青岛五十八中高一数学下学期月考试题
2023-2024学年山东省青岛高一下学期4月月考数学质量检测模拟试题(含答案)
2023-2024学年山东省青岛高一下册4月月考数学模拟试题一、单选题1．sin 40sin 50cos 40cos50︒︒-︒︒等于（）A ．1-B ．1C ．0D ．cos10-︒【正确答案】C【分析】根据两角和的余弦公式即可求解.【详解】由两角和的余弦公式得：()()sin 40sin 50cos 40cos50cos 40cos50sin 40sin 50cos 4050cos900︒︒-︒︒=-︒︒-︒︒=-+=-= 故选：C2．如图，在ABC 中，D 为AB 的中点，E 为CD 的中点，设AB a= ，AC b = ，以向量a ，b 为基底，则向量AE =（）A ．1124a b+ B ．12a b+C ．12a b+r r D ．1142a b+ 【正确答案】D【分析】利用向量的加减法运算法则，化简求解即可.【详解】因为E 为CD 的中点，则()12=+ AE AD AC .因为D 为AB 的中点，则12AD AB =.所以11114242=+=+ AE AB AC a b .故选：D.3．若复数z 满足2(1i)34i z +=+，则在复平面内z 的共阨复数所对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【正确答案】A【分析】根据复数除法计算出z ，再根据共轭复数定义得出z ，最后确定对应点在复数平面的位置即可．【详解】由2(1i)34i z +=+，得()()234i i 34i 34i 43i 32i (1i)2i 222z +⨯-++-=====-+，所以32i 2z =+，则其在复平面内其所对应的点为32,2⎛⎫⎪⎝⎭，位于第一象限．故选：A ．4．已知一个正三棱锥的高为3，如下图是其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图，其中O '为B C ''的中点，2O A ''=，则此正三棱锥的体积为（）AB ．C ．4D ．4【正确答案】A【分析】根据斜二测画法的知识，求出三棱锥的底面面积，再根据三棱锥的体积公式即可求解.【详解】由于O '为B C ''的中点且2O A ''=，所以2B C ''=，根据斜二测画法的知识可知，正三棱锥的底面等边三角形的边长为2，其面积为224⨯=，所以正三棱锥的体积为133=故选：A ．本题考查了斜二测画法的相关知识、锥体的体积公式，考查了基本运算能力，属于基础题.5．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则角A 的值为（）A ．π3B ．π6C ．π4D ．π2【正确答案】D【分析】根据已知条件，结合正弦定理，求出sin A ，再结合角A 的取值范围，即可求解.【详解】在ABC 中，cos cos sin b C c B a A += ，由正弦定理可得2sin cos sin cos sin B C C B A +=，所以()2sin sin B C A +=，即2sin sin A A =，因为sin 0A ≠，所以sin 1A =，因为()0,πA ∈，所以π2A =.故选：D.6．如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°，从C 点测得∠MCA ＝60°，已知山高BC ＝100m ，则山高MN ＝（）A ．150mB ．m C ．m D ．m【正确答案】A【分析】根据C 点的仰角∠CAB ＝45°，山高BC ＝100m ，可求出AC ，正弦定理求出AM ，在三角形MAN 中即可解出山高.【详解】由题意∠CAB ＝45°，BC ＝100m ，三角形ABC为直角三角形，可得AC =，在MCA △中，∠MAC ＝75°，∠MCA ＝60°，则∠AMC ＝45°，由正弦定理有：sin sin AM AMC AC MCA ⋅∠=⋅∠，即sin 45sin 60AM AC ⋅=⋅ ，故AM =，在直角三角形MAN 中，60MAN ∠= ，可得sin 60150MN == （m ）故选：A7．在平行四边形ABCD 中，||6,||4AB AD == ．若点,M N 满足3,2BM MC DN NC == ，则AM NM ⋅的值为（）A ．6B ．9C ．20D ．36【正确答案】B【分析】先利用平面向量的线性运算求出,AM NM，再利用平面向量的数量积公式求解.【详解】由题得34AM AB BM AB =+=+，1134NM NC CM AB AD =+=- ，22311131336169434316316AM NM AB AD AB AD AB AD ⎛⎫⎛⎫∴=+-=-=⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：B8．已知非零平面向量a ，b ，c 满足2a = ，1b c -= ，若a 与b 的夹角为π3，则a c - 的最小值为（）A 31B 3C 31D ．32【正确答案】A【分析】解法一利用绝对值三角不等式得到1a c a b -≥--，然后求a b -r r 的最小值即可；解法二设OA a = ，OB b = ，OC c =，易得1BC = ，则C 的轨迹是以B 为圆心，半径为1的圆，连接AB ，然后又A ，C ，B 三点共线且C 在A ，B 中间时，a c -取得最小值求解.【详解】解法一由题可得，1a c a b b c a b b c a b -=-+-≥---=--，所以要求a c -的最小值，需求a b -r r 的最小值.因为2a = ，a 与b 的夹角为π3，所以a b -r r 的最小值为πsin 33a = 所以131a c ab -≥--≥-，即a c - 31，解法二如图，设OA a = ，OB b = ，OC c = ，则c b BC -= ，a c CA -= .由1b c c b -=-=，知1BC = ，点C 的轨迹是以B 为圆心，半径为1的圆，连接AB ，结合图形可知，当A ，C ，B 三点共线且C 在A ，B 中间时，a c -取得最小值.由正弦定理得：πsin sin 3AB OAOBA =∠，所以AB =故a c -1.故选：A关键点点睛：本题关键是根据a 与b 的夹角为π3，由a b -r r 的最小值为πsin 3a 而得解.二、多选题9．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R 相等，下列结论正确的是（）A ．圆柱的侧面积为22πR B2R C ．圆柱的侧面积与球面面积相等D ．圆锥的表面积最小【正确答案】BCD【分析】根据球、圆锥、圆柱的表面积公式一一计算可得；【详解】解：依题意球的表面积为24πR ，圆柱的侧面积为22π24πR R R ⨯⨯=，所以A 不正确，C 选项正确．圆锥的侧面积为2πR R ⨯=，所以B选项正确．圆锥的表面积为(2222π1π4πR R R R =+<，圆柱的表面积为2224π2π6πR R R +=，所以D 选项正确．故选：BCD.10．下列命题中，正确的是（）A ．在ABC ∆中，AB >，sin sin A B∴>B ．在锐角ABC ∆中，不等式sin cos A B >恒成立C ．在ABC ∆中，若cos cos a A b B =，则ABC ∆必是等腰直角三角形D ．在ABC ∆中，若060B =，2b ac =，则ABC ∆必是等边三角形【正确答案】ABD对于选项A 在ABC ∆中，由正弦定理可得sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，即可判断出正误；对于选项B 在锐角ABC ∆中，由022A B ππ>>->，可得sin sin()cos 2A B B π>-=，即可判断出正误；对于选项C 在ABC ∆中，由cos cos a A b B =，利用正弦定理可得：sin 2sin 2A B =，得到22A B =或222A B π=-即可判断出正误；对于选项D 在ABC ∆中，利用余弦定理可得：2222cos b a c ac B =+-，代入已知可得a c =，又60B =︒，即可得到ABC ∆的形状，即可判断出正误.【详解】对于A ，由A B >，可得：a b >，利用正弦定理可得：sin sin A B >，正确；对于B ，在锐角ABC ∆中，A ，(0,2B π∈，2A B π+>，∴022A B ππ>>->，sin sin()cos 2A B B π∴>-=，因此不等式sin cos A B >恒成立，正确；对于C ，在ABC ∆中，由cos cos a A b B =，利用正弦定理可得：sin cos sin cos A A B B =，sin 2sin 2A B ∴=，A ，(0,)B π∈，22A B ∴=或222A B π=-，A B ∴=或2A B π+=，ABC ∆∴是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，C 错误.对于D ，由于060B =，2b ac =，由余弦定理可得：222b ac a c ac ==+-，可得2()0a c -=，解得a c =，可得60A C B ===︒，故正确.故选.ABD本题考查正弦定理与余弦定理及三角形边角关系，主要涉及的考点是三角形内角的诱导公式的应用，同时考查正弦定理进行边角转化，属于中等题.11．设1z ，2z ，3z 为复数，且10z ≠，下列命题中正确的是（）A ．若1213z z z z =，则23z z =B ．若1213z z z z =，则23z z =±C ．若3323z z =，则23z z =D ．若2121z z z =，则12z z =【正确答案】AD【分析】由1213z z z z =得()1230z z z -=，即可判断A ；由1213z z z z =得23z z =，举例说明即可判断B ；由3323z z =得332223232233()()0z z z z z z z z -=-++=，举例说明即可判断C ；由2121z z z =得222121i iz a b z a b z a b +===-+，即可判断D.【详解】A ：由1213z z z z =，得()1230z z z -=，∵10z ≠，∴230z z -=，∴23z z =，故A 正确；B ：由1213z z z z =，得1213z z z z =，∴23z z =，例如12i 12i -=+=而12i 12i +≠-，12i 12i +≠-+，即23z z ≠±，故B 错误；C ：由3323z z =，得332223232233()()0z z z z z z z z -=-++=，当3211,22z z -+==时，2222330z z z z ++=，此时23z z ≠，故C 错误；D ：因为2121z z z =，令1i z a b =+(,R a b ∈),∴()()2222212221i i i a b a b z a b z a b z a b a b +-+====-++，则12z z =，故D 正确.故选：AD.12．已知函数()()cos (0,)2f x x πωϕωϕ=+><的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（）A ．4πϕ=-B ．f （x ）的最小正周期为2C ．将f （x ）的图像向右平移1个单位长度，得到函数5cos()4y x ππ=-的图像D ．若f （x ）在区间[2，t ]上的值域为[－1，2]，则t 的取值范围为[114，72]【正确答案】BD【分析】根据图像求出解析式，然后根据三角函数的知识逐一判断即可.【详解】由图像可得()0cos 2f ϕ==，因为2πϕ<，所以4πϕ=±又因为0x =属于()f x 的单调递减区间，0ω>，所以4πϕ=，故A 错误，因为()302f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以33cos 1444f πω⎛⎫⎛⎫=⋅+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，322T T<<所以可得ωπ=，即()cos 4f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以2T =，故B 正确，将f （x ）的图像向右平移1个单位长度，得到函数()3cos 1cos()44y x x ππππ⎡⎤=-+=-⎢⎥⎣⎦的图像，故C 错误，当[]2,x t ∈时，9,444x t πππππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，若值域为22⎡-⎢⎣⎦，则153,44t ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，解得117,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故D 正确，故选：BD 三、填空题13．复数232i i i z =++（i 为虚数单位），则|z|的值为______．【分析】先化简z ,再带入模长公式z =即可求解.【详解】因为2i 1i 1i z =--=-+,所以z =故答案为.14．在梯形ABCD 中，AB AD ⊥，//AD BC ，222BC AD AB ===.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体的体积为________.【正确答案】53π画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可．【详解】由题意可知几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为1，高为2的圆柱，挖去一个相同底面高为1的倒圆锥，几何体的体积为：2215121133πππ⋅⋅-⋅⋅⋅=．故53π．本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．画出几何体的直观图是解题的关键．15．若||1a = ,||2b = ,a ,b 的夹角为60，若()()35a b ma b +⊥- ，则m 的值为________．【正确答案】23##2.8758【分析】根据()()35a b ma b +⋅-0=，结合平面向量数量积的定义可求出结果.【详解】由题意知,()()35a b ma b +⋅- ()223||535||0m a m a b b =+-⋅-=，即()3532cos 60540m m +-⨯⨯-⨯=，解得238m =.故答案为.23816．如图在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是___________．【详解】如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得sin sin BC BEE C=∠∠，即oo 2sin 30sin 75BE =，解得BE AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在△BCF 中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，sin sin BF BCFCB BFC =∠∠，即o o 2sin 30sin 75BF =，解得AB正余弦定理；数形结合思想四、解答题17．已知4a =，向量(b =- ．(1)若向量a b∥，求向量a 的坐标；(2)若向量a 与向量b的夹角为120°，求a b -r r ．【正确答案】(1)(2,a =- 或(2,-(2)a b -=【分析】（1）由4a = ，设(),a x y =r ，有2216x y +=，再根据a b∥0y +=，最后解方程即可；（2）先求a b ⋅，再求()2a b - 后可求解.【详解】（1）由4a = ，设(),a x y =r，∴2216x y +=，∵a b ∥0y +=，解得2xy =⎧⎪⎨=-⎪⎩2x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩所以(2,a =-或(2,-．（2）∵4a = ，2b = ，,120a b =︒，∴cos ,4a b a b a b ⋅==-，∴()222228a ba ab b -=-⋅+=，∴a b -= 18．在ABC中，sin A ，π3C ∠=，7c =．(1)求a 和b 的值；(2)判断ABC 是否是锐角三角形，并说明理由．【正确答案】(1)3a =，8b =(2)ABC 不是锐角三角形，是钝角三角形，理由见解析【分析】（1）由正弦定理和余弦定理求解即可；（2）由边长确定最大角，由最大角判断三角形形状即可.【详解】（1）∵sin A π3C ∠=，7c =，∴由正弦定理sin sin a c A C =得，7sin 143πsin sin 32c A a C ===，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得，2π49923cos 3b b =+-⨯，即23400b b --=，解得，=5b -（舍）或8b =，∴3a =，8b =.（2）由（1），3a =，8b =，7c =，∴b c a >>，∴B C A >>，即B ∠为ABC 的最大角，由余弦定理，有222949641cos 022377a cb B ac +-+-===-<⨯⨯，∴π,π2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即B ∠为钝角，∴ABC 不是锐角三角形，是钝角三角形.19．为解决社区老年人“一餐热饭”的问题，某社区与物业、第三方餐饮企业联合打造了社区食堂，每天为居民提供品种丰富的饭菜，还可以提供送餐上门服务，既解决了老年人的用餐问题，又能减轻年轻人的压力，受到群众的一致好评.如图，送餐人员小夏从A 处出发，前往B ，C ，D 三个地点送餐.已知300m AB =，200m AD =，100m CD =，且AB CD ∥，60BAD ∠=︒.(1)求AC 的长度.(2)假设AB ，BC ，CD ，AD 均为平坦的直线型马路，小夏骑着电动车在马路上以250m /min 的速度匀速行驶，每到一个地点，需要2分钟的送餐时间，到第三个地点送完餐，小夏完成送餐任务.若忽略电动车在马路上损耗的其他时间（例如：等红绿灯，电动车的启动和停止…），求小夏完成送餐任务的最短时间.【正确答案】(1)1007m (2)8min【分析】（1）根据余弦定理即可求解；（2）根据余弦定理求解cos CAD ∠，进而得sin CAD ∠，由两角和与差的余弦公式可得cos BAC ∠，进而由余弦定理求解AB ，根据三种不同的送餐路线，计算路程的大小，即可比较求解.【详解】（1）因为AB CD ∥，60BAD ∠=︒，所以120ADC ∠=︒，在ACD 中，由余弦定理，得222cos AC AD CD AD CD ADC=+-⋅⋅∠22120010022001007m 2⎛⎫+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭.（2）在ACD 中，由余弦定理，得222222200100710057cos 21422001007AD AC CD CAD AD AC +-+-∠===⋅⨯⨯，所以221sin 1cos 14CAD CAD ∠=-∠，所以()1315732127cos cos cos sin 222142147BAC BAD CAD CAD CAD ∠=∠-∠=∠+∠=⨯+⨯=.在ABC 中，由余弦定理，得2222cos BC AC AB AC AB BAC =+-⋅⋅∠(2227730021007300400007=+-⨯⨯=，解得200m BC =.假设小夏先去B 地，走A B C D ---路线，路长600m ，假设小夏先去C 地，因为BC CD >，所以走A C D C B ----路线，路长(4007m +，假设小夏先去D 地，走A D C B ---路线，路长500m ，由于500600400<<+所以小夏走A D C B ---路线，且完成送餐任务的最短时间为500238min 250+⨯=.20．已知函数()π4sin sin 13f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.(1)求5π6f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)设A 是ABC 中的最小角，8()5f A =，求π4f A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【正确答案】(1)-2；(2)65.【分析】（1）将5π6x =代入函数()f x 的解析式求值即可；（2）化()f x 为正弦型函数()()sin ωφf x A x B =++的形式，根据()f A 的值求π4f A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【详解】（1）5π5π5ππ17π4sin sin 14sin 1666326f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=⋅⋅- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12122⎛⎫=⋅--=- ⎪⎝⎭（2）()14sin sin 12f x x x x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭22sin cos 1cos2x x x x x=+--π2sin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π0,3A ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，πππ2,662A ⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦()π8π42sin 2,sin 2,6565f A A A ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ20,62A ⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦则π3cos 265A ⎛⎫-=⎪⎝⎭∴π4f A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭πππ62sin 22cos 22665A A ⎛⎫⎛⎫=+-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.21．