第4节 基本不等式
第六章 第四节基本不等式≤ (a,b∈R+ )课件 理课件
考点四 利用基本不等式证明其他不等式
≥9. 【例4】 若x>0，y>0，x＋y＝1，求证：1＋1x·1＋1y
思路点拨：本题要求根据条件求最值，x＋y为常数， xy可有最大值，如何合理利用条件x＋y＝1是解答本题的关 键，可在要求的式子上乘以(x＋y)，也可通过三角换元转化 为三角问题.
之和为
f(x)
＝
20C(x)
＋
C1(x)
＝
20×
40 3x＋5
＋
6x
＝
800 3x＋5
＋
6x(0≤x≤10)．
(2)由(1)知 f(x)＝38x0＋05＋6x(0≤x≤10)， ∴f(x)＝38x0＋05＋2(3x＋5)－10≥
2 38x0＋05·23x＋5－10＝80－10＝70， 当且仅当38x0＋05＝2(3x＋5)时，等号成立， 即(3x＋5)2＝400,3x＋5＝±20， ∴x＝5 或 x＝－235(舍去)时，上式中的等号成立， 即 f(x)min＝70(万元)， 所以当隔热层修建 5 cm 厚时，总费用达到最小， 最小值为 70 万元．
＝b时取等号)．
2
2
2(当且仅当a
三、均值不等式(基本不等式)
两个正数的均值不等式：若 a，b∈R＋，则a＋2 b
≥ ab(当且仅当 a＝b 时取等号)．
变式： ab≤a＋2 b2(a，b∈R＋)．
三个正数的均值不等式：a＋3b＋c≥3 abc(属知识
拓展)．
n
个
正
数
的
均
值
不
等
式
：
a1＋a2＋…＋an n
≥n a1a2…an(属知识拓展)．
四、最值定理
第6章---第4节
自 主 落 实 · 固 基 础
第四节 基本不等式
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
课 时 知 能 训 练
菜
单
新课标 ·数学（文）(广东专用)
自 主 落 实 · 固 基 础
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
课 时 知 能 训 练
【答案】
D
课 时 知 能 训 练
菜
单
新课标 ·数学（文）(广东专用)
自 主 落 实 · 固 基 础
2．(2011· 陕西高考)设 0＜a＜b，则下列不等式中正确的是( a＋b A．a＜b＜ ab＜ 2 a＋b C．a＜ ab＜b＜ 2 a＋b B．a＜ ab＜ ＜b 2 a＋b D. ab＜a＜ ＜b 2
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菜
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新课标 ·数学（文）(广东专用)
若将本例条件改为“a>0，b>0，c>0，且 a＋b＋c＝1”，
典 例 探 究 · 提 知 能
x＋5x＋2 (1)本例(1)改为“若 x＞－1， 试求函数 y＝ 的值域” x＋1 3 4 (2)本例(2)中的条件改为 x＞0， y＞0， ＋ ＝1， 且 试求 x＋y 的最小值． x y x＋5x＋2 x＋12＋5x＋1＋4 【解】 （1）函数 y＝ ＝ x＋1 x＋1 4 ＝(x＋1)＋ ＋5， x＋1 ∵x>－1，∴x＋1>0， 4 4 ∴x＋1＋ ≥2 x＋1· ＝4， x＋1 x＋1 4 当且仅当 x＋1＝ ，即 x＝1 时取“＝”， x＋1 4 ∴y＝(x＋1)＋ ＋5≥9， x＋1 x＋5x＋2 ∴函数 y＝ 的最小值为 9. x＋1
第四节 基本不等式： ab≤a+b2(a,b∈R+)
第四节 基本不等式： ab ≤a ＋b 2(a ，b ∈R ＋)基础回顾Ｋ一、算术平均数与几何平均数的概念若a>0，b>0，则a ，b 的算术平均数是a ＋b2，几何平均数是ab.二、常用的重要不等式和基本不等式1．若a ∈R ，则a 2≥0，||a ≥0(当且仅当a ＝0时，取等号)． 2．若a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab(当且仅当a ＝b 时取等号)． 3．若a ，b ∈R ＋，则a ＋b ≥2ab(当且仅当a ＝b 时取等号)． 4．若a ，b ∈R ＋，则a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(当且仅当a ＝b 时取等号)．三、均值不等式(基本不等式)两个正数的均值不等式：若a ，b ∈R ＋，则a ＋b2≥ab(当且仅当a ＝b 时取等号)．变式： ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R ＋)． 四、最值定理设x>0，y>0，由x ＋y ≥2xy ，有：(1)若积xy ＝P(定值)，则和x ＋y 最小值为2P ；(2)若和x ＋y ＝S(定值)，则积xy 最大值为⎝ ⎛⎭⎪⎫S 22.即积定和最小，和定积最大．运用最值定理求最值应满足的三个条件：“一正、二定、三相等”． 五、比较法的两种形式 一是作差，二是作商．基础自测1．若x ＋2y ＝4，则2x ＋4y 的最小值是(B ) A ．4 B ．8 C ．22 D ．42解析：因为2x ＋4y ≥22x ·22y ＝22x ＋2y ＝224＝8，当且仅当2x＝22y ，即x ＝2y ＝2时取等号，所以2x ＋4y 的最小值为8.2．下列结论中正确的是(B )A ．当x ＞0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2B ．当x ＞0时，x ＋1x ≥2C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2D ．当0＜x ≤2时，x －1x无最大值3．若直线2ax －by ＋2＝0(a>0，b>0)始终平分圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的周长，则1a ＋1b的最小值是4．4．当x>2时，不等式x ＋1x －2≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是(－∞，4]．解析：因为x＋1x－2≥a恒成立，所以a必须小于或等于x＋1x－2的最小值．因为x>2，所以x－2>0.所以x＋1x－2＝(x－2)＋1x－2＋2≥4，当且仅当x－2＝1x－2，即x＝3时等号成立．所以a≤4.高考方向1.以命题真假判断为载体，考查基本不等式成立的条件以及等号成立的条件，有时与不等式的性质结合在一起考查，一般以选择题的形式出现，难度不大.2.考查利用基本不等式求函数或代数式的最值，有时与不等式的恒成立问题相结合，多以选择题、填空题的形式出现，难度中等及以下.3.