二次函数在给定区间上求值域
求二次函数在某一区间上的最值
求二次函数在某一区间上的最值求二次函数在某一区间上的最值问题，是函数中的一个重要问题。
下面我就分别按以下的三种类型来详细讨论这类问题。
类型一：定轴定区间问题例1、已知函数()22[1,)x x a f x x x++=∈+∞，若对于任意的[1,)x ∈+∞，()0f x >恒成立， 求实数a 的取值范围。
略解：因为1x ≥时，()0f x >恒成立，所以220x x a ++>恒成立，即函数22y x x a =++ 在1x ≥时恒成立，又min 3y a =+，所以30a +>，即3a >-例2、若函数221(0,1)x x y a a a a =+->≠在区间[]1,1-的最大值为14，求a 的值 解一：设x t a =，即0t > ,那么()()222112f t t t t =+-=+- 当1a >时，1a t a -≤≤，此时，()2max 1214y a =+-= 3a ∴=当01a <<时，1a t a -≤≤，此时，2max 11214y a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭ 13a ∴= ∴3a =或13a = 解二：函数()212x y a =+- (0,1)a a >≠在区间[]1,1-上y 随x a 的增大而增大，当1a >时，()max xa a =，故()2max 1214y a =+-= 3a ∴= 当01a <<时，()max 1xa a = ，故 2max 11214y a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭ 13a ∴= 综上3a =或13a = 类型二：动轴定区间问题例3、若函数23y x ax =++在区间[]1,1-的最小值为－3，求a 的值略解：原函数即为：22324a a y x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭ ① 若轴2a x =-在区间内，则11232a a f ⎧-≤-≤⎪⎪⎨⎛⎫⎪-=- ⎪⎪⎝⎭⎩，即 222334a a -≤≤⎧⎪⎨-=-⎪⎩ ∴a ∈∅ ② 若轴2a x =-在区间右侧，则()1213a f ⎧->⎪⎨⎪=-⎩，即243a a <-⎧⎨+=-⎩ ∴7a =- ③ 若轴2a x =-在区间左侧，则()1213a f ⎧-<-⎪⎨⎪-=-⎩ ，即233a a >⎧⎨-=-⎩ ∴7a = 所以a 7=±类型三： 定轴动区间问题例4、若函数222y x x =-+在区间[],1m m +的最大值为5，求m 的值略解：原函数即为：()2()11f x x =-+① 若轴1x =在区间内左侧，即()112111112m m m m m ≤≤+⎧⎪+⎨⎛⎫-≤+-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩或，这时()15f m += 由上可解得：1122m m ⎧≤≤⎪⎨⎪=±⎩，∴m ∈∅② 若轴1x =在区间内右侧，即()112111112m m m m m ≤≤+⎧⎪+⎨⎛⎫-≥+-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩或，这时()5f m = 由上可解得：10213m m m ⎧≤≤⎪⎨⎪=-=⎩或，∴m ∈∅ ③ 若轴1x =在区间左侧，即1m >，这时()15f m +=，由上可解得2m = ④ 若轴1x =在区间右侧，即11m +<，这时()5f m =，由上可解得1m =- 综上可知：12m m =-=或练习：是否存在实数a ,使函数()22f x x ax a =-+的定义域为[]11,-，值域为[]22,-；若存在，求出实数a的值，若不存在，说明理由. 答案：1a。
2023年高考数学一轮复习精讲精练(新高考专用)专题：二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳
专题06：二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳精讲温故知新1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0()120,0x x << 两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（>a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f大致图象（<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f综合结论（不讨论a）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a例1：1．（多选）若关于x 的方程2(1)+2=0x m x m ---的两根为正数(包含等根)，则m 的取值可以是（ ）A ．122--B．-C ．1.9 D ．1.99【答案】BCD 【解析】 【分析】由一元二次函数零点的分布可得答案. 【详解】由题意，构建函数2()(1)2f x x m x m =--+-，因为关于x 的方程2(1)20x m x m --+-=的两根为正数(包含等根)， 所以()()()2Δ142010200m m m f ⎧=---⎪-⎪>⎨⎪>⎪⎩， 解得122m -+<， 故选：BCD. 2.已知函数()2()23f x x ax a a R =-+-∈．（1）若1a =时，求()f x 在区间1[,3]2上的最大值和最小值； （2）若()f x 的一个零点小于0，另一个零点大于0，求a 的范围. 【答案】（1） max 5y =；min 1y = ；（2）3a > 【分析】（1）求出函数的对称轴，再判断对称轴与区间的位置关系，从而得到函数的最值； （2）由题意得(0)0f <，即可得到答案； 【详解】（1）当1a =时，函数的对称轴为11[,3]2x =∈，∴min ()(1)1f x f ==，15(),(3)524f f ==， ∴max ()5f x =。
微专题13 含参数二次函数的最值问题(原卷版)
微专题13 含参数二次函数的最值问题【方法技巧与总结】1、定轴定区间型：即定二次函数在定区间上的最值，其区间和对称轴都是确定的，要将函数配方，再根据对称轴和区间的关系，结合函数在区间上的单调性，求其最值（可结合图象）；2、动轴定区间型：即动二次函数在定区间上的最值，其区间是确定的，而对称轴是变化的，应根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况分类讨论，再利用二次函数的示意图，结合其单调性求解；3、定轴动区间型：即定二次函数在动区间上的最值，其对称轴确定而区间在变化，只需对动区间能否包含抛物线的定点横坐标进行分类讨论；4、动轴动区间型：即动二次函数在动区间上的最值，其区间和对称轴均在变化，根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况讨论，并结合图形和单调性处理。
【题型归纳目录】 题型一：定轴定区间型 题型二：动轴定区间型 题型三：定轴动区间型 题型四：动轴动区间型题型五：根据二次函数的最值求参数 【典型例题】 题型一：定轴定区间型例1．（2022·全国·高一专题练习）函数()232f x x x =++在区间[] 55-，上的最大值、最小值分别是（ ） A ．1124-，B ．212，C ．1424-， D ．最小值是14-，无最大值例2．（2022·全国·高一课前预习）函数y ＝x 2－2x ＋2在区间[－2，3]上的最大值、最小值分别是（ ） A ．10，5 B ．10，1 C ．5，1 D ．以上都不对例3．（2022·陕西·榆林市第十中学高一期中）若二次函数()()()24f x a x x =+-的图像经过点()0,4-，则函数()f x 在[]4,2-上的最小值为___________.例4．（2022·全国·高一专题练习）已知函数242y x x =-+-，当14x ≤≤上时y 的最小值是________例5．（2022·广西南宁·高一期末）已知函数2()25,[1,5]f x x x x =-+∈-．则函数的最大值和最小值之积为______题型二：动轴定区间型例6．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()20f x x mx m =->在区间[]0,2上的最小值为()g m ．（1）求函数()g m 的解析式． （2）定义在()(),00,∞-+∞上的函数()h x 为偶函数，且当0x >时，()()h x g x =．若()()4h t h <，求实数t 的取值范围．例7．（2022·全国·高一单元测试）已知函数2()2(f x x mx m m =-++∈R)．当[1,1]x ∈-时，设()f x 的最大值为M ，则M 的最小值为（ ）A ．14B ．0C ．14-D ．1-例8．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()()2213f x x k x =-++．(1)若函数()f x 为偶函数，求实数k 的值；(2)若函数()f x 在区间[]1,3-上具有单调性，求实数k 的取值范围；(3)求函数()f x 在区间[]22-,上的最小值．例9．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()221f x x mx =++．(1)若1m =，求()f x 在13x -≤≤上的最大值和最小值； (2)求()f x 在22x -≤≤上的最小值；(3)在区间12x -≤≤上的最大值为4，求实数m 的值．例10．（2022·广东湛江·高一期末）已知函数()()f x x x a =-.其中a R ∈，且0a >. (1)求函数()f x 的单调区间； (2)求函数()f x 在1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值.例11．（2022·上海师大附中高一期末）已知函数2(1)h x ax x=+（常数a R ∈）.(1)当2a =时，用定义证明()y h x =在区间[]1,2上是严格增函数； (2)根据a 的不同取值，判断函数()y h x =的奇偶性，并说明理由；(3)令1()()2f x h x x a x=--+，设()f x 在区间[]1,2上的最小值为()g a ，求()g a 的表达式.例12．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()21f x x x a x R a R =+-+∈∈，，． (1)当1a =时，求函数()f x 的最小值 (2)求函数()f x 的最小值为()g a ．