第八章 极小值原理
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x t f x t，， u t t
(8-7)
x t0 x0，为简单起见，假设终端时刻 t f 及终端 边界条件为： 状态 x t f 均为自由。控制变量 u t 受有界闭集约束，即
u t U
(8-8)
* 求最优控制 u t 使性能指标
(8-25)
这里，被积函数为哈密尔顿函数对于控制变分引起的增量的线 性主部。当 u 足够小时，可用它来一次近似代替实际增量，即
* * Hx ( *,u ,,t) * * * * H u ， u u H x ， u u ，， λ t u * * * H x ，，， u λ t
显然，这与 J a 0 矛盾。同时，小区间t1，t 2 可能出现在 t ， t 区间的任何位置，因此要求整个区间 t ， t 内均满足以下条 件
0 0 f
f
* * * * * H x ， u ， λ ， t H x ， u ， λ ， t
t
(8-14)
定义哈密尔顿函数
T H x ， u ， ， t F x ， u ， t f x ， u ， t (8-15)
则得
J x t t H x ， u ， ， t x d t a f， f
容许控制集合是一个m维有界闭集，这时，控制变分 δ u
在容许集合边界上就不能任意选取，最段控制的必要条件 变不存在了。若最优控制解（如时间最小问题）落在控制 集的边界上，一般便不满足 H / u 0 ，就不能再用古典 变分法来求解最优控制问题了。
本章介绍的极小值原理是控制变量 u t 受限制的情况下求解最
t f t 0
(8-3)
* * 则使性能指标 J 达到极小的最优控制 u t 及最优状态轨线 x t 必须满足以下条件：
⑴ 正则方程
x* t H
H
(8-4)
a
* t
ห้องสมุดไป่ตู้
(8-5)
a
H 为哈密尔顿函数， 为协态变量，其定义与在变分法中 这里， 相同。
* J u ， u 0
(8-13)
这说明对 u * t 的任何容许偏离都会引起泛函 J u * 比其足够小 u 要小，故有可能为极小。 的邻区内的值J u*， 下面，根据以上结论来求泛函极小的具体条件。首先，用拉格 朗日乘子法建立增广泛函
f T J x t ， t F x ， u ， t f x ， u ， t x d t a f f t 0
T
(8-26)
* H ， u u
代入式(8-24)，得：
J u ， u xu ， u ， λ ， t － H xu ， ， λ ， t d t (8-27) H
* t f * * * T * * * a t 0
0
Ju Ju J 0 *
设 u * t 偏离 u t 足够小
* u t ut u t
(8-10)
则由此引起的的增量可以由下式表示
* * * J u ， u J u ， u u ， u
ut u t u 均处在容许集内，这种情况下，泛函达极小值 取， 的必要条件为：
*
* J u ， u 0
(8-12)
图8-1 u t 的容许域
u * t 处在容许集的边界上， u 不能任取，它 ⑵ 在 t1，t 2 区间内， 只能取负值，这时泛函为极小值的必要条件应为：
T
x t f ， t f H x t ， u t ， t ， t f f f f t f t f
tf t0 T T H x， u ， λ ， t H x， u ， λ ， t x u x u
(8-30)
到此，极小值原理得证。 极小值原理同时还给出以下条件，即：如果哈密尔顿函数不 显含变量 t ，则哈密尔顿函数 H 沿最优轨线保持为常数，即
* * * H xu t ， t ， λ t ， t c t t ， t (8-31) 0 f
*
设有控制变量 u t ，在时间区间 t ， t 内只能在容许范围内变化， * u t 8-1）， 如图8-1所示。设对应取极小时之最优控制为 （见图 它由三个区间组成：
0 f
* u t ， t t ， t ⑴ 在 0 1 及 0 f 区间内， t 处在容许集内，由于 u 可以任
(8-17)
T H x， u ， λ ， t x λ dt λ
根据泛函存在极值的必要条件的结论可知，当 u t 不受限制时， 应满足 (8-18) Ja 0
由于各个变量的变分是独立的，因此，必须同时满足
* * * H x ，，， u λ t * λ 0 x
(8-11)
