北师大版数学必修1课件：3.2.1指数概念的扩充
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北师大版必修1数学教学练习课件第三章指数函数和对数函数第二节指数扩充及其运算性质
第三章 指数函数和对数函数
〔跟踪练习 4〕 (1)设|x|<3，化简 x2－2x＋1－ x2＋6x＋9； (2)如果 m<－5，化简：|6－m|－|2m＋1|＋ m2＋10m＋25； (3)已知 y＝ 3x－2＋ 2－3x＋ 26，求实数 x 及 y 的值．
数 学 必 修 ① 北 师 大A 版
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A．－1
B．14
C．12 [解析]
因为 f(－2)＝2－2＝14，
D．32
数 学 必
所以 f[f(－2)]＝f(14)＝1－ 14＝1－12＝12，故答案选 C．
修
①
北 师 大A 版
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第三章 指数函数和对数函数
3．若 b－3n＝5m(m，n∈N＋)，则 b＝_5_－__3m_n___.
[解析] 若 bn＝am(m，n∈N＋，a>0，b>0)，则 b＝amn ，所以由 b－3n＝5m 知 b
数 学
3x－2≥0 2－3x≥0
，解得xx≥≤2323
.
必
修 ① 北
∴x＝23，从而 y＝ 26.
师
大A
版
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第三章 指数函数和对数函数
空间
典例 5 已知 x－82－ x－102＝2x－18 成立，求 x 的取值范围．
[错解] ∵ x－82＝x－8， x－102＝x－10，
∴原方程可转化为(x－8)－(x－10)＝2x－18.解得 x＝10.
数
∴原方程可化为(8－x)－(10－x)＝2x－18，解得 x x 的取值范围为 8≤x≤10.
北 师 大A 版
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·
第三章 指数函数和对数函数
『规律总结』 熟练掌握指数运算的性质及公式，是正确、迅速地化简、 求值的条件．
高中数学指数概念的扩充课件1 北师大版 必修1
这一节的内容与初中的内容十分相似，故重点应为让学生 多练，熟练有理数幂的运算性质与一般步骤。
(4)a b (2ab )
3
3 2
1 3
a b (3a b ) (5) 2 3 9a b
3
3 2
2 1
( a b) ( a b) (6) (a b 0, a b 0). 2 0 ( a b) ( a b)
4
分数指数幂(1) 解方程（其中b>0）：
n m
1 把b叫作a的 次幂，记作： b a n
1 m n 1 m n m n
1 n
a
n
则b＝？
解：b (a ) a
m n
a a
n
m
那么b a 叫作正分数指数幂， m、n N
分数指数幂(3)
正分数指数幂于根式的 比较P76
负分数指数幂规定： a
m n
1 a
m n
, m、n N
把b写成正分数指数幂的形式
(1)b 32
5
(2)b 3
4
5
(3)b
5n
3m
把b写成负分数指数幂的形式
(1)b 32 (2)b 3
4
x y
5
5
(3)b
5 n
3m
若b a , (a、b 0, x、y Q ) 则b a
y x
课后反思
3 3
3
2
3 27 3 2 3 9
3
3
3 ( 2 )
3
3 3
1
2 3 （－2 ）
可得： 3 3 ＝3
正整数指数运算性质可以推广为全体整数
(4)a b (2ab )
3
3 2
1 3
a b (3a b ) (5) 2 3 9a b
3
3 2
2 1
( a b) ( a b) (6) (a b 0, a b 0). 2 0 ( a b) ( a b)
4
分数指数幂(1) 解方程（其中b>0）：
n m
1 把b叫作a的 次幂，记作： b a n
1 m n 1 m n m n
1 n
a
n
则b＝？
解：b (a ) a
m n
a a
n
m
那么b a 叫作正分数指数幂， m、n N
分数指数幂(3)
正分数指数幂于根式的 比较P76
负分数指数幂规定： a
m n
1 a
m n
, m、n N
把b写成正分数指数幂的形式
(1)b 32
5
(2)b 3
4
5
(3)b
5n
3m
把b写成负分数指数幂的形式
(1)b 32 (2)b 3
4
x y
5
5
(3)b
5 n
3m
若b a , (a、b 0, x、y Q ) 则b a
y x
课后反思
3 3
3
2
3 27 3 2 3 9
3
3
3 ( 2 )
3
3 3
1
2 3 （－2 ）
可得： 3 3 ＝3
正整数指数运算性质可以推广为全体整数
高中数学 3.2 指数扩充及其运算性质课件 北师大版必修1
迅速地化简、求值的条件．
第三十六页，共36页。
第二十七页，共36页。
计算：3 xy2 xy－1· xy·(xy)－1.
