调和点列在平面几何中的应用+导数及其运用(知识点、例题、详细解答)(超级详细!!!)
高考数学解析几何专题讲义第25讲-调和点列-极点极线
解析：方法一（高考标准答案 1）：
直线
AT
:
y
m 12
(x
3)
，直线
BT
:
y
m 6
(x
3)
，设
M
(x1,
y1 ),
N (x2 ,
y2 )
，
联立
AT
与椭圆，则
y1
x12
9
m 12
(x1
y12 1 5
3)
（第 18 题图）
得
x1
y1
240 3m2 80 m2 40m 80 m2
二、典例分析
类型 1：客观题中结论的直接运用 例 1（2013•山东）过点（3，1）作圆 (x 1)2 y2 1 的两条切线，切点分别为 A 、B 则直线 AB 的方程为（ ）
A． 2x y 3 0
B． 2x y 3 0
C． 4x y 3 0
D． 4x y 3 0
解析：直线 AB 是点（3，1）对应的极线，则方程为 3 1 x 1 1 y 1 ，即 2x y 3 0 ．故选 A．
则极线为切线 l
:
x0 x a2
y0 y b2
1 ；
③极点 P(x0 , y0 ) 在椭圆内，过点 P 作椭圆的弦 AB ，
分别过
A, B
作椭圆切线，则切线交点轨迹为极线
x0 x a2
y0 y b2
1；
（3）圆锥曲线的焦点为极点，对应准线为极线.
（二）重要性质
性质 1：调和点列的几种表示形式
如图，若 A,C, B, D 四点构成调和点列，则有
GF FH
本题证明：
如图，可将椭圆 x2 y2 1 伸缩变换为 x2 y2 9 ，因为 AMB ANB 90 ，则 B 为 ATF 高的交点， 95
完全四点(线)形的调和性质在初等几何证题中的应用
完全四点（线）形的调和性质在初等几何证题中的应用数学学院数学与应用数学（师范）专业 2021级杨春燕指导教师刘学文摘要：高等几何是初等几何的延伸，它为初等几何提供了理论依据，拓展了初等几何的解题途径，开阔了学习初等几何的视野，因此，很有必要了解高等几何在中学数学解题中的应用。
本文对高等几何中的完全四点（线）形的调和性质进行了归纳整理，并从初等几何与高等几何之间的本质联系出发，主要讨论了完全四点（线）形的调和性质应用于初等几何中某些证题问题的指导性作用。
关键词：完全四点形；完全四线形；调和性质；初等几何Abstract：Higher geometry is that the elementaru geometry of extension, it is several for elementaru geometry provided a theory basis, expandedelementaru geometry several of solution path, spacious the elementaru geometry is several the study visual field of.Therefore, have much of necessity understand Higher geometry where the usage in high school mathematics. Thistext carried on to induce a sorting to the completequadrangle(quadrilateral)’s Concordance property, and several from the elementaru geometry and Higher geometry of the essence contact of set out and mainly discussed that the complete quadrangle(quadrilateral)’s Concordance property is applied to elementary grade several win some functions of problems．Key words：complete quadrangle(quadrilateral)；harmomic property；elementaru geometry．1 引言《高等几何》是高等师范院校数学与应用数学专业的一门重要基础课。
高中数学《调和点列与极点极线(解析几何)》(学生+解析版)
调和点列与极点极线知识与方法以极点极线为背景的题目经常出现在高考和各级竞赛试题之中, 如圆锥曲线的切线、切点弦、圆锥曲线内接四边形两对边延长线的交点轨迹等, 是圆锥曲线的常考问题, 这些问题大多和极点极线与调和点列的性质有关.熟悉调和点列与极点极线基本性质, 能抓住此类问题的本质，明确问题的目标, 能更高效地解决问题. 下面介绍交比、调和点列、完全四边形、Apollonius圆、极点和极线等射影几何的重要概念及性质, 溯本求源，揭示此类与极点极线有关的问题的来龙去脉.(一)调和分割的概念“调和分割”又称“调和共轭” , 来源于交比，分“调和线束”和“调和点列”两种, 它是交比研究中的一个重要特例, 也是贯穿《高等几何》课程的一个重要概念.定义1线束和点列的交比:如图, 过点O的四条直线被任意直线l所截的有向线段之比ACAD/BCBD称为线束OA、OC、OB、OD或点列A,C,B,D的交比.定理1交比与所截直线无关.【证明】令线束O a,b,c,d分别交l于A,B,C,D,则ACAD/BCBD=SΔAOCS△AOD/SΔBOCSΔBOD=CO sin∠AOCDO sin∠AOD/CO sin∠COBDO sin∠BOD=sin∠AOCsin∠AOD,sin∠COBsin∠BOD, 又因为各对应向量方向相同, 故交比与所截直线无关.【注】定理说明，点列的交比与其对应线束的交比是相同的. 保持线束不变, 取另一直线l 交线束于A ,B ,C ,D , 可视为对l作射影变换, 所得交比不变, 由此说明交比是射影不变量, 具有射影不变性.定义2调和线束与调和点列:定理1若交比为-1,则称为调和比.交比为-1的线束称为调和线束,点列称为调和点列. 一般地,若AC=λCBAD=-λDB(λ>0且λ≠1,则A,C,B,D四点构成“调和点列”;①A,B叫做“基点”,C,D叫做“(内、外)分点”.根据定义可得：如果点C内分线段AB，点D外分线段AB, 且ACCB=ADDB, 那么称点C,D调和分割线段AB.亦称A,C,B,D为调和点列. 线段端点和内外分点, 依次构成调和点列.即：调和点列⇔内分比=外分比.②也可以以D,C为基点, 则四点D,B,C,A仍构成调和点列, 故称A,B与C,D调和共轭.③如图, 若A,C,B,D构成调和点列,O为直线AB外任意一点, 则四直线OA,OC,OB,OD为调和线束;若另一直线截此调和线束, 则截得的四点A ,C ,B ,D 仍构成调和点列(由定理1可知).定理2调和点列的性质：若A,C,B,D为调和点列, 即ACCB=ADDB,则:(1)调和性:1AC+1AD=2AB证明:CACB=DADB⇒CBCA=DBDA⇒AB-CACA=DA-ABDA⇒ABCA-1=1-ABDA⇒ABCA+ABDA=2⇒1AC+1AD=2AB(2)共轭性:若A,C,B,D构成调和点列, 则D,B,C,A也构成调和点列.即：若1AC+1AD=2AB成立, 则1DB+1DA=2DC也成立;(3)等比性:①CACB=DADB=λ②记线段AB的中点为M, 则有MA|2=MB|2=MC⋅MD.③记线段CD的中点为N, 则有NC|2=ND|2=NA⋅NB.(同2可证)证明:CACB=DADB⇒MA+MCMA-MC=MD+MAMD-MA⇒MA+MCMD+MA=MA-MCMD-MA由等比性质可知:MA+MC+MA-MCMD+MA+MD-MA=MA+MC-MA- MC∣MD+MA-MD-MA⇒2MA2MD=2MC2MA⇒MA|2=MB2=MC⋅MD同理可得NC|2=ND|2=NA⋅NB.定理3斜率分别为k1,k2,k3的三条直线l1,l2,l3交于x轴外的点P, 过P作x轴的垂线l4, 则k1,k2,k3成等差数列的充要条件为l1,l2、l3,l4成调和线束.分析：不妨设k1、k2、k3均为正数, 其它情况同理可证.【证明】如图, 设l1,l2、l3,l4与x轴分别交于A,B,C,D四点, 则2k2=k1+k3⇔2DB=1DA+1DC⇔DADC=BABC⇔A,B,C,D成调和点列⇔l1,l3,l2,l4成调和线束.定理4已知F为椭圆的焦点,l为F相应的准线, 过F任作一直线交椭圆于A,B两点, 交l于点M, 则A,B,F,M成调和点列.(说明：此处图像应修正：B点在椭圆上，BB1虚线应往上移一点)【证明】如图, 分别过A,B作l的垂线, 垂足为A1,B1,则由椭圆的第二定义及平行线的性质可得:AF BF=AA1BB1=AMBM, 故A,B,F,M成调和点列.定义3阿波罗尼斯Apollonius圆：到两定点A、B距离之比为定值k(k>0且k≠1)的点的轨迹为圆, 称为Apollonius圆(简称阿氏圆)，为古希腊数学家Apollonius最先提出并解决.【证明】如图, 由AP=kPB, 则在AB直线上有两点C、D满足ACBC=ADBD=APBP, 故PC、PD分别为∠APB的内外角平分线, 则CP⊥DP, 即P的轨迹为以CD为直径的圆(圆心O为线段CD的中点).由ACBC=ADBD可知, 图中A,C,B,D为调和点列.定义4完全四边形：我们把两两相交, 且没有三线共点的四条直线及它们的六个交点所构成的图形, 叫做完全四边形. 如图，凸四边形ABCD各边延长交成的图形称为完全四边形ABCDEF,AC、BD、EF称为其对角线.定理5完全四边形对角线所在直线互相调和分割. 即AGCH、BGDI、EHFI分别构成调和点列.【证明】HEHF⋅IFIE=S△AECS△AFC⋅SΔBDFS△BDE=S△AECSΔACD⋅SΔACDSΔAFC⋅SΔBDFSΔBEF⋅SΔBEFSΔBDE=ECCD⋅ADAF⋅DCEC⋅AFAD=1,即HEHF=IEIF, 所以EHFI为调和点列. 其余的可由线束的交比不变性得到.(二)极点和极线的概念1. 极点和极线的几何定义如图,P为不在圆锥曲线Γ上的点, 过点P引两条割线依次交圆锥曲线于四点E,F,G,H, 连接EH ,FG交于N, 连接EG,FH交于M, 我们称点P为直线MN关于圆锥曲线Γ的极点, 称直线MN为点P关于圆锥曲线Γ的极线. 直线MN交圆锥曲线Γ于A,B两点, 则PA,PB为圆锥曲线Γ的两条切线. 若P在圆锥曲线Γ上, 则过点P的切线即为极线.(1)自极三角形：极点P一一极线MN；极点M一一极线PN;极点N一一极线MP;即△PMN中,三个顶点和对边分别为一对极点和极线, 称△PMN为“自极三角形”.