电磁场理论习题

解：在导体球的内部，电场强度为0。对于电介质和空气中的电场分布，用高斯定理计算。在电介质或空气中的电场取球面为高斯面，由 得出
电场为 在介质中（a<r<b）
在空气中（r>b）
电位为 （a<r<b）
(r>b)
12、真空中有两个导体球的半径都为a，两球心之间距离为d，且d>>a,试计算两个导体之间的电容。
解：设：A=xz2ex+(x2y-z3)ey+(2xy+y2z)ez
则由散度定理
可得
5、试求▽·A和▽×A:
(1)A=xy2z3ex+x3zey+x2y2ez
(2)
(3 )
解：（1）▽·A=y2z3+0+0= y2z3
▽ห้องสมุดไป่ตู้A=
(2)▽·A=
= =
▽×A= =
=
(3)▽·A=
=
=
▽×A= =
=
习题二
1、总量为q的电荷均匀分布于球体中，分别求球内，外的电场强度。
=
=
= =
从而 = ， =
单位体积内功率损耗为 = =
总功率耗损为P= =
=
由P= ，得
R=
2、一个半径为a的导体球作为作为电极深埋地下，土壤的电导率为 。略去地面的影响，求电极的接地电阻。
解：当不考虑地面影响时，这个问题就相当于计算位于无限大均匀点媒质中的导体
球的恒定电流问题。设导体球的电流为 ,则任意点的电流密度为
8、真空中有两个点电荷，一个电荷－q位于原点，另一个电荷q/2位于（a，0，0）处，求电位为零的等位面方程。
解：由点电荷产生的电位公式得电位为零的等位面为
其中
，
等位面方程简化为
即
此方程可以改写为
这是球心在 ,半径为 的球面。
9、一个圆柱形极化介质的极化强度沿其轴方向，介质柱的高度为L，半径为a，且均匀极化，求束缚体电荷分布及束缚面电荷分布。
其单位矢量
所求方向导数
3、已知 =x2+2y2+3z2+xy+3x-2y-6z，求在点（0，0，0）和点（1，1，1）处的梯度。
解：由于 (2x+y+3)ex+(4y+x-2)ey+(6z-6)ez
所以， =3ex-2ey-6ez =6ex+3ey
4、运用散度定理计算下列积分：
S是z=0和z=(a2-x2-y2)1/2所围成的半球区域的外表面。
4、一个半径为a 的均匀带电圆盘，电荷面密度是ρs0,求轴线上任一点的电场强度。
解：由电荷的电荷强度计算公式
及其电荷的对称关系，可知电场仅有z的分量。代入场点
源点
电场的z向分量为
上述结果适用于场点位于z>0时。但场点位于z<0时，电场的z向量为
5、已知半径为a的球内,外电场分布为
求电荷密度.
解:从电场分布计算计算电荷分布,应使用高斯定理的微分形式:
3、一个半径为a的均匀带电圆柱体（无限长）的电荷密度是ρ，求圆柱体内,外的电场强度。
解：因为电荷分布是柱对称的，因而选取圆柱坐标系求解。在半径为r的柱面上，电场强度大小相等，方向沿半径方向。计算柱内电场时，取半径为r，高度为1的圆柱面为高斯面。在此柱面上，使用高斯定理，有
计算柱外电场时，取通过柱外待计算点的半径为r，高度为1的圆柱面为高斯面。对此柱面使用高斯定理，有
= ， =
导体球面的电位为（去无穷远处为电位零点）
= =
接地电阻为
= =
3、如图，平板电容器间由两种媒质完全填充，厚度分别为 和 ，介电常数分别为 和 ，电导率分别为 和 ，当外加电压U 时，求分界面上的自由电荷面密度。
解：为了使用高斯定理，在半径为b的空腔内分别加上密度为+ρ和—ρ的体电荷，这样，任一点的电场就相当于带正电的大球体和一个带负电的小球体共同产生，正负带电体所产生的场分别由高斯定理计算。
正电荷在空腔内产生的电场为
负电荷在空腔内产生的电场为
单位向量 ， 分别以大、小球体的球心为球面坐标的原点。考虑到
最后得到空腔内的电场为
解:设球体的半径为a，用高斯定理计算球内，外的电场。由电荷分布可知，电场强度是球对称的，在距离球心为r的球面上，电场强度大小相等，方向沿半径方向。
在球外，r>a，取半径为r的球面作为高斯面，利用高斯定理计算：
对球内，r<a，也取球面作为高斯面，同样利用高斯定理计算：
2、半径分别为a,b(a>b),球心距为c（c<a-b）的两球面之间有密度为ρ的均匀体电荷分布，如图所示，求半径为b的球面内任一点的电场强度。
解：因为球心间距远大于导体的球的半径，球面的电荷可以看作是均匀分布。由电位系数的定义，可得
，
让第一个导体带电q,第二个导体带电-q，则
，
由
化简得
习题三
1、球形电容器内,外极板的半径分别为a,b，其间媒质的电导率为 ，当外加电压
为 时，计算功率损耗并求电阻。
解：设内,外极板之间的总电流为 ，由对称性，可以得到极板间的电流密度为
用球坐标中的散度公式,并注意电场仅仅有半径方向的分量,得出
6、求习题2-1的电位分布
解：均匀带电球体在球外的电场为
Er=
球内电场为
球外电位( > a)为
球内电位( )为
7、电荷分布如图所示。试证明，在r>>l处的电场为E=
证明:用点电荷电场强度的公式及叠加原理,有E= ( + )
当r>>l时,
=
=
将以上结果带入电场强度表达式并忽略高阶小量,得出E=
解：选取圆柱坐标系计算，并假设极化强度沿其轴向方向， 如图示，由于均匀极化，束缚体电荷为
。
在圆柱的侧面，注意介质的外法向沿半径方向 ,极化强度在z方向，故
在顶面，外法向为 ，故
在底面，外法向为 ，故
10、假设x<0的区域为空气，x>0的区域为电解质，电解质的介电常数为3εo，
如果空气中的电场强度 （V/m），求电介质中的电场强度 。
电磁场理论习题
一
1、求函数 在点（1，1，2）处沿方向角 ， ， 的方向的方向导数.
解：由于 =y－ =-1
=2xy－ =0
=2z =3
， ，
所以
2、求函数 ＝xyz在点（5, 1, 2）处沿着点（5, 1, 2）到点（9, 4, 19）的方向的方向导数。
解：指定方向l的方向矢量为
l＝(9－5)ex+(4－1)ey+(19－2)ez＝4ex+3ey+17ez
解：在电介质与空气的界面上没有自由电荷，因而电场强度的切向分量连续，电位移矢量的法向分量连续。在空气中，由电场强度的切向分量 ，可以得出介质中电场强度的切向分量 ；对于法向分量，用 ，即 ，并注意 ，得出 。将所得到的切向分量相叠加，得介质中的电场为
（V/m）
11、一个半径为a的导体球面套一层厚度为b-a的电解质，电解质的介电常数为ε，假设导体球带电q，求任意点的电位。