已知ABC 的内角,,A B C的对边分别为,,a b c ，若22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-，a =(1)求A ；(2)若ABC 为锐角三角形，求b c -的取值范围．【正确答案】(1)π3A =(2)()1,1b c -∈-【分析】（1）根据条件，利用正弦定理，角转边得到222b c bc a +-=，再结合余弦定理，即可得到1cos 2A =，从而求出结果.（2）根据条件，利用正弦定理得到22sin ,2sin π3b B c B ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，从而得到π2sin 3b c B ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，再利用sin y x =的图像与性质及角B 的范围，可求出结果.【详解】（1）由22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-，得到222sin sin sin sin sin B C B C A +-=，根据正弦定理可化简为：222b c bc a +-=，又由由余弦定理可知：2222cos a b c bc A =+-⋅，所以1cos 2A =，又因为(0,π)A ∈，所以π3A =.（2）由（1）知：3A π=，所以由三角形内角和定理可知：23C B π=-，由正弦定理可得：22sin sin sin π32abc ABB ====⎛⎫- ⎪⎝⎭所以22sin ,2sin π3b B c B ⎛⎫==- ⎪⎝⎭21π2sin 2sin π=2sin cos sin )sin cos 2sin 323b c B B B B B B B B ⎛⎫⎛⎫-=---+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,又因为ABC 为锐角三角形，所以2π032C B π<=-<，且π02B <<，得到,62B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以,366B πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，根据sin y x =的图像与性质可知π2sin()(1,1)6B -∈-，所以()1,1b c -∈-.22．已知函数π()sin()0,0,||2f x A x B A ωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)将函数()y f x =图象上所有的点向右平移π4个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象.当13π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()0g x a -=恰有三个不相等的实数根，()123123,,x x x x x x <<，求实数a 的取值范围以及1232x x x ++的值.【正确答案】(1)π()2sin 233f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(2)[2,3]a ∈，12314π23x x x ++=【分析】（1）由三角函数图象的最大值与最小值，求出2,3A B ==，得到最小正周期，求出2π2Tω==，再代入特殊点的坐标，求出π3ϕ=，得到函数解析式；（2）先根据平移变换和伸缩变换得到π()2sin 36g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，令6π,2π6πt x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，换元后利用整体法求出函数的单调性和端点值，得到[2,3]a ∈，再根据对称性得到1322π3π2π,23π22t t t t ===⨯++⨯=，相加后得到123πππ24π666x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求出答案.【详解】（1）由图示得：51A B A B +=⎧⎨-+=⎩，解得：51512,322A B -+====，又71πππ212122T =-=，所以πT =，所以2π2T ω==，所以()2sin(2)3f x x ϕ=++.又因为()f x 过点π,512⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以52sin 232π1ϕ⎛⎫=⨯++ ⎪⎝⎭，即πsin φ16骣琪+=琪桫，所以ππ2π,62k k Z ϕ+=+∈，解得π2π,3k k ϕ=+∈Z ，又||2ϕπ<，所以π3ϕ=，所以π()2sin 233f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（2）()y f x =图象上所有的点向右平移π4个单位长度，得到()2sin 232sin 2π4633f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到π()2sin 36g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当13π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，,ππ266πx ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，令6π,2π6πt x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，则2sin 32sin 36πx t ⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭，令()2sin 3h t t =+，在2,ππ6t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在ππ22,3t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递减，在π23π2,t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递增，且2sin 32,2sin 35π2ππ66π2h h ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+==+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，332sin 31,(2)2sin 2332π2πππh h ⎛⎫=+==+= ⎪⎝⎭,所以[2,3]a ∈时，.当13π0,6x ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，方程()0g x a -=恰有三个不相等的实数根.因为()0h t a -=有三个不同的实数根()123123,,t t t t t t <<，且12,t t 关于π2t =对称，23,t t 关于3π2t =对称，则1322π3π2π,23π22t t t t ===⨯++⨯=，两式相加得：12324πt t t ++=，即123πππ24π666x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以12314π23x x x ++=.。
山东省青岛市第五十八中学(九水路分校)高一数学文联考试题含解析
山东省青岛市第五十八中学(九水路分校)高一数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若函数则= （）A． B． C． D．参考答案：B略2. c函数的图象可以由函数的图象（）而得到。
A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位参考答案：D略3. 已知函数f（x）=x5+ax3+bx﹣8，且f（﹣2017）=10，则f（2017）等于（）A．﹣26 B．﹣18 C．﹣10 D．10参考答案：A【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据条件建立方程关系进行求解即可．【解答】解：∵f（x）=x5+ax3+bx﹣8，且f（﹣2017）=10，∴f（﹣2017）=﹣20175﹣a20173﹣2017b﹣8=10，则f（2017）=20175+a20173+2017b﹣8，两式相加得f（2017）+10=﹣8﹣8=﹣16，则f（2017）=﹣26，故选：A【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性的性质建立方程关系是解决本题的关键．4. 在映射，，且，则中的元素对应在中的元素为( )A. B. C. D.参考答案：A5. 在△ABC中，已知，则三角形△ABC的形状是 ( )(A)直角三角形 (B)等腰三角形(C)等边三角形 (D)等腰直角三角形参考答案：B略6. 若，则= ▲.参考答案：7. 已知平面向量，且∥，则=（）A． B. C.D.参考答案：D略8. 函数图象的一条对称轴方程是．A．B．C．D．参考答案：C9. 若全集U={1，2，3，4，5，6}，M={1，4}，N={2，3}，则集合（?U M）∩N等于（）A．{2，3} B．{2，3，5，6} C．{1，4} D．{1，4，5，6}参考答案：A【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】根据集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：由补集的定义可得?U M={2，3，5，6}，则（?U M）∩N={2，3}，故选：A【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．10. 对于非零向量，下列命题正确的是（）A．若，则B．若，则在上的投影为C. 若，则D．若，则参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知f（x）=（a﹣1）x在R上单调递增，则a范围是．参考答案：a＞2考点：指数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：由指数函数的单调性知a﹣1＞，解得即可．解答：解：因为指数函数f（x）=（a﹣1）x在R上单调递增，所以a﹣1＞1，解得a＞2．故答案为：a＞2．点评：本题主要考查指数函数的单调性．12. 已知sinα=+cosα，且α∈（0，），则sin2α=，cos2α=．参考答案：；﹣【考点】二倍角的正弦；二倍角的余弦．【分析】利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式求得sin2α=2sinαcosα 的值以及cosα的值，从而求得cos2α的值．【解答】解：∵sinα=+cosα，且α∈（0，），即sinα﹣cosα=①，平方可得1﹣2sinαcosα=，则sin2α=2sinαcosα=＞0，∴α为锐角，∴sinα+cosα====②，由①②求得cosα=，∴cos2α=2cos2α﹣1=﹣，故答案为：；﹣．13. 已知Rt△ABC三个顶点的坐标分别为A（t，0），B（1，2），C（0，3），则实数t的值为．参考答案：﹣1或﹣3【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；直线的斜率．【专题】计算题；转化思想；向量法；直线与圆．【分析】由题意画出图形，分类利用向量数量积为0求得实数t的值．【解答】解：如图，由图可知，角B或角C为直角．当B为直角时，，，由得，﹣（t﹣1）﹣2=0，即t=﹣1；当C为直角时，，由得，t+3=0，即t=﹣3．故答案为：﹣1或﹣3．【点评】本题考查两直线垂直的关系，考查了向量数量积判断两直线的垂直，体现了分类讨论的数学思想方法，是基础题．14. 函数的单调递减区间是参考答案：15. 已知，，那么的值为 .参考答案：略16. 已知函数的图象恒过定点，若点与点B 、C 在同一直线上，则的值为参考答案：1，∵A（1，1），法（一）由法（二）直线BC的方程为，点A的坐标代入即得。
山东省青岛市第五十八中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
山东省青岛市第五十八中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．若复数z 满足(2)(2)(34)z i i i -=+-，则||z =A B ．3C ．5D ．252．如图所示，ABC V 中，2BD DC =u u u r u u u r，点E 是线段AD 的中点，则AC =u u u r （ ）A ．3142AD BE +u u ur u u u rB ．34AD BE +u u ur u u u rC ．5142AD BE +u u ur u u u rD ．54AD BE +u u ur u u u r3．紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶、石瓢壶、潘壶，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台（其他因素忽略不计），如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm ），那么该壶装满水的体积约为（ ）A ．0.182升B ．0.205升C ．0.218升D ．0.235升4．嵩岳寺塔位于河南郑州登封市嵩岳寺内，历经1400多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存最早的砖塔. 如图，为测量塔的总高度AB ，选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与 D ，现测得 30BCD ∠=o ，45BDC ∠=o ，4CD =，在 C 点测得塔顶 A 的仰角为60o ，则塔的总高度为（ ）A ．12-B ．12-C ．12+D ．12+5．在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若5c o s 8c o s c o s 85B C Ac b a-=-，又ABCV的面积S =2B C A +=，则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r（ ）A ．64B ．84C ．-69D ．-896．由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为30︒，腰长为2，如图，那么它在原平面图形中，顶点'B 到x 轴的距离是（ ）A ．1B ．2CD ．7．在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b 、c ，若c o s b a C C ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，AD 是ABC V的角平分线，点D 在BC 上，AD 3b c =，则=a （ ）A B ．73C ．43D ．48．ABC V 中，AB =π4ACB ∠=，O 是ABC V 外接圆圆心，是OC AB CA CB ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 的最大值为（ ）A ．1B 1C ．3D ．5二、多选题9．下列命题正确的是（ ）A ．棱锥是由一个底面为多边形，其余各面为具有公共顶点的三角形围成的几何体B ．球面可以看作一个圆绕着它的直径所在的直线旋转180︒所形成的曲面C ．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体为棱台D ．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台 10．对于ABC V ，有如下判断，其中正确的判断是（ ）A ．若2,30a A ==︒，则224sin 2sin 2sin sin b c b cB C B C++==++B ．若8,10,60a b B ===︒，则符合条件的ABC V 有两个C ．若点P 为ABC V 所在平面内的动点，且(),0,cos cos AB AC AP AB B AC C λλ⎛⎫ ⎪=+∈+∞ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，则点P 的轨迹经过ABC V 的垂心D ．已知O 是ABC V 内一点，若230,,AOC ABC OA OB OC S S ++=V V u u u r u u u r u u u r r分别表示,AOC ABC V V 的面积，则1:6AOC ABC S S ⋅=△△11．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，且tan tan A B +=．则下列结论正确的是（ ）A ．π6A =B ．若2a =，则该三角形周长的最大值为6C ．若ABC V 的面积为2，则a 有最小值D ．设2c BD BC b c =+u u u ru u u r ，且1AD =，则12b c+为定值三、填空题12．已知复数(1)2i(R)z a a a =--∈，且5z =，若复数z 在复平面内对应的点位于第二象限，则=a ．13．如图，某几何体由共底面的圆锥和圆柱组合而成，且圆柱的两个底面圆周和圆锥的顶点均在体积为36π的球面上，若圆柱的高为2，则圆锥的侧面积为．14．已知a r ，b r ，e r 是同一平面的向量，其中e r是单位向量，非零向量a r 与e r 的夹角为π3，向量b r 满足21b e -=r r，则a b -r r 的最小值是．四、解答题15．学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1挖去四棱锥O ﹣EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，AB ＝BC ＝6cm ，AA 1＝4cm.3D 打印所用原料密度为0.9g /cm 3．说明过程，不要求严格证明，不考虑打印损耗的情况下，（1）计算制作该模型所需原料的质量； （2）计算该模型的表面积（精确到0.1）3.61≈ 3.87≈4.12≈16．在直角梯形ABCD 中，已知//,90,224AB CD DAB AB AD CD ∠=︒===，点F 是BC 边上的中点，点E 是CD 边上一个动点．(1)若E 是CD 边的中点． ①试用AE u u u r 和AF u u u r 表示AB u u u r； ②若12DE DC =u u u r u u u r ，求AC EF ⋅u u u r u u u r的值；(2)求EA EF ⋅u u u r u u u r的取值范围．17．如图，已知△ABC 与△ADC 关于直线AC 对称，把△ADC 绕点A 逆时针旋转3π，得到△AFE ，若B ，C ，E ，F 四点共线，且5AC =，7AB =.(1)求BC ； (2)求△ADE 的面积.18．在①)222sin sin sin sin sin sinA B C A C B =+-；②11tan tan A B +=；③设ABC V 的面积为S ，且()22233b a c +-=.这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上.并加以解答.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知__________，且b =(1)若6a c +=，求ABC V 的面积；(2)若ABC V 为锐角三角形，求222a b c +的取值范围.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）19．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当ABC V 的三个内角均小于120︒时，使得120AOB BOC COA ∠=∠=∠=︒的点O 即为费马点；当ABC V 有一个内角大于或等于120︒时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且cos2cos2cos21B C A +-=(1)求A ；(2)若2bc =，设点P 为ABC V 的费马点，求PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ；(3)设点P 为ABC V 的费马点，PB PC t PA +=，求实数t 的最小值．。
2024届山东省青岛市第五十八中数学高一第二学期期末达标检测试题含解析