(2)极点和极线的两种特殊情况(1)当四边形变成三角形时：曲线上的点E F,M,N对应的极线, 就是切线PE;(2)当四边有一组对边平行时, 如：当FH⎳EG时, EG和FH的交点M落在无穷远处;点P的极线NM2和点N的极线PM1满足:FH⎳NM2⎳EG⎳PM1.2. 极点和极线的代数定义对于定点P x0,y0与非退化二次曲线Γ:Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0，过点P作动直线与曲线Γ交于点A与点B, 那么点P关于线段AB的调和点Q的轨迹是什么?可以证明:点Q在一条定直线l:Ax0x+Cy0y+D x+x02+Ey+y02+F=0上，如下图. 我们称点P为直线l关于曲线Γ的极点;相应地, 称直线l为点P关于曲线Γ的极线.一般地, 对于圆锥曲线Γ:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，设极点P x0,y0, 则对应的极线为l:Ax0x+B x0y+y0x2+Cy0y+Dx0+x2+Ey0+y2+F=0【注】替换规则为:x2→xx0, y2→yy0,xy→x0y+y0x2,x→x+x02,y→y+y02.(1)椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的三类极点极线(1)若极点P x 0,y 0 在椭圆外, 过点P 作橢圆的两条㘦线, 切点为A ,B , 则极线为切点弦所在直线AB :x 0xa 2+y 0yb 2=1;(2)若极点P x 0,y 0 在椭圆上, 过点P 作椭圆的切线l , 则极线为切线x 0xa 2+y 0yb 2=1;(3)若极点P x 0,y 0 在橢圆内, 过点P 作椭圆的弦AB , 分别过A ,B 作椭圆切线, 则切线交点轨迹为极线x 0xa 2+y 0yb 2=1由此可得椭圆极线的几何作法:(2)对于双曲线x 2a 2-y 2b 2=1, 极点P x 0,y 0 对应的极线为x 0x a 2-y 0y b 2=1;(3)对于拋物线y 2=2px , 极点P x 0,y 0 对应的极线为y =p x 0+x .3. 极点和极线的性质(1)引理:已知椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0), 直线l 的方程为x 0x a 2+y 0y b 2=1, 点P x 0,y 0 不与原点重合. 过点P 作直线交椭圆于A ,B 两点,M 点在直线AB 上，则“点M 在直线l 上"的充要条件是"P ,M 调和分割A ,B ", 即AP PB =AMMB.【证明】先证必要性. 设M 点的坐标为x 1,y 1 , 则有x 0x 1a 2+y 0y 1b 2=1. 设直线AB 的参数方程为x =x 0+tx 11+ty =y 0+ty 11+t(t 为参数)与椭圆方程联立, 得x 21a 2+y 21b 2-1 t 2+2x 0x 1a 2+y 0y 1b 2-1 t +x 20a 2+y 20b2-1=0，即x21a2+y21b2-1t2+x20a2+y20b2-1=0, 该方程有两个不等实根, 设为t1,t2, 则t1+t2=0.即P,M调和分割A,B, 也即APPB=AMMB.将以上证明过程反向推导，即得充分性成立.设P是圆锥曲线Γ的一个极点, 它对应的极线为l, 过P任意引一条直线, 交Γ于点A,B, 交l于点Q, 若点A是位于P,Q间的点, 结合引理可得如下极点和极线的三个调和性质:(1)调和性1 PA +1PB=2PQ(2)共轨性B,Q,A,P四点也构成“调和点列”, 即1BQ+1BP=2BA.(3)等比性(1)点Q、P是线段AB的内、外分点,PAPB=QAQB=λ.(2)若Γ为椭圆或双曲线，当直线AB经过曲线中心O时, OP⋅OQ=OA|2=OB|2.4. 配极原则若P点关于圆锥曲线Γ的极线通过另一点Q, 则Q点的极线也通过P, 称P、Q关于Γ调和共轭.【证明】设点P x P,y P,则相应的极线为l P:x p xa2+y P yb2=1,点Q x Q,y Q,相应的极线为l Q:x Q xa2+y Q y b2=1. 因为l P过点Q,Q坐标满足方程x P xa2+y P yb2=1, 即x P x Qa2+y P y Qb2=1;则P点坐标满足方程x Q xa2+y Q yb2=1, 这也说明, 也就是l Q过点P.配极原则说明:l P过点Q⇔l Q过点P, 由此可得下面推论:推论1:共线点的极线必然共点(A、G、D、E四点共线, 它们的极线a、g,d、e共交点F);共点线的极点必然共线(直线a、g,d、e共交点F, 它们的极点A、G，D、E四点共线).推论2：如下图, 过极点P作两条直线, 与桞圆分别交于点A,B和C,D, 则直线AD,BC的交点T必在极线上.5. 椭圆的极点与极线的常用性质对于椭圆x2a2+y2b2=1, 极点P x0,y0(不是原点)对应的极线为x0xa2+y0yb2=1, 有如下性质：性质1:“类焦点"与“类准线”当极点P m,0m≠0在x轴上时，对应的极线x=a2m平行于y轴，当极点P0,nn≠0在y轴上时对应的极线y=b2n平行于x轴;特别地, 当极点P为椭圆的焦点时, 极线为相应的准线.性质2：平方模型如下图, 射线OP与椭圆交于点D, 与点P的极线交于点C, 则|OP|⋅|OC|=|OD|2;当点P在x轴上时, |OP|⋅|OC|=a2;当点P在y轴上时, |OP|⋅|OC|=b2.性质3：共轭方向设极点P x0,y0不在坐标轴上, 则直线OP的斜率为k OP=y0x0, 极线l:x0xa2+y0yb2=1的斜率k=-b2x0a2y0，则k OP⋅k=y0x0⋅-b2x0a2y0=-b2a2.【注】性质3表明:椭圆内一点P的极线方向与以极点P为中点的弦的方向相同，称OP与极线方向共轭. 当极点P x0,y0在椭圆内时，极线l平行于以P为中点的弦所在直线EF(用点差法易证). 设直线OP与椭圆相交于点D, 过点D作椭圆的切线l1, 则以P为中点的弦所在直线EF、过点D的切线l1、极点P的极线l, 三线互相平行, 如下图.性质4:平行如下图, 设四边形ABCD为椭圆的内接梯形, AC⎳BD,AD∩BC=Q, 则点P的极线过Q, 且与直线AC、BD平行. 特别地, 若BC⎳AD⎳y轴时, 点P的极线平行y轴, 且与x轴的交点R 也是AC、BD交点, 有|OR|⋅|OP|=|OF|2=a2.性质5:垂直设圆锥曲线Γ的一个焦点为F, 与F相应的准线为l, 若过点F的直线与圆雉曲线Γ相交于M ,N两点, 则Γ在M,N两点处的切线的交点Q在准线l上, 且FQ⊥MN.【证明】以椭圆为例证明, 双曲线与拋物线类似处理.设P x0,y0, 则P x0,y0对应的极线为MN:x0xa2+y0yb2=1, 由F(c,0)在直线MN上得cx0a2=1, 所以x0=a2c, 故Q在准线l:x=a2c上. 由P a2c,y0, 易证k MN⋅k QF=-1, 所以FQ⊥MN.性质6：等角定理如下图, A,B是椭圆Γ的一条对称轴l上的两点(不在Γ上), 若A,B关于Γ调和共轭, 过A 任作Γ的一条割线, 交Γ于P,Q两点, 则∠PBA=∠QBA.证明：因Γ关于直线l对称, 故在Γ上存在P,Q的对称点P ,Q . 若P 与Q重合, 则Q 与P 也重合, 此时P,Q关于l对称, 有∠PAB=∠QAB；若P 与Q不重合, 则Q 与P也不重合, 由于A,B关于Γ调和共轭, 故A,B为Γ上完全四点形PQ QP 的对边交点, 即Q 在P A上也在PB上, 故BP,BQ关于直线l对称, 也有∠PBA=∠QBA.【注】事实上, 性质6对于圆锥曲线都成立. 我们还可以得到下列结论:(1)直线PB与椭圆的另一交点为Q , 则Q 与Q关于l对称;(2)∠PAO=∠QAB=∠Q AB;(3)k AP+k AQ =0.典型例题类型1:判断位置关系【例1】已知点M (a ,b )在圆O :x 2+y 2=1外, 则直线ax +by =1与圆O 的位置关系是()A.相切B.相交C.相离D.不确定类型2:求极线方程【例2】过椭圆x 29+y 24=1内一点M (1,2), 作直线AB 与椭圆交于点A ,B , 作直线CD 与椭圆交于点C ,D , 过A ,B 分别作椭圆的切线交于点P , 过C ,D 分别作椭圆的切线交于点Q , 求P ,Q 连线所在的直线方程.【例3】设椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点M (2,1), 且左焦点为F 1(-2,1).(1)求敉圆C 的方程;(2)当过点P (4,1)的动直线l 于椭圆C 相交于两不同点A ,B 时, 在线段AB 上取点Q , 满足|AP |⋅|QB |=|AQ |⋅|PB |, 证明：点Q 总在某定直线上.类型3：证明直线过定点或三点共线【例4】如图, 过直线l:5x-7y-70=0上的点P作椭圆x225+y29=1的切线PM和PN, 切点分别为M,N, 连结MN.(1)当点P在直线l上运动时, 证明：直线MN恒过定点Q;(2)当MN⎳l时, 定点Q平分线段MN.【例5】已知A,B分别为椭圆E:x2a2+y2=1(a>1)的左、右顶点, G为E的上顶点, AG⋅GB=8,P为直线x=6上的动点, PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.(1)求E的方程;(2)证明：直线CD过定点.类型4:证明两直线垂直【例6】已知A (-2,0),B (2,0), 点C 是动点, 且直线AC 和直线BC 的斜率之积为-34.(1)求动点C 的轨迹方程;(2)设直线l 与(1)中轨迹相切于点P , 与直线x =4相交于点Q , 且F (1,0), 求证:∠PFQ =90∘.类型5:证明向量数量积(或线段长度之积)为定值【例7】如图, 椭圆有两顶点A (-1,0),B (1,0), 过其焦点F (0,1)的直线l 与椭圆交于C 、D 两点, 并与x 轴交于点P , 直线AC 与直线BD 交于点Q .(1)当|CD |=322时, 求直线l 的方程A (-1,0);(2)当点P 异于A 、B 两点时, 求证：OP ⋅OQ 为定值.类型6:与斜率有关的定值问题【例8】设P x0,y0为桞圆x24+y2=1内一定点(不在坐标轴上), 过点P的两条直线分别与椭圆交于点A,C和B、D, 且AB⎳CD.(1)证明:直线AB的斜率为定值;(2)过点P作AB的平行线, 与椭圆交于E、F两点, 证明：点P平分线段EF.【例9】如图, 椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0 的离心率为22, 直线l:y=12x与椭圆E相交于A、B两点, AB=25,C、D是椭圆E上异于A、B的任意两点, 且直线AC、BD相交于点M, 直线AD、BC相交于点N, 连结MN.