九年级数学上册第二单元练习题

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人教版九年级上册数学第二单元二次函数单元测试卷(含答案)

人教版九年级上册数学第二单元二次函数单元测试卷一．选择题（共10小题）1．二次函数y=x2+px+q，当0≤x≤1时，设此函数最大值为8，最小值为t，w=s-t，（s为常数）则w的值（）A．与p、q的值都有关B．与p无关，但与q有关C．与p、q的值都无关D．与p有关，但与q无关2．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（-2，-9a），下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③9a-b+c=0；④若方程a（x+5）（x-1）=-1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则-5＜x1＜x2＜1；⑤若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为-8．其中正确的结论有（）个A．2 B．3 C．4 D．53．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b的图象大致是（）A．B．C．D．4．将抛物线y=x2-4x-4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为（）A．y=（x+1）2-13 B．y=（x-5）2-5C．y=（x-5）2-13 D．y=（x+1）2-55．如果二次函数y=x2+2x+t与一次函数y=x的图象两个交点的横坐标分别为m、n，且m ＜1＜n，则t的取值范围是（）A．t＞-2 B．t＜-2 C．t＞14D．t＜146．已知抛物线y=-x2+mx+2m，当x＜1时，y随x的增大而增大，则抛物线的顶点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．定义：在平面直角坐标系中，点P（x，y）的横、纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的勾股值，记[P]=|x|+|y|．若抛物线y=ax2+bx+1与直线y=x只有一个交点C，已知点C在第一象限，且2≤[C]≤4，令t=2b2-4a+2020，则t的取值范围为（）A．2017≤t≤2018B．2018≤t≤2019C．2019≤t≤2020D．2020≤t≤20212x的增大而增大；④方程ax2+bx+c=0有一个根大于4．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．将函数y=-x2+2x+m（0≤x≤4）在x轴下方的图象沿x轴向上翻折，在x轴上方的图象保持不变，得到一个新图象．新图象对应的函数最大值与最小值之差最小，则m的值为（）A．2.5 B．3 C．3.5 D．410．定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}=b；当a＜b时min{a，b}=a．如：min{1，-3}=-3，min{-4，-2}=-4．则min{-x2+1，-x}的最大值是（）A．√5−12B．√5+12C．1 D．0二．填空题（共6小题）11．抛物线y=（k-1）x2-x+1与x轴有交点，则k的取值范围是12．对于任意实数m，抛物线y=x2+4mx+m+n与x轴都有交点，则n的取值范围是13．当-1≤x≤3时，二次函数y=x2-4x+5有最大值m，则m=14．在平面直角坐标系中，已知A（-1，m）和B（5，m）是抛物线y=x2+bx+1上的两点，将抛物线y=x2+bx+1的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为15．已知抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为x=-1，与x轴的一个交点为（2，0），若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=p（p＞0）有整数根，则p的值有个16．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当-1≤x≤1时，-1≤y≤1，则称这个函数为“闭函数”．例如：y=x，y=-x均是“闭函数”．已知y=ax2+bx+c（a≠0）是“闭函数”，且抛物线经过点A（1，-1）和点B（-1，1），则a的取值范围是三．解答题（共7小题）17．已知抛物线C：y=x2+mx+n（m，n为常数）．（1）如图，若抛物线C的顶点坐标为P（1，2），求m，n的值；（2）在（1）的条件下，设点Q（a，b）在抛物线C上，且点Q离y轴的距离不大于2，直接写出b的取值范围；（3）将抛物线C向左平移2个单位得到抛物线C1，将抛物线C向右平移2个单位得到抛物线C2，若C1与C2的交点坐标为（1，3），求抛物线C的函数解析式．18．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-2x-3与x轴相交于A，B（点A在点B的左边），与y轴相交于C．（1）求直线BC的表达式．（2）垂直于y轴的直线l与直线BC交于点N（x1，y1），与抛物线相交于点P（x2，y2），Q （x3，y3）．若x1＜x2＜x3，结合函数图象，求x1+x2+x3的取值范围．19．某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元/件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月（30天）的试营销，售价为8元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象．图中的折线ODE表示日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系，已知线段DE表示的函数关系中，时间每增加1天，日销售量减少5件．（1）第26天的日销售量是件，日销售利润是元．（2）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）日销售利润不低于600元的天数共有多少天？试销售期间，日销售最大利润是多少元？20．某商场销售一批衬衫，进货价为每件40元，按每件50元出售，一个月内可售出500件．已知这种衬衫每涨价1元，其销售量要减少10件．（1）为在月内赚取8000元的利润，售价应定为每件多少元？（2）要想获得的利润最大，该商场应当如何定价销售？21．某工艺品厂设计了一款每件成本为11元的工艺品投放市场进行试销，经过市场调查，得出每天销售量y（件）是每件售价x（元）（x为正整数）的一次函数，其部分对应数据如下表所示：（1）求y关于x的函数解析式；（2）若用w（元）表示工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润，试求w关于x的函数解析式；（3）该工艺品每件售价为多少元时，工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是多少元？22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-√33x2−2√33x+√3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．（1）若点P为直线AC上方抛物线上的动点，当△PAC的面积最大时，求此时P点的坐标；（2）若点Q是抛物线对称轴上的动点，点M是抛物线上的动点，当以点M、A、C、Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出此时Q点的坐标．x2+2x+2的顶点为A，且与y轴于点B，将抛物线C1沿y=a 23．如图，抛物线C1：y=-12对称后，得到抛物线C2与y轴交于点C．（1）求A、B两点坐标；（2）若抛物线C2上存在点D，使得△BCD为等腰直角三角形，求出此时抛物线C2的表达式．参考答案一、选择题二、填空题11、k≤54且k≠112、n≤−16413、1014、4 15、3 16、−12≤a<0或0<a≤12三、解答题17、18、19、20、21、22、23、。

(典型题)初中数学九年级数学上册第二单元《一元二次方程》测试题(含答案解析)

一、选择题1．如果关于x 的一元二次方程k 2x 2﹣（2k +1）x +1＝0有两个实数根，那么k 的取值范围是（）A ．k ≥﹣14B ．k ≥﹣14且k ≠0C ．k ＜﹣14 D ．k ＞－14且k ≠0 2．已知方程240x x n ++=可以配方成()23x m +=，则()2015m n -=（） A ．1 B ．－1 C ．0 D ．43．一次围棋比赛，参赛的每两位棋手之间都要比赛一场，根据赛程计划共安排45场比赛，设本次比赛共有x 个参赛棋手，则可列方程为（）A ．12x （x ﹣1）＝45B ．12x （x+1）＝45 C ．x （x ﹣1）＝45D ．x （x+1）＝45 4．已知关于x 的一元二次方程240x x k +-=，当40k -<<时，该方程解的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．没实数根C ．有两个相等的实数根D ．不能确定 5．下列方程中，是一元二次方程的是（）A ．12x +=B ．21x y +=C ．243x x -=D ．35-=xy 6．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（）A ．2690x x ++=B ．2230x x -+=C ．22x x -=D ．23420x x -+= 7．若关于x 的一元二次方程2(2)20a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值为（） A ．−2B ．−1C ．1D ．2 8．定义运算：21a b ab ab =--☆．例如：23434341=⨯-⨯-☆．则方程10x =☆的根的情况为（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．只有一个实数根 9．用配方法解方程28110x x -+=的过程中，配方正确的是（）A ．228(4)5x x -+-=B ．228(4)31x x -+-=C ．2(4)5x +=D ．2(4)11x -=- 10．由于国内疫情得到缓和，餐饮业逐渐恢复，某地一家餐厅重新开张，开业第一天收入约为2000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天的收入约为2420元，若设每天的增长率为x ，则列方程为（）A ．2000(1)2420x +=B ．2000(12)2420x +=C ．22000(1)2420x -=D ．22000(1)2420x +=11．当3b c -=时，关于x 的一元二次方程220x bx c -+=的根的情况为（） A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定12．一元二次方程2x ＝﹣3x 的根是（） A ．x ＝﹣3B ．x ＝0C ．1x ＝0，2x ＝﹣3D ．1x ＝0，2x ＝3 二、填空题13．设m 、n 分别为一元二次方程2370x x +-=的两个实数根，则2mn m n --=______．14．设12,x x 是一元二次方程2750x x --=的两个实数根，则实数1211+x x 的值为____． 15．如图，四边形ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形，a ，b ，c 是Rt ABC 和Rt BED 边长，易知2=AE c ，这时我们把关于x 的形如220++=ax cx b 的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．若1x =-是“勾系一元二次方程”220++=ax cx b 的一个根，且2ABC S =，则四边形ACDE 的周长是_________．16．三角形一边长为10，另两边长是方程214480x x -+=的两实根，则这是一个_____三角形．17．一元二次方程x 2－4x ＋1＝0的两根是x 1，x 2，则x 1＋x 2－x 1⋅x 2＝_________． 18．已知：（x 2+y 2）（x 2+y 2﹣1）＝20，那么x 2+y 2＝_____．19．定义新运算“⊕”如下：当a b ≥时，a b ab b ⊕=+；当a b <时，a b ab a ⊕=-．若(21)(2)0x x -⊕+=，则x =______________．20．对于实数a b 、，定义新运算“⊗”：2a b a ab ⊗=-，如2424428⊗=-⨯=．若44x ⊗=-，则实数x 的值是_______．三、解答题21．阅读下面材料，并完成问题．任意给定一个矩形A ，若存在另一个矩形B ，使它的周长和面积分别是矩形A 的一半，则称矩形,A B 是“兄弟矩形”．探究：当矩形A 的边长分别为7和1时，是否存在A 的“兄弟矩形”B ？小亮同学是这样探究的：设所求矩形的两边分别是x 和y ，由题意，得472x y xy +=⎧⎪⎨=⎪⎩①② 由①，得4y x =-，③把③代入②，得7(4)2x x -=，整理，得22870-+=x x ．24645680b ac -=-=>，A ∴的“兄弟矩形”B 存在．（1）若已知矩形A 的边长分别为3和2，请你根据小亮的探究方法，说明A 的“兄弟矩形”B 是否存在？（2）若矩形A 的边长为m 和n ，当A 的“兄弟矩形”B 存在时，求,m n 应满足的条件． 22．解方程：2(2)3(2)x x +=+23．解方程(1)2523x x += (2)22(21)(34)x x -=-24．已知：关于x 的方程x 2+kx -6＝0，（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是3，求另一个根及k 值．25．阅读下列材料：已知实数x ，y 满足()()22221163x y x y +++-=，试求22x y +的值．解：设22x y a +=，则原方程变为(1)(1)63a a +-=，整理得2163a -=，264a =，根据平方根意义可得8a =±，由于220x y +，所以可以求得228x y +=．这种方法称为“换元法”，用一个字母去代替比较复杂的单项式､多项式，可以达到化繁为简的目的．根据阅读材料内容，解决下列问题：（1）已知实数x ，y 满足(223)(223)27x y x y +++-=，求x y +的值．（2）已知a ，b 满足方程组22223212472836a ab b a ab b ⎧-+=⎨++=⎩；求112a b +的值；（3）填空：已知关于x ，y 的方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是95x y =⎧⎨=⎩，则关于x ，y 的方程组21111122222222a x a x b y c a a x a x b y c a ⎧-+=-⎨-+=-⎩的解是_______． 26．在ABC 中，90,10cm B AB BC ∠===，点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，均以1cm/s 的速度作直线运动，已知点P 沿射线AB 运动，点Q 沿边BC 的延长线运动，设点P 运动时间为(s)t ，PCQ △的面积为()2cm S ．当P 运动到几秒时625ABC S S =？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义得出k2≠0，且△=b2-4ac≥0，建立关于k的不等式组，求出k的取值范围．【详解】解：由题意知，k2≠0，且△=b2-4ac=（2k+1）2-4k2=4k+1≥0．解得k≥-14且k≠0．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．2．A解析：A【分析】将配方后的方程转化成一般方程即可求出m、n的值，由此可求得答案．【详解】解：由（x+m）2＝3，得：x2+2mx+m2﹣3＝0，∴2m＝4，m2﹣3＝n，∴m＝2，n＝1，∴（m﹣n）2015＝1，故选：A．【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 3．A解析：A【分析】关系式为：棋手总数×每个棋手需赛的场数÷2=45，把相关数值代入即可．【详解】解：本次比赛共有x 个参赛棋手，所以可列方程为：12x （x -1）=45．故选：A ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2． 4．A解析：A【分析】计算根的判别式，根据k 的范围，判断判别式的属性，根据性质求解即可．【详解】解：∵一元二次方程240x x k +-=，∴△= 22444b ac k -=+=16+4k ，∵40k -<<，∴1640k -<<，∴16+4k ＞0，∴△＞0，∴原方程有两个不相等的实数根，故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟记公式，并根据字母范围确定判别式的属性是解题的关键．5．C解析：C【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程是一元二次方程，根据定义解答即可．【详解】A 、是一元一次方程，不符合题意；B 、是二元一次方程，不符合题意；C 、是一元二次方程，符合题意；D 、是二元二次方程，不符合题意；故选：C ．【点睛】此题考查一元二次方程，熟记定义是解题的关键．6．C解析：C【分析】根据一元二次方程根的判别式判断即可．【详解】解：A.x 2+6x+9=0，则△=62-4×9=36-36=0，即该方程有两个相等实数根，故本选项不合题意；B.2230x x -+=，则△=(-2)2-4×3=4-12=-8<0，即该方程无实数根，故本选项不合题意；C.22x x -=，则△=(-1)2-4×(-2)=1+8=9>0，即该方程有两个不相等实数根，故本选项合题意；D.23420x x -+=，则△=(-４)2-4×3×2=16-24=-8<0，即该方程无实数根，故本选项不合题意．故选C ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．7．C解析：C【分析】根据一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出a 的范围，确定出所求即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2(2)20a x x --+=有实数根，∴△＝1−8（a−2）≥0，且a−2≠0，解得：a≤178且a≠2，则整数a 的最大值为1．故选C ．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，以及一元二次方程的定义，掌握一元二次方程根与判别式的关系是解本题的关键．8．A解析：A【分析】根据新定义运算法则以及利用△＞0可判断方程根的情况．【详解】解：由题意可知：1☆x=x 2-x-1=0，∴△=1-4×1×（-1）=5＞0，∴有两个不相等的实数根故选：A ．【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是正确理解新定义运算法则，本题属于基础题型． 9．A解析：A【分析】用配方法解方程即可．【详解】解：28110x x -+=，移项得，2811-=-x x ，配方得，228(4)1116x x -+-=-+，即228(4)5x x -+-=，故选：A ．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，能够熟练按照配方法的步骤进行解题是关键． 10．D解析：D【分析】根据开业第一天收入约为2000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为2420元列方程即可得到结论．【详解】设每天的增长率为x ，依题意，得：22000(1)2420x +=．故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．11．A解析：A【分析】首先将已知等式转换形式，然后代入判别式，判断其正负，即可得解．【详解】解：3b c -=，3c b ∴=-， 220x bx c -+=，∴∆22()428b c b c =--⨯⨯=-28(3)b b =--2824b b =-+2(4)80b =-+>，∴方程有两个不相等的实数根，故选：A ．【点睛】此题主要考查根据参数的值判定一元二次方程根的情况，熟练掌握，即可解题． 12．C解析：C【分析】移项，利用因式分解求解即可.【详解】解：∵2x ＝﹣3x ，移项，得2x +3x ＝0，分解因式，得x （x+3）＝0，∴x ＝0，或x+3＝0，解得1x ＝0，2x ＝﹣3，故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，根据方程的特点，选择因式分解法求解是解题的关键.二、填空题13．-11【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得出m+n=-3mn=-7将其代入中即可求出结论【详解】解：∵mn 分别为一元二次方程的两个实数根∴m+n=-3mn=-7则故答案为：-11【点睛】本题解析：-11【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得出m+n=-3，mn=-7，将其代入22()mn m n mn m n --=-+中即可求出结论．【详解】解：∵m ，n 分别为一元二次方程2370x x +-=的两个实数根，∴m+n=-3，mn=-7，则22()2(7)(3)14311mn m n mn m n =--=-+⨯---=-+=-．故答案为：-11．【点睛】本题考查了根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系得出m+n=-2，mn=-1是解题的关键．14．【分析】根据根的判别式变形计算即可；【详解】∵是一元二次方程的两个实数根∴∴；故答案是：【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系准确计算是解题的关键解析：75- 【分析】根据根的判别式变形计算即可；【详解】∵12,x x 是一元二次方程2750x x --=的两个实数根， ∴127b x x a+=-=，125c x x a ==-， ∴2112121175x x x x x x ++==-；故答案是：75-．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，准确计算是解题的关键． 15．12【分析】根据题意可以求得a+b 的值再根据勾股定理可以求得c 的值从而可以求得四边形ACDE 的周长【详解】解：∵x=-1是勾系一元二次方程的一个根∴∴∵S △ABC=2a2+b2=c2∴=2得ab=4解析：12【分析】根据题意可以求得a +b 的值，再根据勾股定理可以求得c 的值，从而可以求得四边形ACDE 的周长．【详解】解：∵x =-1是“勾系一元二次方程”20++=ax b 的一个根，∴0a b -+=，∴a b +=，∵S △ABC =2，a 2+b 2=c 2，∴2ab =2，得ab =4， ∴（a +b ）2=a 2+2ab +b 2=c 2+2ab =c 2+8，（a +b ）2=()2222c c =，∴c 2+8=2c 2，解得，c =22或22-（舍去），∵四边形ACDE 的周长是：a +b +a +b +2c =22c +2c =32c =12，故答案为：12．【点睛】本题考查一元二次方程的解、三角形的面积、勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．16．直角【分析】利用因式分解法求出方程的解得到另两边长利用勾股定理的逆定理即可确定出三角形为直角三角形【详解】解：x2-14x+48=0分解因式得：（x-6）（x-8）=0解得：x=6或x=8∵62+8解析：直角【分析】利用因式分解法求出方程的解得到另两边长，利用勾股定理的逆定理即可确定出三角形为直角三角形．【详解】解：x 2-14x+48=0，分解因式得：（x-6）（x-8）=0，解得：x=6或x=8，∵62+82=102，∴这是一个直角三角形．故答案为：直角【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，利用此方法解方程时首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．17．3【分析】先根据根与系数的根据求得x1＋x2和x1x2的值然后代入计算即可【详解】解：∵一元二次方程x2－4x ＋1＝0的两根是x1x2∴x1＋x2=4x1x2=1∴x1＋x2－x1x2＝4-1解析：3【分析】先根据根与系数的根据求得x 1＋x 2和x 1⋅x 2的值，然后代入计算即可．【详解】解：∵一元二次方程x 2－4x ＋1＝0的两根是x 1，x 2∴x 1＋x 2=4，x 1⋅x 2=1∴x 1＋x 2－x 1⋅x 2＝4-1=3．故答案为3．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根是x 1、x 2，则x 1＋x 2=b a -、x 1⋅x 2=c a． 18．5【分析】应用换元法得到一元二次方程解方程问题可解【详解】解：设t ＝x2+y2（t≥0）则t （t ﹣1）＝20整理得（t ﹣5）（t+4）＝0解得t ＝5或t ＝﹣4（舍去）所以x2+y2＝5故答案是：5【解析：5【分析】应用换元法，得到一元二次方程，解方程问题可解．【详解】解：设t ＝x 2+y 2（t ≥0），则t （t ﹣1）＝20．整理，得（t ﹣5）（t +4）＝0．解得t ＝5或t ＝﹣4（舍去）．所以x 2+y 2＝5．故答案是：5．【点睛】本题考查了换元法和解一元二次方程的知识，解答关键是根据题意选择合适未知量使用换元法法解题．19．或【分析】分类讨论当和当两种情况时根据所给的新运算法则列出二元一次方程求解即可注意所求的解要符合题意【详解】分类讨论①当时即此时解得：由于所以两个根都舍去②当时即此时解得：由于所以两个根都符合题意故解析：12或1-．【分析】分类讨论当212x x -≥+和当212x x -<+两种情况时，根据所给的新运算法则列出二元一次方程求解即可．注意所求的解要符合题意．【详解】分类讨论①当212x x -≥+时，即3x ≥．此时2212(21)(2)(2)240x x x x x x x -⊕+=-+++=+=，解得：1202x x ==-，．由于3x ≥，所以两个根都舍去．②当212x x -<+时，即3x <．此时2212(21)(2)(21)210x x x x x x x -⊕+=-+--=+-=，解得：34112x x ==-，．由于3x <，所以两个根都符合题意．故答案为：12或1-．【点睛】本题考查新定义下的实数运算和解一元二次方程．利用分类讨论的思想是解答本题的关键．20．【分析】根据新运算法则以及一元二次方程的解法解答即可【详解】解：由题意可知：∴即解得：x ＝2故答案为：2【点睛】本题以新运算的形式考查了一元二次方程的解法正确理解新运算法则熟练掌握解一元二次方程的方解析：2【分析】根据新运算法则以及一元二次方程的解法解答即可．【详解】解：由题意可知：2a b a ab ⊗=-，∴2444x x x ⊗=-=-，即244x x -=-，解得：x ＝2．故答案为：2．【点睛】本题以新运算的形式考查了一元二次方程的解法，正确理解新运算法则、熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键．三、解答题21．（1）不存在；（2）2260m mn n -+【分析】（1）按照小亮的方法，进行计算即可；（2）先根据小亮的方法列出方程组，转化为一元二次方程，利用根的判别式列不等式即可．【详解】解：（1）设所求矩形的两边分别是x 和y ，由题意，得5,23.x y xy ⎧+=⎪⎨⎪=⎩①②由①，得52y x =-，③ 把③代入②，得532x x ⎛⎫-=⎪⎝⎭，整理，得22560x x -+=，242548230b ac -=-=-<，A ∴的“兄弟矩形”B 不存在．（2）设所求矩形的两边分别是x 和y ，由题意，得,2.2m n x y mn xy +⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①② 由①，得2m n y x +=-，③ 把③代入②，得22m n mn x x +⎛⎫-=⎪⎝⎭，整理，得22()0x m n x mn -++=，22224()86b ac m n mn m mn n -=+-=-+，又,x y 都是正数，∴当2260m mn n -+时，A 的“兄弟矩形”B 存在．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是熟练运用一元二次方程根的判别式．22．122,1x x =-=．【分析】利用因式分解法求解即可．【详解】∵2(2)3(2)x x +=+，∴()()22320x x +-+= ∴()()2230x x ++=⎡⎤⎣⎦-∴()()210x x +-=解得：122,1x x =-=．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法的实质，灵活准确求解是解题的关键．23．（1）12x =，213x =-；（2）13x =，21x = 【分析】（1）将方程化为一般式，利用公式法求解即可．（2）直接运用开平方法求解方程即可．【详解】（1）23520x x --=3a =，5b =-，2c =-224(5)43(2)490b ac -=--⨯⨯-=>557236x ±±∴==⨯ 12x ∴=，213x =- （2）()()222134x x -=-方程两边直接开平方得，()2134x x -=±- ∴2134x x -=-，2134x x -=-+解得：13x =，21x =【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法和公式法是解答此题的关键． 24．（1）见解析；（2）k=-1，另一根为-2【分析】（1）由于方程有两个不相等的实数根，则△＞0，据此列出关于k 的方程，解答即可；（2）将x ＝3代入方程x 2+kx -6＝0，求出k 的值，根据求出的k 的值，得到一元二次方程，从而求出方程的根．【详解】解：（1）证明：2240k =+＞∴方程x 2+kx -6＝0有两个不相等的实数根；（2）把x =3代入方程x 2+kx ﹣6＝0，得：9+3k-6=0，解得k=-1，将k=-1代入原方程得x 2-x -6＝0，解得123,2x x ==-∴k=-1，另一根为x =-2．【点睛】本题考查了根的判别式和一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握根的判别式和一元二次方程的解法．25．（1）±3；（2）54±；（3）45x y =⎧⎨=⎩或25x y =-⎧⎨=⎩【分析】（1）设22x y a +=，则原方程变为(3)(3)27a a +-=，解之求得a 的值，继而可得x y +的值；（2）设a ²+4b ²=x ，ab=y ，可将原方程组变形为二元一次方程组，解出x 、y 的值再代入即可.（3）将原方程组变为21112222(1)(1)a x b y c a x b y c ⎧-+=⎨-+=⎩，由题意得出2(1)95x y ⎧-=⎨=⎩，即可得出答案．【详解】解：（1）设22x y a +=，则原方程变为(3)(3)27a a +-=，整理，得：2927a -=，即236a =，解得：6a =±，则226x y +=±，3x y ∴+=±；（2）令224a b x +=，ab y =，则原方程变为：3247236x y x y -=⎧⎨+=⎩，解之得：172x y =⎧⎨=⎩， ∴22417a b +=，2ab =，∴()22224417825a b a ab b +=++=+=， ∴25a b +=±， ∴1125224b a a b ab ++==±；（3）由方程组21111122222222a x a x b yc a a x a x b y c a ⎧-+=-⎨-+=-⎩，得21111122222222a x a x a b y c a x a x a b y c ⎧-++=⎨-++=⎩，整理，得：21112222(1)(1)a x b y c a x b y c ⎧-+=⎨-+=⎩，方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是95x y =⎧⎨=⎩， ∴方程组21112222(1)(1)a x b y c a x b y c ⎧-+=⎨-+=⎩的解是：2(1)95x y ⎧-=⎨=⎩， 13x ∴-=±，且5y =，解得：45x y =⎧⎨=⎩或25x y =-⎧⎨=⎩．【点睛】本题主要考查换元法解方程、方程组及因式分解，根据方程和代数式的特点设出合适的新元是解题的关键．26．4秒、6秒或12秒【分析】先根据三角形面积公式可得S △ABC ，根据S ＝625S △ABC ，可求△PCQ 的面积，再分两种情况：P 在线段AB 上；P 在线段AB 的延长线上；进行讨论即可求得P 运动的时间．【详解】解：∵S△ABC=12AB•BC=50cm2，625S△PCQ=12cm2，设当点P运动x秒时，S＝625S△ABC，当P在线段AB上，此时CQ=x，PB=10-x，S△PCQ=12x（10-x）=12，化简得 x2-10 x+24=0，解得x=6或4，P在线段AB的延长线上，此时CQ=x，PB=x-10，S△PCQ=12x（x-10）=12，化简得 x2-10 x+24=0，x2-10 x-24=0，解得x=12或-2，负根不符合题意，舍去．所以当点P运动4秒、6秒或12秒时，S＝625S△ABC．【点睛】此题主要考查了三角形面积公式和一元二次方程的应用，根据已知分两种情况进行讨论是解题关键．。