考查利用基本不等式解决实际应用中的最值问题，各种题型均有可能出现，难度中等.品味高考1．(2013·山东卷)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为(B ) A ．0 B ．1 C.94D ．3解析：由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2(*)则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx －3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1≤1.故选B.2．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品(B )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件解析：记平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为f(x)，则f(x)＝800＋x8×x ×1x ＝800x ＋x8≥2800x ×x 8＝20，当且仅当800x ＝x8(x ＞0)，即x ＝80时，取最小值．故选B.高考测验1．已知向量a ＝(x ，2)，b ＝(1，y)，其中x ＞0，y ＞0.若a·b ＝4，则1x ＋2y的最小值为(C )A.32 B ．2 C.94D ．2 2 解析：∵a·b ＝4，∴x ＋2y ＝4，x ＞0，y ＞0，∴1x ＋2y ＝14(x ＋2y)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2y x ＋2x y ≥14⎝⎛⎭⎪⎫5＋22y x ·2x y ＝94. 当且仅当⎩⎨⎧x ＋2y ＝4，2y x ＝2x y，即x ＝y ＝43时，等号成立．2．已知x ＞0，y ＞0，且1x ＋9y＝1，则2x ＋3y 的最小值为29＋66．解析：由题意可得，2x ＋3y ＝(2x ＋3y)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝3y x ＋18x y ＋29≥23y x ·18xy＋29＝29＋66， 当且仅当3y x ＝18x y ，结合1x ＋9y ＝1，解得x ＝2＋362，y ＝6＋9时取等号，故2x ＋3y 的最小值为29＋6 6.课时作业1．已知a>0，b>0，“a ＋b ＝2” 是“ab ≤1”的 (A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：由基本不等式可知，a ＋b ＝2⇒ab ≤1，但ab ≤1不能推出a ＋b ＝2.故选A.2．(2013·常州质检)已知f(x)＝x ＋1x－2(x<0)，则f(x)有(C )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4 解析：因为x<0，所以－x>0，所以x ＋1x －2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋1－x －2≤－2（－x ）·1－x－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时，等号成立．3．(2013·长沙质检)若0<x<1，则当f(x)＝x(4－3x)取得最大值时，x 的值为(D )A.13B.12C.34D.23解析：因为0<x<1，所以f(x)＝x(4－3x)＝13·3x(4－3x)≤13×⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4－3x 22＝43，当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时等号成立，故选D.4．设a ，b ，c ，d ∈R ，若a ，1，b 成等比数列，且c ，1，d 成等差数列，则下列不等式恒成立的是(D )A ．a ＋b ≤2cdB ．a ＋b ≥2cdC ．|a ＋b|≤2cdD ．|a ＋b|≥2cd 解析：∵ab ＝1>0， ∴a ，b 同号．∴|a ＋b|＝|a|＋|b|≥2|a||b|＝2. 又c ＋d ＝2，∴(c ＋d)2＝4，即c 2＋d 2＋2cd ＝4.∴4－2cd ＝c 2＋d 2≥2cd ，得2cd ≤2， ∴|a ＋b|≥2cd.故选D.5．已知函数f(x)＝2x 满足f(m)·f(n)＝2，则mn 的最大值为(B ) A.12 B.14 C.16 D.18解析：由已知得2m ·2n ＝2m ＋n ＝2，所以m ＋n ＝1，于是mn ≤⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝14.故选B. 6．某工厂第一年年底的产量为p ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则有(C )A ．x ≥a ＋b 2B ．x ＝a ＋b2C ．x ≤a ＋b 2D ．x>a ＋b2解析：依题意得，该工厂第二年的产量为p(1＋a)，第三年的产量为p(1＋a)(1＋b)．又由于这两年的平均增长率为x ，则p(1＋x)2＝p(1＋a)·(1＋b)．于是(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)≤⎝⎛⎭⎪⎫1＋a ＋1＋b 22，所以1＋x ≤2＋a ＋b 2，即x ≤a ＋b2.故选C.7．已知x>0，y>0，2x ＋y ＝13，则1x ＋1y 的最小值是解析：1x ＋1y ＝6x ＋3y x ＋6x ＋3y y ＝9＋3y x ＋6xy ≥9＋218＝9＋6 2.8．若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞． 解析：∵x ＞0，∴x ＋1x≥2(当且仅当x ＝1时取等号)，∴x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12＋3＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. 9．已知a ＜b ∈R ，且ab ＝50，则|a ＋2b|的最小值为20． 解析：∵a ＜b ∈R ，且ab ＝50， ∴b ＝50a，∴|a ＋2b|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋100a ＝|a|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪100a ≥2|a|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪100a ＝20.