[解析]
原式＝(xy2·x12
·y－1 2
)1 3
·(xy)
1 2
·(xy)－1
＝(x y ) 3 3 1 2 23
(xy)
－1
2
＝(xy)12·(xy)－12
＝(xy)
1 2
－1
2
＝(xy)0
＝1.
第二十八页，共36页。
利用分数指数幂进行(jìnxíng)条件求值
第三十二页，共36页。
易错疑难辨析
第三十三页，共36页。
已知 x－82－ x－102＝2x－18 成立，求 x 的 取值范围．
[错解] ∵ x－82＝x－8， x－102＝x－10， ∴原方程可转化为(x－8)－(x－10)＝2x－18. 解得 x＝10. ∴所求 x 的取值范围为 x＝10.
第三十四页，共36页。
最简结果．这要求同学们一定在记准、记熟运算性质的基础上，
结合问题灵活地进行运用．
第二十三页，共36页。
化简：56a13
b－2×(－3a－12
)b－1÷(4a23
b－3)
1 2
.
[解析]
原式＝56a13
b－2×(－3a－12
b－1)÷(4a23
b－3)
1 2
＝－52a－16
b
－3÷(4a23
b－3)
两个(liǎnɡ ɡè) 相反数
n a －n a
正数(zhèngshù)
n
n
0＝0
a
第九页，共36页。
负数
第三十六页，共36页。
第二十七页，共36页。
计算：3 xy2 xy－1· xy·(xy)－1.
[解析]
原式＝(xy2·x12
·y－1 2
)1 3
·(xy)
1 2
·(xy)－1
＝(x y ) 3 3 1 2 23
(xy)
－1
2
＝(xy)12·(xy)－12
＝(xy)
1 2
－1
2
＝(xy)0
＝1.
第二十八页，共36页。
利用分数指数幂进行(jìnxíng)条件求值
第三十二页，共36页。
易错疑难辨析
第三十三页，共36页。
已知 x－82－ x－102＝2x－18 成立，求 x 的 取值范围．
[错解] ∵ x－82＝x－8， x－102＝x－10， ∴原方程可转化为(x－8)－(x－10)＝2x－18. 解得 x＝10. ∴所求 x 的取值范围为 x＝10.
第三十四页，共36页。
最简结果．这要求同学们一定在记准、记熟运算性质的基础上，
结合问题灵活地进行运用．
第二十三页，共36页。
化简：56a13
b－2×(－3a－12
)b－1÷(4a23
b－3)
1 2
.
[解析]
原式＝56a13
b－2×(－3a－12
b－1)÷(4a23
b－3)
1 2
＝－52a－16
b
－3÷(4a23
b－3)
两个(liǎnɡ ɡè) 相反数
n a －n a
正数(zhèngshù)
n
n
0＝0
a
第九页，共36页。
负数
北师大版高中数学必修一课件3-2指数扩充及其运算性质59张.pptx
(3)
9a－2b－3
[解析] (1)2－2×30×42＝212×1×16＝4. (2)(ab)－1·(ab)3＝a－1·b－1·(a·b－1)3＝1a×1b×a3×b13＝ab24＝a2b－ 4. (3)原式＝－39·a·a－－32＋b2－b3－2－1＝－13a－1＋2b－3＋3＝－13a.
分数指数幂的运算 [例 2] 求下列各式的值
1 4
的值是(
)
3
5
A.5
B.3
3
25
C.25
D. 9
[答案] B
[解析]
81 － (625)
1 4
＝(68215)
1 4
＝[(53)4]
1 4
＝53.