(1)求椭圆E的方程;(2)求证：直线MN的斜率为定值.【例10】四边形ABCD是椭圆x23+y22=1的内接四边形, AB经过左焦点F1,AC,BD交于右焦点F2, 直线AB与直线CD的斜率分别为k1,k2.(1)证明:k1k2为定值;(2)证明：直线CD过定点, 并求出该定点的坐标.类型7:等角问题【例11】设椭圆C:x22+y2=1的右焦点为F, 过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时, 求直线AM的方程;(2)设O为坐标原点, 证明:∠OMA=∠O MB.【例12】如图, 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F, 点-1,32在椭圆C上, 过原点O的直线与椭圆C相交于M、N两点, 且|MF|+|NF|=4.(1)求椭圆C的方程;(2)设P(1,0),Q(4,0), 过点Q且斜率不为零的直线与椭圆C相交于A、B两点, 证明:∠APO=∠BPQ类型8:三斜率成等差数列引理:二次曲线Γ:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0与直线PQ交于点P,Q, 定点O在直线PQ上, PQ与O点关于曲线C的极线交于点R. 曲线C上有两动点A,B, 且直线AO、BO分别交曲线Γ于点C, D, 直线AB，CD分别交PQ于点M,N. 则M,O,N,R成调和点列.【证明】延长XO交BC于点E, 由定理5可知：B,E,C,Y成调和点列(完全四边形中的调和点列), 故M,O,N,R也成调和点列(调和点列在射影变换下的不变性).【例13】椭圆C:x2a2+y2b2=1,P的坐标是x0,0,Q点在P关于椭圆的极线x=a2x0上. 过P作直线交椭圆于点A,B. 求证：直线AQ,PQ,BQ的斜率成等差数列.该结论对于拋物线, 双曲线同样适用. 特别地，当Q点在x轴上时, 就是等角线, 此时PQ斜率为0 , PQ平分∠AQB.【例14】如图, 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0), 过焦点F任作一直线交椭圆C于A,B两点, 交F相应的准线于点M,P为过F与x轴垂直的直线上的任意一点, 则直线PA,PM,PB的斜率成等差数列.【例15】如下图, 椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右顶点为A1,B1,Q为直线x=m上一点, QA1,QB1分别于椭圆交于点A,B, 过点P作直线交桞圆于A,B两点, 直线AB与x轴交于点P, 与直线x=m交于点M, 记直线QA1,QB1,QP的斜率分别为k1,k2,k0, 则:(1)k1,k0,k2成等差数列;(2)x P x Q=a2.【例16】椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点M1,32, 离心率e=12.(1)求椭圆的方程;(2)设P是直线x=4上任意一点, AB是经过椭圆右焦点F的一条弦(不经过点M). 记直线PA,PF,PB的斜率依次为k1,k2,k3. 问：是否存在常数λ, 使得k1+k3=λk2. 若存在, 求λ的值;若不存在, 说明理由.调和点列与极点极线知识与方法以极点极线为背景的题目经常出现在高考和各级竞赛试题之中, 如圆锥曲线的切线、切点弦、圆锥曲线内接四边形两对边延长线的交点轨迹等, 是圆锥曲线的常考问题, 这些问题大多和极点极线与调和点列的性质有关.熟悉调和点列与极点极线基本性质, 能抓住此类问题的本质，明确问题的目标, 能更高效地解决问题. 下面介绍交比、调和点列、完全四边形、Apollonius圆、极点和极线等射影几何的重要概念及性质, 溯本求源，揭示此类与极点极线有关的问题的来龙去脉.(一)调和分割的概念“调和分割”又称“调和共轭” , 来源于交比，分“调和线束”和“调和点列”两种, 它是交比研究中的一个重要特例, 也是贯穿《高等几何》课程的一个重要概念.定义1线束和点列的交比:如图, 过点O的四条直线被任意直线l所截的有向线段之比ACAD/BCBD称为线束OA、OC、OB、OD或点列A,C,B,D的交比.定理1交比与所截直线无关.【证明】令线束O a,b,c,d分别交l于A,B,C,D,则ACAD/BCBD=SΔAOCS△AOD/SΔBOCSΔBOD=CO sin∠AOCDO sin∠AOD/CO sin∠COBDO sin∠BOD=sin∠AOCsin∠AOD,sin∠COBsin∠BOD, 又因为各对应向量方向相同, 故交比与所截直线无关.【注】定理说明，点列的交比与其对应线束的交比是相同的. 保持线束不变, 取另一直线l 交线束于A ,B ,C ,D , 可视为对l作射影变换, 所得交比不变, 由此说明交比是射影不变量, 具有射影不变性.定义2调和线束与调和点列:定理1若交比为-1,则称为调和比.交比为-1的线束称为调和线束,点列称为调和点列. 一般地,若AC=λCBAD=-λDB(λ>0且λ≠1,则A,C,B,D四点构成“调和点列”;①A,B叫做“基点”,C,D叫做“(内、外)分点”.根据定义可得：如果点C内分线段AB，点D外分线段AB, 且ACCB=ADDB, 那么称点C,D调和分割线段AB.亦称A,C,B,D为调和点列. 线段端点和内外分点, 依次构成调和点列.即：调和点列⇔内分比=外分比.②也可以以D,C为基点, 则四点D,B,C,A仍构成调和点列, 故称A,B与C,D调和共轭.③如图, 若A,C,B,D构成调和点列,O为直线AB外任意一点, 则四直线OA,OC,OB,OD为调和线束;若另一直线截此调和线束, 则截得的四点A ,C ,B ,D 仍构成调和点列(由定理1可知).定理2调和点列的性质：若A,C,B,D为调和点列, 即ACCB=ADDB,则:(1)调和性:1AC+1AD=2AB证明:CACB=DADB⇒CBCA=DBDA⇒AB-CACA=DA-ABDA⇒ABCA-1=1-ABDA⇒ABCA+ABDA=2⇒1AC+1AD=2AB(2)共轭性:若A,C,B,D构成调和点列, 则D,B,C,A也构成调和点列.即：若1AC+1AD=2AB成立, 则1DB+1DA=2DC也成立;(3)等比性:①CACB=DADB=λ②记线段AB的中点为M, 则有MA|2=MB|2=MC⋅MD.③记线段CD的中点为N, 则有NC|2=ND|2=NA⋅NB.(同2可证)证明:CACB=DADB⇒MA+MCMA-MC=MD+MAMD-MA⇒MA+MCMD+MA=MA-MCMD-MA由等比性质可知:MA+MC+MA-MCMD+MA+MD-MA=MA+MC-MA- MC∣MD+MA-MD-MA⇒2MA2MD=2MC2MA⇒MA|2=MB2=MC⋅MD同理可得NC|2=ND|2=NA⋅NB.定理3斜率分别为k1,k2,k3的三条直线l1,l2,l3交于x轴外的点P, 过P作x轴的垂线l4, 则k1,k2,k3成等差数列的充要条件为l1,l2、l3,l4成调和线束.分析：不妨设k1、k2、k3均为正数, 其它情况同理可证.【证明】如图, 设l1,l2、l3,l4与x轴分别交于A,B,C,D四点, 则2k2=k1+k3⇔2DB=1DA+1DC⇔DADC=BABC⇔A,B,C,D成调和点列⇔l1,l3,l2,l4成调和线束.定理4已知F为椭圆的焦点,l为F相应的准线, 过F任作一直线交椭圆于A,B两点, 交l于点M, 则A,B,F,M成调和点列.(说明：此处图像应修正：B点在椭圆上，BB1虚线应往上移一点)【证明】如图, 分别过A,B作l的垂线, 垂足为A1,B1,则由椭圆的第二定义及平行线的性质可得:AF BF=AA1BB1=AMBM, 故A,B,F,M成调和点列.定义3阿波罗尼斯Apollonius圆：到两定点A、B距离之比为定值k(k>0且k≠1)的点的轨迹为圆, 称为Apollonius圆(简称阿氏圆)，为古希腊数学家Apollonius最先提出并解决.【证明】如图, 由AP=kPB, 则在AB直线上有两点C、D满足ACBC=ADBD=APBP, 故PC、PD分别为∠APB的内外角平分线, 则CP⊥DP, 即P的轨迹为以CD为直径的圆(圆心O为线段CD的中点).由ACBC=ADBD可知, 图中A,C,B,D为调和点列.定义4完全四边形：我们把两两相交, 且没有三线共点的四条直线及它们的六个交点所构成的图形, 叫做完全四边形. 如图，凸四边形ABCD各边延长交成的图形称为完全四边形ABCDEF,AC、BD、EF称为其对角线.定理5完全四边形对角线所在直线互相调和分割. 即AGCH、BGDI、EHFI分别构成调和点列.【证明】HEHF⋅IFIE=S△AECS△AFC⋅SΔBDFS△BDE=S△AECSΔACD⋅SΔACDSΔAFC⋅SΔBDFSΔBEF⋅SΔBEFSΔBDE=ECCD⋅ADAF⋅DCEC⋅AFAD=1,即HEHF=IEIF, 所以EHFI为调和点列. 其余的可由线束的交比不变性得到.(二)极点和极线的概念1. 极点和极线的几何定义如图,P为不在圆锥曲线Γ上的点, 过点P引两条割线依次交圆锥曲线于四点E,F,G,H, 连接EH ,FG交于N, 连接EG,FH交于M, 我们称点P为直线MN关于圆锥曲线Γ的极点, 称直线MN为点P关于圆锥曲线Γ的极线. 直线MN交圆锥曲线Γ于A,B两点, 则PA,PB为圆锥曲线Γ的两条切线. 若P在圆锥曲线Γ上, 则过点P的切线即为极线.(1)自极三角形：极点P一一极线MN；极点M一一极线PN;极点N一一极线MP;即△PMN中,三个顶点和对边分别为一对极点和极线, 称△PMN为“自极三角形”.(2)极点和极线的两种特殊情况(1)当四边形变成三角形时：曲线上的点E F,M,N对应的极线, 就是切线PE;(2)当四边有一组对边平行时, 如：当FH⎳EG时, EG和FH的交点M落在无穷远处;点P的极线NM2和点N的极线PM1满足:FH⎳NM2⎳EG⎳PM1.2. 极点和极线的代数定义对于定点P x0,y0与非退化二次曲线Γ:Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0，过点P作动直线与曲线Γ交于点A与点B, 那么点P关于线段AB的调和点Q的轨迹是什么?可以证明:点Q在一条定直线l:Ax0x+Cy0y+D x+x02+Ey+y02+F=0上，如下图. 我们称点P为直线l关于曲线Γ的极点;相应地, 称直线l为点P关于曲线Γ的极线.一般地, 对于圆锥曲线Γ:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，设极点P x0,y0, 则对应的极线为l:Ax0x+B x0y+y0x2+Cy0y+Dx0+x2+Ey0+y2+F=0【注】替换规则为:x2→xx0, y2→yy0,xy→x0y+y0x2,x→x+x02,y→y+y02.