北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程专题复习练习题

北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程专题复习练习题专题一、一元二次方程的解法1、用直接开平方法解方程：（1）x2﹣＝0；（2）2x2+3＝﹣2x2+4；（3）（2x﹣1）2﹣121＝0；（4）（2x+3）2 =（x﹣1）2．2、用配方法解方程：（1）x2﹣4x＝7；（2）2x2﹣4x-1＝0.（3）（4x﹣1）（3﹣x）＝5x+1．3、用因式分解法解方程：（1）2x2﹣5x=0；（2）（x﹣2）2＝3x﹣6；（3）4x2+1=-4x；（4）（x﹣1）（x+3）＝12．4、用公式法解方程：（1）x2x﹣14=0；（2）3x2＝4x+2．5、当x取何值时，代数式3x2+6x﹣8的值与1﹣2x2的值互为相反数？专题二、一元二次方程的应用：增长率及利润问题1、某旅游景区今年5月份游客人数比4月份增加了44%，6月份游客人数比5月份增加了21%，求5月、6月游客人数的平均增长率．2、去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．3、某种病毒传播非常快，如果一个人被感染，经过两轮感染后就会有81个人被感染．（1）请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一个人会感染几个人？（2）若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会不会超过700人？4、阿里巴巴电商扶贫对某贫困地区一种特色农产品进行网上销售，按原价每件300元出售，一个月可卖出100件，通过市场调查发现，单价每降低10元，月销售件数增加20件．已知该农产品的成本是每件200元，在保持月利润不变的情况下，尽快销售完毕，则售价应定为多少元？5、适逢中高考期间，某文具店平均每天可卖出30支2B铅笔，卖出1支铅笔的利润是1元，经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出10支铅笔，为了使每天获取的利润更多，该文具店决定把零售单价下降x元（0＜x＜1）．（1）当x为多少时，才能使该文具店每天卖2B铅笔获取的利润为40元？（2）该文具店每天卖2B铅笔获取的利润可以达到50元吗？如果能，请求出x的值；如果不能，请说明理由．6、某科技公司为提高经济效益，近期研发一种新型设备，每台设备成本价为2万元．经过市场调研发现，该设备的月销售量y（台）和销售单价x（万元）对应的点（x，y）在函数y ＝kx+b的图象上，如图．（1）求y与x的函数关系式；（2）根据相关规定，此设备的销售单价不高于5万元，若该公司要获得80万元的月利润，则该设备的销售单价是多少万元？专题三、一元二次方程的应用：面积问题1、如图，有一块宽为16 m的矩形荒地，某公园计划将其分为A、B、C三部分，分别种植不同的植物．若已知A、B地块为正方形，C地块的面积比B地块的面积少40 m2，试求该矩形荒地的长．2、如图，幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，求四周未铺地毯的条形区域的宽度是多少米.3、在某校园建设过程中，规划将一块长18米，宽10米的矩形场地建设成绿化广场，如图，内部修建三条宽相等的小路，其中一条路与广场的长平行，另两条路与广场的宽平行，其余区域种植绿化，使绿化区域的面积为广场总面积的80%，求广场中间小路的宽．4、如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．若花圃的面积刚好为45平方米，则此时花圃的AB段长为多少？5、如图①，有一张长40cm，宽20cm的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图②的有盖纸盒．（1）若纸盒的高是3cm，求纸盒底面长方形的长和宽；（2）若纸盒的底面积是150cm2，求纸盒的高．图①图②6、如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发，沿AB 边以1cm/s的速度向点B移动；点Q从点B出发，沿BC边以2cm/s的速度向点C移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，问：（1）经过几秒后，△PBQ的面积等于8cm2？（2）经过几秒后，P，Q两点间的距离是cm？专题1参考答案1.解：（1）x1＝，x2＝﹣．（2）x1＝，x2＝﹣．（3）x1＝6，x2＝﹣5．（4）x1=﹣4，x2=﹣2．解：（1）x1＝x2＝2．（2）x1＝1+，x2＝1﹣．（3）x1＝x2＝1．3．解：（1）x1＝0，x2＝52．（2）x1＝2，x2＝5．（3）x1＝x2＝-．（4）x1＝3，x2＝﹣5．4．解：（1）x1＝，x2＝．（2）x1＝，x2＝．5．解：根据题意，得3x2+6x﹣8+1﹣2x2＝0，整理，得x2+6x﹣7＝0，则（x+7）（x﹣1）＝0，∴x+7＝0或x﹣1＝0，解得x1＝﹣7，x2＝1．∴当x取﹣7或1时，代数式3x2+6x﹣8的值与1﹣2x2的值互为相反数．专题2答案：1．解：设5月、6月游客人数的平均增长率是x，依题意有（1+x）2＝（1+44%）×（1+21%），解得：x1＝32%，x2＝﹣2.32（舍去）．答：5月、6月游客人数的平均增长率是32%．2．解：（1）450+450×12%＝504（万元）．答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，依题意，得：350（1+x）2＝504，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．3．解：（1）设每轮感染中平均一个人会感染x个人，依题意，得：1+x+x（1+x）＝81，解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．答：每轮感染中平均一个人会感染8个人．（2）81×（1+8）＝729（人），729＞700．答：若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会超过700人．4．解：当售价为300元时月利润为（300﹣200）×100＝10000（元）．设售价应定为x元，则每件的利润为（x﹣200）元，月销售量为100+＝（700﹣2x）件，依题意，得：（x﹣200）（700﹣2x）＝10000，整理，得：x2﹣550x+75000＝0，解得：x1＝250，x2＝300（舍去）．答：售价应定为250元．5．解：（1）根据题意得：（1﹣x）（100x+30）＝40，整理得：10x2﹣7x+1＝0，解得：x1＝0.2，x2＝0.5．答：当x为0.2或0.5时，才能使该文具店每天卖2B铅笔获取的利润为40元．（2）根据题意得：（1﹣x）（100x+30）＝50，整理得10x2﹣7x+2＝0，＝b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×10×2＝﹣31＜0．答：该文具店每天卖2B铅笔获取的利润不可以达到50元．6．解：（1）依题意有，解得．故y与x的函数关系式是y＝﹣10x+80．（2）设该设备的销售单价为x万元/台，依题意有（x﹣2）（﹣10x+80）＝80，整理方程，得x2﹣10x+24＝0．解得x1＝4，x2＝6．∵此设备的销售单价不高于5万元，∴x2＝6（舍去），∴x＝4．答：该设备的销售单价是4万元．专题3答案：1．解：设B地块的边长为x m，根据题意得：x2﹣x（16﹣x）＝40，解得：x1＝10，x2＝﹣2（不符题意，舍去），∴10+16＝26 m．答：矩形荒地的长为26 m．2．解：设四周未铺地毯的条形区域的宽度是x m，依题意，得：（8﹣2x）（5﹣2x）＝18，整理，得2x2﹣13x+11＝0，解得x1＝1，x2＝．又∵5﹣2x＞0，∴x＜，∴x＝1．答：四周未铺地毯的条形区域的宽度是1 m．3．解：设广场中间小路的宽为x米，依题意，得：（18﹣2x）（10﹣x）＝18×10×80%，整理，得：x2﹣19x+18＝0，解得：x1＝1，x2＝18．又∵18﹣2x＞0，∴x＜9，∴x＝1．答：广场中间小路的宽为1米4．解：设AB＝x米，则BC＝（22﹣3x+2）米，依题意，得：x（22﹣3x+2）＝45，整理，得：x2﹣8x+15＝0，解得：x1＝3，x2＝5．当x＝3时，22﹣3x+2＝15＞14，不合题意，舍去；当x＝5时，22﹣3x+2＝9，符合题意．答：若花圃的面积刚好为45平方米，则此时花圃的AB段长为5米．5．解：（1）纸盒底面长方形的长为（40﹣2×3）÷2＝17（cm），纸盒底面长方形的宽为20﹣2×3＝14（cm）．答：纸盒底面长方形的长为17cm，宽为14cm．（2）设当纸盒的高为x cm时，纸盒的底面积是150cm2，依题意，得×（20﹣2x）＝150，化简，得：x2﹣30x+125＝0，解得x1＝5，x2＝25．当x＝5时，20﹣2x＝10＞0，符合题意；当x＝25时，20﹣2x＝﹣30＜0，不符合题意，舍去．答：若纸盒的底面积是150 cm2，则纸盒的高为5 cm．6．解：（1）设经过x秒后，△PBQ的面积等于8 cm2，则BP＝（6﹣x）cm，BQ＝2x cm，依题意，得（6﹣x）×2x＝8，化简，得x2﹣6x+8＝0，解得x1＝2，x2＝4．答：经过2秒或4秒后，△PBQ的面积等于8 cm2．（2）设经过y秒后，P，Q两点间距离是cm，则BP＝（6﹣y）cm，BQ＝2y cm，依题意，得：（6﹣y）2+（2y）2＝（）2，化简，得：5y2﹣12y﹣17＝0，解得：y1＝，y2＝﹣1（不合题意，舍去）．答：经过秒后，P，Q两点间的距离是cm．。

人教版数学九年级上册第二单元测试试卷(含答案)

人教版数学9年级上册第2单元·时间：120分钟满分：120分班级__________姓名__________得分__________一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c，且a＜0，4a﹣2b+c＞0，则一定有（）A．b2﹣4ac＜0B．b2﹣4ac≤0C．b2﹣4ac＝0D．b2﹣4ac＞0 2．（3分）抛物线y＝3（x﹣2）2+1的对称轴是（）A．直线x＝﹣2B．直线x＝﹣1C．直线x＝1D．直线x＝2 3．（3分）将抛物线y＝2x2+2向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（）A．y＝2（x+3）2+4B．y＝2（x+3）2C．y＝2（x﹣3）2+4D．y＝2（x﹣3）24．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图，其对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②b2＞4ac；③4a+2b+c＞0；④3b﹣2c＞0；⑤关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝a（a≠0）有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（）A．2B．3C．4D．55．（3分）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（）A．y＝（x﹣2）2﹣1B．y＝（x﹣2）2+3C．y＝x2+1D．y＝x2﹣1 6．（3分）已知二次函数y＝x2+ax+b＝（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，x1，x2为常数），若1＜x1＜x2＜2，记t＝a+b，则（）A．―2＜t＜―34B．﹣2＜t＜0C．―1＜t＜―34D．﹣1＜t＜07．（3分）已知二次函数y＝x2+2（k﹣1）x+k2的图象与x轴无交点，则k的取值范围是（）A．k＞12B．k＜12C．k＞2D．k＜28．（3分）将抛物线y ＝2x 2向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得新抛物线和原抛物线相比，不变的是（）A ．对称轴B ．开口方向C ．和y 轴的交点D ．顶点9．（3分）如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过点A （﹣1，0），B （3，0），与y 轴交于点C ．下列结论：①ac ＞0；②当x ＞0时，y 随x 的增大而增大；③3a +c ＝0；④b ＝2a ．其中正确的是（）A ．④B ．③C ．②D ．①10．（3分）用配方法将二次函数y =12x 2﹣2x ﹣4化为y ＝a （x ﹣h ）2+k 的形式为（）A ．y =12（x ﹣2）2﹣4B ．y =12（x ﹣1）2﹣3C ．y =12（x ﹣2）2﹣5D ．y =12（x ﹣2）2﹣6二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．（3分）二次函数y ＝﹣（x ﹣2）2+3的最大值是．12．（3分）函数y ＝x 2m ﹣1+x ﹣3是二次函数，则m ＝．13．（3分）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为x ＝1，点P 是抛物线与x 轴的一个交点，若点P 的坐标为（4，0），则关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的解为．14．（3分）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y 与加工时间x （单位：min ）满足函数表达式y ＝﹣0.3x 2+1.5x ﹣1，则最佳加工时间为 min ．15．（3分）已知二次函数y ＝x 2﹣4x ﹣5的图象与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C ，则△ABC的面积为．三、解答题（共8小题，满分75分）16．（9分）已知y与x2成正比例，并且x＝1时y＝2．（1）求y与x之间的函数关系式．（2）当x＝﹣1时y的值．17．（9分）先确定抛物线y＝﹣2x2+8x﹣8的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图．18．（9分）一个二次函数的图象经过（﹣1，0），（0，6），（3，0）三点．求：这个二次函数的解析式．19．（9分）某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每月可卖出180件．如果该商品的售价每上涨1元，就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数）时，月销售利润为y元．（1）求y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．（2）当每件商品的售价定为多少元时，可获得的月利润最大？最大月利润是多少？20．（9分）已知二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表：x…01234…y…﹣3﹣4﹣305…（1）求该二次函数的表达式；（2）直接写出该二次函数图象与x轴的交点坐标．21．（10分）已知y＝（k﹣1）x k2+k―4是二次函数．（1）若其图象开口向下，求k的值；（2）若当x＜0时，y随x的增大而减小，求函数关系式．22．（10分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，求：（1）点A、B、C的坐标；（2）△ABC的面积．23．（10分）已知二次函数y＝ax2+4x+2的图象经过点A（3，﹣4）．（1）求a的值；（2）求此抛物线的对称轴；（3）直接写出函数y随自变量的增大而减小的x的取值范围．参考答案一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．D；2．D；3．A；4．B；5．D；6．D；7．A；8．B；9．B；10．D；二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．312．3 213．x1＝4，x2＝﹣214．2.515．27三、解答题（共8小题，满分75分）16．解：（1）∵y与x2成正比例，∴设y＝kx2（k≠0），∵当x＝1时，y＝2，∴2＝k•12，解得，k＝2，∴y与x之间的函数关系式为y＝2x2．（2）∵函数关系式为y＝2x2，∴当x＝﹣1时，y＝2×1＝2．17．解：y＝﹣2x2+8x﹣8＝﹣2（x﹣2）2，∵a＝﹣2＜0，∴开口向下，对称轴为：直线x＝2，顶点坐标为：（2，0），图象如下：18．解：设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，根据题意得：a―b+c=09a+3b+c=0 c=6，解得：a=―2 b=4c=6，所以抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6．19．解：（1）y＝（30﹣20+x）（180﹣10x）＝﹣10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）；（2）由（1）知，y＝﹣10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）．∵﹣10＜0，∴当x=802×(10)=4时，y最大＝1960元；∴每件商品的售价为34元．答：每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，为1960元；20．解：（1）∵抛物线经过点（0，﹣3），（2，﹣3），（1，﹣4），∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，把（0，﹣3）代入得a（0﹣1）2﹣4＝﹣3，解得a＝1，∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣4；（2）∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），而抛物线的对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），即该二次函数图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）．21．解：（1）根据题意得k 2+k―4=2k―1≠0，解得k＝﹣3或2；（2）∵当x＜0时，y随x的增大而减小，∴图象开口向上，∴k﹣1＞0，即k＞1，∴k＝2．22．解：（1）令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3）；令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0）；（2）∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），∴AB＝4，OC＝3，∴S△ABC =12AB•OC=12×4×3＝6．23．解：（1）∵二次函数y＝ax2+4x+2的图象经过点A（3，﹣4），∴﹣4＝9a+12+2，解得：a＝﹣2，∴a的值为﹣2；（2）由（1）可知抛物线解析式为y＝﹣2x2+4x+2＝﹣2（x﹣1）2+4，∴抛物线对称轴为直线x＝1；（3）∵抛物线开口向下，对称轴为x＝1，∴当x≥1时，y随x的增大而减小．。

(好题)初中数学九年级数学上册第二单元《一元二次方程》检测卷(答案解析)

一、选择题1．关于x 的一元二次方程x 2﹣4x +2n ＝0无实数根，则一次函数y ＝（2﹣n ）x +n 的图象不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．一元二次方程2(21)2(21)x x +=+的解是（）A ．1212x x ==B ．1212x x ==-C ．1211,22x x =-=D ．1211,2x x == 3．若关于x 的方程2210mx x +-=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（） A ．1m <-B ．1m >-且0m ≠C ．1m >-D ．1m ≥-且0m ≠4．为切实解决群众看病贵的问题，药监部门对药品价格进行了两次下调．某种药品原价为250元/瓶，经两次下调后价格变为160元/瓶，该药品平均每次降价的百分率为（） A ．10% B ．15% C ．20% D ．25% 5．一元二次方程20x x +=的根的情况为（）A ．没有实数根B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根6．请你判断，320x x x -+=的实根的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 7．已知关于x 的一元二次方程2420ax x +-=有实数根，则a 的取值范围是（） A ．2a >-且0a ≠ B ．2a ≥-且0a ≠ C ．2a ≥- D ．0a ≠ 8．某企业通过改革，生产效率得到了很大的提高，该企业一月份的营业额是1000万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额是3390万元．若设月平均增长率是x ，那么可列出的方程是（）A ．1000（1＋x ）2＝3390B ．1000＋1000（1＋x ）＋1000（1＋x ）2＝3390C ．1000（1＋2x ）＝3390D ．1000＋1000（1＋x ）＋1000（1＋2x ）＝33909．2020年12月29日，贵阳轨道交通2号线实现试运行，从白云区到观山湖区轨道公司共设计了132种往返车票，则这段线路有多少个站点？设这段线路有x 个站点，根据题意，下面列出的方程正确的是（）A ．()1132x x +=B ．()1132x x -=C ．1(1)1322x ⨯+=D ．1(1)1322x x -= 10．若12,x x 是方程2420200x x --=的两个实数根，则代数式211222x x x -+的值等于( )A ．2020B ．2019C ．2029D ．202811．由于国内疫情得到缓和，餐饮业逐渐恢复，某地一家餐厅重新开张，开业第一天收入约为2000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天的收入约为2420元，若设每天的增长率为x ，则列方程为（）A ．2000(1)2420x +=B ．2000(12)2420x +=C ．22000(1)2420x -=D ．22000(1)2420x +=12．当3b c -=时，关于x 的一元二次方程220x bx c -+=的根的情况为（） A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定二、填空题13．关于x 的一元二次方程2(2)430k x x ---=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是__________．14．若a ，b 是一元二次方程2202020210x x --=的两根，则22021a a b --=__________．15．一元二次方程x 2－4x ＋1＝0的两根是x 1，x 2，则x 1＋x 2－x 1⋅x 2＝_________． 16．等腰ABC 中，4AB AC ==，30BAC ∠=︒，以AC 为边作等边ACD △，则点B 到CD 的距离为________．17．如图，某小区规划在一个长30m 、宽20m 的长方形ABCD 上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m 2，那么通道的宽应设计成多少m ？设通道的宽为xm ，由题意列得方程__________________________．18．在实数范围内因式分解：231x x --=_______．19．一件商品的标价为108元，经过两次降价后的销售价是72元，求平均每次降价的百分率．若设平均每次降价的百分率为x ，则可列方程_________．20．已知12x x 、是方程2310x x --=的根，则式子21122x x x -+的值为_____．三、解答题21．2020年，受新冠疫情影响，众多学校开展了“停课不停学”的线上教学活动，因此，手写板的需求量大幅上升．某网店抓住时机销售A ，B 两款手写板，A 型手写板的单价为360元，B 型手写板的单价为240元．（1）商家在1月共销售两种型号手写板600个，若A 型手写板的销售额不低于B 型手写板销售额的3倍，求1月A 型手写板至少售出多少个？（2）该商家在2月继续销售这两种型号的手写板并适当的进行了调整，A 型手写板的售价降低了13a%．B 型手写板的销价不变．结果A 型手写板的销售量在1月最低销售量的基础上增加了43a%，B 型手写板的销售量在一月保证A 最低销量的基础上增加了15a%，结果2月两种手写板的总销售额比1月两种手写板的总销售额增加了35a%，求a 的值． 22．某住宅小区在住宅建设时留下一块1248平方米的空地，准备建一个矩形的露天游泳池，设计如图所示，游泳池的长是宽的2倍，在游泳池的前侧留一块5米宽的空地，其它三侧各保留2米宽的道路及1米宽的绿化带．请你计算出游泳池的长和宽．23．解答下列各题：（1）用配方法解方程：2840x x --=；（2）已知2x =关于x 的一元二次方程()22130x m x m +--=的一个根，求m 的值及方程的另一个根．24．已知2x =时，二次三项式224x mx -+的值等于4．（1）x 为何值时，这个二次三项式的值为3；（2）是否存在x 的值，使得这个二次三项式的值为1-？说明理由．25．解方程：2582(4)x x x ++=+．26．解方程（1）(3)26x x x +=+；（2）22350x x --=【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】由一元二次方程根的情况可以求出n 的范围，并可得到一次函数中参数的范围，从而得到问题解答．【详解】解：由已知得：△＝b 2﹣4ac ＝（﹣4）2﹣4×1×（2n ）＝16﹣8n ＜0，解得：n ＞2，∵一次函数y ＝（2﹣n ）x +n 中，k ＝2﹣n ＜0，b ＝n ＞0，∴该一次函数图象在第一、二、四象限，故选：C ．【点睛】本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握一元二次方程根判别式的计算和应用、一次函数的图象与性质是解题关键．2．C解析：C【分析】先将原方程整理为2(21)2(21)0x x +-+=，再利用因式分解法求出方程的解，即可得出结论．【详解】解：2(21)2(21)x x +=+，移项，得2(21)2(21)0x x +-+=，分解因式，得(21)(21)0x x +-=，则210x +=或210x -=，解得：1211,22x x =-=．故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法及步骤是解题的关键． 3．B解析：B【分析】利用判别式大于零和二次项系数不为零求解即可．【详解】∵方程2210mx x +-=有两个不相等的实数根，∴m≠0，且△＞0，∴m≠0，且224m +＞0，∴1m >-且0m ≠，故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练运用判别式并保证二次项系数不能为零是解题的关键．4．C解析：C【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x ，根据题意列方程求解即可．【详解】解：设该药品平均每次降价的百分率为x ，根据题意得，250（1-x ）2=160，解得，x 1=0.2，x 2=1.8（舍去），答：该药品平均每次降价的百分率为20%；故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用—增长率（或下降率）问题，解题关键是熟知增长率（或下降率）问题的数量关系，结合题意列方程．5．D解析：D【分析】确定a 、b 、c 计算根的判别式，利用根的判别式直接得出结论；【详解】∵20x x += ，∴ △=1-0=1＞0，∴ 原方程有两个不相等的实数根；故选：D ．【点睛】本题考查了根的判别式、一元二次方程实数根的情况取决于根的判别式△，正确掌握△的值与根的个数的关系是解题的关键．6．C解析：C【分析】利用绝对值的几何意义，假设x ＞0或x ＜0，分别分析得出即可．【详解】解：当x ＞0时，2320x x -+=，解得：x 1＝1；x 2＝2；当x ＜0时，2320x x --=，解得：x 1（不合题意舍去），x 2， ∴方程的实数解的个数有3个．故选：C ．【点睛】此题主要考查的是含有绝对值符号的一元二次方程的一般计算题，理解绝对值的意义是关键．7．B解析：B【分析】根据方程有实数根得到．由题意得：0∆≥，即244(2)0a -⨯⨯-≥，且0a ≠，解得2a ≥-且0a ≠，故选：B ．【点睛】此题考查根据一元二次方程根的情况求参数，掌握一元二次方程根的判别式与根的个数的三种情况是解题的关键． 8．B解析：B【分析】月平均增长的百分率是x ，则该超市二月份的营业额为1000（1+x ）万元，三月份的营业额为1000（1+x ）2万元，根据该超市第一季度的总营业额是3990万元，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设月平均增长的百分率是x ，则该超市二月份的营业额为1000（1+x ）万元，三月份的营业额为1000（1+x ）2万元，依题意，得1000+1000（1+x ）+1000（1+x ）2=3990．故选：B ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9．B解析：B【分析】利用列方程解应用题，仔细阅读试题，找出等量关系为：站点数×每站票数（比站点数少1）=总票数，列方程即可．【详解】设这段线路有x 个站点，每个站点售其它各站一张往返车票，共有(x-1)张票，根据题意，列方程得()1132x x -=．故选择：B ．【点睛】本题考查列方程解应用题，掌握列方程解应用题的方法，抓住等量关系站点数×每站票数（比站点数少1）=总票数是解决问题的关键．10．D解析：D【分析】先根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出21142020x x -=，124x x +=，代入原式计算即可．解：∵1x ，2x 是方程2420200x x --=的两个实数根，∴211420200x x --=，即21142020x x -=，由根与系数之间关系可知124x x +=，∴211222x x x -+=21112422x x x x -++=2020+122()x x +=2020+8=2028．所以选项D 正确．故答案为：D【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数之间的关系，本题解题的关键是将211222x x x -+进行等量变形，并代入求解．11．D解析：D【分析】根据开业第一天收入约为2000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为2420元列方程即可得到结论．【详解】设每天的增长率为x ，依题意，得：22000(1)2420x +=．故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．12．A解析：A【分析】首先将已知等式转换形式，然后代入判别式，判断其正负，即可得解．【详解】解：3b c -=，3c b ∴=-， 220x bx c -+=，∴∆22()428b c b c =--⨯⨯=-28(3)b b =--2824b b =-+2(4)80b =-+>，∴方程有两个不相等的实数根，故选：A ．【点睛】此题主要考查根据参数的值判定一元二次方程根的情况，熟练掌握，即可解题．二、填空题13．且【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根知△=b2-4ac ＞0结合一元二次方程的定义列出关于k 的不等式组解不等式组即可得答案【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根∴解得：且故答案解析：23k >且2k ≠ 【分析】根据一元二次方程2(2)430k x x ---=有两个不相等的实数根，知△=b 2-4ac ＞0，结合一元二次方程的定义列出关于k 的不等式组，解不等式组即可得答案．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2(2)430k x x ---=有两个不相等的实数根， ∴()()()22044230k k -≠⎧⎪⎨--⨯-⨯->⎪⎩，解得：23k >且2k ≠，故答案为：23k >且2k ≠．【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零结合根的判别式△=b 2−4ac>0，列出关于k 的一元一次不等式组是解题的关键．14．【分析】根据a 与b 为方程的两根把x ＝a 代入方程并利用根与系数的关系求出所求即可【详解】解：∵ab 为一元二次方程的两根∴即a+b ＝2020则原式＝（a2-2020a ）﹣（a+b ）＝2021﹣2020＝解析：1【分析】根据a 与b 为方程的两根，把x ＝a 代入方程，并利用根与系数的关系求出所求即可．【详解】解：∵a ，b 为一元二次方程2202020210x x --=的两根，∴2202020210a a --=，即220202021a a -=，a +b ＝2020，则原式＝（a 2-2020a ）﹣（a +b ）＝2021﹣2020＝1．故答案为：1．【点睛】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．15．3【分析】先根据根与系数的根据求得x1＋x2和x1x2的值然后代入计算即可【详解】解：∵一元二次方程x2－4x ＋1＝0的两根是x1x2∴x1＋x2=4x1x2=1∴x1＋x2－x1x2＝4-1解析：3【分析】先根据根与系数的根据求得x 1＋x 2和x 1⋅x 2的值，然后代入计算即可．【详解】解：∵一元二次方程x 2－4x ＋1＝0的两根是x 1，x 2∴x 1＋x 2=4，x 1⋅x 2=1∴x 1＋x 2－x 1⋅x 2＝4-1=3．故答案为3．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根是x 1、x 2，则x 1＋x 2=b a -、x 1⋅x 2=c a． 16．或【分析】分两种情况讨论利用等边三角形的性质和勾股定理可求解【详解】解：当点D 在AC 的左侧时设AB 与CD 交于点E ∵△ACD 是等边三角形∴AC=AD=CD=4∠DAC=60°又∵∠BAC=30°∴∠D解析：232-或423-【分析】分两种情况讨论，利用等边三角形的性质和勾股定理可求解．【详解】解：当点D 在AC 的左侧时，设AB 与CD 交于点E ，∵△ACD 是等边三角形，∴AC=AD=CD=4，∠DAC=60°，又∵∠BAC=30°，∴∠DAE=∠BAC=30°，∴AB ⊥CD ，∵∠BAC=30°，∴CE=12AC=2，AE=22224223AC EC -=-=， ∴BE=AB-AE=423-；当点D 在AC 的右侧时，过点B 作BE ⊥CD ，交DC 的延长线于点E ，连接BD ，∵△ACD 是等边三角形，∴AC=AD=CD=AB=4，∠DAC=60°，∴∠BAD=90°，∴22161642AB AD =+=+∵AB=AC ，∠BAC=30°，∴∠ACB=75°， ∴∠BCE=180°-∠ACD-∠ACB=45°， ∵BE ⊥CE ，∴∠BCE=∠CBE=45°，∴BE=CE ，∵BD 2=BE 2+DE 2，∴32=BE 2+（CE+4）2，∴BE=232-，综上所述：点B 到CD 的距离为32或423-．故答案为：32-或423-【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 17．【分析】设道路的宽为将6块草地平移为一个长方形长为宽为根据长方形面积公式即可列方程【详解】设道路的宽为由题意得：故答案为：【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用掌握长方形的面积公式求得6块草地平移解析：(302)(20)786x x --=⨯【分析】设道路的宽为xm ，将6块草地平移为一个长方形，长为()302-x m ，宽为()20x m -．根据长方形面积公式即可列方程(302)(20)786x x --=⨯．【详解】设道路的宽为xm ，由题意得：(302)(20)786x x --=⨯，故答案为：(302)(20)786x x --=⨯．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，掌握长方形的面积公式，求得6块草地平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键．18．【分析】令x2-3x-1=0求出方程的两个根即可把多项式x2-3x-1因式分解【详解】解：令x2-3x-1=0∵a=1b=-3c=-1∴b2-4ac=(-3)2-4×1×（-1）=13＞0∴∴故答案解析：33(22--x x 【分析】令x 2-3x-1=0，求出方程的两个根，即可把多项式x 2-3x-1因式分解．【详解】解：令x 2-3x-1=0，∵a=1，b=-3，c=-1，∴b 2-4ac=(-3)2-4×1×（-1）=13＞0，∴x =∴231(x --=x x x故答案为：(-x x 【点睛】此题主要考查了实数范围内分解因式，熟练掌握利用公式法解一元二次方程是解答本题的关键．19．【分析】设平均每次降价的百分率为x 根据一件商品的标价为108元经过两次降价后的销售价是72元即可列出方程【详解】解：设平均每次降价的百分率为x 根据题意可得：故答案为：【点睛】本题考查一元二次方程的实解析：()2108172x -=【分析】设平均每次降价的百分率为x ，根据“一件商品的标价为108元，经过两次降价后的销售价是72元”即可列出方程．【详解】解：设平均每次降价的百分率为x ，根据题意可得：()2108172x -=，故答案为：()2108172x -=．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意，找出等量关系是解题的关键． 20．4【分析】由是方程的根可得再将式子变形为即可求出答案【详解】解：∵是方程的根∴即∴∴原式＝1＋3＝4故答案为：4【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系熟练掌握一元二次方程根与系数的关系并与代数解析：4【分析】由12x x 、是方程2310x x --=的根，可得21131x x -=，123x x +=，再将式子21122x x x -+变形为211123()x x x x -++，即可求出答案．【详解】解：∵12x x 、是方程2310x x --=的根，∴211310x x --=，即21131x x -=，123x x +=，∴22112111223()x x x x x x x -+-++=，∴原式＝1＋3＝4．故答案为：4．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系并与代数式变形相结合解题是解题的关键．三、解答题21．（1）A 型手写板至少售出400个；（2）60a =．【分析】（1）设A 型手写板售出x 个，则B 型手写板售出（600-x ）个，根据题意列出不等式求解即可；（2）根据售价×销量=销售额，别表示出A 型手写板和B 型手写板的销售额相加等于总销售额列出方程求解即可．【详解】解：（1）设A 型手写板售出x 个，则B 型手写板售出（600-x ）个，根据题意3603240(600)x x ≥⨯-，解得400x ≥，故A 型手写板至少售出400个；（2）由（1）得，A 型手写板售出400个，B 型手写板售出200个，根据题意可知1413360(1%)400(1%)240200(1%)(400360200240)(1%)3355a a a a -⨯++⨯+=⨯+⨯+解得：60a =或0a =（舍去）．所以60a =．【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用．根据题意找出等量或者不等量关系，列出方程（不等式）是解题关键．（2）中计算过程较为复杂，可先领%y a =，求出y 后，再求a ．22．游泳池的长为40米，宽为20米．【分析】设游泳池的宽为x 米，而游泳池的长是宽的2倍，那么原来的空地的长为（2x +8），宽为（x +6），根据空地面积为1248平方米即可列出方程解题．【详解】解：设游泳池的宽为x 米，依题意得（x +6）（2x +8）＝1248整理得x 2+10x ﹣600＝0，解得x 1＝20，x 2＝﹣30（负数不合题意，舍去），∴x ＝20，2x ＝40．答：游泳池的长为40米，宽为20米．【点睛】找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．此题要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．23．（1）14x =+24x =-；（2）2m =-，方程的另一个根3【分析】（1）先把常数项移到右边284x x -=，再添加一次项系数一半的平方配方求解；（2）将2x =代入一元二次方程()22130x m x m +--=求得m ，再将m 代入原方程求另一个根，也可设另一根为α,利用根与系数关系21223m mαα+=-⎧⎨=-⎩解方程组即可．【详解】解：（1）284x x -=， 281620x x -+=，()2420x -=，4x -=±，∴14x =+24x =-；（2）方法1：设方程的另一个根为α，利用根与系数关系则，21223m m αα+=-⎧⎨=-⎩，解得：32m α=⎧⎨=-⎩，即2m =-，方程的另一个根3．方法2：将2x =代入方程，得：()2222130m m +--=，解得：2m =-， ∴2560x x -+=，解得：122,3x x ==，即2m =-，方程的另一个根3．【点睛】本题考查了根的定义、一元二次方程的解法，要熟练掌握配方法、因式分解法、公式法、直接开平方法，并能按照题目要求选择最佳解法.，也可用根与系数关系来求另一根问题． 24．（1）1；（2）不存在，理由见解析【分析】（1）由已知可以得到m 的值，并可得一元二次方程，解方程可得答案；（2）由已知可得一元二次方程，计算判别式的值可以得解．【详解】解：（1）当2x =时，求得1m =，∴由已知可得方程：2243x x -+=，即2210x x -+=，解之可得121x x ==；（2）不存在，理由如下：令2241x x -+=-，可得2250x x -+=，∵Δ=()22415160--⨯⨯=-< ∴方程无解，故不存在x 的值，使得这个二次三项式的值为−1．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的求解与根的判别式的计算与应用是解题关键．25．3x =-或0x =【分析】先把方程去括号、移项进行整理，再利用因式分解法解方程，即可得到答案．【详解】解：2582(4)x x x ++=+，∴25828x x x ++=+∴230x x +=∴(3)0x x +=3x ∴=-或0x =．【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程． 26．（1）122,3x x ==-；（2）152x =；21x =- 【分析】（1）用因式分解法解方程即可；（2）用公式法解方程即可．【详解】解：（1）(3)26x x x +=+， (3)2(3)0x x x +-+=，(2)(3)0x x -+=，20x -=或30x +=，122,3x x ==-；（2）22350x x --=，2,3,5a b c ==-=-，224(3)42(5)49b ac -=--⨯⨯-=，x == 125,12x x ==-．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是根据方程的特征选择恰当的方法进行解方程．。

