二项式定理优质课 PPT课件
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二项式定理优质课ppt课件
![二项式定理优质课ppt课件](https://img.taocdn.com/s3/m/e7bc555ad15abe23482f4dbb.png)
1
《观书有感》
朱熹,南宋著名理学家.
半亩方塘一鉴开, 天光云影共徘徊. 问渠那得清如许, 为有源头活水来.
2
探究1 推导 (a b)2的展开式.
(a b)2 (a b)(a b)
aaabbabb a2 2ab b2
问: 合并同类项前的展开式中,共有几项? 能利用分步乘法计数原理解释一下吗? 每项的次数为几次?
6
探究4:请分析 (a b)n的展开过程
(a b)n (a b)(ab)(ab)
n
项的形式: a n a n1b L a nk bk L bn
系数:
Cn0 Cn1
C
k n
Cnn
请利用组合的知识解释下 为什么a nk bk的系
数是
C
k n
呢?
7
二项式定理: 一般地,对于nN*,有:
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnkankbk Cnnbn
直接利用二项式定理
(2) 求二项展开式的第几项及其系数、二项式系数。
(3) 求二项展开式中含x的几次方的项的问题。
利用通项
14
1、巩固型作业: 课本36页 习题1.3 A组 1、3、4(1)(2)5
2、思维拓展型作业:(查阅相关资料)
(1)查阅有关杨辉一生的主要成就。
(2)探究二项式系数
Cn0,Cn1,Cn2 , ,Cnn 有何性质.
练习:(2 x)5
C50 25 C51 24 x C52 23 x2 C53 22 x3 C54 2x4 C55 x5 32 80x 80x2 40x3 10x4 x5
问:展开式中第四项为?第四项的系数为?
第四项的二项式系数为?
那么对于 (2 x)5 的展开式呢?
《观书有感》
朱熹,南宋著名理学家.
半亩方塘一鉴开, 天光云影共徘徊. 问渠那得清如许, 为有源头活水来.
2
探究1 推导 (a b)2的展开式.
(a b)2 (a b)(a b)
aaabbabb a2 2ab b2
问: 合并同类项前的展开式中,共有几项? 能利用分步乘法计数原理解释一下吗? 每项的次数为几次?
6
探究4:请分析 (a b)n的展开过程
(a b)n (a b)(ab)(ab)
n
项的形式: a n a n1b L a nk bk L bn
系数:
Cn0 Cn1
C
k n
Cnn
请利用组合的知识解释下 为什么a nk bk的系
数是
C
k n
呢?
7
二项式定理: 一般地,对于nN*,有:
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnkankbk Cnnbn
直接利用二项式定理
(2) 求二项展开式的第几项及其系数、二项式系数。
(3) 求二项展开式中含x的几次方的项的问题。
利用通项
14
1、巩固型作业: 课本36页 习题1.3 A组 1、3、4(1)(2)5
2、思维拓展型作业:(查阅相关资料)
(1)查阅有关杨辉一生的主要成就。
(2)探究二项式系数
Cn0,Cn1,Cn2 , ,Cnn 有何性质.
练习:(2 x)5
C50 25 C51 24 x C52 23 x2 C53 22 x3 C54 2x4 C55 x5 32 80x 80x2 40x3 10x4 x5
问:展开式中第四项为?第四项的系数为?
第四项的二项式系数为?
那么对于 (2 x)5 的展开式呢?
《二项式定理》课件3(9张PPT)
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1.二项式定理:
(a b)n
C
0 n
a
n
C
1 n
a
n1b
C
r n
a
n
r
b
r
C
n n
b
n
(n∈N*)。
特点:①二项展开式公有n+1项;
②二项展开式按a 的降幂和b 的升幂排列,且各
项中a和b的指数和都等于n;
③二项展开式各项的系数依次为
C
n0、C
n1、C
n2、C
n3、、C
C9r
32r9
9 3 r
x2
( x 2 )5 2x
求:有理项 第四项 第三项的系数
【题组四】
1.化简 (x 1)4 4(x 1)3 6(x 1)2 4(x 1) 1 x4。 2.化简 (x 1)4 4(x 1)3 6(x 1)2 4(x 1) 1 x4.
3.这些系数中每一个可看作由它肩上的两个数字 和 得
到.你能写出第五行的数字吗?(a+b)5=
.
a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
4.计算:C 04= 1,C14= 4,C 24= 6,C34= 4,C 44= 1 . 用这些
组合数表示=
x 32x2 x 80x x 80 x 40 10 1
x x x x2 x
问:第四项的系数是多少?二项式系数又是多少?不 展开你能求出来吗?
