向量的加法 公开课
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向量的加法课件(公开课获奖课件)
要点二
性质
数乘满足交换律和结合律，即k*(a+b)=k*a+k*b， (k+l)*a=k*a+l*a。
数乘的几何意义
表示伸缩
数乘可以表示向量在坐标轴上的伸缩，当k>0时，表示 向量在原方向上放大；当k<0时，表示向量在原方向上 缩小。
表示旋转
通过数乘可以将向量绕原点旋转一定的角度，旋转角度 与k的绝对值成正比。
力的分解
一个力可以分解为两个或多个分 力，分力的方向和大小同样可以 通过向量加法得到。
速度与加速度的研究
速度的合成
当物体在多个方向上运动时，其速度可以看 作是各个方向上速度的向量和，即速度的合 成。
加速度的研究
加速度的大小表示速度变化的快慢，方向表 示速度变化的方向，可以通过向量加法来研 究加速度的方向和大小。
交换律是指向量加法的结果不依赖于向量的顺序，即向量加法满足可交换性。
详细描述
交换律是向量加法的基本性质之一，它表明向量加法不具有方向性。无论向量是按什么顺序相加，其 结果都是相同的。例如，向量$vec{A} + vec{B}$和向量$vec{B} + vec{A}$是相等的。
结合律
总结词
结合律是指向量加法的结果不依赖于括 号的位置，即向量加法满足可结合性。
题目2
已知点$O(0,0)$，点$A(3,5)$，点$B( - 2, - 1)$，求 $overset{longrightarrow}{OA} + overset{longrightarrow}{OB}$。
综合练习题
• 总结词：综合运用向量加法的知识解决复杂问题
• 题目1：已知点$A(1,2)$，点$B(3,4)$，点$C(5,6)$，点$D(7,8)$，求证：四边形ABCD是平行四边形。 • 题目2：已知$\overset{\longrightarrow}{a} = (1,2)$，$\overset{\longrightarrow}{b} = (3, - 1)$，
向量的加法运算(优秀经典公开课课件)
02
课堂案 题型探究
题型一 已知向量作和向量(一题多解) [例 1] 如图，已知向量 a，b，c，求作和向量 a＋b＋c.
[解析] 解法一 可先作 a＋c，再作(a＋c)＋b，即 a＋b＋c.如图，首先在平 面内任取一点 O，作向量O→A＝a，接着作向量A→B＝c，则得向量O→B＝a＋c，然后 作向量B→C＝b，则向量O→C＝a＋b＋c 为所求．
中，正确的是( )
A．a∥b
B．a＋b＝a
C．a＋b＝b
D．|a＋b|＝|a|＋|b|
[解析] (1)向量(A→B＋P→B)＋(B→O＋B→M)＋O→P ＝A→B＋B→O＋O→P＋P→B＋B→M＝A→M. (2)a＝(A→B＋C→D)＋(B→C＋D→A) ＝A→B＋B→C＋C→D＋D→A＝0， 所以 0∥b，A 正确；0＋b＝b，C 正确； |0＋b|＝|0|＋|b|，D 正确．
(1)解析 ①A→B＋C→D＝A→B＋A→F＝A→O. ②A→B＋A→F＋B→C＝A→O＋B→C＝A→O＋O→D＝A→D. ③O→C＋O→D＋E→F＝O→C＋O→D＋O→A＝O→C. 答案 ①A→O ②A→D ③O→C
(2)解析 ①C→D＋B→C＋A→B＝(A→B＋B→C)＋C→D ＝A→C＋C→D＝A→D. ②A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A ＝(A→B＋B→C)＋(C→D＋D→F)＋F→A ＝A→C＋C→F＋F→A＝A→F＋F→A＝0.
