四川省威远中学2020届高三5月月考数学(理)试题

威远中学高2020届第六学期试题数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1..已知集合{}{}22|,|g 14lo A x x B x x ==<≤，则A B I = ( )A ．(),2-∞B ．()0,2C ．()2,0-D ．(]2,2-2.已知复数z 满足(1+2i)43i z =+，则z 的共轭复数是( )A ．2i -B ．2+iC ．1+2iD ．12i -3.2019年9月25日.阿里巴巴在杭州云栖大会上正式对外发布了含光800AI 芯片，在业界标准的ResNet -50测试中，含光800推理性能达到78563 lPS ，比目前业界最好的AI 芯片性能高4倍;能效比500 IPS/ W ，是第二名的3.3倍.在国内集成电路产业发展中，集成电路设计产业始终是国内集成电路产业中最具发展活力的领域，增长也最为迅速.如图是2014-2018年中国集成电路设计产业的销售额(亿元)及其增速(%)的统计图，则下面结论中正确的是( )A.2014-2018年,中国集成电路设计产业的销售额逐年增加B.2014-2017年,中国集成电路设计产业的销售额增速逐年下降C. 2018年中国集成电路设计产业的销售额的增长率比2015年的高D. 2018年与2014年相比.中国集成电路设计产业销售额的增长率约为110%4.在等差数列{}n a 中，2436a a +=，则数列{}n a 的前5项之和5S 的值为（ ） A ．108B ．90C ．72D ．245.已知0.12tan 5a π⎛⎫= ⎪⎝⎭，3log 2b =，23πlog cos 7c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c>a>bD ．a c b >>.6.已知向量()()321x y =-=-，，，a b ，且//a b ，若x y ，均为正数，则32x y+的最小值是( ) A.24 B.8C.83D.537..已知函数π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的两个相邻的对称轴之间的距离为π2，为了得到函数()sin g x xω=的图象，只需将()y f x =的图象 ( )A ．向左平移π6个单位长度 B ．向右平移π6个单位长度 C ．向左平移π12个单位长度 D ．向右平移π12个单位长度 8.函数cos 3sin ||2()51xx f x -=-在3π3π(,)22-上的图象大致为( ) A. B. C. D.9.古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一,其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现,如图,一个“圆柱容球”的几何图形,即圆柱容器里放了一个球,该球顶天立地,四周碰边,在该图中,球的体积是圆柱体积的23,并且球的表面积也是圆柱表面积的23, 若圆柱的表面积是6π现在向圆柱和球的缝隙里注水,则最多可以注入的水的体积为( ) A.π3B.2π3C.πD.4π310.椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为12, F F ,过点1F 的直线交椭圆于,A B 两点,交y 轴于点C ,若1F , C 是线段AB 的三等分点, 2F AB △的周长为45,则椭圆E 的标准方程为( )A.22154x y += B. 22153x y += C. 22152x y += D. 2215x y +=11.若曲线()-=+x x f x ae e 在点(0,(0))f 处的切线与直线30+=x y 垂直，则a=（ ）． A .6 B .5 C. 4 D.312.设函数()(2ln 1)f x x x ax a =--+，其中0a >，若仅存在两个正整数0x ，使得()00f x <，则实数的取值范围是（ ）A. 30,3ln 32⎛⎫- ⎪⎝⎭B. ()4ln 22,-+∞C. 34ln 22,3ln 32⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ D.34ln 22,3ln 32⎛⎤-- ⎥⎝⎦第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡相应位置上.13.若2sin cos 4αα+=,则sin 2α的值为__________. 14.在1nx x ⎫⎪⎭的展开式中，各项系数之和为64，则展开式中的常数项为__________________．15.已知F 是椭圆22:132x y C +=的右焦点，P 为椭圆C 上一点，(1,22A ，则PA PF +的最大值为 16.已知四面体ABCD 内接于球O ，且2,2AB BC AC ==，若四面体ABCD 23，球心O 恰好在棱DA 上，则球O 的表面积是________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.22题10分，17题-21题各12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.(本小题满分12分）在ABC △中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且cos cos 2b A a B c -= （1）.证明: tan 3tan B A =-（2）若2223b c a bc +=+,且ABC △3求a18.(本小题满分12分）某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额（单位：千元），网购次数和支付方式等进行了问卷调查．经统计这100位居民的网购消费金额均在区间[0,30]内，按[0,5],[5,10),(10,15],(15,20],(20,25],(25,30]分成6组，其频率分布直方图如图所示．（1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；（2）将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的22⨯列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”．