人教版九年级上册数学第二章测试题(附答案)

人教版九年级上册数学第二章测试题（附答案）一、单选题（共12题；共36分）1.把二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y＝﹣a（x﹣1）2+4a，若（m﹣1）a+b+c≤0，则m的最大值是（）A. ﹣4B. 0C. 2D. 62.如图，二次函数的图象的对称轴是直线，则以下四个结论中：①，② ，③ ，④ .正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 43.如图，在四边形中，，，，，.动点M，N同时从点A出发，点M以的速度沿向终点B运动，点N以的速度沿折线向终点C运动.设点N的运动时间为，的面积为，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（）A. B. C. D.4.已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（）A. 图象的开口向上B. 图象的顶点坐标是C. 当时，y随x的增大而增大D. 图象与x轴有唯一交点5.如图，二次函数（）的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点在与之间（不包括这两点），抛物线的顶点为，对称轴为直线，有以下结论：① ；②若点，点是函数图象上的两点，则；③ ；④可以是等腰直角三形.其中正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6.点P(m，n)在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上.则m﹣n的最大值等于（）A. B. 4 C. ﹣ D. ﹣7.三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（）A. 4 米B. 5 米C. 2 米D. 7米8.已知二次函数（为常数）的图象与x 轴有交点，且当时，y 随x 的增大而增大，则a 的取值范围是（）A.B.C.D.9.如图，已知抛物线的图象与x 轴交于两点，其对称轴与x 轴交于点C 其中两点的横坐标分别为-1和1下列说法错误的是（）10题A. B. C. D. 当时，y 随x 的增大而减小10.对称轴为直线x ＝1的抛物线（a 、b 、c 为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc ＜0，②b 2＞4ac ，③4a ＋2b ＋c ＞0，④3a ＋c ＞0，⑤a ＋b≤m(am ＋b)（m 为任意实数），⑥当x ＜－1时，y 随x 的增大而增大，其中结论正确的个数为（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 611.将二次函数y=(x ﹣1)2+2的图象向上平移3个单位长度，得到的拋物线相应的函数表达式为( ) A. y=(x+2)2﹣2 B. y=(x ﹣4)2+2 C. y=(x ﹣1)2﹣1 D. y=(x ﹣1)2+5 12.竖直上抛物体离地面的高度与运动时间之间的关系可以近似地用公式表示，其中是物体抛出时离地面的高度，是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面的高处以的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（） A. B. C. D. 二、填空题（共5题；共15分） 13.抛物线与x 轴有交点，则k 的取值范围是________.14.二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结论：①ab ＞0；②a+b ﹣1＝0；③a ＞1；④关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c ＝0的一个根为1，另一个根为﹣ ．其中正确结论的序号是________．15.下表中y 与x 的数据满足我们初中学过的某种函数关系，其函数表达式为________． 16.如图，对于抛物线y 1=-x 2+x+1， y 2=-x 2+2x+1， y 3=-x 2+3x+1，给出下列结论：①这三条抛物线都经过点C(0，1)； ②抛物线y 3的对称轴可由抛物线y 1的对称轴向右平移1…… -1 0 1 3 …… …… 0 3 4 0 ……个单位而得到；③这三条抛物线的顶点在同一条直线上；④这三条抛物线与直线y=1的交点中，相邻两点之间的距离相等。

九年级数学(上)第二章一元二次方程检测题有答案

第二章一元二次方程检测题（本试卷满分：120分，时间：120分钟）一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列关于错误!未找到引用源。

的方程：①错误!未找到引用源。

；②错误!未找到引用源。

；③错误!未找到引用源。

；④（错误!未找到引用源。

）错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

-1，其中一元二次方程的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．42.用配方法解一元二次方程x 2-4x =5时，此方程可变形为（）A.（x +2）2＝1B.（x -2）2＝1C.（x +2）2=9D.（x -2）2＝93.若错误!未找到引用源。

为方程错误!未找到引用源。

的解，则错误!未找到引用源。

的值为（）A.12B.6C.9D.164.若2690,x x ++=则x y -的值为（）A.0B.-6C.6D.以上都不对5. 目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系.某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元.设每半年发放的资助金额的平均增长率为x ，则下面列出的方程中正确的是（）A .438错误!未找到引用源。

=389B .389错误!未找到引用源。

=438C .389(1+2x )=438D .438(1+2x )=3896.判断关于0(0)ax bx c a ++=≠A.x ＜3.24 B.3.24＜x ＜3.25C.3.25＜x ＜3.26D.3.25＜x ＜3.287．已知错误!未找到引用源。

分别是三角形的三边长，则一元二次方程错误!未找到引用源。

的根的情况是（）A ．没有实数根B ．可能有且只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根8.已知12x x ,是一元二次方程122+=x x 的两个根，则2111x x +的值为（） A.21- B.2 C.21 D.错误!未找到引用源。

9. 关于x 的方程2210x kx k ++-=的根的情况描述正确的是（）A . k 为任何实数，方程都没有实数根B . k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C . k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根D . 根据 k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种10. 某城市为了申办冬运会，决定改善城市容貌，绿化环境，计划用两年时间，使绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（）A .19%B .20%C .21%D .22%二、填空题（每小题3分，共24分）11.对于实数a ,b ,定义运算“*”:错误!未找到引用源。

(好题)初中数学九年级数学上册第二单元《一元二次方程》测试题(包含答案解析)(1)

一、选择题1．已知方程240x x n ++=可以配方成()23x m +=，则()2015m n -=（） A ．1 B ．－1 C ．0 D ．42．已知关于x 的方程220x bx c ++=的根为12x =-，23x =，则+b c 的值是（） A ．-10B ．-7C ．-14D ．-2 3．已知关于x 的一元二次方程240x x k +-=，当40k -<<时，该方程解的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．没实数根C ．有两个相等的实数根D ．不能确定 4．为切实解决群众看病贵的问题，药监部门对药品价格进行了两次下调．某种药品原价为250元/瓶，经两次下调后价格变为160元/瓶，该药品平均每次降价的百分率为（） A ．10% B ．15% C ．20% D ．25% 5．学校准备举办“和谐校园”摄影作品展黛，现要在一幅长30cm ，宽20cm 的矩形作品四周外围上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原作品面积相等，设彩纸的宽度为cm x ，则x 满足的方程是（）A ．()()3022023020=++⨯x xB ．()()30203020++=⨯x xC ．()()30220223020--=⨯⨯x xD ．()()30220223020++=⨯⨯x x 6．为美化家园环境，提升城市形象，我市近几年大力开展“五城联创”活动，2020年被评为国家文明城市，推动了当地旅游产业的发展，2020年我市某景区旅游收入达到10亿元，预计到2022年该景区旅游收入将达到14.4亿元，则我市2021、2022年旅游收入的平均增长率为（）A ．4.4%B ．12%C ．20%D ．24% 7．关于x 的方程()11340a a xx ++-+=是一元二次方程，则（） A ．1a ≠±B ．1a =-C ．1a =D ．1a =± 8．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（）A ．2690x x ++=B ．2230x x -+=C ．22x x -=D ．23420x x -+= 9．一元二次方程22410x x ++=的两根为1x 、2x ，则12x x +的值是（）A ．4B ．4-C ．2-D ．2 10．已知关于x 的一元二次方程2420ax x +-=有实数根，则a 的取值范围是（） A ．2a >-且0a ≠ B ．2a ≥-且0a ≠ C ．2a ≥- D ．0a ≠ 11．某养殖户的养殖成本逐年增长，已知第1年的养殖成本为10万元，第3年的养殖成本为16万元，设每年平均增长的百分率为x ，则下面所列方程中正确的是（） A ．10（1﹣x ）2=16B ．16（1﹣x ）2=10C ．16（1+x ）2=10D ．10（1+x ）2=1612．若关于x 的一元二次方程kx 2－3x ＋1＝0有实数根，则k 的取值范围为（） A ．k ≥94 B ．k ≤94且k ≠0 C ．k ＜94且k ≠0 D ．k ≤94二、填空题13．若关于x 的方程20x mx n +-=有一个根是3，则3m n -的值是________． 14．所示，某小区规划在一个长为40m 、宽为26m 的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种草．若使每一块草坪的面积为144m 2，求甬路的宽度．15．方程2(1)9x -=的根是___________．16．如果关于x 的方程22(1)210x a x a -+++=有一个小于1的正数根，那么实数a 的取值范围是_______________．17．已知2x =是方程220x bx +-=的一个根，则方程的另一个根为____．18．已知三角形的两边长分别是方程211300x x -+=的两个根，则该三角形第三边m 的取值范围是______．19．在实数范围内因式分解：231x x --=_______．20．某兴趣班的同学在元旦节期间每个同学用手机给班级其他同学各发一条短信问候节日快乐．如果全班同学共发出短信90条，那么该兴趣班共有____人．三、解答题21．关于x 的一元二次方程（a ﹣6）x 2﹣8x +9＝0有实数根．（1）求a 的最大整数值；（2）当a 取最大整数值时，求出该方程两根．22．龙岩市某村2017年的人均收入为7500元，落实精准扶贫工作后，2019年人均收入为14700元．求人均收入的年平均增长率．23．解方程∶（1）213(1)x x -=-（2）241x x -=-24．小虎同学用配方法推导一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的求根公式时，对于240b ac -≥的情况，他是这样做的：由于0a ≠，方程20ax bx c ++=变形为：2b c x x a a+=-，第一步 22222b b c b x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，第二步222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭，第三步24b x a a+=，第四步4b x a-=．第五步（1）小虎的解法从第_______步开始出现错误；事实上，当240b ac -≥时，方程20(a 0)++=≠ax bx c 的求根公式是：_____________________．（2）用配方法解方程：2640x x ++=．25．已知：关于x 的方程x 2+kx -6＝0，（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是3，求另一个根及k 值．26．用一条长60cm 的绳子怎样围成一个面积为2200cm 的矩形？能围成一个面积为2230cm 的矩形吗？如能，说明围法；如不能，说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】将配方后的方程转化成一般方程即可求出m 、n 的值，由此可求得答案．【详解】解：由（x +m ）2＝3，得：x 2+2mx +m 2﹣3＝0，∴2m ＝4，m 2﹣3＝n ，∴m ＝2，n ＝1，∴（m ﹣n ）2015＝1，故选：A ．【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 2．C解析：C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系分别求出b ，c 的值即可得到结论．【详解】解：∵关于x 的方程220x bx c ++=的根为12x =-，23x =， ∴121222b c x x x x +=-=， ∴232322b c -+=--⨯=，，即b=-2，c=-12 ∴21214b c +=--=-．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=-b a ，x 1•x 2=c a． 3．A解析：A【分析】计算根的判别式，根据k 的范围，判断判别式的属性，根据性质求解即可．【详解】解：∵一元二次方程240x x k +-=，∴△= 22444b ac k -=+=16+4k ，∵40k -<<，∴1640k -<<，∴16+4k ＞0，∴△＞0，∴原方程有两个不相等的实数根，故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟记公式，并根据字母范围确定判别式的属性是解题的关键．4．C解析：C【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x ，根据题意列方程求解即可．【详解】解：设该药品平均每次降价的百分率为x ，根据题意得，250（1-x ）2=160，解得，x 1=0.2，x 2=1.8（舍去），答：该药品平均每次降价的百分率为20%；故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用—增长率（或下降率）问题，解题关键是熟知增长率（或下降率）问题的数量关系，结合题意列方程．5．D解析：D【分析】由彩纸的面积恰好与原画面面积相等，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：依题意，得()()30220223020++=⨯⨯x x ．故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．6．C解析：C【分析】利用一元二次方程的平均增长率列方程求解即可.【详解】解：设平均增长率为x ，根据题意，得102(1)x +=14.4，解得x=0.2或x=-2.2（舍去），所以x=0.2即平均增长率为20%，故选C.【点睛】本题考查了一元二次方程的平均增长率问题,熟练掌握解题模型是解题的关键.7．C解析：C【分析】根据一元二次方程的定义可得1a +=2，且a+1≠0，解方程即可；．【详解】解：由题意得1a +=2，且a+1≠0，，解得：a=±1，因为一元二次方程的系数不为0，即a+1≠0，所以a=1，故选C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，关键是注意一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2． 8．C解析：C【分析】根据一元二次方程根的判别式判断即可．【详解】解：A.x 2+6x+9=0，则△=62-4×9=36-36=0，即该方程有两个相等实数根，故本选项不合题意；B.2230x x -+=，则△=(-2)2-4×3=4-12=-8<0，即该方程无实数根，故本选项不合题意；C.22x x -=，则△=(-1)2-4×(-2)=1+8=9>0，即该方程有两个不相等实数根，故本选项合题意；D.23420x x -+=，则△=(-４)2-4×3×2=16-24=-8<0，即该方程无实数根，故本选项不合题意．故选C ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．9．C解析：C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．【详解】解：由一元二次方程根与系数的关系得：12x x +=-b a =4-2=-2．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟记12x x +=-b a ，12c x x a⋅=． 10．B解析：B【分析】根据方程有实数根得到．【详解】由题意得：0∆≥，即244(2)0a -⨯⨯-≥，且0a ≠，解得2a ≥-且0a ≠，故选：B ．【点睛】此题考查根据一元二次方程根的情况求参数，掌握一元二次方程根的判别式与根的个数的三种情况是解题的关键．11．D解析：D【分析】根据第一年的养殖成本×(1+平均年增长率)2=第三年的养殖成本，列出方程即可．【详解】设增长率为x ，根据题意得210(1)16x +=．故选：D ．【点睛】本题考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为2(1)a x b ±=．（当增长时中间的“±”号选“+”，当下降时中间的“±”号选“-”）． 12．B解析：B【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于k 的一元一次不等式组，解之即可得出k 的取值范围．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程kx 2-3x+1=0有实数根，∴()203410k k ≠⎧⎪⎨--⨯⨯≥⎪⎩＝， ∴k≤94且k≠0．故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，利用二次项系数非零及根的判别式△≥0，找出关于k 的一元一次不等式组是解题的关键．二、填空题13．-9【分析】把3代入方程求解即可；【详解】∵3是方程的一个根∴∴；故答案是-9【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解准确计算是解题的关键解析：-9【分析】把3代入方程求解即可；【详解】∵3是方程20x mx n +-=的一个根，∴930m n +-=，∴39m n -=-；故答案是-9．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，准确计算是解题的关键．14．2米【分析】设甬路的宽为xm 六块草坪的面积为根据面积之间的关系列方程解方程求解并根据实际意义进行值的取舍即可确定甬路的宽【详解】解：设甬路的宽为xm 根据题意得整理得解得当x=44时不符合题意故舍去所解析：2米．【分析】设甬路的宽为xm ，六块草坪的面积为()()40226x x --，根据面积之间的关系列方程，解方程求解，并根据实际意义进行值的取舍即可确定甬路的宽．【详解】解：设甬路的宽为xm ,根据题意得()()402261446x x --=⨯，整理得246880x x ，-+= 解得1244,2x x ==，当x =44时不符合题意，故舍去，所以x =2.答：甬路的宽为2米．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，掌握列一元二次方程解应用题的方法与步骤,把甬路进行平移，表示出草坪的长与宽是解题的关键．15．【分析】把1-x 看作是一个整体直接开平方解方程即可【详解】即直接开平方得：移项得：∴故答案为：【点睛】本题考察解一元二次方程－直接开平方法掌握平方根性质及意义是解题的关键解析：1242x x ==-，【分析】把1-x 看作是一个整体，直接开平方解方程即可．【详解】()219x -=，即()219x -=，直接开平方得：13x -=±，移项得：13x =±，∴14x =，22x =-，故答案为：1242x x ==-，．【点睛】本题考察解一元二次方程－直接开平方法，掌握平方根性质及意义是解题的关键． 16．<a<0【分析】先利用方程的求根公式表示出方程的两个根再利用有一个小于1的正数根这一条件确定a 的取值范围【详解】解：根据方程的求根公式可得：x==解得x1=1x2=2a+1∵x1=1∴小于1的正数根解析：12-< a<0 【分析】先利用方程的求根公式表示出方程的两个根，再利用“有一个小于1的正数根”这一条件确定a 的取值范围．【详解】解：根据方程的求根公式可得：()2+22+12a a a a ±=±，解得x 1=1，x 2=2a+1∵x 1=1，∴小于1的正数根只能为2a+1，即0＜2a+1＜1，解得12-< a<0．故答案为：12-< a<0．【点睛】本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，求解问题的关键是正确理解有且仅有一个小于1的正数根，将能将其转化为函数在（0，1）内仅有一个0点．17．【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系定理中的两根之积计算即可【详解】设方程的另一个根为x ∵是方程的一个根∴根据根与系数关系定理得2x=-2解得x=-1故答案为：x=-1【点睛】本题考查了已知一元解析：1x =-.【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系定理中的两根之积,计算即可.【详解】设方程220x bx +-=的另一个根为x ，∵2x =是方程220x bx +-=的一个根，∴根据根与系数关系定理，得 2x=-2，解得x=-1，故答案为：x=-1.【点睛】本题考查了已知一元二次方程的一个根求另一个根，熟练运用一元二次方程根与系数的关系定理，选择合适的计算方式是解题的关键.18．【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系求得两根和与两根积经过变形得到两根差的值即可求得第三边的范围【详解】解：∵三角形两边长是方程x2−11x ＋30＝0的两个根∴x1＋x2＝11x1x2＝30∵解析：111<<m【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系求得两根和与两根积，经过变形得到两根差的值，即可求得第三边的范围．【详解】解：∵三角形两边长是方程x 2−11x ＋30＝0的两个根，∴x 1＋x 2＝11，x 1x 2＝30，∵（x 1−x 2）2＝（x 1＋x 2）2−4x 1x 2＝121−120＝1，∴x 1−x 2＝1，又∵x 1−x 2＜m ＜x 1＋x 2，∴1＜m ＜11．故答案为：1＜m ＜11．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系和一元二次方程的根与系数的关系，要知道第三边大于两边差，小于两边和．19．【分析】令x2-3x-1=0求出方程的两个根即可把多项式x2-3x-1因式分解【详解】解：令x2-3x-1=0∵a=1b=-3c=-1∴b2-4ac=(-3)2-4×1×（-1）=13＞0∴∴故答案解析：(-x x 【分析】令x 2-3x-1=0，求出方程的两个根，即可把多项式x 2-3x-1因式分解．【详解】解：令x 2-3x-1=0，∵a=1，b=-3，c=-1，∴b 2-4ac=(-3)2-4×1×（-1）=13＞0，∴x =∴23331()(2x 2+----=x x x故答案为：(-x x 【点睛】此题主要考查了实数范围内分解因式，熟练掌握利用公式法解一元二次方程是解答本题的20．10【分析】设该班级共有同学名互相发短信每两个人之间产生2条短信根据共发出90条短信可得方程然后求解即可【详解】解：设该班级共有同学名根据题意得：解之得：故答案为：10【点睛】本题考查了由实际问题抽解析：10【分析】设该班级共有同学n 名，互相发短信，每两个人之间产生2条短信，根据共发出90条短信可得方程，然后求解即可．【详解】解：设该班级共有同学n 名，根据题意，得：(1)90n n ，解之得：10n =故答案为：10．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．三、解答题21．（1）7；（2）1244x x ==【分析】（1）由关于x 的一元二次方程（a ﹣6）x 2﹣8x +9＝0有实数根，则a ﹣6≠0，且△≥0，即△＝（﹣8）2﹣4（a ﹣6）×9＝280﹣36a ≥0，解不等式得到a 的取值范围，最后确定a 的最大整数值；（2）将a 的最大整数值代入（a ﹣6）x 2﹣8x +9＝0，即可求出该方程两根．【详解】解：（1）∵关于x 的一元二次方程（a ﹣6）x 2﹣8x+9＝0有实数根，∴a ﹣6≠0，且△≥0，即△＝（﹣8）2﹣4（a ﹣6）×9＝280﹣36a≥0，解得：779a ≤； ∴a 的取值范围为779a ≤且a≠6，所以a 的最大整数值为7；（2）将a ＝7代入（a ﹣6）x 2﹣8x +9＝0，得x 2﹣8x +9＝0，∵△＝64﹣36＝28，∴x．∴1244x x ==本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0，a ，b ，c 为常数）根的判别式△=b 2-4ac ．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义和解法．22．40%【分析】设人均收入的年平均增长率为x ，结合题意，通过列一元二次方程并求解，即可得到答案．【详解】解：设人均收入的年平均增长率为x根据题意得：()275001+14700x =解得：0.4x =或 2.4x =-（舍去）∴人均收入的年平均增长率为40% ．【点睛】本题考查了一元二次方程的知识，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解．23．（1）11x =，22x =；（2）12x =22x =【分析】（1）移项后，运用因式分解法求解即可；（2）运用配方法求解即可．【详解】解：（1）213(1)x x -=- (1)(1)3(1)x x x +-=-(1)(1)3(1)0x x x +---=(1)(13)0x x -+-=(1)(2)0x x --=∴10x -=或20x -=11x ∴=，22x =；（2）241x x -=-24414x x -+=-+2(x 2)3-=2x ∴-=12x ∴=+22x =．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．24．（1）四；x =；（2）13x =-23x =-．【分析】（1）观察小虎的解法找出出错的步骤，写出求根公式即可；（2）利用配方法求出方程的解即可．【详解】解：（1）小虎的解法从第四步开始出现错误；当b 2﹣4ac ＞0时，方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的求根公式是x ；故答案为：四；x =2b a-±；（2）移项得:264x x +=-，配方得：x 2+6x +9=-4+9，即（x +3）2=5，开方得：x解得：x 1= - x 2=【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣公式法与配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键． 25．（1）见解析；（2）k=-1，另一根为-2【分析】（1）由于方程有两个不相等的实数根，则△＞0，据此列出关于k 的方程，解答即可；（2）将x ＝3代入方程x 2+kx -6＝0，求出k 的值，根据求出的k 的值，得到一元二次方程，从而求出方程的根．【详解】解：（1）证明：2240k =+＞∴方程x 2+kx -6＝0有两个不相等的实数根；（2）把x =3代入方程x 2+kx ﹣6＝0，得：9+3k-6=0，解得k=-1，将k=-1代入原方程得x 2-x -6＝0，解得123,2x x ==-∴k=-1，另一根为x =-2．【点睛】本题考查了根的判别式和一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握根的判别式和一元二次方程的解法．26．用一条长60cm 的绳子能围成一个面积为200cm 2的长方形，它的长为20cm ，宽为10cm ；不能，理由见解析【分析】设围成面积为200cm 2的矩形的长为xcm ，则宽为（30-x ）cm ，根据矩形的面积公式结合矩形的面积，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论；设围成面积为230cm 2的矩形的长为ycm ，则宽为（30-y ）cm ，根据矩形的面积公式结合矩形的面积，即可得出关于y 的一元二次方程，由根的判别式△＜0即可得出该方程无解，进而即可得出结论．【详解】解：设长为cm x ，则宽为(30)cm x -，根据题意，得(30)200x x -=，即：2302000x x -+=23042009008001000∆=-⨯=-=>，此方程有解，解方程得110x =，220x =∴所围成的长方形长为20cm ，宽为10cm ．∴用一条长60cm 的绳子能围成一个面积为2200cm 的长方形，它的长为20cm ，宽为10cm ；用一条长60cm 的绳子不能围成一个面积为2230cm 的长方形，理由如下：设围成面积为230cm 2的矩形的长为ycm ，则宽为（30-y ）cm ，根据题意得(30)230y y -=，即2302300y y -+=，2304230900920200∆=-⨯=-=-<，此方程无解，∴用一条长60cm 的绳子不能围成一个面积为2230cm 的长方形，【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．。

(必考题)初中数学九年级数学上册第二单元《一元二次方程》测试题(含答案解析)

