山西省祁县二中2020至2021学年第一学期高二数学期末考试数学试卷真题

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山西省2020-2021学年高二上学期期末联合考试数学(理)试题

A．甲B．乙C．丙D．丁
11．已知首项为2的正项数列的前项和为，且当时， .若恒成立，则实数的取值范围为
A． B．
C． D．
12．设双曲线M： 1（a＞0，b＞0）的上顶点为A，直线y 与M交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线交于点D若D到点（0，2 ）的距离不超过8 7a，则M的离心率的取值范围是（）
（1）计算的值,猜想数列的通项公式;
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.
19．如图，在直三棱柱中，，，，点、分别为与的中点.
（1）证明：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值.
20．已知过点的直线l与抛物线E：交于点A，B．
若弦AB的中点为M，求直线l的方程；
设O为坐标原点，，求．
复数的分子与分母同乘分母的共轭复数,化简复数为的形式,即可求出复数的虚部,即可求得答案.
【详解】
复数的虚部为:
故选:A.
【点睛】
本题主要考查了复数的除法,解题关键是掌握复数定义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题型.
4．D
【解析】
【分析】
利用双曲线的渐近线的斜率，转化求出双曲线实半轴与虚半轴的长，即可得到双曲线方程．
2．设集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，，则A∩B＝（）
A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|0≤x＜1}D．{x|0≤x≤1}
3．复数的虚部是()
A． B． CLeabharlann D．4．已知双曲线C：的一条渐近线的斜率为，焦距为10，则双曲线C的方程为（）
A． B． C． D．
5．函数的图象大致为（）
16．在正方体中, 分别为的中点, 为侧面的中心,则异面直线与所成角的余弦值为_____.

山西省2020-2021学年高二上学期期末考试数学(文)试题

8．设，是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，下面四个命题中正确的是（）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，，则
9．若圆：关于直线对称，，则与间的距离是（）
A． B．
C． D．
10．《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌臑.在鳌臑中，平面，，，鳌臑的四个顶点都在同一个球上，则该球的表面积是（）
A． B．
C． D．
3．函数在区间的最小值是（）
A． B．
C． D．
4．刘徽注《九章商功》曰:“当今大司农斛圆径一尺三寸五分五厘，深一尺，积一千四百四十一寸十分之三.王莽铜斛于今尺为深九寸五分五厘，径一尺三寸六分八厘七毫.以徽术计之，于今斛为容九斗七升四合有奇.”其中的“斛、斗、升”都是中国古代量器名，也是容量单位，并且形状各异，常见的斗叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台）,如果一个方斗的三视图如图所示，则其容积为（）
14．以为圆心，且与圆外切的圆的标准方程是__________.
15．给出下列命题：
（1）若函数在上是减函数，则；
（2）直线与线段相交，其中，，则的取值范围是；
（3）点关于直线的对称点为，则的坐标为；
（4）直线与抛物线交于，两点，则以为直径的圆恰好与直线相切.
【解析】
【分析】
否定命题的结论，同时把存在量词改为全称量词．
【详解】
命题“ ， ”的否定是“ ， ”．
故选：C．
【点睛】
本题考查命题的否定，命题的否定除结论否定外，存在量词与全称量词需互换．

2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷(含解析)

2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若3324A 10A n n =，则n =（）A ．1B ．8C ．9D ．102．期末考试结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（） A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种3．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（） A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.97284．某市气象部门根据2021年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是（）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势5．若()2N 1,X σ~，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，已知()21,3X N ~，则(47)P X <≤=（）A ．0.4077B ．0.2718C ．0.1359D ．0.04536．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算()200.01P K k ≥=，根据这一数据分析，下列说法正确的是（）A ．有1%的人认为该栏目优秀；B ．有1%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系；C ．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；D ．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系.7．若1021001210)x a a x a x a x =++++，则012310a a a a a -+-++的值为．A 1B 1C ．101)D ．101)8．关于()72x +的二项展开式，下列说法正确的是（） A ．()72x +的二项展开式的各项系数和为73B ．()72x +的二项展开式的第五项与()72x +的二项展开式的第五项相同C ．()72x +的二项展开式的第三项系数为4372CD ．()72x +的二项展开式第二项的二项式系数为712C9．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（）A ．528B ．514C ．29D ．1210．三棱锥P ABC -中P A ､PB ､PC 两两互相垂直，4PA PB +=，3PC =，则其体积（） A ．有最大值4B ．有最大值2C ．有最小值2D ．有最小值4二、填空题11．最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23yx =+，若5125ii x==∑，则51i i y ==∑___________.12．某班举行的联欢会由5个节目组成,节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个,并且节目甲必须和节目乙相邻.则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有____种. 13．若随机变量X 的概率分布如表，则表中a 的值为______.14．设随机变量ξ~B (2，p )，若P (ξ≥1)=59，则D (ξ)的值为_________.15．已知等差数列{}n a 中，33a =，则1a 和5a 乘积的最大值是______.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为___________.17．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_____．18．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，BC =90ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC的距离为___________.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =.（℃）求证：1AA ⊥平面；（℃）若点E 是线段的中点，请问在线段是否存在点E ，使得面11AAC C ？若存在，请说明点E 的位置，若不存在，请说明理由；（℃）求二面角的大小.20．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.三、解答题21．已知集合(){}()12,,,|,1,2,,1nn i R x x x x R i n n =∈=≥，定义n R 上两点()12,,,n A a a a ，()12,,,n B b b b 的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）当2n =时，以下命题正确的有__________（不需证明）： ℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),7d A B =；℃在ABC 中，若90C =∠，则()()()222,,,d A C d C B d A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，则B C ∠=∠;（2）当2n =时，证明2R 中任意三点A B C ，，满足关系()()(),,,d A B d A C d C B ≤+；（3）当3n =时，设()0,0,0A ，()4,4,4B ，(),,P x y z ，其中x y z Z ∈，，，()()(),,,d A P d P B d A B +=.求满足P 点的个数n ，并证明从这n 个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.22．今年4月，教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生书面作业平均完成时长不超过90分钟．某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，作教育决策，该市教育科学研究院就当前全市初三学生每天完成书面作业时长抽样调查，结果是学生书面作业时长（单位：分钟）都在区间[]50,100内，书面作业时长的频率分布直方图如下：(1)若决策要求：在国家政策范围内，若当前初三学生书面作业时长的中位数估计值大于或等于平均数（计算平均数时，同一组中的数据用该区间的中点值代表）估计值，则减少作业时长；若中位数估计值小于平均数，则维持现状．请问：根据这次调查，该市应该如何决策？(2)调查统计时约定：书面作业时长在区间[]90,100内的为A 层次学生，在区间[)80,90内的为B 层次学生，在区间[70,80)内的为C 层次学生，在其它区间内的为D 层次学生．现对书面作业时长在70分钟以上（含70分钟）的初三学生，按作业时长出现的频率用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自X 个不同层次，求随机变量X 的分布列及数学期望．23．国家文明城市评审委员会对甲､乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查.派出10人的调查组.先后到甲､乙两个城市的街道､社区进行问卷调查，然后打分（满分100分）.他们给出甲､乙两个城市分数的茎叶图如图所示：(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；(2)从甲､乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率；(3)从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为X，求X的分布列和期望.参考答案：1．B【分析】根据排列数的运算求解即可.【详解】由332A 10A n n =得，2(21)(22)10(1)(2)n n n n n n --=--，又3,n n *≥∈N ，所以2(21)5(2)n n -=-，解得8n =，所以正整数n 为8．故选：B. 2．B【分析】对第一节课的安排进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：℃若第一节课安排语文，则后面五节课的安排无限制，此时共有55A 种；℃若第一节课安排数学，则语文可安排在中间四节课中的任何一节，此时共有444A 种.综上所述，不同的排法共有54544216A A +=种.故选：B. 3．D【详解】设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看，则ξ～B (4,0.2)，所以P (ξ≤2)＝04C (0.8)4＋14C (0.8)3×0.2＋24C (0.8)2×(0.2)2＝0.972 8. 故选D 4．D【分析】利用折线图可以判断选项ABC 正确，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，所以选项D 错误.【详解】解：由2021年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：C)︒数据，绘制出的折线图，知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确；在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10C ︒的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D 中，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D ． 5．C【分析】由题意，得(47)(2)P X P X μσμσ<≤=+<≤+，再利用3σ原则代入计算即可.【详解】℃()21,3X N ~，由()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，℃1(47)(2)(0.95450.6827)0.13592P X P X μσμσ<≤=+<≤+=-=.故选：C 6．C【分析】利用独立性检验的基本原理即可求出答案．【详解】解：℃()200.01P K k ≥=表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，℃有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系，故选：C ．【点睛】本题主要考查独立性检验的基本应用，准确的理解判断方法是解决本题的关键，属于基础题． 7．D【详解】分析：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，再求f(-1)的值得解.详解：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，1001210(1)1)f a a a a -==-+++．故答案为D ．点睛：（1）本题主要考查二项式定理中的系数求法问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2) 二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()?··n n f x a a x a x a x =++++，0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-.8．A【分析】利用赋值法求出展开式各项系数和，即可判断A ，根据二项式展开式的通项，即可判断B 、C 、D ；【详解】解：()72x +展开式的通项为7172rrr r T C x -+=⋅⋅，故第二项的二项式系数为177C =，故D 错误；第三项的系数为2572C ⋅，故C 错误；()72x +的展开式的第五项为43472C x ⋅⋅，()72x +的展开式的第五项为44372C x ⋅⋅，故B 错误；令1x =则()7723x +=，即()72x +的二项展开式的各项系数和为73，故A 正确；故选：A 9．B【解析】将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从A 的方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从A 到B 的最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共8次.所以从A 到B 的最近的行走线路，总的方法数有88332332560A A A A =⋅⋅种. 不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有：53563232200A C A A ⨯=⋅.所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为200556014=. 故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查有重复的排列组合问题，考查插空法，属于中档题. 10．B【分析】依题意可得1113332P ABC PABV PC SPA PB -=⋅=⨯⨯⋅再利用基本不等式计算可得；【详解】解：依题意21111132332222P ABCPABPA PB V PC S PA PB PA PB -+⎛⎫=⋅=⨯⨯⋅=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2PA PB ==时取等号，所以()max 2P ABC V -=，故选：B11．65【分析】由最小二乘法得到的线性回归方程过点(),x y ，代入即可解决【详解】由5125i i x ==∑可知，数据的平均数2555x ==，又线性回归方程ˆ23yx =+过点(),x y ，所以25313y =⨯+=，故51551365i i y y ===⨯=∑故答案为：65 12．42【分析】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，再根据甲、乙相邻，分别计算. 【详解】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，当甲排在第二、三、四个时，甲乙相邻，有22A 种排法，将甲乙当做一个整体，剩下三个节目全排列，共3×22A ×33A =36种当甲排在第五个时，甲乙相邻，只有一种排法，剩下三个节目全排列，共33A =6种综上，编排方案共36+6=42种【点睛】本题考查了分类计数原理，分类时要注意不重不漏；解决排列问题时，相邻问题常用捆绑法，特殊位置要优先考虑. 13．0.2【解析】利用概率和为1可求出答案. 【详解】由随机变量X 的概率分布表得： 0.20.30.31a +++=，解得0.2a =. 故答案为：0.2【点睛】本题考查的是分布列的性质，较简单. 14．49【分析】由二项分布的特征，先求出13p =，套公式即可求出D (ξ). 【详解】因为随机变量ξ~B (2，p )，且P (ξ≥1)=59，所以P (ξ≥1)=()11P ξ-<= ()10P ξ-==()25119p --=. 解得：13p =. 所以D (ξ)()12412339np p =-=⨯⨯=.故答案为：4915．9【分析】设出公差，根据等差数列的性质，表示出15,a a ，再列式即可求得结果. 【详解】因为{}n a 是等差数列，设公差为d ，可得13532,2a a d a a d =-=+，于是得()()2153322949a a a d a d d =-+=-≤，当且仅当d =0，即153a a ==时，取得最大值. 故答案为：9.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题. 16．1443125##0.04608 【分析】认真分析该选手所有可能的答题情况，是本题的关键【详解】由该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮，说明他第4、第5两个问题是连续答对的，第3个问题没有答对，第1和第2两个问题也没有全部答对，即他答题结果可能有三种情况：⨯⨯⨯√√或⨯√⨯√√或√⨯⨯√√，根据独立事件同时发生的概率公式，可得该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为0.20.20.20.80.8+0.20.80.20.80.8+0.80.20.20.80.8=0.04608⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯故答案为：0.04608 17．0.74【详解】试题分析：x 表示人数，(2)(2)(3)(4)(5)P x P x P x P x P x ≥==+=+=+≥0.30.30.10.040.74=+++=.考点：互斥事件的概率.18．【分析】根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．【详解】因为2AB =，BC =90ABC ∠=︒，所以4AC ==，所以三角形外接圆半径22ACr ==，又球心O 到截面ABC 的距离为R =球体积为(334433V R ππ==⨯=．故答案为：．19．（℃）（℃）（℃）见解析【详解】试题分析：（℃）由正方形的性质得1AC AA ⊥，然后由面面垂直的性质定理可证得结果；（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，利用中位线定理可得1DE AC ，进而得出DE 面11AAC C ；（℃）利用二面角的定义先确定11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易求得11tan C A C ∠，从而求得二面角的平面角为的度数．试题解析：（℃）因为四边形11AAC C 为正方形，所以1AC AA ⊥．因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC ⋂平面11AAC C AC =，所以1AA ⊥平面ABC ．（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，有DE 面11AAC C ，连结1AB 交1AB 于点E ，连结BC ，因为点E 是1AB 中点，点⊄是线段DE 的中点，所以1DE AC ．又因为BC ⊂面11AAC C ，11A C 面11AAC C ，所以DE 面11AAC C .（℃）因为1AA ⊥平面ABC ，所以.又因为，所以面11AAC C ，所以11A B ⊥面11AAC C ，所以11A B ⊥1A C ，11A B ⊥11A C ，所以11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易得，所以二面角111C A B C --的平面角为45°.考点：1、线面垂直的判定；2、线面平行的判定；2、二面角．【方法点睛】立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．解决这类问题时一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在假设下进行推理，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设． 20．12600【详解】问题等价于编号为1,2,3,10的10个小球排列，其中2,3号，4,5,6号，7,8,9,10号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是101023423412600A A A A =⨯⨯. 21．（1）℃；（2）证明见解析；（3）125n =，证明见解析．【解析】（1）℃根据新定义直接计算．℃根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；℃由新定义写出等式()(),,d A B d A C =的表达式，观察有无AB AC =；（2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；（3）根据新定义，及绝对值的性质得P 点是以AB 为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，把它们分布在五个平面(0,1,2,3,4)z =上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过83，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平面内有3个点．根据这3点所在平面分类讨论可得．【详解】（1）当2n =时，℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),41627d A B =-+-=，℃正确；℃在ABC 中，若90C =∠，则222AC BC AB +=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，所以222222131323231212()()()()()()x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-而()2221212121221212()()()2)),((x x y y x x y y d A x B x y y =⎡⎤⎣-+-+⎦=--+--， ()()22,,d A C d C B ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦22221313232313132323()()()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-+--+--，但1313232312122()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y --+--=--不一定成立，℃错误； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，在℃中的点坐标，有12121313x x y y x x y y -+-=-+-，但1212131322x x y y x x y y -⋅-=-⋅-不一定成立，因此AB AC =不一定成立，从而B C ∠=∠不一定成立，℃错误．空格处填℃（2）证明：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，根据绝对值的性质有132312x x x x x x -+-≥-，132312y y y y y y -+-≥-，所以(,)(,)(,)d A C d B C d A B +≥．,（3）(,)12d A B =，44,44,44x x y y z z +-≥+-≥+-≥，所以(,)(,)12d A P d B P +≥，当且仅当以上三个等号同时成立，(,)(,)12d A P d B P +=又由已知()()(),,,d A P d P B d A B +=，℃04,04,04x y z ≤≤≤≤≤≤，又,,x y z Z ∈，℃,,0,1,2,3,4x y z =，555125⨯⨯=，点P 是以AB 为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，125n =．这125个点在0,1,2,3,4z z z z z =====这五面内．这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为118441323V =⨯⨯⨯⨯=，现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点（显然不共线），若这三点在1,2,3z z z ===这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过83，否则还有8个点在平面0z =和4z =上，不合题意，若这三个点在平面0z =或5z =上，不妨设在平面0z =，若在平面1z =在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过83，否则剩下的8个点在2,3,4z z z ===三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过83，综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.【点睛】关键点点睛：本题新定义距离(,)d A B ，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题．本题还考查了抽屉原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有3点，由此分类讨论可证明结论成立． 22．(1)该市应该作出减少作业时长的决策； (2)分布列见解析；期望为167.【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图，分别求出中位数和平均数，即可求解；（2）根据题意，结合分层抽样以及离散型随机变量的分布列与期望求法，即可求解. (1)作业时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对立的值，设为x ．0.01100.01100.02100.5⨯+⨯+⨯<． 0.01100.01100.02100.03100.5⨯+⨯+⨯+⨯>，()0.01100.01100.02100.03800.5x ∴⨯+⨯+⨯+⨯-=．解得2503x =，即中位数的故计值2503分钟．又作业时长平均数估计值为0.0110550.0110650.021075⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2500.0310850.031095813+⨯⨯+⨯⨯=<．因为中位数的估计值2503分钟大于平均数估计值81分钟，所以，根据这次调查，该市应该作出减少作业时长的决策. (2)由题，作业时长在70分钟以上（含70分钟）为[90.100]，[80,90)，[70,80)三个区间，其频率比为3：3：2，分别对应A ，B ，C 三个层次．根据分层抽样的方法，易知各层次抽取的人数分别为3，3，2，因此X 的所有可能值为1，2，3．因为333821(1)28C P X C ⨯===，111233389(3)28C C C P X C ⋅⋅===， 121221333232382229(2)14C C C C C C P X C ⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅===，所以X 的分在列为：故数学期望19916()1232814287E X =⨯+⨯+⨯=. 23．(1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由见解析． (2)425； (3)分布列见解析，期望为1．【分析】（1）根据得分的平均值与方差说明，极差最值也可用来说明；（2）记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，由()()(|)()()P AC P C P C A P A P A ==计算；（2）X 的可能值是0,1,2，分别求得概率得概率分布列，由期望公式计算出期望． (1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由如下：由茎叶图，计算两个城市的得分的均值为甲：6365987910x +++==，乙：6568927910y +++==，均值相等，方差为甲：222211[(16)(14)19]13610s =-+-++=，乙：222221[(14)(11)13]59.810s =-+-++=，甲的方差远大于乙的方差，说明乙的得分较稳定，甲极其不稳定，因此乙城市更应该入围“国家文明城市”． (2)记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，262102()13C P B C =-=，252107()19C P C C =-=，2725()1(1)(1)3927P A =--⨯-=，7()()9P AC P C ==，所以()()()()749(|)1(|)111252527P AC P C P C A P C A P A P A =-=-=-=-=；(3)乙城市10个人中5个大于80分，5个小于80，X 的可能是0,1,2，252102(0)9C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，252102(2)9C P X C ===，所以X 的分布列为：52()12199E X =⨯+⨯=．。