* * Ju ， u 这里， u ， u 表示二阶及二阶以上的高阶项， 是 J 的 * ， u 0 u 线性主部，它与 u 成线性关系。当 u 0 时 这时 * u ， u 来近似代替泛函的实际增量 Ju， 可以由泛函变分 Ju
f J x t ， t F x t ， u t ， t d t f f t 0
t
(8-9)
为极小。 设对应于最优情况的性能指标为 J u * ，仅考虑由于 u * t 偏离 u t 时的性能指标为 J u ，则按最优的定义，下式必然成立
* * * * * * Ja u ， u H x ， u ， λ ， t H x ， u ， λ ， t dt * t0 * * * * * * H x ， u ， λ ， t H x ， u ， λ ， t dt t2 t1 t1
以上条件应对 t t0，t f 出现的容许 u 都满足，由此可得以下 结论：使指标泛函达极小的最优控制的必要条件是：
* * * * * (8-28) H x t ， u t ， λ t ， t H x t ， u t ， λ t ， t
优控制问题的有力工具。它是由苏联学者庞特里亚金于1956 年提出的。极小值原理从变分法引伸而来，它的结论与古典变 分法的结论极为相似，但由于它能应用于控制变量 u t 受边界 限制的情况，并不要求哈密尔顿函数H对u连续可微，因此其
适用范围扩大了。
L.S.Pontryagin
第一节 连续系统的极小值原理
设连续系统动态方程为：
x t fx t，， u t t
(8-1)
边界条件可以固定、自由或受轨线约束，控制变量 u t 属于m维 有界闭集U，即
m ut U R
(8-2)
性能指标为：
J x t t F x t ， u t ， t d t f， f
* x t t f， f * * * H x t ，，， u t λ t t 0 f f f f t f
这里，式(8-19)、式(8-20)为正则方程，式(8-21)为控制方程， 式(8-22)，式(8-23)为横截条件，这与第六章变分法中所得结论 完全相同。
当不受边界限制时，则上式与等效。
⑶ 根据不同的边界情况，x * t 及 * t 满足相应的边界条件及 横截条件，它们与变分法中所应满足的边界条件及横截条 件完全相同。
比较上述极小值原理与变分法所得的结果，可以发现两者的差 别仅在⑵。 极小值原理的严格证明很复杂，下面的证明将重于物理概念的 阐述，尽量避免烦琐的数学推导。 设系统动态方程为：
⑵ 哈密尔顿函数对应最优控制时为极小值，即：
* m i n H x * t ， ut ， ， t t uU
H x * ， ut ， t ， t t
*
(8-5)
或
* * H x * t ， u t ， t ， t H x * t ， u t ， t ， t (8-6) u U
t f t 0
(8-16)
下面求泛函 J a 的变分。这里，假设终端时刻 t f 及终端状态 x t f 均自由。经过同变分法中的类似推导，最后得
x t f ， t f t Ja f x t f
x t f
我们对式(8-27)作一些简单解释，假定控制变分 u 出现在 t 0， t f * 区间的某一小区 t1，t 2 内，而在其它区间内部为最优控制 u t * * * * * x ， u ， λ ， t H x ， u ， λ ， t 则如果式(8-27)不满足，即存在 H ， 指标泛函变分式可表示成：
* * * H x ，，， u λ t * x 0 λ
(8-19) (8-20) (8-21) (8-22) (8-23)
* * * H x ， u ，， λ t
u
0
* x ， tf tf * tf 0 x t f
当u t 受边界限制时，泛函极小的必要条件是：
Ja 0
(8-24)
为了寻找 u 与 J a 的关系，在式(8-16)中可令除含有 u 项以 外的各项均为零，则泛函极小必要条件式(8-23)变成
* * * H x ， u ， λ ， t t f * J u ， u u d t 0 a t 0 u T
第八章 极小值原理
在用古典变分法求解最优控制问题时，假定控制变量 u t 不受任 何限制，即容许控制集合可以看成整个m维控制空间开集，这 时控制变分 δ u 可以任取。同时还严格要求哈密尔顿函数H对u连
续可微。在这种情况下，应用变分法求解最优控制问题是行之
有效的。
但是，实际工程问题中，控制变量往往是受到一定限制，
H u， λ， t u， λ， t x ， H x ， dt t1
* * * * * * * * * * dt H x ， u ， λ ， t H x ， u ， λ ， t t1 t2