[解析] (1)如图所示，A→D表示船速，A→B表示水速． 易知 AD⊥AB，以 AD，AB 为邻边作矩形 ABCD， 则A→C表示船实际航行的速度．
(2)在 Rt△ABC 中，|A→B|＝5 (km)， |B→C|＝5 3 (km)， 所以|A→C|＝ |A→B|2＋|B→C|2＝ 52＋5 32 ＝ 100＝10 (km)．
高一向量的加法运算(三角形法则)公开课课件
作业： 导学案P80 第1，4题
P83 第1 题
谢谢
E
D
A BB C_ A__ C__
B C C D _ B__ D__
A
C A B B C C D _ A_ _ D_ _
A B B C C D D E _ A_ _ E_ _
B
活动二：成语接龙
专心致志
志同道合
合二为一
一心一意
向量加法的三角形法则的特点：
加法
向量加法的三角 形法则
连接 首尾相连
高一向量的加法运算(三角形法则) 公开课课件
2.2.1向量加法运算 及其几何意义 （三角形法则）
教学目标
1.理解向量加法的定义，向量加法的三 角形法则,并理解它们的几何意义；
2.通过合作探究，小组交流学习向量的 加法的几何意义；
3.通过对三角形法则的运算，提高运用 基本知识解决简单问题的能力；
教学重点:向量加法的运算（三角形法则）， 及几何意义；
C
指向 首指尾
A
B AB+BC=AC
例题讲解：
例1.如图，已知向量 a , b ，求作向量 a b 。
作法1：在平面内任取一点O，
作 OA a ，AB b ，
b
则 OBab
a
A
b
尝试练习二：
(3)已知向量 a 、b，用向量加法的三角形法则作出 a b
①
b
a
②
b
a
思考1：如图，某人从点A到点B，再从点B按原方向到点C，
则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？
A
BC
AB BC AC
思考2：如图，某人从点A到点B，再从点B按反方向到点C，则
向量的加法(省优质课课件)
E
O
E
O
F
思考5: 例如:橡皮条在力F 与F 的作用下,从E点伸长到了O点.
1 2
同时橡皮条在力F的作用下也是从E点伸长到了O点.
分析:由物理知识知,F为F1与F2的合力
E
O
F1+F2=F.
F以为F1与F2为邻边所形成平行四边形 的对角 线
E
O
F
这也是向量的加法吗？
任意给出两个向量 a与b , 如何求 a b.
b
a b
C
O
a
b
A
所以, a b b a （交换律） .
a b OA AC OC . b a OB BC OC .
思考6：实数的加法运算满足结合律，即对
任意a，b，c∈R，都有（a＋b）＋c=a＋（b ＋c）.那么向量的加法也满足结合律吗？根 C 据图形验证 a b c a b c .
AB BC AC
C
A B
思考3：
如图，运送淡水的船只，先从A岛到B岛，再从B岛到 C岛，这两次的位移之和可以用哪一个向量表示？由 此可得什么结论？
A
C
AB BC AC
B
思考4：
上述分析表明，两个向量可以相加，并且两个向量的 和还是一个向量.
一般地，求两个向量和的运算，叫做向量的 加法.上述求两个向量和的方法，称为向量加 法的三角形法则.
a b 思考3：若向量 a与 b 同向，则向量 的方向如何？若向量 与 反向，则向 a b 量 a b 的方向如何？
a b a
b
B A a b AB BC AC
《向量的加法》示范公开课教学课件【高中数学北师大】
借助向量加法的三角形法则，对任意不共线的两个向量a，b，|a＋b|与|a|＋|b|，|a|－|b|之间有怎样的大小关系?
||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|（当且仅当a与b同向或反向时取等号）．
互为相反向量的两个向量的和是多少？
互为相反向量的两个向量的和为零向量，即a＋(－a)＝(－a)＋a＝0．
也可以把n个向量分为若干组，先求每组向量之和，再求出这些组向量和的和．
在平行四边形ABCD中， ＋ ＋ ＝( )A. B. C. D.
解：∵ 与 为相反向量，故＋ ＝0， ∴ ＋ ＋ ＝ ，故选A．
A
故选 D ．
我们熟知，数的加法满足结合律和交换律，那么向量的加法满足哪些运算律呢？
向量加法满足交换律：a＋b＝b＋a．
向量加法满足结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
证明：如图，a＋b+=，b＋a+=，
所以a＋b＝b＋a．
特别地：对于零向量与任一向量a的和有0＋a＝a＋0＝a.
证明：如图，(a＋b)＋c＝．
由=2，得∠CAD=60°．
因此，此时轮船位于A港北偏东30°且距A港40(n mile)的C处．
如图，已知向量a ，b ，c ，d，作出a+b+c+d，并说出多个向量求和的方法及依据．
解：可以按照不同的次序与组合进行这四个向量的加法.
方法1： 如图，在平面上任取一点A，作=a ， =b ， =c ， =d ，则a+b+c+d=[(a+b)+c]+d=(+c)+d=d=.