(1)椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的三类极点极线(1)若极点P x 0,y 0 在椭圆外, 过点P 作橢圆的两条㘦线, 切点为A ,B , 则极线为切点弦所在直线AB :x 0xa 2+y 0yb 2=1;(2)若极点P x 0,y 0 在椭圆上, 过点P 作椭圆的切线l , 则极线为切线x 0xa 2+y 0yb 2=1;(3)若极点P x 0,y 0 在橢圆内, 过点P 作椭圆的弦AB , 分别过A ,B 作椭圆切线, 则切线交点轨迹为极线x 0xa 2+y 0yb 2=1由此可得椭圆极线的几何作法:(2)对于双曲线x 2a 2-y 2b 2=1, 极点P x 0,y 0 对应的极线为x 0x a 2-y 0y b 2=1;(3)对于拋物线y 2=2px , 极点P x 0,y 0 对应的极线为y =p x 0+x .3. 极点和极线的性质(1)引理:已知椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0), 直线l 的方程为x 0x a 2+y 0y b 2=1, 点P x 0,y 0 不与原点重合. 过点P 作直线交椭圆于A ,B 两点,M 点在直线AB 上，则“点M 在直线l 上"的充要条件是"P ,M 调和分割A ,B ", 即AP PB =AMMB.【证明】先证必要性. 设M 点的坐标为x 1,y 1 , 则有x 0x 1a 2+y 0y 1b 2=1. 设直线AB 的参数方程为x =x 0+tx 11+ty =y 0+ty 11+t(t 为参数)与椭圆方程联立, 得x 21a 2+y 21b 2-1 t 2+2x 0x 1a 2+y 0y 1b 2-1 t +x 20a 2+y 20b2-1=0，即x21a2+y21b2-1t2+x20a2+y20b2-1=0, 该方程有两个不等实根, 设为t1,t2, 则t1+t2=0.即P,M调和分割A,B, 也即APPB=AMMB.将以上证明过程反向推导，即得充分性成立.设P是圆锥曲线Γ的一个极点, 它对应的极线为l, 过P任意引一条直线, 交Γ于点A,B, 交l于点Q, 若点A是位于P,Q间的点, 结合引理可得如下极点和极线的三个调和性质:(1)调和性1 PA +1PB=2PQ(2)共轨性B,Q,A,P四点也构成“调和点列”, 即1BQ+1BP=2BA.(3)等比性(1)点Q、P是线段AB的内、外分点,PAPB=QAQB=λ.(2)若Γ为椭圆或双曲线，当直线AB经过曲线中心O时, OP⋅OQ=OA|2=OB|2.4. 配极原则若P点关于圆锥曲线Γ的极线通过另一点Q, 则Q点的极线也通过P, 称P、Q关于Γ调和共轭.【证明】设点P x P,y P,则相应的极线为l P:x p xa2+y P yb2=1,点Q x Q,y Q,相应的极线为l Q:x Q xa2+y Q y b2=1. 因为l P过点Q,Q坐标满足方程x P xa2+y P yb2=1, 即x P x Qa2+y P y Qb2=1;则P点坐标满足方程x Q xa2+y Q yb2=1, 这也说明, 也就是l Q过点P.配极原则说明:l P过点Q⇔l Q过点P, 由此可得下面推论:推论1:共线点的极线必然共点(A、G、D、E四点共线, 它们的极线a、g,d、e共交点F);共点线的极点必然共线(直线a、g,d、e共交点F, 它们的极点A、G，D、E四点共线).推论2：如下图, 过极点P作两条直线, 与桞圆分别交于点A,B和C,D, 则直线AD,BC的交点T必在极线上.5. 椭圆的极点与极线的常用性质对于椭圆x2a2+y2b2=1, 极点P x0,y0(不是原点)对应的极线为x0xa2+y0yb2=1, 有如下性质：性质1:“类焦点"与“类准线”当极点P m,0m≠0在x轴上时，对应的极线x=a2m平行于y轴，当极点P0,nn≠0在y轴上时对应的极线y=b2n平行于x轴;特别地, 当极点P为椭圆的焦点时, 极线为相应的准线.性质2：平方模型如下图, 射线OP与椭圆交于点D, 与点P的极线交于点C, 则|OP|⋅|OC|=|OD|2;当点P在x轴上时, |OP|⋅|OC|=a2;当点P在y轴上时, |OP|⋅|OC|=b2.性质3：共轭方向设极点P x0,y0不在坐标轴上, 则直线OP的斜率为k OP=y0x0, 极线l:x0xa2+y0yb2=1的斜率k=-b2x0a2y0，则k OP⋅k=y0x0⋅-b2x0a2y0=-b2a2.【注】性质3表明:椭圆内一点P的极线方向与以极点P为中点的弦的方向相同，称OP与极线方向共轭. 当极点P x0,y0在椭圆内时，极线l平行于以P为中点的弦所在直线EF(用点差法易证). 设直线OP与椭圆相交于点D, 过点D作椭圆的切线l1, 则以P为中点的弦所在直线EF、过点D的切线l1、极点P的极线l, 三线互相平行, 如下图.性质4:平行如下图, 设四边形ABCD为椭圆的内接梯形, AC⎳BD,AD∩BC=Q, 则点P的极线过Q, 且与直线AC、BD平行. 特别地, 若BC⎳AD⎳y轴时, 点P的极线平行y轴, 且与x轴的交点R 也是AC、BD交点, 有|OR|⋅|OP|=|OF|2=a2.性质5:垂直设圆锥曲线Γ的一个焦点为F, 与F相应的准线为l, 若过点F的直线与圆雉曲线Γ相交于M ,N两点, 则Γ在M,N两点处的切线的交点Q在准线l上, 且FQ⊥MN.【证明】以椭圆为例证明, 双曲线与拋物线类似处理.设P x0,y0, 则P x0,y0对应的极线为MN:x0xa2+y0yb2=1, 由F(c,0)在直线MN上得cx0a2=1, 所以x0=a2c, 故Q在准线l:x=a2c上. 由P a2c,y0, 易证k MN⋅k QF=-1, 所以FQ⊥MN.性质6：等角定理如下图, A,B是椭圆Γ的一条对称轴l上的两点(不在Γ上), 若A,B关于Γ调和共轭, 过A 任作Γ的一条割线, 交Γ于P,Q两点, 则∠PBA=∠QBA.证明：因Γ关于直线l对称, 故在Γ上存在P,Q的对称点P ,Q . 若P 与Q重合, 则Q 与P 也重合, 此时P,Q关于l对称, 有∠PAB=∠QAB；若P 与Q不重合, 则Q 与P也不重合, 由于A,B关于Γ调和共轭, 故A,B为Γ上完全四点形PQ QP 的对边交点, 即Q 在P A上也在PB上, 故BP,BQ关于直线l对称, 也有∠PBA=∠QBA.【注】事实上, 性质6对于圆锥曲线都成立. 我们还可以得到下列结论:(1)直线PB与椭圆的另一交点为Q , 则Q 与Q关于l对称;(2)∠PAO=∠QAB=∠Q AB;(3)k AP+k AQ =0.典型例题类型1:判断位置关系【例1】已知点M (a ,b )在圆O :x 2+y 2=1外, 则直线ax +by =1与圆O 的位置关系是()A.相切B.相交C.相离D.不确定【答案】B .【解析】因为 ax +by =1 是圆 x 2+y 2=1 的切点弦方程, 所以直线与圆相交, 故选 B .类型2:求极线方程【例2】过椭圆x 29+y 24=1内一点M (1,2), 作直线AB 与椭圆交于点A ,B , 作直线CD 与椭圆交于点C ,D , 过A ,B 分别作椭圆的切线交于点P , 过C ,D 分别作椭圆的切线交于点Q , 求P ,Q 连线所在的直线方程.【答案】 x9+y 2=1.【解析】该题实质上就是求椭圆 x 29+y 25=1 内一点 M (1,2) 对应的极线方程，答案为 x9+y 2=1.【例3】设椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点M (2,1), 且左焦点为F 1(-2,1).(1)求敉圆C 的方程;(2)当过点P (4,1)的动直线l 于椭圆C 相交于两不同点A ,B 时, 在线段AB 上取点Q , 满足|AP |⋅|QB|=|AQ |⋅|PB |, 证明：点Q 总在某定直线上.【答案】 (1)x 24+y 22=1;(2) 见解析.【解析】(1)由题意得：c 2=22a 2+1b 2=1c 2=a 2-b 2 ，解得a 2=4b 2=2 ，所求椭圆方程为x24+y 22=1.(2) 解法 1: 定比点差法设点 Q 、A 、B 的坐标分别为 (x ,y ),x 1,y 1 ,x 2,y 2由题设知 |AP |,|PB |,|AQ |,|QB | 均不为零, 记 λ=|AP ||PB |=|AQ||QB |, 则 λ>0 且 λ≠1又 A ,P ,B ,Q 四点共线, 从而 AP =-λPB ,AQ=λQB 于是 4=x 1-λx 21-λ,1=y 1-λy 21-λ,x =x 1+λx 21+λ,y =y 1+λy 21+λ,从而:4x =x 21-λ2x 221-λ2⋯⋯⋯⋯(1)y =y 21-λ2y 221-λ2⋯⋯⋯.. (2)又点 A 、B 在椭圆 C 上，即:。
调和点列在平面几何中的应用
⇔ ( AC + AD) ⋅ AB ⋅ BD= 2AC ⋅ AD ⋅ BD ⇔ AD ⋅ AB ⋅ BD + BC ⋅ AD ⋅ AB = 2AC ⋅ AD ⋅ BD ⇔ AB ⋅ (BD + BC) = 2AC ⋅ BD
⇔ ( AC + BC) ⋅ (BD + BC) = 2AC ⋅ BD
⇔ ( AC + BD + BC) ⋅ BC = AC ⋅ BD
1.2 调和点列的性质 （1）调和点列在一维射影变换下交比保持不 变，即经过变换后依然为调和点列．
O
ABC D
A′′ A′
B′′ B′
C′′ C′
D′
图1
证明 如图 1， A，B，C，D 为调和点列，
以点 O 为射影中心作射影变换： ( A，B，C，D) → ( A′，B′，C′，D′) ，
过 D 作 A′B′ 的平行线 A′′B′′C′′ 且交 OA，OB，OC
⇔ AD ⋅ BC = AC ⋅ BD ，命题得证．
② AB ⋅CD = 2BC ⋅ AD ．
证明 AB ⋅CD = ( AC + CB) ⋅ (CB + BD)
= ( AC + CB + BD) ⋅ BC + AC ⋅ BD
= AD ⋅ BC + AC ⋅ BD = 2BC ⋅ AD ，命题得证． ③ CA⋅CB = CM ⋅CD 证明 若 C 与 M 重合， BC ⋅ AD = AC ⋅ BD ， ∴ AD = BD ，即 A 与 B 重合， 从而四点都重合，不成立， ∴ 点 C 必在点 M 左侧或右侧， ∴ CA⋅CB= ( AM + CM ) ⋅ (BM − CM ) = AM 2 + CM 2 = CM ⋅ CD + AM 2 − CM ⋅ (CM + CD) = CM ⋅ CD + AM 2 − CM ⋅ DM = CM ⋅ CD + AM 2 − (BM − BC) ⋅ (BM + BD) = CM ⋅ CD + BC ⋅ (BM + BD) − BM ⋅ BD = CM ⋅ CD + BC ⋅ ( AD − AM ) − BM ⋅ BD = CM ⋅ CD + BC ⋅ AD − AM ⋅ CD = CM ⋅ CD + BC ⋅ AD − AB ⋅ CD