例13．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()22f x x x =+，现已画出函数()f x 在y 轴左侧的图象，如图所示，请根据图象．(1)补充完整图象并写出函数()()f x x R ∈的增区间； (2)写出函数()()f x x R ∈的解析式；(3)若函数()()[]()211,2g x f x ax x =-+∈，求函数()g x 的最小值．例14．（2022·安徽·合肥市第十中学高一期中）设函数2()43f x x ax =-+ (1)函数f (x )在区间[1，3]有单调性，求实数a 的取值范围； (2)求函数f (x )在区间[1，3]上的最小值h (a )．题型三：定轴动区间型例15．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()22f x x mx n =++的图象过点(0,1)-，且满足()()12f f -=．(1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()f x 在[],2a a +上的最小值；例16．（2022·江苏·高一单元测试）二次函数()f x 满足()()12f x f x x +-=且()01f =． (1)求()f x 的解析式；(2)当[]11x ∈-，时，不等式()2f x x m >+恒成立，求实数m 的取值范围．(3)设函数()f x 在区间[]1a a +，上的最小值为()g a ，求()g a 的表达式．例17．（2022·全国·高一期中）已知二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且满足(0)2f =，(1)()21f x f x x +-=+.(1)求函数()f x 的解析式；(2)当[,2]x t t ∈+（R t ∈）时，求函数()f x 的最小值()g t （用t 表示）．例18．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()222f x x ax =++．(1)当1a =时，求函数()f x 在区间[)23-，上的值域； (2)当1a =-时，求函数()f x 在区间[]1t t +，上的最大值；(3)求()f x 在[]55-，上的最大值与最小值．例19．（2022·江苏南通·高一开学考试）已知关于x 的函数22 4.y x mx =-+ (1)当23x -≤≤时，求函数224y x mx =-+的最大值； (2)当23x -≤≤时，若函数最小值为2，求m 的值．例20．（2022·全国·高一专题练习）已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是()05，，且()f x 在区间[]2-，4上的最大值是28． (1)求()f x 的解析式；(2)设函数()f x 在[]1x t t ∈+，上的最小值为()g t ，求()g t 的表达式．题型四：动轴动区间型例21．（2022·江苏·楚州中学高一期中）已知函数2()2(0)f x x ax a =-> (1)当2a =时，解关于x 的不等式3()5f x -<<(2)函数()y f x =在[],2t t +的最大值为0，最小值是-4，求实数a 和t 的值．例22．（2022·贵州毕节·高一期末）已知函数2()2(0)f x x ax a =->． (1)当3a =时，解关于x 的不等式5()7f x -<<；(2)函数()y f x =在[],2t t +上的最大值为0，最小值是4-，求实数a 和t 的值．例23．（2022·四川巴中·高一期中）已知a R ∈，函数()f x x x a =-． (1)设1a =，判断函数()f x 的奇偶性，请说明理由；(2)设0a ≠，函数()f x 在区间(),m n 上既有最大值又有最小值，请分别求出m ，n 的取值范围．（只要写出结果，不需要写出解题过程）例24．（2022·江苏苏州·高一期末）已知函数f （x ）＝x |x ﹣m |＋n . (1)当f （x ）为奇函数，求实数m 的值；(2)当m ＝1，n ＞1时，求函数y ＝f （x ）在[0，n ]上的最大值.例25．（2022·浙江·磐安县第二中学高一开学考试）已知R a ∈，函数()f x x x a =-， (1)当2a =时，写出函数()y f x =的单调递增区间； (2)当2a >时，求函数()f x 在区间[]1,2上的最小值；(3)设0a ≠，函数()f x 在(),m n 上既有最大值又有最小值，请分别求出,m n 的取值范围（用a 表示）例26．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()2222f x x a x a =-++，()()22228g x x a x a =-+--+．设()()(){}1max ,H x f x g x =，()()(){}2min ,H x f x g x =．记()1H x 的最小值为A ，()2H x 的最大值为B ，则A B -=______．例27．（2022·浙江·温州市第二十二中学高一开学考试）函数()f x x x a =-， (1)若()f x 在R 上是奇函数，求a 的值；(2)当2a =时，求()f x 在区间(0,4]上的最大值和最小值；(3)设0a >，当m x n <<时，函数()f x 既有最大值又有最小值，求m n 、的取值范围（用a 表示）题型五：根据二次函数的最值求参数例28．（2022·全国·高一专题练习）已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴的一个交点为(1,0)-，且经过点(2,)c ．(1)求抛物线与x 轴的另一个交点坐标．(2)当2t x t ≤≤-时，函数的最大值为M ，最小值为N ，若3M N -=，求t 的值．例29．（2022·全国·高一专题练习）若函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在[－1，2]上有最大值4，则a 的值为( ) A ．38B ．－3C ．38或－3D ．4例30．（2022·全国·高一课时练习）函数()f x x x a =-在区间()0,1上既有最大值又有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．)222,0⎡-⎣ B ．()0,222 C ．2⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭D ．)222,1⎡⎣例31．（2022·上海交大附中高一阶段练习）已知二次函数[]224,0,y x x x m =-+∈的最小值是3，最大值是4，则实数m 的取值范围是___________.例32．（2022·湖北黄石·高一期末）已知函数21()2f x x x =-+．若()f x 的定义域为[,]m n ，值域为[2,2]m n ，则m n +=__________．【过关测试】 一、单选题1．（2022·甘肃·民勤县第一中学高一阶段练习）有如下命题：①若幂函数()y f x =的图象过点12,2⎛⎫⎪⎝⎭，则()132f >； ②函数()()110,1x f x a a a -=+>≠的图象恒过定点()1,2； ③函数()1221log f x x x =--有两个零点； ④若函数()224f x x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为4，最小值为3，则实数m 的取值范围是[]1,2．其中真命题的序号为（ ）． A ．①②B ．②④C ．①④D ．②③2．（2022·全国·高一专题练习）若函数2()23f x x bx a =-+在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值m ，则M m -（ ）A ．与a 无关，且与b 有关B ．与a 有关，且与b 无关C ．与a 有关，且与b 有关D ．与a 无关，且与b 无关3．（2022·河南·郏县第一高级中学高一开学考试）已知()f x 为奇函数，且当0x >时，2()42f x x x =-+，则()f x 在区间[]4,2--上（ ） A ．单调递增且最大值为2 B ．单调递增且最小值为2 C ．单调递减且最大值为-2D ．单调递减且最小值为-24．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校高一期中）已知函数()22f x x x a a =-++在区间[0，2]上的最大值是1，则a 的取值范围是（ ） A ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．110,,22⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高一阶段练习）已知函数2y x ax b =++（,R a b ∈）的最小值为0，若关于x 的不等式2x ax b c 的解集为{}|4x m x m <<+，则实数c 的值为（ ） A ．9B ．8C ．6D ．46．（2022·河南·濮阳一高高一期中（理））已知定义域为R 的函数()f x 满足()()13f x f x +=，且当(]01x ∈，时，()()41f x x x =-，则当(]20x ∈-，时，()f x 的最小值为（ ） A ．181-B ．127-C ．19-D ．13-7．（2022·河北省博野中学高一开学考试）已知m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2﹣2tx +t 2﹣2t +4=0的两个实数根，则（m +2)(n +2）的最小值是（ ）. A ．7B ．11C ．12D ．168．（2022·陕西商洛·高一期末）若函数()2f x x bx c =++满足()10f =，()18f -=，则下列判断错误的是（ ）A ．1b c +=-B ．()30f =C ．()f x 图象的对称轴为直线4x =D ．f （x ）的最小值为－1二、多选题9．（2022·全国·高一课时练习）设函数()21,21,ax x a f x x ax x a -<⎧=⎨-+≥⎩，()f x 存在最小值时，实数a 的值可能是（ ） A ．2B ．-1C ．0D ．110．（2022·全国·高一课时练习）定义在R 上的奇函数()f x 在(),0∞-上的解析式()()1f x x x =+，则()f x 在[)0,∞+上正确的结论是（ ） A ．()00f =B ．()10f =C ．最大值14D ．