2024届山东省青岛市第五十八中数学高一第二学期期末达标检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．四边形ABCD ，//AB CD ，AB BC ⊥，2AB AD CD ===ABC ∆的外接圆与ACD ∆的内切圆的公共弦长（ ）A ．1BC D ．22．在区间[3,3]-上随机选取一个数，则满足1x ≤的概率为( ) A ．16B ．13C ．12D ．233．式子22cos cos sin sin 3636ππππ-的值为( )A ．12-B ．0C ．1D ． 4．已知三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，侧棱长为2，体积为1，若此三棱柱的顶点均在同一球面上，则该球半径的最小值为（ ）A ．1B ．2CD ．25．在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cosC 等于 （ ） A ．23B ．23-C ．13-D ．14-6．设12,0,,22α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数y x α=的定义域是R ，且为偶函数的所有α的值是（ ） A ．0，2B ．0，-2C ．12D ．27．直线20x +-=的倾斜角为（ ）A ．30B ．120︒C ．150︒D ．60︒8．将函数y sin2x =的图象向右平移π4个单位长度，所得图象对应的函数解析式是( )A ．y cos2x =B ．y cos2x =-C ．πy sin 2x 4⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．y sin2x =- 9．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A ．若α∥β,m ⊂α,n ⊂β，则m ∥n B ．若α⊥β，m ⊂α,则m ⊥β C ．若α⊥β,m ⊂α,n ⊂β,则m ⊥nD ．若α∥β，m ⊂α，则m ∥β10．在等差数列{}n a 中，372a a +=，则9S 等于() A ．2B ．18C ．4D ．9二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2024届山东省青岛五十八中数学高一下期末联考模拟试题含解析
2024届山东省青岛五十八中数学高一下期末联考模拟试题考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在等比数列{}n a 中，227a =，13q =-，则5a =（ ） A ．3-B ．3C ．1-D ．12．已知圆221:(2)(3)1C x y -+-=，圆222:(3)(4)9C x y -+-=，,M N 分别为圆12,C C 上的点，P 为x 轴上的动点，则||||PM PN +的最小值为( )A．B1C．6-D．43．若函数110,1 ()=lg ,1x x f x x x -⎧≤⎨>⎩，则()()10f f =（ ）A ．9B ．1C ．110D ．04．记等差数列{}n a 前n 项和n S ，如果已知521a a +的值，我们可以求得（ ） A ．23S 的值B ．24S 的值C ．25S 的值D ．26S 的值5．直线l 是圆224x y +=在(-处的切线，点P 是圆22430x x y -++=上的动点，则点P 到直线l 的距离的最小值等于（ ） A ．1BCD ．26．已知直线倾斜角的范围是,32ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦，则此直线的斜率的取值范围是（ ）A．⎡⎣ B．(,-∞)+∞C．33⎡-⎢⎣⎦D．,3⎛-∞- ⎝⎦3⎫+∞⎪⎪⎣⎭7．某学校从编号依次为01，02，…，72的72个学生中用系统抽样（等间距抽样）的方法抽取一个样本，已知样本中相邻的两个组的编号分别为12，21，则该样本中来自第四组的学生的编号为（ ）A ．30B ．31C ．32D ．338．已知函数，若在区间内没有零点，则的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．9．在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：224x y +=，圆2C ：226x y +=，点(1,0)M ，动点A ，B 分别在圆1C 和圆2C 上，且MA MB ⊥，N 为线段AB 的中点，则MN 的最小值为 A ．1B ．2C ．3D ．410．如图所示的程序框图，若执行的运算是，则在空白的执行框中，应该填入A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
山东高一高中数学月考试卷带答案解析
山东高一高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.等于（）A．B．C．D．2.设是两个单位向量，则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．3.在中，，，则（）A．B．C．D．4.已知向量，下列结论中正确的是（）A．B．C．D．、的夹角为5.若的三个内角满足，则（）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形6.在中，已知向量，则的面积等于（）A．B．C．D．7.下列关系式中正确的是（）A．B．C．D．8.的值（）A．小于B．大于C．等于D．不存在9.函数（，）的部分图像如图所示，则，的值分别是（）A．2，－B．2，－C．4，－D．4，10.已知，若，则下列正确的是（）A．B．C．D．11.将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图像向左平移个单位，则所得函数图像对应的解析式为（）A．B．C．D．12.偶函数满足，且在时，，若直线与函数的图像有且仅有三个交点，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、解答题1.．2.设、是不共线的两个非零向量.(1)若，求证：三点共线；(2)若与共线，求实数的值.3.已知.（1）若，求的值；（2）若，求的值．4.对边的边长分别是，已知，．（1）若的面积等于，求；（2）若，求的面积．5.已知函数（）的最小正周期为．（1）求函数的单调增区间；（2）将函数的图像向左平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图像．求在区间上零点的个数．6.已知函数．（1）当时，判断在的单调性，并用定义证明；（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；（3）讨论零点的个数．7.已知其最小值为.（1）求的表达式；（2）当时，要使关于的方程有一个实根，求实数的取值范围．三、填空题1.某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为，用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从3个分厂生产的电子产品中共抽取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为_______．2.有2个人在一座7层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这2个人在不同层离开的概率为__________．3.定义在实数集上的函数，如果存在函数（为常数），使得对一切实数都成立，那么称为函数的一个承托函数．给出如下四个结论：①对于给定的函数，其承托函数可能不存在，也可能有无数个；②定义域和值域都是的函数不存在承托函数；③为函数的一个承托函数；④为函数的一个承托函数．其中所有正确结论的序号是____________________．山东高一高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，故选A.【考点】诱导公式.2.设是两个单位向量，则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据单位向量的定义：把模为1的向量称为单位向量，依题可知，而这两个向量的方向并没有明确，所以这两个单位向量可能共线，也可能不共线，所以A、B、C错误，D正确.【考点】平面向量的基本概念.3.在中，，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由正弦定理可得即，故选B.【考点】正弦定理.4.已知向量，下列结论中正确的是（）A．B．C．D．、的夹角为【答案】C【解析】依题意可得，而并不确定，不一定为0，从而不一定有，A错误；若，则需即，而并不确定，所以不一定成立，B错误；因为，所以，所以，C正确；对于D，因为，因为，而的取值范围并不确定，当时，，当，，D错误；综上可知，选C.【考点】1平面向量的坐标运算；2.平面向量的数量积；3.两角差的余弦公式；4.同角三角函数的基本关系式.5.若的三个内角满足，则（）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【答案】C【解析】根据正弦定理可知，不妨设，则的最大内角为，由余弦定理可得，而，所以，所以为钝角三角形，故选C.【考点】1.正弦定理；2.余弦定理.6.在中，已知向量，则的面积等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】依题意可得，从而，，而，而，所以，所以，选A.【考点】1.平面向量的数量积；2.诱导公式；3.两角和的正弦公式；4.三角形的面积计算公式.7.下列关系式中正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，又在上单调递增，所以，故选C.【考点】1.诱导公式；2.正弦函数的图像与性质.8.的值（）A．小于B．大于C．等于D．不存在【答案】A【解析】因为，所以，从而，选A.【考点】任意角的三角函数.9.函数（，）的部分图像如图所示，则，的值分别是（）A．2，－B．2，－C．4，－D．4，【答案】A【解析】由图可知，，，所以，所以，将代入，得，解得，又因为，则，故选A.【考点】三角函数的图像与性质.10.已知，若，则下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】法一：因为，所以，故选C；法二：设，则易知该函数为上的奇函数，所以即也就是，而，所以即，选C.【考点】1.正弦函数的图像与性质；2.函数的奇偶性.11.将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图像向左平移个单位，则所得函数图像对应的解析式为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，则周期变为原来2倍，解析式变为，该图像再左移个单位得，故选D.【考点】三角函数的图像变换.12.偶函数满足，且在时，，若直线与函数的图像有且仅有三个交点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以函数的图像关于直线对称，又是偶函数，所以，即有，所以是周期为2的函数，由，得，即，画出函数和直线的示意图因为直线与函数的图像有且仅有三个交点，所以根据示意图易知：由直线与半圆相切，可计算得到，由直线与半圆相切可计算得到，所以，选B.【考点】1.函数的对称性、奇偶性、周期性；2.函数图像；3.直线与圆的位置关系；4.点到直线的距离公式.二、解答题1.．【答案】【解析】.【考点】指数式与对数式的运算.2.设、是不共线的两个非零向量.(1)若，求证：三点共线；(2)若与共线，求实数的值.【答案】（1）证明详见解析；（2）当与共线时，.【解析】(1)利用向量证明三点共线，先建立平面向量的基底，求出、，找到使得，从而说明，再说明两个向量有一个公共点即可；（2）根据与共线，得到，然后根据向量相等的条件，建立、的方程组，求解即可得到的值.试题解析：(1)证明：∵而∴与共线，又有公共端点，∴三点共线(2)∵与共线，∴存在实数，使得∵与不共线∴或.【考点】1.向量共线定理；2.平面向量的基本定理；3.两向量相等的条件.3.已知.（1）若，求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先根据的坐标条件得到，进而将的分子与分母同时除以得到，代入数据即可得到答案；（2）由的坐标条件得到，进而结合同角三角函数的基本关系式得出，结合及确定的符号，从而开方即可得到的值.试题解析：（1）（2）且.【考点】1.同角三角函数的基本关系式；2.平面向量的坐标运算；3.两向量平行的条件与性质；4.两向量垂直的条件与性质.4.对边的边长分别是，已知，．（1）若的面积等于，求；（2）若，求的面积．【答案】（1），；（2）.【解析】（1）先由余弦定理得到，再由的面积计算公式得到，进而联立方程组，从中求解即可；（2）先由正弦定理将条件转化成，从而联立方程组，求解出，再由的面积计算公式即可得到的面积.试题解析：（1）由余弦定理得又因为的面积等于所以，得联立方程组解得，（2）由正弦定理，已知条件化为联立方程组解得，所以.【考点】1.正弦定理；2.余弦定理；3.三角形的面积计算公式.5.已知函数（）的最小正周期为．（1）求函数的单调增区间；（2）将函数的图像向左平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图像．求在区间上零点的个数．【答案】（1）函数的单调增区间；（2）在上有个零点.【解析】（1）先由三角函数的周期计算公式得到，从而可确定，将当成一个整体，由正弦函数的性质得到，解出的范围，写成区间即是所求函数的单调递增区间；(2)将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到的图像，即，由正弦函数的图像与性质得到该函数在一个周期内函数零点的个数，而恰为个周期，从而可得在上零点的个数.试题解析：（1）由周期为，得，得由正弦函数的单调增区间得，得所以函数的单调增区间（2）将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位得到的图像，所以令，得或所以函数在每个周期上恰有两个零点，恰为个周期，故在上有个零点.【考点】1.三角函数的图像与性质；2.函数的零点.6.已知函数．（1）当时，判断在的单调性，并用定义证明；（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；（3）讨论零点的个数．【答案】(1)单调递减函数；(2)；(3)当或时，有1个零点.当或或时，有2个零点；当或时，有3个零点.【解析】(1)先根据条件化简函数式，根据常见函数的单调性及单调性运算法则，作出单调性的判定，再用定义证明；(2)将题中所给不等式具体化，转化为不等式恒成立问题，通过参变分离化为，求出的最大值，则的范围就是大于的最大值；(3)将函数零点个数转化为方程解的个数，再转化为函数与交点个数，运用数形结合思想求解.试题解析：（1）当，且时，是单调递减的证明：设，则又，所以，所以所以，即故当时，在上单调递减（2）由得变形为，即而当即时所以（3）由可得，变为令作的图像及直线由图像可得：当或时，有1个零点当或或时，有2个零点当或时，有3个零点．【考点】1.函数奇偶性的判定；2.不等式恒成立问题；3.函数零点；4.数形结合思想.7.已知其最小值为.（1）求的表达式；（2）当时，要使关于的方程有一个实根，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）先由确定，进而得出，其次将转换成，然后根据二次函数的性质分、、三类讨论，进而确定；（2）当时，，方程即，令，要使在有一个实根，只须或，从中求解即可得到的取值范围.试题解析：（1）因为，所以，所以（）当时，则当时，当时，则当时，当时，则当时，故（2）当时，，令欲使有一个实根，则只需或解得或.【考点】1.三角函数的图像与性质；2.二次函数的图像与性质；3.函数的零点与方程的根；4.分类讨论的思想.三、填空题1.某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为，用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从3个分厂生产的电子产品中共抽取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为_______．【答案】1013【解析】因为第一、二、三分厂的产量比为且第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为，所以抽取的100件产品的使用寿命的平均值为.【考点】均值的计算.2.有2个人在一座7层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这2个人在不同层离开的概率为__________．【答案】【解析】因为每个人自第二层开始在每一层离开电梯都是等可能的，所以每个人自第二层开始在每一层离开电梯的概率都是，根据相互独立事件的概率乘法公式可得这2个人在不同层离开的概率为.【考点】相互独立事件的概率计算.3.定义在实数集上的函数，如果存在函数（为常数），使得对一切实数都成立，那么称为函数的一个承托函数．给出如下四个结论：①对于给定的函数，其承托函数可能不存在，也可能有无数个；②定义域和值域都是的函数不存在承托函数；③为函数的一个承托函数；④为函数的一个承托函数．其中所有正确结论的序号是____________________．【答案】①③【解析】由题意可知，如果存在函数(为常数)，使得对一切实数都成立，那么称为函数的一个承托函数，那么对于来说，不存在承托函数，当，，则此时有无数个承托函数；②定义域和值域都是的函数不存在承托函数，因为一个函数本身就是自己的承托函数.故错误；对于③因为恒成立，则可知为函数的一个承托函数；成立；对于④如果为函数的一个承托函数.则必然有并非对任意实数都成立，只有当或时成立，因此错误；综上可知正确的序号为①③.【考点】新定义.。
2020-2021学年山东省青岛市高一下第一次月考数学试卷及答案解析
【解答】解：∵ t
t
h ，t
t
h，
，
t
t
∴
t
t
∵ h t ，t
h
h，
，A 为△ABC 的内角，
∴ tht
，t ，
∴2cosB+2cosC＝2cosB﹣2cos（A+B）＝cosB
th
th
t，
∵＜ ＜ ，
∴ ＜ th
t，
∴ ＜ tth 故选：D．
t t ，则
t
t 的最大值为 2．
t
5．已知复数 z 满足
7．已知 A（﹣4，0），B（0，3），O 为坐标原点，点 C 在第二象限内，
，且∠
AOC＝45°，设
t
∈ t，则 的值为（ ）
A．t
B．
C．
D．1
8．已知锐角△ABC 三边长分别为 x， ，x+1，则实数 x 的取值范围为（ ）
A．（1，2）
B．（2，3）
C． ， t
D．（2，5）
二．多选题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
z 的虚部是 y，故 B 错误；
若 z＝1+2i，则 x＝1，y＝2，故 C 正确；
|z|
，故 D 正确．
故选：CD．
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10．已知向量
，
，t
，设 ， 所成的角为θ，则（ ）
A．| |＝2
B． ⊥（ t ） C．
D．θ＝60°
【解答】解：根据题意，设| |＝t，
对于 A，若
，
，t
2020-2021 学年山东省青岛市高一下第一次月考数学试设（﹣1+2i）x＝y﹣1﹣6i，x，y∈R，则|x﹣yi|＝（ ）
2024届山东省青岛第五十八中学高一数学第二学期期末质量检测试题含解析
2024届山东省青岛第五十八中学高一数学第二学期期末质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．下列结论中错误的是（ ） A ．若0ab >，则2b a a b+≥ B ．函数1cos 0cos 2y x x x π=+<<（）的最小值为2C ．函数22x x y -=+的最小值为2D ．若01x <<，则函数1ln 2ln x x+≤- 2．经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作 ( ) A ．1个或2个 B ．0个或1个 C ．1个 D ．0个3．若正实数x ，y 满足x y >，则有下列结论：①2xy y <；②22x y >；③1xy>；④11x x y<-.其中正确结论的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．若(3,4)AB =，A 点的坐标为()2,1--，则B 点的坐标为（ ） A ．()1,3B ．()5,5C ．()1,5D ．()5,45．若,,a b c ∈R 且a b >，则下列不等式成立的是( ) A ．22a b > B ．11a b< C ．a c b c >D ．2211a bc c >++ 6．函数的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．7．等差数列{}n a 中，已知264a a +=，则4a =( ) A ．1B ．2C ．3D ．48．一个扇形的弧长与面积都是3，则这个扇形圆心角的弧度数为（ ） A ．1radB ．32rad C ．2rad D ．52rad 9．已知角终边上一点，则的值为（ ） A ．B ．C ．D ．10．若不等式210ax ax -+≤的解集为空集，则实数a 的取值范围是（ ） A ．04a ≤≤B ．04a <≤C ．04a <<D ．04a ≤<二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