调和点列在高考试题中的应用
它 在椭圆 Ｊ， 得 Ｘ ２２ ： ６ ０ 取 ：篓． ｃｃ 整理 ／＋ ２。 ～ ＞ ～ａ ： ２ ， ： ｂｋ
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图４
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调和点列
对于直线上的4点A，B，C，D，把各有向线段的量之间的比值称为这4点的交比，记为（AB，CD）。交比为1 的4个点组成调和点列，记为调和点列[A，B
性质3
对于A,B的内分点C和外分点D满足C,D调和分割线段AB，M是AB的中点，则有以下结论成立： 1、点A,B调和分割线段CD 2、1/AC+1/AD=2/AB 3、AB×CD=2AD×BC 4、CA×CB=CM×CD
设A、B、C、D依次在一直线上,若下列命题中任意两个为真,则可以推得另外两个: 1、A、C,B、D成调和点列; 2、XB是∠AXC的内角平分线; 3、XB⊥XD. 4、XD是∠AXC的外角平分线
调和点列
几何学分支
01 简介
03 性质
目录
02 说明
调和点列是研究图形在射影变换下不变性的一个几何学分支。它是射影几何学产生的最初动力，来自为了帮 助绘画而对透视进行的研究。
简介
研究图形在射影变换下不变性的一个几何学分支。射影几何学产生的最初动力，来自为了帮助绘画而对透视 进行的研究。在17世纪，G.德扎格和B.帕斯卡建立了射影几何学中著名的定理。后来在19世纪，又经过J.V.彭赛 列、J.施泰纳、K.施陶特、A.F.麦比乌斯、A.凯莱等几何学家的工作，使射影几何学得到蓬勃的发展，达到鼎盛 的时期。
说明
经过有限次两平面间的中心投影（透视）得到的平面上的一一点变换，称为平面上的射影变换。 若同一直线上四点G、A、H、B满足 GA×HB = GB×AH, 则称A,B调和分割(harmonic division)线段GH,或G,H调和分割线段AB A,B,G,H为调和点列 G、H与A、B称为调和共轭(harmonic conjugate). 若△ABC的三条Ceva线AF、BE、CH共点, 直线EF、AB交于G, 则A、B，H、G成调和点列. 调和点列
关于调和点列的若干证明
关于调和点列的若干证明
关于调和点列表的若干证明引起了普遍的关注，其实，调和点列表本身
就存在于比较简单的数学表达式中。
调和点列表是指等距取样，即每个数据
点之间差值相等的一组数据。
本文讨论的是调和点列表的性质，以下展开讲解：
首先，它是周期性的，每个数据点之间的距离相等，而且数据点的位置
也准确无误。
例如：给定一个调和序列，那么其中一个数据点定位到另一个
数据点上，两个数据点之间的距离相同，而这种特性也决定了它构成的是一
个周期性的序列。
其次，它的和总是定值。
调和点列表的和可以用求和算式来表示：
Sn=n(2a+(n-1)d)/2，其中，n为序列项数，a为序列的首项，d为项的公差。
求和算式表明，无论调和点列表的首项和公差怎样，它的和总是定值。
最后，它的方差总是零。
调和点列表数据具有完全一样的间隔，因此，
数据中心点自然也是此序列中心，其方差为零。
综上，调和点列表也是一种非常有用的数据，由于它拥有上述证明的特性，因此，在统计学、抽样和数据分析领域，调和点列表也得到了广泛应用。
调和点列的一个性质在线段中点问题中的应用
根据性质 1 可知, K 是 HD 的中点; 同理可证, N 是 DM 的 中点. 于是有 KN = 1 HM . 证毕.
2 例 2 (《数学通报》2450 号问题
1[6]) 如 图 3, AB, AC 分 别 切 ⊙O 于
B, C, 过 A 作割线交 ⊙O 于 D, E, 过
D 作 AB 的平行线分别交 BC, BE 于
F, G, 求证: F 是 DG 的中点. 分析与证明 易知 BC 是点 A 关
于 ⊙O 的极线, 设 AE 交 BC 于 H 点,
图3
则 A, H, D, E 是调和点列, 由交比的性质 [9] 知 H, A, E, D
也是调和点列. 连 EF 交 AB 于点 M , 则 F H, F A, F E, F D
点 G, 过点 D 作 BC 的平行线交
AB, BG, CG, AG 于 点 H, K, N
图2
和 M , 试证: KN = 1 HM . 2
分析与证明 注意到图 2 中有完全四边形 AEDF , 延长
AD 交 BC 于 I, 根据完全四边形的调和性可知: A, D, G, I
是调和点列, 则 BA, BD, BG, BI 是调和线束, 又 BC//HM ,
如下性质的应用: 性质 1[3] 如图 1, 如果 P A、
P B、P C、P D 为调和线束, 且 P D
平行于 AB, 则 P C 必平分线段
AB.
图1
应用此性质解题的困难之处在于, 图形中的调和点列或
者平行关系往往比较隐ຫໍສະໝຸດ 、不易发现. 本文通过实例说明如何突破难点、发现图形中隐藏的位置关系, 应用性质 1 解题,
上面应用调和点列性质的证法简洁明了, 是其他解法
导数运算及应用举例
导数运算及应用举例例1、求下列函数的导数：（1）233ln xx x x y ++=； （2）)3)(3(2+-=x x x y ； （3）)4,0(,2sin 1π∈-=x x x y ； （4）312)31(x e y x -=+。
解：（1）∵221233ln ln x x x x x x x x y ++=++=-， ∴3234223ln 211212ln 1121x x x x x x x x x y -++-=⋅-⋅++-='--。
（2）∵2429)3)(3(x x x x x y -=+-=∴x x y 1843-='（3）∵x x x x x x x x y cos sin )cos (sin 2sin 12-=-=-=， 又∵)4,0(π∈x ，∴x x cos sin <，∴)sin (cos x x x y -=∴x x x x x x x x x y sin )1(cos )1()cos sin ()sin (cos 1+--=--⋅+-⋅='。
（4）621231223312312)31()3()31(3)31(2])31[(])31[()31()(x x e x e x x e x e y x x x x --⋅-⋅--=-'---'='++++ 412)31()611(x x e x --=+ 例2、已知曲线C 1：2x y =与曲线C 2：2)2(--=x y ，直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程。
解：设l 与C 1相切于点),(111y x P ，l 与C 2相切于点),(222y x P ，直线l 的斜率为k 。
C 1：2x y =，x y 2='，12x k =，)4,2(21k k P C 2：2)2(--=x y ，)2(2--='x y ，)2(22--=x k ，)4,22(22k k P --。
圆锥曲线里的调和点列-概述说明以及解释
圆锥曲线里的调和点列-概述说明以及解释1.引言1.1 概述圆锥曲线是几何学中非常重要的一门研究领域，它涵盖了椭圆、双曲线和抛物线这三种基本类型的曲线。
圆锥曲线的研究可以追溯到古希腊时期，当时数学家们对这些曲线的性质和特点产生了浓厚的兴趣。
调和点列是圆锥曲线中一个重要的概念，它是由四个在圆锥曲线上的点构成的。
调和点列具有许多特殊的性质和应用，因此在数学和物理学领域都受到广泛关注。
本文将围绕圆锥曲线中的调和点列展开讨论。
首先，我们将介绍圆锥曲线的定义，让读者对这一概念有一个清晰的了解。
然后，我们将详细探讨调和点列的概念，并分析它的几个重要性质。
在结论部分，我们将进一步探讨调和点列在圆锥曲线中的应用。
这些应用涉及到椭圆、双曲线和抛物线，我们将从几何和物理两个方面进行讨论，以展示调和点列的实际价值和重要性。
通过本文的阅读，读者将能够更深入地了解圆锥曲线中调和点列的概念和性质，并意识到其在数学和物理学中的广泛应用。
同时，本文的内容也可作为进一步研究和学习圆锥曲线以及相关领域的基础知识。
1.2 文章结构文章结构部分的内容如下:2. 文章结构本文将按照以下结构进行论述：2.1 圆锥曲线的定义首先，我们将引入圆锥曲线的概念。
我们将介绍圆锥曲线在几何学中的研究背景，并详细阐述各种圆锥曲线的定义。
通过了解圆锥曲线的特征和性质，我们可以更好地理解调和点列在其中的作用。
2.2 调和点列的概念接下来，我们将专注于调和点列的概念。
我们将介绍调和点列在数学中的定义和性质，解释为什么调和点列在圆锥曲线中具有重要的意义。
我们将探讨调和点列与圆锥曲线之间的关系，并讨论调和点列在圆锥曲线研究中的应用。
3. 结论在本节中，我们将总结调和点列的性质和圆锥曲线中的调和点列的应用。
我们将回顾本文的主要观点和讨论，并强调调和点列在圆锥曲线研究中的重要性。
最后，我们将展望未来可能的研究方向，以进一步深入探索圆锥曲线中的调和点列的应用价值。
通过以上结构，本文将系统地介绍圆锥曲线中的调和点列的概念、性质和应用。
调和点列及调和线束性质的证明与应用举例
调和点列及调和线束性质的证明与应
用举例
调和点是指在多维空间中，经过多个点的调和平均得到的点。
调和线束是指在多维空间中，由若干条调和线段构成的轮廓线。
调和点和调和线束具有如下性质：
1.调和点的调和平均与原点距离相等：若有n个点
A1, A2,...,An，则它们的调和点P满足
PA1=PA2=...=PAn=OP。
2.调和线束与原点距离相等：若有n条调和线段
AB1, AB2,...,ABn，则它们的调和线束的轮廓线与原点距
离相等。
调和点和调和线束在几何学中有着广泛的应用。
例如，在三维几何中，调和点可用来求多个点的重心，调和线束可用来确定平行六面体的形状。
另外，调和点和调和线束也可用来证明一些几何定理。
例如，调和点可用来证明欧拉定理：在三维空间中，任意四点构成的四边形的重心距离原点相等。
调和线束也可用来证明若干条调和线段构成的调和线束一定与原点重合，这也是欧拉定理的一种推广。
以上就是调和点和调和线束的性质及其在几何学中的应用的简要介绍。
调和点列的妙用
（） １ （） ２ （） ３
切线 ｃ Ｃ 切点 为 Ｐ， 连结 Ｐ Ｐ， Ｑ， Ｑ， Ｑ交 割线 Ｃ Ａ于 Ｂ 点 Ｄ， 直径 割线 Ｃ 交 Ｏ于 点 证 明 ： Ｄ 调 和分 割 Ｃ， 点 御 Ｃ ＝ Ｄ
＋
．
