2007年高考试题——数学理(浙江卷)

2007年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理工类）第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）“1x >”是“2x x >”的（ ） Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充分不必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件（2）若函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R （其中0ω>，2ϕπ<）的最小正周期是π，且(0)f =）A ．126ωϕπ==， B ．123ωϕπ==， C ．26ωϕπ==，D ．23ωϕπ==，（3）直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线方程是（ ） Ａ．210x y +-= Ｂ．210x y +-= Ｃ．230x y +-=Ｄ．230x y +-=（4）要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是关径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是（ ） Ａ．3 Ｂ．4 Ｃ．5 Ｄ．6（5）已知随机变量ξ服从正态分布2(2)N σ，，(4)0.84P ξ=≤，则(0)P ξ=≤（ ） A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68 D ，0.84 （6）若P 两条异面直线l m ，外的任意一点，则（ ） Ａ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都平行 Ｂ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都垂直 Ｃ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都相交 Ｄ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都异面 （7）若非零向量，a b 满足+=a b b ，则（ ） Ａ．2>2+a a b Ｂ．22<+a a b Ｃ．2>+2b a bＤ． 22<+b a b（8）设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）（9）已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是准线上一点，且12PF PF ⊥，124PF PF ab = ，则双曲线的离心率是（ ）Ｃ．2Ｄ．3（10）设21()1x x f x x x ⎧⎪=⎨<⎪⎩，≥，，，()g x 是二次函数，若(())f g x 的值域是[)0+，∞，则()g x 的值域是（ ）A ．(][)11--+ ∞，，∞B ．(][)10--+ ∞，，∞C ．[)0+，∞D ．[)1+，∞第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． （11）已知复数11i z =-，121i z z =+ ，则复数2z = ． （12）已知1sin cos 5θθ+=，且324θππ≤≤，则cos 2θ的值是 ． （13）不等式211x x --<的解集是 ．（14）某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种，小张用10元钱买杂志（每种至多买一本，10元钱刚好用完），则不同买法的种数是 （用数字作答）． （15）随机变量ξ的分布列如下：A ．B ．C ．D ．其中a b c ，，成等差数列，若13E ξ=，则D ξ的值是 ． （16）已知点O 在二面角AB αβ--的棱上，点P 在α内，且45POB ∠=．若对于β内异于O 的任意一点Q ，都有45POQ ∠ ≥，则二面角AB αβ--的大小是．（17）设m 为实数，若{}22250()30()250x y x y x x y x y mx y ⎧⎫-+⎧⎪⎪⎪-⊆+⎨⎨⎬⎪⎪⎪+⎩⎩⎭≥，≥，≤≥，则m 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （18）（本题14分）已知ABC △1，且sin sin A B C +=． （I ）求边AB 的长；（II ）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．（19）（本题14分）在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且2A C B C B D A E ===，M 是AB 的中点．（I ）求证：CM EM ⊥；（II ）求CM 与平面CDE 所成的角．（20）（本题14分）如图，直线y kx b =+与椭圆2214xy +=交于A B ，两点，记AOB △的面积为S ．（I ）求在0k =，01b <<的条件下，S 的最大值； （II ）当2AB =，1S =时，求直线AB 的方程．（21）（本题15分）已知数列{}n a 中的相邻两项212k k a a -，是关于x 的方程2(32)320k kx k x k -++=的两个根，且212(123)k k a a k -= ≤，，，．（I ）求1a ，2a ，3a ，7a ； （II ）求数列{}n a 的前2n 项和2n S ； （Ⅲ）记sin 1()32sin nf n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，E DCMA（第19题）(2)(3)(4)(1)123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n n n nT a a a a a a a a +-----=++++…， 求证：15()624n T n ∈*N ≤≤． （22）（本题15分）设3()3x f x =，对任意实数t ，记232()3t g x t x t =-．（I ）求函数()()t y f x g x =-的单调区间；（II ）求证：（ⅰ）当0x >时，()f x g ()()t f x g x ≥对任意正实数t 成立； （ⅱ）有且仅有一个正实数0x ，使得00()()x t g x g x ≥对任意正实数t 成立．2007年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理工类）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分． （1）A （2）D （3）D （4）B （5）A （6）B （7）C （8）D （9）B （10）C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分28分． （11）1 （12）725- （13）{}02x x << （14）266（15）59（16）90（17）403m ≤≤三、解答题（18）解：（I）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++=，BC AC +=，两式相减，得1AB =． （II ）由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C = ，得13BC AC = ， 由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC+-=22()2122AC BC AC BC AB AC BC +--== ， 所以60C =．（19）本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．