3．如果 x＞y＞0，那么xyyyyxxx＝(
)
y
A．(x－y) x
x
B．(x－y) y
C．(xy)y－x
D．(xy)－xy
[答案] C
[解析] ∵x＞y＞0，∴xyyyyxxx＝xy－x·yx－y＝xyyy－ －xx＝xyy－x，故选 C.
[解析]
解
法
一
：
原
式
＝
a2b2a2＋b2－a－2－b－2 a2b2a2b2－a－2b－2
＋
aba－a－1b－b－1 abab＋a－1b－1
＝a4b2＋aa42bb44－－1b2－a2＋a2－a21b2＋b21－1
＝a2b2a2＋a4bb24－－1a2＋b2＋a2b2－a2ba22－＋b12＋1
二、填空题 4．把根式化为幂的形式：4 a2b3＝__________.
13
[答案] a2 b4
[解析]
5. m－n2＝________.
新版高中数学北师大版必修1课件3.2.1指数概念的扩充
当堂检测
;
-9-
2.1 指数概念的扩充
探究一
探究二
探究三
首页 易错辨析
课前篇 自主预习
课课堂堂篇篇 探探究究学学习习
当堂检测
1.分数指数幂是一个正实数,即b=
������
������ ������
⇔bn=am,其中a,b均为正实
数,且m,n∈Z,m,n互素.
2.将bk=d中的正实数b改写成分数指数幂的形式时,主要根据分数
行计算.注意积累和记忆10以内的常用的正整数的幂值,这是快速、
准确进行幂值计算的关键.
-15-
2.1 指数概念的扩充
探究一
探究二
探究三
首页 易错辨析
课前篇 自主预习
课课堂堂篇篇 探探究究学学习习
当堂检测
变式训练 3813+36-12的值等于
.
解析:813+36-12 = 3 8 + 136=2+16 = 163.
【例 3】
计算下列各式的值:(1)823;(2)125-13;(3)
36 25
-32.
2
解:(1)83
=
3
82
=
3
64=4;
(2)125-13
=
1
1
1253
=
3
1 125
=
15;
(3)
36 25
-32 =
1 3=
36 2
25
1=
36 3 25
1
6
3
=
122156.
5
当堂检测
求指数幂的值时,首先要将指数幂转化为根式的形式,然后再进
(1)解析:由分数指数幂的意义知,应有 2x+1>0,
高中数学指数概念的扩充课件1 北师大版 必修1
3
33(2) 31 3
可得：33 32＝33（ －2）
正整数指数运算性质可以推广为全体整数
练习:计算化简(答案只含正整数指数形式)
(1)((2)3 )0; (2)(71)1; (3)(1)3 (1)4;
3
33
(4)a3b2 (2ab1)3
a b 3 2 (3a2b1)
(5)
9a 2b 3
(6)
教学目标：会有理数的指数运算性质并应用 分清底数的有意义的取值范围
教学难点：分数指数幂的运算和性质 使指数幂有意义的底数取值范围
计算
33 35 335 38
(33 )5 335 315
(3 a)3 33 a3 27a3
33
1 33
1 27
计算比较
33 32
33 32
ห้องสมุดไป่ตู้
27 9
这一节的内容与初中的内容十分相似，故重点应为让学生 多练，熟练有理数幂的运算性质与一般步骤。
负分数指
数幂规
定：a
m n
1
m
, m、n
N
an
把b写成正分数指数幂的形式
(1)b5 32 (2)b4 35 (3)b5n 3m
把b写成负分数指数幂的形式
(1)b5 32 (2)b4 35 (3)b5n 3m
若b x a y , (a、b 0, x、y Q)
y
则b a x
课后反思
1、对于正实数a、b，如果 bn a ，我们
1
1
把b叫作a的 n 次幂，记作：b a n n a
2、思考：如果正实数b有：bn am，m、n N
则b＝？
解：b
1
(am )n
【高中课件】高中数学北师大版必修一3.2.1指数概念的扩充课件ppt.ppt
m
于灵活应用 an
＝n am(a>0，m，n∈N＋)．
(2)技巧：当表达式中的根号较多时，要搞清被开方数，由
里向外用分数指数幂的形式写出来，然后再利用相关的运算性
质进行化简．
下列是根式的化成分数指数幂，是分数指数幂的化成根式
的形式：
4
(1)5－3 ；(2) a· a(a≥0)．
[解析]
4
(1)5－3
_求__a_的__n_次__方__根__叫作把 a 开 n 次方，称作开方运算.