山东省青岛市青岛第五十八中学2022-2023学年高一下学期6月月考数学试题和参考答案
分别表示向量OA ，OB ，OC ，若AB OC ⊥，则z ．22．已知向量()1,2a =，()1,1b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数的取值范围为（ ） ．5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．,⎛−∞− ⎝D ．5,03⎛− ⎝．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库D ．内的一点，则AP AB ⋅ 的取值范围是（1BCD 的侧面是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如图，ABCD ，EF4对应的向量为1OZ ，复数对应的向量为2OZ ，则下列说法正确的是（．若11OZ =，则i ±143i z =+，则(121,Z Z =−12z z +=，则12OZ OZ ⊥ ()()1212OZ OZ OZ OZ +⊥−，则1=z z ．已知a ，b ，c 分别是ABC 三个内角A．若ABC 是边长为的正三角形，则32AB BC ⋅=6B π=，b ，则ABC 有一解O 是ABC 所在平面内的一点，且2OB OC OB OC OA −=+−，则ABC 是直角三角形．已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为1r =上，2r =下，母线AB 中点，则下列结论正确的是（ ）三、填空题：本大题共20分．已知1e ，2e 是互相垂直的单位向量，若123e e − 与1e +λ2e 的夹角为,αβ是两个不同的平面，是两条不同的直线，有下列命题：平行于同一平面，则α，//n α，则n αβ=，//n ，//α锐角ABC 中，，则22a c +．截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为的截角四面体，则该截角四面体的外接球表面积为题中的三角形存在，求出ABC 的面积在ABC ，它的内角B ，C 的对边分别为)sin (sin sin )sin a b B a A B c C −=+−， ？．已知向量()()2cos 2,2,1,sin ,2a b m a b θθ=−=−=⋅+，在复平面坐标系中，1m ii+=−对应的点为1Z ． 1）求1z ﹔为曲线11(21z z z −=为1z 的共轭复数)上的动点，求Z 与1Z ，求a 在b 上的投影向量n ．在ABC 中，点E 在线段AB 上，将△ACE ，△BDF 分别沿CE ，，在几何体W 中作答下面的问题.．记ABC 的内角23π=，求222b c +的最小值．．如图，直三棱柱111ABC A B C 的体积为，1A BC 的面积为．在ABC 中，试解决是三角形的重心（三条中线的交点））记,AB a AC b ==，请用,a b 表示AG ； ）,AM mAB AN nAC ==，求4m n +的最小值．已知点O 是ABC 的________，且1143AO AB AC =+，求cos 请从下面两个条件中选一个填在上述横线上，并完成解答．（注意：如果选择多个条件分别解答，则①外心（三条垂直平分线的交点）；②垂心（三条高的交点）．【分析】根据复数的几何意义确定向量OA ，OB ，OC 的坐标，【详解】由题意可得，()()()1,12,1,1,OA OB OC m ==−=，，所以(1,AB OB OA =−=−又AB OC ⊥，所以()()1,21,120AB OC m m ⋅=−⋅=−=，所以12223151122z m ⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭. 故选：C. ．D【分析】根据题意，由()0a a b λ⋅+>，求得，再由a 与a b λ+不共线，求得【详解】由向量()1,2a =，()1,1b =，可得()1,211213a b ⋅=⋅=⨯+⨯=，且25a =，又由2()530a a b a a b λλλ⋅+=+⋅=+>，解得53λ>−，由(1,2)a b λλλ+=++，因为a 与a b λ+不共线，可得1(2(1)λλ⨯+⨯+，解得所以要使得a 与a b λ+的夹角为锐角，则所以实数λ的取值范围是5,03⎛− ⎝故选：D.【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．1【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到AP在AB方向上的投影的【详解】AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积，所以AP AB ⋅的取值范围是)2,6−， 故选：A.【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，向量数量积的定义式，属于简单题目.的圆与1BCC 的交线，3的圆在1BCC 内的( 12211,1Z Z OZ OZ=−=−12OZ OZ ⊥；D 选项，同样设出. 22时，满足11OZ =，故()12213,41,1Z Z OZ OZ =−=−，B 设1i z a b =+，2R z c d =+∈，，若1212z z z z +=−，则)(2b d +=化简得：0ac bd +=，故12OZ OZ ac ⋅=+，所以12OZ OZ ⊥，C 正确；1i z a b =+，2R z c d ∈，，，则(12OZ OZ a +=+，(12,OZ OZ a c −=−()()1212OZ OZ OZ OZ +⊥−，()()()()222a c a c b d b d a b c +−++−=+−−所以2222+=+a b c d ， 12=z z ，D 正确. 由正弦定理边角关系判断；向量数量积的定义求AB BC ；C 利用正弦定理解CB AB AC =+，由其几何意义可知CB sin sin A Bsin sin A B >，即a b >，故B >，正确；：由已知1||||cos1202AB BC AB BC ⋅=︒=−，错误；22sin sin b C B ==，则sin 2C 644：由OB OC CB −=、OB OA AB −=、OC OA AC −=，故CB AB AC =+，所以在ABC 中边上的中线长等于CB 的一半，即ABC 是A 为直角的直角三角形，正确.故选：ADBF1在平面ABC 上的投影为13ABCSPA ⋅=⨯，则OQ x =，则216AB =−2PA AB A =，，故BPC ∠6，故sin ∠ABCS =ABPS =ACPS =1152BCPSBC =，设鳖臑P －ABC 内切球的半径为r ，则)ABCABPACPBCPP S SSSr V +++=即(123156=−，D 正确.解：由题意，设1e =（1，，2e =（0，123e e −=（1e +λ2e =（1，λ又夹角为60°，∴（123e e −）•（1e +λ2e ）=即3−λ21λ=+， 33=． 【点睛】本题考查了单位向量和平面向量数量积的运算问题，是中档题．l αβ=，在π6B =，由正弦定，结合锐角ABC 确定角，由正弦定理得a 所以π6B =， 因为在锐角ABC 中，有π2π33−<，此时2）16,1717 n⎛=−⎝）根据数量积公式，化简计算，可得，代入可得曲线可得，可得a，b坐标，代入求夹角公式，可得a，b的夹角，又可得与b方向相同的单位向量，即可得答案.【详解】（1）22cos22sin cos sina bθθθθ⋅=+=+2123a b=⋅+=+=．6所以11,2,1,24a b ⎛⎫=−=⎛⎫ − ⎪⎝⎝⎭⎭⎪此时1,a b a ⋅=与b 的夹角余弦为817a b a b⋅=与b 方向相同的单位向量为411,417b e b⎛⎫==− ⎪⎝⎭所以a 在b 上的投影向量()164cos ,1717n a e θ⎛⎫==− ⎪⎝⎭．(1)证明过程见详解5719【分析】(1)根据题意可证DFEF ，DF FG ⊂平面EFG ，所以平面EFG 由题意可知：EFG 是边长为1的正三角形，CGF S =CDFS=，设点G V −=13GCFCDFSh S GP ⋅=⋅，所以5719，即点到平面CGF 的距离为5719111ABC A B C 中，设点11112211333A A ABC A ABC A B BC C B Sh h V S A A V −−⋅===⋅=，到平面1A BC 的距离为2；111ABC A B C 中，BC ，BC ⊂平面11ABB A 且相交，所以则(1,1,1BD =，()(0,2,0,2,0,0BA BC ==设平面ABD 的一个法向量(),,m x y z =，则2m BD x y m BA y ⎧⋅=+⎨⋅==⎩可取(1,0,m =−，设平面BDC 的一个法向量(),,n a b c =2n BD a b n BC a ⎧⋅=+⎨⋅==⎩可取(0,1,1n =−11cos ,222m n m n m n⋅===⨯⋅，所以二面角A BD C −−的正弦值为(1)1133a AGb +=答案见解析 【分析】（1）（i ）设11(,),A x y B 3法则得到可得21(33AG x =，得到1133a AGb +=；）由题意得到11,AB AM AC AN m n==，求得1133AG AM AN m n =+，结合平面向量的共，化简得到1143a POb +=−，1146a QO b −=，结合得OP AB ⊥和OQ AC ⊥，列出方程组，22833a b =，结合向量的夹角公式，即可求解；选②：化简得到1243OC a b ==−+，3143OB a b =−，根据OC AB ⊥和OB AC ⊥，联立方程组，222732a b =，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）解：（i ）设112234(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，由重心的坐标公式得123(,3x x x G ++ 且21213131(,),(,)AB x x y y AC x x y y =−−=−−， 可得1231212(,33x x x y y y AG x ++++=−21312131(,)33x x x x y y y y −+−−+−31312121(,)(,3333x x y y x x y y −−−−+11113333AB AC a b +=+. ）因为,AM mAB AN nAC ==，其中，所以11,AB AM AC AN m n==， 则1111311333AM AN AM AN m n G nA m =⋅+⋅=+， 根据平面向量的共线定理，可得11313m n+=，其中1<， 所以11141414(4)()(5))(54)333333n m n m m n m n m n m n m n +++=+⋅=⋅⋅+≥=+=， 当且仅当4n m m n =时，即,112m n ==时，等号成立，是ABC 的外心时，取因为1143AO AB AC =+， 可得1111111143243243AB AC A P B a b a b A AP a O O =−=+−+−=−=+， 1111143246AB AC AC O AQ b Q a AO ==−−=+−， 由O 是ABC 的外心，可得OPAB⊥，可得21111)04343a b a a a b +⋅=−+⋅=，即234a a b =⋅，OQ AC⊥，可得21111)04646a b b a b b −⋅=⋅−=，即223b a b =⋅， 所以22833a b =，即223a b =，所以222233a b b b ⋅==，则2232cos 322,2a b bb a b a b b⋅===⋅⋅⋅，即2cos 2BAC ∠=.是ABC 的垂心因为1143AO AB AC =+， 可得112()43143OC AC AO AC a AB C b A =+−=−=−+，31(1143)43A OB AB AO AB B A a bC =−=−−+=，由O 是ABC 的垂心，则OC AB ⊥，可得21212()04343a b a a a b −+⋅=−+⋅=，即283a b a ⋅=，OB AC ⊥，可得23131()04343a b b a b b −⋅=⋅−=，即294a b b ⋅=， 联立方程组，可得222732a b =，即4233a b =，所以249a b b ⋅=⋅，所以264cos 9,64233a b bba b a b b ⋅===⋅⋅⋅，即6os 6c BAC ∠=.。
2022年山东省青岛市第五十八中学高一数学文月考试卷含解析
2022年山东省青岛市第五十八中学高一数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数的零点为，则所在区间为（）A． B． C． D．参考答案：C2. 若直线与平行，则实数的值为（）A. 或B.C. D.参考答案：B3. 已知（）A．B．C．D．参考答案：B略4. 函数的定义域为（）A. B. C. D.参考答案：A略5. （5分）函数y=f（x）的图象如图所示，则y=f（x）的解析式为（）A．y=sin2x﹣2 B．y=2cos3x﹣1 C．D．参考答案：D考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题．分析：本题可以使用排除法进行解答，根据函数图象分析出函数的最值，进而分析四个答案中四个函数的最值，将不符合条件的答案排除掉，即可得到正确的答案．解答：由已知中函数的解析式，我们可得函数的最大值为2，最小值为0，而A中函数y=sin2x﹣2，最大值为﹣1，最小值为﹣3，不满足要求，故A不正确；B中函数y=2cos3x﹣1，最大值为1，最小值为﹣3，不满足要求，故B不正确；C中函数，最大值为0，最小值为﹣2，不满足要求，故C不正确；故选D．点评：本题考查的知识点是由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，其中排除法是解答选择题比较常用的方法，而根据函数的图象分析出函数的最值是解答本题的关键．6. =（）A. B. C.D.参考答案：C7. .若，则（）A. B. C. D.参考答案：C略8. 下列函数中，最小正周期为，且图像关于直线对称的是（）A．B．C. D．参考答案：B9. 已知数列{a n}的通项公式是关于n的一次函数，a3=7，a7=19，则a10的值为（）A．26 B．28 C．30 D．32参考答案：B【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】设a n=an+b，由a3=7，a7=19，列出方程组求出a=3，b=﹣2，由此能求出a10．【解答】解：∵数列{a n}的通项公式是关于n的一次函数，∴设a n=an+b，∵a3=7，a7=19，∴，解得a=3，b=﹣2，∴a10=3×10﹣2=28．故选：B．10. 下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是()参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. （4分）4830与3289的最大公约数是．参考答案：23考点：用辗转相除计算最大公约数．专题：算法和程序框图．分析：利用辗转相除法即可得出．解答：4830=3289×1+1541，3289=1541×2+207，1541=207×7+92，207=92×2+23，92=23×4，∴4830与3289的最大公约数是23．故答案为：23．点评：本题考查了辗转相除法，属于基础题．12. 某工厂生产某种产品的固定成本为2 000万元，每生产一单位产品，成本增加10万元，又知总收入k是产品数θ的函数，，则总利润L(θ)的最大值是________．参考答案：略13. 已知函数在上是增函数，则的取值范围是．参考答案：14. 在中，已知，，，则．参考答案：略15. 袋中装有大小相同的总数为5个的黑球、白球若从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，则从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率为______．参考答案：因为袋中装有大小相同的总数为5个的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球，共有10种，没有得到白球的概率为，设白球个数为x,黑球个数为5-x,那么可知白球共有3个，黑球有2个，因此可知填写为16. 过点O(0,0)引圆C:的两条切线OA,OB，A,B为切点，则直线AB的方程是______________．参考答案：2x+2y-7=017. 若二次函数f（x）的图象关于x＝2对称，且f（a）≤f（0）＜f（1），则实数a的取值范围是_____．参考答案：a≤0或a≥4【分析】分析得到二次函数f（x）开口向下，在（﹣∞，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减．再对分类讨论得解.【详解】由题意可知二次函数f（x）的对称轴为x＝2，因为f（0）＜f（1），所以f（x）在（﹣∞，2）上单调递增，所以二次函数f（x）开口向下，在（﹣∞，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减．①当a∈时：，解得a≤0．②当a∈（2，+∞）时：因为f（4）＝f（0），所以，解得a≥4．综上所求：a≤0或a≥4．故答案为：a≤0或a≥4．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题：本大题共5小题，共72分。
山东省青岛市第五十八中学2023-2024学年高一下学期第二次阶段性检测数学试题(含解析)
2023—2024学年第二学期阶段性检测考试高一数学试卷2024.06注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。
第Ⅰ卷为选择题，共58分；第Ⅱ卷为非选择题，共92分，满分150分，考试时间为120分钟。
2．第Ⅰ卷共2页，每小题有一个正确答案，请将选出的答案标号（A 、B 、C 、D ）涂在答题卡上。
第Ⅱ卷共2页，将答案用黑色签字笔（0.5mm ）写在答题纸上。
第Ⅰ卷一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知是虚数单位，复数，则（ ）A ．1B ．2C D ．02．已知向量，满足，，则在方向上的投影向量为（ ）A ．3B ．C ．D ．3．已知不重合的平面、、和直线，则“”的充分不必要条件是（ ）A ．内有无数条直线与平行B ．内的任何直线都与平行C ．且D ．且4．宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首。
如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示，已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的高之比是3：4，则该汝窑双耳罐的体积是（）A ．B ．C ．D ．5．在直三棱柱中，，，，点，分别是，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）i 2i i z =+z =a b3a = b = ()a ab ⊥+ b a 3-3a -a-αβγl αβ∥αβαβαγ⊥γβ⊥l α⊥l β⊥1784π31884π32304π32504π3111ABC A B C -4AB =BC AC ==11AA =M N 11A B 11A C BM CNABCD6．在中，角，，的对边分别为，，，为的中点，已知，，且，则的面积为（ ）A ．BCD7．在三棱锥中，平面平面，，，则该三棱锥外接球的表面积为（）A ．B ．C ．D ．8．素描是使用单一色彩表现明暗变化的一种绘画方法，素描水平反映了绘画者的空间造型能力．“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，如图是某同学绘制“十字贯穿体”的素描作品．“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）．若该同学绘制的“十字贯穿体”由两个底面边长为1，高为4的正四棱柱构成，给出下列四个结论，其中正确结论有（）个①该“十字贯穿体”的表面积是②该“十字贯穿体”的体积是③一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线互相垂直④二面角A ．1B ．2C ．3D ．4二．多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。
山东省青岛第五十八中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷
