北师大版数学必修1课件：3.2.1指数概念的扩充

3 2 3 2 3
（2） a a a ；
3 2 2 3 3 2
解:（1） a a a a a
a
13 6
（ 2）
a a a a aa a a aa
a a
7 4 7 8
1 2
3 2
3 4
思考：无理数指数幂有意义吗？
2 的过剩近似值
10
1.5 1.42 1.415 1.414 3 1.414 22
3 2
变式练习
计算 （1） 8 ； （2） 9 ．
解： （１）因为 2 8 ，所以 8 2 ；
3
1 3
1 3
ຫໍສະໝຸດ Baidu
3 2
（２）因为 27 9 ，所以 9 27 ．
2 3
3 2
提升总结:
求 a 是多少，关键是找到 b ,使得 b a ，
n m
m n
有时我们把正分数指数幂写成根式形式，即
a a a (a 0).
1 n
1 n
1 n
规定分数指数幂后,根式与分数指数幂是可以互化的
正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义
相仿，即
a
m n

1
m an
(a 0, m, n N , 且n 1)
规定：0的正分数指数幂等于0， 0的负分数指数幂没有意义.
１.把下列各式中的 b （b＞0）写成分数指数幂的形式： （1） b
5
32; （2） b4 35 ; （3） b2n 3m (m, n N ).
1 5 5 4
解： （1） b 32 ; （ 2） b 3 ;（3） b

3m 2n
(m, n N )
(a b ) a b
(2)
3
5 2
7 1 2 3
5 6
7 6
1 a( 5 a 2 ) 2

3
1 a(a )
2 5 2

3
1 a
9 5

1 (a )
9 1 5 3

1 a
3 5
a

3 5
2 x 4.(2012·西安高一检测)给出函数 f ( x) f ( x 1)
则 f (2)
m 使得 b a ，我们把 b 叫作 a 的 次 n
n m
幂，记作 b a
m n
指数概念的扩充是 为了解决实际问题 的需要
例 1.把下列各式中的 b （b＞0）写成分数指数幂的形式： （1） b 32; （2） b 3 ; （3） b
5 4 5
5n
3m (m, n N ).
例３.把下列各式写成分数指数幂的形式： （1） 5 a 2 (a 0) ； （2） b (b 0) ； （3） 4 c3 (c 0)
解： （１） a a ；
5 2
2 5
（２） b b
（３） c c
4 3
1 2
3 4
变式练习
将下列根式化为分数指数幂的形式： （1）
3
a a3 ；
m n
mn
(a ) a mn
m n
a b
n
a n bn
上述运算性质的范围？ 不一定是整数
如臭氧含量 Q 与时间 t 存 在指数关系，当 t 是半年 时，或 15 年零 3 个月时， 即指数是分数时情况 又会怎么样？
分数指数幂
给定正实数 a ，对于任意给定的整数 m, n （ m, n 互素） ，存在唯一的正实数 b ，
的过剩近似值 31.622 776 60… 26.302 679 91… 26.001 595 63… 25.959 719 76… 25.954 938 25…
2
10 ,10
1.5
1.42
,10
1.415
,10
1.4143
,10
1.41422
,...
10
2
的不足近似值
2 的不足近似值
1.4 1.41
§2
指数扩充及其运算性质
2.1 指数概念的扩充
1.理解分数指数幂的概念;(重点） 2.掌握分数指数幂和根式之间的互化；（难点）
3.培养学生观察、分析、抽象概括的能力，渗透转化
的数学思想.
细胞分裂中的正整数指数幂
你还记得如下性质吗?
a 1 (a 0)
0
a
n

1 (a 0) n a
a a a
1.414
25.118 864 31… 25.703 957 82…
25.941 793 62…
25.953 743 00… 25.954 340 62…
…
1.414 2 1.414 21
…
1.414
10 ,10 ,10
1.4
1.41
,10
1.4142
,10
1.41421
,...
10 10
1.4
1.41
10
1.414
10
1.4142 1.42
... 10 10
1.5
2
... 10
1.4143
10
1.415
10
10 是一个实数
2
1 1和 a


1 (a 0) a
指数扩大到了全体实数
注意：指数幂 a 中， a 一定大于０， a 也大于０

( x 3) , ( x 3)
8
解析:f (2) f (3) 8.
1.指数幂的运算性质适用于实数指数幂. 2. 分数指数幂只是根式的一种新的写法.
人生就是攀登！让我们背负着命运给予的 重载，艰苦跋涉，攀登上一个又一个品德、 情操、知识的高峰吧！
a a (a 0)
n m
m n
例如, 8 8 2 2 ， 27
1 2
2 3
3
27 2 9
注意:
1 m a 不能理解为 个 a 相乘,如 a 2 不能认为半个 a 的乘积, n m n
它的实质是根式的另一种写法,如 a
1 2
a.
分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是
a
m n
2.计算： （1） 8 ; （2） 27 .
1 解： （1） 2 1 （2） 9

1 3

2 3
3.将下列根式化为分数指数幂的形式：
（1） 3 ab ( ab ) ( a 0, b 0) ；
2 3
（2）
3
1 a( 5 a 2 )2
.
3 3 2 3 5 2 7 2
2 3 2 3 解: （1） ab ( ab ) ab (ab) a b
解： （ 1） b 32 ; （ 2） b 3 ; （ 3） b
3m 5n
1 5
5 4
(m, n N )
例 2.计算 （1） 27 ； （2） 4 ．
3 解： （１）因为 3 27 ，所以 27 3 ；
1 3
3 2
1 3
2 3 （２）因为 8 4 ，所以 4 8 ．