1
m
a－ n
＝__n_a_m__
一般地，当 a>0，α 为任意实数值时，实数指数幂 aα 都有
意义．
2．n次方根的性质
两个
相反数
n a
－n a
正数 n a
n 0＝0
负数 n a
3
1.将 52 写成根式，正确的是( )
中小学精编教育课件
成才之路 ·数学
北师大版 ·必修1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章 指数函数和对数函数
1 课前自主预习
3 易错疑难辨析
2 课堂典例讲练
4
课时作业
课前自主预习
指数源于整数乘法的简便运算.17世纪初，荷兰工 程师司蒂文(Stevin)最早使用分数指数记号，以后又有 人将其扩展到负指数，直到18世纪，英国数学家牛顿 (Newton)开始用an表示任意实数指数幂．现代工程技 术的计算不再仅仅是乘法计算，它还需要进行乘方、
A.3 52
B. 3 5
53 C. 2
[答案] [解析]
D. 53
D 由分数指数幂与根式的互化可知D正确．
2．b4＝3(b>0)，则 b 等于( )
高中北师大版数学同步教学参考必修一-第3章-2.1指数概念的扩充2.2-指数运算的性质解析PPT课件
教
学
易
教
错
法
易
分 析
●教学建议
误 辨
析
教 学
本节安排的内容蕴含了推广的思想(指数幂运算律的推 当
方
堂
案 广)，逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)．同时， 双
设
基
计
教材充分关注与实际问题的联系，体现数学的应用价值．建
达 标
课
前 自
议教学时通过具体、实际的问题来体现数学思想及价值，教
课
主
时
导 学
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
菜单
BS ·数学 必修1
易 错 易 误 辨 析
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
堂
案
双
设 计
在教学中突破重点、难点的方法是在给出定义前，让学
基 达
标
课 前
生类比平方根、立方根举些例子，给出定义后再为学生提供
自
课
主 导
一些实例，比较、巩固概念并获得根式的性质．在具体教学
时 作
学
业
过程中可以让学生多从具体实例中自己探究、归纳根式的性
课
堂 互
质结论．
动
探
究
教 师 备 课 资 源
菜单
BS ·数学 必修1
菜单
BS ·数学 必修1
教
学
易
2016-2017学年高中数学必修一(北师大版)指数扩充及其运算性质ppt课件(24张)
1
3 32
=
1 3 3
=
3 ; 9
������ a-1 =
3
1 1 ������ 2 ������ 3
探究一
探究二
探究三
易错辨析
探究三指数幂 【例 3】
2 解 :(1)83 1 (2)125 3
������ ������ ������
5 B.������2 5 D.-������2 1 (33 )2 =
3 解析:(1)32
=
27=3 3,故选 D.
(2) a-2 =
5
(a-2 )5
1
= ������
-
2 5.
答案:(1)D (2)A
三、指数范围的扩充 1.无理数指数幂 当a>0,p是一个无理数时,ap的值可用指数p的不足近似值和过剩 近似值构成的有理数指数幂序列无限趋近得到,无理数指数幂ap是 一个实数. 1 2.对于任意的实数α,有1α=1,a-α= ������ (a>0). ������ α α 3.指数幂a 中,必有a>0,a >0. 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的打 “×”. (1)根式一定是无理式. ( × ) ������ (2)在分数指数幂 ������ ������ 中,m与n可以为任意整数. ( × ) (3)ap(p是无理数,a>0)是一个实数且是一个无理数. ( × )
am (a>0). n>1).
(3)0的分数指数幂:0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没 有意义.
做一做 3 导学号
A. 2 B. 3 5 (2) ������-2 可化为( )
2 A.������ 5 2 C.������5
3 32
=
1 3 3
=
3 ; 9
������ a-1 =
3
1 1 ������ 2 ������ 3
探究一
探究二
探究三
易错辨析
探究三指数幂 【例 3】
2 解 :(1)83 1 (2)125 3
������ ������ ������
5 B.������2 5 D.-������2 1 (33 )2 =
3 解析:(1)32
=
27=3 3,故选 D.