最小值14-11．（2022·浙江省龙游中学高一期中）已知函数()221f x x mx =-+，则下列结论有可能正确的是（ ）A ．()f x 在区间[]1,2上无最大值B ．()f x 在区间[]1,2上最小值为()f mC ．()f x 在区间[]1,2上既有最大值又有最小值D ．()f x 在区间[]1,2上最大值()1f ，有最小值()2f12．（2022·全国·高一单元测试）若[]()()11,9f x x x =+∈，()22()()g x f x f x =+，那么（ ）A ．()g x 有最小值6B ．()g x 有最小值12C ．()g x 有最大值26D ．()g x 有最大值182三、填空题13．（2022·上海·复旦附中高一开学考试）已知M 、N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线12y x=上，点N 在直线3yx上，设点M 的对称点坐标为(),a b ，则二次函数()2y abx a b x =-++的最小值为______．14．（2022·全国·高一专题练习）已知二次函数22y x x c =-++，当12x -≤≤时，函数的最大值与最小值的差为______15．（2022·全国·高一专题练习）若函数()221f x x ax a =-+-在[0,2]上的最小值为1-．则=a ____．16．（2022·全国·高一专题练习）设函数()2,2,x x a f x x x a ⎧≤=⎨+>⎩，若()f x 有最小值，则a 的取值范围是______． 四、解答题17．（2022·全国·高一专题练习）如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于点()1,0A -，()3,0B ，交y 轴于点C ．(1)求该抛物线的函数解析式；(2)当1m x m -≤≤时，函数23y ax bx =+-有最小值2m ，求m 的值．18．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()2y x x a =-+，其中R a ∈． (1)若函数的图象关于直线1x =对称，求a 的值； (2)试述函数值的变化趋势及函数的最大值或最小值．19．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()221f x x mx =++．(1)若1m =，求()f x 在[]13，-上的最大值和最小值； (2)若()f x 在[]22-，为单调函数，求m 的值； (3)在区间[]12-，上的最大值为4，求实数m 的值．20．（2022·江西省铜鼓中学高一阶段练习）二次函数()()2210g x mx mx n m =-++>在区间[]0,3上有最大值4，最小值0.(1)求函数()g x 的解析式；(2)设()()(2)f x g x a x =+-，且()f x 在[1,2]-的最小值为3-，求a 的值.1121．（2022·全国·高一课前预习）（1）已知函数2()21f x ax ax =++在区间[-1，2]上最大值为4，求实数a 的值；（2）已知函数2()22f x x ax =-+，x ∈[-1，1]，求函数()f x 的最小值．22．（2022·天津市武清区杨村第一中学高一期末）已知函数()22f x x mx n =++的图象过点()1,1-，且满足()()23f f -=．(1)求函数()f x 的解析式：(2)求函数()f x 在[],2a a +上的最小值；(3)若0x 满足()00f x x =，则称0x 为函数()y f x =的不动点，函数()()g x f x tx t =-+有两个不相等且正的不动点，求t 的取值范围．。
考点08 二次函数在闭区间上的最值(值域)问题的解法(解析版)
专题二函数考点8 二次函数在闭区间上的最值（值域）问题的解法【方法点拨】一、知识梳理二、二次函数在闭区间上的最值（值域）问题的解法【高考模拟】1．已知函数()bf x ax x=+，若存在两相异实数,m n 使()()f m f n c ==，且40a b c ++=，则||m n -的最小值为（ ）A ．22B 3C 2D 3【答案】B 【分析】由题设可得20(0)ax cx b x -+=≠，又()()f m f n c ==即,m n 为方程两个不等的实根，即有,c bm n mn a a+==，结合2||()4m n m n mn -=+-40a b c ++=得2||16()41b bm n a a-=⋅+⋅+.【解析】由题意知：当()bf x ax c x=+=有20(0)ax cx b x -+=≠， ∵()()f m f n c ==知：,m n 是20(0,0,0)ax cx b x a b -+=≠≠≠两个不等的实根.∴,c b m n mn a a +==，而2224||()4c ab m n m n mn a--=+-= ∵40a b c ++=，即4c b a =--，∴||m n -=b t a =，则||m n -==∴当18t =-时，||m n -故选：B 【点睛】关键点点睛：由已知条件将函数转化为一元二次方程的两个不同实根为,m n ，结合韦达定理以及||m n -=.2．已知函数2()f x ax bx c =++，满足(3)(3)f x f x +=-，且(4)(5)f f <，则不等式(1)(1) f x f -<的解集为（ ）A ．(0,)+∞B ．(2,)-+∞C ．(4,0)-D ．(2,4)【答案】C 【分析】由题设知()f x 关于3x =对称且开口向上，根据二次函数的对称性(1)(1)f x f -<有115x <-<，求解集. 【解析】依题意，有二次函数关于3x =对称且开口向上，∴根据二次函数的对称性：若(1)(1)f x f -<，即有115x <-<， ∴40x -<<. 故选：C 【点睛】关键点点睛：由题设可得()f x 关于3x =对称且开口向上，根据对称性求函数不等式的解集即可. 3．已知函数()sin f x x x =+，若存在[0,]x π∈使不等式(sin )(cos )f x x f m x ≤-成立，则整数m 的最小值为（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】A 【分析】先对()f x 求导可得()1cos 0f x x '=+≥，()f x 单调递增，原不等式可化为存在[0,]x π∈ 使得sin cos x x m x ≤-有解，即sin cos m x x x ≥+对于[0,]x π∈有解，只需()min m g x ≥， 利用导数判断()g x 的单调性求最小值即可. 【解析】由()sin f x x x =+可得()1cos 0f x x '=+≥， 所以()sin f x x x =+在[0,]x π∈单调递增，所以不等式(sin )(cos )f x x f m x ≤-成立等价于sin cos x x m x ≤-， 所以sin cos m x x x ≥+对于[0,]x π∈有解， 令()sin cos g x x x x =+，只需()min m g x ≥， 则()sin cos sin cos g x x x x x x x '=+-=， 当02x π≤≤时，()cos 0g x x x '=≥，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增， 当2x ππ<≤时，()cos 0g x x x '=<，()g x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减， ()0cos01g ==，()sin cos 1g ππππ=+=-，所以()()min 1g x g π==-， 所以1m ≥-，整数m 的最小值为1-， 故选：A. 【点睛】方法点睛：若不等式(),0f x λ≥()x D ∈（λ是实参数）有解，将(),0f x λ≥转化为()g x λ≥或()()g x x D λ≤∈有解，进而转化为()max g x λ≤或()()min g x x D λ≥∈，求()g x 的最值即可.4．已知函数2()26f x x ax =+--，若存在a R ∈，使得()f x 在[2,]b 上恰有两个零点，则实数b的最小值为（ ）A ．B ．4C ．2+D ．2+【答案】C 【分析】由函数在[2，]b 上恰好有2个零点可得，可得零点必在区间的端点，讨论零点为2和b 时，解得a 的值，将a 的值代入使得函数值f （b ）0=求出b 的值即可． 【解析】因为函数2())|2|6f x x ax =+--在[2，]b 上恰有两个零点，所以在2x =与x b =时恰好取到零点的最小值和最大值时，实数b 取最小值， 若2x =，()f x 的零点满足f （2）2|222|60a =+--=，解得2a =，或4a =-，当2a =，2()|22|6f x x x =+--，满足()f x 在[2，]b 上恰好有2个零点，则f （b ）2|22|60b b =+--=，且2b >，解得2b =（舍)或4b =-（舍)，当4a =-时，2()|42|6f x x x =---且2b >，满足()f x 在[2，]b 上恰好有2个零点， 则f （b ）2|42|60b b =---=，2b >，所以2|42|6b b --=，即2426b b --=-整理2440b b -+=，解得2b =（舍)，或2480b b --=解得：2b =-（舍)或2b =+综上所述，当2b =+()f x 在[2，]b 上恰好有2个零点．故答案为：2+ 【点睛】本题考查函数的零点和方程根的关系，考查了计算能力，同时考查了转化思想与分类讨论思想的应用，属于难题.5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，22n n S a =-，若存在两项m a ，n a ，使得64m n a a =，则19m n+的最小值为（ ） A ．145B ．114C ．83D ．103【答案】B【分析】运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式可得2nn a =．求得6m n +=，()19119191066m m n m n n n m n m ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，运用基本不等式，检验等号成立的条件，根据单调性即可得出结果. 【解析】解：22n n S a =-，可得11122a S a ==-，即12a =，2n ≥时，1122n n S a --=-，又22n n S a =-，相减可得1122n n n n n a S S a a =-=-﹣﹣，即12n n a a -=，{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列．