线性代数考试练习题带答案(6)
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线性代数考试练习题带答案
说明：本卷中，A -1
表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，（βα,）表示向量α与β的内积，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式.
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
1.设行列式33
32
31
2322
21131211a a a a a a a a a =4，则行列式33
3231232221
13
1211
333222a a a a a a a a a =（ ） A.12 B.24 C.36
D.48
2.设矩阵A ，B ，C ，X 为同阶方阵，且A ，B 可逆，AXB =C ，则矩阵X =（ ） A.A -1
CB -1
B.CA -1B -1
C.B -1A -1C
D.CB -1A -1
3.已知A 2
+A -E =0，则矩阵A -1
=（ ） A.A -E B.-A -E C.A +E
D.-A +E
4.设54321,,,,ααααα是四维向量，则（ ）
A.54321,,,,ααααα一定线性无关
B.54321,,,,ααααα一定线性相关
C.5α一定可以由4321,,,αααα线性表示
D.1α一定可以由5432,,,αααα线性表出 5.设A 是n 阶方阵，若对任意的n 维向量x 均满足Ax =0,则（ ） A.A =0 B.A =E C.r (A )=n
D.0 6.设A 为n 阶方阵，r (A ) B.Ax =0的基础解系含r (A )个解向量 C.Ax =0的基础解系含n -r (A )个解向量 D.Ax =0没有解 7.设21,ηη是非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同的解，则（ ） A.21ηη+是Ax =b 的解 B.21ηη-是Ax =b 的解 C.2123ηη-是Ax =b 的解 D.2132ηη-是Ax =b 的解 8.设1λ，2λ，3λ为矩阵A =⎥⎥ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡200540093的三个特征值，则321λλλ=（ ） A.20 B.24 C.28 D.30 9.设P 为正交矩阵，向量βα,的内积为（βα,）=2，则（βαP P ,）=（ ） A.21 B.1 C.2 3 D.2 10.二次型f (x 1,x 2,x 3)=323121232221 222x x x x x x x x x +++++的秩为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.行列式 1 2 21---k k =0，则k =_________________________. 12.设A =⎥⎦ ⎤⎢ ⎣⎡1101，k 为正整数，则A k =_________________________. 13.设2阶可逆矩阵A 的逆矩阵A -1 =⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡4321，则矩阵A =_________________________. 14.设向量α=（6，-2，0，4），β=（-3，1，5，7），向量γ满足βγα32=+，则 γ=_________________________. 15.设A 是m ×n 矩阵，A x =0,只有零解，则r (A )=_________________________. 16.设21,αα是齐次线性方程组A x =0的两个解，则A （3217αα+）=________. 17.实数向量空间V ={（x 1,x 2,x 3）|x 1-x 2+x 3=0}的维数是______________________. 18.设方阵A 有一个特征值为0，则|A 3 |=________________________. 19.设向量=1α（-1，1，-3），=2α（2，-1，λ）正交，则λ=__________________. 20.设f (x 1,x 2,x 3)=31212 32221 2224x x x tx x x x ++++是正定二次型，则t 满足_________. 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分） 21.计算行列式b a c c c b c a b b a a c b a ------222222 22.设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡---16101512211λλ，对参数λ讨论矩阵A 的秩. 23.求解矩阵方程⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100152131X =⎥⎥ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡--315241 24.求向量组：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=21211α，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=56522α，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=11133α，⎥⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=37214α的一个极大线性无关组，并将其余向量通过该极大线性无关组表示出来. 25.求齐次线性方程组⎪⎩⎪ ⎨⎧=++--=-++-=++-0 3204230532432143214321x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系及其通解. 26.求矩阵⎥⎥ ⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎣⎡---3142281232 的特征值和特征向量. 四、证明题（本大题共1小题，6分） 27.设向量1α，2α，….,k α线性无关，1 试题参考答案