2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题及答案

2020-2021学年度第一学期期末质量检测高二数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间100分钟. 答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号涂写在答题卡和答题纸上. 答卷时，考生务必将Ⅰ卷答案涂在答题卡上，Ⅱ卷答案写在答题纸上，答在试卷上的无效.祝各位考生考试顺利！第I 卷选择题（60分）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2．本卷共12小题，每小题5分，共60分.一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）直线20x --=的倾斜角为（）（A ）30︒（B ）60︒（C ）120︒（D ）150︒（2）经过()0,2A ，()10B ,两点的直线的方向向量为()1k ，，则k 的值是（）（A ）1-（B ）1 （C ）2- （D ）2（3）抛物线22x y =的焦点坐标为（）（A ）()1,0（B ）()0,1（C ）1,02⎛⎫⎪⎝⎭（D ）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（4）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知58a =，36S =，则107S S -的值是（）（A ）24 （B ）48 （C ）60（D ）72（5）已知等比数列{}n a 中，17a =，435a a a =，则7a =（）（A ）19（B ）17（C ）13（D ）7（6）某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到捐款1200元.他们第一天只得到10元,之后采取了积极措施，从第二天起每一天收到的捐款都比前一天多10元.这次募捐活动一共进行的天数为（）（A ）15天（B ）16天（C ）17天（D ）18天（7）圆C x y 221:9+=与圆222:(1)(2)36C x y -++=的位置关系是（）（A ）相交（B ）相离（C ）内切（D ）内含（8）已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为15，到y 轴的距离为12，则p 的值为（）（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12（9）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，110,a =公差 3.5,d =-n S 取得最大值时n 的值为（）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（10）如图,在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点,则OG 等于（）（A ）111333OA OB OC ++（B ）111234OA OB OC ++（C ）111244OA OB OC ++（D ）111446OA OB OC ++（11）已知2222:02x y C x y -+--=，直线:220l x y ++=，M 为直线l 上的动点，过点M 作C 的切线,MA MB ，切点为,A B ，当四边形MACB 的面积取最小值时，直线AB 的方程为（）（A ）210x y +-= （B ）210x y ++= （C ）210x y --= （D ）2+10x y -=（12）已知1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，且2122b F F a=，点P 为双曲线右支一点，I 为PF F 12∆的内心，若1212IPF IPF IF F S S S λ=+△△△成立，给出下列结论：①当2PF x ⊥轴时，1230PF F ∠=︒②离心率e =③λ=④点I 的横坐标为定值a 上述结论正确的是（）（A ）①② （B ）②③ （C ） ①③④ （D ）②③④第II 卷（90分）注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共12小题，共90分.二. 填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.（13）已知直线l 与平面α平行，直线l 的一个方向向量为()1,3,u z =，向量()4,2,1v =-与平面α垂直，则z = .（14）若直线3x =与圆2220x y x a +--=相切，则a = .（15）已知数列{}n a 满足11a =，111+)n n a n N a *-=∈(，则4a = .（16）已知方程22121x y m m -=++表示双曲线，则实数m 的取值范围为________.（17）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，求点B 到直线1AC 的距离为________. （18）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F，并且经过点(2,M -，经过焦点F 且斜率为1的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，则p = ，线段AB 的长为 .（19）已知数列{}n a 为等比数列，132a =，公比12q =，若n T 是数列{}n a 的前n 项积，则当n = 时，n T 有最大值为 .（20）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点(,0)F c ，点P 在椭圆C 上，线段PF与圆22239c b x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切于点Q ，且2PQ QF =，则椭圆C 的离心率为 .三. 解答题：本大题共4小题，共50分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （21）（本小题满分12分）已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过点()30A -,，()1,2B -．（Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点()0,2P 斜率为34的直线l 与圆C 相交于,M N 两点，求弦MN 的长．（22）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，PD DC =，F ，G 分别是PB ，AD 的中点．（Ⅰ）求证：GF ⊥平面PCB ；（Ⅱ）求平面PAB 与平面PCB 的夹角的大小；（III ）在线段AP 上是否存在一点M ，使得DM 与平面ADF 所成角为30︒？若存在，求出M 点坐标，若不存在，请说明理由．（23）（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4224,21,n n S S a a n N *==+∈.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)若13n n b -=，令11=n n n n n c a b a a +⋅+⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T .（24）（本小题满分13分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的离心率1,2e =左顶点为(2,0)A -，过点A 作斜率为(0)k k ≠的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的(0)k k ≠都有OP EQ ⊥，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在说明理由；（III ）若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求AD AEOM+的最小值.参考答案一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二. 填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.（双空题答对一空得3分，答对两空得5分）三. 解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设AB 的中点为D ，则()2,1D -，由圆的性质得CD AB ⊥，所以1CD AB k k ⨯=-，得1CD k =-，………………2分所以线段AB 的垂直平分线方程是1y x=--，………………3分设圆C 的标准方程为()222x a y r -+=，其中(),0C a ，半径为r （0r >），由圆的性质，圆心(),0C a 在直线CD 上，化简得1a =-，………………5分所以圆心()1,0C -，2r CA ==，所以圆C 的标准方程为()2214x y ++=……6分（Ⅱ）则直线l 的方程为324y x =+………………………8分圆心()1,0C -到直线l 的距离为1d ==………………10分所以，MN ===12分（22）（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：以D 为原点，DA 、DC 、DP 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(2,0,0),(2,2,,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,0,0),(1,1,1)A B C P G F ………………1分(0,1,1),(2,2,2),(0,2,2)GF PB PC ∴==-=-设平面PCB 的法向量为111(,,)m x y z =，则1111122200,2200x y z m PB y z m PC ⎧+-=⋅=⎧⎪⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎩即 (3)分令1=1z ，则110,1x y ==，(0,1,1)m ∴=∴//GF m ，故GF ⊥平面PCB ．………………4分(Ⅱ)解：由（Ⅰ）知，平面PCB 的法向量为(0,1,1)m =，(2,2,2),(2,0,2)PB PA =-=-设平面PAB 的法向量为222(,,)n x y z =，则2222222200,2200x y z n PB x z n PA ⎧+-=⋅=⎧⎪⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎩即，令2=1z ，则221,0x y ==，所以平面PAB 的法向量(1,0,1)n =………………6分11cos ,222m n m n m n⋅∴<>===⨯⋅………………7分 ∴平面PAB 与平面PCB 的夹角大小为60．………………8分（III ）解：假设线段AP 上存在一点M ,设AM AP λ=，[]01λ∈，，则(2202M λλ-，，），(2202DM λλ∴=-，，）,设平面ADF 的法向量为333(,,)t x y z = (2,0,0),(1,1,1)DA DF ==由0,0DA t DF t ⋅=⋅=得到(0,1,1)t =-……………9分DM 与平面ADF 所成角为30︒ DM ∴与t 所成角为60︒，222,(22)42cos 60cos DM t t M tDM D λλλ⋅>==⋅-+∴︒=<，解得12λ=，……11分故在线段AP 上存在一点M ，使得DM 与平面ADF 所成角为30︒，z点M 的坐标为101（，，）.．...............12分（23）（本小题满分13分）解: (Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，则由4224,21,n n S S a a n N *==+∈可得11114684,(21)22(1) 1.a d a d a n d a n d +=+⎧⎨+-=+-+⎩……………………2分解得11,2.a d =⎧⎨=⎩因此21()n a n n N *=-∈……………………4分(Ⅱ)由(Ⅰ)及1=3n n b - ，知11(21)3(21)(21)n n c n n n -=-⋅+-+………………………5分数列{}n c 的前n 项和为n T ，0121111=13+33+53+(2131335(21)(21)n n T n n n -⨯⨯⨯⋅⋅⋅+-⋅+++⋅⋅⋅+⨯⨯-+）..7分则令0121133353(21)3,11111(1)1335(21)(21)22121n n A n nB n n n n T A B-=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅=++⋅⋅⋅+=-=⨯⨯-+++=+…………8分 ()01211231133353(21)3,3133353233(21)3n n nA n A n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅………………9分两式相减得1231212(3333)(21)32(33)21+(21)33(22)213n nn n nA n A n n --=+⨯+++⋅⋅⋅+--⋅--=--⋅=⋅---………………10分所以()131nA n =-⋅+……………………12分综合知()13121nn nT A B n n =+=-⋅+++……………………13分（24）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为椭圆C ：22221x y a b +=0a b >>（）的离心率1,2e =左顶点为(2,0)A -，所以2a =，又12e =，所以1c =，可得2223b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为22431x y +=；………………3分 (Ⅱ)直线l 的方程为(2)y k x =+，由22431(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消元整理可得：22(2)(43)860x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦，所以12x =-，2228643k x k -+=+，当 228643k x k -+=+时，2228612(2)4343k ky k k k -+=+=++，所以2228612(,)4343k kD k k -+++，………………5分因为点P 为AD 的中点，所以P 点坐标为22286(,)4343k kk k -++，………………6分则3(0)4OP k k k=-≠，直线l 的方程为(2)y k x =+，令0x =，得E 点坐标为(0,2)k , 假设存在定点(,)(0)Q m n m ≠使得OP EQ ⊥，则1OP EQ k k ⋅=-，即32()14n k k m--⋅=-恒成立，所以(46)30m k n +-=，所以46030m n +=⎧⎨-=⎩，即320m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以定点Q 的坐标为3(,0)2-.………………8分（III ）因为//OM l ，所以OM 的方程可设为y kx =，和22431x y +=联立可得M点的横坐标为x =，………………9分由//OM l可得：22D A E A D A M M x x x x x x AD AE OM x x -+--+===≥，………………11分=即2k =±时取等号，………………12分所以当2k =±时，AD AE OM +的最小值为………………13分。