(2) a-2 =
5
(a-2 )5
1
= ������
-
2 5.
答案:(1)D (2)A
三、指数范围的扩充 1.无理数指数幂 当a>0,p是一个无理数时,ap的值可用指数p的不足近似值和过剩 近似值构成的有理数指数幂序列无限趋近得到,无理数指数幂ap是 一个实数. 1 2.对于任意的实数α,有1α=1,a-α= ������ (a>0). ������ α α 3.指数幂a 中,必有a>0,a >0. 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的打 “×”. (1)根式一定是无理式. ( × ) ������ (2)在分数指数幂 ������ ������ 中,m与n可以为任意整数. ( × ) (3)ap(p是无理数,a>0)是一个实数且是一个无理数. ( × )
am (a>0). n>1).
(3)0的分数指数幂:0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没 有意义.
做一做 3 导学号
A. 2 B. 3 5 (2) ������-2 可化为( )
2 A.������ 5 2 C.������5
高中数学北师大版必修一 3.2.1-2指数概念的扩充、指数运算的性质 课件(33张)
【解析】 (1) －23＝－2； 4 4 (2) －32＝ 32＝ 3； 8 (3) 3－π8＝|3－π|＝π－3； (4)原式＝ x－y2＋y－x＝|x－y|＋y－x. 当 x≥y 时，原式＝x－y＋y－x＝0； 当 x<y 时，原式＝y－x＋y－x＝2(y－x)． 0，x≥y， 所以原式＝ 2y－x，x<y.
2．1 指数概念的扩充 2．2 指数运算的性质
【课标要求】 1.理解分数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义. ]2.掌握分数指数幂与根式的互化. 3.掌握幂的运算性质. 4.能熟练地运用性质进行化简或求值．
自主学习 |新知预习| 1．分数指数幂 (1)定义：给定正实数 a，对于任意给定的整数 m，n(m，n 互素)， m n m 存在唯一的正实数 b，使得 b ＝a ，我们把 b 叫作 a 的 次幂，记作 b n ＝a .
n 【思路点拨】 根式与分数指数幂互化的依据是 a ＝ am(a>0， m，n∈N＋，且 n>1)．当所求根式含有多重根号时，由里向外用分数指 数幂写出，然后再利用运算性质化简．
m n
【解析】 (1)－ x＝－x 6
2
1 2 6 1 3
1 2
(x>0)；
3 4 1 －3 4
4 1 y ＝(|y| ) ＝－y (y<0)；x ＝(x ) ＝ x 3(x>0)； 1 3 1 1 1 x 3 ＝x 3 ＝ x(x≠0)．故选 C.
m n
(2)意义：
2.无理数指数幂 无理数指数幂 aα(a>0，α 是无理数)是一个确定的正实数． 3．指数运算性质： 当 a>0，b>0 时，对任意实数 m，n 满足以下三条运算性质： (1)am· an＝am＋n. (2)(am)n＝amn. (3)(ab)n＝anbn.
【高中课件】北师版高中数学必修一3.2.2指数扩充及其运算性质课件ppt.ppt
5
10 a2
10 5
a a a 2 3
12
4
12 3
ÙÔ ´¿ ÂÏ æà ¸¼ ö¸ ± ä ÎÐ º£
(25 )2 210
210 25 ȣ 5 10
10
210 2 2 £¡
2
12
15
3 312 3 3 £ 3 315 3 3 £
x 1
（2） 7 x 3
=
3 (x>0)
7
ab
(3)
4 (a b)3
=
1
3
(a b) 2 (a b) 4
条件求值证明问题
例2
已知
1
a2
1
a 2
4
，求下列各式的值
（1） a a 1
3
3
a2 a 2
（2） 1
1
a2 a 2
练习（变式）设 x3 x3 2求x x1 的值。
例(13)8求32值：(82323、) 32 1002312、32 (2142)
3、
=4
(16 81
)
3 4
.