当且仅当|a|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪100a 时取等号，故|a ＋2b|的最小值为20.10．已知a ＞b ＞0，且ab ＝1，求a 2＋b 2a －b 的最小值．解析：∵a ＝1，∴a 2＋b 2a －b ＝（a －b ）2＋2ab a －b ＝（a －b ）2＋2a －b ＝a －b ＋2a －b ， ∵a ＞b ＞0， ∴a －b ＞0，∴a 2＋b 2a －b ＝a －b ＋2a －b≥2（a －b ）·2a －b＝22，当且仅当⎩⎨⎧ab ＝1，a －b ＝2a －b ，即a ＝6＋22，b ＝6－22，取等号，∴当a ＝6＋22，b ＝6－22时，a 2＋b 2a －b 取得最小值2 2.11．围建一个面积为368 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口(如图所示)，已知旧墙的维修费用为180元/m ，新墙的造价为460元/m ，设利用的旧墙的长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．解析：(1)因为利用的旧墙的长度为x 米，则以被利用的那部分旧墙为一边的矩形的另一边长的为368xm ，于是y ＝180x ＋460(x －2)＋460×2×368x ＝640x ＋232×82×10x－920＝640x＋338 560x－920(x>0)．(2)∵x>0，∴640x＋338 560x≥2640x·338 560x＝29 440.∴y＝640x＋338 560x－920≥29 440－920＝28 520，当且仅当640x＝338 560x，即x＝23时等号成立．∴当x＝23 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是28 520元．。
2015届高考数学总复习第六章 第四节基本不等式≤ (a,b∈R+ )精讲课件 文
第四节 基本不等式： (a，b∈R＋)
利用基本不等式比较数(或式)的大小
【例1】 若a>b>1，P＝
ln ，试比较P，Q，R的大小．
，Q＝ (ln a ＋ln b)，R＝
自主解答： 解析：∵a>b>1，∴ln a>ln b>0，
点评：如果两个数(式)的关系符合基本不等式的结构形式，
则可以用基本不等式比较大小，如果两个数(式)的关系通过 变形可以变成基本不等式的结构形式，则可以用基本不等
和．
(1)求k的值及f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
解析：(1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗 费用为C(x)＝ 因此C(x)＝ ，再由C(0)＝8，得k＝40，
而建造费用为C1(x)＝6x.
最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为 f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20× (2)由(1)知f(x)＝ ＋6x(0≤x≤10)， －10＝80－10＝70，
C．9
B．3
D．不存在
(2)(2012· 佛山一中期中)下列结论正确的是(
A．当x＞0且x≠1时，lg x＋ B．当x＞0时， C．当x≥2时，x＋ ≥2 的最小值为2 无最大值 ≥2
)
D．当0＜x≤2时，x－
思路点拨：对于(1)，根据等比数列所给的等式，找出m，n的
关系m＋n＝3，将所找的关系与
则t∈(0,1]，y＝t＋ 在(0,1]上为减函数， 故当t＝1时，y取最小值5，∴③错误．故选B. 答案：B
点评：利用基本不等式判断一个不等式的正误，主要看该
不等式是否满足基本不等式成立的条件．
变式探究
2017届高三数学一轮总复习(人教通用)课件：第6章 第四节 基本不等式
()
A．52
B．3
C．72
D．4
答案：B
第八页，编辑于星期六：一点 八分。
已知 x，y，z 是互不相等的正数，且 x＋y＋z＝1，求证： 1x－11y－11z－1>8.
证明
第九页，编辑于星期六：一点 八分。
第十一页，编辑于星期六：一点 八分。
设a，b均为正实数，求证：a12＋b12＋ab≥2 2.
第十七页，编辑于星期六：一点 八分。
[变式2] 母题的条件和结论互换即：已知a＞0，b＞0，1a＋1b ＝4，则a＋b的最小值为________．
解析：由1a＋1b＝4，得41a＋41b＝1. ∴a＋b＝41a＋41b(a＋b)＝12＋4ba＋4ab≥12＋2 当且仅当a＝b＝12时取等号． 答案：1
第二十三页，编辑于星期六：一点 八分。
[变式6] 若母题变为：已知各项为正数的等比数列{an}满足 a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an，使得 am·an＝2 2a1， 则m1 ＋n4的最小值为________．
解析
第二十四页，编辑于星期六：一点 八分。
首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排， 绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行 技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的 化工产品．已知该单位每月的处理量最少为 400 吨，最多为 600 吨，月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可 近似地表示为 y＝12x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳 得到可利用的化工产品价值为 100 元．
第四节
基本不等式
a>0，b>0 a＝b
第一页，编辑于星期六：一点 八分。
2ab 2
一轮复习课件 第6章 第4节 基本不等式
【典例剖析】
(1)若 a，b∈R，且 ab>0，则下列不等式中，恒成立
的是
A．a2＋b2>2ab
B．a＋b≥2 ab
C.1a＋1b>
2 ab
D.ba＋ab≥2
(2)已知 a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：1＋1a1＋1b≥9.