山西省晋中市祁县中学校2020-2021学年高二上学期10月月考数学试题

山西省晋中市祁县中学校2020-2021学年高二上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知直线l l 的倾斜角为( )A ．60°B ．30°C ．60°或120°D ．30°或150° 2．已知//a α，b α⊂，则直线a 与直线b 的位置关系是（）A ．平行B ．相交或异面C ．异面D ．平行或异面 3．若直线21y x =-与直线30x my ++=平行，则m 的值为A ．12B ．12-C ．2-D ．24．若a 、b 表示直线，α表示平面，下列命题中正确的个数为（）①a ⊥α，b ∥α⇒a ⊥b ；②a ⊥α，a ⊥b ⇒b ∥α；③a ∥α，a ⊥b ⇒b ⊥α．A ．0B ．1C ．2D ．35．已知直线l ：4mx y -=，若直线l 与直线(1)2x m m y +-=垂直，则m 的值为（）A ．0B ．2C ．2-D ．0或2 6．（2017新课标全国Ⅲ理科）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A ．πB ．3π4 C ．π2 D ．π4 7．已知两点()A 3,4-，()B 3,2，过点()P 1,0的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．()1,1-B ．()(),11,∞∞--⋃+C ．[]1,1-D ．][(),11,∞∞--⋃+ 8．空间四边形ABCD 中，若AB=AD=AC=CB=CD=BD ，则AC 与BD 所成角为 ( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°9．将长､宽分别为4和3的长方形ABCD 沿对角线AC 折起，得到四面体ABCD ，则四面体ABCD 的外接球的表面积为（）A ．1256πB ．25πC ．1258πD ．1253π 10．圆台的上､下底面的面积分别为π､4π，侧面积为6π，则这个圆台的体积为（）A B ． C D 11．已知函数()sin cos f x a x b x =+（x ∈R ），若0x x =是函数()f x 的一条对称轴，且0tan 2x =，则()a b ，所在的直线为（） A ．20x y -= B ．20x y += C ．20x y -= D ．20x y += 12．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面,,ABC D E 分别是棱,BC AB 的中点，点F 在棱1CC 上，12,3AB BC CA CF AA =====，则下列说法正确的是（）A ．设平面ADF 与平面1BEC 的交线为l ，则直线1C E 与l 相交B ．在棱11AC 上存在点N ，使得三棱锥N ADF -C ．在棱11A B 上存在点P ，使得1C P AF ⊥D ．设点M 在1BB 上，当1BM=时，平面CAM ⊥平面ADF二、填空题13．直线34x y t +=被两坐标轴截得的线段长度为1，则t =________. 14．设长方体的三条棱长分别为,,a b c ，若长方体的所有棱的长度之和为24，一条体对角线长为5，体积为2，则111a b c++=________. 15．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是等边三角形，且1AA ⊥底面ABC ，若12,1AB AA ==，则直线1BC 与平面11ABB A 所成角的正弦值为________.16．将边长为2的正三角形ABC 沿中线AD 折成60︒的二面角B AD C --，则三棱锥A BDC -的外接球的表面积为______________.三、解答题17．已知直角ABC ∆的顶点坐标(3,0)A -，直角顶点(1,B --，顶点C 在x 轴上. （1）求点C 的坐标；（2）求斜边的方程.18．如图，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，连接A ′C ′，A ′D ，A ′B ，BD ，BC ′，C ′D ，得到一个三棱锥.求：(1)三棱锥A ′－BC ′D 的表面积与正方体表面积的比值；(2)三棱锥A ′－BC ′D 的体积.19．直线l 过点()1,4P ，且分别交x 轴的正半轴和y 轴的正半轴于A ､B 两点，O 为坐标原点.（1）当OA OB +最小时，求l 的方程；（2）当AOB 的面积最小时，求l 的方程.20．如图，四棱锥–P ABCD 中，底面ABCD 为矩形，E 为PD 的中点.（1）求证：//PB 平面AEC ；（2）若PA ⊥平面,ABCD PA AD =，求证：平面AEC ⊥平面PCD .21．如图，三棱锥P-ABC 中，PA ⊥平面ABC ，1,1,2,60PA AB AC BAC ===∠=．（Ⅰ）求三棱锥P-ABC 的体积；（Ⅱ）证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，并求PM MC的值． 22．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1B C 的中点为O ，且AO ⊥平面11BB C C ．（1）证明：1B C AB ⊥；（2）若1ACAB ⊥，160CBB ∠=︒，1BC =，求三棱柱111ABC A B C -的高．参考答案1．C【分析】由题意知，直线l 的斜率等于的范围可求直线的倾斜角.【详解】直线l∴线l 的斜率等于θ，则)0,180θ︒︒⎡∈⎣，则tan θ=tan θ=θ∴=60°或120°. 故选：C.【点睛】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，注意倾斜角的取值范围，体现了分类讨论的数学思想. 2．D【分析】由直线//a 平面α，直线b 在平面α内，知//a b ，或a 与b 异面．【详解】解：直线//a 平面α，直线b 在平面α内，//a b ∴，或a 与b 异面，故选：D ．【点睛】本题考查平面的基本性质及其推论，解题时要认真审题，仔细解答．3．B【分析】直接根据两直线平行的充要条件，列出关于m 的方程求解即可.【详解】直线21y x =-化为210x y --=，因为210x y --=与直线30x my ++=平行，13211m ∴=≠--，解得12m =-，故选B. 【点睛】本题主要考查两直线平行的充要条件，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题. 4．B【分析】利用空间内线线位置关系、线面位置关系、面面位置关系逐一分析三个选项即可求解【详解】①,a b αα⊥，则a 与b 相交垂直或者异面垂直，故a b ⊥,故①正确②,?a a b α⊥⊥，则b α或b α⊂，故②错误 ③a α，a b ⊥则b 与α相交，平行或者b α⊂，故③错误综上，则正确的个数为1故选B【点睛】本题主要考查命题真假的判断，解题时要认真审题，运用所学知识来判断，属于基础题 5．D【分析】直接分类讨论当0m =时，符合题意；当0m ≠时，求出2m =符合题意，最后给出答案即可.【详解】解：当0m =时，直线l ：4y =-与直线2x =垂直，符合题意；当0m ≠时，直线l 与直线(1)2x m m y +-=垂直，则(1)0m m m +-=，解得：2m =或0m =（舍去）.综上：2m =或0m =故选：D【点睛】本题考查利用两条直线垂直求参数，是基础题.6．B【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：11,2 AC AB==，结合勾股定理，底面半径r==由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是223ππ1π24V r h⎛==⨯⨯=⎝⎭，故选B.【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.7．D【解析】分析：根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围．详解：∵点A（﹣3，4），B（3，2），过点P（1，0）的直线L与线段AB有公共点，∴直线l的斜率k≥k PB或k≤k PA，∵PA的斜率为4031---=﹣1，PB的斜率为2031--=1，∴直线l的斜率k≥1或k≤﹣1，故选D．点睛：本题主要考查直线的斜率的求法，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．直线的倾斜角和斜率的变化是紧密相联的，tana=k,一般在分析角的变化引起斜率变化的过程时，是要画出正切的函数图像，再分析.8．D【分析】取AC 中点E ，连接BE DE ，,根据已知条件，利用线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面BDE ，进而得到结论.【详解】解：取AC 中点E ，连接BE DE ，,由已知得,,AD DC AB BC ==AC BE AC DE ∴⊥⊥，，又,,BE DE E DE DE ⋂=⊂平面BDE ,所以AC ⊥平面BDE ，因此AC ⊥BD ,【点睛】本题考查线面垂直的判定定理，异面直线所成的角，关键在于线面垂直的判定定理的运用． 9．B【分析】折叠后的四面体的外接球的半径，就是长方形ABCD 对角线AC 的一半，求出球的半径即可求出球的表面积．【详解】由题意可知，直角三角形斜边的中线是斜边的一半，∴长宽分别为3和4的长方形ABCD 沿对角线AC 折起二面角，得到四面体A ﹣BCD ，则四面体A ﹣BCD 的外接球的半径12r =AC ＝52，所求球的表面积为22544254r πππ=⨯= 故选：B【点睛】本题考查球的内接多面体，求出球的半径，是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力，属于基础题.10．A【分析】根据题意可以求出圆台的高h =.【详解】设上下底面和侧面面积和半径分别是12,,,,S S S r R ， 12,4S S ππ==，所以1,2r R ==，由6()S r R l ππ==+，把1,2r R ==代入可得：2l =，所以圆台的高h =所以体积1111()(1233V S S h π=+=++=.【点睛】本题考查了圆台的侧面积公式，考查了利用侧面积求高，同时考查了圆台的体积公式，是公式应用题，属于中档题。