求: ( x 3 )9 3x
①展开式中间项 ②展开式中的常数项 ③展开式中的有理项
二项式定理(PPT课件)
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2 组合证明
根据二项式定理的组合证明,我们可以证明组合数等于需要求和的系数。在$n$个元素中 选取$k$个的方案总数是$C_n^k$。而展开$(a+b)^n=\sum_{k=0}^nC_n^ka^{n-k}b^k$中项的 系数分别是选取$k$项$a$和$n-k$项$b$的方案数$C_n^k$。
总结和要点
牛顿二项式公式
$(a+b)^n=C_n^0a^n+C_n^1a^{n-1}b+C_n^2a^{n2}b^2+...+C_n^nb^n $
应用
1
概率统计
二项式分布常用来描述在$n$次独立重复的伯努利试验中出现$k$个成功的概率。
2
金融衍生品定价
期权定价中可能涉及到二项式树模型,具体方法是根据期权的类型和权利金预算 构建二叉树。
3
数学知识扩展
二项式定理为许多初等研究的基础知识,常被作为高中和大学的数学课程的一部 分。
杨辉三角
构造方法
每个数等于它上方两数之和。
性质
每行左右对称,从第$0$行开始, 第$n$行的数为 $C_n^0,C_n^1,...,C_n^n$。
个性化拓展
最大数和最小数为1,三角形中 的数有很多特殊性质,可以用来 引入更高维数的图形。
公式
基本形式
$(a+b)^n=\sum_{k=0}^nC^k_na^{n-k}b^k$
二项式反演公式
$\sum_{k=0}^n(-1)^kC_n^ia^k=(a-1)^n$
常见结论
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2, (a-b)^2=a^2-2ab+b^2, (a+b)(a-b)=a^2-b^2$
根据二项式定理的组合证明,我们可以证明组合数等于需要求和的系数。在$n$个元素中 选取$k$个的方案总数是$C_n^k$。而展开$(a+b)^n=\sum_{k=0}^nC_n^ka^{n-k}b^k$中项的 系数分别是选取$k$项$a$和$n-k$项$b$的方案数$C_n^k$。
总结和要点
牛顿二项式公式
$(a+b)^n=C_n^0a^n+C_n^1a^{n-1}b+C_n^2a^{n2}b^2+...+C_n^nb^n $
应用
1
概率统计
二项式分布常用来描述在$n$次独立重复的伯努利试验中出现$k$个成功的概率。
2
金融衍生品定价
期权定价中可能涉及到二项式树模型,具体方法是根据期权的类型和权利金预算 构建二叉树。
3
数学知识扩展
二项式定理为许多初等研究的基础知识,常被作为高中和大学的数学课程的一部 分。
杨辉三角
构造方法
每个数等于它上方两数之和。
性质
每行左右对称,从第$0$行开始, 第$n$行的数为 $C_n^0,C_n^1,...,C_n^n$。
个性化拓展
最大数和最小数为1,三角形中 的数有很多特殊性质,可以用来 引入更高维数的图形。
公式
基本形式
$(a+b)^n=\sum_{k=0}^nC^k_na^{n-k}b^k$
二项式反演公式
$\sum_{k=0}^n(-1)^kC_n^ia^k=(a-1)^n$
常见结论
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2, (a-b)^2=a^2-2ab+b^2, (a+b)(a-b)=a^2-b^2$
二项式定理ppt课件
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$(a+b)^4$ 的中间项是 什么?
$(a-b)^5$ 的展开式中 ,$a^4$ 的系数是多少
?
深化习题
01
02
03
04
深化习题1
利用二项式定理展开 $(a+b)^5$,并找出所有项
的系数。
深化习题2
求 $(a+b+c)^3$ 的展开式中 $a^2b$ 的系数。
深化习题3
利用二项式定理证明 $(a+b)^n$ 的展开式中,中
组合数学是研究组合问题的一 门数学分支,与二项式定理密 切相关。
在二项式定理的推导过程中, 组合数学原理提供了组合数的 计算方法和组合公式的应用。
通过组合数的计算,我们可以 得到二项式展开的各项系数, 进一步验证二项式定理的正确 性。
幂级数的展开与收敛
幂级数是数学分析中的重要概念 ,与二项式定理的推导密切相关
微积分中的应用
二项式定理在微积分中有着广泛的应用,如在求极限、求导和积分等运算中。
概率论中的应用
在概率论中,二项式定理可以用于计算组合数学中的一些概率分布,如二项分 布和超几何分布等。
05
习题与思考题
基础习题
基础习题1
基础习题2
基础习题3
基础习题4
$(a+b)^2$ 的展开式是 什么?