(2)解：方法一：因为 a＞0，b＞0，a＋b＝1， 所以1＋1a1＋1b＝1＋a＋a b1＋a＋b b ＝2＋ba2＋ab＝5＋2ba＋ab≥5＋4＝9. 当且仅当ba＝ab且 a＋b＝1， 即 a＝b＝12时等号成立．
方法二：1＋1a1＋1b＝1＋1a＋1b＋a1b ＝1＋a＋ abb＋a1b＝1＋a2b， 因为 a，b 为正数，a＋b＝1， 所以 ab≤a＋2 b2＝14， 于是a1b≥4，a2b≥8， 因此1＋1a1＋1b≥1＋8＝9， 当且仅当 a＝b 且 a＋b＝1，即 a＝b＝12时等号成立．
(1)第一列货车到达 B 市所需时间为40a0 h，由于两列货车的 间距不得小于2a02 km，所以第 17 列货车到达 B 市所需时间为 40a0＋16·a2a02＝40a0＋14600a≥8，当且仅当40a0＝14600a即 a＝100(km/h) 时成立，所以最快需要 8 h，故选 B.
答案：B
(3)解：显然 a≠4，当 a＞4 时，a－4＞0， ∴a－3 4＋a＝a－3 4＋(a－4)＋4≥2 a－3 4×a－4＋4 ＝2 3＋4， 当且仅当a－3 4＝a－4，即 a＝4＋ 3时，取等号； 当 a＜4 时，a－4＜0，
∴a－3 4＋a＝a－3 4＋(a－4)＋4＝－4－3 a＋4－a＋4 ≤－2 4－3 a×4－a＋4＝－2 3＋4， 当且仅当4－3 a＝(4－a)，即 a＝4－ 3时，取等号． ∴a－3 4＋a 的取值范围是(－∞，－2 3＋4]∪[2 3＋4，＋ ∞)．
第四节 基本不等式
又因为m>0，n>0，所以
m1 ＋n2
(m＋n)＝3＋
n m
＋
2m n
≥3＋2
2 2，
当且仅当n＝ 2m时，取等号．
mn ·2nm ＝3＋
(2)因为3a＋b＝2ab，所以
3 2b
＋
1 2a
(2)依题意得21a＋21b＋a＋8 b＝a2＋abb＋a＋8 b＝a＋2 b＋a＋8 b≥2
a＋2 b×a＋8 b＝4，
当且仅当a＋2 b＝a＋8 b，即a＋b＝4时取等号．因此，21a＋21b＋a＋8 b的最小值为4. [答案] (1)D (2)4
[方法技巧] 1．拼凑法求最值 拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和 为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实 质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键． 2．拼凑法求解最值应注意的问题 (1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调 整，做到等价变形； (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项时应注意检验利用基本不等式的条件．
(2)由(1)知y＝－m1＋6 1＋m＋1＋29(m≥0)． ∵当m≥0时，m1＋6 1＋(m＋1)≥2 m1＋6 1·m＋1＝8， 当且仅当m1＋6 1＝m＋1，即m＝3时取等号． ∴y≤－8＋29＝21， 即当m＝3时，y取得最大值21. ∴当该厂家2021年的促销费用投入3万元时，厂家获得的利润最大，为21万 元．
(m≥0)满足x＝3－
k m＋1
(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售
量只能是1万件．已知2021年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件
第六章 第四节 基本不等式ab≤(a+b)÷2
[基础诊断] 1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) a＋b (1)当 a≥0，b≥0 时， ≥ ab.( 2
2 2
) )
a＋b (2)两个不等式 a ＋b ≥2ab 与 ≥ ab成立的条件是相同的．( 2 1 (3)函数 y＝x＋ 的最小值是 2.( x ) ) )
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当且仅当 x＝60 时等号成立，从而 S≤676. 故当矩形温室的室内长为 60 m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最 大为 676 m2.
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规律方法 解实际应用题的三个注意点 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后， 只需利用基本不等式求得函数的最值． (3)在求函数的最值时， 一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围) 内求解．
1 1 (2)已知 x，y＞0 且 x＋4y＝1，则 ＋ 的最小值为( x y A．8 B．9 C．10 D．11
x (3)已知 x＞0，则 2 的最大值为________． x ＋4
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1 1 3x＋4－3x2 4 解析：(1)∵0＜x＜1，∴f(x)＝x(4－3x)＝ · 3x(4－3x)≤ × ＝3，当且 3 3 2
3 600 当且仅当 ＝4x，即 x＝30 时，y 取最小值． x
答案：30
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3
课时作业 分层演练
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跟踪训练 2(2017· 江苏高考)某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运 费为 6 万元/次，一年的总存储费用为 4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和 最小，则 x 的值是________．
2025年高考数学一轮复习第4节 基本不等式
2
考点聚焦突破
KAODIANJUJIAOTUPO
索引
考点一 利用基本不等式求最值
角度 1 配凑法
例 1 (1)已知 0＜x＜ 22，则 x
2 1－2x2的最大值为____4____.
