数学归纳法证明。PPT课件
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高中数学《数学归纳法》课件
12 22 32 n2 n(n 1)(2n 1) 6
证明:
1
(1)当n=1时,左边=12=1,右边=
2
3
1
6
等式成立。
(2)假设当n=k时,等式成立,即
12 22 32 k 2 k(k 1)(2k 1) 6
那么: 左边=12+22+……+k2+(k+1)2
k(k 1)(2k 1) (k 1)2 6
❖ 设{pn}是一个与自然数相关的命题集合,如果 (1)证明起始命题p1(或p0)成立; (2)在假设pk成立的前提下,推出pk+1也成 立,那么可以断定。{pn}对一切正整数(或自 然数)成立,这种方法叫做数学归纳法。
引例1:已知数列{an}中, a1=1,an+1=an/(an+1),试求出a2,a3,a4并猜 想{an}的通项公式
k(k 1)(2k 1) 6(k 1)2
6 (k 1)(2k 2 7k 6)
6 (k 1)(k 2)(2k 3)
6
(k 1)(k 1) 12(k 1) 1 右边
6
即当n=k+1时等式也成立。 根据(1)和(2),可知命题
对任何n∈N*都成立。
重点:两个步骤、一个结论; 注意:递推基础不可少,
故 n=k+1 时猜想也成立. 由①②可知,对 n≥2,n∈N*,有 an=5×2n-2. 所以数列{an}的通项公式为 an=55, ×n2= n-21,,n≥2.
Hale Waihona Puke 1 1 1 1 n .24 46 68
2n(2n 2) 4(n 1)
证明 (1)当n=1时,等式左边 1 1 , 24 8
等式右边 1 1, 所以等式成立. 4(11) 8
证明:
1
(1)当n=1时,左边=12=1,右边=
2
3
1
6
等式成立。
(2)假设当n=k时,等式成立,即
12 22 32 k 2 k(k 1)(2k 1) 6
那么: 左边=12+22+……+k2+(k+1)2
k(k 1)(2k 1) (k 1)2 6
❖ 设{pn}是一个与自然数相关的命题集合,如果 (1)证明起始命题p1(或p0)成立; (2)在假设pk成立的前提下,推出pk+1也成 立,那么可以断定。{pn}对一切正整数(或自 然数)成立,这种方法叫做数学归纳法。
引例1:已知数列{an}中, a1=1,an+1=an/(an+1),试求出a2,a3,a4并猜 想{an}的通项公式
k(k 1)(2k 1) 6(k 1)2
6 (k 1)(2k 2 7k 6)
6 (k 1)(k 2)(2k 3)
6
(k 1)(k 1) 12(k 1) 1 右边
6
即当n=k+1时等式也成立。 根据(1)和(2),可知命题
对任何n∈N*都成立。
重点:两个步骤、一个结论; 注意:递推基础不可少,
故 n=k+1 时猜想也成立. 由①②可知,对 n≥2,n∈N*,有 an=5×2n-2. 所以数列{an}的通项公式为 an=55, ×n2= n-21,,n≥2.
Hale Waihona Puke 1 1 1 1 n .24 46 68
2n(2n 2) 4(n 1)
证明 (1)当n=1时,等式左边 1 1 , 24 8
等式右边 1 1, 所以等式成立. 4(11) 8
数学归纳法PPT教学课件
数学归纳法的未来发展
不断完善理论
随着数学理论的发展,数学归 纳法的理论和应用将不断完善
和丰富。
应用领域拓展
随着科技的发展,数学归纳法的 应用领域将不断拓展,应用于更 多领域。
创新教学方法
随着教育理论的发展,将不断创新 教学方法,提高数学归纳法的教学 效果。
在实际生活中的应用
数据分析
在商业、金融等领域,数学归 纳法被广泛应用于数据分析, 帮助企业做出正确的决策。
组合数学的应用
总结词
数学归纳法在组合数学中的应用非常广泛,通过验证 n=1时结论是否成立,再假设n=k时结论成立,推理出 n=k+1时结论也成立,从而得出所有正整数n的结论都 成立。
详细描述
数学归纳法在组合数学中的应用可以通过以下步骤来体 现:首先,验证n=1时结论是否成立,通常取1作为起 始值;接着,假设n=k时结论成立,即已经得出前k个 组合数的结论;最后,推理出n=k+1时结论也成立, 即通过前k个组合数的结论推导出前k+1个组合数的结 论,从而得出所有正整数n的结论都成立。这种方法通 常用于求解组合数的性质和公式,如C(n,k)、P(n,k)等 。
总结与展望
数学归纳法的优缺点
• 优点总结 • 直观易懂:数学归纳法是一种直观易懂的方法,易于学生理解和掌握。 • 严谨性强:数学归纳法是一种严谨的证明方法,可以有效地避免证明过程中的漏洞和错误。 • 应用广泛:数学归纳法在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。 • 缺点总结 • 使用条件限制:数学归纳法在使用上存在一定的限制,不适用于所有问题。 • 理解难度大:对于初学者来说,数学归纳法的理解难度较大,需要花费更多的时间和精力去掌握。 • 容易出错:在应用数学归纳法时,如果处理不当,容易出现错误和漏洞。
用数学归纳法证明不等式 课件
2k+2 ·2k+1
=
2
2k+2 2k+1
=
4k2+8k+4 2 2k+1 Nhomakorabea>
4k2+8k+3 2 2k+1
=
2k2+· 32·k+2k1+1=
2k+1+1
2
.
∴n=k+1 时,不等式也成立.
由①,②知,对一切大于 1 的自然数 n,不等式都成立.