所以2nn a =．64m n a a =，即2264m n ⋅=，得6m n +=，所以()191191911010666m m n m n m n m n n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝ 181663=⨯=， 当且仅当9n m m n=时取等号，即为32m =，92n =．因为m ，n 取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则1983m n +>， 因为19196m n y m m +=+=-，在30,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在3(,)2+∞上单调递增，所以当2m =，4n =时，19m n+取得最小值为114．故选：B. 【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，考查基本不等式的运用，考查化简运算能力，属于中档题．6．已知函数()11,021,232x x x f x x -⎧-≤≤⎪=⎨⎛⎫<≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，若存在实数123,,x x x ，当12303x x x ≤<<≤时，()()()123f x f x f x ==，则()2312x f x x x +的最小值是（ ）.A ．58B ．516C ．532D ．564【答案】C 【分析】作出分段函数的图像，结合图像确定123,,x x x 的范围及等量关系，再将所求式子转化为关于3x 的函数，利用函数的单调性求解最小值. 【解析】 如图：122x x += ，312112x x -⎛⎫-= ⎪⎝⎭即312112x x -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,()33112312111222x x x f x x x --⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+ 令311,2x t t -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭1142⎡⎫⎪⎢⎣⎭，,则()()2321212x f x t t x x =++ 当14t =时取得最小值532. 故选C【点睛】本题主要考查分段函数图像、函数零点、函数最小值的应用，解题中主要应用了数形结合的思想、换元思想、函数思想，属于中档题；解题的关键有两个：一是准确作出分段函数图像，利用已知条件确定出123,,x x x 范围以及122x x +=；二是将所求式子转化为关于3x 的函数，利用函数的性质求最小值.7．已知实数x 、y 满足{24 2y xx y y ≤+≤≥-,若存在x 、y 满足()()22211(0)x y r r ++-=>，则r 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．423D ．523【答案】B【解析】试题分析：可行域为直线,24,2y x x y y =+==-围成的三角形区域， (),x y 到点()1,1-的距离最小值为2，所以r 的最小值为2考点：线性规划问题8．若实数a 、b 、c +∈R ，且2256ab ac bc a +++=-，则2a b c ++的最小值为（ ） A ．51- B ．51+C ．252+D ．252-【答案】D 【解析】因为2256ab ac bc a +++=-，所以2ab a ac bc +++()()a a b c a b =+++()()a c a b =++()262551=-=- ，所以()()()()22a b c a c a b a c a b ++=+++≥++=252-，当且仅当()()a c a b +=+时，等号成立. 故选D.点睛：本题主要考查均值不等式的灵活应用，关键是对已知等式分解为()()()2=51a c a b ++-.9．已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D 【解析】试题分析：由题意以为直径的圆与圆有公共点，则，解得．所以的最小值为1，故选D ．考点：两圆的位置关系．【名师点睛】1．两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．2．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到． 10．已知函数()1ln ax f x xe x ax -=--，21,a e ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦，函数()f x 的最小值M ，则实数M 的最小值是（） A ．1- B ．1e-C ．0D ．31e-【答案】C 【分析】求得()()11'1ax f x ax e x -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，先证明110ax e x --≤，可得当10,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()f x 单调递减，当1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，(),f x 单调递增，则()2min 1111ln f x f e a a a -⎛⎫⎛⎫=-=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设(2210,,1ln t e M t e t a -⎤-=∈=-+⎦，()()22ln 10,t h t t t e e=-+<≤可证明()h t 在(20,e ⎤⎦上单调递减，()()20h t h e ≥=，从而可得结果.【解析】 求得()()()1111111'11ax ax ax ax ax f x eaxe a e ax ax e x x x ----+⎛⎫=+--=+-=+- ⎪⎝⎭ 考察11ax y ex -=-是否有零点，令0y =， 可得1ln x a x -=，记()1ln xx xϕ-=，()2ln 2'x x xϕ-=,()x ϕ在()20,e 上递减，在()2,e +∞上递增， 所以()min x ϕ= ()2e ϕ 21e =-，即21ln 1x x e-≥-， 因为21a e ≤-,所以11ln 10ax x a e x x--≤⇔-≤， 故可知，当10,x a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()10,'0,ax f x f x +>≤单调递减， 当1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()()10,'0,ax f x f x +<≥单调递增，从而由上知()2min 1111ln f x f e a a a -⎛⎫⎛⎫=-=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 设(()222210,,1ln 10t t e M t e t lnt t e a e -⎤-=∈=-+=-+<≤⎦， 记()()()22211ln 10,'0,t h t t t e h t e e t=-+<≤=-≤()h t 在(20,e ⎤⎦上单调递减，()()20h t h e ∴≥=，M ∴的最小值为0.故选C.【点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的最值，属于难题.求函数()f x 最值步骤：(1) 求导数()f x '；(2)判断函数的单调性；(3)若函数单调递增函数或单调递减，利用单调性求最值；(4) 如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（5）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小. 11．已知函数()1f x x a =+，若存在,42ππϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()()sin cos 0f f ϕϕ+=，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,22⎛⎝⎭B ．122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】B【解析】 由题意，110sin cos aaφφ+=++ 有解∴sinφ＋a+cosφ＋a=0∴－（φ+4π） ∵φ∈（4π，2π）， ∴φ+4π∈（2π，34π），∴sin （φ+4π）∈（2，1）（φ+4π）∈（1∴-2a ∈（1∴a ∈12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭。
高一数学例析求函数值域的方法
例析求函数值域的方法某某黔江新华中学 侯建新求函数的值域常和求函数的最值问题紧密相关，是高中数学的重点和难点。
注意：求值域要先求定义域。
虽然没有固定的方法和模式，但常用的方法有：一、直接法：从自变量x 的X 围出发，推出()y f x =的取值X 围。
例1：求函数1y =的值域。
0≥11≥，∴函数1y =的值域为[1,)+∞。
二、图像法：对于二次函数在给定区间求值域问题，一般采用图像法。
例2：求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。
(开口方向；区间与对称轴的关系)三、中间变量法：函数式中含有可以确定X 围的代数式。
例3：求函数2211x y x -=+的值域。
解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为R （定义域优先原则），对函数进行变形可得 2(1)(1)y x y -=-+，∵1y ≠，（特殊情况优先原则）∴211y x y +=--（x R ∈，1y ≠）， ∴101y y +-≥-，∴11y -≤<， ∴函数2211x y x -=+的值域为{|11}y y -≤< 例4：求y=525+-x x （1≤X ≤3）的值域。
解：y ＝525+-x x ⇒ x ＝1255+-y y∵1≤X ≤3 ∴1≤1255+-y y ≤3 （怎么求解？）⇒ y ∈[112,74] 四、分离常数法：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。