向量的加法
第二章 平面向量及其应用
合力
在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个重物，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．
||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|（当且仅当a与b同向或反向时取等号）．
互为相反向量的两个向量的和是多少？
互为相反向量的两个向量的和为零向量，即a＋(－a)＝(－a)＋a＝0．
也可以把n个向量分为若干组，先求每组向量之和，再求出这些组向量和的和．
在平行四边形ABCD中， ＋ ＋ ＝( )A. B. C. D.
解：∵ 与 为相反向量，故＋ ＝0， ∴ ＋ ＋ ＝ ，故选A．
A
故选 D ．
我们熟知，数的加法满足结合律和交换律，那么向量的加法满足哪些运算律呢？
向量加法满足交换律：a＋b＝b＋a．
向量加法满足结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
证明：如图，a＋b+=，b＋a+=，
所以a＋b＝b＋a．
特别地：对于零向量与任一向量a的和有0＋a＝a＋0＝a.
证明：如图，(a＋b)＋c＝．
由=2，得∠CAD=60°．
因此，此时轮船位于A港北偏东30°且距A港40(n mile)的C处．
如图，已知向量a ，b ，c ，d，作出a+b+c+d，并说出多个向量求和的方法及依据．
解：可以按照不同的次序与组合进行这四个向量的加法.
方法1： 如图，在平面上任取一点A，作=a ， =b ， =c ， =d ，则a+b+c+d=[(a+b)+c]+d=(+c)+d=d=.
向量的加法
第二章 平面向量及其应用
合力
在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个重物，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．
向量加减法运算及其几何意义公开课PPT课件
A．0 B．3 C． 2 2 D． 2
练习2化简 PM PN MN 结果是 0
2021/12/31
高高一一、、一科数学专用课课件件
第29页，共34页。
练习3 则（
Da，）b为非零向量，且|a-
b|=|
a|+|
b|，
A．a与b方向相同 C．a =－b
B．a = b D．a与b方向相反
练习4向量 a ,b的模分别是3，4，求
2021/12/31
高高一一、、一科数学专用课课件件
第26页，共34页。
例3 : 化简 (AB - CD)-(AC - BD)
解: (AB - CD) -(AC - BD)
= AB - CD - AC + BD
= AB + DC + CA + BD
= (AB + BD)+(DC + CA)
= AD+ DA = 0
表示向量的方向。
A
B
2）用字母来表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示. 如 a , AB
3. 什么叫相等向量向量?
长度相等,方向相同的向量相等. (正因为如此,我们研究的向量是与起点无关的自由向量,即任何向
量202可1/1以2/3在1 不改变它的大小和高高方一一、、向一的科数前学专提用下课课件件,移到任何位置.)
第18页，共34页。
向量的减法运算及其几何意义
回顾：（1）你还能回想起实数的相反数是怎样定义的吗？
a a 实数 的相反数记作 。
： 思考 （2）两个实数的减法运算可以看成加法运算吗？
如设 x, y R , x y x ( y)
如何定义向量的减法运算呢？
向量的加法_公开课
2.Δ ABC中,D、 E、 F分别是边AB、BC、AC的中点,则 下面结论正确的是( D ) A A. AE=AD+FA
B. C. D. DE+AF=0 AB+BC+CA≠0 AB+BC+AC≠0 B C E D F
3. O为正六边形A1A2A3A4A5A6的中心,求出
下列向量: A5 A6 O A4
C
向 量 的 加 法
A
a O b a+b B
上述求两个向量和的作图法则，叫做 向量求和的三角形法则
两向量首尾相连，和向量由第一个向量的 起点指向第二个向量的终点.
尾首顺次相接 首指向尾为和
两种特例(两向量平行)
a b a b
A a+b=AC
B
C
C
A a+b=AC
B
方向相同
▲当向量 a 与 b 同向时， 则向量 a+b , a , b同向，且
(1)OA1+OA3;
(2)A2A3+A6A5; (3)OA1+A6A5. A3 A2
A1
(4) A1A2+A2A3+A3A4+A4A5+A5A6+A6A1
交换律： a b b a
如图，已知 a, b ，请作出
a
a + b, b
+
a
,
b a a+ b
b
b+ a
b
a
向 量 加 法 的 运 算 律 一
ab a b
ab a b
ab b a
4.当_______________时,
向量的加法市公开课一等奖省优质课获奖课件
1.若两向量互为相反向量,则它们和为多少?
a （ a）（ a） a 0
2.零向量和任一向量 a 和为多少?
a0 0a a
2024/7/18
12
第13页
想一想
a + b, a+b
B
C
a
a+b
和 a-b
A
b
D
的大小关系如何?
a b ≦ ab ≦ a b
2024/7/18
何时取得等号?
