于点A .(1)当=2k ,=5AF 时,求E 的方程；(2)若直线l '与l 平行,l '与E 交于B ,C 两点,且2BAC π∠=,设点F 到l '的距离为1d ,到l 的距离为2d ,试问：12d d 是否为定值？若是,求出定值；若不是,说明理由. 2.（2023届河南省北大公学禹州国际学校高三上学期月考）已知抛物线C 的顶点在坐标原点,焦点在y 轴的正半轴上,直线l ：10mx y +-=经过抛物线C 的焦点． (1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 与抛物线C 相交于A ,B 两点,过A ,B 两点分别作抛物线C 的切线,两条切线相交于点P ,求△ABP 面积的最小值．3．（2022届浙江省绍兴市高三上学期12月选考）已知抛物线C 的焦点是10,4⎛⎫⎪⎝⎭,如图,过点,(0)2⎫≤⎪⎪⎝⎭D t t 作抛物线C 的两条切线,切点分别是A 和B ,线段AB 的中点为M ．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）求证：直线//MD y 轴；（3）以线段MD 为直径作圆,交直线AB 于MN ,求||||||||AB MN AB MN -+ 的取值范围．4．（2022届山东省济宁市高三上学期期末）已知抛物线E ：22y px =（0p >）上一点()01,C y 到其焦点F 的距离为2．（1）求实数p 的值；（2）若过焦点F 的动直线l 与抛物线交于A 、B 两点,过A 、B 分别作抛物线的切线1l 、2l ,且1l 、2l 的交点为Q ,1l 、2l 与y 轴的交点分别为M 、N ．求QMN 面积的取值范围． 5.（2022届百校联盟高三上学期12月联考）已知曲线C 上任意一点到1(1,0)F -,2(1,0)F 距离之和为3,抛物线E ：22y px =的焦点是点2F.（1）求曲线C 和抛物线E 的方程；（2）点()()000,0Q x y x <是曲线C 上的任意一点,过点Q 分别作抛物线E 的两条切线,切点分别为M ,N ,求QMN 的面积的取值范围．6．（2022届四川省达州高三上学期诊断）过定点()0,1的动圆始终与直线l ：1y =-相切. （1）求动圆圆心的轨迹C 的方程；（2）动点A 在直线l 上,过点A 作曲线C 的两条切线分别交x 轴于B ,D 两点,当ABD △的面积是32时,求点A 坐标. 7．（2022届四川省成都市高三上学期考试）已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F .且F与圆()22:41M x y ++=上点的距离的最小值为4. （1）求抛物线的方程；（2）若点P 在圆M 上,PA ,PB 是C 的两条切线.A ,B 是切点,求PAB △面积的最大值.8．（2022届山西省怀仁市高三上学期期中）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ,准线与x 轴交于D 点,过点F 的直线与抛物线C 交于A ,B 两点,且FA FB FA FB ⋅=+. （1）求抛物线C 的方程；（2）设P ,Q 是抛物线C 上的不同两点,且PF x ⊥轴,直线PQ 与x 轴交于G 点,再在x 轴上截取线段GE GD =,且点G 介于点E 点D 之间,连接PE ,过点Q 作直线PE 的平行线l ,证明l 是抛物线C 的切线.9.已知抛物线2:2C x py =,点()4,4M -在抛物线C 上,过点M 作抛物线C 的切线,交x 轴于点P ,点O 为坐标原点． (1)求P 点的坐标；(2)点E 的坐标为()2,1--,经过点P 的直线交抛物线于A ,B 两点,交线段OM 于点Q ,记EA ,EB ,EQ 的斜率分别为1k ,2k ,3k ,是否存在常数λ使得123k k k λ+=．若存在,求出λ的值,若不存在,请说明理由．10．如图,已知()()1122,,A x y B x y ､为二次函数2(0)y ax a =>的图像上异于顶点的两个点,曲线2y ax =在点()()1122,,A x y B x y ､处的切线相交于点()00,P x y .(1)利用抛物线的定义证明：曲线2y ax =上的每一个点都在一条抛物线上,并指出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；(2)求证：102x x x ､､成等差数列,102y y y ､､成等比数列；(3)设抛物线2y ax =焦点为F ,过P 作PH 垂直准线l ,垂足为H ,求证：BPH APF ∠∠=. 11．已知抛物线22(0)x py p =>上的任意一点到(0,1)P 的距离比到x 轴的距离大1． (1)求抛物线的方程；(2)若过点(0,2)的直线l 与抛物线交于A ,B 两点,过A ,B 两点分别作抛物线的切线,两条切线交于点Q ,求QAB 重心G 的轨迹方程．12．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ,点()02,P y -为抛物线上一点,抛物线C 在点P处的切线与y 轴相交于点Q ,且FPQ △的面积为2． (1)求抛物线的方程．(2)若斜率不为0的直线l 过焦点F ,且交抛物线C 于A ,B 两点,线段AB 的中垂线与y 轴交于点M ,证明：MFAB为定值． 13．（2022届新未来4月联考）已知直线:10l x ky k -+-=与抛物线2:2(0)C y px p =>交于A ,B 两点,过A ,B 两点且与抛物线C 相切的两条直线相交于点D ,当直线l x ⊥轴时,||4AB =．(1)求抛物线C 的标准方程； (2)求||OD 的最小值．14．过原点O 的直线与拋物线C ：22y px =（0p >）交于点A ,线段OA 的中点为M ,又点()3,0P p ,PM OA ⊥．在下面给出的三个条件中任选一个填在横线处,并解答下列问题：①OA =②PM =；③POM 的面积为（1）______,求拋物线C 的方程；（2）在（1）的条件下,过y 轴上的动点B 作拋物线C 的切线,切点为Q （不与原点O 重合）,过点B 作直线l 与OQ 垂直,求证：直线l 过定点．注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分．15．已知抛物线22(0)x py y =>,其焦点为F ,抛物线上有相异两点()11,A x y ,()22,B x y ．（1）若//AF x 轴,且经过点A 的抛物线的切线经过点(1,0),求抛物线方程；（2）若2p =,且||||4AF BF +=,线段AB 的中垂线交x 轴于点C ,求ABC 面积的最大值． 16．设抛物线C ：22x py =（0p >）的焦点为F ,点(),2P m （0m >）在抛物线C 上,且满足3PF =．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点()0,4G 的直线l 与抛物线C 交于A ,B 两点,分别以A ,B 为切点的抛物线C 的两条切线交于点Q ,求三角形PQG 周长的最小值．17．已知圆()22:21C x y +-=与定直线:1l y =-,且动圆M 与圆C 外切并与直线l 相切.（1）求动圆圆心M 的轨迹E 的方程；（2）已知点P 是直线1:2l y =-上一个动点,过点P 作轨迹E 的两条切线,切点分别为A 、B .①求证：直线AB 过定点； ②求证：PCA PCB ∠=∠.18.设抛物线C ：()220x py p =>,其焦点为 F ,准线为l ,点P 为C 上的一点,过点P 作直线l 的垂线,垂足为M ,且MF FP =,2FM FP ⋅=.（1）求抛物线C 的方程；（2）设点Q 为C 外的一点且Q 点不在坐标轴上,过点Q 作抛物线C 的两条切线,切点分别为A ,B ,过点Q 作y 轴的垂线,垂足为S ,连接 AS ,BS ,证明：直线AS 与直线BS 关于y 轴对称.参考答案1.（2023届云南省名校高三上学期月考）已知抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ,斜率为()0k k ≠的直线l 与E 相切于点A .(1)当=2k ,=5AF 时,求E 的方程；(2)若直线l '与l 平行,l '与E 交于B ,C 两点,且2BAC π∠=,设点F 到l '的距离为1d ,到l 的距离为2d ,试问：12d d 是否为定值？若是,求出定值；若不是,说明理由. 【过程详解】（1）由22x py =得22x y p=,则x y p '=, 令2x p =,则2x p =,即2A x p =,()2222A p y p p== 则252pAF p =+=,所以=2p ,故抛物线E 的方程为24x y =. （2）设()2002,2A pt pt ,()2112,2B pt pt ,()2222,2C pt pt , 则切线l 的斜率0022pt k t p==, 则切线l 的方程为：()2000222y pt t x pt -=-,即20022y t x pt =-,221212122222BCpt pt k t t pt pt -==+-. 