向量的加法 公开课

a+b
当向量 a 与 b 不共线时，则 向量 a ＋ b , a , b 不同向，这时/a/+/b/与/a+b/，/a/-/b/什么关系那？
|a|－|b|＜|a＋b|＜|a|＋|b|.
小结：向量的三角形不等式：
对于任意两个向量a、b，都有： |a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|.
a
b
a
作法：
A.
[1]在平面内任取一点A
B bC a+b
作
[2]作AB= a , BC= b
[3]则向量AC叫 作向量a 与 b
法
的和，记作a ＋ b。
练一练
如图,已知 a, b用向量加法的三角形法则作出a b
（1）
ab a b
b
（2）
b ab b
a
（3）
ab b
a
b
（4）
B
ab b
O
a
A
交换律： a b b a
求两个向量和的运算叫做向量的加法.
法
A a
O
b
a+b
B
上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则
两向量首尾相连，和向量由第一个向量的 起点指向第二个向量的终点.
尾首顺次相接 首指向尾为和
两种特例(两向量平行)
a a
b b
A
B
a+b=AC
方向相同
C
C
A
B
a+b=AC
方向相反
▲当向量 a 与 b 同向时，
ab b
a
注1：两种法则具有一致性. 注2：平行四边形法则对于两 个向量共线的情况不适用.
探究 向量求和的多边形法则
A2
A3 A1A2+A2A3=__A_1_A_3__
A1
A2
A3
A1A2+A2A3+A3A4=_A_1_A_4___
A1
A4
练习
1.已知A、B、CΒιβλιοθήκη BaiduD是平面上的任意四点,则
AB+BC+CD=____A_D___;DB+BD+AC=___A__C_____.
则向量 a+b , a , b同向，且 a+b/=/a/+/b/
▲当向量 a 与 b 反向时，若 /a/>/b/ , 则向量 a + b的方向与 a 相同，且/a+b/=/a/ - /b/ 若/a/</b/ ,则向量 a + b的方向与向量b相同, 且/a+b/=/b/ - /a/
a
b
B bC
a
A.
（1） b
ab
共
ba
起
（2）
b
a
ab
点
a
两个向量的和向量的作法：
注意： (1) 三 角 形
法则对于两个 向量共线时也 适用.
(2) 两 个 向 量的和向量仍 是一个向量.
1. 三角形法则：
ab
A
a
C
b
B
用向形注 。量法意
共则： 线对平 时于行 不两四 适个边
2. 平行四边形法则：
思考：两种方法作出的和向量是否一致？
向
如图，已知 a, b ，请作出 a + b, b + a ,
量 加
a
法
的
运
bb
算
a
a+ b
律
一
b+ a a
b
向量加法的运算律２
如图，已知 a, b , c ，请作出a + ( b + c ) , ( a + b ) + c.
a
c
b
a a+b
b c
b+c
abc
结合律： (a b) c a (b c)
向量加法的运算律
交换律： a b b a 结合律：(a b) c a (b c)
１.化简 (1)AB CD BC __A_D_____
(2) MA BN AC CB _M__N_____
(3)AB BD CA DC ___0_____
２.根据图示填空
A6
O
A3
(3)OA1+A6A5.
A1
A2
(4) A1A2+A2A3+A3A4+A4A5+A5A6+A6A1
数学应用
例2 如图，一艘船从 A点出发以2 3km/h的速度向垂直于
对岸的方向行驶，同时河水以２km/h的速度向东流,
求船实际行驶速度 的大小与方向.
: 解 如图,设用向量 AC表示船向垂直于对岸
三角形法则
平行四边形法则
向量加法的运算律 向量加法的运算
的速度,用向量AB表示水流的速度
C
D
以AC,AB为邻边作平行四边形,则 AD
就是船实际行驶的速度
在Rt ABD中, AB 2, BD 2 3
A
B
AD AB BD
AD 4
tan DAB 3 DAB 60
答:船实际行驶速度的大小为4km/h,方向与水流速度间的夹角 60.
课堂小结：
向量加法的定义
2.ΔABC中,D、 E、 F分别是边AB、BC、AC的中点,则
下面结论正确的是( D )
A. AE=AD+FA
A
B. DE+AF=0
D
F
C. AB+BC+CA≠0
D. AB+BC+AC≠0 B
E
C
3. O为正六边形A1A2A3A4A5A6的中心,求出
下列向量:
A5
A4
(1)OA1+OA3;
(2)A2A3+A6A5;
EeD
gf
d
c
A
C
b
aB
(1)a b c (2)c d f (3)a b d f (4)c d e g
向量加法的平行四边形法则
A
a a a a a a a a a a a+b
bb
b
O
b
b
b C共
a
B起
点
起点相同，两边平行 同一起点，对角为和
向量加法的平行四边形法则
练一练
如图,已知 a, b 用向量加法的平行四边形法则 作出 a b
2.1.2 向量的加法
生活中有向量 生活中用向量
香港
上海 台北
O上海
A香港
台北
B
O OA+AB=OB
B A
B a
A
b
a+b
C向
量
向量求和
的
已知向量a，b，在平面上任取一个点A，作AB=a,BC=b,
再作向量AC，则向量AC叫做a与b的和（或和向量）， 加
记作a ＋ b,即a ＋ b=AB＋BC＝AC