13
第14页
且 |a+b|=|a|-|b|
a
b
B
C
A
若|a|<|b|则a+b方 向与b相同，
a b AC
且 |a+b|=|b|-|a|
2024/7/18
7
第8页
a
B
C
共起点
a
a+b
b
作法：
A
b
D
作 AB= a, AD =b,以AB，AD为邻边
作平行四边形，则 AC = a + b 。
这叫做向量加法平行四边形法则。
第24页
2024/7/18
24
第25页
向量和特点：
（1）两个向量和仍是一个向量．
（2）当向量a与向量b不共线时，a+b方 向与a，b都不一样向，且|a+b|<|a|+|b|．
（3）当a与b同向时，则a+b ，a，b同向，且 |a+b|=|a|+|b|； 当a与b反向时，若|a|>|b|，则 a+b方向与a相同，且 |a+b|=|a|-|b|；若|a|<|b|则 a+b方向与b相同，且 |a+b|=|b|-|a|．
a （ a）（ a） a 0
2.零向量和任一向量 a 和为多少?
a0 0a a
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想一想
a + b, a+b
B
C
a
a+b
和 a-b
A
b
D
的大小关系如何?
a b ≦ ab ≦ a b
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何时取得等号?
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且 |a+b|=|a|-|b|
a
b
B
C
A
若|a|<|b|则a+b方 向与b相同，
a b AC
且 |a+b|=|b|-|a|
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a
B
C
共起点
a
a+b
b
作法：
A
b
D
作 AB= a, AD =b,以AB，AD为邻边
作平行四边形，则 AC = a + b 。
这叫做向量加法平行四边形法则。
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向量和特点：
（1）两个向量和仍是一个向量．
（2）当向量a与向量b不共线时，a+b方 向与a，b都不一样向，且|a+b|<|a|+|b|．
（3）当a与b同向时，则a+b ，a，b同向，且 |a+b|=|a|+|b|； 当a与b反向时，若|a|>|b|，则 a+b方向与a相同，且 |a+b|=|a|-|b|；若|a|<|b|则 a+b方向与b相同，且 |a+b|=|b|-|a|．
高中数学新教材《6.2.1向量的加法运算》公开课优秀课件(经典、精品)
就是向量a与b的和．
七、从定义出发，研究向量加法的运算律
问题7 从代数运算的角度理解，向量的加法是一种新的运 算，定义了一种新的运算，自然要研究其运算律的问题．类比 数的加法的运算律，你认为向量的加法是否也有运算律？先猜 测有哪些运算律，再说明理由．
（1）
（2）
七、从定义出发，研究向量加法的运算律
c
a b b
b c
A
a b C
A
a
B
aB b
ab ba
是否成立？
(a b) c a (b c)
六、联系对比，巩固新知
C
a＋b ｂ
A aB
|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a与b同向时取等号；
|a＋b|≥||a|－|b||，当且仅当a与b反向时取等号．
六、联系对比，巩固新知
问题6 请你用文字语言、符号语言、图形语言分别
|a b|< |a| |b|
A b
B
六、联系对比，巩固新知
2、 共线
(1)同向
(2)反向
a
b
ab
a
b
ab
|a b| |a| |b|
|a b| |a| |b|
一般有：a b a b
六、联系对比，巩固新知
探究3：数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律和
结合律呢？
b
a
D
D
C
a b c
问题4 向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗？为什么？
一致。平行四边形法则中利用了相等向量的平移。
三 角 形 法 则: C
b B
A
a
尾首顺次相接
首指向尾为和
平行四边形法则: C
七、从定义出发，研究向量加法的运算律
问题7 从代数运算的角度理解，向量的加法是一种新的运 算，定义了一种新的运算，自然要研究其运算律的问题．类比 数的加法的运算律，你认为向量的加法是否也有运算律？先猜 测有哪些运算律，再说明理由．
（1）
（2）
七、从定义出发，研究向量加法的运算律
c
a b b
b c
A
a b C
A
a
B
aB b
ab ba
是否成立？
(a b) c a (b c)
