导体棒切割磁感线问题分类解析

导体棒切割磁感线问题分类解析

电磁感应中，“导体棒”切割磁感线问题是高考常见命题。解此类型问题的一般思路是：先解决电学问题，再解决力学问题，即先由法拉第电磁感应定律求感应电动势，然后根据欧姆定律求感应电流，求出安培力，再往后就是按力学问题的处理方法，如进行受力情况分析、运动情况分析及功能关系分析等。

导体棒切割磁感线的运动一般有以下几种情况：匀速运动、在恒力作用下的运动、恒功率运动等，现分别举例分析。

一、导体棒匀速运动

导体棒匀速切割磁感线处于平衡状态，安培力和外力等大、反向，给出速度可以求外力的大小，或者给出外力求出速度，也可以求出功、功率、电流强度等，外力的功率和电功率相等。

例1. 如图1所示，在一磁感应强度B＝0.5T的匀强磁场中，垂直于磁场方向水平放置着两根相距为h＝0.1m的平行金属导轨MN和PQ，导轨电阻忽略不计，在两根导轨的端点N、Q之间连接一阻值R＝0.3Ω的电阻。导轨上跨放着一根长为L＝0.2m，每米长电阻r＝2.0Ω/m的金属棒ab，金属棒与导轨正交放置，交点为c、d，当金属棒在水平拉力作用于以速度v＝4.0m/s 向左做匀速运动时，试求：

图1

（1）电阻R中的电流强度大小和方向；

（2）使金属棒做匀速运动的拉力；

（3）金属棒ab两端点间的电势差；

（4）回路中的发热功率。

解析：金属棒向左匀速运动时，等效电路如图2所示。在闭合回路中，金属棒cd部分相当于电源，内阻r cd＝hr，电动势E cd＝Bhv。

图2

（1）根据欧姆定律，R 中的电流强度为I E R r Bhv R hr

cd cd =+=+=0.4A ，方向从N 经R 到Q 。 （2）使金属棒匀速运动的外力与安培力是一对平衡力，方向向左，大小为F ＝F

安＝BIh

＝0.02N 。 （3）金属棒ab 两端的电势差等于U ac 、U cd 与U db 三者之和，由于U cd ＝E cd －Ir cd ，所以U ab ＝E ab －Ir cd ＝BLv －Ir cd ＝0.32V 。

（4）回路中的热功率P 热＝I 2

（R ＋hr ）＝0.08W 。

点评：①不要把ab 两端的电势差与ab 棒产生的感应电动势这两个概念混为一谈。 ②金属棒匀速运动时，拉力和安培力平衡，拉力做正功，安培力做负功，能量守恒，外力的机械功率和回路中的热功率相等，即P Fv W W 热×===0024008..。

二、导体棒在恒力作用下由静止开始运动

导体棒在恒定外力的作用下由静止开始运动，速度增大，感应电动势不断增大，安培力、加速度均与速度有关，当安培力等于恒力时加速度等于零，导体棒最终匀速运动。整个过程加速度是变量，不能应用运动学公式。

例2. 如图3所示，两根足够长的直金属导轨MN 、PQ 平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为L 。M 、P 两点间接有阻值为R 的电阻。一根质量为m 的均匀直金属杆ab 放在两导轨上，并与导轨垂直，整套装置处于磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向下。导轨和金属杆的电阻可忽略。让ab 杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和金属杆接触良好，不计它们之间的摩擦。

图3

（1）由b向a方向看到的装置如图4所示，请在此图中画出ab杆下滑过程中某时刻的受力示意图；

图4

（2）在加速下滑过程中，当ab杆的速度大小为v时，求此时ab杆中的电流及其加速度的大小；

（3）求在下滑过程中，ab杆可以达到的速度最大值。

解析：（1）重力mg，竖直向下，支持力N，垂直斜面向上，安培力F，沿斜面向上，如图5所示。

图5

（2）当ab杆速度为v时，感应电动势E＝BLv，此时电路中电流I

E

R

BLv

R

==。

ab杆受到安培力F＝BIL＝B L v

R

22

。

根据牛顿运动定律，有mgsinθ－F＝ma，即mgsinθ－B L v

R

ma

22

=。

所以a＝gsinθ－B L v mR

22

。

（3）当a＝0，即B L v

R

22

＝mgsinθ时，ab杆达到最大速度v m。

所以v

mgR

B L

m

=

sinθ

22

。

点评：①分析ab杆受到的合外力，可以分析加速度的变化，加速度随速度的变化而变化，当加速度等于零时，金属ab杆做匀速运动，速度达到最大值。

②当杆匀速运动时，金属杆的重力势能全部转化为回路中的电能，在求最大速度v m时，

也可以用能量转换法P P G =电，即mgv BLv R m m sin ()θ=2解得：v mgR B L

m =sin θ22。 三、导体棒在恒定功率下由静止开始运动

因为功率P ＝Fv ，P 恒定，那么外力F 就随v 而变化。要注意分析外力、安培力和加速度的变化，当加速度为零时，速度达到最大值，安培力与外力平衡。

例3. 如图6所示，水平平行放置的导轨上连有电阻R ，并处于垂直轨道平面的匀强磁场中。今从静止起用力拉金属棒ab （ab 与导轨垂直），若拉力恒定，经时间t 1后ab 的速度为v ，加速度为a 1，最终速度可达2v ；若拉力的功率恒定，经时间t 2后ab 的速度也为v ，加速度为a 2，最终速度可达2v 。求a 1和a 2满足的关系。

图6

解析：①在恒力F 作用下由静止开始运动，当金属棒的速度为v 时金属棒产生感应电动

势E ＝BLv ，回路中的电流I E R r

=+，所以金属棒受的安培力f BIL B L v R r ==+22。 由牛顿第二定律得F f ma F B L v R r

ma -=-+=1221，即 当金属棒达到最终速度为2v 时，匀速运动，则F f f B L v R r

==+安安，而222。 所以恒为F B L v R r

=+222 由以上几式可求出a B L v m R r 122=+()

②设外力的恒定功率为P ，在t 2时刻速度为v ，加速度为a 2，由牛顿第二定律得

F f ma F P v f BIL B L v R r

-====+222，而，。