直线l '的方程为()()2112122y pt t t x pt -=+-,化简得()12122y t t x pt t =+-,因为l l '∥,所以1202t t t +=,由2BAC π∠=得222210201020222212222pt pt pt pt pt pt pt pt --⋅=---, 则()()10201t t t t +=-+,即012213t t t =--, 即200:2260l t x y p pt '-++=.由0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭,则20136p pt d +=,2022p pt d +==所以20122013223122p t d d p t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 故12d d 是定值,定值为3.2.（2023届河南省北大公学禹州国际学校高三上学期月考）已知抛物线C 的顶点在坐标原点,焦点在y 轴的正半轴上,直线l ：10mx y +-=经过抛物线C 的焦点．(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 与抛物线C 相交于A ,B 两点,过A ,B 两点分别作抛物线C 的切线,两条切线相交于点P ,求△ABP 面积的最小值．【过程详解】（1）由题意,设抛物线C 的方程为()220x py p =>,因为直线:10l mx y +-=经过()0,1,即抛物线C 的焦点(0,)2p F ,所以12p=,解得2p =, 所以抛物线C 的方程为24x y =.（2）设()11,A x y ､()22,B x y ,联立方程组2410x ymx y ⎧=⎨+-=⎩,整理得2440x mx +-=, 因为216160m ∆=+>,且124x x m +=-,124x x =-,()222121221212242444x x x x x x y y m +-+=+==+,()2221212414416x x y y -=⨯== 所以()21241AB y y p m =++=+,由24x y =,可得24x y =,则2x y '=, 所以抛物线C 经过点A 的切线方程是()1112x y y x x -=-,将2114x y =代入上式整理得21124x x y x =-,同理可得抛物线C 经过点B 的切线方程为22224x x y x =-,联立方程组2112222424x x y x x xy x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,解得1212,24x x x x x y +==,所以2,1x m y =-=-, 所以()2,1P m --到直线10mx y +-=的距离d ==所以ABP的面积()()322211414122S AB d m m ==⨯⨯+⨯=+,因为211m +≥,所以4S ≥,即当0m =时,4S =,所以ABP 面积的最小值为4.3．（2022届浙江省绍兴市高三上学期12月选考）已知抛物线C 的焦点是10,4⎛⎫⎪⎝⎭,如图,过点,(0)2⎫≤⎪⎪⎝⎭D t t 作抛物线C 的两条切线,切点分别是A 和B ,线段AB 的中点为M ．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）求证：直线//MD y 轴；（3）以线段MD 为直径作圆,交直线AB 于MN ,求||||||||AB MN AB MN -+ 的取值范围．【过程详解】（1）设抛物线的方程为()220x py p =>,由题意可得124p =,所以12p =,所以抛物线方程2y x =. （2）由（1）2y x =,因为2y x '=,设1122(,),(,)A x y B x y , 直线AD 的方程为2112y x x x =-,直线BD 的方程为2222y x x x =-,联立上述两直线方程,得D 点坐标1212,2+⎛⎫⎪⎝⎭x x D x x ,又因为M 点为线段AB 的中点,所以M 点坐标1212,12+⎛⎫- ⎪⎝⎭x x M x x ,因为D M x x =,所以直线//MD y 轴：（3）因为点(0)2⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭D t t ,所以12122x x x x t +==,则2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭M t ,圆心1,22⎫⎪⎪⎝⎭,直线AB 的斜率为22121212x x k x x x x -==+=-直线AB 方程为y t =-, 2y xy t⎧=⎪⎨-⎪⎩,得20x t +=,24t ∆=-,||AB ==, 圆心到直线AB 的距离为d 半径||1222MD tr -==,||12)3MN t ==-（,1m =≥, ||||361||||33AB MN m AB MN m m --==-++++在m 1≥时单调递减,||||11,||||2-⎛⎤∈- ⎥+⎝⎦AB MN AB MN ．4．（2022届山东省济宁市高三上学期期末）已知抛物线E ：22y px =（0p >）上一点()01,C y 到其焦点F 的距离为2．（1）求实数p 的值；（2）若过焦点F 的动直线l 与抛物线交于A 、B 两点,过A 、B 分别作抛物线的切线1l 、2l ,且1l 、2l 的交点为Q ,1l 、2l 与y 轴的交点分别为M 、N ．求QMN 面积的取值范围．【过程详解】（1）因为点()01,C y 到其焦点F 的距离为2,由抛物线的定义知122p+= 解得2p =（2）由上问可知,抛物线方程E ：24y x =设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭,222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭,（10y ≠,20y ≠）,设l ：1x ty =+,联立241y xx ty ⎧=⎨=+⎩,得2440y ty --=, 判别式2=16160t ∆+>,故t ∈R124y y t +=,124y y =-设1l ：2114y y y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭联立方程组221144y xy y y k x ⎧=⎪⎛⎫⎨-=- ⎪⎪⎝⎭⎩,消x 得2211440ky y y ky -+-=,所以()()2221111Δ16444440k y ky ky k y =--=-+=所以12k y =则1l ：211124y y y x y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,即1122y y x y =+,令0x =,得10,2y M ⎛⎫⎪⎝⎭,同理2l ：2222y y x y =+,20,2y N ⎛⎫⎪⎝⎭, 联立11222222yy x y y y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,得交点Q 的横坐标为1214Q y y x ==-, ∴1211112222QMN Q y y S MN x =⋅=-⨯==≥△∴QMN 面积的取值范围是[)1,+∞．5.（2022届百校联盟高三上学期12月联考）已知曲线C 上任意一点到1(1,0)F -,2(1,0)F 距离抛物线E ：22y px =的焦点是点2F . （1）求曲线C 和抛物线E 的方程；（2）点()()000,0Q x y x <是曲线C 上的任意一点,过点Q 分别作抛物线E 的两条切线,切点分别为M ,N ,求QMN 的面积的取值范围．【过程详解】（1）依题意,曲线C 是以1(1,0)F -,2(1,0)F 为左右焦点,,则短半轴长b有222113b =-=,曲线C 的方程为：2214133x y +=,即223314x y +=,在22y px =中,12p =,即2p =, 所以曲线C 的方程为：223314x y +=,抛物线E 的方程为：24y x =.