六、联系对比，巩固新知
C
a＋b ｂ
A aB
|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a与b同向时取等号；
|a＋b|≥||a|－|b||，当且仅当a与b反向时取等号．
六、联系对比，巩固新知
问题6 请你用文字语言、符号语言、图形语言分别
|a b|< |a| |b|
A b
B
六、联系对比，巩固新知
2、 共线
(1)同向
(2)反向
a
b
ab
a
b
ab
|a b| |a| |b|
|a b| |a| |b|
一般有：a b a b
六、联系对比，巩固新知
探究3：数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律和
结合律呢？
b
a
D
D
C
a b c
问题4 向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗？为什么？
一致。平行四边形法则中利用了相等向量的平移。
三 角 形 法 则: C
b B
A
a
尾首顺次相接
首指向尾为和
平行四边形法则: C
向量的加法课件公开课获奖课件
|A| D| A| 2C | C| 2D 4
又t a Cn AD |C| D 3 C A 6 D 0
|A| C
所以船实际航行速度的大小为4m/s，方向为 东偏北60°．
第17页，共21页。
思考
在上例中轮船要垂直地渡过长江，其航 向应如何确定？
变式思考
第18页，共21页。
1.向量加法的三角形法 要点：尾首相则接，首尾相连
位移向量b :“向北走3km”， 求ab.
解：如图所示， 作
OA a“向东 3km ” 走
ABb“向北 3km ” 走
O
则 O O B A A a B b
因为△OAB为直角三角形，所以
B
b
aA
O B323232(k)m
又因为∠AOB=450，所以 a b表示向东北走 3 2km.
第16页，共21页。
性质 ||a | |b || |a b | |a | |b |
当 a 、 b 同 向 时 右 边 取 “ =” ;
当 a 、 b 反 向 时 左 边 取 “ =”
学以致用
已知 | a | 3，| b | 5，则 | a b | 的最大值
为
，最小值为
。
第15页，共21页。
例题讲解
例1：某人先位移向量 a : “向东走3km”，接着再
同学这两次位移的总效果是什么? 家A
C 学校 B
超市
AB BC AC
第2页，共21页。
向量加法的定义
已知向 a,b,求 量作 ab.
C
b
ab B
a
A
在平面任取一点A， 作AB a,BC b,再作 AC个向量和的运算叫向量的加法
第3页，共21页。
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的速度,用向量AB表示水流的速度
C
D
以AC,AB为邻边作平行四边形,则 AD
就是船实际行驶的速度
在Rt ABD中, AB 2, BD 2 3
A
B
AD AB BD
AD 4
tan DAB 3 DAB 60
答:船实际行驶速度的大小为4km/h,方向与水流速度间的夹角 60.
课堂小结：
向量加法的定义
a+b
当向量 a 与 b 不共线时，则 向量 a ＋ b , a , b 不同向，这时/a/+/b/与/a+b/，/a/-/b/什么关系那？
|a|－|b|＜|a＋b|＜|a|＋|b|.
小结：向量的三角形不等式：
对于任意两个向量a、b，都有： |a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|.
a
b
a
作法：
（1） b
ab
共
ba
起
（2）
b
a
ab
点
a
两个向量的和向量的作法：
注意： (1) 三 角 形
法则对于两个 向量共线时也 适用.
(2) 两 个 向 量的和向量仍 是一个向量.
1. 三角形法则：
ab
A
a
C
b
B
用向形注 。量法意
共则： 线对平 时于行 不两四 适个边
2. 平行四边形法则：
思考：两种方法作出的和向量是否一致？
向量加法的运算律
交换律： a b b a 结合律：(a b) c a (b c)
１.化简 (1)AB CD BC __A_D_____
(2) MA BN AC CB _M__N_____
(3)AB BD CA DC ___0_____
２.根据图示填空
向
如图，已知 a, b ，请作出 a + b, b + a ,
量 加
a
法
的
运
bb
算
a
a+ b
律
一
b+ a a
b
向量加法的运算律２
如图，已知 a, b , c ，请作出a + ( b + c ) , ( a + b ) + c.
a
c
b
a a+b
b c
b+c
abc
结合律： (a b) c a (b c)
求两个向量和的运算叫做向量的加法.