（3）调查显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响．统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，得到数据如下表所示：网购总次数 支付宝支付次数 银行卡支付次数 微信支付次数甲 80 40 16 24 乙 90601812次数之和为ξ，求ξ的数学期望．附：观测值公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．临界值表： 20)(P K k ≥ 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.82819.(本小题满分12分)如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的的菱形，60BAD ∠=︒，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，3BF =，G 和H 分别是CE 和CF 的中点.（Ⅰ）求证：平面//BDGH 平面AEF ；（Ⅱ）求二面角H BD C --的大小.20.(本小题满分12分)知椭圆()2222;10x y C a b a b +=>>经过点133,,1,2M N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，直线3:2l y kx =+与椭圆C 交于,A B 两点，O 是坐标原点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求OAB △面积的最大值．男 女 合计 网购迷20非网购迷 45合计10021.(本小题满分12分)已知1x =为函数2()()ln f x x ax x x =-+的一个极值点.（1）求实数a 的值，并讨论函数()f x 的单调性；（2）若方程2()2f x mx x =+有且只有一个实数根，求实数m 的值.22.(本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，曲线C 的极坐标方程为π824ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（I ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（II ）过点()1,0P 作倾斜角为45︒的直线l 与圆C 交于,A B 两点，试求11PA PB+的值．23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数()23f x x m x m =--+()0m >.(1).当1m =时，求不等式()1f x ≥的解集；(2).对于任意实数,x t ，不等式()21f x t t <++-恒成立，求实数m 的取值范围.威远中学高2020届第六学期第二次月考试题数学（理科）参考答案 1.B2.B 解：由()12i 43i z +=+，得43i2i 12iz +==-+，所以2i z =+． 3.A 解析：对于A ，由图可得2014-2018年中国集成电路设计产业的销售额逐年增加，所以A 正确;对于B,2017年中国集成电路设计产业的销售额增速比2016年高,所以B 错误;对于C,2018年中国集成电路设计产业的销售额的增长率(约21.5%)低于2015年的增长率(约26.5%),所以C 错误;对于D,2018年与2014年相比,中国集成电路设计产业销售额的增长率为2519.31047.4100%140.5%1047.4-⨯≈所以D 正确.故选A.4.B解：在等差数列{}n a 中, 2436a a +=，∴数列{}n a 的前5项之和51524()(5553690222)S a a a a =+=+=⨯=.5..A 解0.12π2πtan tan 55a ⎛⎫⎛⎫=> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()3223πlog 20,1,log cos log 107b c ⎛⎫=∈=<= ⎪⎝⎭．6B7.D 解：因为函数π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的两个相邻的对称轴之间的距离为π2，所以π22T =，所以πT =，所以2π2πω==，即()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又()πsin 212f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即为了得到函数()sin 2g x x =的图象,只需将()y f x =的图象向右平移π12个单位长度 8.A 解：因为cos()cos 3sin ||23sin ||2()()5151x x x x f x f x -----===--,所以函数()f x 为偶函数,故排除D;因为021(0)512f -==--,故排除B;因为1025(π)0512f --==>-,故排除C.故选A. 9.B 解析：设球的半径为r ,则由题意可得球的表面积为224π6π3r =⨯,所以1r =,所以圆柱的底面半径为1,高为2,所以最多可以注入的水的体积为2342ππ12π133⨯⨯-⨯=.10..A 解析：由椭圆的定义，得12122AF AF BF BF a +=+=，2F AB △的周长1212445AF AF BF BF a +++==，所以5a =，所以椭圆222:15x y E b +=.不妨令点C 是1F A 的中点，点A在第一象限，因为()1, 0F c -，所以点A 的横坐标为c ，所以22215c y b +=，得2,5A c ⎛ ⎪⎝⎭，所以220,,2,2525C B c ⎛⎛-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.把点B 的坐标代入椭圆E 的方程，得42242015b c b+=，即2241520c b +=，化简得222016b c =-.