一、选择题1．若关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2kx +k ﹣3＝0有实数根，则k 的取值范围为（）A ．k ≥0B ．k ≥0且k ≠1C ．k ≥34D ．k ≥34且k ≠1 2．一个菱形两条对角线的长是方程28120x x -+=的两个根，则该菱形的面积为（） A ．12 B ．6或12 C ．8 D ．63．用配方法解一元二次方程2830x x +-=，下列变形中正确的是（） A ．()2419x -= B ．()2419x +=C ．()2861x +=D ．()2867x -= 4．关于x 的一元二次方程()21210k x x +-+=有实数根，则k 满足（）A ．0k ≥B ．0k ≤且1k ≠-C ．0k <且1k ≠-D ．0k ≤ 5．为切实解决群众看病贵的问题，药监部门对药品价格进行了两次下调．某种药品原价为250元/瓶，经两次下调后价格变为160元/瓶，该药品平均每次降价的百分率为（） A ．10% B ．15% C ．20% D ．25% 6．为美化家园环境，提升城市形象，我市近几年大力开展“五城联创”活动，2020年被评为国家文明城市，推动了当地旅游产业的发展，2020年我市某景区旅游收入达到10亿元，预计到2022年该景区旅游收入将达到14.4亿元，则我市2021、2022年旅游收入的平均增长率为（）A ．4.4%B ．12%C ．20%D ．24%7．某市2018年投入教育经费2000万元，2020年投入教育经费比2019年增加480万元，若2018年至2020年该市投入教育经费的年平均增长奉为x 则可列方程为（） A ．22000(1)2000(1)480x x +=++B ．22000(1)2000(1)x x +=+ C ．22000(1)2000480x +=+ D ．2000(1)2000480x +=+ 8．已知关于x 的一元二次方程2420ax x +-=有实数根，则a 的取值范围是（） A ．2a >-且0a ≠B ．2a ≥-且0a ≠C ．2a ≥-D ．0a ≠ 9．用配方法解方程2420x x -+=，下列配方正确的是（） A ．()222x -= B ．()222x += C ．()222x -=-D ．()226x -=10．已知a 是方程2210x x --=的一个根，则代数式224a a -+的值应在（） A ．4和5之间 B ．3和4之间 C ．2和3之间 D ．1和2之间 11．若关于x 的方程2210ax ax -+=的一个根是1-，则a 的值是（）A ．1B ．1-C ．13- D ．3-12．关于x 的方程2690kx x -+=有实数根，k 的取值范围是（）A ．1k <且0k ≠B ．1k <C ．1k 且0k ≠D ．1k二、填空题13．若a ，b 是一元二次方程2202020210x x --=的两根，则22021a a b --=__________．14．关于x 的方程2210mx x --=有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是________．15．如果关于x 的方程22(1)210x a x a -+++=有一个小于1的正数根，那么实数a 的取值范围是_______________．16．等腰ABC 中，4AB AC ==，30BAC ∠=︒，以AC 为边作等边ACD △，则点B 到CD 的距离为________．17．已知2x =是方程220x bx +-=的一个根，则方程的另一个根为____．18．在实数范围内分解因式:231x x -+=_______________________．19．如图，在一个长为40 m ，宽为26m 的矩形花园中修建小道（图中阴影部分），其中m AB CD EF GH x ====，每段小道的两边缘平行，剩余的地方种植花草，要使种植花草的面积为2864m ，那么x =______m ．20．如图，把矩形纸片ABCD （BC CD >）沿折痕DE 折叠，点C 落在对角线BD 上的点P 处；展开后再沿折痕BF 折叠，点C 落在BD 上的点Q 处；沿折痕DG 折叠，点A 落在BD 上的点R 处．若4PQ =，7PR =，则BD =___________．三、解答题21．按要求解下列方程：用配方法解：（1）x 2﹣4x +1＝0．用公式法解：（2）21204x x -=． 22．用适当的方法解下列方程：（1）3x 2+x ＝0；（2）x 2﹣x ﹣2＝0．23．已知关于x 方程x 2+ax +a ﹣5＝0．（1）若该方程的一个根为3，求a 的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．24．关于x 的方程()22210x x m ---=有实数根，且m 为非正整数．求m 的值及此时方程的根．25．解一元二次方程（1）22(1)3(1)x x +=+；（2）22980x x -+=．26．如图，抛物线与x 轴交于点1,0A ，()3,0B ，与y 轴交于点()0,3C ．（1）求二次函数的表达式及顶点坐标；（2）若点P 为抛物线上的一点，且1ABP S ∆=，求点P 的坐标；；（3）连接BC ，在抛物线的对称轴上是否存在一点E ，使BCE ∆是直角三角形？若存在，请直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据二次项系数不为0和△≥0列不等式组即可．【详解】解：根据关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2kx +k ﹣3＝0有实数根，列不等式组得，210(2)4(1)(3)0k k k k -≠⎧⎨----≥⎩，解得，k ≥34且k ≠1，故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是熟练运用根的判别式列不等式，注意：一元二次方程二次项系数不为0．2．D解析：D【分析】利用因式分解法求得方程的两根，进而根据菱形面积=12对角线的积求解即可．【详解】解：28120x x -+=，（x-6）（x-2）=0，∴x 1=6，x 2=2，∵菱形的两条对角线长分别为6，2，∴菱形面积为162=62⨯⨯，故选：D ．【点睛】综合考查了菱形的性质及解一元二次方程；得到菱形的对角线长是解决本题的突破点；用到的知识点为：因式分解法解一元二次方程；菱形面积=12对角线的积． 3．B解析：B【分析】方程移项后，利用完全平方公式变形即可得到结果．【详解】解：方程x 2+8x-3=0，移项得：x 2+8x=3，配方得：x 2+8x+16=16+3，即（x+4）2=19．故选：B ．【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 4．B解析：B【分析】根据根的判别式计算即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程()21210k x x +-+=有实数根，∴()244410b ac k ∆=-=-+≥，10k +≠，∴4440k --≥，1k ≠-，解得：0k ≤，1k ≠-；故答案选B ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，准确计算是解题的关键．5．C解析：C【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x ，根据题意列方程求解即可．【详解】解：设该药品平均每次降价的百分率为x ，根据题意得，250（1-x ）2=160，解得，x 1=0.2，x 2=1.8（舍去），答：该药品平均每次降价的百分率为20%；故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用—增长率（或下降率）问题，解题关键是熟知增长率（或下降率）问题的数量关系，结合题意列方程．6．C解析：C【分析】利用一元二次方程的平均增长率列方程求解即可.【详解】解：设平均增长率为x ，根据题意，得102(1)x +=14.4，解得x=0.2或x=-2.2（舍去），所以x=0.2即平均增长率为20%，故选C.【点睛】本题考查了一元二次方程的平均增长率问题,熟练掌握解题模型是解题的关键.7．A解析：A【分析】2018年投入教育经费⨯（1+增长率）2=2020年投入教育经费，据此列方程即可．【详解】解：2018年至2020年该市投入教育经费的年平均增长率为x ，2018年投入教育经费2000万元，∴2019年投入教育经费为2000(1)x +，2020年投入教育经费为2000(1)480x ++，由题意得，22000(1)2000(1)480x x +=++，故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键时读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系列出方程． 8．B解析：B【分析】根据方程有实数根得到．【详解】由题意得：0∆≥，即244(2)0a -⨯⨯-≥，且0a ≠，解得2a ≥-且0a ≠，故选：B ．【点睛】此题考查根据一元二次方程根的情况求参数，掌握一元二次方程根的判别式与根的个数的三种情况是解题的关键． 9．A解析：A【分析】先把方程变形为x 2-4x=-2，再把两方程两边加上4，然后把方程左边用完全平方公式表示即可．【详解】解：x 2-4x=-2，x 2-4x+4=2，（x-2）2=2．故选：A ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m ）2=n 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．10．A解析：A【分析】先依据一元二次方程的定义得到a 式的取值范围．【详解】解：∵a 是方程2210x x --=的一个根，∴2210a a --=，即221a a -=，∴原式=22(2)2a a -=+∵459， ∴23<<， ∴425<+<，即224a a -+的值在4和5之间，故选：A ．【点睛】本题考查一元二次方程的解得定义，估算．掌握整体代入法是解题关键．11．C解析：C【分析】根据方程根的定义，回代原方程中，解关于a 的方程求解即可.【详解】∵x 的方程2210ax ax -+=的一个根是1-，∴2(-1)2(-1)10a a ⨯-⨯⨯+=，解得 a=13-，故选C.【点睛】本题考查了一元二次方程的根，熟记根的定义是解题关键. 12．D解析：D【分析】分两种情况：k =0时，是一元一次方程，有实数根；k 不等于0时，是一元二次方程，若有实数根，则根的判别式△=b 2-4ac≥0，建立关于k 的不等式，求出k 的取值范围．【详解】解：0k =时，是一元一次方程，有实数根；k 不等于0时，是一元二次方程，根据题意，△0，∴△224(6)490b ac k =-=--⨯，解得1k ，故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及根与判别式的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．二、填空题13．【分析】根据a 与b 为方程的两根把x ＝a 代入方程并利用根与系数的关系求出所求即可【详解】解：∵ab 为一元二次方程的两根∴即a+b ＝2020则原式＝（a2-2020a ）﹣（a+b ）＝2021﹣2020＝解析：1【分析】根据a 与b 为方程的两根，把x ＝a 代入方程，并利用根与系数的关系求出所求即可．【详解】解：∵a ，b 为一元二次方程2202020210x x --=的两根，∴2202020210a a --=，即220202021a a -=，a +b ＝2020，则原式＝（a 2-2020a ）﹣（a +b ）＝2021﹣2020＝1．故答案为：1．【点睛】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．14．且【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得△＝4+4m ＞0且m≠0求出m 的取值范围即可【详解】解：∵方程mx2−2x -1＝0有两个不相等的实数根∴△＞0且m≠0∴4+4m ＞0且m≠0∴解析：1m >-且0m ≠【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得△＝4+4m ＞0且m≠0，求出m 的取值范围即可．【详解】解：∵方程mx 2−2x-1＝0有两个不相等的实数根，∴△＞0且m≠0，∴4+4m ＞0且m≠0，∴m>-1，且m≠0，故答案为：m>-1且m≠0．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0，a ，b ，c 为常数）根的判别式△＝b 2−4ac ．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．15．<a<0【分析】先利用方程的求根公式表示出方程的两个根再利用有一个小于1的正数根这一条件确定a 的取值范围【详解】解：根据方程的求根公式可得：x==解得x1=1x2=2a+1∵x1=1∴小于1的正数根解析：12-< a<0 【分析】先利用方程的求根公式表示出方程的两个根，再利用“有一个小于1的正数根”这一条件确定a 的取值范围．【详解】解：根据方程的求根公式可得： x=2214(1)4(21)a a a +±+-+（）=()2+22+12a a a a ±=±，解得x 1=1，x 2=2a+1∵x 1=1，∴小于1的正数根只能为2a+1，即0＜2a+1＜1，解得12-< a<0．故答案为：12-< a<0．【点睛】本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，求解问题的关键是正确理解有且仅有一个小于1的正数根，将能将其转化为函数在（0，1）内仅有一个0点．16．或【分析】分两种情况讨论利用等边三角形的性质和勾股定理可求解【详解】解：当点D 在AC 的左侧时设AB 与CD 交于点E ∵△ACD 是等边三角形∴AC=AD=CD=4∠DAC=60°又∵∠BAC=30°∴∠D解析：232-或423-【分析】分两种情况讨论，利用等边三角形的性质和勾股定理可求解．【详解】解：当点D 在AC 的左侧时，设AB 与CD 交于点E ，∵△ACD 是等边三角形，∴AC=AD=CD=4，∠DAC=60°，又∵∠BAC=30°，∴∠DAE=∠BAC=30°，∴AB ⊥CD ，∵∠BAC=30°，∴CE=12AC=2，AE=22224223AC EC -=-=， ∴BE=AB-AE=423-；当点D 在AC 的右侧时，过点B 作BE ⊥CD ，交DC 的延长线于点E ，连接BD ，∵△ACD 是等边三角形，∴AC=AD=CD=AB=4，∠DAC=60°，∴∠BAD=90°，∴22161642AB AD =+=+∵AB=AC ，∠BAC=30°，∴∠ACB=75°， ∴∠BCE=180°-∠ACD-∠ACB=45°， ∵BE ⊥CE ，∴∠BCE=∠CBE=45°，∴BE=CE ，∵BD 2=BE 2+DE 2，∴32=BE 2+（CE+4）2，∴BE=232-，综上所述：点B 到CD 的距离为32或423-．故答案为：32-或423-【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 17．【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系定理中的两根之积计算即可【详解】设方程的另一个根为x ∵是方程的一个根∴根据根与系数关系定理得2x=-2解得x=-1故答案为：x=-1【点睛】本题考查了已知一元解析：1x =-.【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系定理中的两根之积,计算即可.【详解】设方程220x bx +-=的另一个根为x ，∵2x =是方程220x bx +-=的一个根，∴根据根与系数关系定理，得 2x=-2，解得x=-1，故答案为：x=-1.【点睛】本题考查了已知一元二次方程的一个根求另一个根，熟练运用一元二次方程根与系数的关系定理，选择合适的计算方式是解题的关键.18．【分析】先解方程0然后把已知的多项式写成的形式即可【详解】解：解方程0得∴故答案为：【点睛】本题考查了利用解一元二次方程分解因式掌握解答的方法是解题的关键解析：3322x x ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】先解方程231x x -+=0，然后把已知的多项式写成()()12a x x x x --的形式即可．【详解】解：解方程231x x -+=0，得123322x x ==，∴2333122x x x x ⎛-+=-- ⎝⎭⎝⎭．故答案为：3322x x ⎛⎫⎛-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题考查了利用解一元二次方程分解因式，掌握解答的方法是解题的关键．19．2【分析】设小道进出口的宽度为x 米然后利用其种植花草的面积为864m2列出方程求解即可【详解】解：设小道进出口的宽度为x 米依题意得（402x ）（26x ）=864整理得x246x+88=0解得x1=2解析：2【分析】设小道进出口的宽度为x 米，然后利用其种植花草的面积为864m 2列出方程求解即可．【详解】解：设小道进出口的宽度为x 米，依题意得（40-2x ）（26-x ）=864，整理，得x 2-46x+88=0．解得，x 1=2，x 2=44．∵44＞40（不合题意，舍去），∴x=2．答：小道进出口的宽度应为2米．故答案为：2．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据种植花草的面积为864m2找到正确的等量关系并列出方程．20．13【分析】由折叠的性质可得CD=PDAD=DRBC=BQ由勾股定理可得（CD+7+CD4）2=（CD+7）2+CD2可求CD=5由勾股定理可求解【详解】解：∵四边形ABCD是矩形∴AD=BC∠C=解析：13【分析】由折叠的性质可得CD=PD，AD=DR，BC=BQ，由勾股定理可得（CD+7+CD-4）2=（CD+7）2+CD2，可求CD=5，由勾股定理可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠C=90°，由折叠的性质可得：CD=PD，AD=DR，BC=BQ，∵PQ=4，PR=7，∴PQ=BQ-（BD-PD）=BC-BD+CD=4，PR=AD-PD=BC-CD=7，∴BD=BC+CD-4，BC=CD+7，∵BD2=BC2+CD2，∴（CD+7+CD-4）2=（CD+7）2+CD2，∴CD1=5，CD2=-4（舍去），∴BC=12，∴13=，故答案为：13．【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，利用勾股定理列出方程是本题的关键．三、解答题21．(1) x1＝x2＝2；(2) x1，x2．【分析】（1）利用配方法解一元二次方程，即可求出答案；（2）利用公式法解一元二次方程，即可求出答案．【详解】解：（1）2410-+=，x x∵x2﹣4x＝﹣1，∴x2﹣4x+4＝﹣1+4，即（x﹣2）2＝3，则x﹣2＝∴x1＝x2＝2（2）210 4x--=，∵a＝1，b，c＝﹣14，∴△2﹣4×1×（﹣14）＝3＞0，则x＝2，即x1＝2，x2．【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法和公式法解一元二次方程．22．（1）x1＝0，x2＝﹣13；（2）x1＝2，x2＝﹣1【分析】（1）将方程左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）将方程左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】解：（1）3x2+x＝0，x（3x+1）＝0，x＝0或3x+1＝0，x1＝0，x2＝﹣13；（2）x2﹣x﹣2＝0，（x﹣2）（x+1）＝0，x﹣2＝0或x+1＝0，x1＝2，x2＝﹣1．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键；23．（1）1a=-，另一根是2-；（2）见详解．【分析】（1）将方程的根代入可求得a的值，再根据根与系数的关系可求得另一个根；（2）用a表示出其判别式，利用配方可化为平方的形式，可判断判别式的符号，可得出结论．【详解】解：将x=3代入方程x2+ax+a-5=0可得：9+3a+a -5=0，解得：a=-1；∴方程为260x x --=，设另一根为x ，则3×x=-6，解得x=-2，即方程的另一根为-2；（2）证明：∵△=22241(5)420(2)160a a a a a -⨯⨯-=-+=-+>，∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式与根的个数的关系是解题的关键，即①△＜0⇔一元二次方程无实数根，②△=0⇔一元二次方程有两个相等的实数根，③△＞0⇔一元二次方程有两个相等的实数根．24．0m =，121x x ==．【分析】根据一元二次方程有实数根可以判断△≥0，又根据m 为非正整数，可以判断0m =，进而求解即可；【详解】解：∵方程有实数根，∴()()224210m =-+-≥△．解得：0m ≥．又∵ m 为非正整数，∴ 0m =．当0m =时，方程为2210x x -+=．此时方程的解为121x x ==．【点睛】本题考查了一元二次方程有实数根的情况，正确掌握解一元二次方程的方法是解题的关键；25．（1）11x =-，212x =；（2）194x =，294x -=．【分析】（1）根据解一元二次方程的方法计算即可；（2）根据解一元二次方程的方法计算即可．【详解】解：（1）22(1)3(1)x x +=+ 22(1)3(1)0x x =-++（x+1）[2(x+1)-3]=0(x+1) [2x+2-3]=0(x+1) (2x-1)=0∴x+1=0或2x-1=0解得：11x =-，212x =；（2）22980x x -+=a=2，b=-9，c=8Δ=24b ac -=81-4×2×8=17＞0==∴1x =294x -= 【点睛】本题主要考察了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法，选择适当的方法求解．26．（1）243y x x =-+；()2,1-；（2）P ()2、()2、()2,1-；（3）存在，E ()2,5，()2,1-，3172,2、3172,2．【分析】（1）根据题意，设二次函数的一般式解析式，再代入1,0A 、()3,0B 、()0,3C ，转化为解三元一次方程组即可解得一般式解析式，再利用配方法将一般式解析式化为顶点式解析式即可；（2）先解得2AB =，再结合三角形面积公式及绝对值的几何意义解题即可（3）当BCE ∆是直角三角形时，分三种情况讨论：BC BE ⊥或BC CE ⊥或BE CE ⊥，分别结合勾股定理解题即可．【详解】解：（1）设二次函数的表达式为2y ax bx c =++将1,0A 、()3,0B 、()0,3C 分别代入得09303a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩解得：143a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴二次函数表达式为243y x x =-+()224321y x x x ∴=-+=--∴顶点坐标为()2,1-；（2）312AB =-=12p ABP AB y S ∆⋅==1p y ∴= 1p y ∴=±当1p y =时，2431x x -+=解得12x =，22x =当1p y =-时，2431x x -+=-解得122x x ==，∴点p 的坐标为()2-、()2+、()2,1-；（3）存在，符合条件的点E 共有4个，坐标分别为()2,5，()2,1-，3172,2、3172,2，理由如下：抛物线的对称轴为2x =，设(2,)E t 得，2223+3=18BC =2222=(23)=1+BE t t -+22222(3)613CE t t t =+-=-+ 当BC BE ⊥时，222+BC BE CE =22181613t t t ∴++=-+1t ∴=-(2,1)E ∴-；当BC CE ⊥时，222+BC CE BE =22186131t t t ∴+-+=+5t ∴= (2,5)E ∴；当BE CE ⊥时，222+BE CE BC =22161318t t t ∴++-+=2320t t ∴--=1,3,2a b c ==-=-224(3)41(2)17b ac ∴∆=-=--⨯⨯-=1222b b t t a a -+--∴==== 此时3172,2E 或3172,2，综上所述，符合条件的点E 共有4个，坐标分别为()2,5，()2,1-，3172,2、3172,2．【点睛】本题考查待定系数法解二次函数的解析式、化二次函数的一般式解析式为顶点式解析式、直角三角形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．。

(好题)初中数学九年级数学上册第二单元《一元二次方程》测试题(包含答案解析)(3)

一、选择题1．一元二次方程x 2＝2x 的根是（）．A ．0B ．2C ．0和2D ．0和﹣2 2．一元二次方程x 2﹣2x +5＝0的根的情况为（） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根3．用配方法解一元二次方程2830x x +-=，下列变形中正确的是（） A ．()2419x -= B ．()2419x += C ．()2861x += D ．()2867x -= 4．若关于x 的方程2210mx x +-=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（） A ．1m <-B ．1m >-且0m ≠C ．1m >-D ．1m ≥-且0m ≠5．将关于x 的一元二次方程20x px q -+=变形为2x px q =-，就可以将2x 表示为关于x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如32()x x x x px q =⋅=-=…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：210x x --=，则4353x x x +-+的值为（）A ．3B ．4C ．5D ．66．请你判断，320x x x -+=的实根的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 7．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程212350x x -+=的根，则该三角形的周长为（）A ．10B ．12C ．14D ．12或148．用配方法解方程2420x x -+=，下列配方正确的是（） A ．()222x -= B ．()222x += C ．()222x -=- D ．()226x -= 9．关于x 的一元二次方程2430x x -+=的实数根有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个10．若12,x x 是方程2420200x x --=的两个实数根，则代数式211222x x x -+的值等于( )A ．2020B ．2019C ．2029D ．202811．已知m 为实数，则关于x 的方程2(2)20x m x m ---=的实数根情况一定是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个实数根D ．没有实数根12．一元二次方程2x ＝﹣3x 的根是（） A ．x ＝﹣3 B ．x ＝0C ．1x ＝0，2x ＝﹣3D ．1x ＝0，2x ＝3二、填空题13．方程2640x x -+=的两个实根分别为1x ，2x ，那么1212x x x x --的值为______． 14．关于x 的一元二次方程2(21)0kx k x k -++=总有两个实数根，则常数k 的取值范围是________．15．一元二次方程260x x --=的两根分别是1x ，2x ，则1212x x x x +-的值为__________．16．已知m ，n 是一元二次方程230x x --=的两个实数根，则代数式2219m n +-的值为________．17．若3x =是方程230x bx -+=的一个根，则b 的值为______．18．已知m ，n 是一元二次方程2410x x -=+的两实数根，则11m n+=_________． 19．若关于x 的一元二次方程2(1)20x m x +++=的一个根是1-，则另一个根是_________．20．一个农业合作社以64000元的成本收获了某种农产品80吨，目前可以以1200元/吨的价格售出，如果储藏起来，每星期会损失2吨，且每星期需支付各种费用1600元，但同时每星期每吨的价格将上涨200元．设储藏x 个星期再出售这批农产品，可获利122000元．根据题意，可列方程______．三、解答题21．解方程（1）2(3)5(3)60x x +-++= （2） x 2﹣6x ﹣9＝022．解方程∶（1）213(1)x x -=-（2）241x x -=-23．已知一元二次方程（a ﹣3）x 2﹣4x+3＝0．（1）若方程的一个根为x ＝﹣1，求a 的值；（2）若方程有实数根，求满足条件的正整数a 的值．24．解方程：2(2)3(2)x x +=+25．解一元二次方程（1）22(1)3(1)x x +=+；（2）22980x x -+=．26．如图，抛物线与x 轴交于点1,0A ，()3,0B ，与y 轴交于点()0,3C ．（1）求二次函数的表达式及顶点坐标；（2）若点P 为抛物线上的一点，且1ABP S ∆=，求点P 的坐标；；（3）连接BC ，在抛物线的对称轴上是否存在一点E ，使BCE ∆是直角三角形？若存在，请直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据一元二次方程的性质，先提公因式，通过计算即可得到答案．【详解】移项得，x2-2x＝0，提公因式得，x（x-2）＝0，解得，x1＝0，x2＝2，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解．2．D解析：D【分析】根据根的判别式判断．【详解】解：∵△＝4﹣20＝﹣16＜0，∴方程没有实数根．故选：D．【点睛】本题考查一元二次方程的根的情况，熟练掌握根判别式的计算方法及应用是解题关键．3．B解析：B【分析】方程移项后，利用完全平方公式变形即可得到结果．【详解】解：方程x 2+8x-3=0，移项得：x 2+8x=3，配方得：x 2+8x+16=16+3，即（x+4）2=19．故选：B ．【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 4．B解析：B【分析】利用判别式大于零和二次项系数不为零求解即可．【详解】∵方程2210mx x +-=有两个不相等的实数根，∴m≠0，且△＞0，∴m≠0，且224m +＞0，∴1m >-且0m ≠，故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练运用判别式并保证二次项系数不能为零是解题的关键．5．D解析：D【分析】先求得x 2=x+1，再代入4353x x x +-+即可得出答案．【详解】解：∵x 2-x-1=0，∴x 2=x+1，∴4353x x x +-+=（x+1）2+x(x+1)-5x+3=x 2+2x+1+x²+x-5x+3=2x 2-2x+4=2(x+1)-2x+4=2x+2-2x+4=6，故选：D ．【点睛】本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．通过把一元二次方程变形为用一次式表示二次式，从而达到“降次”的目的，这是解决本题的关键．6．C解析：C【分析】利用绝对值的几何意义，假设x ＞0或x ＜0，分别分析得出即可．【详解】解：当x ＞0时，2320x x -+=，解得：x 1＝1；x 2＝2；当x ＜0时，2320x x --=，解得：x 1（不合题意舍去），x 2， ∴方程的实数解的个数有3个．故选：C ．【点睛】此题主要考查的是含有绝对值符号的一元二次方程的一般计算题，理解绝对值的意义是关键．7．B解析：B【分析】用因式分解法求得方程的根，后根据三角形三边关系判断三角形的存在性，后计算周长.【详解】∵212350x x -+=，∴（x-7）(x-5)=0,∴x=7或x=5；当x=7时,3+4=7，∴三角形不存在；当x=5时,3+4＞5，∴三角形存在，∴三角形的周长为3+4+5=12；故选B.【点睛】本题考查了一元二次方程的因式分解求解法和三角形的存在性，熟练求方程的根，准确判断三角形的存在性是解题的关键.8．A【分析】先把方程变形为x 2-4x=-2，再把两方程两边加上4，然后把方程左边用完全平方公式表示即可．【详解】解：x 2-4x=-2，x 2-4x+4=2，（x-2）2=2．故选：A ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m ）2=n 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．9．C解析：C【分析】根据一元二次方程根的判别式判断即可．【详解】解：一元二次方程2430x x -+=的根的判别式为：b 2-4ac=（-4）2-4×3×1=4>0，所以，方程有两个不相等的实数根，故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，求出根的判别式的值是解题关键．10．D解析：D【分析】先根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出21142020x x -=，124x x +=，代入原式计算即可．【详解】解：∵1x ，2x 是方程2420200x x --=的两个实数根，∴211420200x x --=，即21142020x x -=，由根与系数之间关系可知124x x +=，∴211222x x x -+=21112422x x x x -++=2020+122()x x +=2020+8所以选项D 正确．故答案为：D【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数之间的关系，本题解题的关键是将211222x x x -+进行等量变形，并代入求解．11．C解析：C【分析】计算判别式的值，利用配方法得到△＝（m+2）2≥0，然后根据判别式的意义对各选项进行判断．【详解】解：∵a ＝1，b ＝－(m －2)，c ＝－2m ，∴224(2)41(2)b ac m m -=--⨯⨯-2448m m m =-++244m m =++2(2)m =+，∵2(2)0m +≥，∴240b ac -≥，∴方程有两个实数根，故选：C ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx+c ＝0（a≠0）的根与△＝b 2－4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．12．C解析：C【分析】移项，利用因式分解求解即可.【详解】解：∵2x ＝﹣3x ，移项，得2x +3x ＝0，分解因式，得x （x+3）＝0，∴x ＝0，或x+3＝0，解得1x ＝0，2x ＝﹣3，故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，根据方程的特点，选择因式分解法求解是解题的关键.二、填空题13．【分析】根据根与系数的关系求出x1+x2和的值然后代入计算即可【详解】∵方程的两个实根分别为∴x1+x2==∴=-（x1+x2）=-2故答案为：-2【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0解析：2-【分析】根据根与系数的关系求出x 1+x 2和12x x ⋅的值，然后代入计算即可．【详解】∵方程2640x x -+=的两个实根分别为1x ，2x ，∴x 1+x 2=661--=，12x x ⋅=441=， ∴1212x x x x --=12x x ⋅-（x 1+x 2）=-2．故答案为：-2【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）根与系数的关系，若x 1，x 2为方程的两个根，则x 1+x 2=b a -，12x x ⋅=c a． 14．且【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系及一元二次方程的定义即可得答案【详解】解：∵关于x 的一元二次方程有两个实数根∴△=-(2k+1)2-4k k≥0且k≠0解得：且k≠0故答案为：且k≠0【点解析：14k ≥-且0k ≠ 【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系及一元二次方程的定义即可得答案．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2(21)0kx k x k -++=有两个实数根， ∴△=[-(2k+1)]2-4k ⨯k≥0，且k≠0，解得：14k ≥-且k≠0．故答案为：14k ≥-且k≠0．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根；注意一元二次方程的二次项系数不为0的隐含条件，避免漏解．15．【分析】根据一元二次方程根与系数关系即可求解【详解】解：一元二次方程的两根分别是则故答案为：7【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数关系解题关键是知道：如果一元二次方程的两根分别是则解析：7【分析】根据一元二次方程根与系数关系即可求解．【详解】解：一元二次方程260x x --=的两根分别是1x ，2x ，则126x x =-，121x x =+，12121(6)7x x x x +-=--=，故答案为：7．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数关系，解题关键是知道：如果一元二次方程20ax bx c ++=的两根分别是1x ，2x ，则12b x x a +=-，12c x x a=． 16．【分析】根据m 与n 是方程的两个实数根得到根与系数关系式原式变形后代入计算即可求出值【详解】解：∵mn 是一元二次方程x2﹣x ﹣3＝0的两个实数根∴m+n ＝1mn ＝-3∵(m+n)2=m2+n2+2mn解析：12-【分析】根据m 与n 是方程的两个实数根，得到根与系数关系式，原式变形后代入计算即可求出值．【详解】解：∵m ，n 是一元二次方程x 2﹣x ﹣3＝0的两个实数根，∴m+n ＝1，mn ＝-3，∵(m+n)2=m 2+n 2+2mnm 2+n 2=(m+n)2-2mn∴m 2+n 2=12-2×(-3)=7∴m 2+n 2-19=7-19=-12故答案为：-12．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．17．4【分析】将x=3代入解方程即可【详解】将代入方程得9-3b+3=0解得b=4故答案为：4【点睛】此题考查一元二次方程的解解方程正确计算是解题的关键解析：4【分析】将x=3代入解方程即可．【详解】将3x =代入方程230x bx -+=，得9-3b+3=0，解得b=4，故答案为：4．【点睛】此题考查一元二次方程的解，解方程，正确计算是解题的关键．18．4【分析】先由根与系数的关系求出m•n 及m ＋n 的值再把化为的形式代入进行计算即可【详解】是一元二次方程的两实数根故答案为：4【点睛】本题考查的是根与系数的关系将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是解析：4【分析】先由根与系数的关系求出m•n 及m ＋n 的值，再把化为11m n m n mn++=的形式代入进行计算即可．【详解】 m ，n 是一元二次方程2410x x -=+的两实数根，4,1m nm n ， 11441m n m n mn. 故答案为：4【点睛】本题考查的是根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x 1＋x 2＝−b a ，x 1•x 2＝c a． 19．-2【分析】把-1代入方程求m 再把m 代回方程解方程即可；或用根与系数关系可求【详解】解：方法一把-1代入方程得解得m=2代入原方程得解得故答案为：-2；方法二设另一个根是a 根据根与系数关系a×（-1解析：-2【分析】把-1代入方程求m ，再把m 代回方程，解方程即可；或用根与系数关系可求．【详解】解：方法一，把-1代入方程2(1)20x m x +++=，得，1(1)20m -++=，解得，m=2，代入原方程得，2320x x ++=，解得，121,2x x =-=-，故答案为：-2；方法二，设另一个根是a ，根据根与系数关系，a ×（-1）=2，a =-2，故答案为：-2【点睛】本题考查了一元二次方程的根和一元二次方程根与系数关系，选择不同方法解题，体现思维的灵活性，准确把握知识是解题关键．20．【分析】设储藏x 星期出售这批农产品可获利122000元则需要支付费用1600x 元损失2x 吨价格为（1200+200x ）元根据获利122000元列方程求解【详解】解：设储藏x 星期出售这批农产品可获利1解析：()()1200200802160064000122000x x x +⨯---=【分析】设储藏x 星期出售这批农产品可获利122000元，则需要支付费用1600x 元，损失2x 吨，价格为（1200+200x ）元，根据获利122000元，列方程求解．【详解】解：设储藏x 星期出售这批农产品可获利122000元，由题意得（1200+200x ）×（80-2x ）-1600x-64000=122000，故答案为：()()1200200802160064000122000x x x +⨯---=．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系列方程．三、解答题21．（1）121,0x x =-=；（2） 1x ，2x【分析】（1）用因式分解法解得()()32330x x +-+-=，化为10,0x x +== 解一次方程即可；（2）用配方法配方得()2x-3=18，直接开平方得x-3=±【详解】解：（1）2(3)5(3)60x x +-++=，()()32330x x +-+-=，10,0x x +==，121,0x x =-=；（2） x 2﹣6x ﹣9＝0，()2x-3=18，x-3=±x=3±，1x ，2x【点睛】本题考查一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的各种解法，并能灵活选择恰当方法解方程是解题关键．22．（1）11x =，22x =；（2）12x =22x =【分析】（1）移项后，运用因式分解法求解即可；（2）运用配方法求解即可．【详解】解：（1）213(1)x x -=- (1)(1)3(1)x x x +-=-(1)(1)3(1)0x x x +---=(1)(13)0x x -+-=(1)(2)0x x --=∴10x -=或20x -=11x ∴=，22x =；（2）241x x -=-24414x x -+=-+2(x 2)3-=2x ∴-=12x ∴=+22x =．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．23．（1）a=-4．（2）a=1或2或4．【分析】（1）把x=-1代入方程求出a 即可．（2）利用判别式根据不等式即可解决问题．【详解】解：（1）∵方程的一个根为x=-1，∴a-3+4+3=0，∴a=-4．（2）∵方程有实数根，∴△≥0且a≠3，∴16-12（a-3）≥0，解得a≤133，a≠3， ∵a 是正整数，∴a=1或2或4．【点睛】本题属于根的判别式，一元二次方程的解等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24．122,1x x =-=．【分析】利用因式分解法求解即可．【详解】∵2(2)3(2)x x +=+，∴()()22320x x +-+= ∴()()2230x x ++=⎡⎤⎣⎦-∴()()210x x +-=解得：122,1x x =-=．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法的实质，灵活准确求解是解题的关键．25．（1）11x =-，212x =；（2）1x =2x = 【分析】（1）根据解一元二次方程的方法计算即可；（2）根据解一元二次方程的方法计算即可．【详解】解：（1）22(1)3(1)x x +=+ 22(1)3(1)0x x =-++（x+1）[2(x+1)-3]=0(x+1) [2x+2-3]=0(x+1) (2x-1)=0∴x+1=0或2x-1=0解得：11x =-，212x =；（2）22980x x -+=a=2，b=-9，c=8Δ=24b ac -=81-4×2×8=17＞0==∴1x =2x =【点睛】本题主要考察了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法，选择适当的方法求解．26．（1）243y x x =-+；()2,1-；（2）P ()2、()2、()2,1-；（3）存在，E ()2,5，()2,1-，3172,2、3172,2．【分析】（1）根据题意，设二次函数的一般式解析式，再代入1,0A 、()3,0B 、()0,3C ，转化为解三元一次方程组即可解得一般式解析式，再利用配方法将一般式解析式化为顶点式解析式即可；（2）先解得2AB =，再结合三角形面积公式及绝对值的几何意义解题即可（3）当BCE ∆是直角三角形时，分三种情况讨论：BC BE ⊥或BC CE ⊥或BE CE ⊥，分别结合勾股定理解题即可．【详解】解：（1）设二次函数的表达式为2y ax bx c =++将1,0A 、()3,0B 、()0,3C 分别代入得09303a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩解得：143a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴二次函数表达式为243y x x =-+()224321y x x x ∴=-+=--∴顶点坐标为()2,1-；（2）312AB =-=12p ABP AB y S ∆⋅==1p y ∴= 1p y ∴=±当1p y =时，2431x x -+=解得12x =，22x =当1p y =-时，2431x x -+=-解得122x x ==，∴点p 的坐标为()2-、()2+、()2,1-；（3）存在，符合条件的点E 共有4个，坐标分别为()2,5，()2,1-，3172,2、3172,2，理由如下：抛物线的对称轴为2x =，设(2,)E t 得， 2223+3=18BC =2222=(23)=1+BE t t -+22222(3)613CE t t t =+-=-+ 当BC BE ⊥时，222+BC BE CE =22181613t t t ∴++=-+1t ∴=-(2,1)E ∴-；当BC CE ⊥时，222+BC CE BE =22186131t t t ∴+-+=+5t ∴=(2,5)E ∴；当BE CE ⊥时， 222+BE CE BC =22161318t t t ∴++-+=2320t t ∴--=1,3,2a b c ==-=-224(3)41(2)17b ac ∴∆=-=--⨯⨯-=12332222b b t t a a -++--∴==== 此时3172,2E 或3172,2，综上所述，符合条件的点E 共有4个，坐标分别为()2,5，()2,1-，3172,2、3172,2．【点睛】本题考查待定系数法解二次函数的解析式、化二次函数的一般式解析式为顶点式解析式、直角三角形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．。