山东省青岛第五十八中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知向量,a b r r满足1a b a b ==+=r r r r ，则2a b +=r r （ ）A ．3 BC ．7 D2．已知π1cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．325-B ．325C ．2325-D ．23253．若π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，02π,y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且,x y 满足关系式sin cos 2sin cos 0x y y x +=，则()tan x y +的最小值为（ ）A．2-B．4C2D4．如图，正六边形的边长为1的圆O 的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A ，B 在圆O 上运动且关于圆心O 对称，则MA MB ⋅u u u r u u u r的取值范围为（ ）A ．[]4,5B ．[]5,7C ．[]4,6D ．[]5,85．已知α为锐角，且)tan10cos 1α︒=，则α的值为（ ）A ．40°B ．50°C ．70°D ．80°6．已知函数()3sin 4cos f x x x =+．设x θ=时，()f x 取得最大值．则πcos 4θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）AB．CD．7．定义行列式运算：12142334a a a a a a a a =-，若将函数()sin cos 1x x f x =的图象向右平移ϕ（0ϕ>）个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则ϕ的最小值是A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π8．如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O 距离水面的高度为2米．设筒车上的某个盛水筒P 到水面的距离为d （单位：m ）（在水面下则d 为负数），若以盛水筒P 刚浮出水面时开始计算时间，则d 与时间t （单位：s ）之间的关系可以表示为（ ）A ．ππ4sin 2206d t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭B ．ππ4sin 2206d t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭C ．ππ4sin 2106d t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭D ．ππ4sin 2106d t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭二、多选题9．函数()()sin f x A x ωϕ=+的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于M ，N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．函数()f x 的图象关于点4π,03⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称C ．函数()f x 在5ππ,126⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递增D ．函数()f x 的图象上所有的点横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移π3后关于y 轴对称. 10．如图，ABC V 中，13BD BC =u u u r u u u r，点E 在线段AC 上，AD 与BE 交于点F ，12BF BE =u u u r u u u r ，则下列说法正确的是（ ）A ．2133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u rB ．23AE EC =u u u r u u u rC ．20AF BF CF ++=u u u r u u u r u u u r rD ．:1:3BFD AFB S S =△△11．下列命题中错误的是（ ）A ．已知,a b r r 为平面内两个不共线的向量，则{},3a b a b +-+r r r r可作为平面的一组基底B ．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量C ．方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大D ．若//a b r r ，则存在唯一实数λ使得a b λ=r r三、填空题12．已知1cos sin 63παα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭．13．如果向量a r ，b r 的夹角为θ，我们就称a b ⨯r r 为向量a r 与b r 的“向量积”，a b ⨯r r 还是一个向量，它的长度为sin a b a b θ⨯=⋅r rr r ，如果10,2,12a b a b ==⋅=-r r r r ，则a b ⨯=r r ．14．若向量,a b rr 满足4,3a b r r ==，且()()23261a b a b -⋅+=r r r r ，则a r 在b r 上的投影数量为.四、解答题15．如图，在四边形OBCD 中，2CD BO =u u u v u u u v ，2OA AD =u u u v u u u v，90D ??，且1BO AD ==u u u v u u u v .（Ⅰ）用,OA OB u u u v u u u v 表示CB u u u v；（Ⅱ）点P 在线段AB 上，且3AB AP =，求cos PCB ∠的值.16．已知2a =r ，3b =r ，()8a b b +⋅=r r r.(1)求a b +r r ：(2)当实数k 为何值时，2ka b -r r 与2a b +r r垂直？(3)若,a b r r 不共线，ka b -r r与4a kb -r r 反向，求实数k 的值.17．已知函数()2()2sin 1(0,0 )2x f x x ωϕωϕωϕπ+⎛⎫++-><<⎪⎝⎭为奇函数，且()f x 图象的相邻两对称轴间的距离为2π. (1)求()f x 的解析式与单调递减区间； (2)将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，当 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求方程()22()30g x x -=的所有根的和.18．如图，在扇形OPQ 中，半径1OP =，圆心角3POQ π∠=，A 是半径OP 上的动点，矩形ABCD 内接于扇形OPQ ，且OA OD =.（1）若BOP α∠=，求线段AB 的长； （2）求矩形ABCD 面积的最大值.19．对于集合{}12,,,n A θθθ=⋅⋅⋅和常数0θ，定义：()()()22210200cos cos cos n nθθθθθθμ-+-+⋯+-=为集合A 相对0θ的“余弦方差”．(1)若集合ππ,64A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，00θ=，求集合A 相对0θ的“余弦方差”；(2)求证：集合π2π,,π33A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，相对任何常数0θ的“余弦方差”是一个与0θ无关的定值，并求此定值；(3)若集合π,,4A αβ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，[)[)0,π,π,2παβ∈∈，相对任何常数0θ的“余弦方差”是一个与0θ无关的定值，求出α、β．。
山东省青岛市2023-2024学年高一下学期4月月考数学模拟试题(含答案)
山东省青岛市2023-2024学年高一下学期4月月考数学模拟试题考试时长：120分钟 注意事项：1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，请将对应题目的答案写在答题纸相应位置上．第Ⅰ卷（共60分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若，，则等于（ ）()1,2OA =- ()1,1OB =- AB A ．B ．()2,3-()0,1C ．D ．()1,2-()2,3-2．在中，，，若点满足，以作为基底，则等于ABC AB c = AC b = D 2BD DC = {},b c AD （ ）A ．B ．2133b c + 5233b c -C ．D ．2133b c - 1233b c + 3．已知向量，满足，则向量的夹角为（ ）,a b 223,1,2a b a b +=== ,a b A ．B ．C ．D ．π6π32π35π64．已知，则 等于（ ）πcos()633x -=πcos cos()3x x +-A ．－B ．± C ．－1D ．12332335．将曲线C 1：上的点向右平移个单位长度，再将各点横坐标缩短为原来2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭6π的，纵坐标不变，得到曲线C 2，则C 2的方程为（ ）12A ．B ．2sin 4y x =2sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．D ．2sin y x=2sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭6．已知，且，则（ ）()0,πα∈3cos 210cos 1αα-=sin 2α=A ．B ．C ．D ．459459-429429-7．已知点是的重心，过点的直线与边分别交于两点，为边的O ABC O ,AB AC ,M N D BC 中点．若，则（ ）(,R)AD x AM y AN x y =+∈u u u r u u u r u u u rx y +=A ．B ．C ．2D ．3223128．若O 是所在平面内的一点，且满足，则的形状为ABC 2OB OC OB OC OA -=+- ABC （ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．下列化简正确的是（ ）A ．tan 25tan 353tan 25tan 353︒+︒+︒⋅︒=B ．22ππ1cos sin 12122-=C ．2tan22.51tan45tan 22.52︒=︒-︒D ．132sin10cos10-= 10．已知向量，，，则下列结论正确的是（ ）()1,3a = ()1,2b =-r ()2,4c =- A ．B ．b c∥ 50a c += C ．D ．()a b b +⊥ ,4a b π= 11．已知函数（其中，，）的部分图像，则下列结论()()sin f x A x ωϕ=+0A >0ω>2πϕ<正确的是（ ）A ．函数的图像关于直线()f xB ．函数的图像关于点()f xC ．将函数图像上所有的点向右平移()f xPQ l）求劣弧的弧长(单位：M）设游客丙从最低点处进舱，开始转动H t的过程中，关于时间的函数解析式；）若游客在距离地面至少85m如图，因，则2BD DC = AD 解得.2133AD b c =+ 故选：A.3．B故选：D5．A【分析】根据三角函数的变换规则计算可得.【详解】解：将向右平移个单位长度得到2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭6π，再将各点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变得2sin 22sin 263y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2sin 2y x =12到；2sin 4y x =故选：A6．D【分析】使用二倍角公式得到关于一元二次方程，求解，再根据同角三角函数的cos αcos α基本关系求出，最后根据二倍角正弦公式计算可得；sin α【详解】由得，3cos 210cos 1αα-=()232cos 110cos 1αα--=即，解得或（舍）.23cos 5cos 20αα--=1cos 3α=-cos 2α=又，()0,πα∈所以，22sin 3α=所以.42sin 22sin cos 9ααα==-故选：D.7．A【分析】由三角形重心的性质，结合向量的线性运算得到，再由2233AO x AM y AN =+u u u r u u u r u u u r 三点共线，即可求解.,,M O N 【详解】如图所示，由三角形重心的性质，可得，所以，23AO AD =32AD AO = 所以，即，32AO x AM y AN =+u u u r u u u r u u u r 2233AO x AM y AN =+u u u r u u u r u u u r 因为三点共线，可得，所以.,,M O N 22133x y +=32x y +=故选：A ．8．D【分析】根据平面向量的线性运算可以得出可判断出的形状.对于C ：计算出，即可判断；对于D ：直接计算出即可判断.()0a b b +⋅= 3,4a b π= 【详解】对于A ：因为，，所以，所以.故A 正确；()1,2b =-r ()2,4c =- 2b c =r r b c ∥ 对于B ：因为，，所以，所以.故B()1,3a = ()2,4c =- ()1,7a c =-+ ()221750a c +=-+= 错误；对于C ：因为，，所以，所以，所()1,3a = ()1,2b =-r ()2,1a b += ()()12210a b b +⋅=⨯+-⨯= 以.故C 正确；()a b b +⊥ 对于D ：因为，，所以，()1,3a = ()1,2b =-r 162cos ,21914a b a b a b ⋅-===-+⨯+⨯ 因为，所以.故D 错误.[],0,a b π∈ 3,4a b π= 故选：AC.11．ACD根据函数图象求得解析式，再根据三角函数图象性质及伸缩平移变换分别判断各个选项.()f x 【详解】由图象得函数最小值为，故，2-2A =，故，，741234T πππ=-=T π=22T πω==故函数，()2sin(2)f x x ϕ=+又函数过点，7,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭故，解得，72sin(2)212πϕ⨯+=-2,3k k Z πϕπ=+∈又，即，2πϕ<3πϕ=故，()2sin(2)3f x x π=+对称轴：，解得，当时，，故A 选()f x 2,32πππ+=+∈x k k Z ,122k x k Z ππ=+∈0k =12x π=项正确；对称中心：，解得，对称中心为()f x 2,3x k k Z ππ+=∈,62k x k Z ππ=-+∈，故B 选项错误；(,0),62k k Z ππ-+∈故选：BCD13．45【分析】利用共线向量基本定理可求出，由平面向量基本定理可建立OA =()1λ-OB + λOC 的等量关系，求解即可求出的取值.sin ,cos ααα【详解】因为直线l 上有不同的三点A ，B ，C,所以存在实数，使得，所以，λBA = λBC OA - OB = λ()OC OB - 即，所以，所以，OA = ()1λ-OB + λOC 11cos sin λαλα-=-⎧⎨=⎩sin cos αα=因为是锐角，所以．α45α= 故4514．13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】在方向上的投影向量是:，先求出，代入即可.a b cos ,a a b b bcos ,a b 【详解】因为,52cos ,===2510a b a b a b ⋅⋅ 则在方向上的投影向量是:a b ||cos ,13,22||a a b b b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 故答案为.13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭15．且514λ<0λ≠【分析】根据题意得，且与不同向共线，再利用平面向量数量积的坐()0a a b λ⋅+> a a b λ+ 标公式以及向量共线列式即可得解.【详解】因为，，()1,2a =-r ()2,6b =- 所以，()()()1,22,612,26a b λλλλ+=-+-=--+ 因为与的夹角为锐角，所以，且与不同向共线，a a b λ+ ()0a a b λ⋅+> a a b λ+ 由，得，则；()0a a b λ⋅+> ()()012226λλ-+-⨯+>-514λ<所以，当时，取得最小值.2x =DM DN ⋅ 132故；.16132本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.17．(1)；2(2)；27(3) ．277【分析】（1）（2）根据平面向量的数量积的定义即可求解；（3）根据平面向量的夹角公式即可求解．【详解】（1）∵ ,, .2a =r 2b = ,60a b 〈〉=︒ ∴ ；a b ⋅ 1222=⨯⨯2=（2）∵,()222244168428a b a a b b +=+⋅+=++= ∴ ；2a b + 27=（3）∵,()222448a b b a b b +⋅=⋅+=+= ∴cos cos 2,a b b θ=+ ()282772722a b b a b b +⋅===⨯+ 18．(1)，1233AD a b =+ 5163BE a b =-+ (2)518-【分析】（1）利用向量加法减法的三角形法则及数乘运算即可求解；（2）根据（1）的结论，利用向量的数量积运算法则即可求解.【详解】（1）因为，所以，2BD DC = 23BD BC = 所以.221)212(333333AB AC AB AB AC a b AD AB BD AB BC +-=+=+=+=+= 因为E 是AD 的中点，所以()11211()22323BE BA BD AB BC AB AC AB ⎛⎫=+=-+=-+- ⎪⎝⎭ .51516363AB AC a b =-+=-+ （2）因为，与的夹角为，1a b == a b 60︒所以，11cos ,1122a b a b a b ⋅==⨯⨯= 由（1）知，，，1233AD a b =+ 5163BE a b =-+ 所以22125154233631899AD BE a b a b a a b b ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=--⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .541251892918=--⨯+=-19．(1)；79-(2).46215+【分析】（1）根据诱导公式可得，再由二倍角的余弦公式即可求解；πsin 2cos 24αα⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）根据同角三角函数的基本关系分别求出，，由()cos αβ+πsin 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭及两角差的正弦公式即可求解.()ππsin sin 44βαβα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦【详解】（1）.22ππ17sin 2cos 22cos 1214439ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）因为是钝角，是锐角，，αβ()4sin 5αβ+=所以，，，πππ,022αβ<<<<π3π22αβ<+<ππ3π444α<-<所以，()()23cos 1sin 5αβαβ+=--+=-.2ππsin 1co 4432s 2αα⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()ππsin sin 44βαβα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()ππsin cos cos sin 44αβααβα⎛⎫⎛⎫=+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,41322462535315+⎛⎫=⨯--⨯= ⎪⎝⎭20．(1)；2k =±(2)存在或满足题意，理由见解析.()2,1M 2211,55M ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）利用向量共线定理即得；（2）设，，然后利用向量共线的坐标表示及向量垂直的坐标(),M x y ()01OM OC λλ=≤≤ 表示可得，即得.24548110λλ-+=【详解】（1）由于和共线，ka b + 2a kb + 设，，()2ka b a kb λ+=+ R λ∈由于，是不共线的两个向量，a b 所以，21k k λλ=⎧⎨=⎩解之得．2k =±（2）设，，(),M x y ()01OM OC λλ=≤≤ 则，从而，()6,3OM λλ= ()6,3M λλ，，(26,53)MA OA OM λλ=-=-- (36,13)MB OB OM λλ=-=-- ∵，∴，MA MB ⊥ 0MA MB ⋅= 从而，(26)(36)(53)(13)0λλλλ--+--=即，24548110λλ-+=解之得：或，13λ=1115λ=所以存在或满足题意．()2,1M 2211,55M ⎛⎫ ⎪⎝⎭21．(1)，（开闭均可）πππ(π,π)(Z)36k k k -+∈(2)118【分析】(1) 利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为的形式, 结合sin()y A x ωφ=+三角 函数的图象和性质, 求出周期及单调区间；（2）利用，再由角的变换, 诱导公式及二倍角的余弦公式求值即可.324f θ⎛⎫=⎪⎝⎭【详解】（1）()23113sin cos cos sin 2cos 2222f x a b x x x x x =⋅=+=++ ，π1sin(2)62x =++所以周期，2ππ2T ==令，πππ2π22π,Z 262k x k k -≤+≤+∈解得，ππππ,Z 36k x k k -≤≤+∈所以函数的单调递增区间为.（开闭均可）ππ(π,π)(Z)36k k k -+∈（2），324f θ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，即，π13sin 624θ⎛⎫∴++= ⎪⎝⎭π1sin 64θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭π5π1sin 2362f θθ⎛⎫⎛⎫∴+=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2ππ1π1π1sin 2cos 212sin 3223262θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=++=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.2111112428⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭22．（1）；（2），其中；（3）.()252m π50sin()6062H x ππ=-+012t ≤≤5min 2【分析】（1）根据弧长的计算公式可求的长度. PQ。