山西省2020学年高二数学上学期期末考试试题理

第一学期期末考试高二数学试题（理）(时间120分钟；满分150分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1.在一次数学测试中，成绩在区间［125,150］上成为优秀，有甲、乙两名同学，设命题p 是“甲测试成绩优秀”,q 是“乙测试成绩优秀”，则命题“甲、乙中至少有一位同学成绩不是优秀”可表示为（）.A ()()p q ⌝∨⌝ .B ()p q ∨⌝.C ()()p q ⌝∧⌝ .D p q ∨2.抛物线23x y -=的焦点坐标是（）A. )0,43( B. )0,43(-C.)121,0(-D. )121,0( 3. 22530x x --<的一个必要不充分条件是（）A. 321<<-x B . 61<<-x C. 021<<-xD. 213<<-x4.已知双曲线2222:1y x C a b -=的离心率为2，则C 的渐近线方程为（）.A 14y x =±.B 13y x =± .C 12y x =± .D 2y x=±5.四面体OABC 中，,M N 分别是,OA BC 的中点，P 是MN 的三等分点（靠近N ），若OA a =，OB b =，OC c = ，则OP = ( ).A 111366a b c ++.B 111633a b c ++ .C 111263a b c ++.D 111623a b c ++ 6. 点()2,3P 到直线:20l ax y a +-=的距离为d ，则d 的最大值为（）.A 3.B 4.C 5.D 77.如图：在直棱柱111ABC A B C -中，1AA AB AC ==，AB AC ⊥，,,P Q M 分别是A 1B 1,BC,CC 1的中点，则直线PQ 与AM 所成的角是（）A.6π .B 4π .C 3π .D 2π8. 《九章算术.商功》：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？答曰：四万六千五百尺”所谓堑堵：就是两底面为直角三角形的直棱柱：如图所示的几何体是一个“堑堵”，4AB BC ==,15AA =,M 是11A C 的中点，过BCM 的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，则三棱台的表面积为（）.A 40.B 25+.C 50.D 30+9. 直线l 过椭圆2212x y +=的左焦点F ，且与椭圆交于,P Q 两点，M 为PQ 的中点，O 为原点，若FMO 是以OF 为底边的等腰三角形，则直线l 的斜率为（）.A 3±.B 2±.C 1±.D 10．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，直线m 过点F ，且与抛物线在第一、四象限分别交于A,B 两点，过A 点作l 的垂线，垂足为A '，若2AA p '=，则BF =（）3.pA2.p B32.p Cp D .11．已知椭圆C 的两个焦点分别是12(1,0),(1,0)F F -,短轴的两个端点分别为,M N ，左右顶点分别为12,A A ，若1FMN ∆为等腰直角三角形，点T 在椭圆C 上，且2A T 斜率的取值范围是11,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，那么1A T 斜率的取值范围是（）.A []1,2.B 11,24⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.C []4,2--.D []2,1--12．如图：已知双曲线2222(0,0)x y a b a b->>中，12,A A 为左右顶点，F 为右焦点，B 为虚轴的上端点，若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点(1,2)i P i =,使得12(1,2)i P A A i ∆=构成以12A A 为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e 的取值范围是（）.A .B .C )+∞.D 1(,)2+∞ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13、“200,20o x R x x m ∃∈++≤”是假命题，则实数m 的取值范围是 ________.14、已知(2,1,3),(1,4,2),(3,5,)a b c λ=-=-=-，若,,a b c 三向量共面，则实数λ=_____. 15、如图：060的二面角的棱上有,A B 两点，直线,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内且都垂直于AB ，已知AB =4，AC =6，BD =8，则CD =_____.16、椭圆有如下光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点，已知椭圆C ，其长轴的长为2a ，焦距为2c ，若一条光线从椭圆的左焦点出发，第一次回到焦点所经过的路程为5c ，则椭圆C 的离心率为_____.三、解答题（共70分。

山西省2020年数学高二上学期理数期末考试试卷(II)卷

山西省2020年数学高二上学期理数期末考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A .B . 1C .D .2. （2分） (2019高二下·奉化期末) 椭圆的长轴长为（）A . 1B . 2C .D . 43. （2分） (2016高二下·重庆期末) 命题“∀x＞0，不等式x﹣1≥lnx成立”的否定为（）A . ∃x0＞0，不等式x0﹣1≥lnx0成立B . ∃x0＞0，不等式x0﹣1＜lnx0成立C . ∀x≤0，不等式x﹣1≥lnx成立D . ∀x＞0，不等式x﹣1＜lnx成立4. （2分）(2016·南平模拟) 与双曲线有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线标准方程为（）A .B .C .D .5. （2分）在三棱柱中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面的中心，则AD与平面所成角的大小是（）A .B .C .D .6. （2分）“是真命题”是“为真命题”的（）A . 充分非必要条件B . 必要非充分条件C . 充要条件D . 既非充分也非必要条件7. （2分） (2017高二下·黄山期末) 如图，AB∩α=B，直线AB与平面α所成的角为75°，点A是直线AB 上一定点，动直线AP与平面α交于点P，且满足∠PAB=45°，则点P在平面α内的轨迹是（）A . 双曲线的一支B . 抛物线的一部分C . 圆D . 椭圆8. （2分）椭圆的焦距等于2，则m的值为（）A . 5或3B . 8C . 5D . 169. （2分）(2017·许昌模拟) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A . 3B .C .D .10. （2分） (2016高二上·温州期中) 棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应的截面面积分别为S1、S2、S3 ，则（）A . S1＜S2＜S3B . S3＜S2＜S1C . S2＜S1＜S3D . S1＜S3＜S211. （2分） (2019高二上·湖南月考) 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，是上一点，连接交抛物线于点，若，则的面积为（）A .B .C .D .12. （2分）在正三棱锥S﹣ABC中，M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB=2 ，则正三棱锥S﹣ABC 的外接球的体积为（）A .B .C .D . 6π二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高三上·静安期末) 若直线和直线的倾斜角分别为和则与的夹角为________.14. （1分）(2017·桂林模拟) 如果直线ax+by+1=0被圆x2+y2=25截得的弦长等于8，那么的最小值等于________．15. （1分） (2019高二上·上高月考) 如图所示，已知三棱柱的所有棱长均为1，且底面ABC，则三棱锥的体积为________．16. （1分） (2019高二上·吉林期中) 已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点. 设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为________．三、解答题 (共6题；共45分)17. （5分）已知命题p：方程﹣=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线﹣=1的离心率e∈（1，2）．若命题p、q有且只有一个为真，求m的取值范围．18. （5分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=AD=2，CD=4，四边形ADE1F1是正方形，且平面ADE1F1⊥平面ABCD，M是E1C的中点．（1）证明：BM∥平面ADE1F1；（2）求三棱锥D﹣BME1的体积．19. （10分）已知直角△ABC的顶点A的坐标为（﹣3，0），直角顶点B的坐标为（1，），顶点C在x 轴上．（1）求边BC所在直线的方程；（2）求直角△ABC的斜边中线所在的直线的方程．20. （5分）(2019·乌鲁木齐模拟) 已知拋物线C：经过点，其焦点为F，M为抛物线上除了原点外的任一点，过M的直线l与x轴、y轴分别交于A，B两点．Ⅰ 求抛物线C的方程以及焦点坐标；Ⅱ 若与的面积相等，证明直线l与抛物线C相切．21. （10分）如图1，梯形AECD中，AE∥CD，点B为边AE上一点，CB⊥BA，，把△BCE沿边BC翻折成图2，使∠EBA=45°．（1）求证：BD⊥EC；（2）求平面ADE与平面CDE所成锐二面角的余弦值．22. （10分）(2020·厦门模拟) 已知动圆C过点且与直线相切.（1）求圆心C的轨迹的方程；（2）过F的直线与E交于A，B两点，分别过A，B做的垂线，垂足为，，线段的中点为M.①求证：；②记四边形，的面积分别为，，若，求 .参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分) 17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、。

高二数学上学期期末考试试题理试题_1 4

祁县二中2021-2021学年度高二年级第二学期期末考试创作人：历恰面日期： 2020年1月1日数学试题(理〕一选择题：〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分。

〕 1．*n N ∈，那么()()()2021100n n n ---等于〔〕A ．81100n A - B ．20100nn A -- C ．80100n A - D ．8120n A -2. 在100件产品中，有3件是次品，现从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的取法种数为〔〕 A.B.C.D.3．设直线的方程是Ax ＋By ＝0，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A ，B 的值，那么所得不同直线的条数是( )A ．18B ．19C ．20D ．164 有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，那么不同的选法有( )A ．21种B ．315种C ．153种D ．143种，那么的值是〔〕A. 4B. 4或者5C. 6D. 4或者66 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。

某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中互相HY ，那么该同学通过测试的概率为( ) A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.7．设X ～B(n,p),E(X)=12,D(X)=4,那么n ，p 的值分别是〔〕A ．18，31 B ．36， 31 C. 18，32 D ．36，32 8.()62111x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+展开式中x 2的系数为〔〕 A ．15 B ．20 C ．30 D ．359的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么多项式展开式中的常数项为〔〕A. 10B. 42C. 50D. 18210．设，那么的值是〔〕A ．-121122B ．-6061 C ．-241244D ．-111一台型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自HY 工作，那么在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是〔〕12正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，那么所得的两条直线互相平行但不重合的概率等于( )A.175 B.275 C.375 D.475二填空题〔此题一共4小题，每一小题5分〕13．随机变量X 的分布列如下表，且E (X )＝1.1，那么D (X )＝________.X 0 1 xP15p31014.假设〔a x 21x5的展开式中x 5的系数是—80，那么实数a=_______.15. 为了庆贺六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精巧卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购置该种食品5袋，能获奖的概率为_______16. 把座位编号为1,2,3,4,5的五张电影票全局部给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，至多两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法种数为________(用数字答题)．三解答题〔此题一共6小题，一共70分〕17(41x＋3x2)n展开式中的倒数第3项的系数为45，求：(1)含x3的项；(2)系数最大的项．18．求的值；求的值；求的值．19．某同学参加科普知识竞赛，需答复三个问题，竞赛规那么规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得零分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8，0.7，0.6，且各题答对与否互相之间没有影响．(1)求这名同学得300分的概率；(2)求这名同学至少得300分的概率．20．某篮球队与其他6支篮球队依次进展6场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队比赛胜场的事件是HY 的，并且胜场的概率是13.(1)求这支篮球队首次胜场前已经负了2场的概率； (2)求这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的概率； (3)求这支篮球队在6场比赛中胜场数的均值和方差．21某商场举行有奖促销活动，顾客购置一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，假设都是红球，那么获一等奖；假设只有1个红球，那么获二等奖；假设没有红球，那么不获奖.〔1〕求顾客抽奖1次能获奖的概率；〔2〕假设某顾客有3次抽奖时机，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望.22．一款击鼓小游戏的规那么如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐那么扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐互相HY ．(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？(3)玩过这款游戏的许多人都发现，假设干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．祁县二中高二第二学期期末数学答案(理〕一选择题：A B A D D A CC A A D D二填空题： 13 14 -2 15815016 96 17解 (1)由题意可知C n －2n ＝45，即C 2n ＝45，¡¡§¡èn ＝10，T r ＋1＝C r 10(x －14)10－r (x 23)r ＝C r10x 11r －3012，令11r －3012＝3，得r ＝6，所以含x 3的项为T 7＝C 610x 3＝C 410x 3＝210x 3.(2)系数最大的项为中间项即T 6＝C 510x 55－3012＝252x 2512.18解：令得．即展开式的各项系数和，令，可得．令，那么，，，128．19. 解记“这名同学答对第i 个问题〞为事件A i (i ＝1，2，3)，那么P (A 1)＝，P (A 2)＝，P (A 3)＝0.6.(1)这名同学得300分的概率P 1＝P (A 1A 2－A 3)＋P (A 1－A 2A 3)＝P (A 1)P (A 2－)P (A 3)＋P (A 1－)P (A 2)P (A 3) ＝××＋×× ＝0.228.(2)这名同学至少得300分的概率P 2＝P 1＋P (A 1A 2A 3)＝0.228＋P (A 1)·P (A 2)·P (A 3××0.6＝0.564.20解：(1)这支篮球队首次胜场前已负2场的概率为P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132×13＝427.(2)这支篮球队在6场比赛中恰好胜3场的概率为P ＝C 36×⎝ ⎛⎭⎪⎫133×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133＝20×127×827＝160729. (3)由于X 服从二项分布，即X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，13， ∴E (X )＝6×13＝2，D (X )＝6×13×⎝⎛⎭⎪⎫1－13＝43.故在6场比赛中这支篮球队胜场的均值为2，方差为43.21(1) 〔1〕记事件1A =｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，2A =｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝1B =｛顾客抽奖1次获一等奖｝，2B =｛顾客抽奖1次获二等奖｝，C =｛顾客抽奖1次能获奖｝，由题意，1A 与2A 互相HY ，12A A 与12A A 互斥，1B 与2B 互斥，且1B =12A A ，2B =12A A +12A A ，12C B B =+，∵142()105P A ==，251()102P A ==， ∴11212211()()()()525P B P A A P A P A ===⨯=， 2121212121212()()()()()(1())(1())()P B P A A A A P A A P A A P A P A P A P A =+=+=-+-21211(1)(1)52522=⨯-+-⨯=，故所求概率为1212117()()()()5210P C P B B P B P B =+=+=+=(2)22(1) 解析：(1)X 可能的取值为：10,20,100，－200.根据题意，有P (X ＝10)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫121×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＝38，P (X ＝20)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝⎛⎭⎪⎫1－121＝38，P (X ＝100)＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×⎝⎛⎭⎪⎫1－12＝18， P (X ＝－200)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫120×⎝⎛⎭⎪⎫1－123＝18.所以X 的分布列为X 10 20 100 －200 P38381818(2)设“第i 盘游戏没有出现音乐〞为事件A i (i ＝1,2,3)，那么P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18.所以“三盘游戏中至少有一次出现音乐〞的概率为1－P (A 1A 2A 3)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫183＝1－1512＝511512.因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512.(3)X 的数学期望为E (X )＝10×38＋20×38＋100×18－200×18＝－54.这说明，获得分数X 的均值为负，因此，屡次游戏之后分数减少的可能性更大．创作人：历恰面日期： 2020年1月1日。