（2）显然,过点Q 的抛物线E 的切线斜率存在且不为0,设切线方程为：00()y y k x x -=-,由002()4y y k x x y x-=-⎧⎨=⎩消去x 并整理得：20004k y y y kx ⋅-+-=,依题意,200001()10k y kx x k y k ∆=--=-+=,设二切线斜率为12,k k ,则0120y k k x +=,1201k k x =,设斜率为1k 的切线所对切点11(,)M x y ,斜率为2k 的切线所对切点22(,)N x y , 因此,112y k =,222y k =,于是得21112(,)M k k ,22212(,)N k k ,2212121122(,)NM k k k k =-- , 直线MN 上任意点(,)P x y ,21112(,)MP x y k k =-- ,由//MP NM得： 222121*********()()(0x y k k k k k k -----=,化简整理得：121212220k k x y k k k k +-+=, 则直线MN 的方程为：00220x y y x -+=,点Q 到直线MN的距离2d =,||MN ====,则QMN的面积322200111||(224)2QMNy x S MN d =⋅==- ,而点()()000,0Q x y x <在曲线C 上,即22001134y x =-,00x ≤<,220000114443y x x x -=--+在0[x ∈上单调递减,当00x =时,200min 1(4)3y x -=,当0x =时,200max(4)y x -=于是有200143y x <-≤则32200(4)93y x <-≤,183QMN S <≤ 所以QMN的面积的取值范围是(,]183.6．（2022届四川省达州高三上学期诊断）过定点()0,1的动圆始终与直线l ：1y =-相切. （1）求动圆圆心的轨迹C 的方程；（2）动点A 在直线l 上,过点A 作曲线C 的两条切线分别交x 轴于B ,D 两点,当ABD △的面积是32时,求点A 坐标. 【过程详解】（1）设动圆圆心坐标为(),x y , 因为过定点()0,1的动圆始终与直线l ：1y =-相切, 可得1y =+,化简得24x y =, 即动圆圆心的轨迹方程C ：24x y =.（2）设动点()0,1A x -,根据题意过点A 作曲线C 的切线斜率存在, 设为()0k k ≠,所以切线方程为()01y k x x =--,联立方程组()204,1x y y k x x ⎧=⎪⎨=--⎪⎩,整理得204440x kx kx -++=,且2010k kx ∆=--=, 因为2010k kx --=有两不等实根,所以有两条切线,斜率分别设为1k ,2k ,所以120k k x +=,121k k =-,切线()101y k x x =--交x 轴于点011,0B x k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,切线()201y k x x =--交x 轴于点021,0D x k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,所以21001212111131222ABDk k S x x k k k k -=+--⨯===△, 32=,解得0x =, 所以点A 坐标为)1-或()1-.7．（2022届四川省成都市高三上学期考试）已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F .且F与圆()22:41M x y ++=上点的距离的最小值为4. （1）求抛物线的方程；（2）若点P 在圆M 上,PA ,PB 是C 的两条切线.A ,B 是切点,求PAB △面积的最大值. 【过程详解】（1）抛物线C 的焦点为0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,42pFM =+, 所以,F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4142p+-=,解得2p =；所以抛物线的方程为24x y =.（2）抛物线C 的方程为24x y =,即24x y =,对该函数求导得2x y '=, 设点()11,A x y ,()22,B x y ,()00,P x y , 直线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即112x xy y =-,即11220x x y y --=, 同理可知,直线PB 的方程为22220x x y y --=,由于点P 为这两条直线的公共点,则10102020220220x x y y x x y y --=⎧⎨--=⎩, 所以,点A 、B 的坐标满足方程00220x x y y --=, 所以,直线AB 的方程为00220x x y y --=,联立0022204x x y y x y --=⎧⎪⎨=⎪⎩,可得200240x x x y -+=, 由韦达定理可得1202x x x +=,1204x x y =,所以AB ===点P 到直线AB的距离为d =所以,()3220011422PABS AB d x y =⋅==-△, ()()2222000000041441215621x y y y y y y -=-+-=---=-++ ,由已知可得053y -≤≤-,所以,当05y =-时,PAB △的面积取最大值321202⨯=8．（2022届山西省怀仁市高三上学期期中）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ,准线与x 轴交于D 点,过点F 的直线与抛物线C 交于A ,B 两点,且FA FB FA FB ⋅=+. （1）求抛物线C 的方程；（2）设P ,Q 是抛物线C 上的不同两点,且PF x ⊥轴,直线PQ 与x 轴交于G 点,再在x 轴上截取线段GE GD =,且点G 介于点E 点D 之间,连接PE ,过点Q 作直线PE 的平行线l ,证明l 是抛物线C 的切线.【过程详解】（1）解：设过点F 的直线方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()()1122,,,A x y B x y ,联立222p y k x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩,得()22222204k p k x pk p x -++=, 则22121222,4pk p p x x x x k ++=⋅=, 所以21222222p p pk pFA FB x x k ++=+++=, ()22212222222p k p p p FA FB x x k +⎛⎫⎛⎫⋅=++=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 因为FA FB FA FB ⋅=+,所以()22222222222p k pk p p kk ++=+, 化简得()221210p p k ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,所以2p =,当过点F 的直线斜率不存在时,则FA FB p ==,故22,FA FB p FA FB p +=⋅=,又因为FA FB FA FB ⋅=+, 则22p p =,所以2p =, 综上所述,2p =, 所以24y x =；（2）证明：不妨设点P 在第一象限, 则()()()1,2,1,0,1,0P D F -,设直线PQ 的方程为()21,0y m x m -=-≠,()33,Q x y ,联立()2214y m x y x ⎧-=-⎨=⎩,消元整理得22204m y y m --+=,则342y m +=,即342m y m -=故()2322m x m -=,即()22242,m m Q m m ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭, 当0y =时,21x m =-+,则21,0G m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,又因GE GD =,且点G 介于点E 点D 之间,则G 为DE 的中点,所以43,0E m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,则直线PE 的斜率为2422m m m =--,因为直线PE 平行直线l , 所以直线l 的斜率为2mm-, 故直线l 的方程为()222422m m m y x m m m ⎡⎤---=-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦,即22m my x m m -=+-, 联立2224m m y x m m y x-⎧=+⎪-⎨⎪=⎩,消元整理得()22042m m y y m m --+=-, ()214042m mm m-∆=-⨯⋅=-,所以直线l 与抛物线只有一个交点, 有直线l 斜率不为0, 所以l 是抛物线C 的切线.9.