山东省青岛市青岛第五十八中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题
山东省青岛市青岛第五十八中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．12B ．45．已知1e ，2e是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（A ．0a =，12e be =- C ．122a e e =-，122b e e =+ 6．将函数()sin cos f x x x =-的图象向左平移关于函数()y g x =的下列说法中错误的是（A ．周期是2πA ．22B ．-8．已知直三棱柱11ABC A B -其外接球的体积为（）A ．205π3B ．5二、多选题9．已知圆锥顶点为S ，高为于,A B 的任意一点，则下列说法中正确的是（A ．圆锥SO 的侧面积为62πB ．SAC 面积的最大值为32C ．圆锥SO 的外接球的表面积为D ．若AC BC =，E 为线段10．已知复数12,z z 是关于x 中正确的是（）A ．该圆台轴截面ABCD 面积为33cmB ．该圆台的体积为314πcm 3C ．该圆台的侧面积为26πcm D ．沿着该圆台表面，从点C 到AD 中点的最短距离为12．由倍角公式2cos 22cos 1x x =-，可知存在一个*()n n ∈N 次多项式()n P t a =()cos cos n nx P x =，这些多项式()n P t 用探究切比雪夫多项式的方法可得（A ．()3343P t t t=-+C ．51sin184-︒=三、填空题13．已知,R a b ∈，()320233i i i a b -+=+四、解答题17．如图，在正ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 上的一个三等分点，分别靠近点A ，点B ，且AE ，CD 交于点P ．用BA ，BC 表示BP；18．在ABC ∆中，内角A sin sin 2sin a A a B C -=-（1）若sin sin(C B A +-（2）记边AB 的中点为19．为了求一个棱长为1的正方体，如图1：则四面体11B ACB ACB D V V V -=-四面体正方体(1)类似此解法，如图2，一个相对棱长都相等的四面体，其三组棱长分别为10，求此四面体的体积；(2)对棱分别相等的四面体ABCD 中，AB CD =，AC BD =，AD 体的四个面都是锐角三角形.20．某中学在荣获省级多样化发展示范学校后，征得一块形状为扇形的土地用于建设新的田径场，如图，已知扇形圆心角23AOB π∠=，半径120OA =欲在该地截出内接矩形MNPQ 建田径场，并保证矩形的一边平行于扇形弦POA θ∠=，记PQ t =.(1)写出P 、Q 两点的坐标，并以(2)当θ为何值时，矩形田径场的面积21．阅读材料：三角形的重心三角形的顶点或边都具有一些特殊的性质（一）三角形的“四心”1.三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：2.三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直.3.三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径4三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等（二）三角形“四心”的向量表示在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为1.三角形的重心：OA OB OC ++ 2.三角形的垂心：OA OB OB ⋅= 3.三角形的内心：aOA bOB + 4.三角形的外心：OA OB == 研究三角形“四心”的向量表示，我们就可以把与三角形题，充分利用平面向量的相关知识解决三角形的问题，的工具作用，也很好地体现了数形结合的数学思想结合阅读材料回答下面的问题：(1)在ABC 中，若()(1,1,3,5A B (2)如图所示，在非等腰的锐角心.若M 是BC 的中点，求证：22．某企业一天中不同时刻的用电量足()()sin f t A t B ωϕ=++（A 象(0t =对应凌晨0点）．(1)根据图象，求A ，ω，ϕ，(2)由于当地冬季雾霾严重，从环保的角度，限，又要控制企业的排放量，于是需要对各企业实行分时拉闸限电措施．已知该企业某日前半日能分配到的供电量(g 型()225g t t =-+（0t ≤≤产．初步预计这一时刻处在中午又可尽量减少停产时间，请从这个初步预计的时间段开始，时间段精确到15分钟．。
2023-2024学年山东省青岛市高一下学期3月月考数学质量检测模拟试题(含答案)
2023-2024学年山东省青岛市高一下册3月月考数学试题一、单选题1．设21,e e是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（）A ．12e e + 和123e e -B ．216e e + 和12e e + C ．1234e e - 和1268e e - D ．122e e +和122e e - 【正确答案】C【分析】根据不共线的两向量可作为平面的基底，判断每个选项中的两向量是否具有倍数关系，从而判断两向量是否共线，即可判断出答案.【详解】由于21,e e 是平面内所有向量的一组基底，故21,e e不共线，对于A ，12e e + 和123e e -没有倍数关系，故二者不共线，可作为作为平面的一组基底；对于B ，216e e + 和12e e +没有倍数关系，故二者不共线，可作为作为平面的一组基底；对于C ，因为22112(684)3e e e e =-- ，即1234e e - 和1268e e -共线，不能作为基底；对于D ，21121()222e e e e --= ，故122e e +和122e e - 没有倍数关系，故二者不共线，可作为平面的一组基底；故选：C2．在平面直角坐标系xOy 中，点()11,3P ，()24,0P ，且P 是线段12PP 的一个三等分点（靠近1P 点），则向量OP =（）A ．()2,2B ．()3,1-C ．()2,2或()3,1-D ．()2,2或()3,1【正确答案】A【分析】根据向量线性运算和坐标运算即可求解.【详解】因为P 是线段12PP 的一个三等分点（靠近1P点），所以11213PP PP =，又因为点()11,3P ，()24,0P ，所以12(3,3)P P =-，则11121(1,1)3PP OP OP PP =-==- ，所以11(1,1)(1,3)(2,2)OP PP OP =+=-+= ，故选.A3．将函数()πcos 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标保持不变，得到函数()g x 的图像，则函数()g x 的一个减区间是（）A ．ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．π5π,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．π11π,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．π5π,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【正确答案】D【分析】根据三角函数图像的伸缩变换可得()πcos 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用整体代换法即可求解函数()g x 的单调减区间.【详解】函数()πcos 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像上的点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得()πcos 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令π2π2π2π,Z 6k x k k ≤+≤+∈，得π5πππ,Z 1212k x k k -+≤≤+∈，当0k =时，π5π,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，即函数()g x 的一个单调减区间为π5π,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：D.4．已知π()cos sin 6f x x x ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，则下列描述中正确的是（）A ．函数周期是2πB ．x 为锐角，函数最大值是14C ．直线π3x =不是函数的一条对称轴D ．x 为钝角，函数没有最小值【正确答案】B【分析】利用两角和与差的正弦公式、正弦余弦的二倍角公式化简()f x 1π1sin 2264x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，再根据三角函数的性质逐项判断可得答案.【详解】()πππcos sin cos sin cos cos sin 666f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211cos 2sin cos sin 224xx x x x +--1cos 211π12sin 22224264x x x ⎛⎫⎛⎫=---- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()f x 周期是2ππ2=，故A 错误；当π02x <<，所以ππ5π2666x -<-<，11π11sin 222644x ⎛⎫-<--≤ ⎪⎝⎭，所以函数最大值是14，故B 正确；当π3x =时，π1ππ11π11sin 2sin 323642244f ⎛⎫⎛⎫=⨯--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时函数取到最大值，故直线π3x =是函数的一条对称轴，故C 错误；当ππ2x <<，所以5ππ11π2666x <-<，31π1sin 204264x ⎛⎫-≤--< ⎪⎝⎭，所以函数最小值是34-，故D错误.故选：B.5．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的个数是（）（1）若A B >，则sin sin A B>（2）若30A ︒=，4b =，3a =．则ABC 有两解（3）已知ABC 的外接圆的圆心为O ，AB =，AC =M 为BC 上一点，且有2BM MC =，则76AM AO ⋅= ．（4）若三角形ABC 为斜三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【正确答案】D【分析】利用正弦定理可以判断（1）（2）是正确，利用向量数量积的定义可以判断（3）正确，利用两角和的正切公式可以判断（4）正确.【详解】对于（1），若A B >则a b >，由正弦定理得2sin 2sin R A R B >，整理得sin sin A B >，故而（1）正确；对于（2），因为30A ︒=，4b =，3a =，由正弦定理得34sin 30sin B︒=，即2sin 3B =，又因为b a >，所以B 有两解，故而（2）正确；对于（3），因为O 是ABC 的外心，所以cos AB AO AB AO BAO ⋅=∠ =212AB=32，同理可得2112AC AO AC ⋅== ，又因为AM AB BM =+ =23AB BC +=2()3AB AC AB +- =1233AB AC + ,所以127336AM AO AB AO AC AO ⋅=⋅+⋅= ，故而（3）正确；对于（4），由πA B C ++=,得πA B C +=-，且三角形ABC 为斜三角形，则tan tan A B +=tan()(1tan tan )A B A B +-tan(π)(1tan tan )C A B =--tan (1tan tan )C A B =--tan tan tan tan C A B C =-+，所以tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，故而（4）正确；故选：D6．冬奧会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想．某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下．为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求．该同学取端点绘制了ABD △，测得AB =5，BD =6，AC =4，AD =3，若点C 恰好在边BD 上，请帮忙计算cos ACD ∠的值（）A ．12B ．59C D ．6【正确答案】D【分析】先根据三条边求出cos ADB ∠，利用平方关系得到sin ADB ∠，结合正弦定理可得sin ACD ∠，再根据平方关系可求cos ACD ∠.【详解】由题意，在ABD △中，由余弦定理，222936255cos 22369AD BD AB ADB AD BD +-+-∠===⋅⨯⨯；因为(0,π)ADB ∠∈，所以sin 9ADB ∠=，在ACD 中，由正弦定理,sin sin AC ADADB ACD=∠∠3sin ACD =∠，解得sin ACD ∠=由题意，因为ACD ∠为锐角，所以cos ACD ∠=故选：D.7．已知ABC 是边长为()20a a >的等边三角形，P 为ABC 所在平面内一点，则()PA PB PC ⋅+的值不可能是（）A ．2a -B ．232a-C ．243a-D ．22a -【正确答案】D【分析】根据已知条件建立平面直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向量的线性运算的坐标表示及向量的数量积的坐标表示即可求解.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系.设(),P x y ，又()A ，(),0B a -，(),0C a ，则()PA x y =--，(),PB a x y =---，(),PC a x y =-- .所以()(),,a x y a P PC x y B -+--+-=- ，即()2,2PB x y PC --+=所以()()()2,2x PA PB P y x y C =--⋅--⋅+，所以()PA PB PC ⋅+2222x y =+-即()PA PB PC ⋅+ 2223222x y a a ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭.所以()PA PB PC ⋅+ 232a≥-故选：D.8．已知()0παβ∈，，，1tan()2αβ-=，1tan 7β=-，则2αβ-=（）A ．5π4B ．π4C ．π4-D ．3π4-【正确答案】D【分析】结合式子中角的特点以及范围，分别求tan tan[()]ααββ=-+，tan(2)tan[()]αβαβα-=-+，再根据正切值缩小,αβ的范围，从而得到2αβ-的范围，即可得到角2αβ-的大小.【详解】因为()()()11tan tan 127tan tan 1111tan tan 3127αββααββαββ--+⎡⎤=-+===<⎣⎦--+⨯，11tan()tan 23tan(2)tan[()]1111tan()tan 123αβααβαβααβα+-+-=-+===---⨯，而(0π)αβ∈，，，1tan 17β=->-，所以π04α<<，3ππ4β<<，3ππ4β-<-<-，ππ24αβ-<-<-，所以3π24αβ-=-．故选：D ．二、多选题9．已知函数()sin f x x x ωω=-，0ω>，则下列结论中正确的是（）A ．若2ω=，则将()f x 图象向左平移6π个单位长度后得到的图象关于原点对称B ．若()()124f x f x -=，且12x x -的最小值为2π，则2ω=C ．若()f x 在0,3π⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为(0,3]D ．当3ω=时，()f x 在[0,]π有且只有3个零点【正确答案】ABD【分析】由()2sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，逐项判断.【详解】解：函数()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫==- ⎪⎝⎭，A.若2ω=，()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将()f x 图象向左平移6π个单位长度后得到2sin 22sin 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其图象关于原点对称，故正确；B.若()()124f x f x -=，且12x x -的最小值为2π，则22T ππω==，解得2ω=，故正确；C.当0,3x π⎡⎤∈⎢⎣⎦时，33,33x πωω⎡⎤--⎢⎥⎣∈⎦-，若()f x 在0,3π⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增，则332πωππ-≤，解得502ω<≤，故错误；D.当3ω=时，()2sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令33Z ,x k k ππ=∈-，解得,Z 39k x k ππ=+∈，因为[]0,x π∈，所以47,,999x x x πππ===，所以()f x 在[0,]π有且只有3个零点，故正确；故选：ABD10．如图，在海岸上有两个观测点C ，D ，C 在D 的正西方向，距离为2km ，在某天10:00观察到某航船在A 处，此时测得∠ADC=30°，5分钟后该船行驶至B 处，此时测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，则（）A ．当天10:00时，该船位于观测点C 的北偏西15°方向B ．当天10:00时，该船距离观测点kmC ．当船行驶至B 处时，该船距观测点kmD ．该船在由A 行驶至B 的这5min【正确答案】ABD【分析】利用方位角的概念判断A ，利用正弦定理、余弦定理求解后判断BCD ．【详解】A 选项中，∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+45°=105°，因为C 在D 的正西方向，所以A 在C 的北偏西15°方向，故A 正确.B 选项中，在△ACD 中，∠ACD=105°，∠ADC=30°，则∠CAD=45°.由正弦定理，得AC=sin sin CD ADCCAD∠∠=，故B 正确.C 选项中，在△BCD 中，∠BCD=45°，∠CDB=∠ADC+∠ADB=30°+60°=90°，即∠CBD=45°，则BD=CD=2，于是BC=，故C 不正确.D 选项中，在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2=AC 2+BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB=2+8－212=6，即km ，故D 正确.故选：ABD ．11．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O 是△ABC 内一点，△BOC ，△AOC ，△AOB 的面积分别为A S ，B S ，C S ，且0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=．设O是锐角△ABC 内的一点，∠BAC ，∠ABC ，∠ACB 分别是的△ABC 三个内角，以下命题正确的有（）A ．若230OA OB OC ++=，则::1:2:3A B C S S S =B ．若2OA OB == ，5π6AOB ∠=，2340OA OB OC ++= ，则92ABC S =C ．若O 为△ABC 的内心，3450OA OB OC ++= ，则π2C ∠=D ．