例5：求函数125x y x -=+的值域。
解：（此处要先求定义域）∵177(25)112222525225x x y x x x -++-===-++++， ∵72025x ≠+，∴12y ≠-，∴函数125x y x -=+的值域为1{|}2y y ≠-。
五、换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如y ax b =+±a 、b 、c 、d 均为常数，且0a ≠）的函数常用此法求解。
求函数值域的12种方法
求函数值域的12种方法函数是中学数学的重要的基本概念之一，它与代数式、方程、不等式、三角函数、微积分等内容有着密切的联系，应用十分广泛。
函数的基础性强、概念多，其中函数的定义域、值域、奇偶性等是难点之一，是高考的常见的题型。
下面就函数的值域的求法，举例说如下。
一．观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
例1求函数y=3+√(2－3x)的值域。
点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)的值域。
解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。
∴函数的知域为.点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。
本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。
（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。
点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。
这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。
（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。
点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。
此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。
二次函数的最值和区间
二次函数的最值和区间
最值问题
对于一个二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a$、$b$、
$c$ 是实数且 $a \neq 0$。
我们可以通过求导数或配方法求出函数的
最值。
最值的判断
首先，我们来判断二次函数的最值。
如果 $a > 0$，则二次函
数开口向上，最值为最小值；如果$a < 0$，则二次函数开口向下，最值为最大值。
最值的计算
要计算二次函数的最值，可以通过以下步骤：
1. 求出顶点坐标：函数的顶点坐标为 $(h, k)$，其中 $h = -
\frac{b}{2a}$，$k = f(h)$。
2. 判断最值类型：根据 $a$ 的正负判断最值类型。
3. 计算最值：根据最值类型和顶点坐标求得最值。
区间问题
二次函数的定义域和值域也是我们需要关注的问题。
定义域
二次函数的定义域是 $x$ 的取值范围。
对于任意二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$，其定义域为实数集 $\mathbb{R}$。
值域
二次函数的值域是$y$ 的取值范围。
对于开口向上的二次函数，值域为一切大于等于顶点 $k$ 的实数。
对于开口向下的二次函数，
值域为一切小于等于顶点 $k$ 的实数。
总结
二次函数的最值和区间问题是数学中一个基础但重要的概念。
通过计算最值和确定定义域、值域，我们可以更好地理解和分析二次函数的特性和应用。
希望本文对二次函数的最值和区间问题有所帮助！。
二次函数在给定区间上的最值问题
二次函数在给定区间上的最值问题【学前思考】二次函数在闭区间上取得最值时的x ，只能是其图像的顶点的横坐标或给定区间的端点. 因此，影响二次函数在闭区间上的最值主要有三个因素：抛物线的开口方向、对称轴以及给定区间的位置. 在这三大因素中，最容易确定的是抛物线的开口方向（与二次项系数的正负有关），而关于对称轴与给定区间的位置关系的讨论是解决二次函数在给定区间上的最值问题的关键. 本节，我们将以若干实例说明解决此类问题的具体方法.【知识要点＆例题精讲】二次函数在给定区间上的最值问题，常见的有以下三种类型，分别是： Case Ⅰ、给定区间确定，对称轴位置也确定说明：此种类型是较为简单的一种，只要找到二次函数的对称轴，画出其函数图像，再将给定区间标出，那么二次函数的最值一目了然.解法：若二次函数的给定区间是确定的，其对称轴的位置也确定，则要求二次函数在给定区间上的最值，只需先考察其对称轴的横坐标是否在给定区间. （i ）当其对称轴的横坐标在给定区间时，二次函数在给定区间上不具有单调性，此时其一个最值在顶点处取得，另一个最值在离对称轴的横坐标较远的端点处取得；（ii ）当其对称轴的横坐标不在给定区间时，二次函数在给定区间上具有单调性，此时可利用二次函数的单调性确定其最值.例1、二次函数223y x x =-+在闭区间[]1,2-上的最大值是_______.例2、函数2()42f x x x =-+-在区间[]0,3上的最大值是_______，最小值是_______.例3、已知223x x ≤，则函数2()1f x x x =++的最大值是_______，最小值是______.Case Ⅱ、给定区间确定，对称轴位置变化说明：此种类型是非常重要的，是考试必考点，主要是讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，一般需要分对称轴在给定区间的左侧、部以及右侧三种情况进行分类讨论，然后根据不同情况求出相应的最值.解法：若二次函数的给定区间是确定的，而其对称轴的位置是变化的，则要求二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）在给定区间[],p q 上的最值，需对其对称轴与给定区间的位置关系进行分类讨论. 这里我们以0a >的情形进行分析： （ⅰ）若2b p a-<，即对称轴在给定区间[],p q 的左侧，则函数()f x 在给定区间[],p q 上单调递增，此时max [()]()f x f q =，min [()]()f x f p =； （ⅱ）若2b p q a ≤-≤，即对称轴在给定区间[],p q 的部，则函数()f x 在[,]2b p a-上单调递减，在[,]2b q a -上单调递增，此时min [()]()2b f x f a =-，max [()]()f x f p =或()f q ，至于最大值究竟是()f p 还是()f q ，还需通过考察对称轴与给定区间的中点的位置关系作进一步讨论：若22b p q p a +≤-<，则max [()]()f x f q =；若22p q b q a +≤-≤，则max [()]()f x f p =； （ⅲ）若2b q a->，即对称轴在给定区间[],p q 的右侧，则函数()f x 在给定区间[],p q 上单调递减，此时max [()]()f x f p =，min [()]()f x f q =. 综上可知，当0a >时，max (),22[()](),22b p q f q a f x b p q f p a +⎧-<⎪⎪=⎨+⎪-≥⎪⎩若若； min (),2[()](),22(),2b f p p a b b f x f p q a a b f q q a ⎧-<⎪⎪⎪=-≤-≤⎨⎪⎪->⎪⎩若若若.通过同样的分析可得到：当0a <时，max(),2[()](),22(),2b f p p a b b f x f p q a a b f q q a ⎧-<⎪⎪⎪=-≤-≤⎨⎪⎪->⎪⎩若若若； min (),22[()](),22b p q f q a f x b p q f p a +⎧-<⎪⎪=⎨+⎪-≥⎪⎩若若.例4、已知21x ≤且2a ≥，求函数2()3f x x ax =++的最值.例5、求函数()()f x x x a =--在区间[]1,1-上的最大值.例6、求函数2()21f x x ax =--在区间[]0,2上的最大值和最小值.例7、设函数2()f x x ax b =++（,a b R ∈），当214a b =+时，求函数()f x 在区间[]1,1-上的最小值()g a 的解析式.22222222()1()1422122()[1,1]()(1)11244122()[1,1]()(1)11244a a a f x x axb x ax x x a a f x a a g a f a a a a f x a a g a f a a =++=+++=++=--<->-=-=-++=-+-><--==+++=++函数的图像是开口向上，对称轴为直线的抛物线（i ）若,即此时函数在上单调递增于是（ii ）若,即此时函数在上单调递减于是（iii ）[解析] 2211222()[1,][,1]22()()12224()1,22224a a a a f x a g a f a a a g a a a a a -≤-≤-≤≤---=-=⎧-+>⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪++<-⎪⎩若,即此时函数在上单调递减,在上单调递增于是，综上可知，，例8、已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意的[,1]x m m ∈+，都有()0f x <成立，则实数m 的取值围是_______.Case Ⅲ、给定区间变化，对称轴位置确定说明：此种类型，考试中出现的较少，一般是给定区间里含有参数. 解决此类问题，亦可根据对称轴与给定区间的位置关系，分对称轴在给定区间的左侧、部以及右侧三种情况进行分类讨论，然后根据不同情况求出相应的最值.解法：若二次函数的给定区间是变化的，而其对称轴的位置是确定的，则要求二次函数在给定区间上的最值，需对变化区间是否包含其对称轴的横坐标进行分类讨论，分类标准为：变化区间包含其对称轴的横坐标，变化区间不包含其对称轴的横坐标. 解决方法与知识点2类似，这里不再赘述.例9、已知函数2()(1)1f x x =-+定义在区间[],1t t +（t R ∈）上，求()f x 的最小值.例10、已知函数2()23f x x x =-+，当[],1x t t ∈+（t R ∈）时，求()f x 的最大值.CaseIV 、与二次函数最值问题有关的综合题型利用二次函数在给定区间上取得最值，可以求解、证明或探究以下综合问题：（1）求函数的最值或最值的取值围；（2）求函数的解析式；（3）证明不等式；（4）求参数的取值围；（5）探究参数是否存在；……例11、设函数()221f x x ax a =+--，[]0,2x ∈，a 为常数.