解析 ∵0＜x＜ 22，∴1－2x2＞0，
x
1－2x2＝
2 2·
2x2
1－2x2≤
22·2x2＋21－2x2＝
索引
感悟提升
1.利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. 2.常数代换法，主要解决形如“已知 x＋y＝t(t 为常数)，求ax＋by的最值”的问题，
索引
角度 2 常数代换法 例 2 (1)(2023·邵阳联考)若 a>0，b>0，a＋b＝9，则3a6＋ba的最小值为____8____.
解析 由 a>0，b>0，a＋b＝9， 得3a6＋ab＝4（a＋ a b）＋ab＝4＋4ab＋ba≥4＋2
4ab·ab＝8(当且仅当4ab＝ba，即 a＝6，
b＝3 时等号成立)， 故3a6＋ab的最小值为 8.
用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.
索引
诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)不等式 ab≤a＋2 b2与a＋2 b≥ ab成立的条件是相同的.( × ) (2)函数 y＝x＋1x的最小值是 2.( × ) (3)函数 y＝sin x＋sin4 x，x∈0，π2的最小值是 4.( × ) (4)“x＞0 且 y＞0”是“xy＋xy≥2”的充要条件.( × )
索引
4. 若 把 总 长 为 20 m 的 篱 笆 围 成 一 个 矩 形 场 地 ， 则 矩 形 场 地 的 最 大 面 积 是 ___2_5____m2. 解析 设矩形的一边为x m，面积为y m2， 则另一边为12×(20－2x)＝(10－x)(m)，其中 0＜x＜10， 所以 y＝x(10－x)≤x＋（120－x）2＝25， 当且仅当x＝10－x，即x＝5时，等号成立， 所以ymax＝25，即矩形场地的最大面积是25 m2.
6、4第四节 基本不等式
【解析】 将已知条件进行转化，利用基本不等式求解． 11 3 ∵x>0，y>0，由 x＋3y＝5xy 得5y ＋x＝1.
1 3 1 ∴3x＋4y＝5(3x＋4y)y ＋x
12y 13x ＋4＋9＋ ＝5 y x 13 13x 12y ＝ 5 ＋5 y ＋ x 13 1 ≥ 5 ＋5×2 3x 12y y ·x ＝5(当且仅当 x＝2y 时取等号)，
解析：每台机器运转 x 年的年平均利润为x＝18－x＋ x ，而 x＞0，
y 故x≤18－2 25＝8，当且仅当 x＝5 时等号成立，此时年平均利润最大， 最大值为 8 万元．
答案：5 8
【易错警示】 忽视等号成立条件而致误 【典例】 (2012年高考浙江卷)若正数x，y满足x＋3y＝ 5xy，则3x＋4y的最小值是( )
∵a＞1，∴b＞0. ∵ab＝4a＋b－1， ∴(a＋1)(b＋2)＝ab＋2a＋b＋2 4a－1 ＝6a＋2b＋1＝6a＋ ·＋ ＋1＝6a＋8＋ ＋1 a－1 a－1 6 ＝6(a－1)＋ ＋15. a－1 ∵a－1＞0， 6 ∴原式＝6(a－1)＋ ＋15≥2 6×6＋15＝27，当且仅当(a－1)2 a－1 ＝1(a＞1)，即 a＝2 时成立． ∴最小值为 27.
24 A. 5 C．5 28 B. 5 D．6
【错解】 由 x＋3y≥2 3xy， ∴5xy≥2 3xy， 12 ∴xy≥25.又 3x＋4y≥2 12xy≥2 故选 A. 12 24 12×25＝ 5 .