高二数学上学期期末考试试题美试题

祁县二中2021-2021学年高二数学上学期期末考试试题〔美〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日一、选择题(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的).1.集合A ＝{x|x 2＝1}，B ＝{x|ax ＝1}，假设B ⊆A ，那么实数a 的取值集合 ( )A ．{－1,0}B ．{－1,1}C ．{0,1}D ． {－1,0,1} 2 集合A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0，x ∈R}，B ＝{x|0＜x ＜5，x ∈N}，那么满足条件A ⊆C ⫋B 的集合C 的个数为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．43.以下命题中的真命题是 ( ) A.∃x ∈ B.∃x ∈(-∞,0),2x<3xC.∀x ∈(0,+∞),e x>x+1 D.∀x ∈(0,π),sin x>cos x 4.命题:23p x -<是命题:5q x <的〔〕A.既非充分又非必要条件B.充分非必要条件C.充要条件D.必要非充分条件 5．极坐标方程cos θ＝32(ρ∈R)表示的曲线是 ( ) A ．两条相交直线 B ．两条射线 C ．一条直线D ．一条射线6. 圆M ：x 2＋y 2－2x －4y ＝10，那么圆心M 到直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t ＋3，y ＝3t ＋1(t 为参数)的间隔为( )A ．1B ．2C ．3D ．47. A(4sin θ,6cos θ),B(-4cos θ,6sin θ),当θ为一实在数时,线段AB 的中点的轨迹为 ( )8. 椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)的离心率是 ( )A.74 B. 73 C. 72 D. 759. 化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为 ( )A ．x 2＋y 2＝0或者y ＝1 B ．x ＝1 C ．x 2＋y 2＝0或者x ＝1 D ．y ＝110. 设极坐标方程ρ=4cos θ+4sin θ表示的图形的面积是〔〕 11. 假设命题“〞是假命题，那么实数的取值范围是〔〕A. (-1,3)B. [-1,3] C .(]D.12. 命题p:∀x ∈[1,2],x 2-a ≥0,命题q:∃x ∈R,x 2+2ax+2-a=0,假设“p 且q 〞为真命题,那么实数a 的取值范围是〔〕A.a=1或者a ≤-2 ≤-2或者1≤a ≤2 ≥1 ≤a ≤1二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．把答案填在题中横线上). 13．集合A ＝{1,2，a ＋1}，B ＝{－1,3，a 2＋1}，假设A ∩B ＝{2}，那么实数a 的值是________． 14.命题:p 不等式m x >-|1|的解集是R ，命题xmx f q -=2)(:在区间),0(+∞ 上是减函数，假设命题“p 或者q 〞为真，命题“p 且q 〞为假，那么实数m 的范围是______.15.ρcosθ-ρsinθ-4=0上一点,点Q为曲线(t为参数)上一点,那么|PQ|的最小值为________.16. 命题：函数的定义域为；命题:假设，那么函数在上是减函数,那么以下结论:①命题“且〞为真；②命题“或者〞为假；③命题“或者〞为假；④命题“且〞为假,其中错误的选项是＿＿＿＿＿＿＿.三、解答题(本大题一一共6小题,一共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤).17.(满分是10分) 集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．(1)假设A∩B＝[0,3]，务实数m的值；(2)假设A⊆∁R B，务实数m的取值范围．18.(满分是12分) 设命题p:函数是R上的减函数，命题q:函数在的值域为．假设“〞为假命题，“〞为真命题，求的取值范围．19. 在直线坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cosθ.(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程.(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tanα0=2,假设曲线C1与C2的公一共点都在C3上,求a.20. (满分是12分)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝2＋32t(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)． (1)将曲线C 的参数方程化为普通方程；(2)假设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长．21. (满分是12分) 曲线C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32t ＋m ，y ＝12t(t 为参数)．(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；(2)当m ＝2时，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求|AB|的值．22. (满分是12分) 在极坐标系中，极点为O ，曲线C 1：ρ＝2与曲线C 2：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 交于不同的两点A ，B.求： (1)|AB|的值；(2)过点C(1，0)且与直线AB 平行的直线l 的极坐标方程．祁县二中高二期末考试数学测试卷答案一、选择题(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 DCCBABCACCBA二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．把答案填在题中横线上). 13． -1 14. [)0,215.16. ①②③三、解答题(本大题一一共6小题,一共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤).17. 解由得A ＝{x|－1≤x ≤3}，B ＝{x|m －2≤x ≤m ＋2}．(1)∵A ∩B ＝[0,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0，m ＋2≥3.∴m ＝2.(2)∁R B ＝{x|x<m －2或者x>m ＋2}，∵A ⊆∁R B ，∴m －2>3或者m ＋2<－1，即m>5或者m<－3.所以实数m 的取值范围是{m|m>5，或者m<－3}．18. 解：由得. 因为在上的值域为,所以.又因为“〞为假命题，“〞为真命题，所以,一真一假．假设真假，那么；假设假真，那么 .综上可得，的取值范围是.19.【解析】(1)(t 为参数),所以x 2+(y-1)2=a 2. ①所以C 12+y 2-2y+1-a 2=0.因为x 2+y 2=ρ2,y=ρsin θ,所以ρ2-2ρsin θ+1-a 2=0,即为C 1的极坐标方程. (2)C 2:ρ=4cos θ,两边同乘ρ,得ρ2=4ρcos θ, ∵ρ2=x 2+y 2,ρcos θ=x,∴x 2+y 2=4x.即(x-2)2+y 2=4. ② C 3:化为普通方程为y=2x,由题意:C 1和C 2的公一共方程所在直线即为C 3. ①-②得:4x-2y+1-a 2=0,即为C 3,所以1-a 2=0,所以a=1.20. 解：(1)由曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ得x 2＋y 2＝16，所以曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝16.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝2＋32t 代入x 2＋y 2＝16，整理，得t 2＋33t －9＝0.设A ，B 对应的参数为t 1，t 2，那么 t 1＋t 2＝－33，t 1t 2＝－9. |AB|＝|t 1－t 2|＝〔t 1＋t 2〕2－4t 1t 2＝37. 21. 解：(1)由ρ＝2cos θ，得：ρ2＝2ρcos θ，所以x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，所以曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32t ＋m ，y ＝12t得x ＝3y ＋m ，即x －3y －m ＝0，所以直线l 的普通方程为x －3y －m ＝0. (2)设圆心到直线l 的间隔为d ，由(1)可知直线l ：x －3y －2＝0，曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1，圆C 的圆心坐标为(1，0)，半径1，那么圆心到直线l 的间隔为d ＝|1－3×0－2|1＋〔3〕2＝12. 所以|AB|＝21－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝ 3.因此|AB|的值是 3.22. 解：(1)因为ρ＝2，所以x 2＋y 2＝4. 又因为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，所以y ＝x ＋2，所以|AB|＝2r 2－d 2＝24－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝2 2. (2)因为曲线C 2的斜率为1，所以过点(1，0)且与曲线C 2平行的直线l 的直角坐标方程为y ＝x －1，所以直线l 的极坐标为ρsin θ＝ρcos θ－1，故ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日。

山西省祁县中学2020学年高二数学上学期期末模拟考试试题二文

9.山西省祁县中学 2020 学年高二数学上学期期末模拟考试试题二文12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角为（）2. 命题“对任意，都有”的否定为（） A. 存在,都有 D. B. 对任意,使得C. 存在,使得不存在,使得3. 圆柱的底面半径为1 ,母线长为 2,则它的侧面积为（） A. B.C. D. 4. 设 l ，m ， n 表示三条不同的直线，，，表示三个不同的平面，给出下列四个命题：若，，，则；若，n 是I 在内的射影，，则；若，，贝U其中真命题的个数为（）5. 直线：与直线：垂直,则直线在 x 轴上的截距是（）是“平面平面”的（取值范围为（10.已知椭圆内有一点，，是其左、右焦点， M 为椭圆上的动点，则的最小值为（、选择题（本大题共 A.B. C.D. A. 2B. 1C. 0D. 3A. B. 2 C.D. 4 6. 已知平面及平面同一侧外的不共线三点A ,B ,C ,则“ A , B ， C 三点到平面的距离都相等” 7. 8. A. 充分不必要条件C. 必要不充分条件已知是椭圆的左焦点,A. B. C. 圆上到直线的距离等于 A. 1 个已知椭圆和点、 B. A 为右顶点, D.1 的点有（B. 3 个充要条件 D. 既不充分又不必要件是椭圆上的一点, 轴,若,则该椭圆的离心率是（C. 2 个D. 4 个,若椭圆的某弦的中点在线段AB 上，且此弦所在直线的斜率为k ,则 k 的 A. B. C. D.A. 4B.C.D. 611. 已知函数的两个极值点分别在（-1 , 0）与（0, 1 ）内，贝U 2a-b的取值范围是（）A. B. C. D.12•已知函数，则方程恰有两个不同的实根时，实数的取值范围是（注：为自然对数的底数）（）A. B • C • D •二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13. 已知，则等于________________ .14. 如图，三棱锥中，，，点M N分别是AD BC的中点，则异面直线AN, CM所成的角的余弦值是_________.15. 已知函数的图象与x轴恰有两个不同公共点，则m = _______________ .16. 若函数的图象经过四个象限的充要条件是__________________ .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. （本小题满分10分）已知，设命题p :指数函数，且在R上单调递增.命题q:函数的定义域为若“ p且q”为假，“ p或q”为真，求a的取值范围.18. （本小题满分12分）已知直线I过坐标原点0,圆C的方程为.⑴当直线I的斜率为时，求I与圆C相交所得的弦长；⑵设直线I与圆C交于两点A, B,且A为0B的中点，求直线I的方程.19. （本小题满分12 分）边长为2的正三角形ABC中，点D, E, G分别是边AB, AC BC的中点，连接DE连接AG交DE于点F,现将沿DE折叠至的位置，使得平面平面BCED连接A i G, EG证明：DE//平面A i BC 求点B到平面A i EG的距离.20. （本小题满分12分）是抛物线为上的一点，以S为圆心，r为半径做圆，分别交x轴于A B两点，连结并延长SASB,分别交抛物线于C、D两点.求抛物线的方程.求证：直线CD的斜率为定值.21. （本小题满分12分）已知函数, .若（1）求实数的值；（2）若关于的方程有实数解,求实数的取值范围.22. （本小题满分12分）已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）当时，证明：对任意的祁县中学2020 年高二年级1 月模拟试题（2）数学（文）答案一、选择题DCDACB CBBCBC二、填空题13．4 14 ．15 ．0 或16 ．三、解答题17. 解：由命题p，得，对于命题q,即使得，恒成立若，，即若,恒成立,满足题意,所以由题意知p 与q 一真一假,当p真q假时，所以.当p假q真时，即.综上可知, a 的取值范围为．18. 解：（1）由已知，直线I的方程为，圆C圆心为，半径为，圆心到直线I的距离为•所求弦长为；（2），为0B的中点，贝U又A, B在圆C上,,.解得，，即或．直线I 的方程为或．19. 证明：边长为2的正三角形ABC中, D, E, G分别是边AB AC, BC的中点，连接DE连接AG交DE于点F.,平面，平面，平面•解：由VB-A1EG=VA-BG可得，S A A1EG X d= S △ BGEK AF,解得.20. 解：将点代入，得，解得•抛物线方程为：•证明：设直线SA的方程为：，联立,联立得： ,,,,由题意有，直线SB的斜率为，设直线SB的方程为：，联立，联立得：，，，，.21. 解：（1）函数的定义域为， .由，解得•(2)由，整理后得•所以.令，则. 显然.当时，，为减函数；当时，，为增函数.所以当时，，即的值域为.所以使方程有实数解的的取值范围•22. 解：(1)函数的定义域是，当时，对任意恒成立，所以，函数在区间单调递增; 当时，由得，由，得，所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减; 2当时，，要证明，只需证明，设，则问题转化为证明对任意的，，令，得，容易知道该方程有唯一解，不妨设为，则满足，当x变化时，和变化情况如下表因为，且，所以,因此不等式得证。