$(a-b)^3$ 的展开式是 什么?
概率分布
利用二项式定理,可以推 导二项分布的概率分布函 数和概率密度函数。
概率推断
在贝叶斯推断中,二项式 定理可以用于计算后验概 率和预测概率。Leabharlann 二项式定理在组合数学中的应用
01
组合数的计算
利用二项式定理,可以计算组合数$C(n, k)$,即从n个不同元素中取出
第十章 第三节 二项式定理 课件(共47张PPT)
![第十章 第三节 二项式定理 课件(共47张PPT)](https://img.taocdn.com/s3/m/12c5c34e4b7302768e9951e79b89680203d86b24.png)
赋值法求系数和的应用技巧 (1)“赋值法”对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R)的式子求其展 开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令 x=1 即可;对形如(ax+by)n(a, b∈R)的式子求其展开式各项系数之和,只需令 x=y=1 即可. (2)若 f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1), 偶次项系数之和为 a0+a2+a4+…=f(1)+2f(-1) ,奇次项系数之和为 a1+a3+a5+…=f(1)-2f(-1) .令 x=0,可得 a0=f(0).
令
x=1
代入2x-
1 x
6
=1;
故所有项的系数之和为 1;故选 AC.]
求形如(a+b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量 (常数项、参数值、特定项等)的步骤
(1)利用二项式定理写出二项展开式的通项公式 Tr+1=Crn an-rbr,常把字 母和系数分离开来(注意符号不要出错);
(2)根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零,有理项要求指数为整 数)先列出相应方程(组)或不等式(组),解出 r;
故选 B.]
3.(x+1x -2)6(x>0)的展开式中含 x3 项的系数为________.
解析:
法一:因为(x+1x -2)6=(
x
-
1 x
)12,所以其展开式的通项公
式为 Tr+1=C1r2 (
x
)12-r(-
1 x
)r=Cr12
(-1)r(
x )12-2r=Cr12 (-1)rx6-r,由 6
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)Ckn an-kbk 是二项展开式的第 k 项.( ) (2)在二项展开式中,系数最大的项为中间一项或中间两项.( ) (3)(a+b)n 的展开式中,每一项的二项式系数与 a,b 无关.( ) (4)(a+b)n 某项的系数是该项中非字母因数部分,包括符号等,与该项的 二项式系数不同.( ) 答案: (1)× (2)× (3)√ (4)√
6.3.1二项式定理课件共15张PPT
![6.3.1二项式定理课件共15张PPT](https://img.taocdn.com/s3/m/0dbac8444b7302768e9951e79b89680203d86bc7.png)
和 (a b)3 a 3 3a 2b 3ab 2 b3的概括和推广,
它是以多项式的乘法公式为基础,以组合知识为工具,
用不完全归纳法得到的,其证明可用数学归纳法.
(2)对二项式定理的理解和掌握,要从项数、系数、指
数、通项等方面的特征去熟悉他的展开式.通项公式
Tr 1 C a
r
率9%,按复利计算,10年后收回本金和利息。
试问,哪一种投资更有利?这种投资比另一种投资10年后大约
可多得利息多少元?
分析:本金10万元,年利率11%,按单利计算,10年后的本利和是
10×(1+11%×10)=21(万元);
本金10万元,年利率9%,按复利计算,10年后的本利和是10×(1+
9%)10;
x
60 12 1
64 x 192x 240x 160
2 3
x x
x
3
2
0 n
1 n 1
a
b
C
a
C
n
例题讲评
例2: 求 (2 x
解:
1 6
) 的展开式中
x
的展开式的通项:
根据题意,得
因此, 2 的系数是
x
x 的系数。
艾萨克·牛顿 Isaac
Newton (1643—1727) 英国
科学家.他被誉为人类历史上
最伟大的科学家之一.他不仅
是一位物理学家、天文学家,
还是一位伟大的数学家.
牛顿二项式定理
新课引入
某人投资10万元,有两种获利的可能供选择。一种是年
利率11%,按单利计算,10年后收回本金和利息。另一种是年利
1.3.1二项式定理PPT优秀课件
![1.3.1二项式定理PPT优秀课件](https://img.taocdn.com/s3/m/33d69531763231126edb1154.png)
二项式定理: 一般地,对于n N*有
(ab )nC n 0 a n C n 1 a n 1 b C n ka n kb k C n n b n
可用数学归纳法证明
基础训练:展开(p+q)7 解: (pq)7C7 0p7C1 7p6qC7 2p5q2C3 7p4q3 C7 4p3q4C5 7q2q5C7 6pq6C7 7q7
a 3 3 a 2 b 3 a2 bb 3
(a b)4 ? (ab)100? (a b)n ?
