数学归纳法证明。PPT课件

那么1 3 5 (2 k 1 ) (2 k 1 )
k2 1 (2 k 1 )(k 1 )2 1
即n=k+1时等式成立。所以等式对
一切正整数n均成立. 。
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例如：用数学归纳法证明
1+3+5+ …+（2n-1)= n 2 1 (nN)
n=1时，左边=1，右边=0，左边 =右边
证假明设：n假=k设时n等=k式时成等立式，成即立，即
1k1
1 k1
即 n=k+1时 猜 想 也 成 立k
根据(1)(2)可知对任意正整数n猜想都成立.
例:证明凸n边形内角和为 (n2)•180o中，
初始值应该从几取？ 初始值应取3
.
7
例如：用数学归纳法证明
1+3+5+ …+（2n-1)= n 2 1 (nN)
证明：假设n=k时等式成立，即
1 3 5 (2 k 3 ) (2 k 1 ) k 2 1
.
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❖ 例如：用数学归纳法证明
❖
1+3+5+ …+（2n-1)= n2(nN*)
证明:(1) 当 n 1
左边 = 1，右边 = 12= 1 ，等式成立
（2）假设当n=k时成立，即：
1 3 5 (2 k 3 ) (2 k 1 ) k 2
当n=k+1时, 代入得
1+1 3 +3 55 + ……+ ( （2 k 2 k1 -) 1 )( +2 k ( 21 k) + 1( k ) 1 ) 2 ,
＝
1
k(k1)(k2) + 3
(k1)k (2)
凑假设
= ( 1 k 1) (k1)k (2) 3
=
1(k1)k11k12
3
凑结论
∴ n=k+1时命题正确。 由(1)和(2)知. ，当 nN，命题正确。 15
2.已知 f(n) 1 1 ... 1 n1 n2 3n1
则f(k1)f(k)
答案 1 ： 1 1 1 3K 23K 33K 4K 1
2.3数学归纳法(1)
问题 1:如何证明粉笔盒中的粉笔
它们都是白色的？
对 问于 题数 列 2:an,已 知 a11， an11 an ann1,2,..
猜 想 其 通 项 公 式
a1
1 1
1 a2 2
a3
1 3
an
1 n
有限步骤
考察对象 无限
…
多 米 诺 骨 牌 课 件 演 示
.
3
.
4
已知数列 an,a1=1,an+1=1+ aa nn(nN*),
D. n=4时该命题成立
.
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练习巩固
1.用1 + 数a + 学a 2 归+ . 纳. . + 法a n 证 1= 明：1 1 - - a a n 2a ≠ 1 , n N *
在验证 n=1成立时，左边计算所得的
结果是（ C ）
A．1
B. 1 + a
C．1+a+a2
D.1+a+a2+a3
.
13
.
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课堂小结
1、数学归纳法能够解决哪一类问题？
一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题
2、数学归纳法证明命题的步骤是什么？
两个步骤和一个结论，缺一不可
3、数学归纳法证明命题的关键在哪里？
ห้องสมุดไป่ตู้
关键在第二步，即归纳假设要用到，解题目标要明确
4、数学归纳法体现的核心思想是什么？
递推思想，运用“有限”的手段，来解决“无限”的问题
可知不论有多少块骨牌，
都能全部倒下。
.
知对任意的正整数n，猜 想 都成立。
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对于数列an,已知a1=1,an+1=1+ aann(nN*),
猜想其通项公式为an=n 1,怎样证明?
证明：(1)当 n=1时 a1=1成 立
(2)假设n=k时猜想成立即 a k
1
1 k
则n=k+1时,ak+1
ak 1ak
证明:(1) 当 n 1
左边 = 1，右边 = 12= 1 ，等式成立
（2）假设当n=k时成立，即：
1 3 5 (2 k 3 ) (2 k 1 ) k2
当n=k+1时, 代入得
1 3 5 ( 2 k 1 ) ( 2 k 1 ) ( k 1 ) 2 ,
所以等式也成立。 综合（1）（2）等式对一切正整数n均成立
1 多米诺骨牌游戏的原理 a n n 这个猜想的证明方法
（1）第一块骨牌倒下。（1）当n=1时猜想成立。
（2）若当n=k时猜想成立，
（2）若第k块倒下时， 即 则相邻的第k+1块也倒下。
ak
1 k
，则当n=k+1时猜想
1
也成立，即 ak 1 k 1 。
根据（1）和 （2）， 根据（1）和（2），可
凑 假 a1 kd a1(k1)1d
由∴(当1设)n和=k(+21)时知，,等结式论对也于. 成任立何. n∈N*都成凑立结。论 18
1)当n=1时，左边=1×2=2,右边=
1 3
×1× 2×
3
=2.
命题成立
2)假设n=k时命题成立,即
1
1×2＋2×3＋3×4＋…＋k(k+1)＝
k(k1)(k2) 3
则当n=k+1时， 1 2 2 3 3 4 . .k ( .k 1 )(k1)k (2)
从n=k到n=k+1有什么变化
1 3 5 (2 k 3 ) (2 k 1 ) k 2 1
那么1 3 5 (2 k 1 ) (2 k 1 )
k2 1 (2 k 1 )(k 1 )2 1
即n=k+1时等式成立。所以等式对
一切正整数n均成立. 。
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❖ 例如：用数学归纳法证明
❖
1+3+5+ …+（2n-1)= n 2
例1.用数学归纳法证明
1 2 2 2 3 2 L n 2 （ nn 1 （ )2 n 1 ） （ n N ） 6
1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1) ＝
1 n(n 1)(n 2) 3
练习.用数学归纳法证明： 1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1) ＝
1 n(n 1)(n 2) 3
证明:
注意类比思想的运用
.
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用数学归纳法证明：如果{an}是一个等差数列 则an=a1+(n-1)d对于一切n∈N*都成立。
证明:(1)当n=1时,左边=a1,右边=a1 +（1-1）d=a1, ∴ 当n=1时，结论成立
(2)假设当n=k时结论成立,即ak=a1+(k-1)d
则ak1ak d
a1(k1)dd
=k2+(2k+1)=(k+1
所以等式也成立。
)2
综合（1）（2）等式对. 一切正整数n均成立11
练问习题：情境某一个命题当n=k (k∈N )时成立， 可证得当n=k+1时也成立。现在已知当 n=5时该命题不成立，那么可推得（C）
A. n=6时该命题不成立
B. n=6时该命题成立
C. n=4时该命题不成立