将式（ ）式 （ ） ２ ， ３ 代人式（ ） 得 １， Ａ ・Ｃ Ｃ （ Ｄ—Ｃ ）一（ Ａ—Ｃ Ｂ Ｃ Ｏ）・ Ｃ＝ ， Ｂ ０ 化 简整 理 得 ２ Ａ ・ Ｂ＝Ｃ Ｃ ｃ ， Ｃ Ｃ Ｄ（ Ａ＋ ８）
所 以 Ｏ ・ Ｍ ＭＣ＝Ｐ ・ Ｍ ＭＱ＝ Ｍ ・ ． Ａ ＭＮ
例 ２２ 证明平均不等式 ： Ｅ
≥ ≥ ≥
＋
根据 交 弦定 理 的逆 定理 ， Ａ， Ｎ， 得 ０， Ｃ这 ４点共 圆． 在 圆Ａ Ｎ Ｏ Ｃ中 ， Ｏ 由 Ｂ＝Ｏ 得 Ｎ， １ ２ 等弦上 的圆周角相等） ＝ （ ． 因为 ／Ａ Ｏ＋ Ｏ ＿ Ｂ ＢＣ＝１０ 。 ８。
（ Ｂ， ）＝ 一１ Ａ ∞ ，
于是 ， Ｄ便 是点 Ｃ对 于点 Ａ， 点 Ｂ的调和共 轭点 ． ３ 调 和点 列 的应用 例１ 已知 （ ，Ｄ）＝ 一１证 明 ： 佃 ｃ ，
】
一
１，１
１ 、
故点 Ｄ是点 Ｃ对 于点 Ａ， 曰的调 和共轭 点．
２ 调 和点 列的作 图 由引例 的证法 ， 可得 出求 直 线 Ａ Ｂ上 点 ｃ的调
・
２ ６・
中学教研 （ 数学 ）
ａ ＝ ｌ ｅ 一 １ ｔ Ｏｒ Ｉ； ｂ＝ ｌ Ｏｍ ；
Ｃ ＝ ｎ ：
（） ４
．
：
（ 二 ！
易知式 （ ） ４ 有无 穷 多个正 整数 解． 例如 ， ｍ＝２ｔ ， ２ 则 ａ＝ ， ２ ， ＝ ， 取 ，＝１凡＝ ， ９ ｂ＝ ０ ｃ ２ ＝９此 时 ，
调和点列及调和线束性质的证明与应用举例
调和点列及调和线束性质的证明与应用举例首都师范大学附属回龙观育新学校(102208)李路军李洪景摘要本文考虑了由完全四边形与椭圆所呈现的一些调和点列及调和线束的性质,并用初等方法给出了证明;并通过4个例子说明了这些性质在解题中的应用.关键词调和点列;调和线束常在资料上看到一些证明不完整的有关调和点列和调和线束性质的叙述,作为教师只有理清其本质,使用起来才能心明眼亮.本文给出的例子,让我们更清楚的洞穿题目的意图及本质,为我们的教学提供了坚实的基础.本文着重对椭圆中的调和点列及调和线束问题予以讨论,实际上所提及的性质在二次曲线系中都是成立的,可类比得出.调和点列的定义若同一直线上四点G,A,H,B 满足GA ×HB =GB ×AH ,即GA AH =GBHB,则称A,B 调和分割线段GH 或G,H 调和分割线段AB ,A,B,G,H 为调和点列(G,H 与A,B 称为调和共轭).一、完全四边形中的调和点列1.完全四边形.两两相交又没有三线共点的四条直线段及它们的六点所构成的图形称作完全四边形,如图1,ABMCKD 是一个完全四边形.2.完全四边形中的调和点列.图1图2作为准备,我们考虑如下张角定理:张角定理[1](本质是正弦定理的面积形式).如图2,三角形ABC 中,D 为BC 上一点,连接AD ,设∠CAD =α,∠BAD =β,则sin (α+β)AD =sin αAB +sin βAC.证明因为S ∆ABC =S ∆ABD +S ∆ADC ,所以12AC ·AB sin (α+β)=12AC ·AD sin α+12AD ·AB sin β两边同时除以AB ·AC ·AD ,整理得:sin (α+β)AD=sin αAB +sin βAC.完全四边形中的调和点列[2]如图3.1,完全四边形ABMCKD 中,设AC 与BD 的交点为G ,连接MG 交AD 于H ,则A,D,H,K 为调和点列.证明设∠MAC=α,∠KAC=β,在∆AMH,∆ABD,∆AMD,∆ABK 中,分别有:sin (α+β)AG =sin αAH +sin βAM(1)sin (α+β)AG =sin αAD +sin βAB (2)sin (α+β)AC =sin αAD +sin βAM (3)sin (α+β)AC =sin αAK +sin βAB(4)[(1)−(2)]−[(3)−(4)]:0=sin α(1AH +1AK −2AD );因为sin α=0,所以1AH +1AK =2AD;所以AD AH +AD AK =2⇒AH +DH AH +AK −DK AK=2⇒DH AH =DK AK ,即AH ×DK =AK ×DH ,则A,D,H,K 为调和点列.根据线段间的数量关系,调和点列有不同的等价形式:DHAH =KH −KD KA −KH =DK AK ⇒1KD +1KA =2KH ,1HD −1HA =2HK ;1DH −1DK =2DA ;1AH +1AK =2AD 都可以说明点A,D,H,K 为调和点列.图3.1图3.2如图3.2连接KG 交AM 于L ,则点A,B,L,M 也为调和点列,这也正是本文要讲的调和线束性质2.图3.2中有7线9点,存在四个完全四边形,这个图形也成为完全四点形[3].二、圆锥曲线中的调和点列圆、椭圆、双曲线、抛物线这个家族中,有很多共性,这里以椭圆为例证明.性质1给定椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),过点F (x 0,y 0)(F 不在椭圆上且不为原点)的直线与椭圆交于A,B 不同两点,若点P,F,A,B 为调和点列,则点P 为直线AB 与直线x 0xa 2+y 0y b2=1的交点.证明设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),P (m,n ).当直线AB 斜率存在时,设AB 方程为y −y 0=k (x −x 0).与椭圆方程联立,化简得:(a 2k 2+b 2)x 2+2ka 2(y 0−kx 0)x +a 2(y 0−kx 0)2−a 2b 2=0.当∆ 0时,x 1+x 2=−2ka 2(y 0−kx 0)a 2k 2+b 2,x 1x 2=a 2(y 0−kx 0)2−a 2b 2a 2k 2+b 2.点P,F,A,B 为调和点列,即满足x 0−x 1x 0−x 2=x 1−mm −x 2,即2mx 0+2x 1x 2−(x 0+m )(x 1+x 2)=0;两根之和之积代入,化简得:a 2y 0(m −x 0)k +(mx 0b 2+a 2y 20−a 2b 2)=0.又k =y 0−n x 0−m ;代入化简得x 0ma 2+y 0nb 2=1,即有P 点在直线x 0x a 2+y 0yb2=1上.如果过F 的直线斜率不存在,且与椭圆也有两个不同的交点时,根据纵坐标间的关系,可验证P 点也满足直线x 0x a 2+y 0yb 2=1方程.综上,P 点恒在直线x 0x a 2+y 0yb 2=1上.得证.当点F 为(t,0)(−a <t <a,t =0)时,点P 在直线x =a 2t上;点F 为焦点时,点P 在相应的准线上.当点F 为(0,t )(−b <t <b,t =0)时,点P 在直线y =b 2t上.评注在射影几何中,直线x 0x a 2+y 0yb2=1称为点F (x 0,y 0)关于椭圆的x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)极线,点F (x 0,y 0)称为直线x 0x a 2+y 0yb2=1的极点.从上面的证明过程可知,过点F (x 0,y 0)的直线与椭圆交于A,B 不同两点,若点P,F,A,B 为调和点列时,点P 为直线AB 与点F 的极线的交点.所以在圆锥曲线中,调和点列与曲线的极线极点相关.双曲线x 2a2−y 2b 2=1中,点F (x 0,y 0)对应的极线为x 0x a 2−y 0y b2=1;抛物线y 2=2px 中,点F (x 0,y 0)对应的极线为yy 0=p (x +x 0);圆x 2+y 2=r 2中,点F (x 0,y 0)对应的极线为x 0x +y 0y =r 2;当点F 在曲线外时,对应的极线为点F 的切点弦所在的直线方程;当点F 在曲线上时,对应的极线是过点F 的切线所在的直线方程.三、调和线束的两条性质调和线束的定义如图4,如果K,H,D,A 是调和点列,直线外一点M 与它们的连线称为调和线束,即直线MK,MH,MD,MA 为一簇调和线束.平面内不过点M 也不与KA 重合的直线,可以划分为两类,一类是与其中一条线束平行;一类是与四条线束都不平行,下面研究它们的性质.图4图5调和线束性质1平面内若一条直线与调和线束中的其中一条平行而与其余三条相交,则相交线段被平分.下面仅以与MA 平行进行证明.如图5,过点D 作MA 的平行线,分别交直线MK,MH 于点C,B ,则D 为线段CB 中点.证明:∆KDC ∆KAM ,所以KD KA =CDMA ;又∆DBH ∆AMH ,所以DB AM =HD HA;又因为K,H,D,A 为调和点列,KD KA =HDHA,所以CD =DB ,即D 为BC 中点.则所有与MA 平行的直线被MK,MD,MH 所截,得到的线段被平分.如果直线与MH 平行,可以过点K 作辅助线进行证明.其余类推.调和线束性质2平面内若一条直线与调和线束都相交,且交于不同的四个点,则相应的交点也成调和点列.下面分四种情况进行证明.(1)直线与射线MK,MD,MH,MA 都相交或者与其反向延长线都相交的情况.如图6,过点K 作一条直线l 与直线MD,MH,MA 分别相交于点D 1,H 1,A 1,则K,H 1,D 1,A 1为调和点列.证明过点D 1作MA 的平行线交MK,MH 于E,F 两点.根据性质1,可知D 1为EF 的中点.∆KED 1 ∆KMA 1,所以KD 1KA 1=ED 1MA 1;又∆D 1F H 1 ∆A 1MH 1,所以D 1F A 1M =D 1H 1A 1H 1;所以KD 1KA 1=H 1D 1H 1A 1,则K,H 1,D 1,A 1为调和点列.根据平行性,平面内与l 平行的任意直线与调和线束相交后,相应的四个点也构成调和点列.图6图7.1(2)直线与其中三条射线相交,与另一条射线反向延长线相交的情况.仅以与MK反向相交为例.如图7.1,过点D 作一直线l与射线MK反向延长交于点K1,与MH,MA 分别交于点H1、A1,则相应的点K1,H1,D,A1成调和点列.证明过点D作MA的平行线交MK,MH于E,F两点.根据性质1,可知D为EF的中点.∆K1ED ∆K1MA1,所以K1DK1A1=EDMA1;又∆DF H1 ∆A1MH1,所以DFA1M =DH1A1H1;所以K1DK1A1=H1DH1A1,则K1,H1,D,A1为调和点列.根据平行性,平面内与l平行的任意直线与调和线束相交后,相应的四个点也构成调和点列.(3)直线与其中两条射线相交,与另两条射线反向延长线相交的情况.这里以与MK、MD反向相交为例.如图7.2,过点H作一直线l与射线MK、MD反向延长线交于点K1, D1,与MA交于A1,则相应的点K1,H,D1,A1成调和点列.证明过点K1作MH的平行线交MD1,MA于E,F 两点.根据性质1,可知K1为EF的中点.∆K1ED1 ∆HMD1,所以EK1MH =D1K1D1H;又∆A1F K1 ∆A1MH,所以K1FHM =K1A1HA1;所以K1D1K1A1=HD1HA1,则K1,H,D1,A1为调和点列.