(n N )
(a+b)2 = ( a + b ) ( a + b )=C02 a2+C12 ab +C22 b2
选b
=a2+2ab+b2
(a+b)3=( a+b )( a+b )( a+b )
变式训练:若 求 ( 1 2 x ) 5 的 展 开 式 呢 ?
解: ( 1 2 x ) 5 C 5 0 ( 2 x ) 0 C 1 5 ( - 2 x ) 1 C 2 5 ( 2 x ) 2
C 3 5 ( 23 x C 5 ) 4 ( 24 x C ) 5 5 ( 25 x
=C0n an+ C1nan-1b+ C2nan-2b2+ C3nan-3b3+…+Cknan-kbk+…+ Cnn bn
二项式定理: 一般地,对于n N*有
(ab )nC n 0 a n C n 1 a n 1 b C n ka n kb k C n n b n
这个公式表示的定理叫做二项式定理,公式
组合数公式:C n mA A n m m mn(nm 1 ()m (n 1 )2 ()m (2 n )m 11 )
引入:
(a b)2 a22abb2
《二项式定理》(共17张)-完整版PPT课件全文
![《二项式定理》(共17张)-完整版PPT课件全文](https://img.taocdn.com/s3/m/cec18f816e1aff00bed5b9f3f90f76c660374c7f.png)
展开式的第3项是240x
例1.(2)求(2 x 1 )6的展开式 x
对于例1(2)中,请思考: ①展开式中的第3项的系数为多少? ②展开式中的第3项的二项式系数为多少? ③你能直接求展开式的第3项吗?
④你能直接求展开式中 x 2的系数吗?
解:④ Tk1 C6k (2
x)6k ( 1 )k x
(1)k 26k C6k x3k
N*)
①项数: 展开式共有n+1项.
②次数: 各项的次数均为n
字母a的次数按降幂排列,由n递减到0 , 字母b的次数按升幂排列,由0递增到n .
③二项式系数: Cnk (k 0,1,2,, n)
④二项展开式的通项: Tk1 Cnk ankbk
典例剖析
例1.(1)求(1 1 )4的展开式; x
(2)求(2 x 1 )6的展开式. x
N
*
)
(1)二项式系数: Cnk (k 0,1,2,, n)
(2)二项展开式的通项:Tk1 Cnk ankbk
思想方法:
(1) 从特殊到一般的数学思维方式.
(2) 类比、等价转换的思想.
巩固型作业: 课本36页习题1.3A组第2,4题
思维拓展型作业
二项式系数Cn0 , Cn1,, Cnk ,, Cnn有何性质?
1) x
C62 (2
x )4 (
1 x
)2
C63
(2
x )3 (
1 x
)3
C64
(2
x )2 (
1 )4 x
C65 (2
x )(
1 x
)5
C66
(
1 )6 x
64x3
192x2
240x
第三节 二项式定理 课件(共36张PPT)
![第三节 二项式定理 课件(共36张PPT)](https://img.taocdn.com/s3/m/9d9981845ebfc77da26925c52cc58bd6318693ea.png)
其展开式的第k+1项为Tk+1=Ck4(x2+x)4-kyk,
因为要求x3y2的系数,所以k=2, 所以T3=C24(x2+x)4-2y2=6(x2+x)2y2. 因为(x2+x)2的展开式中x3的系数为2, 所以x3y2的系数是6×2=12.
法二 (x2+x+y)4表示4个因式x2+x+y的乘积,在 这4个因式中,有2个因式选y,其余的2个因式中有一个 选x,剩下的一个选x2,即可得到含x3y2的项,故x3y2的系 数是C24·C12·C11=12.
对于几个多项式和的展开中的特定项(系数)问题, 只需依据二项展开式的通项,从每一项中分别得到特定 的项,再求和即可.