又225b c =-，所以2220165c c -=-，得21c =，所以24b =，所以椭圆E 的标准方程为22154x y += 11.C4解： ()x x f x ae e -=+在的导数为()x x f x ae e -'=-，即有()f x 在0x =处的切线斜率为1k a =-， 由在0x =处的切线与直线30x y +=垂直，即有13a -=12.D 解：令()()ln 1h x x x =-，()()1g x ax a a x =-=-，则()2ln 1h x x '=+，()0h x '=，解得x e=，当0,x e ⎛∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 单调递减，当,x e ⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()()0,h x h x '>单调递增，故()min h x e e ==-⎪⎝⎭，()110h =-<，作出()h x 与()g x 的大致图像如图所示. 若仅存在两个正整数0x 使得()00f x <，即()()h x g x <有两个正整数解，由题意得()()()()2233h g h g ⎧<⎪⎨≥⎪⎩，即()()22ln 2132ln312a a⎧-<⎪⎨-≥⎪⎩，解得34ln 223ln32a -<≤-，所以实数a 的取值范围是34ln 22,3ln32⎛⎤-- ⎥⎝⎦.13.78-解：2sin cos αα+=两边同时平方,得11sin 28α+=,所以7sin 28α=-.14.15解：因为在1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数之和为64，所以将1x =代入，得264n =，所以6n =，所以()36321661rrr rr r T C x C xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以，令3302r -=，即2r =，则其系数为2615C =．15.43,设椭圆的左焦点为F '，椭圆的方程为22132x y +=,其中3,a P =为椭圆C 上一点,则23PF PF a '+==321c =-,则()()1,0,1,0F F '-，则223PF a PF PF ''=-=， 则2323PA PF PA PF PA PF ''+=+=-，分析可得：3PA PF AF ''-≤=， 当P A F '、、三点共线时，等号成立，则PA PF +的最大值为4316.16π解：如图:在三角形ABC 中,因为222AB BC AC +=,所以ABC ∆为直角三角形,所以三角形ABC 的外接圆的圆心为AC 的中点1O ,连1OO ,根据垂径定理,可得1OO ⊥平面ABC ,因为1,O O 为,AD AC 的中点可知DC ⊥平面ABC ,所以DC 为四面体ABCD 的高．所以11232232DC ⨯=,解得23DC =以22(23)24AD =+=．所以四面体ABCD 的外接球的半径为2,表面积为224π4π216πR =⨯=． 17.解：（1）根据正弦定理,由已知得, ()sin cos cos sin 2sin 2sin A B A C A B -==+B 展开得: ()sin cos cos sin 2sin cos cos sin A B A B A B A -=+B 整理得: sin cos 3cos sin B A B A =-∴tan 3tan B A =-（2）由已知得: 2223b c a bc +-=,∴22233cos 2b c a bc A bc +-===由0πA <<,得: π3,tan 6A A ==,∴tan 3B =由0πB <<,得: π3,tan 6A A ==∴tan 3B =-由0πB <<,得2π3B =,所以π6C =,a c = 由212π13sin 3232S ac ===得2a = 18.解：（1）在直方图中，从左至右前3个小矩形的面积之和为(0.010.020.04)50.35++⨯=， 后2个小矩形的面积之和为(0.040.03)50.035+⨯=，所以中位数位于区间(15.20]内． 设直方图的面积平分线为15x +，则0.060.50.350.15x =-=，得 2.5x =， 所以该社区居民网购消费金额的中位数估计为17.5千元．（2）由直方图知，网购消费金额在20千元以上的频数为0.3510035⨯=，所以“网购迷”共有35人．由列联表知，其中女性有20人，则男性有15人，所以补全的列联表如下：因为22100(45201520)6006.593 5.0246040356591K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯， 查表得2( 5.024)0.025P K ≥=，所以有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关”． （3）由表知，甲，乙两人每次网购采用支付宝支付的概率分别为12,23．设甲，乙两人采用支付宝支付的次数分别为,X Y ，据题意，12(2,),(2,)23X B Y B ::．所以124()21,()2233E X E Y =⨯==⨯=．因为X Y ξ=+，则7()()()3E E X E Y ξ=+=， 所以ξ的数学期望为73． 19.解：（Ⅰ）证明：在CEF △中，因为,G H 分别是,CE CF 的中点， 所以//GH EF ， 又因为GH ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以//GH 平面AEF . 设AC BD O =I ，连接OH ，因为ABCD 为菱形，所以O 为AC 中点在ACF △中，因为OA OC =，CH HF =，所以//OH AF ， 又因为OH ⊄平面AEF ，AF ⊂平面AEF ，所以//OH 平面AEF .又因为OH GH H =I ，,OH GH ⊂平面BDGH ， 所以平面//BDGH 平面AEF . （Ⅱ）解：取EF 的中点N ，连接ON ，因为四边形BDEF 是矩形，,O N 分别为,BD EF 的中点，所以//ON ED ，因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，所以ED ⊥平面ABCD ，所以ON ⊥平面ABCD ，因为ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，得,,OB OC ON 两两垂直. 所以以O 为原点，,,PB OC ON 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系. 