t2
(8-29)
0
(8-7)
x t0 x0，为简单起见，假设终端时刻 t f 及终端 边界条件为： 状态 x t f 均为自由。控制变量 u t 受有界闭集约束，即
u t U
(8-8)
* 求最优控制 u t 使性能指标
(8-25)
这里，被积函数为哈密尔顿函数对于控制变分引起的增量的线 性主部。当 u 足够小时，可用它来一次近似代替实际增量，即
* * Hx ( *,u ,,t) * * * * H u ， u u H x ， u u ，， λ t u * * * H x ，，， u λ t
显然，这与 J a 0 矛盾。同时，小区间t1，t 2 可能出现在 t ， t 区间的任何位置，因此要求整个区间 t ， t 内均满足以下条 件
0 0 f
f
* * * * * H x ， u ， λ ， t H x ， u ， λ ， t
t
(8-14)
定义哈密尔顿函数
T H x ， u ， ， t F x ， u ， t f x ， u ， t (8-15)
则得
J x t t H x ， u ， ， t x d t a f， f
容许控制集合是一个m维有界闭集，这时，控制变分 δ u
在容许集合边界上就不能任意选取，最段控制的必要条件 变不存在了。若最优控制解（如时间最小问题）落在控制 集的边界上，一般便不满足 H / u 0 ，就不能再用古典 变分法来求解最优控制问题了。
本章介绍的极小值原理是控制变量 u t 受限制的情况下求解最
t f t 0
(8-3)
* * 则使性能指标 J 达到极小的最优控制 u t 及最优状态轨线 x t 必须满足以下条件：
⑴ 正则方程
x* t H
H
(8-4)
a
* t
ห้องสมุดไป่ตู้
(8-5)
a
H 为哈密尔顿函数， 为协态变量，其定义与在变分法中 这里， 相同。
* J u ， u 0
(8-13)
这说明对 u * t 的任何容许偏离都会引起泛函 J u * 比其足够小 u 要小，故有可能为极小。 的邻区内的值J u*， 下面，根据以上结论来求泛函极小的具体条件。首先，用拉格 朗日乘子法建立增广泛函
f T J x t ， t F x ， u ， t f x ， u ， t x d t a f f t 0
T
(8-26)
* H ， u u
代入式(8-24)，得：
J u ， u xu ， u ， λ ， t － H xu ， ， λ ， t d t (8-27) H
* t f * * * T * * * a t 0
0
Ju Ju J 0 *
设 u * t 偏离 u t 足够小
* u t ut u t
(8-10)
则由此引起的的增量可以由下式表示
* * * J u ， u J u ， u u ， u
ut u t u 均处在容许集内，这种情况下，泛函达极小值 取， 的必要条件为：
*
* J u ， u 0
(8-12)
图8-1 u t 的容许域
u * t 处在容许集的边界上， u 不能任取，它 ⑵ 在 t1，t 2 区间内， 只能取负值，这时泛函为极小值的必要条件应为：
T
x t f ， t f H x t ， u t ， t ， t f f f f t f t f
tf t0 T T H x， u ， λ ， t H x， u ， λ ， t x u x u
(8-30)
到此，极小值原理得证。 极小值原理同时还给出以下条件，即：如果哈密尔顿函数不 显含变量 t ，则哈密尔顿函数 H 沿最优轨线保持为常数，即
* * * H xu t ， t ， λ t ， t c t t ， t (8-31) 0 f
*
设有控制变量 u t ，在时间区间 t ， t 内只能在容许范围内变化， * u t 8-1）， 如图8-1所示。设对应取极小时之最优控制为 （见图 它由三个区间组成：
0 f
* u t ， t t ， t ⑴ 在 0 1 及 0 f 区间内， t 处在容许集内，由于 u 可以任
(8-17)
T H x， u ， λ ， t x λ dt λ
根据泛函存在极值的必要条件的结论可知，当 u t 不受限制时， 应满足 (8-18) Ja 0
由于各个变量的变分是独立的，因此，必须同时满足
* * * H x ，，， u λ t * λ 0 x
(8-11)
* * Ju ， u 这里， u ， u 表示二阶及二阶以上的高阶项， 是 J 的 * ， u 0 u 线性主部，它与 u 成线性关系。当 u 0 时 这时 * u ， u 来近似代替泛函的实际增量 Ju， 可以由泛函变分 Ju