法
A a
O
b
a+b
B
上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则
两向量首尾相连，和向量由第一个向量的 起点指向第二个向量的终点.
尾首顺次相接 首指向尾为和
两种特例(两向量平行)
a a
b b
A
B
a+b=AC
方向相同
C
C
A
B
a+b=AC
方向相反
▲当向量 a 与 b 同向时，
A.
[1]在平面内任取一点A
B bC a+b
作
[2]作AB= a , BC= b
[3]则向量AC叫 作向量a 与 b
法
的和，记作a ＋ b。
练一练
如图,已知 a, b用向量加法的三角形法则作出a b
（1）
ab a b
b
（2）
b ab b
a
（3）
ab b
a
b
（4）
B
ab b
O
a
A
交换律： a b b a
2.1.2 向量的加法
生活中有向量 生活中用向量
香港
上海 台北
O上海
A香港
台北
B
O OA+AB=OB
B A
B a
A
b
a+b
C向
量
向量求和
的
已知向量a，b，在平面上任取一个点A，作AB=a,BC=b,
再作向量AC，则向量AC叫做a与b的和（或和向量）， 加
记作a ＋ b,即a ＋ b=AB＋BC＝AC
则向量 a+b , a , b同向，且 a+b/=/a/+/b/
▲当向量 a 与 b 反向时，若 /a/>/b/ , 则向量 a + b的方向与 a 相同，且/a+b/=/a/ - /b/ 若/a/</b/ ,则向量 a + b的方向与向量b相同, 且/a+b/=/b/ - /a/
a
b
B bC
a
A.
A6
O
A3
(3)OA1+A6A5.
A1
A2
(4) A1A2+A2A3+A3A4+A4A5+A5A6+A6A1
数学应用
例2 如图，一艘船从 A点出发以2 3km/h的速度向垂直于
对岸的方向行驶，同时河水以２km/h的速度向东流,
求船实际行驶速度 的大小与方向.
: 解 如图,设用向量 AC表示船向垂直于对岸
ab b
a
注1：两种法则具有一致性. 注2：平行四边形法则对于两 个向量共线的情况不适用.
探究 向量求和的多边形法则
A2
A3 A1A2+A2A3=__A_1_A_3__
A1
A2
A3
A1A2+A2A3+A3A4=_A_1_A_4___
A1
A4
练习
1.已知A、B、C、D是平面上的任意四点,则
AB+BC+CD=____A_D___;DB+BD+AC=___A__C_____.
2.ΔABC中,D、 E、 F分别是边AB、BC、AC的中点,则
下面结论正确的是( D )
A. AE=AD+FA
A
B. DE+AF=0
D
F
C. AB+BC+CA≠0
D. AB+BC+AC≠0 B
E
C
3. O为正六边形A1A2A3A4A5A6的中心,求出
下列向量:
A5
A4
(1)OA1+OA3;
(2)A2A3+A6A5;
EeD
gf
d
c
A
C
b
aB
(1)a b c (2)c d f (3)a b d f (4)c d e g
向量加法的平行四边形法则
A
a a a a a a a a a a a+b
bb
b
O
b
b
b C共
a
B起
点
起点相同，两边平行 同一起点，对角为和
向量加法的平行四边形法则
练一练
如图,已知 aBiblioteka b 用向量加法的平行四边形法则 作出 a b
三角形法则
平行四边形法则
向量加法的运算律 向量加法的运算
C
D
以AC,AB为邻边作平行四边形,则 AD
就是船实际行驶的速度
在Rt ABD中, AB 2, BD 2 3
A
B
AD AB BD
AD 4
tan DAB 3 DAB 60
答:船实际行驶速度的大小为4km/h,方向与水流速度间的夹角 60.
课堂小结：
向量加法的定义
a+b
当向量 a 与 b 不共线时，则 向量 a ＋ b , a , b 不同向，这时/a/+/b/与/a+b/，/a/-/b/什么关系那？
|a|－|b|＜|a＋b|＜|a|＋|b|.
小结：向量的三角形不等式：
对于任意两个向量a、b，都有： |a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|.
a
b
a
作法：
（1） b
ab
共
ba
起
（2）
b
a
ab
点
a
两个向量的和向量的作法：
注意： (1) 三 角 形
法则对于两个 向量共线时也 适用.