若O 为△ABC 的垂心，3450OA OB OC ++= ，则cos AOB ∠=【正确答案】ACD【分析】对A ，由奔驰定理即可判断；对B ，由面积公式求出C S ，结合奔驰定理即可求；对C ，由奔驰定理，结合内心性质可得::3:4:5a b c =，即可得π2C ∠=；对D ，由垂心性质及向量数量积的垂直表示可得::cos :cos :cos OA OB OC A B C =∠∠∠，结合奔驰定理结合三角形面积公式，可得::tan :tan :tan 3:4:5A B C S S S A B C =∠∠∠=，如图所示D E F 、、分别为垂足，可设AF m =，()tan 30A t t ∠=>，即可由几何关系列式AB FC AC BE ⋅=⋅解出t =最后由正切求出余弦值cos C ∠=，则由cos cos AOB C ∠=-∠可求【详解】对A ，由奔驰定理可得，230A B C OA OB OC S OA S OB S OC ++=⋅+⋅+⋅= ，又OA OB OC、、不共线，故::1:2:3A B C S S S =，A 对；对B ，122sin 12C S AOB =⨯⨯⨯∠=，由2340OA OB OC ++= 得::2:3:4A B C S S S =，故9944ABC C S S == ，B 错；对C ，若O 为△ABC 的内心，3450OA OB OC ++=，则::3:4:5A B C S S S =，又111::::::222A B C ar br cr a b c S S S ==（r 为内切圆半径），三边满足勾股定律，故π2C ∠=，C 对；对D ，若O 为△ABC 的垂心，则πBOC A ∠+∠=，cos cos OB OC OB OC BOC OB OC A ⋅=⋅∠=-⋅∠，又()0cos cos OB AC OB OC OA OB OC OB OA OC A OA C ⋅=⋅-=⇔⋅=⋅⇔∠=∠，同理cos cos ,cos cos OC B OB C OA B OB A ∠=∠∠=∠，∴::cos :cos :cos OA OB OC A B C =∠∠∠，∵3450OA OB OC ++=，则::3:4:5A B C S S S =，且111::sin :sin :sin 222A B C S S S OB OC BOC OA OC AOC OA OB AOB =∠∠∠cos cos sin :cos cos sin :cos cos sin B C A A C B A B C=∠∠∠∠∠∠∠∠∠sin sin sin ::cos cos cos A B C A B C∠∠∠=∠∠∠tan :tan :tan A B C=∠∠∠如图，D E F 、、分别为垂足，设AF m =，()tan 30A t t ∠=>，则373,,,44FC mt BF m AB m AC m ====，又::5:3tan tan BE BEAE EC A C==∠∠，故515,388t AE AC BE t AE AC ==⋅=，由()2271539148t AB FC AC BE m mt t m ⋅=⋅⇔⋅=+，解得5t =，由221tan 15cos cos 6C C C ∠=-=⇒∠=∠，故cos cos 6AOB C ∠=-∠=-，D 对故选：ACD 12．“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，已知圆O 的半径为2，点P 是圆O 内的定点，且OP =AC ，BD 均过点P ，则下列说法正确的是（）A ．PA PC ⋅为定值B ．OA OC ⋅的取值范围是[2,0]-C ．当AC BD ⊥时，AB CD ⋅为定值D ．AC BD ⊥时，AC BD ⋅ 的最大值为12【正确答案】ACD【分析】根据所给定义可判断A ，利用数量积的运算律和向量的加法运算可判断B ，利用数量积的运算律和所给定义可判断C ，利用基本不等式可判断D.【详解】如图，设直线PO 与圆O 于E ，F ．则|||||||PA PC PA PC EP PF ⋅=-=-()22||||(|||)||||2OE PO OE PO PO OE =--+=-=-，故A 正确．取AC 的中点为M ，连接OM ，则22()()OA OC OM MA OM MC OM MC ⋅=+⋅+=- 222(4)24OM OM OM =--=- ，而220||2,OM OP ≤≤=故OA OC ⋅的取值范围是[]4,0,-故B 错误；当AC BD ⊥时，()()AB CD AP PB CP PD AP CP PB PD ⋅=+⋅+=⋅+⋅||||||||2||||4AP CP PB PD EP PF =--=-=-，故C 正确．当AC BD ⊥时，圆O 半径2,r =取AC 中点为M ，BD 中点为N ，则222222222(44)||||4()4()164OM ON AC BD r OM r ON -+-=-⋅-≤ 244(821)4⋅-==，最后等号成立是因为222||||||2OM ON OP +== ，不等式等号成立当且仅当22||||1OM ON == ，故D 正确．故选:ACD.三、填空题13．已知()4,2a = ，()1,1b = ，则a 在b 方向上的投影向量的坐标为__________．【正确答案】()3,3【分析】根据投影向量的定义求解.【详解】因为()4,2a = ，()1,1b = ，所以a 向量在b 方向的投影向量为()()()1,13,3a b b b b ⋅⋅⋅= .故()3,314．(1,2),(3,)m n t == ，若m 与2m n + 不成锐角，则t 的取值范围为__________．【正确答案】{}11,64⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 【分析】不成锐角则可能夹角为0或者为直角、钝角和平角，再分别列式求解即可【详解】由题意，()(1,2)2(3,)7,222m t n t +==++ ，因为m 与2m n + 不成锐角，故夹角为0或者为直角、钝角和平角.当夹角为0时，m 与2m n + 同向，故()()7,221,2,0t λλ+=>，故7λ=，解得6t =；当夹角为直角、钝角或平角时，()()7,221,20t +⋅≤，即7440t ++≤，解得114t ≤-；故t 的取值范围为{}11,64⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 故{}11,64⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦15cos 40sin 501︒+︒+︒=______．【分析】利用诱导公式和三角恒等变换化简求值即可．cos 40sin 50⎫︒+︒⎪⎪=12cos102cos 40sin 50cos10⎛⎫︒︒ ⎪ ⎪⎝⎭︒+︒=()2sin 1030cos 40sin 50cos10︒+︒︒+︒=2sin 40cos 40cos 40cos10︒︒︒+sin 80cos 40cos10︒︒+==2=2．16．对于三角形ABC 形状的判断，以下说法正确的有：__________①若cos cos a B b A =，则ABC 为等腰三角形；②若AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅ ，则ABC 为等边三角形．③sin cos A B =，则ABC 为直角三角形．④若ABC 平面内有一点O 满足：0OA OB OC ++= ，且OA OB OC == ，则ABC 为等边三角形⑤若222sin sin cos 1A B C ++<，则ABC 为钝角三角形．【正确答案】②④⑤【分析】根据正弦定理边化角，可推得A B =或π2A B +=，判断①；根据向量数量积的运算律可判断②；举反例可判断③；根据向量数量积的运算律结合向量的模可判断④；利用正弦定理角化边结合余弦定理可判断⑤.【详解】对于①，cos cos a B b A =，则sin cos ,sin cos sin cos sin cos A B A A B B B A=∴=,即sin 2sin 2A B =，由于,(0,π)A B ∈，则2,2(0,2π)A B ∈，则22A B =或22πA B +=，即A B =或π2A B +=，故ABC 为等腰三角形或直角三角形，①错误；对于②，由AB BC BC CA ⋅=⋅ 可得()0AB AC BC +⋅= ，即()()0AB AC AC AB +⋅-= ，故220,||||AC AB AC AB -=∴= ，同理由BC CA CA AB ⋅=⋅可得||||BC AB = ,故ABC 为等边三角形，②正确．对于③，不妨取2ππ,36A B C ===,满足sin cos A B =，但ABC 不是直角三角形．③错误；对于④，因为0OA OB OC ++= ，故22||||OA OB OC +=- ，即222||||2||OA OB OA OB OC ++⋅= ，又|||||OA OB OC == ，所以2||2||||cos 0OA OA OB AOB +⋅⋅∠= ，故1cos 2AOB ∠=-，由于][0,πAOB ∠∈，故2π3AOB ∠=，同理可得2π3AOC BOC =∠=∠，结合||||||OA OB OC == ，故AOB ≌AOC ≌COB △,可得||||||AB AC BC == ，故ABC 为等边三角形，④正确；对于⑤，由222sin sin cos 1A B C ++<得2222sin sin 1cos sin A B C C +<-=，即222a b c +<，即222cos 02a b c C ab +-=<，由于(0,π)C ∈，故C 为钝角，故ABC 为钝角三角形，⑤正确，故②④⑤方法点睛：判断三角形形状问题可以利用正余弦定理，根据角的范围进行判断，注意正余弦定理边角互化的应用，也可以利用向量的线性运算或者数量积的运算进行判断.四、解答题17．如图，在平行四边形ABCD 中，AB a =，AD b = ，H ，M 分别是AD ，DC 的中点，F 为BC 上一点，且13BF BC =．(1)以a ，b 为基底表示向量AM 与HF ；(2)若3a = ，4b = ，113AM HF ⋅=- ，求a 与b 的夹角θ．【正确答案】(1)12=+ AM a b ，16=- HF a b (2)2π3θ=【分析】（1）根据图形和平面向量的线性运算即可求解；（2）由（1）得1126AM HF a b a b ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，进而6a b ⋅=- ，结合平面数量积的定义计算即可求解.【详解】（1）由已知得12DM a = ，12AM AD DM a b ∴=+=+ ．由13BF BC =，易知13BF b = ，13AF AB BF a b ∴=+=+ ．111236HF HA AF b a b a b ⎛⎫∴=+=-++=- ⎪⎝⎭ ．（2）1126AM HF a b a b ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2211112126a ab b =+⋅- 221111113421263a b =⨯+⨯⋅-⨯=- ，6a b ∴⋅=- ．cos 34cos 6a b θθ∴=⨯⨯=- ．1cos 2θ∴=-．[]0,πθ∈ ，2π3θ∴=．18．已知)21,1,cos ,cos 2m x n x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭ ，设函数()f x m n =⋅ ．(1)当π5π,1212x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，分别求函数()f x 取得最大值和最小值时x 的值；(2)设ABC 的内角,,A B C的对应边分别是,,,a b c 且a =，6,12A b f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，求c 的值．【正确答案】(1)π3x =时最大值0；π12x =-时最小值1-；(2)c =【分析】（1）应用向量数量积的坐标运算，二倍角、辅助角公式化简得π()sin 216f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由正弦型函数的性质求()f x 的最值；（2）由已知及三角形内角性质得π6A =，法一：应用余弦定理列关于c 的方程求解即可；法二：应用正弦定理求得π3B =或2π3B =，分别求出对应的c 值即可.【详解】（1）由题知：211π()cos cos 2cos 21sin 21226f x x x x x x x ⎛⎫=--=--=-- ⎪⎝⎭，π5π,1212x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ ，则ππ2π2363x -≤-≤，故πsin 2126x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，∴当πsin 216x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即ππ262x -=，得π3x =时()f x 取得最大值0，当πsin 262x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即ππ263x -=-，得π12x =-时()f x 取得最小值1．（2）由πsin 1126A f A ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πsin()06A -=，又(0,π)A ∈，则π6A =．法一：由余弦定理2222cos a c b c b =+-⨯⨯A 得：2240c -+=，解得：c =法二：由正弦定理sin sin a b A B =有sin B =，则π3B =或2π3B =，当π3B =时，π2C =，由勾股定理有c =；当2π3B =时，π6C A ==，则c a ==综上所解：c =19．在①cos cos a B b A c b -=-，②tan tan tan tan tan 0A B C B C ++=，③ABC 的面积为()1sin sin sin 2a b B c C a A +-，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且______．(1)求角A ；(2)若8a =，ABCABC 的面积．【正确答案】(1)π3A =(2)【分析】（1）选①，根据已知条件及正弦定理的边角化，再利用三角形的内角和定理及两角和的正弦公式，结合三角函数的特殊值对应特殊角注意角的范围即可求解；选②，根据已知条件及三角形的内角和定理，再利用两角和的正切公式及三角函数的特殊值对应特殊角注意角的范围即可求解；选③，根据已知条件及三角形的面积公式，再利用余弦定理的推论及三角函数的特殊值对应特殊角注意角的范围即可求解；（2）根据（1）的结论及三角形的面积公式，结合余弦定理即可求解.【详解】（1）若选①，由cos cos a B b A c b -=-及正弦定理，得sin cos cos sin sin sin A B A B C B -=-，即()sin cos cos sin sin sin A B A B A B B -=+-，即sin cos cos sin sin cos cos sin sin A B A B A B A B B -=+-，所以2cos sin sin A B B =，因为0πB <<,所以sin 0B ≠，所以1cos 2A =，又0πA <<,所以π3A =．若选②，由tan tan tan tan tan 0A B C B C ++=，得()tan tan tan tan1tan tan A B C A B A B +==-+=--⋅，tan tan B A B =⋅，因为0πB <<,所以tan 0B ≠，当π2B =时，tan B 不存在，所以tan A =0πA <<,所以π3A =．若选③，因为ABC 的面积为()1sin sin sin 2a b B c C a A +-，所以()11sin sin sin sin 22ABC S a b B c C a A bc A =+-=△，即222b c a bc +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，又0πA <<,所以π3A =．（2）由（1）知，π3A =，∵ABC∴()11sin 22a b c bc A ++=⋅，即()8b c ++=182b c bc ++=①，由余弦定理，得222π2cos 3a b c bc =+-，即2212642b c bc +-⋅=，所以()2364b c bc +-=②，联立①②，得2183642bc bc ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得44bc =，所以14422ABC S =⨯⨯=△20．如图，正方形ABCD 的边长为6，E 是AB 的中点，F 是BC 边上靠近点B 的三等分点，AF 与DE 交于点M ．(1)求EMF ∠的余弦值；(2)设AM AF λ= ，求λ的值及点M 的坐标；(3)若点P 自A 点逆时针沿正方形的边再运动到A 点，在这个过程中，是否存在这样的点P ，使得EF MP ⊥？若存在，求出MP 的长度，若不存在，请说明理由．【正确答案】(1)10(2)37λ=，)186,7(7M .(3)存在符合题意的点22(,0)7P ，||MP =或33(0,|7P MP =【分析】（1）建立平面直角坐标系，利用向量的夹角公式即可求得答案；（2）利用三点共线结合向量共线的坐标表示，即可求得答案；（3）假设存在满足条件的点P ，分类讨论其所处的位置，根据数量积等于0，求得参数，即可判断出结论.【详解】（1）如图所示，建立以点A 为原点的平面直角坐标系，则(),()(0,6),3,0(0,0),6,2D E A F ，∴(3,6)DE =- ，(6,2)AF = ，由于EMF ∠就是DE ，AF 的夹角，cos cos ,10AF E ∴∠=〈〉= ，∴EMF ∠的余弦值为10.（2）因为AM AF λ= ，则(6,2)AM λλ= ，则2(6),M λλ,又,,D M E 三点共线，则设,01DM tDE t =<< ，即()36,26(,6)t λλ-=-，则63266t t λλ=⎧⎨-=-⎩，解得37λ=，故)186,7(7M .（3）由题意得(3,2)EF = ，假设存在点P ，使得EF MP ⊥，①当点P 在AB 上时，设,0),(06)(P x x ≤≤，∴186(,)77MP x =-- ，则54123077x --=，则227x =，故22(,0)7P ，||MP =②当点P 在BC 上时，设6),(6,0P y y <≤，∴246(,)77MP y =- ，则72123020,777y y +-=∴=-（舍去）；③当点P 在CD 上时，设,6),06(P x x ≤<，∴1836(,)77MP x =- ，则54723077x -+=，则67x =-（舍去）；④当点P 在DA 上时，设(0,),06P y y <<，则186(,)77MP y =-- ，则541220,77y -+-=则337y =，故33(0,),||7P MP ∴=综上，存在符合题意的点22(,0)7P，||MP =或33(0,|7P MP =方法点睛：第三问的解答要注意假设符合题意的点存在，要讨论分类讨论，即讨论该点落在正方形的哪条边上，分类解答.21．已知函数()sin cos f x a x b x =+，称向量(),p a b = 为()f x 的特征向量，()f x 为p 的特征函数.(1)设()()32sin sin 2g x x x ππ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，求()g x 的特征向量；(2)设向量)p = 的特征函数为()f x ，求当()65f x =且,63x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，sin x 的值；(3)设向量12p ⎛=- ⎝⎭的特征函数为()f x ，记()()214h x f x =-，若()h x 在区间[],a b 上至少有40个零点，求b a -的最小值.【正确答案】(1)()2,1-(2)410(3)583π【分析】（1）根据诱导公式化简，再根据函数的特征向量的定义即可得解；（2）根据向量的特征函数求出函数解析式，化简可得()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据sin sin 66x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦结合两角差的正弦公式即可得解；（3）根据三角恒等变换求出函数()h x 的解析式，不妨设a 为其中的一个零点，再根据三角函数的性质即可得出答案.【详解】（1）解：因为()()32sin sin 2sin cos 2g x x x x x ππ⎛⎫=-+-=- ⎪⎝⎭，所以函数()g x 的特征向量()2,1p =- ；（2）解：因为向量)p = 的特征函数为()f x ，所以()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由()65f x =，得3sin 65x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为,63x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以0,62x ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以4cos 65x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以3414sin sin 66525210x x ππ⎡⎤⎛⎫=+-=-⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（3）解：因为向量12p ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭的特征函数为()f x ，所以()1sin cos cos 226f x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，则()()221111cos cos 2464234h x f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=+-=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()0h x =，则1cos 232x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则22233x k πππ+=+或42,Z 3k k ππ+∈，则6x k ππ=+或,Z 2k k ππ+∈，由()h x 在区间[],a b 上至少有40个零点，不妨设6a π=，则19196262b T T ππππ⎛⎫≥++-=+ ⎪⎝⎭，则581919333b a T ππππ-≥+=+=，所以b a -的最小值为583π.