1
(2)100 2 =
1 1 1
1
100 2
1
(10 2 ) 2
10
(3)
(
1 4
= )3
(2-2)-3
=
2(-2)(-3)
=
26
=
64
(4)(16 81
)
3 4
根指数
na
被开方数
a＞0
根式
4） n an 的运算结果如何？
当 n 为奇数时，n an = a ； ( a ∈ R )
(北师大版)§2__2.1__指数概念的扩充
大气中的臭氧含量还有多少呢? 大气中的臭氧含量还有多少呢?
分数指数幂
给定正实数 a ，对于任意给定的整数 m, n 互素） ，存在唯一的正实数 （ m, n 互素） 存在唯一的正实数 b ， ，
m 使得 b = a ，我们把 b 叫做 a 的 次 n
n m
幂，记作 b = a
m n
例 1.把下列各式中的 b （ b＞0）写成分数指数幂的形式： 把下列各式中的 ＞ ）写成分数指数幂的形式： （2） （3） （ 1） b = 32; ； ） b = 3 ; ； ） b ） （ （
5 2 4 3
解： １） a = a ； （
5 2
2 5
（ ２） b = b
（ ３） c = c
4 3Leabharlann 1 23 4规定： 的正分数指数幂等于0 规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义; 的负分数指数幂无意义; 根式与分数指数幂是可以互化的; 根式与分数指数幂是可以互化的; 分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是 分数指数幂只是根式的一种新的写法，
10 ,10 ,10
1.4
1.41
,10
1.4142
,10
1.41421
,...
10 < 10
1.4
1.41
< 10
1.414
< 10
1.4142 1.42
< ... < 10 < 10
1.5
2
< ... < 10
1.4143
< 10
1.415
< 10
10 是一个实数
2
1 =1和 a
α
−α
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(a b Nhomakorabea a b
(2)
3
5 2
7 1 2 3
5 6
7 6
1 a( 5 a 2 ) 2
3
1 a(a )
2 5 2
3
1 a
9 5
1 (a )
9 1 5 3
1 a
3 5
a
3 5
2 x 4.(2012·西安高一检测)给出函数 f ( x) f ( x 1)
则 f (2)
１.把下列各式中的 b （b＞0）写成分数指数幂的形式： （1） b
5
32; （2） b4 35 ; （3） b2n 3m (m, n N ).
1 5 5 4
解： （1） b 32 ; （ 2） b 3 ;（3） b
3m 2n
(m, n N )
( x 3) , ( x 3)
8
解析:f (2) f (3) 8.
1.指数幂的运算性质适用于实数指数幂. 2. 分数指数幂只是根式的一种新的写法.
人生就是攀登！让我们背负着命运给予的 重载，艰苦跋涉，攀登上一个又一个品德、 情操、知识的高峰吧！
m 使得 b a ，我们把 b 叫作 a 的 次 n
n m
幂，记作 b a
m n
指数概念的扩充是 为了解决实际问题 的需要
例 1.把下列各式中的 b （b＞0）写成分数指数幂的形式： （1） b 32; （2） b 3 ; （3） b
5 4 5
5n
3m (m, n N ).
1.414
25.118 864 31… 25.703 957 82…
25.941 793 62…
25.953 743 00… 25.954 340 62…
…
1.414 2 1.414 21
…
1.414
10 ,10 ,10
1.4
1.41
,10
1.4142
,10
1.41421
,...
10 10
1.4
解： （ 1） b 32 ; （ 2） b 3 ; （ 3） b
3m 5n
1 5
5 4
(m, n N )
例 2.计算 （1） 27 ； （2） 4 ．
3 解： （１）因为 3 27 ，所以 27 3 ；
1 3
3 2
1 3
2 3 （２）因为 8 4 ，所以 4 8 ．
2.计算： （1） 8 ; （2） 27 .
1 解： （1） 2 1 （2） 9
1 3
2 3
3.将下列根式化为分数指数幂的形式：
（1） 3 ab ( ab ) ( a 0, b 0) ；
2 3
（2）
3
1 a( 5 a 2 )2
.
3 3 2 3 5 2 7 2
2 3 2 3 解: （1） ab ( ab ) ab (ab) a b
1.41
10
1.414
10
1.4142 1.42
... 10 10
1.5
2
... 10
1.4143
10
1.415
10
10 是一个实数
2
1 1和 a
1 (a 0) a
指数扩大到了全体实数
注意：指数幂 a 中， a 一定大于０， a 也大于０
a a (a 0)
n m
m n
例如, 8 8 2 2 ， 27
1 2
2 3
3
27 2 9
注意:
1 m a 不能理解为 个 a 相乘,如 a 2 不能认为半个 a 的乘积, n m n
它的实质是根式的另一种写法,如 a
1 2
a.