【错因】 上述解法其错误的主要在于两次使用基本不 等式都忽视了等号成立的条件，且同一题目中两次等号 成立的条件不同，所以取不到最小值．
2
值为(
)
人教版高中数学知识清单第四节基本不等式
第四节 基本不等式【知识清单】1、如果R b a ∈,，那么ab b a 222≥+（当且仅当b a =时，等号成立） 2、基本不等式： 如果0,>b a ，那么ab ba ≥+2（当且仅当b a =时，等号成立） （其中2ba +称为算术平均数，ab 称为几何平均数，因此也称均值不等式） 注：两个正数的算术平均数不小于其几何平均数。
3、利用基本不等式求最值问题 已知,0,0>>y x 则（1）若积xy 是定值,p 则当且仅当y x =时，y x +有最小值是.2p (记：积定和最小)．（2）若和y x +是定值,p ，则当且仅当y x =时，xy 有最大值是.42p (记：和定积最大)． 注①基本不等式主要是利用和积转化求最值。
②利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：01一正二定三相等．“一正”就是各项必须为正数；【例】 )0(41>+=x xx y 的最小值是________ 解析：141241=⋅≥+=x x x x y （当且仅当x x 41=即21=x 时，等号成立） 【例】若正数b a ,满足111=+b a ，则11614-+-b a 的最小值________ 解析：111=+b a 变形为ab b a =+；161642)1)(1(64211614=+--=--≥-+-b a ab b a b a 02“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； 【例】已知45<x ，则函数54124-+-=x x y 的最小值为______ 解析：,2)]54([1)]54([≥--+--x x （当且仅当41=x 时，等号成立）1541242)54(1)54(≤-+-⇒-≤-+-x x x x03“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．这是只能利用对勾函数结合单调性或导数解决。
高考数学-第4节-基本不等式及其应用
错解二：z＝2＋x2xyy2－2xy＝(x2y＋xy)－2≥2 x2y·xy－2＝2( 2－1)，所以 z 的最小值是
2( 2－1)． 错解分析：错解一和错解二的错误原因是等号成立的条件不具备，因此使用基本不等式
一定要验证等号成立的条件，只有等号成立时，所求出的最值才是正确的．
正解：z＝(x＋1x)(y＋1y)＝xy＋x1y＋yx＋xy＝xy＋x1y＋x＋yx2y－2xy＝x2y＋xy－2，
(1)利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意， 明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解．
(2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解．
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备考指南
基础梳理
典例研习
考点演练
变式探究 31：经观测，某公路段在某时段内的车流量 y(千辆/小时)与汽车的平均速度 v(千米/小时)之间有函数关系 y＝v2＋39v2＋0v1600(v>0)．在该时段内，当汽车的平均速度 v 为 多少时流量 y 最大？最大车流量为多少？
常用的几个重要不等式：
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)ab≤(a＋2 b)2(a，b∈R)．
(3)(a＋2 b)2≤a2＋2 b2(a，b∈R)．
(4)ba＋ab≥2(a·b>0)．
(5)a1＋2 b1≤ ab≤a＋2 b≤
a2＋2 b2(a>0，b>0)．
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备考指南
基础梳理
典例研习
1 (A)8 (B)4 (C)1 (D)4 思路点拨：先由已知写出 a 与 b 的关系式，然后用基本不等式求解． 解析： 3是 3a 与 3b 的等比中项⇒3a·3b＝3⇒3a＋b＝3⇒a＋b＝1，∵a＞0，b＞0， ∴ ab≤a＋2 b＝12⇒ab≤14. ∴1a＋1b＝aa＋bb＝a1b≥11＝4.当且仅当 a＝b＝12时，等号成立．故选 B.
第六章 第四节 基本不等式
二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元．若该项目不
获利，国家将给予补偿．
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(1)当x∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利， 求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴 多少元才能使该项目不亏损？ (2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均 处理成本最低？
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解：(1)当x∈[200,300]时，设该项目获利为S，则 S＝200x－(12x2－200x＋80 000) ＝－12x2＋400x－80 000＝－12(x－400)2.
＋n＝1(m>0，n>0)，∴
1 m
＋
1 n
＝(m＋n)·( m1
＋
1 n
)＝2＋
n m
＋
m n
≥2＋2＝4，当且仅当m＝n＝12时，等号成立．
∴m1 ＋n1的最小值为4.
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(2)∵ab＝a＋b＋3，又a，b∈(，∴t2－2t－3≥0，∴t≥3或t≤－1(舍去)， ∴ab的取值范围是[9，＋∞).
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[悟一法] 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三 个条件：一正二定三相等．“一正”就是各项必须为正 数．“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之 积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式 的和转化成定值．“三相等”是利用基本不等式求最值时， 必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不 是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．
答案：8
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1．基本不等式 ab≤a＋2 b
(1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0 ． (2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号．
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2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥ 2ab (a，b∈R)．
艺术生高考数学总复习第六章不等式推理与证明第4节基本不等式课件
解析：D [选项 A 中，x>0 时，y≥2，x<0 时，y≤－2； 选项 B 中，cos x≠1，故最小值不等于 2； 选项 C 中， xx2＋2＋32＝x2＋x22＋＋21＝ x2＋2＋ x21＋2， 当 x＝0 时，ymin＝322，只有选项 D 符合题意．故选 D.]
4．(教材改编)设 x，y∈R*，且 x＋y＝18，则 xy 的最大值为 ________ .
2≥2 x－2×x－1 2＋2＝4，当且仅当 x－2＝x－1 2(x>2)，即 x＝3 时
取等号，即当 f(x)取得最小值时，即 a＝3，选 C.]
3．在下列函数中，最小值是 2 的函数是(
)
A．y＝x＋1x
B．y＝cos
x＋co1s
π x0<x<2
C．y＝
x2＋3 x2＋2
D．y＝ex＋e4x－2
ab<(a＋2 b)2，选项 A、B 正确.a2＋abb<22aabb＝ ab，选项 D 正确．故选
C.]