已知抛物线2:2C x py =,点()4,4M -在抛物线C 上,过点M 作抛物线C 的切线,交x 轴于点P ,点O 为坐标原点． (1)求P 点的坐标；(2)点E 的坐标为()2,1--,经过点P 的直线交抛物线于A ,B 两点,交线段OM 于点Q ,记EA ,EB ,EQ 的斜率分别为1k ,2k ,3k ,是否存在常数λ使得123k k k λ+=．若存在,求出λ的值,若不存在,请说明理由．【过程详解】（1）因为()4,4M -在抛物线C 上,所以()248p -=,所以2p =所以抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,则12y x '=, 所以切线的斜率为1(4)22⨯-=-,所以过点M 的切线方程为()244y x =-++,即y x =--24联立24y x y =--⎧⎨=⎩,解得P 点的坐标为()2,0- （2）由题意可知过点P 的直线的斜率存在,设为2y kx k =+,线段OM 所在的直线为y x =-,联立2y kx k y x =+⎧⎨=-⎩,解得Q 点坐标为22,11k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭, 所以3213112221kk k k k k +++==-++ 设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,联立224y kx k x y =+⎧⎨=⎩,得2480x kx k --=, 所以124x x k +=,128x x k =-．则()()()()22221212121212121212121111444422224x x x x x x x x x x k k x x x x x x +++++++++=+=+++++()22184161641242318844k k k k k k k k -+++++===+-++ 所以1232k k k +=,即存在2λ=满足条件．10．如图,已知()()1122,,A x y B x y ､为二次函数2(0)y ax a =>的图像上异于顶点的两个点,曲线2y ax =在点()()1122,,A x y B x y ､处的切线相交于点()00,P x y .(1)利用抛物线的定义证明：曲线2y ax =上的每一个点都在一条抛物线上,并指出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；(2)求证：102x x x ､､成等差数列,102y y y ､､成等比数列；(3)设抛物线2y ax =焦点为F ,过P 作PH 垂直准线l ,垂足为H ,求证：BPH APF ∠∠=. 【过程详解】（1）证明：令10,4F a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,直线l ：14y a =-,曲线2y ax =上任意一点()200,P x ax ,又0a >,则点()200,P x ax 到直线l 的距离2014d ax a=+,则PF ===22001144ax ax d a a ==+=+=, 即曲线2y ax =上任意一点到点10,4F a ⎛⎫⎪⎝⎭的距离与到直线l ：14y a =-的距离相等,且点10,4F a ⎛⎫⎪⎝⎭不在直线l ：14y a =-上,所以曲线2y ax =上的每一个点都在一条抛物线上,抛物线的方程即为2y ax =,焦点坐标为10,4F a ⎛⎫⎪⎝⎭,准线方程为14y a =-；（2）解：对于2y ax =,则2y ax '=,所以11|2x x y ax ='=,22|2x x y ax ='=,即过点()11,A x y 、()22,B x y 的切线方程分别为()1112y y ax x x -=-、()2222y y ax x x -=-,又211y ax =,222y ax =,所以2112y ax x ax =-、2222y ax x ax =-,由21122222y ax x ax y ax x ax ⎧=-⎨=-⎩,解得12212x x x y ax x +⎧=⎪⎨⎪=⎩,即1221,2x x P ax x +⎛⎫⎪⎝⎭, 即1202x x x +=,021y ax x =,又222202112y a x x y y ==⋅, 所以1x 、0x 、2x 成等差数列,1y 、0y 、2y 成等比数列；（3）解：由（2）可知22BP k ax =,12AP k ax =,10,4F a ⎛⎫⎪⎝⎭,所以02112011442PF y ax x a a k x x x --==+,如图,设AP ,PF ,PB 与x 轴分别交于点C 、D 、E ,则1tan 2ACx ax ∠=,2tan 2BEx ax ∠=,211214tan 2ax x a FDx x x -∠=+,又()22BPH BEx BEx πππ∠=--∠=∠-,FPA FDx ACx ∠=∠-∠,所以211tan tan 2tan 2BPH BEx BEx ax π⎛⎫∠=∠-=-=- ⎪∠⎝⎭, ()tan tan tan tan 1tan tan FDx ACxFPA FDx ACx FDx ACx∠-∠∠=∠-∠=+∠∠2111221112142214122ax x a axx x ax x a ax x x --+=-+⋅+122111221112421224x x ax x ax a x x ax x ax a +--⋅=+⎛⎫+-⋅ ⎪⎝⎭21221211214222ax a x x x a x x --=++-21222121422ax ax a x x --=+()212221214142ax ax a x x --=+()()221222211412214a x ax ax a x -+==-++, 即tan tan BPH FPA ∠=∠, 所以BPH FPA ∠=∠；11．已知抛物线22(0)x py p =>上的任意一点到(0,1)P 的距离比到x 轴的距离大1． (1)求抛物线的方程；(2)若过点(0,2)的直线l 与抛物线交于A ,B 两点,过A ,B 两点分别作抛物线的切线,两条切线交于点Q ,求QAB 重心G 的轨迹方程．【过程详解】（1）由抛物线的定义可得2p =,∴抛物线的方程为24x y =；（2）由题意可得直线AB 的斜率存在,设其为k ,设()()1122,,,A x y B x y ,则直线AB 的方程为2y kx =+；代入抛物线方程得2480x kx --=,则有12124,8x x k x x +==-,∵24x y =,∴2x y '=,∴()111:2-=-AQ x l y y x x ,即21124x x y x =-①同理可得222:24=-BQ x x l y x ②,①-②有22121224x x x x x ⎛⎫=⎪-⎝⎭-,得1222Q x x x k +==,∴2111124=-=-=-Q x y kx kx y ．∴(2,2)Q k - 又()21212444y y k x x k +=++=+,设()G x y ,,则12212234233Q Q x x x x k y y y k y ++⎧==⎪⎪⎨+++⎪==⎪⎩,消k 得223+=x y ,所以G 的轨迹方程为21233=+y x ． 12．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ,点()02,P y -为抛物线上一点,抛物线C 在点P处的切线与y 轴相交于点Q ,且FPQ △的面积为2． (1)求抛物线的方程．(2)若斜率不为0的直线l 过焦点F ,且交抛物线C 于A ,B 两点,线段AB 的中垂线与y 轴交于点M ,证明：MFAB为定值．【过程详解】（1）将()02,P y -代入22x py =得,02y p= 设抛物线的切线方程为2(2)y k x p=++,代入22x py =整理得： 22(44)0x pkx pk --+=由题知224440p k pk ∆=++=,解得2k p=-又22Q y k p =+,所以222p FQ k p =-- 所以222222FPQ p p S k p p=--=+= ,解得2p = 所以抛物线C 的方程为24x y =（2）记AB 中点为N ,112233(,),(,),(,)A x y B x y N x y 设直线AB 方程为1y mx =+,代入24x y =整理得： 2440x mx --=,则12124,4x x m x x +==-所以24(1)AB m =+ 因为N 为AB 中点,所以12322x x x m +==,2321y m =+ 所以直线MN 的方程为21(21)(2)y m x m m-+=-- 则223M y m =+所以222MF m =+所以222214(1)2MF m AB m +==+ 13．（2022届新未来4月联考）已知直线:10l x ky k -+-=与抛物线2:2(0)C y px p =>交于A ,B 两点,过A ,B 两点且与抛物线C 相切的两条直线相交于点D ,当直线l x ⊥轴时,||4AB =． (1)求抛物线C 的标准方程； (2)求||OD 的最小值．