f J x t ， t F x t ， u t ， t d t f f t 0
t
(8-9)
为极小。 设对应于最优情况的性能指标为 J u * ，仅考虑由于 u * t 偏离 u t 时的性能指标为 J u ，则按最优的定义，下式必然成立
* * * * * * Ja u ， u H x ， u ， λ ， t H x ， u ， λ ， t dt * t0 * * * * * * H x ， u ， λ ， t H x ， u ， λ ， t dt t2 t1 t1
以上条件应对 t t0，t f 出现的容许 u 都满足，由此可得以下 结论：使指标泛函达极小的最优控制的必要条件是：
* * * * * (8-28) H x t ， u t ， λ t ， t H x t ， u t ， λ t ， t
优控制问题的有力工具。它是由苏联学者庞特里亚金于1956 年提出的。极小值原理从变分法引伸而来，它的结论与古典变 分法的结论极为相似，但由于它能应用于控制变量 u t 受边界 限制的情况，并不要求哈密尔顿函数H对u连续可微，因此其
适用范围扩大了。
L.S.Pontryagin
第一节 连续系统的极小值原理
设连续系统动态方程为：
x t fx t，， u t t
(8-1)
边界条件可以固定、自由或受轨线约束，控制变量 u t 属于m维 有界闭集U，即
m ut U R
(8-2)
性能指标为：
J x t t F x t ， u t ， t d t f， f
* x t t f， f * * * H x t ，，， u t λ t t 0 f f f f t f
这里，式(8-19)、式(8-20)为正则方程，式(8-21)为控制方程， 式(8-22)，式(8-23)为横截条件，这与第六章变分法中所得结论 完全相同。
当不受边界限制时，则上式与等效。
⑶ 根据不同的边界情况，x * t 及 * t 满足相应的边界条件及 横截条件，它们与变分法中所应满足的边界条件及横截条 件完全相同。
比较上述极小值原理与变分法所得的结果，可以发现两者的差 别仅在⑵。 极小值原理的严格证明很复杂，下面的证明将重于物理概念的 阐述，尽量避免烦琐的数学推导。 设系统动态方程为：
⑵ 哈密尔顿函数对应最优控制时为极小值，即：
* m i n H x * t ， ut ， ， t t uU
H x * ， ut ， t ， t t
*
(8-5)
或
* * H x * t ， u t ， t ， t H x * t ， u t ， t ， t (8-6) u U
t f t 0
(8-16)
下面求泛函 J a 的变分。这里，假设终端时刻 t f 及终端状态 x t f 均自由。经过同变分法中的类似推导，最后得
x t f ， t f t Ja f x t f
x t f
我们对式(8-27)作一些简单解释，假定控制变分 u 出现在 t 0， t f * 区间的某一小区 t1，t 2 内，而在其它区间内部为最优控制 u t * * * * * x ， u ， λ ， t H x ， u ， λ ， t 则如果式(8-27)不满足，即存在 H ， 指标泛函变分式可表示成：
* * * H x ，，， u λ t * x 0 λ
(8-19) (8-20) (8-21) (8-22) (8-23)
* * * H x ， u ，， λ t
u
0
* x ， tf tf * tf 0 x t f
当u t 受边界限制时，泛函极小的必要条件是：
Ja 0
(8-24)
为了寻找 u 与 J a 的关系，在式(8-16)中可令除含有 u 项以 外的各项均为零，则泛函极小必要条件式(8-23)变成
* * * H x ， u ， λ ， t t f * J u ， u u d t 0 a t 0 u T
第八章 极小值原理
在用古典变分法求解最优控制问题时，假定控制变量 u t 不受任 何限制，即容许控制集合可以看成整个m维控制空间开集，这 时控制变分 δ u 可以任取。同时还严格要求哈密尔顿函数H对u连
续可微。在这种情况下，应用变分法求解最优控制问题是行之
有效的。
但是，实际工程问题中，控制变量往往是受到一定限制，
H u， λ， t u， λ， t x ， H x ， dt t1
* * * * * * * * * * dt H x ， u ， λ ， t H x ， u ， λ ， t t1 t2
t2
(8-29)
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