分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是
a
m n
例３.把下列各式写成分数指数幂的形式： （1） 5 a 2 (a 0) ； （2） b (b 0) ； （3） 4 c3 (c 0)
解： （１） a a ；
5 2
2 5
（２） b b
（３） c c
4 3
1 2
3 4
变式练习
将下列根式化为分数指数幂的形式： （1）
3
a a3 ；
a a a (a 0).
1 n
1 n
1 n
规定分数指数幂后,根式与分数指数幂是可以互化的
正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义
相仿，即
a
m n
1
m an
(a 0, m, n N , 且n 1)
规定：0的正分数指数幂等于0， 0的负分数指数幂没有意义.
3 2 3 2 3
（2） a a a ；
3 2 2 3 3 2
解:（1） a a a a a
a
13 6
（ 2）
a a a a aa a a aa
a a
7 4 7 8
1 2
3 2
3 4
思考：无理数指数幂有意义吗？
2 的过剩近似值
10
1.5 1.42 1.415 1.414 3 1.414 22
3 2
变式练习
计算 （1） 8 ； （2） 9 ．
解： （１）因为 2 8 ，所以 8 2 ；
3
1 3
1 3
3 2
（２）因为 27 9 ，所以 9 27 ．
2 3
3 2
提升总结:
求 a 是多少，关键是找到 b ,使得 b a ，
n m
m n
有时我们把正分数指数幂写成根式形式，即
的过剩近似值 31.622 776 60… 26.302 679 91… 26.001 595 63… 25.959 719 76… 25.954 938 25…
2
10 ,10
1.5
1.42
,10
1.415
,10
1.4143
,10
1.41422
,...
10
2
的不足近似值
2 的不足近似值
1.4 1.41
§2
指数扩充及其运算性质
2.1 指数概念的扩充
1.理解分数指数幂的概念;(重点） 2.掌握分数指数幂和根式之间的互化；（难点）
3.培养学生观察、分析、抽象概括的能力，渗透转化
的数学思想.
细胞分裂中的正整数指数幂
你还记得如下性质吗?
a 1 (a 0)
0
a
n
1 (a 0) n a
a a a
m n
mn
(a ) a mn
m n
a b
n
a n bn
上述运算性质的范围？ 不一定是整数
如臭氧含量 Q 与时间 t 存 在指数关系，当 t 是半年 时，或 15 年零 3 个月时， 即指数是分数时情况 又会怎么样？
分数指数幂
给定正实数 a ，对于任意给定的整数 m, n （ m, n 互素） ，存在唯一的正实数 b ，
(2)
3
5 2
7 1 2 3
5 6
7 6
1 a( 5 a 2 ) 2
3
1 a(a )
2 5 2
3
1 a
9 5
1 (a )
9 1 5 3
1 a
3 5
a
3 5
2 x 4.(2012·西安高一检测)给出函数 f ( x) f ( x 1)
则 f (2)
１.把下列各式中的 b （b＞0）写成分数指数幂的形式： （1） b
5
32; （2） b4 35 ; （3） b2n 3m (m, n N ).
1 5 5 4
解： （1） b 32 ; （ 2） b 3 ;（3） b
3m 2n
(m, n N )
( x 3) , ( x 3)
8
解析:f (2) f (3) 8.
1.指数幂的运算性质适用于实数指数幂. 2. 分数指数幂只是根式的一种新的写法.
人生就是攀登！让我们背负着命运给予的 重载，艰苦跋涉，攀登上一个又一个品德、 情操、知识的高峰吧！
m 使得 b a ，我们把 b 叫作 a 的 次 n
n m
幂，记作 b a
m n
指数概念的扩充是 为了解决实际问题 的需要
例 1.把下列各式中的 b （b＞0）写成分数指数幂的形式： （1） b 32; （2） b 3 ; （3） b
5 4 5
5n
3m (m, n N ).