山西省祁县中学2020-2021学年高二上学期期末模拟二考试数学(理)试题

【全国百强校】山西省祁县中学2020-2021学年高二上学期期末模拟二考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题130y +-=的倾斜角为（） A ．6π B ．3π C ．56π D ．23π 2．命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为（） A ．对任意x ∈R ，都有x 2＜0 B ．不存在x ∈R ，都有x 2＜0 C ．存在x 0∈R ，使得x 02≥0D ．存在x 0∈R ，使得x 02＜03．圆柱的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为（） A ．2πB ．3πC ．πD ．4π4．设l ，m ，n 表示三条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，给出下列四个命题：①若l α⊥，m l ⊥，m β⊥，则αβ⊥；②若m β⊂，n 是l 在β内的射影，m n ⊥，则m l ⊥； ③若αβ⊥，αγ⊥，则//αβ其中真命题的个数为（） A ．2B ．1C ．0D ．35．直线1l ：()340a x y +++=与直线2l ：()140x a y +-+=垂直，则直线1l 在x 轴上的截距是（） A ．4-B ．2C ．2-D ．46．已知平面α及平面α同一侧外的不共线三点A ，B ，C ，则“A ，B ，C 三点到平面α的距离都相等”是“平面//ABC 平面α”的（） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要件7．如图所示，在空间四边形OABC 中，OA a OB b OC c ==＝，，，点M 在OA 上，且2,OM MA N =为BC 中点，则MN =（）A ．121232a b c -+B ．211322a b c -++ C ．111222a b c +-D ．221b 332a c -+-8．圆22(3)(3)9x y -+-=上到直线34110x y +-=的距离等于1的点有（） A ．1个B ．3个C ．2个D ．4个9．已知椭圆2214y x +=和点11(,)22A 、1(,1)2B ，若椭圆的某弦的中点在线段AB 上，且此弦所在直线的斜率为k ，则k 的取值范围为（） A ．[]2,1--B ．[]4,2--C ．[]4,1--D ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦10．已知椭圆2213216x y +=内有一点()2,2B ，1F ，2F 是其左、右焦点，M 为椭圆上的动点，则1MF MB +的最小值为（）A ．4B ．C ．D ．611．已知点1F 是抛物线C ：22x py =的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F ，2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A B 1C D 112．在底面是边长为6的正方形的四棱锥P--ABCD 中，点P 在底面的射影H 为正方形ABCD 的中心，异面直线PB 与AD 所成角的正切值为53，则四棱锥P--ABCD 的内切球与外接球的半径之比为（）A ．12B ．14C ．317D ．617二、填空题13．若向量(2a =，1，2)-，//e a 且1e =，则e =______．14．如图，三棱锥A BCD -中， 3,2AB AC BD CD AD BC ======，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线,AN CM 所成的角的余弦值是________．15．方程(2220x y +-=表示的曲线方程是________________．16．已知直线l 与抛物线2yx 交于A,B 两点，且|AB|=2,设线段AB 的中点为M ，当直线l 运动时，则点M 的轨迹方程为_________.三、解答题17．已知a R ∈，设命题p ：指数函数(0,x y a a a =>且≠1)在R 上单调递增.命题q ：函数2ln(1)y ax ax =-+的定义域为R ．若“p q 且”为假，“p q 或”为真，求a 的取值范围．18．已知直线l 过坐标原点O ，圆C 的方程为22640x y y +-+=．（1）当直线l 时，求l 与圆C 相交所得的弦长；（2）设直线l 与圆C 交于两点,A B ，且A 为OB 的中点，求直线l 的方程． 19．边长为2的正三角形ABC 中，点D ，E ，G 分别是边AB ，AC ，BC 的中点，连接DE ，连接AG 交DE 于点.F 现将ADE 沿DE 折叠至1A DE 的位置，使得平面1A DE ⊥平面BCED ，连接A 1G ，EG ．()1证明：DE ∥平面A 1BC ()2求点B 到平面A 1EG 的距离．20．()1,1S 是抛物线为22(0)y px p =>上的一点，以S 为圆心，r 为半径(1r <<做圆，分别交x 轴于A ，B 两点，连结并延长SA 、SB ，分别交抛物线于C 、D 两点．()1求抛物线的方程．()2求证：直线CD 的斜率为定值．21．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，PD ⊥底面ABCD ，//AB CD ，AD CD ⊥，1AD AB ==，BC =(1)求证：平面PBD ⊥平面PBC ；(2)设H 为CD 上一点，满足2CH HD =，若直线PC 与平面PBD 所成的角的正切值，求二面角H PB C --的余弦值． 22．已知圆O ：224x y +=（其中O 为圆心）上的每一点横坐标不变，纵坐标变为原来的一半，得到曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）若点P 为曲线C 上一点，过点P 作曲线C 的切线交圆O 于不同的两点,A B （其中A 在B 的右侧），已知点12(F F .求四边形12ABF F 面积的最大值.参考答案1．D【解析】【分析】由直线的方程可得斜率，由倾斜角和斜率的关系可得倾斜角．【详解】+y﹣3＝0可化为y=+3，∴直线的斜率为设倾斜角为α，则tanα=又∵0≤α＜π，∴α23π=，故选：D．【点睛】本题考查直线的倾斜角，涉及倾斜角和斜率的关系，属于基础题．2．D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为．存在x0∈R，使得x02＜0．故选D．3．D【解析】【分析】根据圆柱的侧面积公式，计算即可．【详解】圆柱的底面半径为r＝1，母线长为l＝2，则它的侧面积为S侧＝2πrl＝2π×1×2＝4π．故选：D．【点睛】本题考查了圆柱的侧面积公式应用问题，是基础题．4．A【解析】【分析】①由二面角定义可知正确；②由三垂线定理可证；③可举反例说明错误．【详解】①由二面角定义可知若m⊥l，则α⊥β正确；②由三垂线定理知正确；③正方体从同一个顶点出发的三个平面两两垂直，可知命题错误.故选：A．【点睛】本题考查空间的线面位置关系，考查空间想象能力和逻辑推理能力．5．C【分析】利用直线l1：（a+3）x+y﹣4＝0与直线l2：x+（a﹣1）y+4＝0垂直，求出a，再求出直线l1在x轴上的截距．【详解】∵直线l1：（a+3）x+y+4＝0与直线l2：x+（a﹣1）y+4＝0垂直，∴（a+3）+a﹣1＝0，∴a＝﹣1，∴直线l1：2x+y+4＝0，∴直线l1在x轴上的截距是-2，故选C．【点睛】本题考查直线垂直条件的运用，考查直线在x轴上的截距的定义和求法，属于基础题．6．B【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．【详解】已知平面α外不共线的三点A、B、C到α的距离都相等，且三点在α的同侧，则直线AB 平行于α，直线BC 平行于α，即平面ABC 平行于α，反之根据面面平行的定义可知成立，故选B ．【点睛】本题考查了充分必要条件，考查线面，面面关系，是一道基础题． 7．B 【分析】由向量的加法和减法运算，12()23MN ON OM OB OC OA =-=+-，即得解【详解】由向量的加法和减法运算：12211()23322MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++.故选：B 【点睛】本题考查了空间向量的加法和减法运算，考查了学生空间想象，概念理解，数学运算能力，属于基础题 8．B 【分析】由圆的方程找出圆心A 的坐标和半径r ＝3，然后由点到直线的距离公式求出圆心A 到已知直线的距离为2，由AE ﹣AD ＝DE ，即3﹣2＝1求出DE 的长，得到圆A 上的点到已知直线距离等于1的点有三个，如图，点D ，P 及Q 满足题意．【详解】由圆的方程，得到圆心A 坐标为（3，3），半径AE ＝3，则圆心（3，3）到直线3x +4y ﹣11＝0的距离为d 3343115⨯+⨯-==2，即AD ＝2，∴ED ＝1，即圆周上E 到已知直线的距离为1，同时存在P 和Q 也满足题意， ∴圆上的点到直线3x +4y ﹣11＝0的距离为1的点有3个．故选B ．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，考查了数形结合的数学思想，是一道中档题． 9．B 【分析】由题意设出椭圆2214y x +=的某弦的两个端点分别为P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），中点为M （x 0，y 0），把P 、Q 的坐标代入椭圆方程，作差得到PQ 的斜率与AB 中点坐标的关系得答案．【详解】设椭圆2214y x +=的某弦的两个端点分别为P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），中点为M （x 0，y 0），则221114y x +=，222214y x +=，两式作差可得：2222121244y y x x -=-+，即()120121212000144422x x x y y x x y y y y y ⨯+-=-=-=-=--+，由题意可知，12≤y 0≤1， ∴k 02y =-（12≤y 0≤1），则k ∈[﹣4，﹣2]．故选B ．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，训练了“中点弦”问题的求解方法，属于中档题． 10．C 【解析】【分析】借助于椭圆的定义把|1MF |+|MB |转化为2a ﹣（|2MF |﹣|MB |），结合三角形中的两边之差小于第三边得答案．【详解】|1MF |+|MB |＝2a ﹣（|2MF |﹣|MB |）≥2a ﹣|2BF |＝=当且仅当M ，F 2，B 共线时取得最小值故选：C ．【点睛】本题考查了与椭圆有关的最值的求法，考查了椭圆的定义的应用，考查了数学转化思想方法，是中档题． 11．D 【解析】【分析】根据抛物线的性质，设出直线方程，代入抛物线方程，求得k 的值，设出双曲线方程，求得2a ＝丨AF 2丨﹣丨AF 11）p ，利用双曲线的离心率公式求得e ．【详解】直线F 2A 的直线方程为：y ＝kx 2p -，F 1（0，2p），F 2（0，2p -），代入抛物线C ：x 2＝2py 方程，整理得：x 2﹣2pkx +p 2＝0， ∴△＝4k 2p 2﹣4p 2＝0，解得：k ＝±1，∴A （p ，2p ），设双曲线方程为：2222y x a b-=1，丨AF 1丨＝p ，丨AF 2丨==，2a ＝丨AF 2丨﹣丨AF 1丨＝（ 1）p ，2c ＝p ，∴离心率ec a ===1，故选：D ．【点睛】本题考查抛物线及双曲线的方程及简单性质，考查转化思想，考查计算能力，属于中档题． 12．D 【解析】【分析】确定异面直线PB 与AD 所成角为∠PBC ，取BC 中点E ，则tan∠PBC 53PE BE ==，求出PE ＝5，HP ＝4，可得四棱锥P ﹣ABCD 的表面积、体积，进而求出内切球的半径，利用勾股定理求出外接球的半径，即可求出四棱锥P ﹣ABCD 的内切球与外接球的半径之比．【详解】由题意，四棱锥P ﹣ABCD 为正四棱锥，P A ＝PB ＝PC ＝PD ， ∵AD ∥BC ，∴异面直线PB 与AD 所成角为∠PBC ，取BC 中点E ，则tan∠PBC 53PE BE ==， ∴PE ＝5，HP ＝4，从而四棱锥P ﹣ABCD 的表面积为S 1654662=⨯⨯⨯+⨯=96，V 16643=⨯⨯⨯=48， ∴内切球的半径为r 332V S ==．设四棱锥P ﹣ABCD 外接球的球心为O ，外接球的半径为R ，则OP ＝OA ，∴（4﹣R ）2+（）2＝R 2，∴R 174=， ∴617r R =．故选D ．【点睛】本题考查四棱锥P﹣ABCD的内切球与外接球的半径之比，考查四棱锥P﹣ABCD的表面积、体积，考查学生的计算能力，属于中档题．13．212,,333⎛⎫-⎪⎝⎭或212,,333⎛⎫--⎪⎝⎭【解析】【分析】设e=（2λ，λ，﹣2λ），则|e|==1，由此能求出结果．【详解】∵向量a=（2，1，﹣2），e∥a且|e|＝1，∴设e=（2λ，λ，﹣2λ），则|e|==1，解得13λ=±，∴e=（212333-，，）或e=（23-，13-，23）．故答案为：（212333-，，）或（23-，13-，23）．【点睛】本题考查向量的求法，考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14．7 8【解析】如下图，连结DN，取DN中点P，连结PM，PC，则可知即为异面直线，所成角（或其补角）易得，，，∴，即异面直线，所成角的余弦值为.考点：异面直线的夹角.15．3x = 【解析】【分析】利用表达式的定义域，转化求解即可．【详解】（x 2+y 2﹣2=0有意义，必须x ﹣3≥0，并且x 2+y 2﹣2＝0或x ﹣3＝0，可得x ＝3．故答案为：x ＝3．【点睛】本题考查曲线与方程的应用，是基本知识的考查． 16．22()(1+4)=1y x x - 【解析】设点M(x,y),A(x+m,y+n),B(x-m,y-n), 则有22()()y n x m y n x m ⎧+=+⎨-=-⎩ 将两式相减得：24,2n mx n mx =⇒= 将两式相加得：2222222y x my x m =+⇒=+解出：22222,4()m y x n y x x =-=-又因为|AB|=2，所以2==22=1m n ⇒+ 所以222+4()=1y x y x x --，即点M 的轨迹方程为22()(1+4)=1y x x - 故答案为22()(1+4)=1y x x - 17．01a ≤≤或4a ≥ 【解析】试题分析：化简命题p 可得1a >，化简命题q 可得04a ≤<，由p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，可得,p q 一真一假，分两种情况讨论，对于p 真q 假以及p 假q 真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数m 的取值范围.试题解析：由命题p ，得a ＞1，对于命题q ，即使得x ∈R ，ax 2－ax ＋1＞0恒成立若a ＞0，△＝a 2－4a ＜0，即0＜a ＜4若a ＝0，1＞0恒成立，满足题意，所以0≤a ＜4 由题意知p 与q 一真一假，当p 真q 假时，所以a ≥4．当p 假q 真时，，即0≤a ≤1．综上可知，a 的取值范围为[0，1]∪[4，＋∞)．18．(1);(2) 直线l 的方程为y=x 或y=﹣x. 【解析】试题分析：(1) 由已知，直线l 的方程为y =，圆C 圆心为()0,3心到直线l 的距离，根据勾股定理可求l 与圆C 相交所得的弦长；（2）设直线l 与圆C 交于两点,A B ，且A 为OB 的中点，设A ()11,x y ，则()112,2B x y ，将,A B 点的坐标代入椭圆方程求出A 的坐标，即可求直线l 的方程.试题解析：（1）由已知，直线l 的方程为y=x ，圆C 圆心为（0，3），半径为，所以，圆心到直线l 的距离为=．… 所以，所求弦长为2=2．（2）设A （x 1，y 1），因为A 为OB 的中点，则B （2x 1，2y 1）．又A ，B 在圆C 上，所以 x 12+y 12﹣6y 1+4=0，4x 12+4y 12﹣12y 1+4=0．解得y 1=1，x 1=±1，即A （1，1）或A （﹣1，1）所以，直线l 的方程为y=x 或y=﹣x ．19．（1）见解析；（2【分析】（1）推导出DE ∥BC ，由此能证明DE ∥平面A 1BC ．（2）以F 为原点，FG 为x 轴，FE 为y 轴，F A 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点B 到平面A 1EG 的距离．【详解】()1边长为2的正三角形ABC 中，点D ，E ，G 分别是边AB ，AC ，BC 的中点，连接DE ，连接AG 交DE 于点F ．//DE BC ∴，DE ⊄平面1A BC ，BC ⊂平面1A BC ， //DE ∴平面1A BC ．()2将ADE 沿DE 折叠至1A DE 的位置，使得平面1A DE ⊥平面BCED ，连接1A G ，EG ．以F 为原点，FG 为x 轴，FE 为y 轴，1FA 为z 轴，建立空间直角坐标系，B -1，0)，1(0,A 0，10,,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，G 0，0)，33,022EB⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭，110,,22EA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，31,022EG ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面1A EG 的法向量(,n x =y ，)z ，则110231022n EA y z n EG x y ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩，取x =(3,3,n =，∴点B 到平面1A EG 的距离15EB n d n⋅=== 【点睛】本题考查线面平行的证明，考查利用空间向量解决点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．（1）2y x =；（2）定值12-，证明见解析【分析】（1）将点（1，1）代入y 2＝2px （p ＞0），解得p ，即可得出．（2）设直线SA 的方程为：y ﹣1＝k （x ﹣1），C （x 1，y 1）．与抛物线方程联立，利用根与系数的关系可得C 坐标．由题意有SA ＝SB ，可得直线SB 的斜率为﹣k ，同理可得D 坐标，再利用向量计算公式即可得出．【详解】() 1将点()1,1代入22(0)y px p =>，得21p =，解得12p =． ∴抛物线方程为：2y x =．()2证明：设直线SA 的方程为：()11y k x -=-，()11,.C x y联立()112y k x y x -=-⎧⎪=⎨⎪⎩，联立得：210ky y k -+-=，111y k ∴+=，111y k∴=-， 22(1)1,k k C k k ⎛⎫--∴ ⎪⎝⎭，由题意有SA SB =，∴直线SB 的斜率为k -，设直线SB 的方程为：()11y k x -=--，()22,.D x y联立()112y k x y x -=--⎧⎪=⎨⎪⎩，联立得：210ky y k +-+=，211y k ∴+=-，211y k∴=--， 22(1)1,k k D k k ⎛⎫++∴- ⎪⎝⎭， 222211111(1)(1)2CDk k k k k k k -++∴==--+-．【点睛】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式、等腰三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 21．（1）证明见解析；（2【解析】试题分析：（I ）由直角三角形可得BC BD ⊥，由线面垂直的性质可得BC PD ⊥，从而可得BC ⊥平面,PBD 进而可得结论；（II ）以D 点为坐标原点，,,DA DC DP 分别,,x y z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面HPB 与平面PBC 的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.试题解析：（I ）由,//,1AD CD AB CD AD AB ⊥==，可得BD =，又,.4BC BC BD π=∠=∴⊥从而2CD =，PD ⊥底面ABCD ，BC PD ∴⊥PD BD D ⋂=，BC ∴⊥平面,PBD 所以平面PBD ⊥平面PBC .（II ）由（I ）可知BPC ∠为PC 与底面PBD 所成角.所以tan BPC ∠=，所以1PB PD == 又23CH HD =及2CD =，可得64,55CH DH ==,以D 点为坐标原点，,,DA DC DP 分别,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()()()41,1,0,0,0,1,0,2,0,0,,05B P C H ⎛⎫⎪⎝⎭. 设平面HPB 的法向量(),,n x y z =.则由00n PB n PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩得4050y z x y z ⎧-+=⎪⎨⎪+-=⎩取()1,5,4n =--同理平面PBC 的法向量为()1,1,2m = 所以27cos ,7m n m n m n ⋅==- 又二面角H PB C --为锐角.所以二面角H PB C --余弦值为7. 【方法点晴】本题主要考查利用空间垂直关系以及空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.22．（1）2214x y +=（2）4【解析】试题分析：（1）曲线C 上任意一点(),x y ，则(),2x y 为22:4O x y +=上的点，从而可得曲线C 的方程为2244x y +=，化简可得标准方程；（2），设:AB y kx m =+，由()()2222241841014y kx m k x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩，根据判别式为零可得2241m k =+，根据韦达定理、弦长公式以及三角形面积公式可得ABOS ∆=，同理可得2112AF O BF O S S y +=+=则()1212ABF F ABO BF O AF O S S S S ∆=++=，利用基本不等式可得四边形12ABF F 面积的最大值.试题解析：（1）设曲线C 上任意一点(),x y ，则(),2x y 为22:4O x y +=上的点，22224414x x y y ∴+=⇔+=，∴曲线22:14x C y +=．（2）易知直线AB 的斜率k 存在，设:AB y kx m =+，()()()22222221418410414y kx mx kx m k x kmx m x y =+⎧⎪⇒++=⇒+++-=⎨+=⎪⎩， ()()()22222=8164110,410km k m k m ∆-+-=∴-+=，即2241m k =+，因为1212ABF F ABO BF O AF O S S S S ∆=++,设点O 到直线:0AB kx y m -+=的距离为d ，则d =AB ∴==ABO S ∆∴=由()()2222222412404y kx m x kx m k x kmx m x y =+⎧⇒++=⇒+++-=⎨+=⎩， 12221222141km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+∴⎨-⎪=⎪+⎩， ()1212122222+2211km m y y kx m kx m k x x m k m k k ⎛⎫∴=+++=++=-+= ⎪++⎝⎭，)211212121122AF O BF OS S y y y y y ∴+=+=+=+=， ()1212ABF F ABO BF O AF O S S S S ∆∴=+++=而2241m k =+，221=4m k -，易知20k ≥，21,1m m ∴≥∴≥，12414ABF F S m m ∴===≤=++，23==3m m m m⇔⇔=⇔= ()12max4ABF F S ∴=．。