人教版九年级上册数学第二单元二次函数单元测试卷(含答案)

人教版九年级上册数学第二单元二次函数单元测试卷一.选择题(共10小题)1 •二次函数y=χ2+px+q l 当0WXWl 时，设此函数最大值为8,最小值为匸w=s-t, (S 为常数)则VV 的值()A •与p 、q 的值都有关B •与P 无关，但与q 有关C •与p 、q 的值都无关D •与P 有关，但与q 无关 2 •二次函数y=ax'+bx+c (a≠0)的大致图象如图所示，顶点坐标为(-2, -9a)l 下列结论:φabc > 0 ； 24a+2b+c> 0 ； @9a-b+c=0 ；④若方程a (x+5) (X-I)二有两个根X 丄和X=且Xi < Xz 1则-5 < Xi<‰<1;⑤若方程IaX =+bx+c ∣=l 有四个根，则这四个根的和为-8 •其中正确的结论有()个C . 4D ・ 54・将抛物线y=x^4x∙4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为 () A . y= (x+l) z -13 B ・ y 二(x∙5) 2-5C . y= (x-5) z -13D ・ y 二(x÷l)【5 5 .如果二次函数y=x =+2x+t 与一次函数y=x 的图象两个交点的横坐标分别为m 、n,且m <l<n,则t 的取值范围是() 6 •已知抛物线y=-x z ÷mx÷2m t 当x < 1时，y 随X 的增大而增大，则抛物线的顶点在() A.第一象限 B•第二象限 C.第三象限 D.第四象限7 •定义：在平面直角坐标系中，点P (X t y)的横、纵坐标的绝对值之和叫做点P (X J y) 的勾股值，记[P]=∣x ∣+∣y ∣ •若抛物线y=ax 2÷bx÷2与直线y=x 只有一个交点C,已知点C 在第一3 .二次函数y=aχ2÷bx+c 的图象如图所示, 那么一次函数y 二ax+b 的图象大致是(A . t> -2B . t<-2 D・象限，且2≤[C]≤4,令t=2b z-4a+2020,则t的取值范围为()A ・2017≤t≤2018B ・2018≤t≤2019C ・2019≤t≤2020D ・2020≤t≤2021X的增大而增大；④方程aχz÷bx÷c=0有一个根大于4・其中正确的结论有()A.1个B.2个 C . 3个 D.4个9 .将函数y=-χz+2x+m (OWXW4)在X轴下方的图象沿X轴向上翻折，在X轴上方的图象保持不变，得到一个新图象一新图象对应的函数最大值与最小值之差最小，则m的值为()A・2-5 B・3 C・35 D・410 .定义符号min{a, b}的含义为：当aNb 时min{a, b}=b ；当a < b 时min{a, b}=a .如：min{l, -3}=-3, min{-4, -2}=-4 •则min{-χz+l, ∙x}的最大值是( )v,z5-l2二・填空题(共6小题)H •抛物线尸(k-l) x=-x+l与X轴有交点，则k的取值范围是____________________12 .对于任意实数m,抛物线y=x2+4mx+m+n与X轴都有交点，则n的取值范围是__________13 •当-lWχW3时，二次函数y二x2-4x+5有最大值m,则m二______________24 •在平面直角坐标系中，已知A (-1, m)和B (5, m)是抛物线y=x2+bx÷l上的两点，将抛物线y=x2+bx÷l的图象向上平移n (n是正整数)个单位，使平移后的图象与X轴没有交点，则n的最小值为______________________________15 •已知抛物线y=a×2+bx+c (a<0)的对称轴为X二-1,与X轴的一个交点为(2, 0),若关于X的一元二次方程ax2+bx+c=p (P > 0)有整数根，则P的值有______________ 个16 •对于一个函数，如果它的自变量X与函数值y满足：当JWXWl时，-l≤y≤l,则称这个函数为“闭函数”.例如：y=x, y二-X均是“闭函数・.已知y=ax2+bx+c (a≠0)是-闭函数"，且抛物线经过点A (1, -1)和点B (-1, 1),则a的取值范围是_____________________三•解答题(共7小题)17 •已知抛物线C : y=x3+mx+n (m, n为常数).(1) 如图，若抛物线C的顶点坐标为P (1, 2).求m, n的值；(2) 在(1)的条件下，设点Q (a, b)在抛物线C±,且点Q离y轴的距离不大于2, 直接写出b的取值范围；(3) 将抛物线C向左平移2个单位得到抛物线Cl,将抛物线C向右平移2个单位得到拋物线C2,若Cl与C2的交点坐标为(1, 3),求抛物线C的函数解析式-18 •在平面直角坐标系XOy中，抛物线y二x^2x∙3与X轴相交于A, B （点A在点B的左边），与y轴相交于C •（1）求直线BC的表达式.（2）垂直于y轴的直线I与直线BC交于点N （Xl I yι）,与抛物线相交于点P （冷，y=）1 Q （X3, y≡）.若Xl < Xz < X3,结合函数图象.求X1 + ×2÷X3的取值范围・19・某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元/件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月（30天）的试营销，售价为8元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象-图中的折线ODE表示日销售量y （件）与销售时间X （天）之间的函数关系，已知线段DE表示的函数关系中，时间每增加1天，日销售量减少5件・（1）_____________________ 第26天的日销售量是_______ 件，日销售利润是元. （2）求y与X之间的函数关系式，并写出X的取值范围；⑶日销售利润不低于600元的天数共有多少天？试销售期间，日销售最大利润是多少元？20・某商场销售一批衬衫，进货价为每件40元按每件50元出售：一个月内可售出500 件•已知这种衬衫每涨价1元，其销售量要减少10件•(1) 为在月内赚取8000元的利润，售价应定为每件多少元？(2) 要想获得的利润最大，该商场应当如何定价销售？21 .某工艺品厂设计了一款每件成本为11元的工艺品投放市场进行试销，经过市场调查, 得出每天销售量y (件)是每件售价X (元)(X为正整数)的一次函数，其部分对应数据如下表所示：(1) 求y关于X的函数解析式；(2) 若用W (元)表示工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润，试求W关于X的函数解析式；(3) 该工艺品每件售价为多少元时，工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是多少元？22.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-⅛-^χ + √3与X轴交于A, B两点，与y 轴交于点C ・(1) 若点P为直线AC上方抛物线上的动点，当APAC的面积最大时，求此时P点的坐标；(2) 若点Q是抛物线对称轴上的动点，点M是抛物线上的动点，当以点M、A、C、Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出此时Q点的坐标・备用图23 •如图，抛物线CI : y=-∣√ + 2x + 2的顶点为A,且与y轴于点B,将抛物线C丄沿y=a 对称后，得到抛物线G与y轴交于点C .(1)求A、B两点坐标；(2)若抛物线G上存在点D,使得ABCD为等腰直角三角形，求出此时抛物线G的表达参考答案-＞选择题12345678910D C C D B A B A C A二.填空题11. k≤⅛k≠ 112、n≤-^713. 104 6414、4 15、3 16、-詁QVo 或OVQ 今三、解答题17、毎：(1 )・・・挞物袋C : y=x2+wx÷n ( Jn t H为学数)顶庶坐标为P (1,2) J•—巴一1 4n~rr,2-->,∙ 2 ~ 「 ----------⅞?得巾二―2 f刃二3 ；(2 )在(1 )的条件下.≡∣S¾)^C为：y=x2-2x+3 ,・・•拋物线与》轴的交点为(0,3),过点(0 , 3 )作;C轴的平行线r与抛物线的另一个交点为(2,3) r 此时忌(2,3)到卩柏的距离为2 I••焉Q (.a t b)衽抛物线C上，目葱畑的距离不大于2 •田图象可知r2≤6≤3・(3 )将牠搦线C向左平移2个单位得到枷物线C1⅛v= (Λ+2 ) 2+m (Λ+2 )卄；将拋物钱C向右平移2个单位得到抛物线C伪y=(x-2 ) 2 + m ( x-2 ) +” ；由(x+2 ) ‘―加(x+2 ) +Λ=(Λ-2)^+m ( x-2 ) ÷n ,解得K二一：加r・・•若G与G的交点坐标为(1 r 3 ),・•・-；/«二1 ,解得加二-2 r乙rB⅛S (1,3)代入y= ( x+2 ) ‘一2 ( x+2 ) + 刃得3=9-6+Λ T.∖Λ⊂O r•・•抛物袋f的函数解忻式⅛y=r2-2x •18劣：(I )由y=x i -2r-3⅛到：y=(才一3 ) ( x+ 1 ) i C ( O z -3 )・ SrUU (-1,0) .5(3,0) I设宜线的表达式为：y=Aχ÷h (A≠O),(6=7则 •(3*÷Λ=0解得FJ , lfr=-3 隔以克进BC 的去达式⅛j=x -3 ；(2 )由y=x*-2r-3⅛到：y= (T-I) J -4 R晤以拋物賤y=X-2x-3的对称⅛⅛≡⅛x=l r 顶点坐标昱(1 r -4 )・ β∙yτ=yj.• ∙X 2*t*X ∖ = 2 •令y=_4 ” y=x-3 r J=-I ・VXl < Xz < X ),.*.-l <r ∣ < 0 r §Dl <xι+x 2+x 3 < 2 ・19、^Z(I) 340- ( 26-22 ) ×5=320 (件},320X ( 8-6 ) =640 (元)・故答崟为:320 ; 64& ;C 2 )设逹段OD 才麦示的上m 之同的函姿关系式为尸虹，»( 17 - 340}代入V 二虹中P340 = 17* . ⅜≡i5 : *-20 I.∙.⅛⅛□D 所表示的FMr 之间的函数关系式无尸2(h .很据埜京得:农段％所表示的」却之间的函散矢君弍为尸340-5 (—22 > =-α+450 . 鉄立鬲遜既所耒示的函敕关系式成方程运I(3) 当0≤x≤∣8时 I 浪据SSrS : (8-6}×20x⅞60ft i ft≡zx>iS; 当 I R < x≤30ffif I 唄据蕊爲扫:C8-6)x(-5x-450 ) ^600 I teS ：x<30.Λ∣5≤x≤3G ・3O-I5+L = lft(天)，-■■ B^S 利润不低亍600元的天或共有托天-••・点D 的坐标为(I & r 360),「•日矗大销皆量方3创件I360X2=720 (元)l••试销宫姿间I 日销官最大利润是720元.⅛=X÷450 •疯: -V=IK V=360 ・••交点D 的坐标为< 18 j 360 } 与X 之间的屈数关系式为P 2Ojf(O≤x≤3O)-5κ+450(l8<x≤30)20、解：(1 )设涨工元Z 根据题意得(50-40十Jr ) ( 500-IOJr ) =SOoo f 整理‰2-40r+300=0 J 解‰1=10 * x 2=^0 J 当工二 10时 J 50+10=60 ；当X 二30时.50+30=80 r此时售价应走为每件60元或80元，利润为8000元；(2 )设每件涨X 元r 利润为F 元，贝D= ( 50-40+κ ) ( 500- IX )= -I0√+400^+5000= -10 (x-20 ) 2+9000 fVa=-IO <0 Z当x=20时J 丿有最大值,最大值为9000 r•・，要想获得的利润最大J 销售价应左为70元•21、解；(1 )设y 二层十b "由表可知：当x=l5时f y = ↑ 50 ,当X=I 6时J y= 140 Z 则(150二 L5 屮[140 二 16上+6关于X 的函数解析式为：卩二-10卄300;(2〉由题意可得：w=(-10工+300) (X-Il ) =-10X 2+410X -3300 R关于X 的函数解析式为:W= -1 Ox 2+41 Ox-3300 ；(3 )・・・对称轴工二一二20.5 J ZZ=-IO<0 J X 是整数,一 2x(-10)・・二二20或21时,W 有最大值J当x=20或21时Z 代入l 可得：w=900 ,.∙.该工艺品每件售价为20元或21元时f 工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润最大,最大利润是900元. 22、： ( 1 ) ••物线”=一斗与话由立于/1 ■ 8两点Z.∙.0=-^2-≡^X ÷√3..∙.X ∣= 1 r X≡ = -3 r ・・・E 的坐琢为(一3 , O ),卫的坐标为(1,0) ••・•池物线，=—x 2 ~ ~3~x 轴交于点 C r・•・点C 的坐転为(O j √3 ),・・•点/的坐标为(一3 , O ) ■点C 的坐标为(O , √3 ),Ic 解析式为：y=^x÷√3 ,SO 医1 r IZt 原P 作PE 丄/18 r 态/ C 于点E ,,解得寸fc ^1°6=300⅛√i）.∙.FE二一—¥“十近一（⅛+√3 ） =-^-α2-α , V∆P4C的面积二fxFEx3二一孚（°+匸）$十誓 ,<2 2 2 o.∙.当α二-耳时，"AC的面机有最大值J .俑P（W，1 召）;C 2 ）设烏M坐标为（X I y）t•・・点”的坐标为（一3 , O ）,点〃的坐标为（1,0）r・•・抛物线的对称轴为直线χ=-l ZT点0是抛物线对称轴上的动点（「•设点。

九年级数学上册第2章一元二次方程单元综合测试题(含解析)

第2章一元二次方程一、选择题（每题3分，共36分）1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A．B．ax2+bx+c=0C．（x﹣1）（x+2）=1 D．3x2﹣2xy﹣5y2=02．关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜1 B．k≠0 C．k＜1且k≠0D．k＞13．方程x2﹣kx﹣1=0根的情况是（）A．方程有两个不相等的实数根B．方程有两个相等的实数根C．方程没有实数根D．方程的根的情况与k的取值有关4．等腰三角形的底和腰是方程x2﹣7x+12=0的两个根，则这个三角形的周长是（）A．11 B．10 C．11或10 D．不能确定5．某种衬衣的价格经过连续两次降价后，由每件150元降至96元，平均每次降价的百分率是（）A．20% B．27% C．28% D．32%6．餐桌桌面是长为160cm，宽为100cm的长方形，妈妈准备设计一块桌布，面积是桌面的2倍，且使四周垂下的边等宽．若设桌布宽为xcm，则所列方程为（）A．（160+x）（100+x）=160×100×2 B．（160+2x）（100+2x）=160×100×2C．（160+x）（100+x）=160×100D．2（160x+100x）=160×1007．某超市1月份的营业额是200万元，第一季度的营业额共1000万元，如果每月的增长率都是x，根据题意列出的方程应该是（）A．200（1+x）2=1000 B．200（1+2x）=1000C．200+200（1+x）+200（1+x）2=1000 D．200（1+3x）=10008．如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD．则该矩形草坪BC边的长是（）A．12 B．18 C．20 D．12或209．若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，则m+n的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣210．已知（m2+n2）2﹣2（m2+n2）﹣3=0，则m2+n2=（）A．﹣1或3 B．3 C．﹣1 D．无法确定11．已知关于x的方程（m+3）x2+5x+m2﹣9=0有一个解是0，则m的值为（）A．﹣3 B．3 C．±3D．不确定12．若x1，x2（x1＜x2）是方程（x﹣a）（x﹣b）=1（a＜b）的两个根，则实数x1，x2，a，b的大小关系为（）A．x1＜x2＜a＜b B．x1＜a＜x2＜b C．x1＜a＜b＜x2D．a＜x1＜b＜x2二、填空题（每题3分，共12分）13．关于x的方程（m﹣1）x2+（m+1）x+3m+2=0，当m 时为一元二次方程．14．一元二次方程x2=2x的根是．15．若x1，x2是一元二次方程x2﹣3x+1=0的两个根，则x1+x2= ，x1x2= ，x12+x22= ．16．如图，在一块矩形的荒地上修建两条互相垂直且宽度相同的小路，使剩余面积是原矩形面积的一半，具体尺寸如图所示．求小路的宽是多少？设小路的宽是xm，根据题意可列方程为．三、解答题17．解方程：（1）2x2﹣6x+3=0（2）（x+3）（x﹣1）=5（3）4（2x+1）2=9（2x﹣1）2．18．某市百货商店服装部在销售中发现“米奇”童装平均每天可售出20件，每件获利40元．为了扩大销售，减少库存，增加利润，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查，发现如果每件童装每降价1元，则平均每天可多售出2件，要想平均每天在销售这种童装上获利1200元，那么每件童装应降价多少元？19．某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y=kx+b，且x=65时，y=55；x=75时，y=45．（1）求一次函数y=kx+b的表达式；（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．20．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=8厘米．点P从A点开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动（到达点C即停止运动）．（1）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一？（2）如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从B出发，沿BC移动（到达点C即停止运动），几秒钟后，P、Q相距6厘米？北师大新版2016届九年级上册《第2章一元二次方程》2015年单元测试卷（广东省深圳市沙湾中学）参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共36分）1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A．B．ax2+bx+c=0C．（x﹣1）（x+2）=1 D．3x2﹣2xy﹣5y2=0【考点】一元二次方程的定义．【专题】方程思想．【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【解答】解：A、原方程为分式方程；故A选项错误；B、当a=0时，即ax2+bx+c=0的二次项系数是0时，该方程就不是一元二次方程；故B选项错误；C、由原方程，得x2+x﹣3=0，符合一元二次方程的要求；故C选项正确；D、方程3x2﹣2xy﹣5y2=0中含有两个未知数；故D选项错误．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．2．关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜1 B．k≠0 C．k＜1且k≠0D．k＞1【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】因为关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，所以k≠0且△=b2﹣4ac＞0，建立关于k的不等式组，解得k的取值范围即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，∴k≠0，且△=b2﹣4ac=36﹣36k＞0，解得k＜1且k≠0．故答案为k＜1且k≠0．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．3．方程x2﹣kx﹣1=0根的情况是（）A．方程有两个不相等的实数根B．方程有两个相等的实数根C．方程没有实数根D．方程的根的情况与k的取值有关【考点】根的判别式．【分析】求出方程的判别式后，根据判别式与0的大小关系来判断根的情况．【解答】解：∵方程的△=k2+4＞0，故方程有两个不相等的实数根．故选A【点评】总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．4．等腰三角形的底和腰是方程x2﹣7x+12=0的两个根，则这个三角形的周长是（）A．11 B．10 C．11或10 D．不能确定【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【专题】计算题；一次方程（组）及应用．【分析】利用因式分解法求出方程的解得到x的值，确定出底与腰，即可求出周长．【解答】解：方程分解得：（x﹣3）（x﹣4）=0，解得：x1=3，x2=4，若3为底，4为腰，三角形三边为3，4，4，周长为3+4+4=11；若3为腰，4为底，三角形三边为3，3，4，周长为3+3+4=10．故选C．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解法是解本题的关键．5．某种衬衣的价格经过连续两次降价后，由每件150元降至96元，平均每次降价的百分率是（）A．20% B．27% C．28% D．32%【考点】一元二次方程的应用．【专题】增长率问题．【分析】如果价格每次降价的百分率为x，降一次后就是降到价格的（1﹣x）倍，连降两次就是降到原来的（1﹣x）2倍．则两次降价后的价格是150×（1﹣x）2，即可列方程求解．【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，则可以得到关系式：150×（1﹣x）2=96x=0.2或1.8x=1.8不符合题意，舍去，故x=0.2答：平均每次降价的百分率是20%．故选A．【点评】本题考查数量平均变化率问题．原来的数量（价格）为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a（1±x），再经过第二次调整就是a（1±x）（1±x）=a（1±x）2．增长用“+”，下降用“﹣”．6．餐桌桌面是长为160cm，宽为100cm的长方形，妈妈准备设计一块桌布，面积是桌面的2倍，且使四周垂下的边等宽．若设桌布宽为xcm，则所列方程为（）A．（160+x）（100+x）=160×100×2 B．（160+2x）（100+2x）=160×100×2C．（160+x）（100+x）=160×100D．2（160x+100x）=160×100【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】本题可先求出桌布的面积，再根据题意用x表示桌面的长与宽，令两者的积为桌布的面积即可．【解答】解：依题意得：桌布面积为：160×100×2，桌面的长为：160+2x，宽为：100+2x，则面积为=（160+2x）（100+2x）=2×160×100．故选B．【点评】本题考查的是一元二次方程的运用，要灵活地运用面积公式来求解．7．某超市1月份的营业额是200万元，第一季度的营业额共1000万元，如果每月的增长率都是x，根据题意列出的方程应该是（）A．200（1+x）2=1000 B．200（1+2x）=1000C．200+200（1+x）+200（1+x）2=1000 D．200（1+3x）=1000【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】增长率问题．【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），关系式为：一月份月营业额+二月份月营业额+三月份月营业额=1000，把相关数值代入即可求解．【解答】解：二月份的月营业额为200×（1+x），三月份的月销售额在二月份月销售额的基础上增加x，为200×（1+x）×（1+x），则列出的方程是200+200（1+x）+200（1+x）2=1000，故选C．【点评】考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．8．如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD．则该矩形草坪BC边的长是（）A．12 B．18 C．20 D．12或20【考点】一元二次方程的应用．【专题】几何图形问题．【分析】设草坪BC的长为x米，则宽为，根据面积为120平方米，列方程求解．【解答】解：设草坪BC的长为x米，则宽为，由题意得，x•=120，解得：x1=12，x2=20，∵墙为16米，∴x=20不合题意．故x=12．故选A．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．9．若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，则m+n的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【考点】一元二次方程的解．【专题】计算题．【分析】把x=n代入方程得出n2+mn+2n=0，方程两边都除以n得出m+n+2=0，求出即可．【解答】解：∵n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，代入得：n2+mn+2n=0，∵n≠0，∴方程两边都除以n得：n+m+2=0，∴m+n=﹣2．故选D．【点评】本题考查了一元二次方程的解的应用，能运用巧妙的方法求出m+n的值是解此题的关键，题型较好，难度适中．10．已知（m2+n2）2﹣2（m2+n2）﹣3=0，则m2+n2=（）A．﹣1或3 B．3 C．﹣1 D．无法确定【考点】换元法解一元二次方程．【分析】设y=m2+n2，原式化成关于y的一元二次方程，解方程即可求得．【解答】解：设y=m2+n2，则原式化为：y2﹣2y﹣3=0，（y﹣3）（y+1）=0，∴y=3或y=﹣1，∴m2+n2=3或﹣1．故选A．【点评】本题考查了换元法解一元二次方程，解题关键是能准确的找出可用替换的代数式m2+n2，再用字母y 代替解方程．11．已知关于x的方程（m+3）x2+5x+m2﹣9=0有一个解是0，则m的值为（）A．﹣3 B．3 C．±3D．不确定【考点】一元二次方程的解．【专题】计算题．【分析】方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将x=0代入原方程即可求得m的值．【解答】解：把x=0代入原方程得m2﹣9=0；解得：m=±3；故选C．【点评】本题考查的是方程的根即方程的解的定义；注意该题没有说明该方程是一元二次方程，所以也能是一元一次方程，所以m的值是±3．12．若x1，x2（x1＜x2）是方程（x﹣a）（x﹣b）=1（a＜b）的两个根，则实数x1，x2，a，b的大小关系为（）A．x1＜x2＜a＜b B．x1＜a＜x2＜b C．x1＜a＜b＜x2D．a＜x1＜b＜x2【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】压轴题．【分析】因为x1和x2为方程的两根，所以满足方程（x﹣a）（x﹣b）=1，再由已知条件x1＜x2、a＜b结合图象，可得到x1，x2，a，b的大小关系．【解答】解：用作图法比较简单，首先作出（x﹣a）（x﹣b）=0图象，随便画一个（开口向上的，与x轴有两个交点），再向下平移一个单位，就是（x﹣a）（x﹣b）=1，这时与x轴的交点就是x1，x2，画在同一坐标系下，很容易发现：答案是：x1＜a＜b＜x2．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程根的情况，结合图象得出答案是解决问题的关键．二、填空题（每题3分，共12分）13．关于x的方程（m﹣1）x2+（m+1）x+3m+2=0，当m ≠1时为一元二次方程．【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．【解答】解：由关于x的方程（m﹣1）x2+（m+1）x+3m+2=0，得m﹣1≠0，解得m≠1．故答案为：m≠1．【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．14．一元二次方程x2=2x的根是x1=0，x2=2 ．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】计算题．【分析】先移项，再提公因式，使每一个因式为0，从而得出答案．【解答】解：移项，得x2﹣2x=0，提公因式得，x（x﹣2）=0，x=0或x﹣2=0，∴x1=0，x2=2．故答案为：x1=0，x2=2．【点评】本题考查了一元二次方程的解法：解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．15．若x1，x2是一元二次方程x2﹣3x+1=0的两个根，则x1+x2= 3 ，x1x2= 1 ，x12+x22= 7 ．【考点】根与系数的关系．【专题】计算题．【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=3，x1x2=1，再利用完全平方公式变形得到x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：根据题意得x1+x2=3，x1x2=1，x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=32﹣2×1=7．故答案为3，1，7．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．16．如图，在一块矩形的荒地上修建两条互相垂直且宽度相同的小路，使剩余面积是原矩形面积的一半，具体尺寸如图所示．求小路的宽是多少？设小路的宽是xm，根据题意可列方程为（30﹣x）=×30×20．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】几何图形问题．【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的种植花草部分是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程求解即可．【解答】解：设道路的宽应为x米，由题意有（30﹣x）=×30×20．故答案为：（30﹣x）=×30×20．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．三、解答题17．解方程：（1）2x2﹣6x+3=0（2）（x+3）（x﹣1）=5（3）4（2x+1）2=9（2x﹣1）2．【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法．【专题】计算题；一次方程（组）及应用．【分析】（1）方程利用公式法求出解即可；（2）方程整理后，利用因式分解法求出解即可；（3）方程利用平方根定义开方即可求出解．【解答】解：（1）这里a=2，b=﹣6，c=3，∵△=36﹣24=12，∴x==，解得：x1=，x2=；（2）方程整理得：x2+2x﹣8=0，即（x﹣2）（x+4）=0，解得：x1=2，x2=﹣4；（3）开方得：2（2x+1）=3（2x﹣1）或2（2x+1）=﹣3（2x﹣1），解得：x1=2.5，x2=0.1．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，公式法与直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．18．某市百货商店服装部在销售中发现“米奇”童装平均每天可售出20件，每件获利40元．为了扩大销售，减少库存，增加利润，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查，发现如果每件童装每降价1元，则平均每天可多售出2件，要想平均每天在销售这种童装上获利1200元，那么每件童装应降价多少元？【考点】一元二次方程的应用．【专题】压轴题．【分析】设每件童装应降价x元，那么就多卖出2x件，根据每天可售出20件，每件获利40元．为了扩大销售，减少库存，增加利润，商场决定采取适当的降价措施，要想平均每天在销售这种童装上获利1200元，可列方程求解．【解答】解：设每件童装应降价x元，由题意得：（40﹣x）=1200，解得：x=10或x=20．因为减少库存，所以应该降价20元．【点评】本题考查一元二次方程的应用，关键找到降价和卖的件数的关系，根据利润列方程求解．19．某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y=kx+b，且x=65时，y=55；x=75时，y=45．（1）求一次函数y=kx+b的表达式；（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．【考点】二次函数的应用．【专题】应用题．【分析】（1）列出二元一次方程组解出k与b的值可求出一次函数的表达式．（2）依题意求出W与x的函数表达式可推出当x=87时商场可获得最大利润．（3）由w=500推出x2﹣180x+7700=0解出x的值即可．【解答】解：（1）根据题意得解得k=﹣1，b=120．所求一次函数的表达式为y=﹣x+120．（2）W=（x﹣60）•（﹣x+120）=﹣x2+180x﹣7200=﹣（x﹣90）2+900，∵抛物线的开口向下，∴当x＜90时，W随x的增大而增大，而销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，即60≤x≤60×（1+45%），∴60≤x≤87，∴当x=87时，W=﹣（87﹣90）2+900=891．∴当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元．（3）由W≥500，得500≤﹣x2+180x﹣7200，整理得，x2﹣180x+7700≤0，而方程x2﹣180x+7700=0的解为 x1=70，x2=110．即x1=70，x2=110时利润为500元，而函数y=﹣x2+180x﹣7200的开口向下，所以要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，而60元/件≤x≤87元/件，所以，销售单价x的范围是70元/件≤x≤87元/件．【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．利用二次函数解决实际问题．20．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=8厘米．点P从A点开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动（到达点C即停止运动）．（1）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一？（2）如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从B出发，沿BC移动（到达点C即停止运动），几秒钟后，P、Q相距6厘米？【考点】一元二次方程的应用．【专题】几何动点问题．【分析】（1）设经过x秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一，分别表示出线段PB和线段BQ的长，然后根据面积之间的关系列出方程求得时间即可；（2）根据勾股定理列出方程求解即可；【解答】解：（1）设t秒后，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一，根据题意得：×2t（6﹣t）=××6×8，解得：t=2或4．答：2秒或4秒后，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一．（2）设x秒时，P、Q相距6厘米，根据题意得：（6﹣x）2+（2x）2=36，解得：x=0（舍去）或x=．答：秒时，P、Q相距6厘米．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，掌握三角形的面积计算方法，勾股定理，能够表示出线段PB和QB 的长是解答本题的关键．。