2．若函数 f(x)＝x＋x－1 2(x>2)在 x＝a 处取最小值，则 a 等于
()
A．1＋ 2
B．1＋ 3
C．3 解析：C
D．4
[当
x>2
时
，
x
－
2>0
，
f(x)
＝
(x
－
2)
＋
1 x－2
＋
综合应用基本不等式的重点题型与求解策略
题型
求解策略
判断或证明不等式或比较 对所给不等式(或式子)变形，然后利用基
大小
本不等式求解
求参数的值或范围
观察题目特点，利用基本不等式确定相关 成立条件，从而得参数的值或范围
第四节 基本不等式
第四节基本不等式1．了解基本不等式的证明过程． 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．考点一：基本不等式1．基本不等式如果a＞0，b＞0，那么，当且仅当a＝b时，等号成立．其中叫做a,b的算术平均数，叫做a,b的几何平均数。
1、基本不等式的变形（1)当且仅当a=b时取等号。
（2)时取等号。
（3)，当且仅当a=b时取等号。
（4)，当且仅当a=1时取等号；，当且仅当a=-1时取等号（5)（a,b同号），当且仅当a=b时取等号。
规律方法1．基本不等式成立的条件是a，b都是正数．在解题时，如果a，b 为负数，可提取负号，创造变量为正数的条件，再利用基本不等式解题．2．在运用基本不等式的变形时，注意一定要验证它们成立的条件是否满足．考点二：利用基本不等式求最值已知x,y都是正数，（1）若x+y=s（和为定值），则当x=y时，积xy取得最大值；（2）若xy=p（积为定值），则当x=y时，和x+y取得最小值利用基本不等式求最值的注意点利用基本不等式求最值时要注意：(1)基本不等式中涉及的各数(或式)均为正；(2)和或积为定值；(3)等号能否成立．即要满足“一正、二定、三相等”的条件．另外需注意变形公式的灵活运用及通过对原代数式或解析式的拆分来创造利用公式的条件．考向一：利用基本不等式求最值规律方法：不等式求最值常用的变形方法：（1）变符号：（2）拆项：（3）添项：（4）凑系数：（5）同除构造型。
考向二：条件最值问题反思总结利用基本不等式解决条件最值的关键是分析条件如何用，主要有两种思路(1)对条件使用基本不等式建立所求目标函数的不等式求解；(2)条件变形进行“1”的代换求目标函数最值．考向三：基本不等式的实际应用反思总结在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点(1)设变量时一般把求最大值或最小值的变量定义为函数；(2)建立相应的函数关系式，确定函数的定义域；(3)在定义域内只需再利用基本不等式，求出函数的最值；(4)回到实际问题中去，写出实际问题的答案．——利用基本不等式求解三元函数的最值策略近几年三元函数的最值逐渐成为高考的热点，主要考查考生的变形推理能力、构造能力、化归能力．求解时要注意以下二种策略的应用：一：消元化三元为二元后使用基本不等式；二、变形条件构造定值、直接使用基本不等式求最值。
高考数学第7章不等式推理与证明第四节基本不等式及其应用课件理
[方法归纳] 有关函数最值的实际问题的解题技巧 (1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求 得函数的最值；(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变 量定义为函数；(3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义 及其取值范围；(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号 取不到，可利用函数的单调性求解.
函数单调性求最值]函数 f(x)＝x＋1x在[2，＋∞)上的最小值为 ________.
解析 若 x＝1x，则 x＝1∉[2，＋∞)，函数 f(x)在[2，＋∞)上
单调递增，所以最小值为 f(2)＝2＋12＝52.
答案
5 2
[当在分母中使用基本不等式或式子前有负号时，注意不等号
方向的改变]
(2)若 x＞0，则 y＝x2＋xx＋4有最______值为________.
1≥0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，－2)
B.[－2，＋∞)
C.[－2，2]
D.[0，＋∞)
解析 (1)作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示， 由图可知，当目标函数 z＝ax＋by(a＞0，b＞0) 过点 A(1，1)时，z 取得最大值， ∴a＋b＝4， ∴ab≤a＋2 b2＝4.(当且仅当 a＝b＝2 时取等号)， 又∵a＞0，b＞0， ∴ab∈(0，4]，故选 B.
答案 大 －1
突破利用基本不等式求最值的方法
(1)利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或乘 积为定值，主要有两种思路： ①对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解. ②条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值. (2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件，但 可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等 式.常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常 数法、换元法、整体代换法等.
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第4节基本不等式
【选题明细表】
一、选择题
1.(2012年高考福建卷)下列不等式一定成立的是( C )
(A)lg>lg x(x>0)
(B)sin x+≥2(x≠kπ,k∈Z)
(C)x2+1≥2|x|(x∈R)
(D)>1(x∈R)
解析:对选项A,当x>0时,x2+-x=≥0,
∴lg≥lg x;
对选项B,当sin x<0时显然不成立;
对选项C,x2+1=|x|2+1≥2|x|,一定成立;
对选项D,∵x2+1≥1,
∴0<≤1.
故选C.
2.(2013安徽省示范高中高三模拟)“1<a<2”是“对任意的正数x,2x+≥2”的( A )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
解析:2x+≥2⇒2≥2⇒a≥.故选A.
3.(2013重庆市部分重点中学高三联考)已知p=a+(a>2),q=(x ∈R),则p,q的大小关系为( A )
(A)p≥q (B)p>q (C)p<q (D)p≤q
解析:p=a+=(a-2)++2≥2+2=4,当且仅当a=3时,取得等号;而由于
x2-2≥-2,故q=≤-2=4,故p≥q.故选A.