(2) 两 个 向 量的和向量仍 是一个向量.
1. 三角形法则：
ab
A
a
C
b
B
用向形注 。量法意
共则： 线对平 时于行 不两四 适个边
2. 平行四边形法则：
思考：两种方法作出的和向量是否一致？
向量加法的运算律
交换律： a b b a 结合律：(a b) c a (b c)
１.化简 (1)AB CD BC __A_D_____
(2) MA BN AC CB _M__N_____
(3)AB BD CA DC ___0_____
２.根据图示填空
向
如图，已知 a, b ，请作出 a + b, b + a ,
量 加
a
法
的
运
bb
算
a
a+ b
律
一
b+ a a
b
向量加法的运算律２
如图，已知 a, b , c ，请作出a + ( b + c ) , ( a + b ) + c.
a
c
b
a a+b
b c
b+c
abc
结合律： (a b) c a (b c)
求两个向量和的运算叫做向量的加法.
法
A a
O
b
a+b
B
上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则
两向量首尾相连，和向量由第一个向量的 起点指向第二个向量的终点.
尾首顺次相接 首指向尾为和
两种特例(两向量平行)
a a
b b
A
B
a+b=AC
方向相同
C
C
A
B
a+b=AC
方向相反
▲当向量 a 与 b 同向时，
A.
[1]在平面内任取一点A
B bC a+b
作
[2]作AB= a , BC= b
[3]则向量AC叫 作向量a 与 b
法
的和，记作a ＋ b。
练一练
如图,已知 a, b用向量加法的三角形法则作出a b
（1）
ab a b
b
（2）
b ab b
a
（3）
ab b
a
b
（4）
B
ab b
O
a
A
交换律： a b b a
2.1.2 向量的加法
生活中有向量 生活中用向量
香港
上海 台北
O上海
A香港
台北
B
O OA+AB=OB
B A
B a
A
b
a+b
C向
量
向量求和
的
已知向量a，b，在平面上任取一个点A，作AB=a,BC=b,
再作向量AC，则向量AC叫做a与b的和（或和向量）， 加
记作a ＋ b,即a ＋ b=AB＋BC＝AC
则向量 a+b , a , b同向，且 a+b/=/a/+/b/
▲当向量 a 与 b 反向时，若 /a/>/b/ , 则向量 a + b的方向与 a 相同，且/a+b/=/a/ - /b/ 若/a/</b/ ,则向量 a + b的方向与向量b相同, 且/a+b/=/b/ - /a/
a
b
B bC
a
A.
A6
O
A3
(3)OA1+A6A5.
A1
A2
(4) A1A2+A2A3+A3A4+A4A5+A5A6+A6A1
数学应用
例2 如图，一艘船从 A点出发以2 3km/h的速度向垂直于
对岸的方向行驶，同时河水以２km/h的速度向东流,
求船实际行驶速度 的大小与方向.
: 解 如图,设用向量 AC表示船向垂直于对岸
ab b
a
注1：两种法则具有一致性. 注2：平行四边形法则对于两 个向量共线的情况不适用.
探究 向量求和的多边形法则
A2
A3 A1A2+A2A3=__A_1_A_3__
A1
A2
A3
A1A2+A2A3+A3A4=_A_1_A_4___
A1
A4
练习
1.已知A、B、C、D是平面上的任意四点,则
AB+BC+CD=____A_D___;DB+BD+AC=___A__C_____.
2.ΔABC中,D、 E、 F分别是边AB、BC、AC的中点,则
下面结论正确的是( D )
A. AE=AD+FA
A
B. DE+AF=0
D
F
C. AB+BC+CA≠0
D. AB+BC+AC≠0 B
E
C
3. O为正六边形A1A2A3A4A5A6的中心,求出
下列向量:
A5
A4
(1)OA1+OA3;
(2)A2A3+A6A5;
EeD
gf
d
c
A
C
b
aB
(1)a b c (2)c d f (3)a b d f (4)c d e g
向量加法的平行四边形法则
A
a a a a a a a a a a a+b
bb
b
O
b
b
b C共
a
B起
点
起点相同，两边平行 同一起点，对角为和
向量加法的平行四边形法则
练一练
如图,已知 aBiblioteka b 用向量加法的平行四边形法则 作出 a b
三角形法则
平行四边形法则
向量加法的运算律 向量加法的运算