(必考题)初中数学九年级数学上册第二单元《一元二次方程》测试题(有答案解析)(4)

一、选择题1．将4个数a ，b ，c ，d 排成2行，2列，两边各加一条竖直线记成a bc d ，定义a bad bc c d=-，上述记号就叫做2阶行列式．若21171x x x +-=+，则x 的值为（） A ．±2 B ．10 C ．±4 D ．22．已知关于x 的方程220x bx c ++=的根为12x =-，23x =，则+b c 的值是（） A ．-10B ．-7C ．-14D ．-2 3．设a ，b 是方程220220x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（） A ．2019B ．2020C ．2021D ．2022 4．定义运算：x *y ＝x 2y ﹣2xy ﹣1，例如4*2＝42×2﹣2×4×2﹣1＝15，则方程x *1＝0的根的情况为（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．只有一个实数根 5．关于x 的一元二次方程()21210k x x +-+=有实数根，则k 满足（）A ．0k ≥B ．0k ≤且1k ≠-C ．0k <且1k ≠-D ．0k ≤ 6．一人携带变异新冠状病毒，经过两轮传染后共有121人感染，设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，则可列方程（）A ．()1121x x x ++=B ．()11121x x ++=C ．()21121x +=D ．()1121x x +=7．下列方程中，是一元二次方程的是（） A ．12x += B ．21x y += C ．243x x -=D ．35-=xy 8．如果方程220x x --=的两个根为α，β，那么22αβαβ+-的值为（） A ．7B ．6C ．2-D ．0 9．已知关于x 的一元二次方程2420ax x +-=有实数根，则a 的取值范围是（） A ．2a >-且0a ≠ B ．2a ≥-且0a ≠ C ．2a ≥- D ．0a ≠ 10．某小区附近新建一个游泳馆，馆内矩形游泳池的面积为2300m ，且游泳池的宽比长短10m ．设游泳池的长为xm ，则可列方程为（）A ．()10300x x -=B ．()10300x x +=C ．()2210300x x -= D ．()2210300x x +=11．用配方法解一元二次方程29190x x -+=，配方后的方程为（）A ．29524x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．29524x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭C ．()2962x -=D ．()2962x += 12．若关于x 的一元二次方程x 2＋x －3m ＋1＝0有两个实数根，则m 的取值范围是（）A ．m ＞14B ．m ＜14C ．m ≥14D ．m ≤14二、填空题13．将一元二次方程2850x x --=化成2()x a b +=（a 、b 为常数）的形式，则a 、b 的值分别是_______．14．如图，有一块长21,m 宽10m 的矩形空地，计划在这块空地上修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相同的人行通道，两块绿地的面积和为290m ．设人行通道的宽度为xm ，根据题意可列方程：_______________________．15．若关于x 的一元二次方程()22367120m x x m m -++-+=有一个根是0，那么m 的值为______．16．等腰ABC 中，4AB AC ==，30BAC ∠=︒，以AC 为边作等边ACD △，则点B 到CD 的距离为________．17．如果一个直角三角形的两边长是一元二次方程27120x x -+=的两个根，那么这个直角三角形的斜边长为_______________．18．在实数范围内因式分解：231x x --=_______．19．用换元法解方程221x x -﹣21x x -＝1，设y ＝21x x-，那么原方程可以化为关于y 的整式方程为_____．20．一元二次方程2320x x -+=的两根为1x ，2x ，则12x x +=________．三、解答题21．2020年，受新冠疫情影响，众多学校开展了“停课不停学”的线上教学活动，因此，手写板的需求量大幅上升．某网店抓住时机销售A ，B 两款手写板，A 型手写板的单价为360元，B 型手写板的单价为240元．（1）商家在1月共销售两种型号手写板600个，若A 型手写板的销售额不低于B 型手写板销售额的3倍，求1月A 型手写板至少售出多少个？（2）该商家在2月继续销售这两种型号的手写板并适当的进行了调整，A 型手写板的售价降低了13a%．B 型手写板的销价不变．结果A 型手写板的销售量在1月最低销售量的基础上增加了43a%，B 型手写板的销售量在一月保证A 最低销量的基础上增加了15a%，结果2月两种手写板的总销售额比1月两种手写板的总销售额增加了35a%，求a 的值． 22．一个直角三角形的两条直角边的和是7cm ，面积是26cm ，求两条直角边的长． 23．2020年年末，大丰迈入高铁时代，建设部门打算对高铁站广场前一块长为20m ，宽为8m 的矩形空地进行绿化，计划在其中间修建两块相同的矩形绿地（图中阴影部分），若它们的面积之和为102m 2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，问人行通道的宽度是多少米？24．2019年年底以来，“新冠疫情在全球肆虐，由于我国政府措施得当，疫情得到控制．而某些国家不够重视，导致疫情持续蔓延．若某国一社区开始有2人感染发病，未加控制，结果两天后发现共有50人感染发病．（1）求每位发病者平均每天传染多少人？（2）若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，再过一天发病人数会超过200人吗？25．阅读下列材料：已知实数x ，y 满足()()22221163x y x y +++-=，试求22x y +的值．解：设22x y a +=，则原方程变为(1)(1)63a a +-=，整理得2163a -=，264a =，根据平方根意义可得8a =±，由于220x y+，所以可以求得228x y +=．这种方法称为“换元法”，用一个字母去代替比较复杂的单项式､多项式，可以达到化繁为简的目的．根据阅读材料内容，解决下列问题：（1）已知实数x ，y 满足(223)(223)27x y x y +++-=，求x y +的值．（2）已知a ，b 满足方程组22223212472836a ab b a ab b ⎧-+=⎨++=⎩；求112a b +的值；（3）填空：已知关于x ，y 的方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是95x y =⎧⎨=⎩，则关于x ，y 的方程组21111122222222a x a x b y c a a x a x b y c a ⎧-+=-⎨-+=-⎩的解是_______． 26．解方程（1）(3)26x x x +=+；（2）22350x x --=【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】直接利用已知将原式变形进而解方程得出答案．【详解】解：由题意可得：21171x x x +-=+，则（x+1）2-2（x-1）=7，解得：x=±2．故选：A ．【点睛】此题主要考查了解一元二次方程，正确将原式变形是解题关键．2．C解析：C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系分别求出b ，c 的值即可得到结论．【详解】解：∵关于x 的方程220x bx c ++=的根为12x =-，23x =， ∴121222b c x x x x +=-=， ∴232322b c -+=--⨯=，，即b=-2，c=-12 ∴21214b c +=--=-．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=-b a ，x 1•x 2=c a． 3．C解析：C【分析】由一元二次方程根与系数的关系，得到1a b +=-，然后求出22022a a +=，然后代入计算，即可得到答案．【详解】解：∵a ，b 是方程220220x x +-=的两个实数根，∴1a b +=-，22022a a +=，∴222()()a a b a a a b ++=+++2022(1)=+-2021=．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行解题．4．A解析：A【分析】先转换成一元二次方程，再用根的判别式判断即可．【详解】解：根据题意，方程x *1＝0为：2210x x --=，∵2(2)4(1)8∆=--⨯-=＞0，∴方程有两个不相等的实数根；故选：A ．【点睛】本题考查了新定义运算和一元二次方程的根的判别式，解题关键是理解题意，把方程转化为一元二次方程，再用根的判别式判断．5．B解析：B【分析】根据根的判别式计算即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程()21210k x x +-+=有实数根， ∴()244410b ac k ∆=-=-+≥，10k +≠，∴4440k --≥，1k ≠-，解得：0k ≤，1k ≠-；故答案选B ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，准确计算是解题的关键．6．C解析：C【分析】患变异新冠状病毒的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，则第一轮传染了x 个人，第二轮作为传染源的是(x+1)人，则传染x(x+1)人，根据共有121人感染列方程即可．【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，依题意得1+x+x(1+x)=121，即(1+x)2=121，故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用-传播问题，要注意的是患变异新冠状病毒的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，人数应该累加．7．C解析：C【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程是一元二次方程，根据定义解答即可．【详解】A 、是一元一次方程，不符合题意；B 、是二元一次方程，不符合题意；C 、是一元二次方程，符合题意；D 、是二元二次方程，不符合题意；故选：C ．【点睛】此题考查一元二次方程，熟记定义是解题的关键．8．A解析：A【分析】将α代入方程220x x --=，即可得22αα=+，即可推出22()22αβαβαβαβ+-=+-+，再由韦达定理即可求出结果．【详解】将α代入方程220x x --=得：220αα--=，即22αα=+∴2222()22αβαβαβαβαβαβ+-=++-=+-+．∵α、β是方程的两个根， ∴111αβ-+=-=，221αβ-==-． ∴()2212(2)27αβαβ+--=-⨯-+=．故选：A ．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系以及代数式求值．熟知韦达定理公式是解答本题的关键．9．B解析：B【分析】根据方程有实数根得到．【详解】由题意得：0∆≥，即244(2)0a -⨯⨯-≥，且0a ≠，解得2a ≥-且0a ≠，故选：B ．【点睛】此题考查根据一元二次方程根的情况求参数，掌握一元二次方程根的判别式与根的个数的三种情况是解题的关键． 10．A解析：A【分析】因为游泳池的长为xm ，那么宽可表示为（x-10）m ，根据面积为300，即可列出方程．【详解】解：因为游泳池的长为xm ，那么宽可表示为（x-10）m ；则根据矩形的面积公式：x （x-10）=300；故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，掌握“矩形面积=长×宽”是关键．11．A解析：A【分析】两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得到答案.【详解】∵29190x x -+=，∴2919x x -=-，则2818191944x x -+=-+，即29524x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故选：A.【点睛】此题考查配方法解一元二次方程，掌握配方法的计算方法是解题的关键.12．C解析：C【分析】关于x 的一元二次方程2310x x m +-+=有两个实数根，即判别式△=24b ac - ≥0，即可得到关于m 的不等式，从而求得m 的范围；【详解】∵ 关于x 的一元二次方程2310x x m +-+=有两个实数根，∴ ()214131m ∆=-⨯⨯-+≥0，解得：m≥14，故选：C ．【点睛】本题考查了根的判别式，用到的知识点是一元二次方程根的情况与判别式△的关系，正确掌握根与判别式的关系是解题的关键．二、填空题13．-421【分析】将常数项移到方程的右边两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案【详解】解：∵x2-8x-5=0∴x2-8x=5则x2-8x+16=5+16即（x-4）2=21∴a=解析：-4，21【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．【详解】解：∵x 2-8x-5=0，∴x 2-8x=5，则x 2-8x+16=5+16，即（x-4）2=21，∴a=-4，b=21，故答案为：-4，21．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．14．【分析】根据矩形的性质求解即可；【详解】根据题意可知：宽为长为∴；故答案是【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用准确分析列方程是解题的关键解析：()()21310290x x --=【分析】根据矩形的性质求解即可；【详解】根据题意可知：宽为()102x m -，长为()213x m -，∴()()21310290x x --=；故答案是()()21310290x x --=．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，准确分析列方程是解题的关键．15．4【分析】先把x=0代入（m-3）x2+6x+m2-7m+12=0得m2-7m+12=0再解关于m 的方程然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的m 的值【详解】解：把x=0代入（m-3）x2+6x+m解析：4【分析】先把x=0代入（m-3）x 2+6x+m 2-7m+12=0得m 2-7m+12=0，再解关于m 的方程，然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的m 的值．【详解】解：把x=0代入（m-3）x 2+6x+m 2-7m+12=0得m 2-7m+12=0，解得m 1=4，m 2=3，∵m-3≠0，即：m≠3∴m 的值为4．故答案为：4．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定义．16．或【分析】分两种情况讨论利用等边三角形的性质和勾股定理可求解【详解】解：当点D 在AC 的左侧时设AB 与CD 交于点E ∵△ACD 是等边三角形∴AC=AD=CD=4∠DAC=60°又∵∠BAC=30°∴∠D 解析：232-或423-【分析】分两种情况讨论，利用等边三角形的性质和勾股定理可求解．【详解】解：当点D 在AC 的左侧时，设AB 与CD 交于点E ，∵△ACD 是等边三角形，∴AC=AD=CD=4，∠DAC=60°，又∵∠BAC=30°，∴∠DAE=∠BAC=30°，∴AB ⊥CD ，∵∠BAC=30°，∴CE=12AC=2，AE=22224223AC EC -=-=， ∴BE=AB-AE=423-；当点D 在AC 的右侧时，过点B 作BE ⊥CD ，交DC 的延长线于点E ，连接BD ，∵△ACD 是等边三角形，∴AC=AD=CD=AB=4，∠DAC=60°，∴∠BAD=90°，∴22161642AB AD =+=+∵AB=AC ，∠BAC=30°，∴∠ACB=75°， ∴∠BCE=180°-∠ACD-∠ACB=45°， ∵BE ⊥CE ，∴∠BCE=∠CBE=45°，∴BE=CE ，∵BD 2=BE 2+DE 2，∴32=BE 2+（CE+4）2，∴BE=232-，综上所述：点B 到CD 的距离为32或423-．故答案为：32-或423-【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 17．5或4【分析】解方程可得直角三角形的两边是34然后分这两边都是直角边和边长为4为直角边两种情况解答即可【详解】解：（x-3）（x-4）=0x-3=0x-4=0∴方程的根为34∴直角三角形的两边为34解析：5或4．【分析】解方程27120x x -+=可得直角三角形的两边是3、4，然后分这两边都是直角边和边长为4为直角边两种情况解答即可．【详解】解：27120x x -+=（x-3）（x-4）=0x-3=0，x-4=0∴方程的根为3、4∴直角三角形的两边为3、4；当两边有一条边是直角边时，斜边长为4．故答案为5或4．【点睛】本题主要考查勾股定理、解一元二次方程等知识点，正确的解一元二次方程和分类讨论成为解答本题的关键．18．【分析】令x2-3x-1=0求出方程的两个根即可把多项式x2-3x-1因式分解【详解】解：令x2-3x-1=0∵a=1b=-3c=-1∴b2-4ac=(-3)2-4×1×（-1）=13＞0∴∴故答案解析：(-x x 【分析】令x 2-3x-1=0，求出方程的两个根，即可把多项式x 2-3x-1因式分解．【详解】解：令x 2-3x-1=0，∵a=1，b=-3，c=-1，∴b 2-4ac=(-3)2-4×1×（-1）=13＞0，∴x =∴23331()(2x 2+----=x x x故答案为：(-x x 【点睛】此题主要考查了实数范围内分解因式，熟练掌握利用公式法解一元二次方程是解答本题的关键．19．y2+y ﹣2＝0【分析】可根据方程特点设y ＝则原方程可化为﹣y ＝1化成整式方程即可【详解】解：方程﹣＝1若设y ＝把设y ＝代入方程得：﹣y ＝1方程两边同乘y 整理得y2+y ﹣2＝0故答案为：y2+y ﹣2解析：y 2+y ﹣2＝0【分析】可根据方程特点设y ＝21x x-，则原方程可化为2y ﹣y ＝1，化成整式方程即可．【详解】解：方程221x x -﹣21x x-＝1，若设y ＝21x x-，把设y ＝21x x-代入方程得：2y ﹣y ＝1，方程两边同乘y ，整理得y 2+y ﹣2＝0．故答案为：y 2+y ﹣2＝0．【点睛】本题主要考查用换元法解分式方程，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．20．3【分析】根据一元二次方程的根与系数关系两根之和等于代入求值即可【详解】解：∵一元二次方程的两根为∴故答案为：3【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数关系知道一元二次方程的两根之和等于两根之积等于是解析：3【分析】根据一元二次方程的根与系数关系，两根之和等于b a-，代入求值即可．【详解】解：∵一元二次方程2320x x -+=的两根为1x ，2x ， ∴12331b x x a -+=-=-=，故答案为：3．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数关系，知道一元二次方程的两根之和等于b a -，两根之积等于c a是解题关键．三、解答题21．（1）A 型手写板至少售出400个；（2）60a =．（1）设A 型手写板售出x 个，则B 型手写板售出（600-x ）个，根据题意列出不等式求解即可；（2）根据售价×销量=销售额，别表示出A 型手写板和B 型手写板的销售额相加等于总销售额列出方程求解即可．【详解】解：（1）设A 型手写板售出x 个，则B 型手写板售出（600-x ）个，根据题意3603240(600)x x ≥⨯-，解得400x ≥，故A 型手写板至少售出400个；（2）由（1）得，A 型手写板售出400个，B 型手写板售出200个，根据题意可知1413360(1%)400(1%)240200(1%)(400360200240)(1%)3355a a a a -⨯++⨯+=⨯+⨯+解得：60a =或0a =（舍去）．所以60a =．【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用．根据题意找出等量或者不等量关系，列出方程（不等式）是解题关键．（2）中计算过程较为复杂，可先领%y a =，求出y 后，再求a ．22．3cm ，4cm【分析】首先设一条直角边为xcm ，然后根据三角形的面积列出方程，从而求出x 的值，得出答案．【详解】解：设一条直角边为xcm ，则另一条直角边的长为(7)cm x -，根据题意得： 1(7)62x x -=，整理得: 27120x x -+=，解得：123,4x x ==，当3x =时，74x -=．当4x =时，73x -=．答：这两条直角边的长分别为3cm 和4cm ．【点睛】本题考查一元二次方程在几何图形中运用，掌握根据面积列一元二次方程，及其解方程的方法．23．1根据矩形的面积和为102平方米列出一元二次方程求解即可．【详解】解：设人行通道的宽度为x 米，根据题意得，（20﹣3x ）（8﹣2x ）＝102，解得：x 1＝1，x 2293=（不合题意，舍去）．答：人行通道的宽度为1米．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，利用两块矩形的面积之和为102m 2得出等式是解题关键．24．（1）4人；（2）会【分析】（1）设每位发病者平均每天传染x 人，然后根据一开始有两人，经过两天后变为50人列出方程，即可求解；（2）利用（1）结果，结合第二天总人数计算即可求解．【详解】（1）设每位发病者平均每天传染x 人，由题意得，22(1)50x +=．解得：14x =，26x =-（不合题意，舍去）答：每位发病者平均每天传染4个人；（2）50(1)505250x ⨯+=⨯=．答：若疫情得不到有效控制，再过一天发病人数会超过200人．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，属于传播类问题，关键是根据等量关系列出方程．25．（1）±3；（2）54±；（3）45x y =⎧⎨=⎩或25x y =-⎧⎨=⎩【分析】（1）设22x y a +=，则原方程变为(3)(3)27a a +-=，解之求得a 的值，继而可得x y +的值；（2）设a ²+4b ²=x ，ab=y ，可将原方程组变形为二元一次方程组，解出x 、y 的值再代入即可.（3）将原方程组变为21112222(1)(1)a x b y c a x b y c ⎧-+=⎨-+=⎩，由题意得出2(1)95x y ⎧-=⎨=⎩，即可得出答案．【详解】解：（1）设22x y a +=，则原方程变为(3)(3)27a a +-=，整理，得：2927a -=，即236a =，解得：6a =±，则226x y +=±，3x y ∴+=±；（2）令224a b x +=，ab y =，则原方程变为：3247236x y x y -=⎧⎨+=⎩，解之得：172x y =⎧⎨=⎩， ∴22417a b +=，2ab =，∴()22224417825a b a ab b +=++=+=， ∴25a b +=±， ∴1125224b a a b ab ++==±；（3）由方程组21111122222222a x a x b yc a a x a x b y c a ⎧-+=-⎨-+=-⎩，得21111122222222a x a x a b y c a x a x a b y c ⎧-++=⎨-++=⎩，整理，得：21112222(1)(1)a x b y c a x b y c ⎧-+=⎨-+=⎩，方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是95x y =⎧⎨=⎩， ∴方程组21112222(1)(1)a x b y c a x b y c ⎧-+=⎨-+=⎩的解是：2(1)95x y ⎧-=⎨=⎩， 13x ∴-=±，且5y =，解得：45x y =⎧⎨=⎩或25x y =-⎧⎨=⎩．【点睛】本题主要考查换元法解方程、方程组及因式分解，根据方程和代数式的特点设出合适的新元是解题的关键．26．（1）122,3x x ==-；（2）152x =；21x =- 【分析】（1）用因式分解法解方程即可；（2）用公式法解方程即可．【详解】解：（1）(3)26x x x +=+， (3)2(3)0x x x +-+=，(2)(3)0x x -+=，20x -=或30x +=，122,3x x ==-；（2）22350x x --=，2,3,5a b c ==-=-，224(3)42(5)49b ac -=--⨯⨯-=，x == 125,12x x ==-．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是根据方程的特征选择恰当的方法进行解方程．。

(好题)初中数学九年级数学上册第二单元《一元二次方程》测试(包含答案解析)