角度 几个多项式积的展开式中特定项(系数)问题 [例4] (1)(2x-3) 1+1x 6 的展开式中剔除常数项后的 各项系数和为( ) A.-73 B.-61 C.-55 D.-63 (2)已知(x-1)(ax+1)6的展开式中含x2项的系数为0, 则正实数a=________. 解析:(1)(2x-3)1+1x6的展开式中所有项的系数和为 (2-3)(1+1)6=-64,(2x-3)1+1x6=
为( )
A.-1
B.1
C.32
解析:由题意可得CC6162aa54bb=2=-13158,,
D.64
解得ab==1-,3,或ab==-3. 1,则(ax+b)6=(x-3)6, 令x=1得展开式中所有项的系数和为(-2)6=64,故选D. 答案:D
2.(2020·包头模拟)已知(2x-1)5=a5x5+a4x4+a3x3+
[例2] (1)若(1-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+ a5x5,则|a0|-|a1|+|a2|-|a3|+|a4|-|a5|=( )
1.5.1二项式定理PPT优秀课件
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97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔;恨我的人教我谨慎;对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来,根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色,也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物,然而能看到这些美好事物的人,事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情,而且对人的理智也发生巨大的作用,在这种令人愉快的影响之下,我觉得更加聪明了,各种想法,以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化,向前跨进,就看到与初始不同的景观,再上前去,又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利,如果一个人和他的同伴保持不一样的速度,或许他耳中听到的是不同的旋律,让他随他所听到的旋律走,无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间,而我们应该最担心的也是时间;因为没有时间的话,我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧,就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词,被屏蔽】,而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事,夏日炎炎时躺在树底下的草地,听着潺潺的水声,看着飘过的白云,亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老,我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化,而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于:自认最快乐的人实际上就是最快乐的,但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁,在千钧一发之际,往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息,感觉它,感觉你自己,并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫,在公司或任何领域里往上攀爬,却在抵达最高处的同时,发现自己爬错了墙头。--[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可;生活中微小之处,照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二:先是获得你想要的;然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习,才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望,也不肯学习的人,没有生存的资格。
二项式定理PPT教学课件
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12n n
(2)当 3 q 1 时,求 lim An
n 2n
【思维点拨】:本题逆用了二项式定理及
C
0 n
C
1 n
C
n n
2n
例4、若 2x 3 4= a0 a1x a2 x 2 a3 x3 a4 x 4,
求(1) a0 a2 a4 2― a1 a3 2的值。
(2) a0 a1 a2 a3 的值。
【思维点拨】 用赋值法时要注意展开式的形式。
思考题:设
x 14x 25 a0 a1x 3 a2x 32 a9x 39
则 a0 a2 a4 a6 a8 ―2 a1 a3 a5 a7 a9 2
0
备用题:
例5已知( (1 2x)n ,
2 (1) 若展开式中第5项、第6项与第7项的二 项式系数成等差数列,求展开式中二项式系 数最大项的系数。
稚参培育环境
• 水温 • 光照 • 盐度 • PH值 • 溶解氧
稚参敌害与病害的防治技术
• 桡足类 • 细菌
x
1120 (3)求 (1 x)3 (1 x)4 (1 x)5 … (1 x)50
的展开式中 x 3的系数。 C541
例3(优化设计P180例3)、设an=1+q+q2+… +qn-1(n∈N*,q≠±1),
An= Cn1a1 Cn2a2 ...... Cnnan
(1) 用q 和n 表示An
即可求第五个元素。
③注意二项式系数与某一项系数的异同。
④当n不是很大,|x|比较小时可以用展开式的 前几项求 (1 x)n的近似值。
二、问题讨论
例1.(1) Cn1 3Cn2 9Cn3 3n1Cnn
等于 ( D )
A 、4n
1.5二项式定理PPT优秀课件
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2)注意区别二项式系数与项的系数的概念
二项式系数为 C
r n
;
项的系数为:二项式系数与数字系数的积
3)求二项式系数或项的系数的一种方法是将
二项式展开
例3、求(x+a)12的展开式中的倒数第4项
解: ( x a ) 1 2 的 展 开 式 有 1 3 项 , 倒 数 第 4 项 是 它 的 第 1 0 项 . T 9 1C 1 9 2x1 2 9a 92 2 0x3a 9.
例 4 、 ( 1 ) 求 ( 1 + 2 x ) 7 的 展 开 式 的 第 4 项 的 系 数
( 2 ) 求 ( x 1 )9 的 展 开 式 中 x 3 的 系 数 和 中 间 项 x
解: ( 1 ) T 3 1 C 7 3 1 7 3 ( 2 x ) 3 2 8 0 x 3 第四项系数为280.
第= 6 三C 4 6 项4 x (3 2 的x 二)1 2项9 2 式C x 6 5 系(2 2 数 x为)2 4 CC 0 626 6 x ] 11 56 0 6 x 0 1 x 2 2 x 1 3 第六项的系数为 C652(1)512
注:1)注意对二项式定理的灵活应用
由 9 (2 2 r )T r 3 1, 得 C r 9 rx = 9 3 r . (故 1 x x )3 的 r 系 ( 数 1 )r为 C 9 r( x- 9 1 2r) .3 C 9 3 8 4 .