根据平行性,平面内与l平行的任意直线与调和线束相交后,相应的四个点也构成调和点列.图7.2图7.3(4)直线与其中一条射线相交,与其余三条射线反向延长线相交的情况.这里以与MA相交为例.如图7.3,过点A作直线l与射线MK、MD、MH反向延长线交于点K1,D1,H1,则相应的点K1,H1,D1,A成调和点列.证明过点D1作MA的平行线交MH,MK的反向延长线于E,F两点.根据性质1,可知D1为E,F的中点.∆H1ED1 ∆H1MA,所以ED1MA=H1D1H1A;又∆D1F K1 ∆AMK1,所以D1FAM=D1K1AK1;所以K1D1K1A=H1D1H1A,则K1,H1,D1,A为调和点列.根据平行性,平面内与l平行的任意直线与调和线束相交后,相应的四个点也构成调和点列.综上,平面内任意一不过点M的直线都有相应的情况对应.四、应用举例例1(2018年武汉大学自主招生试题[4])已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点为F1,F2,A,B分别为椭圆E的左右顶点,D(1,0)为线段OF2的中点,且−−→AF2+5−−→BF2=−→0.(Ⅰ)求椭圆E的方程;(Ⅱ)若点M为椭圆E上的动点(异于A,B),连接MF1并延长交椭圆E于点N,连接MD、ND并分别延长交椭圆E于P,Q,连接P Q,设直线MN、P Q的斜率存在且分别为k1,k2,试问是否存在常数λ,使得k1+λk2=0恒成立?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.图8简析(Ⅰ)x29+y25=1;(Ⅱ)如图8,点D对应的极线是x=9,设NM、P Q交极线于点R,NP,MQ交极线于点G,则有完全四边形NMRQGP,连接RD,并延长交NP G于点K,则N,P,K,G为调和点列,RN,RP,RK,RG为调和线束,根据性质2,x轴与线束的相应交点依然为调和点列,设RQ与x轴的交点为I,极线与x轴的交点为H,即F1,D,I,H为调和点列,满足F1DF1H=IDIH,把坐标代入,可得x I=197,则λ=−k1k2=F1HIH=−74.图9例2(2017年高考北京卷理科第18题)已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1),过点(0,12)作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.(I)求抛物线C的方程;(II)求证:A为线段BM的中点.简析(I)抛物线C的方程为y2=x;(II)如图9,设点(0,12)为K,OP恰为点K的切点弦所在的直线,即OP为点K的极线.设MN与OP的交点为Q,则点K,Q,M,N为调和点列,那么OK,OQ,OM,ON 为调和线束,又直线MA与OK平行,根据调和线束性质1, MA与其余三条调和线束的相交线段被平分,即A为线段BM的中点.例3(2013年高考江西卷理科)椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点P(1,32),离心率e=12,直线l的方程为x=4.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P),设直线AB与直线l相交于点M,记P A,P B,P M的斜率分别为k1,k2,k3.问:是否存在常数λ,使得k1+k2=λk3.若存在求λ的值;若不存在,说明理由.简析(Ⅰ)x24+y23=1.(Ⅱ)如图10,直线x=4是右焦点的极线,所以点M,F,B,A为调和点列,P M,P F,P B,P A为调和线束,由调和线束性质2,则x轴与调和线束相应的交点依然为调和点列,设P M,P B,P A与x轴的交点依次为K,R,X,则K,F,R,X为调和点列,有1F R−1F X=2F K,则P F F R −P FF X=2P FF K,化简k P A+k P B=2k P M.图10例4设A,B是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)短轴(长轴)的两个端点,P为平面内任意一点(不在直线AB上),设直线P A,P B与椭圆分别交于E,F,与长轴(短轴)所在直线分别相交于C,D,直线EF与短轴(长轴)所在直线相交于M,则直线P M平分线段CD[5].简析如图11,实际上,此试题可认为是过y轴上一点M(不与原点、A,B重合)作直线交椭圆于E,F,连接AE,BF,相交于一点P,则直线P E,P M,P F被x轴所截,截得的线段被平分.图11设BE与AF的交点与点P的连线与y轴的交点为L,在完全四边形BF P EMA中,M,L,A,B为调和点列, P M,P L,P A,P B为调和线束,又点M在y轴上,其极线P L一定与y轴垂直,根据调和线束性质1,那么x轴与另外三条线束的相交线段被平分.图12如果点P在椭圆上(不与顶点重合),如图12,设过点P的切线与x轴交于Q点,M,L,A,B为调和点列, P M,P L,P A,P B为调和线束,根据调和线束性质1,那么x轴与另外三条线束的相交线段被平分,则Q为CD中点.本文仅仅是对圆锥曲线中的椭圆进行了相应的研究,而在圆、双曲线、抛物线中也是成立的.圆锥曲线压轴题,一向都是思维的难点与计算的痛点,但是如果能先从几何的角度去认识它,分析它,就有助于对习题的深刻理解,并减少运算.所以人们常说,解析几何首先是几何,要有几何的眼光.调和线束的性质应用,在一些竞赛中也常常隐蔽出现[6],只有掌握了其本质,解决问题时才能直入主题,才能站在高处思考问题,故以后的教学中,要有意的培养学生洞察问题本质的意识,不仅仅是“解析”.如果不能从几何角度解释,说明我们还没有找到几何解释的方法.参考文献[1]赖百奇.张角公式的若干应用[J].数学通报,2005(7).[2]张景中.面积关系帮你解题[M].上海:上海教育出版社,1982.[3]邹宇,张景中,饶永生.作辅助线求完全四边形线段比列的机械化方法.数学通报,2016(1).[4]满在伟,杨列敏.对一道解析几何问题的探究与推广[J].中学数学教学参考,2019(11).[5]李伟键.椭圆的一个结论的演变历程[J].数学通讯,2017(12).[6]曾建国.调和点列的一个性质在线段中点问题中的应用[J].中学数学研究,2019(7).。
调和点列 向量形式
调和点列向量形式
向量形式的调和点列是指在解析几何中，满足特定条件的两个向量。
向量形式的调和点列有很多种，以下是其中一种向量形式的调和点列：
给定两个不平行的向量$a$和$b$，如果存在一个实数$λ$，使得$a=\lambda b$，则称向量$a$和$b$是调和的。
此时，向量$a$和$b$的起点和终点所构成的点列称为调和点列。
向量形式的调和点列在解析几何中有很多应用，如用于研究圆锥曲线的性质等。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的向量形式的调和点列，并运用相应的数学方法进行研究。
调和点列解析
调和点列(一)一、线段调和分割的基本概念如果线段AB被两点C,D内分与外分成同一比例，则称线段AB被点C和D 调和分割•亦称点列A,B;C,D为调和点列.显然，当C,D调和分割AB时，也可称A、B两点调和分割CD有时也称点C 和D 是线段AB的调和共轭点.若从共点直线外任一点P作射线PA,PC,PB,PD则可称射线束为调和线束，且PA与PB共轭，PC与PD共轭.二、调和点列的性质调和点列联系了众多的图形，因而它有一系列有趣的性质.性质1设A,C,B,D是共线四点，点M为AB中点，则C,D调和分割线段AB的充要条件是满足下述六个条件之一•(1) 点AB调和分割CD.⑵+AC AD AB -⑶AB *CD 二:2AD * BC二2AC • DB .⑷CA*CB = CM ・CD .⑸DA * DB = DM ・DC.⑹MA2二MB 2 = MC ・MDA M CB D性质2设A,C,B,D是共线四点，过共点直线外一点P引射线PA,PC,PB,PD则C,D调和分割线段AB的充要条件是满足下述两个条件之一.(1)线束PA,PC,PB,PD其中一射线的任意平行线被其他三条射线截出相等的两线段•⑵ 另一直线I分别交射线PA,PC,PB,PD于点A ,C' ,B ' ,D '时，点C' ,D '调和分割线段A' B'.P性质3对线段AB的内分点C和外分点D,以及直线AB外一点P,给出如下四个论断：①PC是/APB的平分线.②PD是Z APB的外角平分线.③C,D调和分割线段AB. ④ PCL PD.以上四个论断中，任选两个作题设，另两个作结论组成的六个命题均为真命题.性质4三角形的一边被其边上的内（旁）切圆的切点和另一点调和分割的充要条件是，另一点与其余两边上的两个切点三点共线•性质5从圆0外一点A引圆的割线交圆0于C,D,若割线ACD与点A的切点弦交于点B,则弦CD被A,B调和分割.三、几个推论1、性质2的推论：推论1梯形的两腰延长线的交点和两对角线的交点调和分割两底中点的连线.N推论2完全四边形的一条对角线被其他两条对角线调和分割推论3过完全四边形对角线所在直线的交点作另一条对角线的平行线，所作直线与平行的对角线的同一端点所在的边或其延长线相交，所得线段被此对角线所在直线上的交点平分•EC N2、性质3的推论:推论4三角形的角平分线被其内心和相应的旁心调和分割.推论5两外离不等圆圆心连线被两圆的外公切线交点和内公切线交点调和分割•推论6若C,D两点调和分割圆的直径AB则圆周上任一点到C,D两点的距离之比是不等于1的常数•反之，若一动点到两定点的距离之比为不等于1的常数，则该动点的轨迹是一个圆.(Apollonius 圆) 推论7从圆周上一点作两割线，它们与圆相交的非公共的两点连线，垂直于这条连线的直径所在的直线与两割线相交，则这条直径被这两割线调和分割•推论8 一已知圆的直径被另一圆周调和分割的充要条件是， 已知直径的圆周与过两分割点的圆周正交（即交点处切线相互垂直）.推论9 设点C 是厶AEF 的内心，角平分线 AC 交边EF 于点B,射线AB 交厶AEF推论10设厶AEF 的角平分线AB 交EF 于点B ,交△ AEF 的外接圆于点0,则2 20E =0F = 0A *0B .3、性质4的推论:推论11若凸四边形有内切圆，则相对边上的两切点所在直线与凸四边形一边 延长线的交点和这一边上的内切圆切点调和分割这一边4、性质5的推论：推论12从圆0外一点A 引圆的两条割线交圆于四点，以这四点为顶点的四边 形的对角线相交于点B,设直线AB 交圆0于C,D ,则A,B 调和分割CD 弦.的外接圆圆Q 于点0,则射线AB 上的点。
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调和点列在平面几何中的应用调和点列在几何证明中有着十分广泛的应用，它与梅尼劳斯定理、极线都有着十分密切的关联。