（I ）求()f x 的最小值()g a 的解析式；（II ）在（I ）中，是否存在最小的整数m ，使得()0g a m -≤对于任意a R ∈均成立. 若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.【解析】（I ）函数()22221()1f x x ax a x a a a =+--=+---的图像是开口向上，对称轴为直线x a =-的抛物线（i ）若0a -<，即0a >此时函数()f x 的对称轴x a =-不在区间[]0,2上，()f x 在区间[]0,2上单调递增 于是min ()[()](0)1g a f x f a ===--（ii ）若2a ->，即2a <-此时函数()f x 的对称轴x a =-不在区间[]0,2上，()f x 在区间[]0,2上单调递减 于是min ()[()](2)44133g a f x f a a a ===+--=+（iii ）若02a ≤-≤，即20a -≤≤此时函数()f x 的对称轴x a =-在区间[]0,2上，()f x 在区间[]0,a -上单调递减，在区间[],2a -上单调递增于是2min ()[()]()1g a f x f a a a ==-=---综上可知，21,0()1,2033,2a a g a a a a a a -->⎧⎪=----≤≤⎨⎪+<-⎩（II ）要使()0g a m -≤对于任意的a R ∈均成立，只需max [()]m g a ≥，a R ∀∈ 下求max [()]g a由函数()g a 的图像可见，()g a 在1(,]2-∞-上单调递增，在1[,)2-+∞上单调递减 2max 1113[()]()()()12224g a g ∴=-=-----=- 于是34m ≥- 又m Z ∈故m 的最小值为0例12、已知函数2()2f x x ax b =-+（,a b R ∈），记M 是|()|f x 在区间[0,1]上的最大值.（Ⅰ）当0b =且2M =时，求a 的值； （Ⅱ）若12M ≤，证明01a ≤≤. 【解析】（I ）函数222()2()f x x ax b x a a b =-+=--+的图像是开口向上，对称轴为直线x a =的抛物线 而函数()f x 的图像是将函数()f x 在x 轴上方的图像保持不变、把它在x 轴下方的图像翻折上去得到的（I ）当0b =时，函数222()2()f x x ax x a a =-=--（i ）若0a <此时函数()f x 的对称轴x a =不在区间[0,1]上，()f x 在区间[0,1]上单调递增于是{}{}max [()]max (0),(1)max 0,12122M f x f f a a ===-=-=122122a a ⇒-=-=-或，即12a =-（舍去32a =） （ii ）若1a >此时函数()f x 的对称轴x a =不在区间[0,1]上，()f x 在区间[0,1]上单调递减 于是{}{}max [()]max (0),(1)max 0,12122M f x f f a a ===-=-=122122a a ⇒-=-=-或，即32a =（舍去12a =-） （iii ）若01a ≤≤ 此时函数()f x 的对称轴x a =在区间[0,1]上，()f x 在区间[]0,a 上单调递减，在区间[],1a 上单调递增 于是{}{}2max [()]max (),(1)max ,122M f x f a f a a ===-=当22a =时，[0,1]a =，舍去 当122a -=时，122122a a -=-=-或⇒12a =-或32a =，均舍去 综上可知，12a =-或32a = （II ）(0)(1)12fb f a b =⎧⎨=-+⎩ 1(11(0)(11(0)(12222b f f f f f a +-+--∴===+））） 又12M ≤ 1(0)2f ∴≤，1(1)2f ≤ 11(0)22f ⇒-≤≤，11(1)22f -≤≤ 于是有1(0)(1)1f f -≤-≤ 故111(0)(11101222222f f a -=-≤=+≤+=），即[0,1]a ∈例13、（2015高考）已知函数2()f x x ax b =++（a ，b R ∈），记(,)M a b 是()f x 在区间[]1,1-上的最大值.（1）证明：当2a ≥时，(,)2M a b ≥；（2）当a ，b 满足(,)2M a b ≤时，求a b +的最大值.【分析】本题考查的知识点是二次函数在区间定、对称轴位置变化的情形下的最值问题. 解决此类问题的关键是正确理解“(,)M a b 是()f x 在区间[]1,1-上的最大值”这一条件，并结合函数图像以及三角不等式等知识。
求值域的方法,带例题
F o r p e s n a u s e o n y s u d y a n d r e s a c h n o f r c m me r c a u s e 1．直接观察法：利用常见函数的值域来求值域或者通过对函数定义域、性质或者图像的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数)0(≠=k xky 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}； 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ，当a>0时，值域为{a b ac y y 44|2-≥}；当a<0时，值域为{ab ac y y 44|2-≤}. 练习1．求下列函数的值域① y=3x+2 (-1≤x ≤1) ②x x f -+=42)( ③1+=x xy2.分离常数法：分离常数法在含有两个量（一个常量和一个变量）的关系式（不等式或方程）中，要求变量的取值范围，可以将变量和常量分离（即变量和常量各在式子的一端），从而求出变量的取值范围。
练习2.求函数11)(+-=x xe e xf 的值域。
3．有解判别法：有解判别法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，并且分子、分母，没有公因式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论例1．求函数y=1122+++-x x x x 值域解：原式可化为1)1(22+-=++x x x x y , 整理得2(1)(1)10y x y x y -+++-=， 若y=1,即2x=0,则x=0；若y ≠1,由题∆≥0， 即0)14(-)1(22≥+y-y ,解得331≤≤y 且 y ≠1.综上：值域{y|331≤≤y }.例2．求函数66522-++-=x x x x y 的值域（注意此题分子、分母有公因式，怎么求解呢？）解：把已知函数化为(2)(3)361(2)(3)33x x x y x x x x ---===--+++ (x ≠2且 x ≠-3) 由此可得 y ≠1∵ x=2时 51-=y ∴ 51-≠y∴函数66522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y ≠1且 y ≠51-}练习3（1）31(1)2x y x x +=≤- （2）221x xy x x -=-+4．二次函数在给定区间上的值域。
二次函数求最值(动轴定区间、动区间定轴)
8
6
4
2 x=1 k
2
k+2 5
当k ≥1 时 f(x) max=f(k+2)=k2+2k-3
10
15
f(x) min=f(k)=k2-2k-3
4
6
8
10
8
例: 6求函数y=x2-62x-3在x∈[k,k6+2]时的最值
（2）若x∈[ 2，4 ]，求函数f(x)的最值； 10
（3）若x∈[ 1 , 5 ]，求函数f(x)的最值； 8
2
（4）若x∈[
12, 2
3
6
2 ]，求函数f(x)的最值；
4
解：画出函数在定义域内的图像如图
对称轴为直线x=1,由图知，
15
10
5
x= 1 时有最大值 f (1) 13
2
24
x=1时有最小值f(1)=-4
当0≤ k<1时 f(x)max=f(k+2)=k2+21k0 -3
10
10
当k ≥1 时 f(x) max=f(k+2)=k2+2k-3
f(x)min=f(1)=8- 4 f(x)min=f(1)=10- 4 f(x) min=f(k)=k2-2k-3
例: 6求函数y=x2-62x-3在x∈[k,k6+2]时的最值
k
2
2
2
2
1105
k+2
4
4
4
4
6
6
6
6
8
求解二次函数在区间上最值的思维方法
根． ６ ． 所以 “ 得 —１ ， 一 寺． ｆ ｚ 的解析式为 故 （）
厂（ 一 一 百 ２ ） １ ＋
．
解 １ 证明由｛ （）
。
，
消去Ｙ得
鞯 化
口 ｚ ＋ ２ ｘ十 ｃ ０， ｂ 一
△一 ４ 。 ４ 一 ４（ ｎ— ｃ 一 ４ ＝ ｂ 一 ａｃ 一 ） ａｃ
置关 系 的合理 分类 的方 法． １ 挖 掘 隐含 条件确 定 整体 变 量范 围化 归 二次 函数 区 间上 的最 值
＋ 一一寺 （ １ ＋１ ｔ ） ． －
因为 ￡ ， 以 ≤１ 即值域 为 （ ０，］ ≥Ｏ 所 ， 一Ｏ １ ．
≥ ，例 １ 已知二次函数 ｆ ｘ 一ｎ 。 ｘ（ ， 为常 （ ） ＋ｂ 口 ６
又具 有 丰 富 的 内涵 和 外 延 ． 为最 基 本 的 初 等 函数 ， 作 可 以 以它 为素 材 来 研 究 函数 的单 调 性 、 偶 性 、 值 奇 最
等性 质 ， 可建 立起 函数 、 程 、 等 式之 间 的有 机联 还 方 不
二 例 ２ 求 函数 —ｚ ／ —２ ＋、一 ｚ的值域 ． ／ １
（ ）挖掘 隐含 条件 ， ２ 根据 抛物 线 （ ） 一 ｚ一
ｚ ＋
的对称 轴 ｚ一１在 区间 Ｅ 的值 域为 Ｅｍ， ， ｍ，］ ３ ３ ］ 而
（一 吉 ＋： ｘ１＋ 吉 一 ｚ一－一） １ ） 专 ～ （ １ ，
ｆ ＜ ，
则≤ ＜吉是 ｛ ，，，） 。 ２ 于厂 ≤
，
４２ｎ ｃ一Ｅ＋ ） （＋ｃ 。 ４ｎ专。 ｃ． ａ ＋） （ ＋ ］
因 （ 吉。ｏ ｃ ０ 以 ＞，２ 为 ＋ ） 丢 ＞， △０ 个 ｎ ＞ 所 即
二次分式函数值域的求法
５
．・．ｏ＜瓦暑而≤｛，
・’・ｏ＜百蒜≤专，
求函数，，＝掣（一１≤茗≤１）的值
即ｏ＜，，≤百１，所以函数值域为（ｏ，专］。
方法三（化二次函数法） 对函数进行变量分 离，转化为二次函数定轴定区间问题。
解：ｙ＝［（２一菇）＋去］一ｌ，
令ｔ＝２一茗，－ｏＯ一１≤聋≤１，．・．１≤ｔ≤３，
・．。Ｙ＝人ｔ）在［３，４］上为增函数，
性质，由茗的范围逐步求出，，的范围。
管一 ，ｆ １
例２求函数），２≯赢４－４－的值域。
