人教版高中数学第一章1.6微积分基本定理

的研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进
行叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元
法；因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
归纳升华 (1)利用微积分基本定理求定积分，关键是求使 F′(x) ＝f(x)的 F(x)，其求法是反方向运用求导公式． (2)当被积函数是积的形式时，应先化和差的形式， 再利用定积分的性质化简，最后再用微积分基本定理求定 积分的值．
(3)对于多项式函数的原函数，应注意 xn(n≠－1)的原 xn＋1
函数为 ，它的应用很广泛． n＋1
[变式训练] 下列积分值为 2 的是( )
A.∫50(2x－4)dx C.∫311xdx
B.∫0π cos xdx D.∫0π sin xdx
解析：∫50(2x－4)dx＝(x2－4x)|50＝5，∫0π cos xdx＝sin
x|π0 ＝0，∫311xdx＝ln x|31＝ln 3，∫π0 sin xdx＝－cos x|0π ＝2.
x 的原函数为
F(x)
π
＝12x－12sin x，所以 sin2 x2dx＝12x－12sin x|20＝π4－12＝
π－2 4. π－2 答案： 4
5．曲线 y＝2x2 与直线 x＝1，x＝2 及 y＝0 所围成的 平面图形的面积为________．
解析：依题意，所求面积为 S＝∫212x2dx＝23x3|21＝136－ 23＝134. 答案：134
＝sin 1－23. 答案：sin 1－23
类型 3 微积分基本定理的综合应用(互动探究)
[典例 3] 已知 x∈[1，2]，f(x)＝∫10(1－2x＋2t)dt， 则 f(x)的值域是________．
解析：∫10(1－2x＋2t)dt＝[(1－2x)t＋t2]|10＝2－2x， 即 f(x)＝2－2x.因为 x∈[1，2]， 所以 f(2)≤f(x)≤f(1)，即－2≤f(x)≤0， 所以函数 f(x)的值域是[－2，0]． 答案：[－2，0]
答案：D
类型 2 求分段函数的定积分
[典例 2] 求定积分：∫20|x2－1|dx.
解：因为 y＝|x2－1|＝1－x2，0≤x<1， x2－1，1≤x≤2，
所
以
∫
2 0
|x2
－
1|dx
＝
∫
பைடு நூலகம்1 0
(1
－
x2)dx
＋
∫
2 1
(x2
－
1)dx
＝
x－x33|10＋x33－x|21＝1－13＋83－2－13－1＝2.
[变式训练]
设
f(x)
＝
x2（x≤0），

cos
x－1（x＞0），
则
∫
1 －1
f(x)dx＝________．
解析：∫1－1f(x)dx＝∫0－1x2dx＋∫10(cos x－1)dx
＝13x3|0－1＋(sin x－x)|10 ＝13×03－13×（－1）3＋[(sin 1－1)－(sin 0－0)]
[迁移探究 1] 将原已知条件改为 f(t)＝∫10(1－2x＋ 2t)dx，则 f(t)＝________．
解析：f(t)＝∫10(1－2x＋2t)dx＝[(1＋2t)x－x2]|10＝2t. 答案：2t
[迁移探究 2] 将原已知条件改为 f(t)＝∫10(2tx2－ t2x)dx，则 f(t)的最大值是________．
类型 1 利用微积分基本定理求定积分(自主研析) [典例 1] 求下列定积分． (1)∫3－1(4x－x2)dx；(2)∫1－1exdx.
解：(1)因为2x2－13x3′＝4x－x2， 所以∫3－1(4x－x2)dx＝2x2－13x3|3－1＝
2×32－333－2×（－1）2－（－31）3＝230. (2)因为(ex)′＝ex，所以∫1－1exdx＝ex|1－1＝e－1e.
解析：(1)对，根据微积分基本定理的概念知，该说 法正确．
(2)对，事实上，被积函数的原函数有无数多个，取 原函数的常数项为 0，给计算带来方便．
(3)对，根据微积分基本定理的概念知，该说法正确． 答案：(1)√ (2)√ (3)√
2．若 F′(x)＝x2，则 F(x)的解析式不正确的是( ) A．F(x)＝13x3 B．F(x)＝x3 C．F(x)＝13x3＋1 D．F(x)＝13x3＋c(c 为常数)
温馨提示 在利用定积分的几何意义求定积分时，要 特别注意曲边梯形所在的位置，以此为依据确定积分值的 符号．
[思考尝试·夯基]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)微积分基本定理中，被积函数 f(x)是原函数的导 数．( ) (2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算 方便通常取原函数的常数项为 0.( ) (3)只有在连续的区间上才能用微积分基本定理求定 积分的值．( )
(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被 积函数 f(x)、积分上限与积分下限、积分区间与函数 F(x) 等概念．
1．应用微积分基本定理求定积分时，首先要求出被 积函数的一个原函数，在求原函数时，通常先判断原函 数的类型，然后求导数进行验证，在验证过程中要特别 注意符号和系数的调整，直到原函数 F(x)的导函数 F′(x) ＝f(x)为止，然后再利用微积分基本定理求出结果．
第一章 导数及其应用
1．6 微积分基本定理
[学习目标] 1.了解导数与定积分的关系、了解微积 分基本定理的含义(难点)． 2.会求简单函数的定积分(重 点、难点)．
[知识提炼·梳理]
1．微积分基本定理 (1)定理内容：如果 f(x)是区间[a，b]上的连续函数， 并且 F′(x)＝f(x)，那么∫baf(x)dx＝F(b)－F(a)．这个结论 叫作微积分基本定理，又叫作牛顿—莱布尼茨公式． (2)定理的符号表示：∫baf(x)dx＝F(x)|ba＝F(b)－F(a)．
2．定积分和曲边梯形面积的关系
设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上，x 轴下方的面 积为 S 下，则：
(1)当曲边梯形的面积在 x 轴上方时，如图①所示， 则∫baf(x)dx＝S 上．
(2)当曲边梯形的面积在 x 轴下方时，如图②所示， 则∫baf(x)dx＝－S 下．
图①
图②
图③
(3)当曲边梯形的面积在 x 轴上方、x 轴下方均存在 时，如图③所示，则∫baf(x)dx＝S 上－S 下，若 S 上＝S 下， 则∫baf(x)dx＝0．
2．分段函数在区间[a，b]上的定积分可分成 n 段定 积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行； 带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解．
编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
一、听要点。
解析：因为∫10(2tx2－t2x)dx＝23tx3－12t2x2|10＝ 23t－12t2，所以 f(t)＝23t－12t2＝－12t－232＋ 29， 所以，当 t＝23时，f(t)有最大值为29. 答案：29
归纳升华 处理含有参数的定积分问题的注意点： (1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综 合起来考查，先用微积分基本定理计算定积分是解决此类 问题的前提；
解答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
三、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答， 大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
四、听方法。

在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”
优等生经验谈：听课时应注意学习老师解决问题的思考方法。同学们如果理解了老师的思路和过程，那么后面的结论自然就出现了，学习起来才能够举 一反三，事半功倍。
2019/7/8
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谢谢欣赏！
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一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物
理课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
二、听思路。

思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行
解析：因为 F(x)＝x3 的导函数为 F′(x)＝3x2. 所以 F(x)＝x3 的解析式不正确． 答案：B
3.∫102xdx＝________． 解析：∫102xdx＝x2|10＝12－0＝1. 答案：1
4.
sin2 x2dx＝________．
解析：因为
f(x)＝sin2
x2＝1－c2os