一、选择题1．下列方程是关于x 的一元二次方程的是（）A ．ax 2＋bx ＋c ＝0B ．211x x +=C ．x 2＋2x ＝y 2－1D ．3（x ＋1）2＝2（x ＋1） 2．下列一元二次方程中无实数根的是（）A ．22x x =B ．(1)(3)0x x ++=C ．2(2)5x -=D ．210x x -+=3．若关于x 的方程2210mx x +-=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（） A ．1m <- B ．1m >-且0m ≠C ．1m >-D ．1m ≥-且0m ≠4．下列方程中，是一元二次方程的是（） A ．12x +=B ．21x y +=C ．243x x -=D ．35-=xy 5．若关于x 的一元二次方程2(2)20a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值为（） A ．−2B ．−1C ．1D ．2 6．定义运算：21a b ab ab =--☆．例如：23434341=⨯-⨯-☆．则方程10x =☆的根的情况为（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．只有一个实数根 7．关于x 的一元二次方程2430x x -+=的实数根有（） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 8．若一个等腰三角形的一边为4，另外两边为2120x x m -+=的两根，则m 的值为（）A ．32B ．36C ．32或36D ．不存在 9．若关于x 的一元二次方程()()212110m x m x ---+=有两个相等的实数根，则m 的值是（）A ．－1或2B ．1C ．2D ．1或2 10．某小区附近新建一个游泳馆，馆内矩形游泳池的面积为2300m ，且游泳池的宽比长短10m ．设游泳池的长为xm ，则可列方程为（）A ．()10300x x -=B ．()10300x x +=C ．()2210300x x -= D ．()2210300x x +=11．如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（）个； ①方程220x x --=是倍根方程；②若()()20x mx n -+=是倍根方程，则22450m mn n ++=；③若p 、q 满足2pq =，则关于x 的方程230px x q ++=是倍根方程；④若方程20ax bx c ++=是倍根方程，则必有229b ac =．A ．1B ．2C ．3D ．412．一元二次方程2x ＝﹣3x 的根是（）A ．x ＝﹣3B ．x ＝0C ．1x ＝0，2x ＝﹣3D ．1x ＝0，2x ＝3二、填空题13．若关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +c ＝0有一个根是2，则另一根是_____． 14．等腰ABC 中，4AB AC ==，30BAC ∠=︒，以AC 为边作等边ACD △，则点B 到CD 的距离为________．15．在实数范围内分解因式：251x x -+=___________．16．关于x 的一元二次方程2(3)10k x x -++=有实数根，则k 的最大整数值为________．17．若x=2是一元二次方程x 2+x+c=0的一个解，则c 2=__．18．已知12x x 、是方程2310x x --=的根，则式子21122x x x -+的值为_____．19．已知关于x 的一元二次方程2(1)210a x x --+=有两个不相等的实数根，则a 的取值范是__________________．20．α是一元二次方程2240x x --=的一个根，2αβ+=，则22ββ-的值是________．三、解答题21．计算（1）113m m -+ （2）()221x x x -=-（3）()()312255x x x x -=++ 22．解方程（1）2(3)5(3)60x x +-++= （2） x 2﹣6x ﹣9＝023．解方程：（1）22150x x --=；（2）()()421321x x x +=+24．已知方程2 420x x m +-=的一个根比另一个根小4，求这两个根和m 的值． 25．已知关于x 的方程22(21)10x m x m +-+-=．（1）m 为何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）若抛物线y =22(21)1x m x m +-+-交x 轴于A ，B 两点，且AB =3，求m 的值．26．已知关于x 的一元二次方程()2251310mx m x m --+-=．（1）求证：无论m 为任意实数，方程总有实数根．（2）如果这个方程的根的判别式的值等于1，求m 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，是整式方程，含有一个未知数；【详解】A 、20ax bx c ++=当a=0时，不是一元二次方程，故A 错误；B 、2112x x+= ，不是整式方程，故B 错误； C 、2221x x y +=- ，含有两个未知数，故C 错误； D 、()()23121x x +=+ 是一元二次方程，故D 正确；故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，正确理解一元二次方程的概念是解题的关键． 2．D解析：D【分析】由因式分解法、偶次方的非负性和根的判别式依次判断即可；【详解】解：A.由22x x =可得(2)0x x -=，由因式分解法可知有两个实数根，故不符合题意；B.(1)(3)0x x ++=，由因式分解法可知有两个实数根，故不符合题意；C. 2(2)5x -=，50>，有两个实数根，故不符合题意；D. 224(1)41130b ac ∆=-=--⨯⨯=-<，没有实数根，符合题意．故选：D ．【点睛】本题主要考查了根的判别式Δ=b 2−4ac 以及配方法和因式分解法解一元二次方程，牢记Δ<0时，方程有两个相等的实根是解题的关键．3．B解析：B【分析】利用判别式大于零和二次项系数不为零求解即可．【详解】∵方程2210mx x +-=有两个不相等的实数根，∴m≠0，且△＞0，∴m≠0，且224m +＞0，∴1m >-且0m ≠，故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练运用判别式并保证二次项系数不能为零是解题的关键．4．C解析：C【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程是一元二次方程，根据定义解答即可．【详解】A 、是一元一次方程，不符合题意；B 、是二元一次方程，不符合题意；C 、是一元二次方程，符合题意；D 、是二元二次方程，不符合题意；故选：C ．【点睛】此题考查一元二次方程，熟记定义是解题的关键．5．C解析：C【分析】根据一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出a 的范围，确定出所求即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2(2)20a x x --+=有实数根，∴△＝1−8（a−2）≥0，且a−2≠0，解得：a≤178且a≠2，则整数a 的最大值为1．故选C ．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，以及一元二次方程的定义，掌握一元二次方程根与判别式的关系是解本题的关键．6．A解析：A【分析】根据新定义运算法则以及利用△＞0可判断方程根的情况．【详解】解：由题意可知：1☆x=x2-x-1=0，∴△=1-4×1×（-1）=5＞0，∴有两个不相等的实数根故选：A．【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是正确理解新定义运算法则，本题属于基础题型．7．C解析：C【分析】根据一元二次方程根的判别式判断即可．【详解】解：一元二次方程2430-+=的根的判别式为：x xb2-4ac=（-4）2-4×3×1=4>0，所以，方程有两个不相等的实数根，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，求出根的判别式的值是解题关键．8．B解析：B【分析】分为两种情况：①腰长为4，②底边为4，分别求出即可．【详解】分为两种情况：①当腰长是4时，设底边为a，依题意得：a+4=12，解得：a=8，即三边为4，4，8，不能构成三角形，舍去；②底边为4，设腰长为b，依题意得：b+b=12，∴腰长为b=6，即三边为4，6，6，∴m=6×6=36；故选：B．本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，等腰三角形的性质等知识点，掌握根与系数的关系并能进行分类讨论是解此题的关键．涉及等腰三角形的问题容易漏解或多解，要特别注意．9．C解析：C【分析】关于x 的一元二次方程有两个相等的实数根，说明判别式=0，且要注意二次项系数不为0，解出m 的值即可．【详解】关于x 的一元二次方程()()212110m x m x ---+=有两个相等的实数根，则()()22141010m m m ⎧⎡⎤∆=----=⎪⎣⎦⎨-≠⎪⎩，解得：11m =（舍去），22m =∴m=2，故选：C ．【点睛】本题是对一元二次方程的考查，熟练掌握一元二次方程的解法及根的判别式是解决本题的关键．10．A解析：A【分析】因为游泳池的长为xm ，那么宽可表示为（x-10）m ，根据面积为300，即可列出方程．【详解】解：因为游泳池的长为xm ，那么宽可表示为（x-10）m ；则根据矩形的面积公式：x （x-10）=300；故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，掌握“矩形面积=长×宽”是关键．11．C解析：C【分析】①求出方程的解，再判断是否为倍根方程；②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m 、n 之间的关系，而m 、n 之间的关系正好适合；③当p ，q 满足2pq =，则()()2310px x q px x q ++=++=，求出两个根，再根据2pq =代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程；④用求根公式求出两个根，当122x x =，或122x x =时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．解：①解方程220x x --=（x-2）（x+1）=0，∴x-2=0或x+1=0，解得，12x =，21x =-，得，122x x ≠，∴方程220x x --=不是倍根方程；故①不正确；②若()()20x mx n -+=是倍根方程，12x =，因此21x =或24x =，当21x =时，0m n +=，当24x =时，40m n +=，()()224540m mn n m n m n ∴++=++=，故②正确；③∵pq=2，则：()()2310px x q px x q ++=++=， 11x p∴=-，2x q =-， 2122x q x p ∴=-=-=，因此是倍根方程，故③正确；④方程20ax bx c ++=的根为：1x =2x =，若122x x =，则222b b a a-+--=，即2022b b a a-+---⨯=，0=，0b ∴+=，b ∴=-，()2294b ac b ∴-=，229b ac ∴=．若122x x =2=，20=，0=，0b ∴-+=，b ∴=，()2294b b ac ∴=-，229b ac ∴=．故④正确，∴正确的有：②③④共3个．故选：C ．【点睛】本题考查一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键．12．C解析：C【分析】移项，利用因式分解求解即可.【详解】解：∵2x ＝﹣3x ，移项，得2x +3x ＝0，分解因式，得x （x+3）＝0，∴x ＝0，或x+3＝0，解得1x ＝0，2x ＝﹣3，故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，根据方程的特点，选择因式分解法求解是解题的关键.二、填空题13．【分析】利用一元二次方程根与系数关系可直接求得另一根【详解】解：设关于x 的一元二次方程x2﹣3x+c ＝0的另一根为a 根据根与系数关系可得a+2=3解得a=1；故答案为：1【点睛】本题考查了一元二次方解析：【分析】利用一元二次方程根与系数关系可直接求得另一根．【详解】解：设关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +c ＝0的另一根为a ，根据根与系数关系可得，a+2=3，解得，a=1；故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数关系，解题关键是熟知一元二次方程两根之和等于b a -． 14．或【分析】分两种情况讨论利用等边三角形的性质和勾股定理可求解【详解】解：当点D 在AC 的左侧时设AB 与CD 交于点E ∵△ACD 是等边三角形∴AC=AD=CD=4∠DAC=60°又∵∠BAC=30°∴∠D解析：232-或423-【分析】分两种情况讨论，利用等边三角形的性质和勾股定理可求解．【详解】解：当点D 在AC 的左侧时，设AB 与CD 交于点E ，∵△ACD 是等边三角形，∴AC=AD=CD=4，∠DAC=60°，又∵∠BAC=30°，∴∠DAE=∠BAC=30°，∴AB ⊥CD ，∵∠BAC=30°，∴CE=12AC=2，22224223AC EC -=-= ∴BE=AB-AE=423-；当点D 在AC 的右侧时，过点B 作BE ⊥CD ，交DC 的延长线于点E ，连接BD ，∵△ACD 是等边三角形，∴AC=AD=CD=AB=4，∠DAC=60°，∴∠BAD=90°，∴22161642AB AD =+=+∵AB=AC ，∠BAC=30°，∴∠ACB=75°，∴∠BCE=180°-∠ACD-∠ACB=45°，∵BE ⊥CE ，∴∠BCE=∠CBE=45°，∴BE=CE ，∵BD 2=BE 2+DE 2，∴32=BE 2+（CE+4）2，∴BE=232-，综上所述：点B 到CD 的距离为32或423-．故答案为：32-或423-【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 15．【分析】先求出0的根进而即可分解因式【详解】∵0时∴故答案是：【点睛】本题主要考查实数范围内的分解因式掌握一元二次方程的解法是解题的关键解析：(52152122x x --- 【分析】先求出251x x -+=0的根，进而即可分解因式．【详解】∵251x x -+=0时，521x ±=∴255251(2x x x x -+=--+-，故答案是：(x x -【点睛】本题主要考查实数范围内的分解因式，掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 16．2【分析】由方程有实数根得到根的判别式的值大于等于0求出不等式的解集得到k 的范围即可确定出k 的最大整数值【详解】∵x 的一元二次方程有实数根∴∴∵∴∴k 的最大整数值为2故答案为：2【点睛】本题考查了一解析：2【分析】由方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0，求出不等式的解集得到k 的范围，即可确定出k 的最大整数值．【详解】∵x 的一元二次方程有实数根，∴0∆≥，∴14(3)0k ∆=--≥，134k ≤， ∵30k -≠，∴3k ≠，∴k 的最大整数值为2.故答案为：2．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根的判别式△＝b 2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 17．36【分析】根据一元二次方程的解的定义把x=2代入方程x2+x+c=0即可求得c 的值进而求得c2的值【详解】解：依题意得22+2+c=0解得c=-6则c2=（-6）2=36故答案为：36【点睛】本题解析：36【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=2代入方程x 2+x+c=0即可求得c 的值，进而求得c 2的值．【详解】解：依题意，得22+2+c=0，解得，c=-6，则c 2=（-6）2=36．故答案为：36．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．18．4【分析】由是方程的根可得再将式子变形为即可求出答案【详解】解：∵是方程的根∴即∴∴原式＝1＋3＝4故答案为：4【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系熟练掌握一元二次方程根与系数的关系并与代数解析：4【分析】由12x x 、是方程2310x x --=的根，可得21131x x -=，123x x +=，再将式子21122x x x -+变形为211123()x x x x -++，即可求出答案．【详解】解：∵12x x 、是方程2310x x --=的根，∴211310x x --=，即21131x x -=，123x x +=，∴22112111223()x x x x x x x -+-++=，∴原式＝1＋3＝4．故答案为：4．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系并与代数式变形相结合解题是解题的关键．19．且【分析】方程有两不等的实数根得到判别式大于零求出a 的取值范围同时方程是一元二次方程二次项系数不为零【详解】根据题意得a-1≠0且△=(﹣2)2﹣4(a-1)＞0解得a ＜2且a≠1故答案为a ＜2且a解析：2a <且1a ≠【分析】方程有两不等的实数根，得到判别式大于零，求出a 的取值范围，同时方程是一元二次方程，二次项系数不为零．【详解】根据题意得a -1≠0且△=(﹣2)2﹣4(a -1)＞0，解得a ＜2且a ≠1．故答案为a ＜2且a ≠1．【点睛】本题主要考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根的判别式△=b 2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．解答这类题目时一定要注意方程的定义，其最高次项系数是否可以为0．20．4【分析】利用根与系数的关系确定为原一元二次方程的另一个根即可求出的大小【详解】设原一元二次方程的另一个根为根据根与系数的关系可知根据题意∴为原一元二次方程的另一个根∴即故答案为：4【点睛】本题考查解析：4【分析】利用根与系数的关系确定β为原一元二次方程的另一个根，即可求出22ββ-的大小．【详解】设原一元二次方程的另一个根为2x ，根据根与系数的关系可知22==21x α-+-，根据题意=2αβ+，∴β为原一元二次方程的另一个根，∴ 224=0ββ--，即22=4ββ-．故答案为：4．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系．掌握一元二次方程根与系数关系的公式并确定β为原一元二次方程的另一个根是解答本题的关键．三、解答题21．(1)()33m m +(2)12x x ==3）x=14 【分析】（1）先通分然后计算；（2）先去括号，移项，把方程变为一元二次方程的一般形式，再用公式法求解；（3）方程两边同时乘以2x(x+5)后变为一元一次方程，求得一元一次方程的解后再检验即可得到原方程的解．【详解】解：（1）原式=()()333m m m m m m +-++ =()()3333m m m m m m +-=++；（2）原方程可变为：22510x x -+=，∵2a =，5b =-，1c =，∴()2245421170b ac =-=--⨯⨯=>，∴x =∴12x x ==；（3）方程两边同时乘以2x(x+5)可得：3x-2(x+5)=4，解之可得：x=14，经检验，当x=14时，2x(x+5)=28×19≠0，∴x=14是原方程的解．【点睛】本题考查分式运算及方程的求解，熟练掌握异分母分式的加减法则、用公式法解一元二次方程及分式方程的求解方法是解题关键．22．（1）121,0x x =-=；（2） 1x ，2x【分析】（1）用因式分解法解得()()32330x x +-+-=，化为10,0x x +== 解一次方程即可；（2）用配方法配方得()2x-3=18，直接开平方得x-3=±【详解】解：（1）2(3)5(3)60x x +-++=， ()()32330x x +-+-=，10,0x x +==，121,0x x =-=；（2） x 2﹣6x ﹣9＝0，()2x-3=18，x-3=±x=3±，1x ，2x【点睛】本题考查一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的各种解法，并能灵活选择恰当方法解方程是解题关键．23．（1）13x =-，25x =；（2）112x =-，234x = 【分析】（1）运用因式分解法分解成两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）移项后运用因式分解法分解成两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】解：（1）22150x x --=，()()530-+=x x ，30x +=，50x -=，∴13x =-，25x =．（2）()()421321x x x +=+()()4213210x x x +-+=，()()21430x x +-=，210x +=或430x -=，所以112x =-，234x =．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键． 24．10x =，24x =-，0m =【分析】设两根为x 1和x 2，根据根与系数的关系得x 1+x 2，x 1·x 2，由|x 2-x 1|=4两边平方，得(x 1+x 2)2-4x 1·x 2=16，代入解得m ，此时方程为x 2+4x=0，解出两根 .【详解】解：x 2+4x-2m=0设两根为x 1和x 2，则△=16+8m>0，且x 1+x 2=-4，x 1·x 2=-2m 由于|x 2-x 1|=4两边平方得x 12-2x 1·x 2+x 22=16即(x 1+x 2)2-4x 1·x 2=16所以16+8m=16解得：m=0此时方程为x 2+4x=0，解得 x 1=0 ， x 2=−4 .【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是灵活利用一元二次方程根与系数的关系，以及完全平方公式进行变形，求出两根．25．（1）m ＜54；（2）-1．【分析】（1）求出判别式△，令△＞0，解不等式即可求解；（2）设A （x 1，0），B （x 2，0），则x 1+x 2=﹣2m +1，x 1x 2=m 2﹣1，利用两点间的坐标公式可得关于m 的方程，解方程即可．【详解】解：（1）由题意，得，⊿=（2m -1）2-4（m 2-1）=﹣4m +5＞0，解得，m ＜54 故当m ＜54时，方程有两个不相等的实数根；（2）设A （x 1，0），B （x 2，0），则x 1+x 2=﹣2m +1，x 1x 2=m 2﹣1，AB =|x 1﹣x 2=，∴3=.解得，m =﹣1（m ＜54）故m 的值为﹣1．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练掌握根的判别式，根与系数的关系，两点间的坐标公式．26．（1）见解析；（2）m=2【分析】（1）先计算判别式的值得到△＝2(51)8(31)m m m ---，配方得△＝（m−1）2，再根据非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论．（2）利用判别式的定义得到△＝224(31)8(31)1b ac m m -=---=，解m 的方程，再利用一元二次方程的定义确定m 的值，即可．【详解】（1）关于x 的一元二次方程()2251310mx m x m --+-=． ∵2224(51)8(31)(1)0b ac m m m m -=----≥=，∴无论m 为任何实数，方程总有实根；（2）由题意得，224(31)8(31)1b ac m m -=---=，解得10m =，22m =，而0m ≠，∴2m =．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的根与△＝b 2-4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．。

人教版数学九年级上册第二单元测试试卷(含答案)(2)

人教版数学9年级上册第2单元·时间：120分钟满分：120分班级__________姓名__________得分__________一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）若将双曲线y=2x向下平移3个单位后，交抛物线y＝x2于点P（a，b），则a的取值范围是（）A．0＜a＜12B．12＜a＜1C．1＜a＜2D．2＜a＜32．（3分）已知抛物线y＝﹣（x﹣m）2+2m过不同的两点A（a，n），B（b，n），则当点C（a+b，m）在该函数图象上时，m的值为（）A．0B．1C．0或1D．±13．（3分）抛物线y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+mx+n与x轴只有一个交点（x1，0）．下列式子中正确的是（）A．x1﹣x2＝m B．x2﹣x1＝m C．m（x1﹣x2）＝n D．m（x1+x2）＝n4．（3分）如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象全部在x轴的上方，那么下列判断中一定正确的是（）A．a＞0，b＞0B．a＞0，b＜0C．a＞0，c＜0D．a＞0，c＞0 5．（3分）已知：二次函数y＝﹣x2+x+6，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线y＝m与新图象有2个交点时，m的取值范围是（）A．m＜―254B．m≤―254或m＝0C．m＜―254或m＝0D．―254＜m＜06．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）中，x与y的部分对应值如表：x…﹣10124…y…﹣10.510.5﹣3.5…有下列结论：①函数有最大值，且最大值为1；②b＝1；③若x 0满足a x 02+bx 0+c =0，则2＜x 0＜3或﹣1＜x 0＜0；④若方程ax 2+bx +c +m ＝0有两个不等的实数根则m ＜﹣1；其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．47．（3分）二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如表：x …﹣2﹣1012…y ＝ax 2+bx +c…tm﹣2﹣2n…且当x =―12时与其对应的函数值y ＞0，则下列各选项中不正确的是（）A ．abc ＞0B ．m ＝nC ．a ＜83D ．图象的顶点在第四象限8．（3分）二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x ＝2，方程a （x +1）（x ﹣5）＝﹣3的两根为x 1和x 2，且x 1＜x 2，则下列结论正确的是（）A ．x 1＜﹣1＜5＜x 2B ．x 1＜﹣1＜x 2＜5C ．﹣1＜x 1＜5＜x 2D ．﹣1＜x 1＜x 2＜59．（3分）已知二次函数y ＝x 2+bx +c ，当m ≤x ≤m +1时，此函数最大值与最小值的差（）A ．与m ，b ，c 的值都有关B ．与m ，b ，c 的值都无关C ．与m ，b 的值都有关，与c 的值无关D ．与b ，c 的值都有关，与m 的值无关10．（3分）已知二次函数y ＝2x 2﹣4x ﹣1在0≤x ≤a 时，y 取得的最大值为15，则a 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．（3分）如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，9），B（1，1），则方程ax2﹣bx﹣c＝0的解是．12．（3分）已知抛物线y＝x2与直线y＝（k+2）x+1﹣2k的两个不同交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2）．若x1和x2均为整数，则实数k的值为．13．（3分）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降米，水面宽8米．14．（3分）如图，抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点D （m，m+1）是抛物线上的点，则点D关于直线AC的对称点的坐标为．15．（3分）已知函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为．三、解答题（共8小题，满分75分）16．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）若抛物线y＝x2﹣（2k+1）x+k2+k与x轴相交于A、B两点，当OA+OB＝5时，求k的值．17．（9分）如图，抛物线y=―12x2+2x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）证明△ABC为直角三角形．18．（9分）某科技公司生产一款精密零件，每个零件的成本为80元，当每个零件售价为200元时，每月可以售出1000个该款零件，若每个零件售价每降低5元，每月可以多售出100个零件，设每个零件售价降低x元，每月的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数关系式；（2）为了更好地回馈社会，公司决定每销售1个零件就捐款n（0＜n≤6）元作为抗疫基金，当40≤x≤60时，捐款后每月最大的销售利润为135000元，求n的值．19．（9分）在平面直角坐标系中，已知抛物线L1：y=ax2+bx+c经过A（﹣2，0），B(1，―94)两点，且与y轴交于点C，点B是该抛物线的顶点．（1）求抛物线L1的表达式；（2）将L1平移后得到抛物线L2，点D，E在L2上（点D在点E的上方），若以点A，C，D，E为顶点的四边形是正方形，求抛物线L2的解析式．20．（9分）如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c 经过B，C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）E是直线BC上方抛物线上的一动点，当点E到直线BC的距离最大时，求点E 的坐标；（3）Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，B，C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．21．（10分）如图，隧道的截面由抛物线DEC和矩形ABCD构成，矩形的长AB为4m，宽BC为3m，以DC所在的直线为x轴，线段CD的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．y轴是抛物线的对称轴，最高点E到地面距离为4米．（1）求出抛物线的解析式．（2）在距离地面134米高处，隧道的宽度是多少？（3）如果该隧道内设单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高3.6米，宽2.4米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．22．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+ax与直线y＝﹣x+b交于点A（4，0）和点C．（1）求a和b的值；（2）求点C的坐标，并结合图象写出不等式﹣x2+ax＞﹣x+b的解集；（3）点M是直线AB上的一个动点，将点M向右平移2个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标x M的取值范围．23．（10分）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与x轴交于A，B两点，与y轴交点为（0，﹣3），顶点为C．（1）求a的值；（2）求顶点C的坐标；（3）抛物线的对称轴与x轴交于点P，连接BC，BC的垂直平分线MN交直线PC 于点M，交BC于点N，求线段PM的长．参考答案一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．B；2．C；3．B；4．D；5．C；6．C；7．C；8．A；9．C；10．D；二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．x1＝﹣3，x2＝1．12．213．14 914．（﹣5，﹣4）或（0，1）15．1或―4 5三、解答题（共8小题，满分75分）16．（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+k）＝1＞0，∴无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：由x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，解得：x1＝k，x2＝k+1，∴A（k，0），B（k+1，0），∵OA+OB＝5，∴|k|+|k+1|＝5，①当k＜﹣1时，|k|+|k+1|＝5变为﹣k﹣（k+1）＝5，解得：k＝﹣3；②当﹣1≤k＜0时，|k|+|k+1|＝5变为﹣k+k+1＝5，此方程无解；③当k≥0时，|k|+|k+1|＝5变为k+k+1＝5，解得：k＝2．综上所述，k的值为﹣3或k＝2．17．（1）解：对于抛物线y=―12x22x+2，当y＝0时，则―12x2+2x+2=0，解得x1=―x2＝当x＝0时，y＝2，∴A（―0），B（0），C（0，2）．（2）证明：连接AC，BC，∵OA OB＝AOC＝∠BOC＝90°，∴AC22+22＝6，BC2＝（2+22＝12，∴AC2+BC2＝6+12＝18；∵AB＝（―∴AB2＝（2＝18，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形．18．解：（1）设每个零件售价降低x元，则每个零件的实际售价为（200﹣x）元，每月的实际销售量为（1000+x5×100），则w＝（200﹣x﹣80）（1000+x5×100）＝20x2十1400x+120000，∵x≥0200―x―80≥0，∴0≤x≤120，∴w与x之间的函数关系式为w＝﹣20x2+1400x+120000（0≤x≤120）；（2）设捐款后的实际利润为p元，则p＝﹣20x2+1400x+120000﹣（1000+x5×100）n，整理得：p＝﹣20x2+（1400﹣20n）x+120000﹣1000n，则p是x的二次函数，其对称轴为直线x=―140020n2×(20)=70n2，∵0＜n≤6，∴32≤70n2＜35，∵﹣20＜0，∴函数图象开口向下，当40≤x≤60时，p随x的增大而减小，∴当x＝40时，p有最大值135000，即﹣20×402+40（1400﹣20n）+120000﹣1000n＝135000，解得：n＝5．19．解：（1）设抛物线L1的表达式是y=a(x―1)2―9 4，∵抛物线L1过点A（﹣2，0），∴0=a(―2―1)2―9 4，解得a=1 4，∴y=14(x―1)2―94．即抛物线L1的表达式是y=14(x―1)2―94；（2）令x＝0，则y＝﹣2，∴C（0，﹣2）．Ⅰ．当AC为正方形的对角线时，如图所示，∵AE3＝E3C＝CD3＝D3A＝2，∴点D3的坐标为（0，0），点E3的坐标为（﹣2，﹣2）．设y=14x2+bx，则―2=14×22―2b，解得b=32即抛物线L2的解析式是y=14x2+32x．Ⅱ．当AC为边时，分两种情况，如图，第①种情况，点D1，E1在AC的右上角时．∵AO＝CO＝E1O＝D1O＝2，∴点D1的坐标为（0，2），点E1的坐标为（2，0）．设y=14x2+bx+2，则0=14×22+2b+2，解得：b=―3 2，即抛物线L2的解析式是y=14x2―32x+2．第②种情况，点D2E2在AC的左下角时，过点D2作D2M⊥x轴，则有△AD2M≌△AD1O，∴AO＝AM，D1O＝D2M．过E2作E2N⊥y轴，同理可得，△CE2N≌△CE1O，∴CO＝CN，E1O＝E2N．则点D2的坐标为（﹣4，﹣2），点E2的坐标为（﹣2，﹣4），设y=14x2+bx+c，则―2=14×16―4b+c―4=14×4―2b+c，解得b=12c=―4，即抛物线L2的解析式是y=14x2+12x―4．综上所述：L2的表达式为：y=14x2+32x，y=14x2―32x+2或y=14x2+12x―4．20．解：（1）∵直线y＝﹣x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，∴点B，C的坐标分别为B（0，4），C（4，0），把点B（0，4）和点C（4，0）代入抛物线y＝ax2+x+c，得：16a+4+c=0，c=4，，解之，得a=―12，c=4，，∴抛物线的解析式为y=―12x2+x+4．（2）∵BC为定值，∴当△BEC的面积最大时，点E到BC的距离最大．如图，过点E作EG∥y轴，交直线BC于点G．设点E的坐标为(m，―12m2+m+4)，则点G的坐标为（m，﹣m+4），∴EG=―12m2+m+4―(―m+4)=―12m2+2m，∴S△BEC=12EG⋅OC=12×4(―12m2+2m)=―m2+4m=―(m―2)2+4，∴当m＝2时，S△BEC最大．此时点E的坐标为（2，4）．（3）存在．由抛物线y=―12x2+x+4可得对称轴是直线x＝1．∵Q是抛物线对称轴上的动点，∴点Q的横坐标为1．①当BC为边时，点B到点C的水平距离是4，∴点Q到点P的水平距离也是4．∴点P的横坐标是5或﹣3，∴点P的坐标为(5，―72)或(―3，―72)；②当BC为对角线时，点Q到点C的水平距离是3，∴点B到点P的水平距离也是3，∴点P的坐标为(3，52 )．综上所述，在抛物线上存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是(5，―72)或(―3，―72)或(3，52)．21．解：（1）根据题意得：D （﹣2，0），C （2，0），E （（0，1），设抛物线的解析式为y ＝ax 2+1（a ≠0），把D （﹣2，0）代入得：4a +1＝0，解得a =―14，∴抛物线的解析式为y =―14x 2+1；（2）在y =―14x 2+1中，令y =134―3=14得：14=―14x 2+1，解得x∴距离地面134米高处，隧道的宽度是；（3）这辆货运卡车能通过该隧道，理由如下：在y =―14x 2+1中，令y ＝3.6﹣3＝0.6得：0.6=―14x 2+1，解得x ＝±5，∴|2x |≈2.53（m ），∵2.53＞2.4，∴这辆货运卡车能通过该隧道．22．解：（1）∵抛物线y ＝﹣x 2+ax 的图象过点A （4，0），∴0＝﹣42+a ×4，解得a ＝4，∵直线y ＝﹣x +b 的图象过点A （4，0），∴0＝﹣4+b ，解得b ＝4；（2）由（1）得，抛物线解析式为y ＝﹣x 2+4x ，一次函数解析式为y ＝﹣x +4，联立方程组y =―x 2+4x y =―x +4，解得：x =1y =3或x =4y =0（舍去），∴点C 坐标为（1，3），由图象得不等式﹣x 2+ax ＞﹣x +b 的解集为：1＜x ＜4；（3）∵抛物线y ＝﹣x 2+4x 的对称轴为直线x ＝2，∴C 点关于对称轴的对称点坐标为（3，2），又∵抛物线y ＝﹣x 2+4x 的顶点坐标为（2，4），∴当M （0，4）时，N 点坐标为（2，4），此时抛物线与线段MN 有一个交点，当M （4，0）时，此时抛物线与线段MN 有一个交点，当M （1，3）时，此时抛物线与线段MN 有两个交点，∴0≤x M ≤4且x M ≠1．23．解：（1）∵抛物线y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a 与y 轴交点为（0，﹣3），∴﹣3a ＝﹣3，∴a ＝1，即a 的值为1；（2）∵a ＝1，∴抛物线y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a ＝x 2﹣2x ﹣3＝（x ﹣1）2﹣4，∴顶点C 的坐标为（1，﹣4）；（3）∵顶点C 的坐标为（1，﹣4），∴物线的对称轴为直线x ＝1，∴P （1，0），∵抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴交于A ，B 两点，令y ＝0，则x 2﹣2x ﹣3＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3，∴A （﹣1，0），B （3，0），∴BP ＝2，PC ＝4，∴BC =∵MN 垂直平分BC ，∴CN =12BC MNC ＝90°，∴∠BPC ＝∠MNC ．又∠MCN ＝∠BCP ，∴△MCN ∽△BCP ，∴CN CP =CM CB ，即4CM ，∴CM =52，∴PM ＝PC ﹣CM ＝4―52=32．即线段PM 的长为32．。

九年级上册数学第二章单元测试卷(含答案)

九年级上册数学第二章单元测试卷(含答案)[时间：120分钟分值：150分]一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求)1．方程( x ＋1)( x －2)＝0的根是()A． x ＝－1 B． x ＝2C． x 1 ＝1， x 2 ＝－2 D． x 1 ＝－1， x 2 ＝22．用配方法解一元二次方程 x 2 ＋8 x ＋7＝0，则方程可变形为()A．( x －4) 2 ＝9 B．( x ＋4) 2 ＝9—C．( x －8) 2 ＝16 D．( x ＋8) 2 ＝573．已知α 是一元二次方程 x 2 － x －1＝0较大的根，则下面对α 的估计正确的是()A．0＜α ＜1 B．1＜α ＜C．＜α ＜2 D．2＜α ＜34．已知关于 x 的一元二次方程3 x 2 ＋4 x －5＝0，下列说法正确的是(B) A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根C．没有实数根：D．无法确定5．若 x ＝－2 是关于 x 的一元二次方程 x 2 － ax ＋ a 2 ＝0的一个根，则A 的值为( )A．1或4 B．－1或－4C．－1或4 D．1或－46．某县为了大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造和更新.2016年县政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计2018年投资亿元人民币，那么每年投资的增长率为()A．20%或－220% B．40%C．120% D．20%7．三角形两边长分别为3和6，第三边是方程 x 2 －13 x ＋36＝0的根，则三角形的周长为()-A．13 B．15C．18 D．13或188．从正方形的铁片上截去2 c m 宽的长方形，余下的面积是48 c m 2 ，则原来的正方形铁片的面积是()A．8 c m 2 B．32 c m 2C．64 c m 2 D．96 c m 29．若关于 x 的方程 x 2 ＋2 x ＋ A ＝0不存在实数根，则 A 的取值范围是()A． A ＜1 B． A ＞1C．A ≤1 D．A ≥1（10． x 1 ， x 2 是关于 x 的一元二次方程 x 2 － mx ＋ m －2＝0的两个实数根，是否存在实数 m 使＋＝0成立则正确的结论是()A． m ＝0 时成立 B． m ＝2 时成立C． m ＝0 或2时成立 D．不存在二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)11．已知 x 1 ＝3是关于 x 的一元二次方程 x 2 －4 x ＋ C ＝0的一个根，则方程的另一个根 x 2 ＝__ ____．12．一小球以15 m/s的速度竖直向上抛出，它在空中的高度 h (m)与时间 t (s)满足关系式： h ＝15 t －5 t 2 ，当 t ＝_________时，小球高度为10 m．小球所能达到的最大高度为________m.13．若关于 x 的一元二次方程 x 2 － x ＋ m ＝0有两个不相等的实数根，则 m 的值可能是_____________(写出一个即可)．14．菱形的两条对角线长分别是方程 x 2 －14 x ＋48＝0的两实根，则菱形的面积为________．—15．已知关于 x 的一元二次方程 x 2 ＋(2 k ＋1) x ＋ k 2 －2＝0的两根为 x 1 ， x 2 ，且( x 1 －2)( x 1 － x 2 )＝0，则 k 的值是___________．16．如果关于 x 的方程 Ax 2 ＋2 x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数 A 的取值范围是________________．三、解答题(本大题共9个小题，共96分)17．(16分)解方程：(1)( x ＋8) 2 ＝36；;(2) x (5 x ＋4)－(4＋5 x )＝0；，(3) x 2 ＋3＝3( x ＋1)；(4)2 x 2 － x －1＝0(用配方法)．(18．(8分)已知关于 x 的方程 x 2 ＋ x ＋ n ＝0有两个实数根－2， m ，求 m ， n 的值．!19．(10分)先化简，再求值： ÷ ，其中 m 是方程x 2 ＋2 x －3＝0的根．。

人教版初中数学九年级数学上册第二单元《二次函数》测试卷(包含答案解析)

