09-16大学生数学竞赛真题(非数学类)
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2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、填空题(每小题5分,共20分)
1.计算=--++⎰⎰y x y
x x y
y x D
d d 1)
1ln()(____________,其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.
2.设)(x f 是连续函数,且满足⎰
--
=20
22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.
3.曲面22
22
-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4.设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定,其中f 具有二阶导数,且1≠'f ,则
=2
2d d x y
________________.
二、(5分)求极限x
e
nx x x x n
e e e )(
lim 20+++→Λ,其中n 是给定的正整数.
三、(15分)设函数)(x f 连续,⎰
=10
d )()(t xt f x g ,
且A x
x f x =→)
(lim 0
,A 为常数,
求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.
四、(15分)已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界,试证:
(1)⎰⎰
-=---L
x y L
x y
x ye y xe x ye y xe
d d d d sin sin sin sin ;
(2)2sin sin 2
5
d d π⎰
≥--L
y y
x ye y xe .
五、(10分)已知x x e xe y 21+=,x
x e xe y -+=2,x
x x e e xe y --+=23是某二阶常系数
线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程.
六、(10分)设抛物线c bx ax y ln 22
++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为3
1
.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.
七、(15分)已知)(x u n 满足),2,1()()(1Λ=+='-n e x x u x u x n n n
, 且n
e
u n =)1(, 求函数项级数∑∞
=1
)(n n
x u
之和.
八、(10分)求-
→1x 时, 与∑∞
=0
2
n n x
等价的无穷大量.
2010年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、(25分,每小题5分)
(1)设2
2(1)(1)(1),n
n x a a a =+++L 其中||1,a <求lim .n n x →∞
(2)求2
1lim 1x x
x e
x -→∞
⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
。 (3)设0s >,求0
(1,2,)sx n I e x dx n ∞
-=
=⎰
L 。
(4)设函数()f t 有二阶连续导数,1(,)r g x y f r ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
,求2222g g x y ∂∂+∂∂。
(5)求直线10:0
x y l z -=⎧⎨=⎩与直线2213
:421x y z l ---==
--的距离。
二、(15分)设函数()f x 在(,)-∞+∞上具有二阶导数,并且
()0,lim ()0,lim ()0,x x f x f x f x αβ→+∞
→-∞
''''>=>=<且存在一点0x ,使得0()0f x <。
三、(15分)设函数()y f x =由参数方程2
2(1)()x t t t y t ψ⎧=+>-⎨
=⎩
所确定,其中()t ψ具有二阶导数,曲线()y t ψ=与2
2
1
3
2t u y e du e
-=+
⎰
在1t =出相切,求函数()t ψ。
四、(15分)设1
0,,n
n n k k a S a =>=
∑证明:
(1)当1α>时,级数
1n n n
a S α+∞
=∑收敛; (2)当1α≤且()n s n →∞→∞时,级数1n n n
a S α+∞
=∑发散。
五、(15分)设l 是过原点、方向为(,,)αβγ,(其中222
1)αβγ++=的直线,均匀椭球
222
222
1x y z a b c ++≤,其中(0,c b a <<<密度为1)绕l 旋转。 (1)求其转动惯量;
(2)求其转动惯量关于方向(,,)αβγ的最大值和最小值。
六、(15分)设函数()x ϕ具有连续的导数,在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C 上,曲线
积分
422()c
xydx x dy
x y ϕ++⎰Ñ的值为常数。 (1)设L 为正向闭曲线2
2
(2)1,x y -+=证明
422()0;c
xydx x dy
x y ϕ+=+⎰Ñ (2)求函数()x ϕ;
(3)设C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线,求422()c
xydx x dy
x y ϕ++⎰Ñ。
2011年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一. 计算下列各题(本题共3小题,每小题各5分,共15分)
(1).求11cos 0
sin lim x
x x x -→⎛⎫
⎪⎝⎭
;
(2).求1
11lim ...12n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝
⎭;
(3)已知()2ln 1arctan t
t x e y t e ⎧=+⎪
⎨=-⎪⎩
,求22d y dx 。