中 间 一 项 是 第 5 项 ,T 4 1 C 8 4 x 8 4 ( 1 x)4 7 0 .
Cnr an-rbr:二项展开式的通项,记作Tr+1 Cnr : 二项式系数
注1).二项展开式共有n+1项 2).各项中a的指数从n起依次减小1,到0为此
二项式定理课件ppt
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二项式定理的应用举例
04
求解某些特定形式的幂级数展开式
01
幂级数展开式的求解
二项式定理可以用于求解某些特定形式的幂级数展开式 ,例如$(a+b)^n$的展开式。
02
泰勒级数展开
利用二项式定理,我们可以求解一些函数的泰勒级数展 开,从而得到函数在某个点的近似值。
03
幂级数的求和
对于一些特定的幂级数,我们可以利用二项式定理找到 其求和的方法。
其中,C(n,k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数。
二项式系数的性质
二项式系数是组合数的推广 ,它具有与组合数相同的性 质,例如
1. 对称性:对于任何自然数n ,C(n,k) = C(n,n-k)。
2. 递推性:C(n+1,k) = C(n,k-1) + C(n,k)。
3. 组合恒等式:C(n,k) + C(n,k-1) = C(n+1,k)。
二项式定理的历史背景
二项式定理最初由牛顿在17世纪发 现,用于解决一些特殊的数学问题。
之后,许多数学家都对二项式定理进 行了研究和推广,使其成为现代数学 中的基本工具之一。
二项式定理的意义与应用
01
二项式定理是组合数学的基础,可以帮助我们理解和分 析一些组合问题的内在规律。
02
在统计学中,二项式定理可以用于计算样本数量较少时 的置信区间和置信度。
深化理解的进阶题目
总结词
深入理解概念
详细描述
在基本掌握二项式定理的基础上,通过解决 一些相对复杂的进阶题目,帮助学生深入理 解二项式定理的概念和变形方式,进一步提 高解题能力。
有趣的开放性问题
总结词
激发学习兴趣
二项式定理 优秀课件
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项的系数:二项式系数与数字系数的积.
(a b)n
C?n0a n
Cn1an1(b)
C
k n
a
nk
(b)n
(1 x)n ?Cn0 Cn1 x Cnk xk Cnn xn
此时,二项式系数就等于项的系数!!
(a b)n
C
1 4
a
3b
C42a 2b2
C
3 4
ab3
C
4 4
b
4
(a b)n ?
没有大胆的猜想,就不能有伟大的发现和发明。 ------牛顿
探究3:请分析 (a b)n 的展开过程,证明猜想.
(a b)n (a b)(ab)(ab)
n
①项: a n a n1b L a nkbk L bn
……
(a b)100 ? (a b)n ?
此法 有困难
多项式乘法的再认识
➢问题1: (a1 b1)(a2 b2 ) 的展开式是什么? 展开式有几项?每一项是怎样构成的?
➢问题2: (a1 b1)(a2 b2 )(a3 b3 ) 展开式中 每一项是怎样构成的?展开式有几项?
C n0a n
Cn1an1b
C
k n
a
nk
bk
Cnnbn(n
N*)
Tk1 Cnkankbk
例1:展开(x 2)5 .
解:(x 2)5 C50x5 20 C51x4 21 C52x3 22
C53x2 23 C54 x124 C55x0 25
②系数:Cn0 Cn1 Cnk Cnn
(a b)n
C?n0a n
Cn1an1(b)
C
k n
a
nk
(b)n
(1 x)n ?Cn0 Cn1 x Cnk xk Cnn xn
此时,二项式系数就等于项的系数!!
(a b)n
C
1 4
a
3b
C42a 2b2
C
3 4
ab3
C
4 4
b
4
(a b)n ?
没有大胆的猜想,就不能有伟大的发现和发明。 ------牛顿
探究3:请分析 (a b)n 的展开过程,证明猜想.
(a b)n (a b)(ab)(ab)
n
①项: a n a n1b L a nkbk L bn
……
(a b)100 ? (a b)n ?
此法 有困难
多项式乘法的再认识
➢问题1: (a1 b1)(a2 b2 ) 的展开式是什么? 展开式有几项?每一项是怎样构成的?
➢问题2: (a1 b1)(a2 b2 )(a3 b3 ) 展开式中 每一项是怎样构成的?展开式有几项?
