高中数学抛物线焦点弦的有关结论附答案
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[很全]抛物线焦点弦的有关结论
知识点1:若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦。设(),,11y x A ()22,y x B ,则
(1)4
2
21p x x =;(2)221p y y -=
证明:如图,
(1)若AB 的斜率不存在时,
依题意,2
21p
x x ==4221p x x =∴
若AB 的斜率存在时,设为,k 则⎭ ⎝
⎛
=2:k y AB
()
04222222
222
2=++-⇒=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-p k px k x k px p x k
.4221p x x =∴ 综上:.4
2
21p x x =
(2)p y x p y x 2,22
22211== ,,22142
221p y y p y y ±=⇒=∴
但22121,0p y y y y -=∴< (2)另证:设2
:p
my x AB +
=与px y 22=联立,得22122,02p y y p pmy y -=∴=-- 知识点2:若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦。设(),,11y x A ()22,y x B ,则(1);21p x x AB ++=(2)设直线AB 的倾斜角为α证明:(1)由抛物线的定义知
,2
,221p
x BF p x AF +=+=
p x x BF AF AB ++=+=∴21 (2)若,2,90210p x x =
==则α由(1)知2p AB ==若px y p x k y AB 2,2:,9020=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=≠与设α联立,得
()
04222222
222
2
=++-⇒=⎪⎭⎫ ⎝
⎛-p k px k x k px p x k
(),22221k k p x x +=+∴()
22211
2k k p p x x AB +=++=∴,而αtan =k ,
()
α
αα2
22sin 2tan tan 12p
p AB =+=∴ 知识点3:若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦,则以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。
证明:过点B A 、,11B A 、过AB 中点M 向准线引垂线,垂足为,N 设以AB 为直径的圆的半径为,r
.
2211r MN MN BB AA BF AF AB r =∴=+=+==
∴以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。
知识点4:若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点的准线引垂线,垂足分别为,11B A 、则0
1190=∠FB A 。
证明借助于平行线和等腰三角形容易证明
知识点5:若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点x 轴相交于点K ,则.BKF AKF ∠=∠
证明:过点B A 、分别作准线的垂线,垂足分别为11////BB KF AA
B B BF A A AF FB AF K B K A 1111,===∴而 B B A A K B K A 1111=∴
B
B K
B A A K A 1111=∴,而01190=∠=∠K BB K AA K AA 1∆∴∽K BB 1∆ KB B KA A 11∠=∠∴ BKF AKF ∠=∠∴
知识点6:若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦,o 为抛物线的顶点,连接
AO 并延长交该抛物线的准线于点,C 则.//OF BC
证明:设(),,11y x A ()22,y x B ,则
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∴=1111
2,2,:x p y p C x x y y AB 1
2
2
1
111222y p p
y p y x p y y C -=⋅-=-=∴ 由知识点1知2
21p y y -= 22
22
y y p p y C =--=∴ OF BC //∴ 逆定理:若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦,过点B 作OF BC //交抛物线准线于点,C 则O C A 、、三点共线。
证明略
知识点7:若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F .211p
n m =+ 证法:(1)若x AB ⊥轴,则AB 为通径,而,2p AB =
p n m ==∴ ∴
.2
11p
n m =+ (2)若AB 与x 轴不垂直,设(),,11y x A ()22,y x B ,AB 的斜率为k ,则⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=2:p x k y l 与
px y 22=联立,得()
04222222
222
2=++-⇒=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-p k px k x k px p x k
()
,22
221k
k p x x +=+∴.42
21p x x = 由抛物线的定义知2
,221p
x BF n p x AF m +==+
==
∴
()p p
x x p x x p x x mn
n m n m 2
4
2112
212121=+
++++=+=+ 知识点8:已知抛物线()022>=p px y 中,AB 为其过焦点F 的弦,,,n BF m AF ==则
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=∆n m m n p S AOB
4
2
证明:设,θ=∠AFx 则
BOF AOF AOB S S S ∆∆∆+=
()()θθ
θπsin 4
sin 221sin 221n m p
p
m p +=⋅⋅+-⋅⋅=
而mn p p mn p n p m 2
2
2sin ,sin ,cos 1,cos 1=∴=∴+=-=θθ
θθ ().4422⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+=+=∴∆n m m n p mn p n m p S AOB
逆定理:已知抛物线()022>=p px y 中,AB 为其弦且与x 轴相交于点M ,若
,,n BM m AM ==且,4
2⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+=∆n m m n p S AOB
则弦AB 过焦点。 证明:设(),,11y x A ()22,y x B ,,θ=∠AMx ()0,t M ,则
BOM AOM AOB S S S ∆∆∆+==()()θθθπsin 2
1
sin 21sin 21t n m tn tm +=+-
而,sin ,sin 21n
y m
y =
=
θθ mn
y y 2
12sin -=
∴θ mn y y 21sin -=
∴θ ()()21212121
y y t mn n m mn y y t n m S AOB -+=-+=∴∆ 而()2214
22
p mn n m n m m n p S AOB
+=⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+=∆ 2221p y y t =-∴①