满分14分． 方法一：（I ）证明：因为AC BC =，M 是AB 的中点， 所以CM AB ⊥． 又EA ⊥平面ABC ， 所以CM EM ⊥．（II ）解：过点M 作MH ⊥平面CDE ，垂足是H ，连结CH 交延长交ED 于点F ，连结MF ，MD ．FCM ∠是直线CM 和平面CDE 所成的角． 因为MH ⊥平面CDE ，所以MH ED ⊥， 又因为CM ⊥平面EDM ， 所以CM ED ⊥，则ED ⊥平面CMF ，因此ED MF ⊥．设EA a =，2BD BC AC a ===，在直角梯形ABDE 中，AB =，M 是AB 的中点，所以3DE a =，EM =，MD =， 得EMD △是直角三角形，其中90EMD =∠，所以EM MDMF DE== ．在Rt CMF △中，tan 1MFFCM MC==∠， 所以45FCM =∠，故CM 与平面CDE 所成的角是45． 方法二：如图，以点C 为坐标原点，以CA ，CB 分别为x 轴和y 轴，过点C 作与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立直角坐标系C xyz -，设E A a =，则(2)A a 00，，，(020)B a ，，，(20)E a a ，，．(022)D a a ，，，(0)M a a ，，．（I ）证明：因为()EM a a a =-- ，，，(0)CM a a =，，， 所以0EM CM =， 故EM CM ⊥．EDC MABE H（II ）解：设向量001y z ()，，n =与平面CDE 垂直，则CE ⊥ n ，CD ⊥n ， 即0CE = n ，0CD = n ．因为(20)CE a a = ，，，(022)CD a a = ，，， 所以02y =，02x =-，即(122)=-，，n ，cos 2CM CM CM ==，n n n， 直线CM 与平面CDE 所成的角θ是n 与CM夹角的余角，所以45θ=，因此直线CM 与平面CDE 所成的角是45．（20）本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．满分14分．（Ⅰ）解：设点A 的坐标为1()x b ，，点B 的坐标为2()x b ，，由2214x b +=，解得12x =±， 所以1212S b x x =-2b =2211b b +-=≤．当且仅当b =时，S 取到最大值1． （Ⅱ）解：由2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 得22212104k x kbx b ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭，2241k b ∆=-+，11||||AB x x =-2214k ==+ ． ②设O 到AB 的距离为d ，则21||Sd AB ==，又因为d =所以221b k =+，代入②式并整理，得42104k k -+=， 解得212k =，232b =，代入①式检验，0∆>，故直线AB 的方程是22y x =+或22y x =-或22y x =+，或22y x =-．21．本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．满分15分． （I ）解：方程2(32)320kkx k x k -++= 的两个根为13x k =，22k x =， 当1k =时，1232x x ==，， 所以12a =；当2k =时，16x =，24x =， 所以34a =；当3k =时，19x =，28x =， 所以58a =时；当4k =时，112x =，216x =， 所以712a =．（II ）解：2122n n S a a a =+++2(363)(222)n n =+++++++2133222n n n ++=+-．（III ）证明：(1)123456212111(1)f n n n nT a a a a a a a a +--=+-++， 所以112116T a a ==， 2123411524T a a a a =+=． 当3n ≥时，(1)3456212111(1)6f n n n nT a a a a a a +--=+-++， 345621211116n n a a a a a a -⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭≥ 2311111662622n ⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭ ≥ 1116626n =+> ， 同时，(1)5678212511(1)24f n n n nT a a a a a a +--=--++5612212511124n n a a a a a a -⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭≤31511112492922n ⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭≤ 515249224n =-< ． 综上，当n ∈N *时，15624n T ≤≤． 22．本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．满分15分．（I ）解：316433x y x =-+． 由240y x '=-=，得2x =±．因为当(2)x ∈-∞-，时，y '>0， 当(22)x ∈-，时，0y '<， 当(2)x ∈+∞，时，0y '>， 故所求函数的单调递增区间是(2)-∞-，，(2)+∞，， 单调递减区间是(22)-，． （II ）证明：（i ）方法一：令2332()()()(0)33t x h x f x g x t x t x =-=-+>，则 223()h x x t '=-，当0t >时，由()0h x '=，得13x t =， 当13()x x ∈+∞时，()0h x '>，所以()h x 在(0)+∞，内的最小值是13()0h t =． 故当0x >时，()()t f x g x ≥对任意正实数t 成立． 方法二：对任意固定的0x >，令232()()(0)3t h t g x t x t t ==->，则 11332()()3h t t x t -'=-，由()0h t '=，得3t x =． 当30t x <<时，()0h t '>． 当3t x >时，()0h t '<，所以当3t x =时，()h t 取得最大值331()3h x x =． 因此当0x >时，()()f x g x ≥对任意正实数t 成立． （ii ）方法一：8(2)(2)3t f g ==． 由（i ）得，(2)(2)t t g g ≥对任意正实数t 成立．即存在正实数02x =，使得(2)(2)x t g g ≥对任意正实数t 成立． 下面证明0x 的唯一性： 当02x ≠，00x >，8t =时，300()3x f x =，0016()43x g x x =-，由（i ）得，30016433x x >-， 再取30t x =，得30300()3x x g x =，所以303000016()4()33x x x g x x g x =-<=， 即02x ≠时，不满足00()()x t g x g x ≥对任意0t >都成立． 故有且仅有一个正实数02x =，使得00()0()x t g x g x ≥对任意正实数t 成立． 方法二：对任意00x >，0016()43x g x x =-， 因为0()t g x 关于t 的最大值是3013x ，所以要使00()()x t g x g x ≥对任意正实数成立的充分必要条件是：300161433x x -≥，即200(2)(4)0x x -+≤， ① 又因为00x >，不等式①成立的充分必要条件是02x =， 所以有且仅有一个正实数02x =， 使得00()()x t g x g x ≥对任意正实数t 成立．。