C n0a n
Cn1an1b
C
k n
a
nk
bk
Cnnbn(n
N*)
Tk1 Cnkankbk
例1:展开(x 2)5 .
解:(x 2)5 C50x5 20 C51x4 21 C52x3 22
C53x2 23 C54 x124 C55x0 25
②系数:Cn0 Cn1 Cnk Cnn
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杨辉,南宋时期杰 出的数学家和数学 教育家
+Ckn(x+1)n-k(-1)k+…+Cnn(-1)n=[(x+1)+(-1)]n=xn.
总结:逆用二项式定理可以化简多项式,
体现的是整体思想.注意分析已知多项式的 特点,向二项展开式的形式靠拢.
活学活用(二)
化简(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1).
[解]: 原式=C05(x-1)5+C15(x-1)4+C25(x-1)3+C35(x-1)2+ C45(x-1)+C55-C55=[(x-1)+1]5-1=x5-1.
其2)中CCnrrn(a nr=r0b,r1,叫2,做…二…项,展n)开叫式做的通二项项,式用系Tr数+1表示;,
该项是指展开式的第 r+1 项.
即T C r 1
ranrbr
n
r Z,且0 r n
二项式定理
(a b)n Cn0anb0 Cn1an1b Cnranrbr Cnna0bn
同:展开的过程就是取球的过程; 异:取球ab,ba属两种方法,展开式中的ab,ba
可合并同类项。
问题3:将(a b)2展开并整理后,各项的系数与取球 问题中有何联系?
整理后,各项系数为各项在展开式中出现的次数, 即取球问题中分类计数原理的各类结果数。
即(a b)2 a2 2ab b2 C20a2 C21ab C22b2
(a b)2 (a b)(a b)
aaabbabb
a2 2ab b2
项的形式: a 2
ab
问:合并同类项后的展 开式中,共有几项?
b2 每项的次数为几次?
项的系数: C20
C21
C2 展开式项的排列方式如 2 何?(按照a的降次幂
分析ab (a b)(a b) (a b)(a b)
典例导航
例1 在(2x 1 )5的展开式中
x
(1)请写出展开式的通项。 (2)求展开式的第4项。 (3)请指出展开式的第4项的系数,二项式系数。
(4)求展开式中含 x3 的项。
注意:区别二项式系数与项的系数的概念
二项式系数为
项的系数为:二项式系数与数字系数的积
巩固练习
在(1 2x)7的展开式中
练习:(2 x)5
C50 25 C51 24 x C52 23 x2 C53 22 x3 C54 2x4 C55 x5 32 80x 80x2 40x3 10x4 x5
问:展开式中第四项为?第四项的系数为?
第四项的二项式系数为?
那么对于 (2 x)5 的展开式呢?
析:(2 x)5 2 (x)5
(n N)
1.项数规律:
展开式共有n+1项
2.二项式系数规律:
Cn0、Cn1、Cn2、 、Cnn
3.指数规律: (1)各项的次数和均为n; (2)二项式的第一项a的次数由n逐次降到0, 第一项b的次数由0逐次升到n.
注意:公式中a,b可以是单项式、多项式、任意实数。
二项式定理: 一般地,对于nN*,有:
C32
C33
有几项? 每项的次数
分析a2b (a b)(a b)(a b)
为几次? 展开式项的
(a b)(a b)(a b)
C31
排列方式如 何?(按照a
(a b)(a b)(a b)
的降次幂还 是升次幂排
列的?)
展开式:
(a
b)3
C30a 3
C
31a
2b
C
2 3
ab2
C33b3
一、问题引入
什么是二项式,二项式定理研究的是什么?
二项式
对于a+b,(a+b)2,(a+b)3,(a+b)4,(a+b)5等 代数式,数学上统称为二项式,其一般形式为:
(a+b)n(n∈N*) 由于在许多代数问题中需要将二项式展开,因此, 二项式定理研究的是(a+b)n展开后的表达式的一般结构。 那么(a+b)n 的展开式是什么呢?
还是升次幂排列的?)
C21
展开式:
(a b)2 C20a2 C21ab C22b2
探究2 推导 (a b)3的展开式.
(a b)3 (a b)(a b)(a b) 请用分步乘法计数原理
解释一下?问:合并同
项的形式:a 3
a2b
ab2
b 3 类项后的展 开式中,共
项的系数:C30 C31
第四类,全部取b, C33种,
即共C30 C31 C32 C33 8种
问题5: 请写出(a b)3展开后的多项式 .
(a b)3 C30a3 C31a2b C32ab2 C33b3
a3 3a2b 3ab2 b3
练习:谁能快速写出将 (a b)4展开后的多项式 ?