下面先给出调和点列的定义：定义：直线上依次四点A 、B 、C 、D 满足AB ADBC DC=，则称A 、B 、C 、D 四点构成调和点列。
由交比的定义：交比（A 、B 、C 、D ）=AC D C D A B B： 知A 、B 、C 、D 四点构成调和点列的充要条件是交比（A 、C 、B 、D ）=-1 调和点列具有以下常用性质： 性质1：在梅尼劳斯图形中，三角形ABC 被直线DEF 所截，BE 、CD 交与点G ，AG 的延长线交BC 与点H ，则B 、H 、C 、F 成调和点列证明：由塞瓦定理，1AD BH CE DB HC EA =，故BH DB EAHC AD CE=由梅尼劳斯定理，1BF CE AD FC EA DB =，故BF EA DBFC CE AD=所以BH BF HC FC =由定义知，B 、H 、C 、F 成调和点列性质2：若A 、B 、C 、D 成调和点列，O 为平面上一点，则任意一条直线截OA 、OB 、OC 、OD 得到的四个点也成调和点列。
我们称由OFB发出的4条射线OA 、OB 、OC 、OD 为调和线束。
这是调和点列的一个重要性质。
证明：如图，设直线l 交OA 、OB 、OC 、OD 于E 、F 、G 、H 过A 作l 的平行线交OB 、OC 、OD 于B 1、C 1、D 1由平行线分线段成比例知 交比（E 、G 、F 、H ）=交比（A 、C 1、B 1、D 1） 由梅尼劳斯定理，1111AB OC BA B C C O CB =，1111AD OC DAD C C O CD= 所以交比（A 、C 1、B 1、D 1）=BA DACB CD：=交比（A 、C 、B 、D ）=-1 故交比（E 、G 、F 、H ）=-1即E 、F 、G 、H 成调和点列。
证毕性质3：如图，A 为圆O 外一点，AB 、AC 为圆O 的切线，ADEF 截圆O 与D 、F ，交BC 与点E 则A 、D 、E 、F 四点调和证明:A D E F AD AFDE FE⇔=、、、四点调和 AD DEAF FE⇔=① 又**AD AD AC BD DC AF AB AF BF CF == 而**sin **sin BDC BFCSDE BD CD BDC BD CDFE SBF FC BFC BF FC∠===∠故①成立。
得证！注：本题说明，过圆所在平面上任意一点的直线与圆的两个交点、与此点关于圆的极线的交点、此点本身四点构成调和点列。
事实上，可以将此性质中的圆推广为一般的二次曲线推广1：如图，椭圆外一点A 关于椭圆的极线为BC ，过A 的任意一条直线ADEF 截椭圆于D 、F ，交BC 与E 则A 、D 、E 、F 成调和点列。
证明：暂略。
性质4：112A B C D AB AD AC⇔+=、、、调和 证明：A B C D a a b cb c++⇔=、、、调和 而 //性质5：若A 、B 、C 、D 成调和点列，且平面上有点M满足AM MC ⊥则必有MC 平分BMD ∠，MA 外角平分BMD ∠ 这是调和点列应用中相当重要的一个性质。
证明：反证法。
反设cb a112112a+b+c ()()()b c AB AD AC a a b a a b a b a b c b c a a b c a a b c b c+=⇔+=⇔=+++++++⇔=⇔=++AMAMBA'MC 不平分BMD ∠，作MC ’平分角BMD ∠交BD 与C ’，MA ’外角平分角BMD ∠交DB 延长线与A ’ ，则''MC MA ⊥由内角平分线定理，''BC BMC D MD = 有外角平分线定理，''BA BMA DMD=所以''''BA BC A D C D =② 由A 、B 、C 、D 成调和点列知BC BACD AD=注意到'''BC BC BC BCC D CD BD BD >⇔>成立 '''BA BA BA BAA D AD BD BD <⇔<成立 所以''BA BA BC BC BD BD BD BD <=<与②矛盾！ 所以MC 平分BMD ∠，MA 外角平分BMD ∠ //下面是几道有关调和点列的经典题目题1 已知三角形ABC 内切圆I 切边BC 与D （AB>AC ） AH 为BC 边上的高，M 为AH 中点 连DM 并延长交圆I 于点P 1） 求证：BPD CPD ∠=∠2） 设圆O 为三角形BPC 的外接圆，求证：圆O 与圆I 内切于P1）分析：要证BPD CPD ∠=∠即证PD 平分角BPC由此我们想到调和点列的性质5为此我们取点E 使B 、D 、C 、E 四点成调和点列 由性质五，下只要证90DPE ∠=注意到MH HE ⊥，只要证P 、M 、H 、E 四点共圆即DM*DP=DH*DE ① 设K 与D 为内切圆上的两个对径点，则DP PK ⊥ 从而DPKDHM 所以DM*DP=MH*KD=r*AH （r 为内切圆半径）②2222222CH ,()2a b c x b x c a x x a+-=-=--⇒=设则AH ∴== 222a+b+c a ()()222b c c b a c b DH a a+++--=-=从而由B 、D 、C 、E 成调和点列知：BE BD c a bEC DC b a c+-==+- 所以2()BC c b CE b a c -=+- ()2()a a b c CE c b +-=- 又2a b cDC +-= ()()()22()2()a b c a a b c a b c a c b DE c b c b +-+-+-+-=+=-- 1DH*DE (b )()()4a c a c b b c a a=+-+-+- 而22S r a b c a b c ==++++ 1*(b )()()4r AH a c a c b b c a a =+-+-+-=DH*DE ③由②及③知①成立，故90DPE ∠= 从而BPD CPD ∠=∠ // 2)取弧BC 上的中点N ，由1）知P 、D 、N 共线由引理：两圆内切于P ，MN 为其中一圆切线，切点为A ，B 为弧MN 中点，则P 、A 、B 共线 易知结论成立题2 已知圆I 内切于三角形ABC ，切BC 于点D ，连AD ，设E 为AD 上一点，连AD ，设E 为AD 上一点，连BE 、CE 分别交圆I 于M ，N 连BN 、CM 求证：BN 、CM 、AD 共点 证：C设FG 交CB 于点KAG **1AG BD CF BK CFGB DC FA GB KC FA =且**=1 B BD KDC KC∴=即K 、B 、D 、C 四点调和 由性质一，只要证K 、M 、N 共线即可证明BN ，CM ，ED 共点 反设KM 交圆I 与N ’（除N 外的一点）CCN ’交BE 于点L,LD 交MN ’于T ，AD 交MN ’于T ’ 由K 、B 、D 、C 四点调和及性质2知K ，M ，T ，N ’四点调和 注意到A 点极线过K ，所以K 点极线过A 又K 点极线过D ，故DA 为点K 关于圆I 的极线 由性质3知K 、M 、T ’、N ’调和故T=T’从而LD与AD重合即L与E重合，N与N’重合矛盾！故K、M、N共线原命题得证！题3 已知X为圆O外一点，过X作圆O的切线，切点为A、B 过X作圆O 的割线XCD满足CA BDCA与BD交于F，CD与AB交于G，BD与GX中垂线交于H 求证：X、F、G、H四点共圆证：X如图，易知X 、D 、G 、C 四点调和（由性质3） 又CA BD ⊥ 由性质5知FD 平分GFX ∠ 所以FGH 的外接圆半径为2sin HG GFH ∠，FXH 的外接圆半径为2sin HXHFX∠由H 在GX 的中垂线上知：HG=HX又sin sin GFH HFX ∠=∠，所以FGH 的外接圆半径等于FXH 的外接圆半径 从而2FGH FXH FGH FXH π∠=∠∠+∠=或若是前者，有FGH FXH ≅ GD=XD 不可能！ 故只能为2FGH FXH π∠+∠= 从而F ，G ，H ，X 四点共圆 //在平面几何中，调和点列的应用是十分有用和广泛的，他与一些著名定理以及极线、反演等都有着密切的联系。
此外，它还是射影几何学的一部分。
《导数及其应用》知识点总结一、导数的概念和几何意义1. 函数的平均变化率：函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率为：2121()()f x f x x x --。
2. 导数的定义：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，若x ∆无限趋近于0时，比值00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限趋近于一个常数A ，则称函数()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作0()f x '。
函数()f x 在0x x =处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。
3. 求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；（2）求平均变化率：00()()f x x f x x +∆-∆；（3）取极限，当x ∆无限趋近与0时，00()()f x x f x x+∆-∆无限趋近与一个常数A ，则0()f x A '=. 4. 导数的几何意义：函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率。
由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：（1）求出()y f x =在x 0处的导数，即为曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率； （2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-。
当点00(,)P x y 不在()y f x =上时，求经过点P 的()y f x =的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P 点的坐标代入确定切点。
特别地，如果曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线平行与y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为0x x =。
5. 导数的物理意义：质点做直线运动的位移S 是时间t 的函数()S t ，则()V S t '=表示瞬时速度，()a v t '=表示瞬时加速度。