山西省晋中市祁县第二中学2021-2022学年高二数学文上学期期末试题含解析

山西省晋中市祁县第二中学2021-2022学年高二数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知三棱锥P-ABC中，，AB=3，AC=4，,，则此三棱锥的外接球的内接正方体的体积为A．16 B．28 C．64 D．96参考答案：C2. 定义在R上的函数f(x)的导函数f′(x)的图像如图，若两个正数a，b满足f(2a＋b)<1，且f(4)＝1，则的取值范围是参考答案：D略3. 已知点P（）在第三象限，则角在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：B4. 设分别为双曲线（a>0,b>0）的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P，使,且的三边长构成等差数列，则此双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D.5参考答案：D5. 已知直线m和平面α，β，则下列四个命题正确的是（）A. 若α⊥β，mβ，则m⊥αB. 若α∥β，m∥α，则m∥βC. 若α∥β，m⊥α，则m⊥βD. 若m∥α，m∥β，则α∥β参考答案：C6. 曲线在点处的切线的倾斜角为（）A . -1B . 45°C . -45°D . 135°参考答案：D略7. 定义在R上的偶函数满足，当时，，设函数，则函数与的图象所有交点的横坐标之和为（）A. 2 B. 4 C. 6 D. 8参考答案：B因为，所以周期为2，函数关于对称，作图可得四个交点横坐标关于对称，其和为，选B.点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路. 8. 与向量共线的单位向量是（）A.B.和C. D.和参考答案：D9. 以下四个命题中，正确的是（）A. 若，则三点共线B. 若{ a , b , c }为空间的一个基底，则{ a+b , b+c ,c+a }构成空间的另一个基底C. |(a ·b )c|=|a |·|b |·|c |D.为直角三角形的充要条件是参考答案： B 略10. 在四面体ABCD 中，已知棱AC 的长为，其余各棱的长都为1，则二面角A ﹣CD ﹣B 的余弦值是（）．B．参考答案：C 略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 西部五省，有五种颜色供选择涂色，要求每省涂一色，相邻省不同色，有__________种涂色方法．参考答案：420【分析】根据题意，分别分析5个省的涂色方法的数目，进而由分步、分类计数原理，计算可得答案．【详解】对于新疆有5种涂色的方法，对于青海有4种涂色方法，对于西藏有3种涂色方法，对于四川：若与新疆颜色相同，则有1种涂色方法，此时甘肃有3种涂色方法；若四川与新疆颜色不相同，则四川只有2种涂色方法，此时甘肃有2种涂色方法；根据分步、分类计数原理，则共有5×4×3×（2×2+1×3）＝420种方法．故答案为：420【点睛】本题考查分类、分步计数原理，对于计数原理的应用，解题的关键是分清要完成的事情分成几部分及如何分类，注意做到不重不漏．12. 在区间上随机取一个数,使得成立的概率为；参考答案：略13. 若命题且，则为__________．参考答案：或且的否定为或，所以“且”的否定为“或”14. 从中任取三个不同的数作为椭圆方程中的系数，则确定不同的椭圆的个数为______________。