解：Ｙ２万去ｉ２百焉砀
・．‘（髫＋１）２＋４≥４。
．・．），血＝以３）＝号，ｙ一＝“４）＝５。 所以函数值域为［号，５］。
方法五（利用最值定理法）对函数进行变量分
离，化为勾形函数ｙ＝似＋÷（口＞ｏ，ｂ＞ｏ），再利用
例３求函数ｙ＝≯ｘｚ了＋而６ｘ－４４－／１４．（茗≥１）的值域。
ｆ。．■４公
则，，：以１）：¨４。一１（１≤ｆ≤３），
解：ｙ＝万ｘ２＋忑６ｘｉ－４
一【查±２２１±至ｆ苎±２２＝１２
（善＋２）２
．・．ｙ≥√ｔ・÷一ｌ＝３，
当且仅当ｔ：｛，ｌ＝２，即互＝０时，，，血＝３。 又以１）：４。以３）：等’．．．，，一：４。
本文链接：Байду номын сангаасPeriodical_styyj-kc201003041.aspx
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ＳＨＩＴＩＹＵＹＡＮＪ Ｉ Ｕ
考试指导 ４５
函数是高中数学教学中最核心的内容，求函数 的值域又是函数教学中的核心内容不同类型的函数 求值域的方法也是不同的，本文专就二次分式函数 值域的求法作一些探讨，供参考。 方法一（判别式法）将二次分式函数转化为一 元二次方程的形式，利用根的判别式求函数的值域。
求函数值域的几种常见方法详解
求函数值域的几种常见方法1.直接法:利用常见函数的值域来求。
一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R,值域为R; 反比例函数)0(≠=k xky 的定义域为{x|x ≠0},值域为{y|y ≠0}; 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R,当a>0时,值域为{a y y 4|2≥};当a<0时,值域为{ay y 4|2}、 例1.求下列函数的值域① y=3x+2 (-1≤x ≤1) ②x x f -+=42)( ③1+=x xy 解:①∵-1≤x ≤1,∴-3≤3x ≤3,∴-1≤3x+2≤5,即-1≤y ≤5,∴值域就是[-1,5] ②∵),0[4+∞∈-x ∴),2[)(+∞∈x f即函数x x f -+=42)(的值域就是 { y| y ≥2}③1111111+-=+-+=+=x x x x x y ∵011≠+x ∴1≠y 即函数的值域就是 { y| y ∈R 且y ≠1}(此法亦称分离常数法)(思考:如何使用口算法？) 2.二次函数在给定区间上的值域(最值)。
例2. 求下列函数的最大值、最小值与值域:①142+-=x x y ; ②]4,3[,142∈+-=x x x y ; ③]1,0[,142∈+-=x x x y ; ④]5,0[,142∈+-=x x x y ; 解:①∵抛物线的开口向上,对称轴2x =,函数的定义域R, ∴x=2时,y min =-3 ,∴函数的值域就是{y|y ≥-3 }、②∵抛物线的开口向上,对称轴2x =∉ [3,4],此时142+-=x x y 在[3,4]Z∴当x=3时,min y =-2 当x=4时,m ax y =1 ∴值域为[-2,1]、③∵抛物线的开口向上,对称轴2x =∉ [0,1], 此时142+-=x x y 在[0,1] ]∴当x=0时,m ax y =1 当x =1时,min y =-2 ∴值域为[-2,1]、④∵抛物线的开口向上,对称轴2x =∈ [0,5],∴当x=2时,m in y =-3 当 x=5时,m ax y =6(思考:为什么这里直接就说当 x=5时,m ax y =6,而不去考虑x=0对应的函数值情况？答:因为观察图像可知x=5离对称轴较远,其函数值比x=0对应的函数值大)∴值域为[-3,6]、注:对于二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f , ⑴若定义域为R 时, ①当a>0时,则当a bx 2-=时,其最小值ab ac y 442min -=; ②当a<0时,则当a b x 2-=时,其最大值ab ac y 442max -=、 ⑵若定义域为x ∈ [a,b],则应首先判定其对称轴abx 2-=就是否属于区间[a,b]、 ①若2b a -∈[a,b],则()2bf a -就是函数的最小值(a>0)时或最大值(a<0)时,再比较)(),(b f a f 的大小决定函数的最大(小)值、②若2ba-∉[a,b],则[a,b]就是在)(x f 的单调区间内,只需比较)(),(b f a f 的大小即可决定函数的最大(小)值、注:①若给定区间不就是闭区间,则可能得不到最大(小)值;②当顶点横坐标就是字母时,则应根据其对应区间特别就是区间两端点的位置关系进行讨论、 3.有解判别法:有解判别法一般用于分式函数,其分子或分母只能为二次式,并且分子、分母,没有公因式,解题中要注意二次项系数就是否为0的讨论例3.求函数y=1122+++-x x x x 值域解:原式可化为1)1(22+-=++x x x x y , 整理得2(1)(1)10y x y x y -+++-=, 若y=1,即2x=0,则x=0; 若y ≠1,由题∆≥0, 即0)14(-)1(22≥+y-y , 解得331≤≤y 且 y ≠1、 综上:值域{y|331≤≤y }、 例4.求函数66522-++-=x x x x y 的值域(注意此题分子、分母有公因式,怎么求解呢？)解:把已知函数化为(2)(3)361(2)(3)33x x x y x x x x ---===--+++ (x ≠2且 x ≠-3) 由此可得 y ≠1∵ x=2时 51-=y ∴ 51-≠y ∴函数66522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y ≠1且 y ≠51-}说明:此法就是利用方程思想来处理函数问题,一般称有解判别法、一般用于分式函数,其分子或分母只能为二次式并且分子、分母,没有公因式、解题中要注意二次项系数就是否为0的讨论、 4.换元法例5.求函数x x y -+=142的值域解:设 x t -=1 则 t ≥0 x=1-2t代入得 t t t f y 4)1(2)(2+-⋅==2242t t =-++开口向下,对称轴1t =[0,)∈+∞ ∴1t =时,max (1)4y f == ∴值域为(,4]-∞ 5.分段函数例6.求函数y=|x+1|+|x-2|的值域、解:将函数化为分段函数形式:21(2)3(12)21(1)x x y x x x ⎧-≥⎪=-≤<⎨⎪-+<-⎩,画出它的图象(下图),由图象可知,函数的值域就是{y|y ≥3}、说明:以上就是求函数值域常用的一些方法(观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等),随着知识的不断学习与经验的不断积累,还有如不等式法、三角代换法等、有的题可以用多种方法求解,有的题用某种方法求解比较简捷,同学们要通过不断实践,熟悉与掌握各种解法,并在解题中尽量采用简捷解法、 ★练习:1、34252+-=x x y答案:值域就是{05}y y <≤、 2、求函数的值域①x x y -+=2;②y x =+答案:值域就是(-∞,49]、 答案:值域就是{2}y y ≥- 小结:求函数值域的基本方法(直接法、换元法、判别式法);二次函数值域(最值)或二次函数在某一给定区间上的值域(最值)的求法、。
二次函数在给定闭区间上的最值(值域)求法
树一帜的深刻性 、 独创 性 思 维 ， 能 构 造 出 函数 原 型 ， 归 为 才 化 方 程 的 问题 ， 现 函数 与 方 程 的互 相 转 化 接 轨 ， 到 解 决 问 题 实 达 的 目的 。函 数 知 识 涉 及 到 的知 识 点 多 、 广 ， 概 念 性 、 用 面 在 应 性 、 解 性 上 能达 到 一 定 的 要 求 ， 利 于 检 测 学 生 的， 刻 性 、 理 有 深 独 创性 思 维 。 ２数 形 结 合 的 思 想方 法 。 ． 数形 结 合 的 思 想 ，其 实 质 是将 抽 象 的数 学 语 言 与 直 观 的 图 形结 合 起 来 ， 抽 象 思 维 和 形 象 思 维 结 合 ， 过 对 图 形 的 认 使 通 识 ， 形 结 合 的转 化 ， 养 思维 的灵 活性 、 象 性 ， 问 题 化 难 数 培 形 使 为 易 ． 抽 象 为具 体 。 化
３ 分 类 讨 论 的 思 想 方 法 ．
围为 函数ａ 二 一 ｘ ４ 一 ３一 的值 域 。 据 基本 不 等式 上 式 ａ ２ ４ 根 ≤一 — —
３ ｘ
８ 。则思维突破 常规 ， 用函数 与方程 的转 化 ， 法灵活 简捷 。 利 解 ２ 用数 学 思想 方 法指 导 解题 练 习 ，在 问题 解 决 中运 用 思 ． 想方 法 。 高 学 生 自觉运 用数 学思 想 方 法 的 意识 。 提 （ ） 意 分 析 探 求 解 题 思 路 时 数 学 思 想 方 法 的 运 用 。解 １注 题 的过 程 就 是 在 数 学 思 想 的 指 导 下 ， 理 联 想 、 取 相 关 知 合 提 识 ， 用 一 定 数 学 方 法 加 工 、 理题 设 条 件 及 知 识 ， 步 缩 小 调 处 逐 题 设 与题 断 间 的差 异 的过 程 。也 可 以说 是 运 用 化 归 思想 的过 程 ． 题 思想 的 寻求 就 自然 是 运 用 思 想 方 法 分 析解 决 问 题 的 解 过程。 （ ） 数 学 思 想 指 导 知 识 、 法 的 灵 活 运 用 ， 行 一 题 多 ２用 方 进 解的练习． 培养 思 维 的发 散 性 ， 活 性 ， 灵 敏捷 性 ； 习 题灵 活变 对 通 ， 申推 广 ， 养思 维 的深 刻 性 、 引 培 抽象 性 ； 织 引 导 对解 法 的 组 简 捷 性 的反 思 评 估 ， 断优 化 思 维 品 质 ， 养 思 维 的严 谨 性 、 不 培 批 判性 。 同一 数 学 问题 的多 角 度 的 审视 引 发 的 不 同联 想 ， 对 是 题 多解 的思 维 本 源 。 丰 富 的 、 理 的联 想 ， 对 知 识 的深 刻 合 是 理解 ， 以及 类 比 、 化 、 形 结 合 、 转 数 函数 与 方 程 等 数 学 思想 运 用 的必 然 。数 学 方 法 、数学 思 想 的 自觉 运 用 往 往 使 我 们运 算 简 捷 、 理 机 敏 ， 提 高数 学 能 力 的 必 由之 路 。 推 是 二 、 中 数 学 中常 用 的 思想 方 法 分 类 高
二次函数的值域问题
([-3，32])
(2). f(x)=-x2+4x+5(x∈[1,4]); ([5,9])
2、 函数y x2 4x 2在区间3,5上的最小值为 -2
3.函数f(x)=x2-2x+3在闭区间[0,m]上有最大 值3,最小值2,求m的取值范围. ([1,2])
五、布置作业：
1.求f(x)=x2-4x+6,-2x-3,求x在下列范围内函数的值域.