一、选择题1．抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象大致如图所示，下列说法：①2a +b ＝0；②当﹣1＜x ＜3时，y ＜0；③若（x 1，y 1）（x 2，y 2）在函数图象上，当x 1＜x 2时，y 1＜y 2；④9a +3b +c ＝0，其中正确的是（）A ．①②④B ．①④C ．①②③D ．③④ 2．对于二次函数()()2140y ax a x a =+->，下列说法正确的是（）①抛物线与x 轴总有两个不同的交点；②对于任何满足条件的a ，该二次函数的图象都经过点()4,4和()0,0两点； ③若该函数图象的对称轴为直线0x x =，则必有012x <<；④当2x ≥时，y 随x 的增大而增大，则102a <≤A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④ 3．已知()()()112233,,,,,x y x y x y 是抛物线245y x x =--+图像上的任意三点，在以下哪个取值范围中，分别以1y 、2y 、3y 为长的三条线段不一定能围成一个三角形的是（） A ．5122x -<< B ．7122x -<<- C ．30x -<< D ．41x -<<-4．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴是直线1x =-．下列结论：①240b ac ->，②0abc <，③420a b c -+>．其中正确的是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 5．一次函数y ＝ax +c 与二次函数y ＝ax 2+bx +c 在同一个平面坐标系中图象可能是（）A ．B ．C ．D ．6．已知关于x 的二次函数y=（x-h ）2+3，当1≤x≤3时，函数有最小值2h ，则h 的值为（）A ．32B ．32或2C ．32或6D ．32或2或6 7．把抛物线231y x =+向上平移2个单位，则所得抛物线的表达式为（）A ．233y x =+B ．231y x =-C ．()2321y x =++D ．()2321y x =-+ 8．如图是抛物线y 1＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A （1，3），与x 轴的一个交点B （4，0），直线y 2＝mx +n （m ≠0）与抛物线交于A 、B 两点．下列结论：①2a +b ＝0；②abc ＞0；③方程ax 2+bx +c ＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x 轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x ＜4时，有y 2＜y 1；⑥a +b ≥m （am +b ）（m 实数）其中正确的是（）A ．①②③⑥B ．①③④C ．①③⑤⑥D ．②④⑤ 9．抛物线()2512y x =--+的顶点坐标为（）A ．()1,2-B ．()1,2C ．()1,2-D ．()2,110．据省统计局公布的数据，安徽省2019年第二季度GDP 总值约为7.9千亿元人民币，若我省第四季度GDP 总值为y 千亿元人民币，平均每个季度GDP 增长的百分率为x ，则y 关于x 的函数表达式是（）A ．7.9(12)y x =+B ．27.9(1)y x =-C ．27.9(1)y x =+D ．27.97.9(1)7.9(1)y x x =++++ 11．若关于x 的不等式组232x a x a ≥+⎧⎨<-⎩有解，则函数21(3)4y x x a =--+-图象与x 轴的交点个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．1或2个 12．在平面直角坐标系中，将函数25y x =-的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的解析式是（）A ．25(1)3y x =-++B ．25(1)3y x =--+C ．25(1)3y x =-+-D ．25(1)3y x =---二、填空题13．对于抛物线243y x x =-+，当712x -<<时，关于x 的一元二次方程2430x x t -+-=有解，则t 的取值范围是 ______．14．已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次不等式220x x m -++>的解集为______________________．15．设A （﹣1，y 1），B （0，y 2），C （2，y 3）是抛物线y ＝﹣x 2+2a 上的三点，则y 1，y 2，y 3由小到大关系为_____．16．如图，抛物线()()13y a x x =+-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在B 的左侧），点C 为抛物线上任意一点．．．．（不与A ，B 重合），BD 为ABC 的AC 边上的高线，抛物线顶点E 与点D 的最小距离为1，则抛物线解析式为______．17．单行隧道的截面是抛物线形，且抛物线的解析式为21 3.258y x =-+，一辆车高3米，宽4米，该车________（填“能”或“不能”）通过该隧道． 18．若抛物线256y x x =--与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为_______________．19．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，与x 轴的一个交点B 的坐标为()1,0其图象如图所示，下列结论：①0abc <；②20a b -=；③当0y >时，1x >；④320b c +>；⑤当0x <时，y 随x 的增大而减小；其中正确的有____．（只填序号）20．将抛物线223y x x =---向右平移三个单位，再绕原点O 旋转180°，则所得抛物线的解析式____．三、解答题21．如图，抛物线2y x 2x 3=-++与x 轴交于A ，B 两点，交y 轴于点C ，点M 抛物线的顶点．（1）连接BC ，求BC 与对称轴MN 的交点D 坐标．（2）点E 是对称轴上的一个动点，求OE CE +的最小值．22．（1）若抛物线23y x x a =++与x 轴只有一个交点，求实数a 的值；（2）已知点()3,0在抛物线()233y x k x k =-++-上，求此抛物线的对称轴． 23．某商场新上市一款运动鞋，每双进货价为150元，投入市场后，调研表明：当销售价为200元时，平均每天能售出10双；而当销售价每降低5元时，平均每天就能多售出5双．（1）商场要想尽快回收成本，并使这款运动鞋的销售利润平均每天均达到675元，那么这款运动鞋的销售价应定为多少元？（2）请用配方法求：这款运动鞋的销售价定为多少元时，可使商场平均每天获得的利润最大？最大利润是多少元？24．如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为y平方米．（1）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）若墙的最大可用长度为9米，求此时当AB为多少米时长方形花圃的面积最大，最大面积是多少？25．已知二次函数y＝﹣x2+4x+5，完成下列各题：（1）求出该函数的顶点坐标．（2）求出它的图象与x轴的交点坐标．（3）直接写出：当x为何值时，y＞0．26．某超市经销一种商品，每千克成本为40元，经试销发现，该种商品的每天销售量y （千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：销售单价x（元/千克）45505560销售量y（千克）70605040y x（2）为了尽可能提高销量且保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】①由图示知，对称轴是直线x ＝3122b a-=-，则2a+b ＝0，故说法正确； ②由图示知，当﹣1＜x ＜3时，y ＜0，故说法正确；③若（x 1，y 1）（x 2，y 2）在函数图象上，当1＜x 1＜x 2时，y 1<y 2，故说法错误； ④由图示知，当x ＝3时，y ＝0，即9a+3b+c ＝0，故说法正确．综上所述，正确的说法是①②④．故选：A ．【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．2．B解析：B【分析】①由y=0，一元二次方程()214=0ax a x +-，判别式()2=14a ∆-=0即可判断①；②抛物线中c=0，恒过原点，当x=4，函数值为4即可判断②；③抛物线对称轴为：122x a =-当11222a<-<时，解得102a <<，求出12a >即可判断③；④0a >，对称轴为：1222x a =-<，由抛物线开口向上，在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而增大即可判断④．【详解】①由y=0，()214=0ax a x +-，()2=14a ∆-，当1=04a >时，()2=14=0a ∆-有一个交点，为此抛物线与x 轴总有两个不同的交点不正确； ②由()()2140y ax a x a =+->中c=0，抛物线恒过原点（0，0），当x=4，()4=1166144416y a a a a ⨯-=++=-，抛物线恒过（4，4），为此对于任何满足条件的a ，该二次函数的图象都经过点()4,4和()0,0两点正确； ③()()2140y ax a x a =+->对称轴为：1441122222b a a x a a a a --=-=-==-，当11222a <-<时，解得102a <<， ∴12a >，为此当12a >，若该函数图象的对称轴为直线0x x =，则必有012x <<正确； ④()()2140y ax a x a =+->对称轴为：122x a=-， ∵0a >，抛物线开口向上，在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而增大，由此1222x a =-≤，解得10a>即0a >，为此当2x ≥时，y 随x 的增大而增大，则102a <≤不正确．故选择：B ．【点睛】本题考查抛物线与一元二次方程的关系，抛物线过定点，抛物线的对称轴，抛物线的增减性等问题，掌握抛物线的性质以及一元二次方程根的判别式是解题关键．3．A解析：A【分析】先将二次函数解析式化为顶点式，分别根据自变量x 的取值范围确定y 的范围，再根据任意两边之和是否大于第三边即可判断．【详解】解：245y x x =--+=()229x -++， ∴抛物线的对称轴为直线2x =-且抛物线开口向下，A 选项，当5122x -<<时，1194y <≤，当12y y ，取3，3y 取9时，123y y y +<，两边之和小于第三边，不能构成三角形，故符合题意； B 选项，当7122x -<<-时，2794y <≤，2727+944>，所以以1y 、2y 、3y 为长的三条线段能围成一个三角形，故不符合题意；C 选项，当30x -<<时，59y <≤，同理三条线段能围成一个三角形，故不符合题意；D 选项，当41x -<<-时，59y <≤，同理三条线段能围成一个三角形，故不符合题意．故选：A ．【点睛】本题主要考查二次函数的取值范围问题，涉及三角形成立的条件，解题的关键是确定y 的取值范围，再根据任意两边之和是否大于第三边判断．4．B解析：B【分析】先由抛物线与x 轴的交点个数判断出结论①，再根据二次函数图像的开口方向，及与y 轴的交点位置，对称轴的位置分别判断出,,a b c 的符号可判断结论②,最后用2x =-时，抛物线再x 轴上方判断结论③．【详解】由图象知,抛物线与x 轴有两个交点，方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根，∴b 2-4ac>0,故①正确，由图象知抛物线的开口向下0a <，抛物线与y 轴交于正半轴0c >，对称轴直线为1x =-， ∴102b a-=-<，可推出0b <， ∴0abc >，故②错误，由图象知,当x=-2与x=0对应的y 值相同，0y >，∴420a b c -+>，故③正确．故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次函数图形与系数的关系，抛物线的开口方向，与y 轴的交点，抛物线的对称轴，掌握抛物线的性质是解题的关键5．B解析：B【分析】根据两个函数图象与y 轴交于同一点可排除选项A ，再根据抛物线的开口方向和对应一次函数的增减性即可做出选择．【详解】解：∵一次函数和二次函数都经过y 轴上的（0，c ），∴两个函数图象交于y 轴上的同一点，故A 不符合题意；当a ＞0时，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象开口向上，一次函数y ＝ax +c 中y 值随x 值的增大而增大，故D 不符合题意；当a ＜0时，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象开口向上，一次函数y ＝ax +c 中y 值随x 值的增大而减小，故C 不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查二次函数及一次函数的图象与性质，熟练掌握两个函数图象与系数的关系是解答的关键．6．C解析：C【分析】依据二次函数的增减性分1≤h≤3、h ＜1、h ＞3三种情况，由函数的最小值列出关于h 的方程，解之可得．【详解】∵()2=+3y x h -中a=1＞0，∴当x ＜h 时，y 随x 的增大而减小；当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大；①若1≤h≤3，则当x=h 时，函数取得最小值2h ，即3=2h ，解得：h= 32； ②若h ＜1，则在1≤x≤3范围内，x=1时，函数取得最小值2h ，即()2132h h -+=，解得：h=2＞1（舍去）；③若h ＞3，则在1≤x≤3范围内，x=3时，函数取得最小值2h ，即()2332h h -+=，解得：h=2（舍）或h=6，综上，h 的值为32或6，故选C ．【点睛】本题主要考查二次函数的最值，熟练掌握分类讨论思想和二次函数的增减性是解题的关键． 7．A解析：A【分析】根据二次函数图象的平移规律解答即可．【详解】解：把抛物线231y x =+向上平移2个单位可得233y x =+，故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的平移变换，熟悉二次函数的平移规律是解题的关键． 8．C解析：C【分析】根据拋物线的开口方向以及对称轴为x ＝1，即可得出a 、b 之间的关系以及ab 的正负，由此得出①正确；根据抛物线与y 轴的交点在y 轴正半轴上，可知c 为正结合a ＜0、b ＞0即可得出②错误；将抛物线往下平移3个单位长度可知抛物线与x 轴只有一个交点从而得知③正确；根据拋物线的对称性结合抛物线的对称轴为x ＝1以及点B 的坐标，即可得出抛物线与x 轴的另一交点坐标，④正确；⑤根据两函数图象的上下位置关系即可判断y 2＜y 1，故⑤正确；当1x ＝时y 1有最大值，a ＋b ＋c ≥am 2＋bm ＋c ，即可判断⑥正确．【详解】解：由抛物线对称轴为直线x ＝2b a-，从而b ＝﹣2a ，则2a ＋b ＝0，故①正确；抛物线开口向下，与y轴相交于正半轴，则a＜0，c＞0，而b＝﹣2a＞0，因而abc＜0，故②错误；方程ax2＋bx＋c＝3从函数角度可以看做是y＝ax2＋bx＋c与直线y＝3求交点，从图象可以知道，抛物线顶点为（1，3），则抛物线与直线有且只有一个交点故方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根，故③正确；由抛物线对称性，与x轴的一个交点B（4，0），则另一个交点坐标为（﹣2，0），故④错误；由图象可知，当1＜x＜4时，y2＜y1，故⑤正确；因为x＝1时，y1有最大值，所以a＋b＋c≥am2＋bm＋c，即a＋b≥m（am＋b）（m实数），故⑥正确．故选C．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像、一次函数图像、二次函数的图象与系数的关系等知识考查知识点较多．解答的关键在于读懂图象信息，掌握二次函数知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．9．B解析：B【分析】由于给的是二次函数顶点式的表达式，可直接写出顶点坐标．【详解】解：∵y=-5（x-1）2+2，∴此函数的顶点坐标是（1，2）．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数顶点式的表示方法．10．C解析：C【分析】根据平均每个季度GDP增长的百分率为x，第三季度季度GDP总值约为7.9（1+x）元，第四季度GDP总值为7.9（1+x）2元，则函数解析式即可求得．【详解】解：设平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是：y=7.9（1+x）2．故选：C．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题关键．11．C解析：C【分析】根据解不等式组的一般步骤得到a 的取值范围，然后求出函数21(3)4y x x a =--+-的判别式，根据根的判别式的正负即可得到图象与x 轴的交点个数．【详解】解：∵关于x 的不等式组232x a x a ≥+⎧⎨<-⎩有解， ∴3a-2＞a+2，即a ＞2，令y=0，21(3)4x x a --+-=0， △=（-1）2-4×（a-3）×（-14）=a-2， ∵a ＞2，∴a-2＞0，∴函数图象与x 轴的交点个数为2．故选：C ．【点睛】解答此题要熟知以下概念：（1）解不等式组应遵循的原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．（2）一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的解与二次函数y=ax 2+bx+c 的关系．12．B解析：B【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】由“左加右减”的原则可知，抛物线25y x =-的图象向右平移1个单位所得函数图象的关系式是：()251y x =--；由“上加下减”的原则可知，抛物线()251y x =--的图象向上平移3个单位长度所得函数图象的关系式是()2513y x =--+．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的图象平移，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．二、填空题13．﹣1≤t ＜8【分析】结合直角坐标系将一元二次方程转化成二次函数与一次函数图象相交的问题确定二次函数在上的取值范围即可求解【详解】解：当时关于x 的一元二次方程有解∴即在图象上和在相交∵当x=2时有最小解析：﹣1≤t ＜8【分析】结合直角坐标系，将一元二次方程转化成二次函数与一次函数图象相交的问题，确定二次函数 21=43y x x -+在712x -<<上的取值范围即可求解．【详解】解：当712x -<<时，关于x 的一元二次方程2430x x t -+-=有解， ∴243x x t -+= 即在图象上21=43y x x -+和2=y t 在712x -<<相交， ∵()21=21y x -- 当x=2时，1y 有最小值﹣1当x ＝﹣1是，1y 有最大值8 即当712x -<<是，﹣1≤y 1＜8 ∴﹣1≤t ＜8故答案为：﹣1≤t ＜8【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数交点的问题，解题的关键是正确理解题意，将方程转化为二次函数与一次函数相交的问题． 14．【分析】根据二次函数的对称性求出二次函数图象与轴的另一个交点再写出x 轴下方部分的x 的取值范围即可【详解】由图可知对称轴为直线所以二次函数图象与x 轴的另一个交点坐标为（0）由图象可知：函数值大于0的的解析：13x【分析】根据二次函数的对称性求出二次函数图象与x 轴的另一个交点，再写出x 轴下方部分的x 的取值范围即可．【详解】由图可知，对称轴为直线1x =，所以，二次函数图象与x 轴的另一个交点坐标为（1-，0），由图象可知：函数值大于0的x 的取值范围为：13x，所以，220x x m -++>的解集为13x．故答案为：13x．【点睛】本题考查了二次函数与不等式，主要利用了二次函数的对称性以及数形结合的思想，难点在于先求出函数图象与x 轴的另一个交点坐标．15．y3＜y1＜y2【分析】先根据抛物线解析式得到抛物线的开口方向和对称轴然后根据二次函数的性质通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小【详解】∵∴抛物线开口向下对称轴为y 轴∵而B （0y2）在对称轴解析：y 3＜y 1＜y 2【分析】先根据抛物线解析式得到抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小．【详解】∵22y x a =-+，∴抛物线开口向下，对称轴为y 轴，∵而B （0，y 2）在对称轴上，A （﹣1，y 1）到对称轴的距离比C （2，y 3）近，∴y 3＜y 1＜y 2．故答案为：y 3＜y 1＜y 2．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．16．【分析】根据题意可确定出AB 两点的坐标从而求出对称轴为x=1依题意要使DE 最小则D 点必在对称轴上从而根据题意画出图形求解即可【详解】解：如图所示使DE 最小则D 点必在对称轴x=1上过点E 作EF ⊥AB 则解析：2339424y x x =-- 【分析】根据题意可确定出A ，B 两点的坐标，从而求出对称轴为x=1，依题意要使DE 最小则D 点必在对称轴上，从而根据题意画出图形求解即可．【详解】解：如图所示，使DE 最小则D 点必在对称轴x=1上，过点E 作EF ⊥AB ，则AF=BF ，∴AD=BD ，∵BD 为ABC 的AC 边上的高线，∴∠ADB=90°，∴∠DBF=∠BDF=45°，∴DF=BF=2．当x=1时，y=-4a ，∵抛物线开口向上，∴a>0，∴EF=4a ．∵DE=1，∴4a-2=1解得：a=34． ∴抛物线解析式为3(1)(3)4y x x =+- 即2339424y x x =-- 故答案为：2339424y x x =--．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，结图象求最值问题，利用好数形结合找出最小值的点是解题的关键．17．不能【分析】根据题意将x=2代入求出相应的y 值然后与车高比较大小即可解答本题【详解】解：将x=2代入y=-x2+325得y=-×22+325=275∵275＜3∴该车不能通过隧道故答案为：不能【点睛解析：不能．【分析】根据题意，将x=2代入求出相应的y 值，然后与车高比较大小即可解答本题．【详解】解：将x=2代入y=-18x 2+3.25，得 y=-18×22+3.25=2.75， ∵2.75＜3，∴该车不能通过隧道，故答案为：不能．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 18．7【分析】根据抛物线y=x2-5x-6与x 轴分别交于AB 两点可以令y=0求得点AB 的坐标从而可以求得AB 的长【详解】解：∵y=x2-5x-6∴y=0时x2-5x-6=0解得x1=-1x2=6∵抛物线解析：7【分析】根据抛物线y=x 2-5x-6与x 轴分别交于A 、B 两点，可以令y=0求得点A 、B 的坐标，从而可以求得AB 的长．【详解】解：∵y=x 2-5x-6，∴y=0时，x 2-5x-6=0，解得，x 1=-1，x 2=6．∵抛物线y=x 2-5x-6与x 轴分别交于A 、B 两点，∴点A 的坐标为(-1，0)，点B 的坐标为(6，0)，∴AB 的长为：6-(-1)=7．故答案为：7．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点，以及数轴上两点间的距离，解题的关键是明确抛物线与x 轴相交时，y=0．19．①②【分析】根据开口向上故；对称轴再y 轴的的左边根据同左异右故抛物线交y 轴的下方；对称轴为故有即抛物线与x 轴的交点有两个根据对称性可以得到交点为等信息利用这些信息进行答题【详解】解：根据开口向上故；解析：①②【分析】根据开口向上，故0a > ；对称轴再y 轴的的左边，根据“同左异右”，故0b > ,抛物线交y 轴的下方；对称轴为1x =-，故有12b a-=- 即2b a =，抛物线与x 轴的交点有两个，根据对称性可以得到交点为121,3x x ==-等信息，利用这些信息进行答题．【详解】解：根据开口向上，故0a > ；对称轴再y 轴的的左边，根据“同左异右”，故0b > ,抛物线交y 轴的下方，故0c < ，因此0abc <①正确对称轴为1x =-，故有12b a-=- 即2b a = 故②20a b -=也正确由抛物线知道，抛物线与x 轴的交点有两个，根据对称性可以得到交点为121,3x x ==- 当当0y >时，图形上是在x 轴的上方，有1x >或者3x <- 故③错误当x=1是，由图可以知道0a b c ++= 即2220a b c ++= 由2b a =，便有320b c += 故④错误由图形可以知道当1x <-时，y 随x 的增大而减小，当1x ≥-时，y 随x 的增大而增大，故⑤错误故答案为①②【点睛】本题考查二次函数图像，从图像中获取信息是关键，20．【分析】先求出抛物线的顶点坐标再根据向右平移横坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标再根据旋转的性质求出旋转后的顶点坐标然后根据平移旋转只改变图形的位置不改变图形的大小和形状利用顶点式解析式写出即可【详解析：2(2)2y x =++【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，再根据旋转的性质求出旋转后的顶点坐标，然后根据平移、旋转只改变图形的位置不改变图形的大小和形状利用顶点式解析式写出即可．【详解】223y x x =---()22113x x =-+++-2(1)2x =-+-，所以，抛物线的顶点坐标为（-1，-2）．∵向右平移三个单位，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（2，-2）．∵再绕原点O 旋转180°，∴旋转后的抛物线的顶点坐标为（-2，2），且开口向上∴所得抛物线解析式为2(2)2y x =++．故答案为：2(2)2y x =++．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便．三、解答题21．（1）(1,2)D ；（2【分析】（1）先根据抛物线的解析式求出点B 、C 的坐标和对称轴，从而可得点D 的横坐标，再利用待定系数法求出直线BC 的函数解析式，然后将点D 的横坐标代入直线BC 的函数解析式即可得其纵坐标；（2）先根据二次函数的对称性可得点C 关于对称轴的对称点的坐标，然后根据两点之间线段最短、两点之间的距离公式求解即可得．【详解】（1）对于二次函数2y x 2x 3=-++，当0y =时，2230x x -++=，解得1x =-或3x =，则(1,0),(3,0)A B -，当0x =时，3y =，则(0,3)C ，二次函数2y x 2x 3=-++化成顶点式为2(1)4y x =--+，则二次函数的对称轴为1x =，点D 为BC 与二次函数的对称轴的交点，∴点D 的横坐标为1，设直线BC 的函数解析式为y kx b =+，将点(3,0),(0,3)B C 代入得：303k b b +=⎧⎨=⎩，解得13k b =-⎧⎨=⎩，则直线BC 的函数解析式为3y x =-+，将1x =代入得：132y =-+=，即点D 的坐标为(1,2)D ；（2）如图，作点C 关于对称轴MN 的对称点C '，连接C E '，由二次函数的对称性得：点C '一定在此二次函数的图象上，其纵坐标与点C 的纵坐标相同，且C E CE '=，则OE CE OE C E '+=+，由两点之间线段最短得：当点,,O E C '共线时，OE C E '+取最小值，最小值为OC '，设点C '的坐标为(,3)C a '，二次函数的对称轴为1x =，点C 的坐标为(0,3)C ，012a +∴=，解得2a =，即(2,3)C '，则最小值OC '==，故OE CE +【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、利用待定系数法求一次函数的解析式、两点之间线段最短等知识点，较难的是题（2），利用二次函数的对称性找出最小值是解题关键． 22．（1）94a =；（2）2x = 【分析】（1）由根的判别式进行计算，即可求出答案；（2）先求出k 的值，然后代入计算，即可求出对称轴．【详解】解：（1）抛物线23y x x a =++与x 轴只有一个交点， 0∴∆=，即940a -=， ∴94a =．（2）点()3,0在抛物线()233y x k x k =-++-上， ()203333k k ∴=-⨯++-，9k ∴=，∴抛物线的解析式为：23129y x x =-+-，∴对称轴为：1222(3)x =-=⨯-．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，二次函数的性质，解题的关键是掌握所学的知识，正确的求出参数的值．23．（1）商场要想尽快回收成本，这款运动鞋的销售价应定为165元；（2）这款运动鞋的销售价定为180元时，利润最大，最大利润是900元．【分析】（1）根据题意列方程即可得到结论；（2）根据销售利润=一双运动鞋的利润×销售运动鞋数量，一双运动鞋的利润=售价-进价，降低售价的同时，销售量就会提高，“一减一加”，根据每部的盈利×销售的数量=y ，即可列函数关系式；利用函数最值求法得出即可．【详解】解：（1）设这款运动鞋的销售价应定为x 元.200(150)(105)6755x x --+⨯= 解得：x 1=195，x 2=165因为商场想尽快回收成本，所以定价应为165元；（2）200(150)(105)5x y x -=-+⨯ 2(180)900x =--+∴当定价为180元时，获利最多，最大利润为900元．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，本题关键是找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．24．（1）()232408y x x x =-+<<；（2）当5x = 时，45max y =平方米．【分析】（1）花圃的面积＝AB×（篱笆长－3AB ），根据边长为正数可得自变量的取值范围；（2）先结合（1）及AD 不大于9可得自变量的取值范围，再根据二次函数图像性质，在自变量范围内变化取最值．【详解】解：（1）∵(2)·43S BC AB x x ==－， ∴2324y x x =-+，由题意00AB BC >>，，即02430x x >>，－，解得08x << ；（2）∵墙的最大可用长度为9米，即02439x <≤－，解得，58x ≤<，∴()232458y x x x -+=≤<，二次函数图像开口向下，对称轴为()24423x =-=⨯-， 58x ≤<在对称轴右侧，y 随着x 的增大而减小，∴当5x ＝时，长方形花圃的面积最大，235448=45y =+⨯-（-），∴当AB 为5米时，长方形花圃的面积最大，最大面积是45平方米．【点睛】本题主要考查实际问题与二次函数图形问题、二次函数的最值、一元一次不等式等．得到BC 边长的关系式和熟练掌握二次函数图像的性质是解答本题关键；得到自变量的取值是解本题的易错点．25．（1）（2，9）；（2）（5，0）、（﹣1，0）；（3）当﹣1＜x ＜5时，y ＞0．【分析】（1）由y=-x 2+4x+5=-（x-2）2+9即可求解；（2）令y=-x 2+4x+5=0，解得x=5或-1，即可求解；（3）a=-1＜0，则抛物线开口向下，即可求解．【详解】解：（1）y ＝﹣x 2+4x +5＝﹣（x ﹣2）2+9，则抛物线的顶点坐标为（2，9）；（2）令y ＝﹣x 2+4x +5＝0，∴()-5(1=0x x ++）解得x ＝5或﹣1，故图象与x 轴的交点坐标为（5，0）、（﹣1，0）；（3）∵a ＝﹣1＜0，故抛物线开口向下，故当﹣1＜x ＜5时，y ＞0．【点睛】【点睛】本题考查的是抛物线与x 轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．26．（1）2160y x =-+；（2）50元；（3）定价60元，最大利润800元．【分析】（1）利用待定系数法来求一次函数的解析式即可；（2）依题意可列出关于销售单价x 的方程，然后解一元二次方程组，得出解后根据x 求出对应的y ，即可求解；（3）利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可．【详解】（1）设y 与x 之间的函数表达式为y kx b =+（0k ≠），将表中数据（45，70）、（50，60）代入得：45705060k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：2160k b =-⎧⎨=⎩， ∴y 与x 之间的函数表达式为2160y x =-+；（2）由题意得：()()402160600x x --+=，整理得212035000x x -+=，解得125070x x ==，，∵要求尽可能提高销量，当150x =时，销量为70千克，当270x =时，销量为20千克 ∴270x =不合题意，舍去答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为50元/千克；（3）设当天的销售利润为w 元，则：()()402160w x x =--+22(60)800x =--+，∵﹣2＜0∴当60x =时，w 最大值=800．答：当销售单价定为60元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．。

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九年级数学上册第二单元练习题
1、在一次手工制作中，小明准备了一根长8米的铁丝，现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮小明制成方框吗？若能，请给出方法，并求出最大面积；若不能，请说明理由。

2、已知方程2240x x k -+=。

（1）当k ________时，方程有两个不相等的实数根。

（2）当k ________时，方程有两个相等的实数根。

（3）当k ________时，方程无实数根。

3、设1x 、2x 是方程22430x x +-=的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
（1）12(2)(2)x x ++；（2）
2112x x x x +
4、关于x 的方程2(6)860a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是________。

5、关于x 的方程2
(2)20ax a x -++=有两个相同的实数解，则a 的值是_________。

6、关于x 的方程2610x x k -++=的两个实数根是1x 、2x ，且221224x x +=，则k 的值是_______。

7、当m _________时，关于x 的方程21402x x m -+-
=有两个不相等的实数根。

8、关于x 的方程2(3)0x k x k +++=的一个根是2-，则另一个根是________。

9、有一个两位数等于其各位数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数。

10、有100米的装修材料，在一大厅中想围成一个矩形的面积不小于600平方米的健身
房，其中大厅有一面墙是50米，用这些材料怎样设计才能建成健身房？
11、
若2350p p --=，2350q q --=，且p q ≠，试求2211p q
+的值。

12、已知方程260x kx --=的两个根都是整数，则k 的值可以是( ) A 、1- B 、1 C 、5± D 、以上四个值中的任何一个
13、若一元二次方程22(4)60x kx x --+=无实数根，则k 的最小整数值是_________。

14、求证：不论k 取什么实数，方程2(6)4(3)0x k x k -++-=一定有两个不相等的实数根。

15、某商店将每件进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可以销售200件，现在采用提高商品售价减少销量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元，其销量就减少10件，问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？。

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