【过程详解】（1）当直线l x ⊥轴时,1x =,代入22y px =解得y =∴||4AB ==,得2p =,∴抛物线C 的标准方程为24y x =；（2）设()()(),,,,,A A B B D D A x y B x y D x y ．联立210,4,x ky k y x -+-=⎧⎨=⎩得24440y ky k -+-=．∴4,44A B A B y y k y y k +=⋅=-①,∵直线:10l x ky k -+-=恒过点(1,1),且与抛物线有两个交点,点(1,1)在抛物线上,∴0k ≠,当直线AD 和直线BD 斜率存在时,设直线:AD y mx n =+,联立2,4,y mx n y x =+⎧⎨=⎩∴2440my y n -+=,Δ16440m n =-⋅=,∴1⋅=m n ,∴2A y m =,同理,设直线:BD y ax b =+,则21,B ab y a ==,联立,,y mx n y ax b =+⎧⎨=+⎩∴1,11.D D x amy a m ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 由①可知22224,44k k m a m a +=⋅=-,∴1122m a ma+-=,即22D D y x -=,∴点D 在直线220x y -+=上．当直线AD 或直线BD 斜率不存在时,即直线l 过原点时,1k =,过原点的切线方程为0x =,易知另外一点为(4,4),过点(4,4)的切线方程设为4(4)x t y -=-,联立24(4)4x t y y x-=-⎧⎨=⎩,得2416160y ty t -+-=, ()2Δ16416160t t =--=,解得2t =,即切线方程122y x =+．此时交点D 的坐标为(0,2),在直线220x y -+=上,故OD 的最小值为原点到直线220x y -+=的距离,5=． 14．过原点O 的直线与拋物线C ：22y px =（0p >）交于点A ,线段OA 的中点为M ,又点()3,0P p ,PM OA ⊥．在下面给出的三个条件中任选一个填在横线处,并解答下列问题：①OA =②PM =；③POM的面积为（1）______,求拋物线C 的方程；（2）在（1）的条件下,过y 轴上的动点B 作拋物线C 的切线,切点为Q （不与原点O 重合）,过点B 作直线l 与OQ 垂直,求证：直线l 过定点．注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分．【过程详解】（1）由题意知直线OA 的斜率存在且不为0,设其方程为()0y kx k =≠,由22,y px y kx ⎧=⎨=⎩得0,0x y =⎧⎨=⎩或22,2,p x k p y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即()0,0O ,222,p p A k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以线段OA 的中点2,p p M k k ⎛⎫⎪⎝⎭．因为PM OA ⊥,所以直线PM 的斜率存在,22133PM p kkk pk p k ==--．所以2113k k k ⋅=--,解得2k =±, 所以直线OA的方程为0x =,()4,A p ±．若选①,不妨令()4,A p ,由OA ==解得2p =（舍去2p =-）,所以抛物线C 的方程为24y x =．若选②,因为PM OA ⊥,PM=所以点P 到直线OA 的距离为=,解得2p =（舍去2p =-）,所以抛物线C 的方程为24y x=．若选③,不妨令()4,A p ,因为12OM OA ===,点P 到直线OA的距离PM ==,所以1122POM S OM PM =⋅==△,解得2p =（舍去2p =-）, 所以抛物线C 的方程为24y x =．（2）由题意可知切线BQ 的斜率存在且不为0．设()()0,0B b b ≠,切线BQ 的方程为1y k x b =+, 由12,4y k x b y x=+⎧⎨=⎩得21440k y y b -+=,（*）所以()214440k b ∆=--⨯⨯=,解得11k b=, 所以方程（*）的根为2y b =,代入24y x =得2x b =,所以切点()2,2b b ,于是222OQ b k b b ==,则2l b k =-, 所以直线l 的方程为2by x b =-+,即()22b y x =--,所以当b 变化时,直线l 恒过定点()2,0．15．已知抛物线22(0)x py y =>,其焦点为F ,抛物线上有相异两点()11,A x y ,()22,B x y ．（1）若//AF x 轴,且经过点A 的抛物线的切线经过点(1,0),求抛物线方程；（2）若2p =,且||||4AF BF +=,线段AB 的中垂线交x 轴于点C ,求ABC 面积的最大值．【过程详解】（1）抛物线22(0)x py y =>,焦点坐标为0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭,因为//AF x ,所以2A p y =,所以A x p =,又22x y p =,所以x y p '=,所以过A 点的切线的斜率1k =,所以切线方程为2p y x p -=-,令0y =得12px ==,所以2p =,所以24x y = （2）若2p =,则抛物线为24x y =,焦点为()0,1,准线方程为1y =-,因为||||4AF BF +=,所以114A B y y +++=,所以2A B y y +=,设直线AB 的方程为y kx m =+,联立24x y =得2440x kx m --=,216160k m ∆=+>所以124x x k +=,124x x m =-,所以212122422y y kx kx m k m +=++=+=,即212m k =-,所以()221616120k k ∆=+->,解得11k -<<,当0k =时,直线方程为1y =,则()2,0A ,()2,0B -,所以AB 的中垂线恰为y 轴,则()0,0C ,所以14122ABC S =⨯⨯= , 当11k -<<,且0k ≠时,又AB 的中点坐标为()1212,2,122x x y y k ++⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以AB 的中垂线l 的方程为()121y x k k =--+,令0y =得3x k =,所以()3,0C k ,所以C 到AB 的距离d =又AB =所以221312ABC S AB d k m k ==+=+= 令21k t -=,则()0,1t ∈,()()232244f t t t t t t =-=-+,因为()()()2384232f t t t t t '=-+=--,所以当20,3t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f t '>,()f t 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,当2,13t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f t '<,()f t 在2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,所以()max 232327f t f ⎛⎫==⎪⎝⎭所以()max 2ABC S =>所以()max ABC S =16．设抛物线C ：22x py =（0p >）的焦点为F ,点(),2P m （0m >）在抛物线C 上,且满足3PF =．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点()0,4G 的直线l 与抛物线C 交于A ,B 两点,分别以A ,B 为切点的抛物线C 的两条切线交于点Q ,求三角形PQG 周长的最小值．【过程详解】（1）由抛物线定义,得232pPF =+=,得2p =, ∴抛物线C 的标准方程为24xy =；（2）设()11,A x y ,()22,B x y ,直线l 的方程为4y kx =+,∴联立244y kx x y=+⎧⎨=⎩,消掉x ,得24160x kx --=,0∆>,∴124x x k +=,1216x x =-,设A ,B 处的切线斜率分别为1k ,2k ,则112x k =,222x k =, ∴在点A 的切线方程为()1112x y y x x -=-,即21124x x x y =-①,同理,在B 的切线方程为22224x x x y =-②, 由①②得：1222Q x x x k +==,代入①或②中可得：21111444Q x y kx y y ==--=--, ∴()2,4Q k -,即Q 在定直线4y =-上,设点G 关于直线4y =-的对称点为G ',则()0,12G '-,由（1）知()2P ,∵PQ GQ PQ G Q G P ''+=+≥=即,,P Q G '三点共线时等号成立,∴三角形PQG周长最小值为GP G P '+=．