4.(2012年高考浙江卷)若正数x、y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是( C )
(A)(B)(C)5 (D)6
解析:由x+3y=5xy,得+=5(x>0,y>0),
则3x+4y=(3x+4y)
=
≥
=(13+12)=5.
当且仅当=,
即x=2y时,等号成立,
此时由
解得故选C.
5.(2013湖北省黄冈中学高三二模)设x,y∈R,a>1,b>1,若
a x=
b y=2,a2+b=4,则+的最大值为( B )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:由题意得:=log2a,=log2b,
+=2log2a+log2b=log2(a2b)≤log22=2,当且仅当b=a2时等号成立,故选B.
6.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为1元.
为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品( B )
(A)60件(B)80件(C)100件(D)120件
解析:若每批生产x件产品,
则每件产品的生产准备费用是元,存储费用是元,总的费用
y=+≥2=20,
当且仅当=时取等号,得x=80(件),故选B.
7.(2012年高考陕西卷)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和
b(a<b),其全程的平均时速为v,则( A )
(A)a<v<(B)v=
(C)<v< (D)v=
解析:设甲乙两地相距为s,
则v==.
由于a<b,∴+<,
∴v>a,
又+>2,
∴v<.
故a<v<,
故选A.
8.(2013山东师大附中高三三模)设a>0,b>0.若是3a与3b的等比中
项,则+的最小值是( C )
(A)2 (B)(C)4 (D)8
解析:由题意知3a×3b=()2,即3a+b=3,
所以a+b=1.
所以+=+=2++≥2+2
=4,
当且仅当=,即a=b=时,取等号,所以最小值为4.故选C.
二、填空题
9.(2013年高考四川卷)已知函数f(x)=4x+(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a= .
解析:因为x>0,a>0,
所以f(x)=4x+≥2=4,
当且仅当4x=,即a=4x2时取等号.
由题意可得a=4×32=36.
答案:36
10.已知直线ax-2by=2(a>0,b>0)过圆x2+y2-4x+2y+1=0的圆心,ab的最大值为.
解析:圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=4,
所以圆心为(2,-1),
因为直线过圆心,
所以2a+2b=2,即a+b=1.
所以ab≤2=,当且仅当a=b=时取等号,
所以ab的最大值为.
答案:
11.(2013北京朝阳质检)某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为y=-x2+18x-25(x∈N*),则当每台机器运转
年时,年平均利润最大,最大值是万元.
解析:每台机器运转x年的年平均利润为=18-x+,而x>0,故≤
18-2=8,当且仅当x=5时等号成立,此时年平均利润最大,最大值
为8万元.
答案:5 8
12.(2013山师大附中高三第四次模拟)已知向量a=(x,-2),b=(y,1),其中x,y都是正实数,若a⊥b,则t=x+2y的最小值是.
解析:因为a⊥b,
所以a·b=(x,-2)·(y,1)=0,
即xy=2.
又t=x+2y≥2=4,当且仅当x=2y=2时,等号成立,
所以t=x+2y的最小值是4.
答案:4
13.(2013江西省百所重点高中诊断)已知二次函数f(x)=ax2+2x+c(x
∈R)的值域为[0,+∞),则+的最小值为.
解析:由题意知a>0,Δ=4-4ac=0得ac=1,
∴+=++(a+c)≥2+2=4,
当且仅当a=c时等号成立.
答案:4
三、解答题
14.已知函数f(x)=lg x,若x1,x2>0,判断[f(x1)+f(x2)]与f的大小,并加以证明.
解:[f(x1)+f(x2)]≤f.
证明如下:
∵f(x1)+f(x2)=lg x1+lg x2=lg(x1x2),
f=lg ,
且x1,x2>0,x1x2≤,
∴lg(x1x2)≤lg,
∴lg(x1x2)≤lg ,
即(lg x1+lg x2)≤lg .
∴[f(x1)+f(x2)]≤f,
当且仅当x1=x2时,等号成立.
15.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求
(1)xy的最小值;
(2)x+y的最小值.
解:(1)由2x+8y-xy=0,
得+=1,
又x>0,y>0,
则1=+≥2=,
得xy≥64,
当且仅当x=16,y=4时,等号成立. 所以xy的最小值为64.
(2)由2x+8y-xy=0,
得+=1,
则x+y=+·(x+y)
=10++
≥10+2
=18.
当且仅当x=12且y=6时等号成立,
∴x+y的最小值为18.
16.某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36张,每批都购入x张(x是正整数),且每批均需付运费4元,储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比,若每批购入4张,则该月需用去运费和保管费共52元,现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费.
(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f(x);
(2)能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由.
解:(1)设题中比例系数为k,若每批购入x张书桌,
则共需分批,每批价值为20x元,
由题意得f(x)=·4+k·20x.
由x=4时,f(x)=52,
得k==.
∴f(x)=+4x(0<x≤36,x∈N*).
(2)由(1)知f(x)=+4x(0<x≤36,x∈N*),
∴f(x)≥2=48(元).
当且仅当=4x,
即x=6时,上式等号成立.
故只需每批购入6张书桌,可以使资金够用.。