(1)x∈R (2)0<x<3 (3)-2≤x≤0
解:配方得: y=(x-1)2-4
(1) ∵x∈R
(4)3<x<4
y
∴y≥-4
∴值域为[-4,+∞)
(2) ∵0<x<3
∴值域为[-4,0) (3) ∵-2≤x≤0
-1 O 1 3
x
∴值域为[-3,5]
,
＋∞)单调递减
最值
最小值为 4ac-b2
4a
最大值为 4ac-b2
4a
例1.在下列条件下求函数y x2 2x 3的值域
(1)x R (2)x (2, 3]
(3)x [0, 3) (4)x (1, 0]
从图象上观察得到当x R 时,值域为（-，4]
x (2, 3] 时,值域为0, 3
当x [0, 3)时,值域为(0, 4] 当x (1, 0]时,值域为(0, 3]
2.已知二次函数f(x)的图象的对称轴为x=x0,它在 ［a,b］上的值域为[f(b),f(a)],则( )
A. x0 b
B. x0 a
C.x0∈[a,b]
D.x0 [a,b]
3.函数y=x2+2(a-1)x+2的最小值为2,求a的值.
二次函数在给定区间上的值域
4y
(1,4)
3
2
1
-1
x
1234源自解：由图象观测得当x∈[2,3] 时，函数单调递减
∴ x=2 y =3 ; x=3 y =0
max
min
∴y ∈[0,3]
小结:如果给定区间不包含对称轴,则该区间为
单调区间,最值在两个端点处取得.
例2 当x [- 1 ,2]，求函数y x2 2x 3的值域 2
4y
(1,4)
3
2
1
-1
x
1
2
3
4
解： 由图象观测得当x [ 1 , 2]时，包含对称轴
2
当x=1
y max
4
端点x
1 到对称轴的距离较远 x 2
1 2
ymin
9 4
y [9 , 4] 小结:如果给定区4 间不包含对称轴,则该区间不是单
调区间,那么一定有一个最值在对称轴处取得,另一 最值在离对称轴较远的一个端点处取得.
住二次函数图象的开口方向，对称轴及定义区
间，应用数形结合法求解。
思考讨论：
1 、已知函数f(x)=x2+2ax+1 在区间[-1，2]上的最 大值为4，求a的值。
2 、求函数f(x)=x2+ax+3在[0，1]上最值
3 、求函数y=-x(x-a)在x∈[-1,a]上的最大值
例3 求函数y=x2-2x+3在区间[0，a]上的最
值，并求此时x的值。
解:函数图象的对称轴为直线x=1,抛物线开口向上 1.当0<a≤1时，函数在[0，a]上单调递减，
∴当x=0时，ymax=3;当x=a时，ymin=a2-2a+3
二次函数的值域
当 a 0 ，即 a 0时， 2 ymax f (1) a 4 ymin f (0) 3
例3、求 f (x) x2 ax 3
0 x 1
在
xa 2
01 1 2
图（3）
3、由图（3）得：
当 0 a 1 ，即 1 a 时0，
22
ymax f (1) a 4
设计意图：利用简单的原理解决复杂的问题
三、定函数动区间的二次函数的值域
例2 求函数y=x2-2x+3在区间[0，a]上的最 值，并求此时x的值。
解:函数图象的对称轴为直线x=1,抛物线开口向 上1.当0<a≤1时，函数在[0，a]上单调递减，
y
∴当x=0时，ymax=3 当x=a时，ymin=a2-2a+3 3
值域为 , 4
另外也可以从函数的图象上去理解。
2 1
-1 0 -1
123
A(
b
4ac b2
,
)
2a 4a
2
A(
b
4ac b2
,
)
2a 4a
1
-1 0 -1
123
二、定义域不为R的二次函数的值域
例1、 当x∈(2,3] 时, 求函数 y x2 2 x 3 的值域
从图象上观察得到当x (2, 3] 时y [0, 3 4 y (1,4)
递增,
∴当x=1时,ymin=2 当x=0时，ymax=3
3 2
o 1 2x a
例2 求函数y=x2-2x+3在区间[0，a]上的最 值，并求此时x的值。
解:函数图象的对称轴为直线x=1,抛物线开口向上
1.当a≤1时，函数在[0，a]上单调递减，
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作业与探索
探索：
求函数y=6x- 3x-1 的值域
作业：
2 f ( x ) x 2x 2 已知函数 f ( x) x t , t 时，求函数 1 当 的最大值与最小值？
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画板
定轴动区间上的值域
2 f ( x ) x 2x 2 已知函数 f ( x) x t , t 时，求函数 1 当 的最大值与最小值？
由同学们自己 写出解题过程
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画板
探索与反思
探索解法 考察对称轴x=？与 区间相对位置关系 ⑴左⑵中⑶右， 画图解之 反思数学思想的应用 解此类题用了 哪些数学思想
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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二次函数在R上的值域和图像
求下列函数的值域、最值.
① f ( x) x 4x 3
2
1 2 ② f ( x) x 4 x 3 3
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画板
定轴定区间上的值域
㈠求函数f(x)= x2+2x-4在下列条件下的值域 ⑴x∈[-4,-2],⑵x∈[-3,2]⑶x∈[0,3]
y
X=a
0
y
1 2 3 x
X=a
3、当2 a 3时，
4、当3 a时，
0
y f ( x ) max f (1) a 2 2a 3
0
1 2 3 x
X=a
f ( x ) max f (1) a 2a 3 y
2
1 2 3 x
X=a
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0
1 2 3 x
综上可知：
画板演示
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画板
动轴定区间上的值域
已知函数 f ( x) x 2ax a 2 当 x 1,3 时，求函数的最大值.
2 2
解：f
( x) x 2ax a 2 ( x a) 2
2 2 2
对称轴为x a.
（画板演示）
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画板
1、当a 1时. f ( x) max f (3) a 2 6a 11 2、当 1 a 2时. f ( x) max f (3) a 2 6a 11
2
y
X=a
f ( x) max
0 ( a 2 ) y a 6a 11 2 a 2a 3 (2 a) 0
3 x 1 2 X=a
已知函数 f ( x) x 2ax a 2 当 x 1,3 时，求函数的最小值.
2 2
1 2 3 x
会吗？
（画板演示）
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