山西省晋中市祁县第二中学2021年高二数学理模拟试题含解析

山西省晋中市祁县第二中学2021年高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设曲线y=x2+1在点（x，f（x））处的切线的斜率为g（x），则函数y=g（x）cosx的部分图象可以为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】3O：函数的图象．【分析】先研究函数y=g（x）cosx的奇偶性，再根据在某点处的函数值的符号进一步进行判定．【解答】解：g（x）=2x，g（x）?cosx=2x?cosx，g（﹣x）=﹣g（x），cos（﹣x）=cosx，∴y=g（x）cosx为奇函数，排除B、D．令x=0.1＞0．故选：A．2. 函数的图象可能是（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】3O：函数的图象．【分析】根据于函数不是偶函数，它的图象不关于y轴对称，故排除A；再根据当x＜0时，f（x）=﹣x+是减函数，结合选项，得出结论．【解答】解：由于函数不是偶函数，故它的图象不关于y轴对称，故排除A；当x＜0时，f（x）=﹣x+是减函数，结合图象，只有B满足条件，C、D不满足条件故排除C、D，故选：B．3. 等比数列中，已知，则此数列前17项之积为（）A． B．－ C． D．－参考答案：D4. 在二项式的展开式中，含的项的系数是( ) .A． B． C． D．参考答案：B略5. 设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（）A．5B． +C．2+D．6参考答案：C【考点】椭圆的简单性质．【分析】由圆的方程求出圆心坐标和半径，设出Q的坐标，由两点间的距离公式列式，化为关于Q的纵坐标的函数，配方求得Q到圆心的距离的最大值，即可求P，Q两点间的距离的最大值．【解答】解：如图，由圆x2+（y﹣6）2=2，得圆心坐标为C（0，6），半径为．设Q（x，y）是椭圆+=1上的点，∴|QC|==，∵﹣≤y≤，∴y=﹣时，Q与圆心C的距离的最大值为．∴P，Q两点间的距离的最大值为2+．故选：C．6. 函数的部分图象如图所示，则的值分别是（）A． B．C． D．参考答案：A7. 已知数列{a n}中，a1=1，2na n+1=（n+1）a n，则数列{a n}的通项公式为( ) A．B．C．D．参考答案：B【考点】数列的概念及简单表示法．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由2na n+1=（n+1）a n，变形为，利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵2na n+1=（n+1）a n，∴，∴数列{}是等比数列，首项，公比为．∴，∴．故选：B．【点评】本题考查了变形利用等比数列的通项公式求数列的通项公式，属于基础题．8. 已知椭圆的两个焦点为，，是此椭圆上的一点，且，，则该椭圆的方程是( )B． C．D．参考答案：A9. 若二项式的展开式的第5项是二项式系数最大的项，则自然数的值为A．6 B．8 C．9 D．11（）参考答案：B略10. 设变量、满足线性约束条件，则目标函数的最小值为（）A．6 B．7C．8 D．23参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图所示流程图中，语句1(语句1与无关) 将被执行的次数是参考答案：25略12. 在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B(1，-3，1)，则|AB|=_________.参考答案：13. 设、是平面直角坐标系（坐标原点为）内分别与轴、轴正方向相同的两个单位向量，且，，则的面积等于 .参考答案：14. 执行右图中程序，若输入：m=324，n=243，则输出的结果为：________参考答案：81略15. 明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0．80，乙闹钟准时响的概率是0．90，则两个闹钟至少有一准时响的概率是．参考答案：1略16. 在数字1、2、3、4四个数中，任取两个不同的数，其和大于积的概率是．参考答案：【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】所哟的取法有=6种方法，用列举法求得满足条件的取法有3种，由此求得所求事件的概率．【解答】解：在数字1、2、3、4四个数中，任取两个不同的数，共有=6种方法，其中，满足其和大于积的取法有：（1，2）、（1，3）、（1，4）共三种，故其和大于积的概率是=，故答案为．17. 已知椭圆和双曲线有共同焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2=，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则的最大值是．参考答案：设椭圆的长半轴长为,双曲线的半实轴长为,根据椭圆及双曲线的定义:,解得,设则在中,由余弦定理可得:,化简得,即,故填三、解答题：本大题共5小题，共72分。

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9．如图，椭圆
19
252
2=+y x 上的点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，则ON （O 为坐标原点）的值为( ) A ．8 B ．2 C ． 4 D ．
2
3 10．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( ) A.1
2
B ．1
C ．2
D ．4
11.已知F 1、F 2为椭圆x 2a 2 + y 2
b
2 = 1(a ＞b ＞0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB, 若△AF 1B 的
周长为16,椭圆的离心率e= 3
2
, 则椭圆的方程为（）
A x 24 + y 23 = 1
B x 216 + y 23 = 1
C x 216 + y 212 = 1
D x 216 + y 2
4
= 1
12.若椭圆
15
4116252
222=-=+y x y x 和双曲线的共同焦点为21,F F ，P 是两曲线的一个交点，则1PF ·2PF 的值为（）
A ．2
21
B . 84
C . 3
D .21
第Ⅱ卷（非选择题共64分）
二、填空题：（共6道小题，每小题3分，共18分）
13.设A 、B 是两个命题，如果A 是 B 的充分不必要条件，则的是B A ⌝⌝ ；
14.双曲线142
2=-y x 的渐近线方程是：； 15.已知抛物线)0(22
<=a ax y ，它的焦点坐标是；
16．椭圆的焦点在y 轴上，一个焦点到长轴的两端点的距离之比是1∶4, 短轴长为8, 则椭圆的标准方程是 ;
17．已知)6,6,3(+=→λλa ，)2,3,1(λλ+=→
b 为两平行平面的法向量，则λ= 。

18．命题“x R ∃∈，使2
230ax ax -+<成立”是假命题，则实数a 的取值范围为。

三、解答题：（共5道小题，8+9+9+10+10分） 19．已知命题p ：函数y ＝x
2＋2(a 2－a )x ＋a 4－2a 3在[－2，＋∞)上单调递增．q ：
关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0解集为R .若p ∧q 假，p ∨q 真，求实数a 的取值范围．
20．已知条件p ：－1≤x ≤10，q ：x 2－4x ＋4－m 2
≤0(m >0)不变，若非p 是非q 的
必要而不充分条件，求实数m 的取值范围.
21．已知顶点在原点, 焦点在x 轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为15，求抛物线的方程.
22．(本小题满分12分)如图，直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 24
＋y 2
＝1，交于A 、B 两点，记ΔAOB
的面积S ，当|AB |＝2，S ＝1时，求直线AB 的方程．
23．如图四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上，O 为AC 与BD 的交点。

（1）求证：平面AEC PDB ⊥平面；（2）当E 为PB 中点时，求证：
OE //平面PDA;（3）当2PD AB =且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PBC 所成的角的
大小。

答案
一、选择题（共12道小题，每小题3分，共36分）
ADDA CDCD CCDD
二、填空题：（共6道小题，每小题3分，共18分）
13.必要条件 14. 02=±y x 15. )81
,
0(a
16．
1162522=+x y 17． 2
1 18．[0, 3] 三、解答题：（共5道小题，8+9+9+10+10分）
19．
解析： ∵函数y ＝x 2＋2(a 2－a )x ＋a 4－2a 3 ＝[x ＋(a 2－a )]2－a 2，在[－2，＋∞)上单调递增， ∴－(a 2
－a )≤－2，
即a 2－a －2≥0，解得a ≤－1或a ≥2. 即p ：a ≤－1或a ≥2
由不等式ax 2
－ax ＋1＞0的解集为R 得⎩⎨
⎧
a ≥0Δ＜0
，
即⎩⎨
⎧
a ≥0－a
2
－4a ＜0
解得0≤a ＜4 ∴q ：0≤a ＜4. ∵p ∧q 假，p ∨q 真． ∴p 与q 一真一假． ∴p 真q 假或p 假q 真，即⎩⎨
⎧
a ≤－1或a ≥2a <0或a ≥4
或⎩⎨
⎧
－1≤a ＜2，0≤a ＜4.
∴a ≤－1或a ≥4或0≤a ＜2.
所以实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪[0,2)∪[4，＋∞)．
20．解：p ：－1≤x ≤10.
q ：x 2－4x ＋4－m 2≤0
⇔[x －(2－m )][x －(2＋m )]≤0(m >0) ⇔2－m ≤x ≤2＋m (m >0)．
因为非p 是非q 的必要而不充分条件，所以p 是q 的充分不必要条件，
即{x |－1≤x ≤10}{x |2－m ≤x ≤2＋m }，
故有⎩⎨⎧ 2－m ≤－12＋m >10或⎩⎨⎧
2－m <－12＋m ≥10，
解得m ≥8.
所以实数m 的范围为{m |m ≥8}．
21．解：依题意可设抛物线方程为：ax y =2
（a 可正可负），与直线y=2x+1截得的弦为AB ；
则可设A （x 1,y 1）、B （x 2,y 2）联立⎩⎨⎧+==1
22x y ax y 得01)4(42=+-+x a x
即4421a x x --=+ 4
1
21=x x
15]1)4
4[(5]4))[(1(2
212212=---=-++=a x x x x k AB
得：a=12或-4（6分）
所以抛物线方程为x y 122
=或x y 42
-= 22． (1)解：设点A 的坐标为(x 1，b )
B 为(x 2，b )，由x 2
4
＋b 2＝1，解得x 1,2＝±2
1－b 2，
所以S ＝1
2b ·|x 1－x 2|＝2b ·1－b 2≤b 2＋1－b 2＝1
当且仅当b ＝
2
2
时，S 取到最大值1. (2)解：由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋b x 24
＋y 2＝1得(k 2＋1
4)x 2＋2kbx ＋b 2－1＝0
Δ＝4k 2－b 2＋1①
|AB |＝
1＋k 2|x 1－x 2|＝
1＋k 2·
4k 2－b 2＋1
14
＋k 2＝2②
设O 到AB 的距离为d ，则 d ＝2S
|AB |＝1
又因为d ＝|b |1＋k
2
，所以b 2＝k 2＋1，代入②式整理得k 4－k 2＋14＝0，解得k 2＝1
2，b 2＝
32
，
代入①式检验，Δ>0，故直线AB 的方程为y ＝22x ＋62，或y ＝22x －62，或y ＝－2
2
x ＋
62，或y ＝－22x －62
. 23．证明：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，∵
PD ABCD ⊥底面，
∴PD ⊥AC ，D PD BD =⋂∴AC ⊥平面PDB ，又⊂AC 平面AEC ∴平面AEC PDB ⊥平面.
（2）∵四边形ABCD 是正方形，OD OB =∴，在PB D 中，又B E PE =
OE ∴//PD ，又PAD PD PAD OE 平面，平面⊂⊄
OE ∴//平面PDA ，
（3）∵PD ABCD ⊥底面，DC PD DA PD ⊥⊥∴，，又
DC DA ⊥
所以，可以D 为坐标原点建立如图的空间直角坐标系D-xyz 。

设AB=1.则
D （0，0，0），A （1，0，0），C （0，1，0），B （1，1，0），P （0，0，2），），，（2
22121E
从而，），，（2
2
2121-AE =→
，），，（001CB =→，）
，，（21-0PC =→ 设平面PBC 的一个法向量为），，（z y x n =→。

由⎪⎩
⎪⎨⎧=•=•→
→→
→0 PC n 0CB n 得⎩⎨⎧=+-=020
z y x
令z=1，得）
，，（120n =→。

设AE 与平面PBC 所成的角θ，则 3
63
24
2
4141322
22AE
n AE
n sin =
=
++⨯
+=
•=
→
→
→
→
θ AE 与平面PBC 所成的角的正弦值为
3
6。