09-16大学生数学竞赛真题(非数学类)

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、填空题(每小题5分,共20分)

1.计算=--++⎰⎰y x y

x x y

y x D

d d 1)

1ln()(____________,其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.

2.设)(x f 是连续函数,且满足⎰

--

=20

22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.

3.曲面22

22

-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4.设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定,其中f 具有二阶导数,且1≠'f ,则

=2

2d d x y

________________.

二、(5分)求极限x

e

nx x x x n

e e e )(

lim 20+++→Λ,其中n 是给定的正整数.

三、(15分)设函数)(x f 连续,⎰

=10

d )()(t xt f x g ,

且A x

x f x =→)

(lim 0

,A 为常数,

求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.

四、(15分)已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界,试证:

(1)⎰⎰

-=---L

x y L

x y

x ye y xe x ye y xe

d d d d sin sin sin sin ;

(2)2sin sin 2

5

d d π⎰

≥--L

y y

x ye y xe .

五、(10分)已知x x e xe y 21+=,x

x e xe y -+=2,x

x x e e xe y --+=23是某二阶常系数

线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程.

六、(10分)设抛物线c bx ax y ln 22

++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为3

1

.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.

七、(15分)已知)(x u n 满足),2,1()()(1Λ=+='-n e x x u x u x n n n

, 且n

e

u n =)1(, 求函数项级数∑∞

=1

)(n n

x u

之和.

八、(10分)求-

→1x 时, 与∑∞

=0

2

n n x

等价的无穷大量.

2010年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、(25分,每小题5分)

(1)设2

2(1)(1)(1),n

n x a a a =+++L 其中||1,a <求lim .n n x →∞

(2)求2

1lim 1x x

x e

x -→∞

⎛⎫

+ ⎪⎝⎭

。 (3)设0s >,求0

(1,2,)sx n I e x dx n ∞

-=

=⎰

L 。

(4)设函数()f t 有二阶连续导数,1(,)r g x y f r ⎛⎫

== ⎪⎝⎭

,求2222g g x y ∂∂+∂∂。

(5)求直线10:0

x y l z -=⎧⎨=⎩与直线2213

:421x y z l ---==

--的距离。

二、(15分)设函数()f x 在(,)-∞+∞上具有二阶导数,并且

()0,lim ()0,lim ()0,x x f x f x f x αβ→+∞

→-∞

''''>=>=<且存在一点0x ,使得0()0f x <。

三、(15分)设函数()y f x =由参数方程2

2(1)()x t t t y t ψ⎧=+>-⎨

=⎩

所确定,其中()t ψ具有二阶导数,曲线()y t ψ=与2

2

1

3

2t u y e du e

-=+

在1t =出相切,求函数()t ψ。

四、(15分)设1

0,,n

n n k k a S a =>=

∑证明:

(1)当1α>时,级数

1n n n

a S α+∞

=∑收敛; (2)当1α≤且()n s n →∞→∞时,级数1n n n

a S α+∞

=∑发散。

五、(15分)设l 是过原点、方向为(,,)αβγ,(其中222

1)αβγ++=的直线,均匀椭球

222

222

1x y z a b c ++≤,其中(0,c b a <<<密度为1)绕l 旋转。 (1)求其转动惯量;

(2)求其转动惯量关于方向(,,)αβγ的最大值和最小值。

六、(15分)设函数()x ϕ具有连续的导数,在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C 上,曲线

积分

422()c

xydx x dy

x y ϕ++⎰Ñ的值为常数。 (1)设L 为正向闭曲线2

2

(2)1,x y -+=证明

422()0;c

xydx x dy

x y ϕ+=+⎰Ñ (2)求函数()x ϕ;

(3)设C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线,求422()c

xydx x dy

x y ϕ++⎰Ñ。

2011年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一. 计算下列各题(本题共3小题,每小题各5分,共15分)

(1).求11cos 0

sin lim x

x x x -→⎛⎫

⎪⎝⎭

(2).求1

11lim ...12n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝

⎭;

(3)已知()2ln 1arctan t

t x e y t e ⎧=+⎪

⎨=-⎪⎩

,求22d y dx 。

相关文档
最新文档