本题在以新定义基础之上考查了三角函数的有关知识点，考查了诱导公式及三角恒等变换中的几个公式，考查了给之球池问题，还考查了三角函数中的零点问题.22．后疫情时代，很多地方尝试开放夜市地摊经济，多个城市也放宽了对摆摊的限制．某商场经营者也顺应潮流准备在商场门前摆地摊．已知该商场门前是一块扇形区域，拟对这块扇形空地AOB 进行改造．如图所示，平行四边形OMPN 区域为顾客的休息区域，阴影区域为“摆地摊”区域，点P 在弧AB 上，点M 和点N 分别在线段OA 和线段OB 上，且90cm OA =，π3AOB ∠=．记POB θ∠=．(1)请写出顾客的休息区域OMPN 的面积S 关于θ的函数关系式，并求当θ为何值时，S 取得最大值；(2)记OP xOA yOB =+ ，若()0t x y μμ=+>存在最大值，求μ的取值范围．【正确答案】(1)π26S θ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭π03θ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，π6θ=(2)1,22μ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【分析】（1）在PMO △中，正弦定理可得OM θ=，π3PM θ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，通过三角恒等变换可得π226PMO S S θ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭ ，π03θ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，从而可求其最大值；（2）根据向量的运算，由OP xOA yOB =+得sin 3x θ=，πsin 33y θ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，从而πsin sin 333t θμθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再根据三角函数的性质求解．【详解】（1）由题可知，在PMO △中，90OP =，2π3PMO ∠=，MPO θ∠=，π3MOP ∠θ=-，则由正弦定理sin sin sin OP OM PM PMO MPO MOP ∠∠∠==πsin sin 3OM PM θθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭，故可得OM θ=，π3PM θ⎛⎫=- ⎪⎝⎭故1πsin 606023PMO S PMO MP MO ∠θθ⎛⎫=⨯⨯=-⨯ ⎪⎝⎭2π1sin sin cos sin 32θθθθθ⎫⎛⎫=-=⨯-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11cos244θθ⎫=+-⎪⎪⎝⎭1π1sin2264θ⎡⎤⎛⎫=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=π26θ⎛⎫+-⎪⎝⎭π3θ⎛⎫<<⎪⎝⎭即π226PMOS Sθ⎛⎫==+-⎪⎝⎭π3θ⎛⎫<<⎪⎝⎭．当π6θ=时，πsin216θ⎛⎫+=⎪⎝⎭，此时S取得最大值．（2）由（1）知，OMθ=，π3ONθ⎛⎫=-⎪⎝⎭∵OP xOA yOB=+，∴sin3xθ=，23π33yθ⎛⎫=-⎪⎝⎭∴πsin3tθμθ⎛⎫-⎪⎝⎭π1πsin323θμθ⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦令π3αθ=-，π0,3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴1sin2tαμα⎤⎛⎫+-⎥⎪⎝⎭⎣⎦当12μ≤时，t关于α递减，不存在最大值当12μ>时，12cos sin)utαα-=()αϕ=+，其中2tan12ϕμ=-，π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∵π3α<<，π3ϕαϕϕ<+<+要使t存在最大值，只需ππ32ϕ+>，即π6ϕ>∴tanϕ>得2132μ>-解得1,22μ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭关键点睛：本题主要考查三角函数中的最值问题，难度较大，第一小问的关键是利用正弦定理求出OM，ON用θ表示，利用辅助角公式转换后再求最值；第二小问的关键是利用平面向量的运算得出x，y用θ表示，再通过换元π3αθ=-，利用辅助角公式得到tanϕ与μ的关系，根据ϕ的范围求解．。
山东省青岛第五十八中学2023-2024学年高一下学期期末检测数学试题
山东省青岛第五十八中学2023-2024学年高一下学期期末检测数学试题一、单选题1．若复数()242i z a a =-+-为纯虚数，则实数a 的值为（ ）A ．2B ．2或2-C ．2-D ．4-2．正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1AD 与BD 所成角为（ ） A ．45︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒3．已知向量()1,a m =r ，()2,1b =-r ，且a b ∥r r ，则实数m =（ ）A ．-2B ．12-C ．12D ．24．某地区中小学生人数比例和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法随机抽取2%的学生进行调查，其中被抽取的小学生有80人，则样本容量和该地区的初中生近视人数分别为（ ）A ．100，50B ．100，1050C ．200，50D ．200，10505．已知,αβ表示两个不同的平面，,,a b c 表示三条不同的直线，（ ） A ．若//,b a a α⊂，则//b αB ．若,,,a b c a c b αα⊂⊂⊥⊥，则c α⊥C ．若,,//,//a b a b ααββ⊂⊂，则//αβD ．若,//,a a b b αβ⊥⊂，则αβ⊥6．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为13，弧长为10π的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A ．100πB ．120πC ．150πD ．300π7．某同学投掷一枚骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，已知这组数据的平均数为3，方差为0.4，则点数2出现的次数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．38．在锐角ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，)2224a c b S +-=，若1c =，则ABC V 面积的取值范围是（ ）A ．⎝⎭B ．⎝⎭C ．⎝⎭D ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭二、多选题9．已知复数0z ，z 满足()02i 1i z -=+，1z =，则（ ） A ．03i z =+B ．0010z z =C ．在复平面内0z 对应的向量为()3,1-D ．0z z -110．抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件A =“第一枚出现奇数点”，事件B =“第二枚出现偶数点”，事件C =“两枚骰子出现点数和为8”，事件D =“两枚骰子出现点数和为9”，则（ ）A ．A 与B 互斥B ．C 与D 互斥C ．A 与D 独立D ．B 与C 独立11．如图，在四边形ABCD 中，ACD V 和ABC V 是全等三角形，AB AD =，90ABC ∠=︒，60BAC ∠=︒，1AB =．下面有两种折叠方法将四边形ABCD 折成三棱锥．折法①；将ACDV 沿着AC 折起，得到三棱锥1D ABC -，如图1．折法②：将ABD △沿着BD 折起，得到三棱锥1A BCD -，如图2．下列说法正确的是（ ）．A ．按照折法①，三棱锥1D ABC -的外接球表面积恒为4πB ．按照折法①，存在1D 满足1AB CD ⊥C ．按照折法②﹐三棱锥1A BCD - D ．按照折法②，存在1A 满足1AC ⊥平面1A BD ，且此时BC 与平面1A BD 所成线面角正三、填空题12．在我市今年高三年级期中联合考试中，某校数学单科前10名的学生成绩依次是： 143,140,144,142,142,145,148,147,147,150,这10名同学数学成绩的60%分位数是.13．木工小张在处理如图所示的一块四棱台形状的木块1111ABCD A B C D -时，为了经过木料表面11CDD C 内一点P 和棱1AA 将木料平整锯开，需要在木料表面11CDD C 过点P 画直线l ，则l 满足.（选出正确的结论）①1//l AA ；②l 与直线1AA 相交；③l 与直线1BB 相交.14．根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和.现在对直角三角形CDE 按上述操作作图后，得如下图所示的图形，若AF AB AD x y =+u u u r u u u r u u u r，则x y -=.四、解答题15．如图，ABC V 中，AC BC =，四边形ABED 是正方形，平面ABED ⊥平面ABC ，若G ，F 分别是EC ，BD 的中点.(1)求证：//GF 平面ABC ； (2)求证：平面BCD ⊥平面ACD ．16．某区为了全面提升高中体育特长生的身体素质，开设“田径队”和“足球队”专业训练，在学年末体育素质达标测试时，从这两支队伍中各随机抽取100人进行专项体能测试，得到如下频率分布直方图：(1)估计两组测试的平均成绩，(2)若测试成绩在90分以上的为优秀，从两组测试成绩优秀的学生中按分层抽样的方法选出7人参加学校代表队，再从这7人中选出2人做正，副队长，求正、副队长都来自“田径队”的概率．17．记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2222sin 2cos cos A a B C a c b =+-． (1)求角C 的大小；(2)若点D 在边AB 上，且2BD AD =，3cos 5B =，求cos BCD ∠的值． 18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别为PC ，AB 的中点.(1)求证：PC BD ⊥；(2)若2PA AB AC ===，求点A 到平面EBC 的距离：(3)直线AD 上是否存在一点M ，使得P ，M ，E ，F 四点共面?若存在，求AMAD的值；若不存在，说明理由.19．将平面直角坐标系中的一列点()()()11221,,2,,,n n A a A a A n a L L L 记为{}n A .设()1n n f n A A j +=⋅r u u u u u u r ，其中j r为与y 轴方向相同的单位向量，若对任意的正整数n ，都有()()1f n f n +>，则称{}n A 为T 点列.(1)判断()1231111,1,2,,3,,,,,23n A A A A n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 是否为T 点列，并说明理由；(2)若{}n A 为T 点列，且21a a >.任取其中连续三点21,,k k k A A A A ++，证明21k k k A A A A ++V 为钝角三角形；(3)若{}n A 为T 点列，对于正整数(),,k l m k l m <<，比较l m k A A j +⋅u u u u u u u r r与l k m A A j -⋅u u u u u u u r r 的大小，并说明理由.。
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2014——2015学年度第二学期期初模拟考试
高 一 数学 2015.2
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)
1．设集合}032|{2<--=x x x M ，2{|log 0}N x x =<，则N M 等于（ ） A ．)0,1(-
B ．)1,1(-
C ．)1,0(
D ．)3,1(
2．.设α是第二象限角，(),4P x 为其终边上的一点，且1
cos 5
x α=，则tan α等于( ) A.43
- B.34
- C.34
D.
43
3、已知
，则
的值等于 （ ）
4．已知1sin 65π
α+=
（
），则cos -3π
α（）的值为（ ）
3-5
2-5
1-5
15
5．从装有5个红球和2个黑球的口袋中任取3个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A ．至少有1个黑球与都是红球 B ．恰有1个黑球与恰有2个黑球 C ．至少有1个黑球与至少有1个红球 D ．至少有1个黑球与至少有2个红球
6．由关系式31=y og x 所确定的函数()y f x =的图象是（ ）
7．已知函数f (x )＝sin(πx －
π
2
)－1，下列命题正确的是( ) A ．f (x )是周期为1的奇函数 B ．f (x )是周期为2的偶函数 C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数 D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数
8．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93．下列说法一定正确的是（ ） A ．这种抽样方法是一种分层抽样
B ．这种抽样方法是一种系统抽样
C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差
D ．该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 9．函数πcos 23y x ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象 （ ） Ａ．关于点π
03
⎛⎫ ⎪⎝⎭
，对称
Ｂ．关于直线π
4x =
对称 Ｃ．关于点π
04
⎛⎫ ⎪⎝⎭
，对称
Ｄ．关于直线π
3
x =
对称 10. 已知定义在R 上的函数()f x 满足条件；①对任意的x R ∈，都有()()4f x f x +=；②对任意的[]
()()121212,0,2x x x x x f x ∈<<且，都有f ；③函数()2f x +的图象关于y 轴对称.则下列结论正确的是( ) A.()()()7 6.5 4.5f f f <<
B. ()()()7 4.5 6.5f f f <<
C. ()()()4.5 6.57f f f <<
D. ()()()4.57 6.5f f f <<
二、填空题(本大题共5个小题，每空5分，共25分，把正确答案填在答题卡横线上) 11．若集合M=｛|3x y y -=｝，P=
｛|y y =
， 则M P = .
12．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数、又是周期函数，若f (x )最小正周期为π，且当
x ∈⎣
⎡⎦⎤0，
π2时，f (x )＝sin x ，则 f ⎝⎛⎭
⎫5π3的值为 13. 已知实数0[∈x ，]8，随机输入x ，执行如右图所示的程序框图，则输出的x 不小于55的概率为__________．
14．已知函数f x （）=log (0a 1).a x x b a +-≠＞，且当2＜a ＜3＜b ＜4
时，函数f x （）的零点*
0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 . 15.有下列命题：
①sin y x =在第一象限为增函数； ②方程sin x x =的解的个数有3个；
③已知函数)(x f 是奇函数，且当0x <时，有
x x x f 2sin 3cos )(+=，则当0>x 时，
()cos3sin 2f x x x =-+；
④)3
2sin(4)(π
+
=x x f 的图象关于点(,0)6
π
-
对称。
其中正确的命题序号为 .
三、解答题：（本大题共4小题，共45分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16（本小题满分11分）
已知()2sin(2)+a+16
f x x π
=+
（其中a 为常数）
（1）求函数()f x 的单调增区间。
（2）当x ∈⎣
⎡⎦
0，
π2时，函数()f x 的最大值为4，求a 的值 （3）在（2）的条件下,求满足()1f x =,且[]
,x ππ∈-的x 的集合．
17、（本题满分11分）
已知函数()log ()x a f x a a =-(0a 1)a >≠，且，求()f x 的定义域和值域；
18. (本小题满分11分) 袋中有大小相同的红球和白球各1个，每次任取1个，有放回地摸三次．
（Ⅰ）写出所有基本事件；
（Ⅱ）求三次摸到的球恰有两次颜色相同的概率；
（Ⅲ）求三次摸到的球至少有1个白球的概率．
19．（本小题满分12分）设0a ≥，若2cos sin y x a x b =++的最大值为0，最小值为－4，试求a 与b 的值，并求y 的最大、最小值相应的x 值．
参考答案
2014——2015学年度第二学期期初模拟考试
高 一 数学 2015.2
一．选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)
1．C 2. A 3. C4. D 5. B 6. B7. B 8. C 9. D10. D
二、填空题(本大题共5个小题，每空5分，共25分，把正确答案填在答题卡横线上)
11. (0，+∞)；12.
13. 41；14. 2；15. ③④
三、解答题：（本大题共4小题，共45分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16. （本小题满分11分） 解：
(I) ()f x 2sin(2)16
x a π
=+++ 由222,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+∈, 得,3
6
k x k k Z π
π
ππ-
+≤≤
+∈．
所以, ()f x 的单调增区间为: (),3
6
k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦
．
(II)
0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,72,666x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥
⎣
⎦,- 当2,6
2
x π
π
+
=
即6
x π
=
时, sin(2)6
x π
+
的最大值为1.
()f x 的最大值为34,1a a +=∴=.
(III) 1
2sin(2)21,sin(2)662
x x ππ++=∴+=-.
22,66x k πππ∴+=-+或522,66
x k k Z πππ+=-+∈.
由已知, [],x ππ∈-,所以,x 的集合为5,,,6622ππππ⎧⎫
--⎨⎬⎩
⎭
17、（本题满分11分）
解：1a >当时，0,,1x
x
a a a a x -><<，即定义域为(,1)-∞；
0,0,log ()1x x x a a a a a a a ><-<-<，即值域为(,1)-∞。
同理1a 当0时，定义域为(1,+)∞；即值域为(1,+)∞
19．（本小题满分12分）
解：原函数变形为y ＝－22
(sin )124
a a x
b -+++，
∵－1≤sin x ≤1，a ≥0∴若0≤a ≤2，当sinx ＝2
a
时，y max ＝1＋b ＋4
2
a ＝0 ①
当sinx ＝-1时，y min ＝－4
1)21(22a b a ++++
＝－a ＋b ＝－4 ②
联立①②式解得a ＝2，b ＝-2
y 取得最大、小值时的x 值分别为：x ＝2kπ+2
π(k ∈Z)，x ＝2kπ—
2
π(k ∈Z)
若a ＞2时，
2
a ∈(1，＋∞)∴y max ＝－
b a a b a +=+
++-4
1)21(2
2＝0 ③ y min ＝－2
2(1+)1424
a a
b a b +++
=-+=- ④ 由③④得a ＝2时，而2
a ＝1 (1，＋∞)舍去
故只有一组解a ＝2，b ＝－2；y 取得最大、小值时的x 值分别为：x ＝2kπ+2
π(k ∈Z)，x ＝2kπ
—2
π
(k ∈Z)。