17．已知圆()22:21C x y +-=与定直线:1l y =-,且动圆M 与圆C 外切并与直线l 相切. （1）求动圆圆心M 的轨迹E 的方程；（2）已知点P 是直线1:2l y =-上一个动点,过点P 作轨迹E 的两条切线,切点分别为A 、B .①求证：直线AB 过定点； ②求证：PCA PCB ∠=∠.【过程详解】（1）依题意知：M 到()0,2C 的距离等于M 到直线2y =-的距离,∴动点M 的轨迹是以C 为焦点,直线2y =-为准线的抛物线,设抛物线方程为()220x py p =>,则22p=,则4p =,即抛物线的方程为28x y =, 故：动圆圆心M 的轨迹E 的方程为：28x y =；（2）①由28x y =得：218y x =,14y x '∴=,设2111,8A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭、2221,8B x x ⎛⎫⎪⎝⎭,(),2P t -,其中12x x ≠,则切线PA 的方程为()2111184x y x x x -=-,即2111148y x x x =-,同理,切线PB 的方程为2221148y x x x =-, 由21122211481148y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,解得121228x x x x x y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,1212228x x t x x +⎧=⎪⎪∴⎨⎪-=⎪⎩,即1212216x x t x x +=⎧⎨=-⎩, 2111,8A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 、()222121,8B x x x x ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭,∴直线AB 的方程为()222121*********x x y x x x x x --=--,化简得121288x x x x y x +=-, 即24ty x =+, 故直线AB 过定点()0,2；②由①知：直线AB 的斜率为4ABt k =, （i ）当直线PC 的斜率不存在时,直线AB 的方程为2y =,PC AB ∴⊥,PCA PCB ∴∠=∠；（ii ）当直线PC 的斜率存在时,(),2P t - 、()0,2C ,∴直线PC 的斜率2240PC k t t --==--,414AB PC t k k t-∴⋅=⨯=-, PC AB ∴⊥,PCA PCB ∴∠=∠.综上所述：PCA PCB ∠=∠得证.18.设抛物线C ：()220x py p =>,其焦点为 F ,准线为l ,点P 为C 上的一点,过点P 作直线l 的垂线,垂足为M ,且MF FP =,2FM FP ⋅=.（1）求抛物线C 的方程；（2）设点Q 为C 外的一点且Q 点不在坐标轴上,过点Q 作抛物线C 的两条切线,切点分别为A ,B ,过点Q 作y 轴的垂线,垂足为S ,连接 AS ,BS ,证明：直线AS 与直线BS 关于y 轴对称.【过程详解】（1）PM PF FM == ,PFM ∴△为等边三角形,60FMP PFM ∴∠=∠=︒,又2cos cos602FM FP FM FP PFM FM ⋅=⋅∠=︒= ,2FM ∴=设直线l 交y 轴于N 点,则在Rt MNF △中30NMF ∠=︒,1NF p ==,C ∴的方程为22x y = （2）设点()(),0,0Q a b a b ≠≠,()11,A x y ,()22,B x y ,又C 的方程为22x y =可化为22x y =,y x '∴=所以过点A 且与C 相切的直线的斜率为1x ,过点B 且与C 相切的直线的斜率为2x ,所以直线QA 的方程为()111y y x x x -=-,直线QB 的方程为()222y y x x x -=-.又直线QA 与QB 均过点Q ,()111b y x a x -=-,()222b y x a x -=-,又2112x y =,2222x y =,11y ax b ∴=-,22y ax b =-,所以直线AB 的方程为y ax b =-,联立方程y ax b =-和22x y =得方程组22,,x y y ax b ⎧=⎨=-⎩消去y 得2220x ax b -+=, 0b ≠ ,10x ∴≠,20x ≠,122x x b = ,又()0,S b ,则直线AS 的斜率111y b k x -=；直线BS 的斜率222y b k x -=,()121212122x x x x b k k x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭∴+=, 1202x x b -=, 120k k ∴+=,所以直线AS 与直线BS 关于y 轴对称.。

抛物线高考数学真题分类题库2021解析版考点39

考点39抛物线1.(2021·新高考II卷·T3)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为2,则p=()A.1B.2C.22D.4【命题意图】本题考查抛物线及其性质,意在考查基本运算求解能力.【解析】选B.0,其到直线x-y+1=0的距离:d=2,解得p=2(p=-6舍去).2.(2021·北京新高考·T12)已知抛物线C:y2=4x,焦点为F,点M为抛物线C上的点,且|FM|=6,则M的横坐标是;作MN⊥x轴于N,则S△FMN=.【命题意图】本题考查抛物线的定义,意在考查考生的数形结合思想,化归与转化思想,数学运算、逻辑推理素养.【解析】由抛物线定义知,x M=6-1=5,再代入抛物线方程得M(5,±25),由题意知N(5,0),所以S△FMN=12×(5-1)×25=45.答案:5453.(2021·新高考I卷·T14)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q 为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为.【命题意图】本题主要考查抛物线的基本性质,旨在考查运算求解能力.【解析】由已知可设,所以k OP=2,k PQ=-12,因此直线PQ的方程为:y-p y=0得x=52,因此|FQ|=52-2=2p=6,则p=3,所以C的准线方程为x=-2=-32.答案:x=-324.(2021·全国乙卷理科·T21)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4.(1)求p;(2)若点P在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求△PAB面积的最大值.【命题意图】本题抛物线与圆综合,考查抛物线及圆的相关性质.考查逻辑思维能力、运算求解能力.【解析】(1)焦点F0x2+(y+4)2=1的最短距离为2+3=4,所以p=2.(2)抛物线y=14x2,设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则:y=12x1(x-x1)+y1=12x1x-1412=12x1x-y1,同理可得:y=12x2x-y2,且02=-02-8y0-15.,B都过点P(x0,y0),则0=1210-1,0=1220-2,故l AB:y0=12x0x-y,即y=12x0x-y0,联立=120-0,2=4,得x2-2x0x+4y0=0,Δ=402-16y0.所以|AB·402-160=4+02·02-40,点P到AB的距离d所以S△PAB=12|AB|·d P→AB=12|02-4y0|·02-40=12(02-4y0)32=12(-02-12y0-15)32,而y0∈[-5,-3],故当y0=-5时,△B达到最大,最大值为205.【反思总结】注意在大题中切点弦方程不能直接写,要根据导数求出斜率,求出切线方程,再利用方程根的思想写出切点弦所在的直线方程.5.(2021·全国乙卷文科·T20)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.(1)求C的方程;(2)已知O为坐标原点,点P在C上,点Q满足=9,求直线OQ斜率的最大值.【命题意图】本题主要考查抛物线的标准方程及性质,直线与抛物线的位置关系问题.综合考查数学运算、数学直观的核心素养.【解析】(1)在抛物线中,焦点F到准线的距离为p,故p=2,y2=4x.