1.414
25.118 864 31… 25.703 957 82…
25.941 793 62…
25.953 743 00… 25.954 340 62…
…
1.414 2 1.414 21
…
1.414
10 ,10 ,10
1.4
1.41
,10
1.4142
,10
1.41421
,...
10 10
1.4
解： （ 1） b 32 ; （ 2） b 3 ; （ 3） b
3m 5n
1 5
5 4
(m, n N )
例 2.计算 （1） 27 ； （2） 4 ．
3 解： （１）因为 3 27 ，所以 27 3 ；
1 3
3 2
1 3
2 3 （２）因为 8 4 ，所以 4 8 ．
2.计算： （1） 8 ; （2） 27 .
1 解： （1） 2 1 （2） 9
1 3
2 3
3.将下列根式化为分数指数幂的形式：
（1） 3 ab ( ab ) ( a 0, b 0) ；
2 3
（2）
3
1 a( 5 a 2 )2
.
3 3 2 3 5 2 7 2
2 3 2 3 解: （1） ab ( ab ) ab (ab) a b
1.41
10
1.414
10
1.4142 1.42
... 10 10
1.5
2
... 10
1.4143
10
1.415
10
10 是一个实数
2
1 1和 a
1 (a 0) a
指数扩大到了全体实数
注意：指数幂 a 中， a 一定大于０， a 也大于０
a a (a 0)
n m
m n
例如, 8 8 2 2 ， 27
1 2
2 3
3
27 2 9
注意:
1 m a 不能理解为 个 a 相乘,如 a 2 不能认为半个 a 的乘积, n m n
它的实质是根式的另一种写法,如 a
1 2
a.
分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是
a
m n
例３.把下列各式写成分数指数幂的形式： （1） 5 a 2 (a 0) ； （2） b (b 0) ； （3） 4 c3 (c 0)
解： （１） a a ；
5 2
2 5
（２） b b
（３） c c
4 3
1 2
3 4
变式练习
将下列根式化为分数指数幂的形式： （1）
3
a a3 ；
a a a (a 0).
1 n
1 n
1 n
规定分数指数幂后,根式与分数指数幂是可以互化的
正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义
相仿，即
a
m n
1
m an
(a 0, m, n N , 且n 1)
规定：0的正分数指数幂等于0， 0的负分数指数幂没有意义.
3 2 3 2 3
（2） a a a ；
3 2 2 3 3 2
解:（1） a a a a a
a
13 6
（ 2）
a a a a aa a a aa
a a
7 4 7 8
1 2
3 2
3 4
思考：无理数指数幂有意义吗？
2 的过剩近似值
10
1.5 1.42 1.415 1.414 3 1.414 22
3 2
变式练习
计算 （1） 8 ； （2） 9 ．
解： （１）因为 2 8 ，所以 8 2 ；
3
1 3
1 3
3 2
（２）因为 27 9 ，所以 9 27 ．
2 3
3 2
提升总结:
求 a 是多少，关键是找到 b ,使得 b a ，
n m
m n
有时我们把正分数指数幂写成根式形式，即
的过剩近似值 31.622 776 60… 26.302 679 91… 26.001 595 63… 25.959 719 76… 25.954 938 25…
2
10 ,10
1.5
1.42
,10
1.415
,10
1.4143
,10
1.41422
,...
10
2
的不足近似值
2 的不足近似值
1.4 1.41
§2
指数扩充及其运算性质
2.1 指数概念的扩充
1.理解分数指数幂的概念;(重点） 2.掌握分数指数幂和根式之间的互化；（难点）
3.培养学生观察、分析、抽象概括的能力，渗透转化
的数学思想.
细胞分裂中的正整数指数幂
你还记得如下性质吗?
a 1 (a 0)
0
a
n
1 (a 0) n a
a a a
m n
mn
(a ) a mn
m n
a b
n
a n bn
上述运算性质的范围？ 不一定是整数
如臭氧含量 Q 与时间 t 存 在指数关系，当 t 是半年 时，或 15 年零 3 个月时， 即指数是分数时情况 又会怎么样？
分数指数幂
给定正实数 a ，对于任意给定的整数 m, n （ m, n 互素） ，存在唯一的正实数 b ，