(a b)4 C40a4 C41a3b C42a2b2 C43ab3 C44b4
问题4:有3个口袋,每个口袋都同样装有a,b两个小 球,现依次从这3个口袋中各取出一个小球,共有多 少种不同的取法?
请用分类计数原理进行分析
第一类,三次都不取 b, C30种; 第二类,任一次取b, 其他两次取a, C31 C22 C31种,
第三类,任两次取b, 其他一次取a,C32 C11 C32种,
问题6: 将(a b)n展开并整理后的多项式 ?
(a b)n Cn0anb0 Cn1an1b Cnranrbr Cnna0bn
二项式定理
(n N )
二项式定理:
(a b)n Cn0anb0 Cn1an1b Cnranrbr Cnna0bn
(n N )
1)公式右边的多项式叫做(a+b)n的 二项展开式 ,
课堂小结
1.二项式定理:
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnkankbk Cnnbn
(1)二项式系数: Cnk , (k 0,1,2,3 n)
(2)二项展开式的通项: Tk 1 Cnk a nkbk
2.典型例题
方法
(1) 求形如 (a 的b)展n 开式问题。
直接利用二项式定理
二、讲授新课
问题1:有2个口袋,每个口袋都同样装有a,b两个 小球,现依次从这2个口袋中各取出一个小球,共 有多少种不同的取法?
请分别用列举法、分类计数原理进行分析。
问题1:有2个口袋,每个口袋都同样装有a,b两 个小球,现依次从这2个口袋中各取出一个小球, 共有多少种不同的取法?
列举法:aa,ab,ba,bb
x
的展开式,并求该展开式的第
3
项.
解: Tr1 C4r
x 4r 1 r 2
1
r
x
1 r 2r C4r x2r
x
1
4
2 x
x2 21 C41 x 22 C42 23 C43 x1 24 C44 x2
x2 2x 3 1 x1 1 x2 2 2 16
四、理论迁移(一)
例1
(1)求
x
1
7
的展开式.
x
法一:直接展开
法二:先化简通项,后展开
(2)求 x 1 7的展开式的第4项的系数.
x
(3)求 x 1 7的展开式中x的二项式系数.
x
注:一个二项展开式的某一项的二项式系数与
这一项的系数是两个不同的概念。
活学活用(一)
求
x-2
1
4
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnkankbk Cnnbn
这个公式叫做二项式定理,很显然二项式定理是研 究形如 (a b的)n展开式问题。
二项展开式的结构特征:
①项数: 共有n+1项
②次数: 各项的次数都等于n,
③展开式中项的排列方式如何?
字母a按降幂排列,次数由n递减到0 ,
探究3 仿照上述过程,推导 (a b)4的展开式.
(a b)2 C20a2 C21ab C22b2 (a b)3 C30a3 C31a2b C32ab2 C33b3 (a b)4 C40a4 C41a3b C42a2b2 C43ab3 C44b4
(a b)n ?
T3 T21
1
2
22
C42
x22
3 2
四、理论迁移(二)
例2
化简:C0n(x+1)n-C1n(x+1)n-1+C2n(x+1)n-2-…+
(-1)kCkn(x+1)n-k+…+(-1)nCnn.
[解]:
原式=C0n(x+1)n+C1n(x+1)n-1(-1)+C2n(x+1)n-2(-1)2+…
(2) 求二项展开式的第几项及其系数、二项式系数。
(3) 求二项展开式中含x的几次方的项的问题。
利用通项
1、巩固型作业: 课本36页 习题1.3 A组 1、3、4(1)(2)5
2、思维拓展型作业:(查阅相关资料)
(1)查阅有关杨辉一生的主要成就。
(2)探究二项式系数
Cn0,Cn1,Cn2 , ,Cnn 有何性质.
字母b按升幂排列,次数由0递增到n .
二项式定理: 一般地,对于nN*,有:
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnkankbk Cnnbn
把各项的系数 Cnk , (k 0,1,2,3 n)叫做二项式系数
即(1)二项式系数: Cnk , (k 0,1,2,3 n)
式中 Cnk a nkbk 叫做二项展开式的通项, 为展开式的第k+1项,用 Tk 1 表示
a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4
探究1 推导 (a b)2的展开式.
(a b)2 (a b)(a b)
aaabbabb a2 2ab b2
问: 合并同类项前的展开式中,共有几项? 能利用分步乘法计数原理解释一下吗? 每项的次数为几次?
探究1 推导 (a b)2的展开式.