数学归纳法

由 的假设可知， ，P（n）成立。
再由定理条件 ，命题P（n）成立，能推出 时，命题P（n）成立知，
，命题P（n）成立。
这与B中定有最小正整数 ， ，使得 不成立矛盾。
故原假设不成立。即定理结论成立。
特别的：
（1）第一数学归纳法
取 ，当n=1（即 ）时，P（1）成立，假如n=k（即 ）时，P（k）成立，能推出n=k+1（ ）时，P（k+1）成立；则对 ，命题P（n）成立。
（2）第二数学归纳法
取 ， ，当n=1（即 ）时，P（1）成立，假如 （即 ）时，P（k）成立，能推出 （ ）时，P（k+1）成立；
则对 ，命题P（n）成立。
（3）此为跳跃归纳法
取 ， ，…，
（ ），当 时，验证P（1），P（2），…，P（m）成立，假如 时，P[（k-1）m+1]，P[（k-1）m+2]，…，P[（k-1）m+m]=P（km）成立，能推出当 时，P（km+1），P（km+2），…，
定理：设A是一个非空集合， ，对 ，命题P（n）成立；假如 ，命题P（n）成立，能推出 时，命题P（n）成立；
则对 ，命题P（n）成立。
证明（反证法）假设 ，使得P（ ）不成立；
∵ ，则 ，使得 ，
令 ，则 ，且 ；
由最小数原理可知，B中定有最小正整数 ， ，使得 不成立。
又∵ ，命题P（n）成立，∴ ≠1，那么 -1≥2；
，… = ,且 互不相交，每个子集元素和相等。
假设对于 ， ，命题正确，由上面的讨论知，对于 ， 命题也成立，从而证得对于 ， 或 时，集合 ，… 可以分成5个互不相交的子集，且它们各自的元素和相等。
故命题得证。
（三）先猜后证
例7 ，当n≥3时，
求证
分析要证明 ，考虑 余数不为0即可（m为某整数）再考虑 的前面几项
注意：①式中不能直接用 进行归纳，
解当n=8、9、10时，8=5+3、9=3×3、10=5×2，结论成立
假设当n=k时，结论成立，即邮资k、k+1、k+2都可由3角和5角的邮票支付；
那么当n=k+3时，k+3=（k）+3、k+4=（k+1）+3、k+5=（k）+5，即结论成立
所以由跳跃归纳法知，结论成立。
例2证明：对任意正整数 ，方程 都有正整数解。
即
综上可知，对任何正整数 ，都有 。
例6对怎样的正整数 ，集合 ，… 可以分成5个互不相交的子集，每个子集的元素和相等。
解我们先找一个必要条件，若集合 ，… 能分成5个互不相交的子集，各个子集的元素和相等，则 … = 能被5整除，所以 或 。
显然，当 时，上述条件不是充分的，下面用数学归纳法证明，当 时条件是充分的。
当 ，即 时，我们将集合分别作如下分析：
，… ，
，… = 。
当 ，即 时，
，… =
，… =
因为若集合 ，… 能分成5个互不相交的子集，且它们各自的元素和相等，则 ，… …， 也能分成5个互不相交的子集，且它们每个的元素和相等，事实上，若
，… = ,其中 互不相交， 的元素和与 的元素和相等，则令 ， ， ， ， ，于是
即
（四）加强命题
例8设 ，求证：当 时，有 。
证我们把命题加强为 ……①
当 时， ， ，故①式成立。
假设 时命题成立，即 ，则
=
+
=
= +
即当 时，①式也成立。
所以，对正整数 ，①式都成立，从而原命题也成立。
（五）命题活化
例9真分数 都可以表示成不同的正整数的倒数之和
证明对m（<n）进行归纳
当m=1时， ，结论成立
依次为：1、2、7；29、22、23；49、26、-17、-163；…………………………
1、2、3；1、2、3；1、2、3；1、…（mod4 ）即
猜想： （k≥0），下面证明之
证明当k=0时，由分析可知结论成立
假设对于k结论成立，即
从而可知
那么对于k+1时， ，
即对于k+1时结论成立
所以由数学归纳法知， ， 模4不同余于0，所以 ，
证当 时，任取正整数 ， ，并取 ，则 ， ， 即为方程的一组解。
当 时，取一组够股数即可，例如 。
假设当 时命题成立， ， ， 是方程 的一组正整数解。取 ， ， ，则有 ，
从而 ， ， 时方程 的一组正整数解，即 时命题也正确。
所以对一切正整数 ，命题正确。
（二）起点前移或起点后移
例3已知a,b是正实数，且 =1。
假设m＜k时，结论成立
那么当m=k时，若 ，则 ，结论成立。否则k不整除n
则由带余除法知，n=q k - r，q k=n + r（0＜r＜k， ）
从而 ①
而r＜k，由归纳假设知， （ ）
且 （i=1，2，……s）否则 为假分数
从而 ，Hale Waihona Puke Baidu ，
故m=k时， ，结论成立。
由第二数学归纳法知，真分数 都可以表示成不同的正整数的倒数之和。
P[（k+1）m]成立；则对 ，命题P（n）成立。m称为跨度。
（4）倒退归纳法
设 ，取 ， ，…， ，
当n=m（ ）时，P（m）成立；假如n=k（ ）（k＜m）时，P（k）成立，能推出n=k-1（ ）时，P（k-1）成立。则对 ，命题P（n）成立。
二、用数学归纳证明的方法
（一）加大归纳的跨度
例1由3角和5角的邮票，可以任意支付邮资n（n≥8）
因为 ，j=1,2,…,k，所以
又因为 ，故 。
解得 或 （舍去）.
所以n=k+1时命题也成立.
从而， ，命题成立。
例5将质数由小到大编上序号： ， ， ，…求证：第 个质数 。
证当 时， ，命题成立。
假设 时命题成立，即 ，
将上面这 个不等式相乘，得
所以
因为 ， ，…， 都不能整除 ，所以 的质因数 不可能是 ， ，…， ，只能大于或等于 ，于是有
求证对一切正整数n，都有
证n=1时，命题显然成立。
假设n=k时命题成立，即
因为 ，所以 。于是 ，所以 ，
从而
，
即命题在n=k+1时也成立
综上所述，对一切正整数n，命题都成立。
例4已知对任意 有 >0且 ，求证：
证当n=1时，由 及 ，得 ，命题成立。
假设当 时，命题成立。即
当n=k+1时，因为
又
于是
数学归纳法
一、数学归纳法
最小数原理：已知 ，则 ， ，使得 。
证明若 是有限集，且 ，那么 中元素可以按小到大的顺序排列，取 为其中最小的那个元素，则 ， ，使得 。
若 为无限集，且 ，那么 是可列的，因而 中元素可以按小到大的顺序列出，取 为其中最小的那个元素，则 ， ，使得 。
综上所述，若 ，则 ， ，使得 。