高考数学试题汇编抛物线

第三节 抛物线

高考试题

考点一 抛物线的定义和标准方程

1.(2010年陕西卷,理8)已知抛物线y 2

=2px(p>0)的准线与圆x 2

+y 2

-6x-7=0相切,则p 的值为( )

(A)

12

(B)1 (C)2 (D)4

解析:圆x 2

+y 2

-6x-7=0化为标准方程为(x-3)2

+y 2

=16,∴圆心为(3,0),半径是4, 抛物线y 2

=2px(p>0)的准线是x=-2

p , ∴3+

2

p

=4, 又p>0,解得p=2.故选C. 答案:C

2.(2011年辽宁卷,理3)已知F 是抛物线y 2

=x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ) (A)

34

(B)1

(C)

54

(D)

74

解析:∵|AF|+|BF|=x A +x B +12

=3,

∴x A +x B =

52

. ∴线段AB 的中点到y 轴的距离为2

A B

x x +=

54

.故选C.

故选C. 答案:C

3.(2012年四川卷,理8)已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y 0).若点M 到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|等于( )

(C)4 解析:由题意设抛物线方程为y 2

=2px(p>0),则M 到焦点的距离为x M +

2p =2+2

p

=3,∴p=2,∴y 2

=4x.∴

2

y =4×2,∴故选B.

答案:B

4.(2010年上海卷,理3)动点P 到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等,则点P 的轨迹方程是 .

解析:由抛物线的定义知,点P 的轨迹是以F 为焦点,定直线x+2=0为准线的抛物线,故其标准方程为y 2

=8x. 答案:y 2

=8x

5.(2012年陕西卷,理13)如图所示是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m.水位下降 1 m 后,水面宽 m.

解析:建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为

x 2

=-2py(p>0),

则A(2,-2),将其坐标代入 x 2

=-2py,得p=1.∴x 2

=-2y.

当水面下降1 m,得D(x 0,-3)(x 0>0), 将其坐标代入x 2

=-2y 得2

0x =6,

∴x 0∴水面宽

答案6.(2010年浙江卷,理13)设抛物线y 2

=2px(p>0)的焦点为F,点A(0,2),若线段FA 的中点B 在抛物线上,则B 到抛物线准线的距离为 .

解析:由已知得B 点的纵坐标为1,横坐标为4p ,即B ,14p ⎛⎫ ⎪⎝⎭

,将其代入y 2

=2px 得1=2p ×4p ,解得则B

点到准线的距离为2p +4p =34.

答案考点二 抛物线的几何性质及其应用

1.(2011年四川卷,理10)在抛物线y=x 2

+ax-5(a ≠0)上取横坐标为x 1=-4,x 2=2的两点,过这两点引一条割线,有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x 2

+5y 2

=36相切,则抛物线顶点的坐标为( )

(A)(-2,-9)

(B)(0,-5)

(C)(2,-9) (D)(1,-6)

解析:当x 1=-4时,y 1=11-4a;当x 2=2时,y 2=2a-1,所以割线的斜率k=

11421

42

a a --+--=a-2.设直线与抛物

线的切点横坐标为x 0,由y ′=2x+a 得切线斜率为2x 0+a,∴2x 0+a=a-2,∴x 0=-1. ∴直线与抛物线的切点坐标为(-1,-a-4),切线方程为y+a+4=(a-2)(x+1), 即(a-2)x-y-6=0.

圆5x 2

+5y 2

=36的圆心到切线的距离

.=

即(a-2)2

+1=5. 又a ≠0,∴a=4,此时y=x 2

+4x-5=(x+2)2

-9,顶点坐标为(-2,-9).故选A.

答案:A

2.(2009年四川卷,理9)已知直线l 1:4x-3y+6=0和直线l 2:x=-1,抛物线y 2

=4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )

(A)2 (B)3 (C)

115

(D)

3716

解析:如图所示,动点P 到l 2:x=-1的距离可转化为点P 到点F 的距离.由图可知,距离和的最小值即F 到直

线l 1的距离=2.故选A.

答案:A

3.(2009年福建卷,理13)过抛物线y 2

=2px(p>0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点,若线段AB 的长为8,则p= .

解析:∵F 02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭

，,∴设AB:y=x-2p ,与y 2=2px 联立,得x 2

-3px+

24p =0.∴x A +x B =3p. ∴|AB|=x A +x B +p=4p=8,得p=2. 答案:2

4.(2010年大纲全国卷Ⅱ,理15)已知抛物线C:y 2

=2px(p>0)的准线为l,过M(1,0)的直线与l

相交于点A,与C 的一个交点为B,若AM =MB ,则p= .

解析:如图所示,由AB

知∠α=60°, 又AM =MB , ∴M 为AB 的中点.

过点B 作BP 垂直准线l 于点P, 则∠ABP=60°,∴∠BAP=30°. ∴|BP|=

1

2

|AB|=|BM|, ∴M 为焦点,即2

p

=1,∴p=2. 答案:2

考点三 直线与抛物线位置关系

1.(2013年大纲全国卷,理11)已知抛物线C:y 2

=8x 与点M(-2,2),过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A 、B 两点,若MA ·MB =0,则k 等于( )

(A)

12

(B)

2

解析:法一 设直线方程为y=k(x-2),A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2),