(2)设点P(x1,y1),Q(x2,y2),因为F(1,0),则=(x2-x1,y2-y1),=(1-x2,-y2),因为=9,所以x2-x1=9(1-x2),y2-y1=-9y2,即x1=10x2-9,y1=10y2,又因为点P在抛物线C上,所以(10y2)2=4(10x2-9),则点Q的轨迹方程y2=25x-925.设直线OQ的方程为y=kx,当直线OQ和曲线y2=25x-925相切时,斜率最大,联立直线与曲线方程,得k2x2=25x-925,即k2x2-25x+925=0,此时Δ=0,即-4k2·925=0,解得k=±13,所以直线OQ的斜率的最大值为13.6.(2021·全国甲卷·T20)抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上,直线l:x=1交C于P,Q两点,且OP⊥OQ,已知点M(2,0),且☉M与l相切.(1)求C,☉M的方程;(2)设A1,A2.A3是C上的三个点,直线A1A2,A1A3均与☉M相切.判断直线A2A3与☉M的位置关系,并说明理由.【命题意图】本题主要考查抛物线的定义、方程与性质,考查圆的方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离,考查学生的运算求解能力与逻辑推理能力.【解析】(1)由题意,设C :y 2=2px ,p >0,点P (1,2),Q (1,-2),因为OP ⊥OQ ,所以1-2p =0,2p =1,所以抛物线C :y 2=x.M (2,0),l :x =1.且☉M 与l 相切,所以圆的方程为:(x -2)2+y 2=1.(2)设A 1(12,y 1),A 2(22,y 2),A 3(32,y 3),由抛物线及圆的对称性,不妨设y 1>0.①若A 1A 2,A 1A 3中有一条切线斜率不存在，不妨设为A 1A 2则A 1(3,3),A 2(3,-3),设A 1A 3:y -3=k (x -3),即kx -y -3k +3=0,因为A 1A 3与☉M 相切,所以得k 即13=3-132-12=y 3=0,即A 3(0,0),此时直线A 2A 3与A 1A 3关于x 轴对称,所以直线A 2A 3与☉M 相切.②若A 1A 2,A 1A 3斜率均存在,则12≠1且12≠3,12=2-122-12=12+1,直线A 1A 2:y -y 1=12+1(x -12),即x -(y 2+y 1)y +y 2y 1=0,同理A 1A 3:x -(y 3+y 1)y +y 3y 1=0,直线A 2A 3:x -(y 2+y 3)y +y 2y 3=0,因为A 1A 2,A 1A 3均与☉M 相切,所以(2+21)21+(1+2)2=1,(2+31)21+(1+3)2=1.即(2+21)2=1+(1+2)2(2+31)2=1+(1+3)2所以2,3是关于y 的方程(2+y 1)2=1+(1+y )2即12−12+21+3−12=0的两根，所以2+3=−2112−1,23=3−1212−1设M 到直线A 2A 3的距离为d,则d 2=(2+23)21+(2+3)2=1所以直线A 2A 3与☉M 相切.7.(2021·浙江高考·T21)如图,已知F 是抛物线y 2=2px (p >0)的焦点,M 是抛物线的准线与x 轴的交点,且|MF |=2.(1)求抛物线的方程;(2)设过点F 的直线交抛物线于A ,B 两点,若斜率为2的直线l 与直线MA ,MB ,AB ,x 轴依次交于点P ,Q ,R ,N ,且满足|RN |2=|PN |·|QN |,求直线l 在x 轴上截距的取值范围.【命题意图】本题主要考查抛物线的性质、直线与抛物线联立的基础知识,同时考查运算求解能力和综合应用能力.从直线与抛物线间的位置关系出发构造试题,考查处理解析几何问题的基本方法,从而引导高中数学教学回归教材,回归数学教学本源.【解析】(1)由于|MF |=p =2,则抛物线方程是y 2=4x.(2)设AB :x =my +1,与抛物线方程联立可得y 2=4x =4my +4⇒y 2-4my -4=0.故+=4,=-4,设A (s 2,2s ),B (t 2,2t ),故st =-1,m =r2.于是AM :x =2+12y -1=-2y -1,BM :x =2+12y -1=--2y -1,令s -t =2w ,于是m 2-w 2=-1,此时,AM :x =wy -1,BM :x =-wy -1,设PQ :x =12y +c ,b =-2c (c ≠1),联立得到y P =2(r1)2-1,y Q =-2(r1)2r1,my R +1=12y R +c ⇒y R =2(-1)2-1.于是|NR |2=|NP |·|NQ |⇒2=-y P y Q ,故2+y P y Q =4(-1)2(2-1)2-4(r1)242-1=4(-1)2(2-1)2-4(r1)242+3=0,(r1)2(-1)2=42+3(2-1)2=2+r12=1+1+12=34+=于是c 2+14c +1≥0⇒c ∈(-∞,-7-43)∪[-7+43,1)∪(1,+∞).【反思总结】直线与抛物线的位置关系中的最值问题,往往需要根据问题的特征合理假设直线方程的形式,从而便于计算;对于构建出的函数关系式,注意利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围问题.。

高考数学(人教a版,理科)题库：抛物线(含答案)

第6讲抛物线一、选择题1．抛物线x 2＝(2a －1)y 的准线方程是y ＝1，则实数a ＝( )A.52B.32 C ．－12 D ．－32解析根据分析把抛物线方程化为x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a y ，则焦参数p ＝12－a ，故抛物线的准线方程是y ＝p 2＝12－a 2，则12－a2＝1，解得a ＝－32.答案 D 2．若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点在圆x 2＋y 2＋2x －3＝0上，则p ＝( ) A.12 B ．1 C ．2D ．3解析 ∵抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为(p 2，0)在圆x 2＋y 2＋2x －3＝0上，∴p 24＋p －3＝0，解得p ＝2或p ＝－6(舍去)．答案 C3．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( )． A.45B.35C ．－35D ．－45解析由⎩⎨⎧y 2＝4xy ＝2x －4，得x 2－5x ＋4＝0，∴x ＝1或x ＝4.不妨设A (4,4)，B (1，－2)，则|F A →|＝5，|FB →|＝2，F A →·FB →＝(3,4)·(0，－2)＝－8，∴cos ∠AFB ＝F A →·FB →|F A →||FB →|＝－85×2＝－45.故选D. 答案 D4．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )．A ．x 2＝833y B ．x 2＝1633y C ．x 2＝8yD ．x 2＝16y解析 ∵x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，∴c a ＝2，即c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝4，∴ba ＝ 3.x 2＝2py的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，即y ＝±3x .由题意，得p 21＋(3)2＝2，∴p ＝8.故C 2：x 2＝16y ，选D. 答案 D5．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )． A ．18 B ．24 C ．36 D ．48 解析如图，设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)． ∵当x ＝p2时，|y |＝p ，∴p ＝|AB |2＝122＝6. 又P 到AB 的距离始终为p ， ∴S △ABP ＝12×12×6＝36.答案 C6．已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x －y ＋3＝0和y 轴的距离之和的最小值是( )． A. 3B. 5C ．2D.5－1解析由题意知，抛物线的焦点为F (1,0)．设点P 到直线l 的距离为d ，由抛物线的定义可知，点P 到y 轴的距离为|PF |－1，所以点P 到直线l 的距离与到y 轴的距离之和为d ＋|PF|－1.易知d ＋|PF |的最小值为点F 到直线l 的距离，故d＋|PF|的最小值为|2＋3|22＋(－1)2＝5，所以d＋|PF|－1的最小值为5－1.答案 D二、填空题7．