因为底面ABCD 是边长为2的菱形，60,3BAD BF ∠=︒=，所以()1,0,0B ，()()()()1,0,0,1,0,3,1,0,3,0,3,0D E F C --，133,,22H ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 所以133(,,)22BH =-u u u r ，(2,0,0)DB =u u u r . 设平面BDH 的法向量为(,,)n x y z =r ，0330200n BH x y z x n DB ⎧⎧⋅=-++=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⋅=⎩⎪⎩r uuu r r uu u r 令1z =，得()0,3,1n =-r .由ED ⊥平面ABCD ，得平面BCD 的法向量为(0,0,3)DE =u u u r，男 女 合计 网购迷15 20 35非网购迷 45 20 65 合计60 40 100则00(3)0131cos ,2n DE n DE n DE⋅⨯+-⨯+⨯<>===r u u u rr u u u r r u u u r 所以二面角H BD C --的大小为60︒. 20.解：（1）依题意可得222213413141a ba b ⎧⎪+=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎪⎩解得2241a b ⎧=⎨=⎩，椭圆C 的标准方程为2214x y +=， （2）设()()1122,,,A x y B x y ，由223214y kx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得()22141250k xkx +++=，()()2221245146420k k k -⨯⨯+=-△=由0>△得2516k >，∴121222125,1414k x x x x k k +=-⋅=++， ∴()2222212121226420114114k AB k x kx x x x kk -+-=++-⋅=++，∴O 到AB 的距离223131652221AOBk d AB d k-=⋅=+△2165k t -，则2250,16t t k +>=， 22366195299124AOB t t S t t t t t t===++++⋅△，当且仅当9t t =，即29t =时，得144k =±，OAB △面积取得最大值1．21.解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞.21'()()(2)ln 1(2)ln (1)f x x ax x a x x x a x a x=-⨯+-+=+---.因为1x =为函数()f x 的一个极值点,所以'(1)1(2)ln1(1)20f a a a =+---=-=,解得2a =. 故2()(2)ln f x x x x x =-+,'()(22)ln 1(1)(12ln )f x x x x x x =+--=-+.令'()0f x =,解得1212e 1,ex x -==.当ex ∈时,'()0f x >,函数()f x 单调递增; 当e(x ∈时,'()0f x <,函数()f x 单调递减;当(1,)x ∈+∞时,'()0f x >,函数()f x 单调递增. （2）.方程2()2f x mx x =+,即22(2)ln 2x x x x mx x -+=+,整理得22(2)ln x x x x mx --=. 因为0x >,所以22(2)ln (2)ln 1x x x x x x m x x----==.令(2)ln 121()(1)ln x x g x x x x x --==--.则22222112ln 1'()ln (1)x x g x x x x x x x +-=+-⨯+=.令()2ln 11h x x x =+-,则2'()10h x x=+>恒成立, 所以函数()h x 在(0,)+∞上单调递增.又(1)0h =,所以当(0,1)x ∈时,()0h x <,即'()0,()g x g x <单调递减; 当(1,)x ∈+∞时,()0h x >,即'()0,()g x g x >单调递增.所以()g x 的最小值为(1)10g =-<,当0x →或x →+∞时,()g x →+∞,所以当2()2f x mx x =+有且只有一个实数根时,1m =-.22.解：（1）将曲线C 的极坐标方程，化为直角坐标方程为：22880x y x y +--=；（2）直线l 的参数方程为：212x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将其带入上述方程中得：27270t t --=，则1212727t t t t ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩1212121111314t t PA PB t t t t -+=+==23.解：（1）当1m =时，34,23()12332,124,1x x f x x x x x x x ⎧+<-⎪⎪⎪=--+=---≤≤⎨⎪-->⎪⎪⎩因为()1f x ≥，所以3241x x ⎧<-⎪⎨⎪+≥⎩或者312321x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪--≥⎩或者141x x >⎧⎨--≥⎩解得：332x -≤<-或者312x -≤≤-，所以不等式()1f x ≥的解集为{|31}x x -≤≤-. 2.对于任意实数,x t ，不等式()21f x t t <++-恒成立，等价于max min ()(21)f x t t <++- 因为21(2)(1)3t t t t ++-≥+--=，当且仅当(2)(1)0t t +-≤时等号成立， 所以min(21)3t t ++-= 因为0m >时，()34,232332,24,m x m x m f x x m x m x m x m x m x m ⎧+ <-⎪⎪⎪=--+=-- -≤≤⎨⎪-- >⎪⎪⎩ 函数()f x 单增区间为3,2m ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单间区减为3,2m ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭， 所以当32m x =-时，()max 3522m m f x f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭所以532m <，所以实数的取值范围605m <<.。