已知动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．解析设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与其到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.答案y2＝4x8．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满足|NF|＝32|MN|，则∠NMF＝________.解析过N作准线的垂线，垂足是P，则有PN＝NF，∴PN＝32MN，∠NMF＝∠MNP.又cos∠MNP＝3 2，∴∠MNP＝π6，即∠NMF＝π6.答案π69．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．解析如图建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py.由题意A(2，－2)代入x2＝－2py，得p＝1，故x2＝－2y.设B(x，－3)，代入x2＝－2y中，得x＝6，故水面宽为26米．答案 2 610．过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝2512，|AF |<|BF |，则|AF |＝________.解析设过抛物线焦点的直线为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，联立得，⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，整理得，k 2x 2－(k 2＋2)x ＋14k 2＝0，x 1＋x 2＝k 2＋2k 2，x 1x 2＝14.|AB |＝x 1＋x 2＋1＝k 2＋2k 2＋1＝2512，得，k 2＝24，代入k 2x 2－(k 2＋2)x ＋14k 2＝0得，12x 2－13x ＋3＝0，解之得x 1＝13，x 2＝34，又|AF |<|BF |，故|AF |＝x 1＋12＝56. 答案 56 三、解答题11．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切． (1)求a 与b ；(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 1过F 2且与x 轴垂直，动直线l 2与y 轴垂直，l 2交l 1于点P .求线段PF 1的垂直平分线与l 2的交点M 的轨迹方程，并指明曲线类型．解 (1)由e ＝c a ＝1－b 2a 2＝33，得b a ＝63.又由原点到直线y ＝x ＋2的距离等于椭圆短半轴的长，得b ＝2，则a ＝ 3. (2)法一由c ＝a 2－b 2＝1，得F 1(－1,0)，F 2(1,0)．设M (x ，y )，则P (1，y )．由|MF 1|＝|MP |，得(x ＋1)2＋y 2＝(x －1)2，即y 2＝－4x ，所以所求的M 的轨迹方程为y 2＝－4x ，该曲线为抛物线．法二因为点M 在线段PF 1的垂直平分线上，所以|MF 1|＝|MP |，即M 到F 1的距离等于M 到l 1的距离．此轨迹是以F 1(－1,0)为焦点，l 1：x ＝1为准线的抛物线，轨迹方程为y 2＝－4x .12．已知抛物线C ：y 2＝4x ，过点A (－1,0)的直线交抛物线C 于P 、Q 两点，设AP →＝λAQ→. (1)若点P 关于x 轴的对称点为M ，求证：直线MQ 经过抛物线C 的焦点F ； (2)若λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12，求|PQ |的最大值．思维启迪：(1)可利用向量共线证明直线MQ 过F ；(2)建立|PQ |和λ的关系，然后求最值．(1)证明设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 1，－y 1)． ∵AP →＝λAQ →，∴x 1＋1＝λ(x 2＋1)，y 1＝λy 2，∴y 21＝λ2y 22，y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，x 1＝λ2x 2，∴λ2x 2＋1＝λ(x 2＋1)，λx 2(λ－1)＝λ－1， ∵λ≠1，∴x 2＝1λ，x 1＝λ，又F (1,0)， ∴MF →＝(1－x 1，y 1)＝(1－λ，λy 2) ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ－1，y 2＝λFQ →， ∴直线MQ 经过抛物线C 的焦点F . (2)由(1)知x 2＝1λ，x 1＝λ，得x 1x 2＝1，y 21·y 22＝16x 1x 2＝16， ∵y 1y 2>0，∴y 1y 2＝4，则|PQ |2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝x 21＋x 22＋y 21＋y 22－2(x 1x 2＋y 1y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋1λ2＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋1λ－12 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋1λ＋22－16， λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12，λ＋1λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，103，当λ＋1λ＝103，即λ＝13时，|PQ |2有最大值1129，|PQ |的最大值为473.13．设抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F 为圆心，F A为半径的圆F交l于B，D两点．(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为4 2，求p的值及圆F的方程；(2)若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．解(1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形，|BD|＝2p，圆F的半径|F A|＝2 p.由抛物线定义可知A到l的距离d＝|F A|＝2p.因为△ABD的面积为4 2，所以12|BD|·d＝4 2，即12·2p·2p＝4 2，解得p＝－2(舍去)或p＝2.所以F(0,1)，圆F的方程为x2＋(y－1)2＝8.(2)因为A，B，F三点在同一直线m上，所以AB为圆F的直径，∠ADB＝90°.由抛物线定义知|AD|＝|F A|＝12|AB|.所以∠ABD＝30°，m的斜率为33或－33.当m的斜率为33时，由已知可设n：y＝33x＋b，代入x2＝2py得x2－2 33px－2pb＝0.由于n与C只有一个公共点，故Δ＝43p2＋8pb＝0，解得b＝－p 6.因为m的纵截距b1＝p2，|b1||b|＝3，所以坐标原点到m，n距离的比值为3.当m的斜率为－33时，由图形对称性可知，坐标原点到m，n距离的比值为3.综上，坐标原点到m，n距离的比值为3.14．如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．解(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)．∵点P(1,2)在抛物线上，∴22＝2p×1，解得p＝2.故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.(2)设直线PA的斜率为k PA，直线PB的斜率为k PB，则k PA＝y1－2x1－1(x1≠1)，k PB＝y2－2x2－1(x2≠1)，∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，∴k PA＝－k PB. 由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得y21＝4x1，①y22＝4x2，②∴y1－214y21－1＝－y2－214y22－1，∴y1＋2＝－(y2＋2)．∴y1＋y2＝－4.由①－②得，y21－y22＝4(x1－x2)，∴k AB＝y1－y2x1－x2＝4y1＋y2＝－1(x1≠x2)．高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！（上海，甘肃，内蒙，新疆，陕西，山东，湖北）七地区试卷投稿QQ 2355394501。