方法二:①当 n=2 时,左边=1+13=43,右边= 25,左边 >右边,∴不等式成立.
② 假 设 当 n = k(k≥2 , k ∈ N*) 时 , 命 题 成 立 , 即 1+13
1+15 … 1+2k-1 1 >
2k+1 2
,
那
么
当
n=k+1
时 , 1+13
1+15…1+2k-1 11+2k+1 1> 2k2+11+2k+1 1= k2+k+1 1,要
证不等式成立,只需证明 k2+k+1 1> 2k+2 1+1,只要证明 4k2
用数学归纳法证明与数列有关的不等式问题,要注意用 到递推关系式 xn=38+12x2n-1,通过正确的放缩来达到目的.
1.使用数学归纳法证明不等式,难点在于由n=k时命题 成立推出n=k+1时命题成立,为完成这步证明,不仅要正确 使用归纳假设,还要灵活利用问题中的其他条件和相关知 识.其中,比较法、分析法、综合法、放缩法等常被灵活地应 用.
用数学归纳法证明不等式
1.贝努利不等式:如果x是实数且x>-1,x≠0,n为大于 1的自然数,则____(_1_+__x_)n_>__1_+__n_x.
2.设α为有理数,x>-1,如果0<α<1,则(1+x)α____1 + αx ≤; 如 果 α < 0 或 α > 1 , 则 (1 + x)α______1 + αx , 当≥且 仅 当 ____________时,等x=号0成立.
《数学归纳法》课件PPT
探究?
归纳奠基必不可少
1. 判断下列证明方法对不对?
假设n=k时,等式2+4+6+…+2n = n2+n+1成立,
就是 2+4+6+…+2k = k2+k+1. 那么n=k+1时,
2+4+6+…+2k+2(k+1)=k2+k+1+2(k+1)
等式也成立.
=(k+1)2+(k+1)+1
故,等式 2+4+6+…+2n=n2+n+1对任意的 n N * 都成立.
(1)在第一步中的初始值n0不一定从1取起,证明时应 根据具体情况而定.
(2)在证明递推步骤时,必须使用归纳假设. 分析“n=k+1时”命题是什么,并找出与“n=k” 时命题形式的差别, 弄清左端应增加的项.
(3)两个步骤、一个结论缺一不可,否则结论不能成立.
递推基础不可少, 归纳假设要用到, 结论写明莫忘掉.
12 23
k(k 1) k 1
则n k 1时,
111 1
1
12 23 34
k(k 1) (k 1)(k 2)
k
1
k 1 (k 1)(k 2)
k 1 k 1 k 2 (k 1) 1
即n)知,对一切正整数 n, 等式均成立.
练习: 1.用数学归纳法证明
数学归纳法
第一步 第n0块骨牌倒下 证明n=n0时命题成立
第二步
第k块倒下时, 第K+1块也会倒下
假设n=k(k≥n0)时命题 成立,证明n=k+1时 命题也成立
数学归纳法完整PPT课件
问题4:这是一盒白色粉笔,怎么证明他们是白的?一一检查 。
请问:以上四个结论正确吗?为什么? ❖得出以上结论所用的方法有什么共同点和什么不同点
1、错; 2、错,a5=25≠1; 3、对; 4、对。
❖共同点:均用了归纳法得出结论;不同点:问题1、2、3是用的不完全 归纳法,问题4是用的完全归纳法。
☺
.
第二步就没有了意义;如果没有第二步,就成了不完全归纳,结论就没 有可靠性;第三步是总体结论,也不可少。
2、在第二步的证明中必须用到前面的归纳假设,否则就不是数学归纳法了。
3、数学归纳法只适用于和正整数有关ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ命题。
.
8
a 例2:已知数列{ n },其通项公式为 an = 2n- 1,试猜想该
数列的前n和公式 s n ,并用数学归纳法证明你的结论。
数学归纳法
(一)
太康县第二高级中学 郭伟峰
.
1
引入
问题1:从前一个地主的孩子学写字,学过一二三后得出结论四就是四 横五就是五横。
问题 2:数列{an}的通项公式为an=(n2-5n+5)2,计算得 a1=1,a2=1, a3 =1, 于是猜出数列{an}的通项公式为:an=1。
问题3:三角形的内角和为180°,四边形的内角和为2•180°,五边形的内 角和为3•180°,于是有:凸n边形的内角和为(n-2) • 180°。
由(1)和(2)知,等式对于任何n∈ N *都成立。
.
7
注意
由以上可知,用数学归纳法需注意:
1、三个步骤却一不可:第一步是是奠基步骤,是命题论证的基础,称之为
归纳基础;第二步是归纳假设,是推理的依据,是判断命题的正确性能
否由特殊推广到一般,它反映了无限递推关系,其中 “假设n=k时成立”
请问:以上四个结论正确吗?为什么? ❖得出以上结论所用的方法有什么共同点和什么不同点
1、错; 2、错,a5=25≠1; 3、对; 4、对。
❖共同点:均用了归纳法得出结论;不同点:问题1、2、3是用的不完全 归纳法,问题4是用的完全归纳法。
☺
.
第二步就没有了意义;如果没有第二步,就成了不完全归纳,结论就没 有可靠性;第三步是总体结论,也不可少。
2、在第二步的证明中必须用到前面的归纳假设,否则就不是数学归纳法了。
3、数学归纳法只适用于和正整数有关ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ命题。
.
8
a 例2:已知数列{ n },其通项公式为 an = 2n- 1,试猜想该
数列的前n和公式 s n ,并用数学归纳法证明你的结论。
数学归纳法
(一)
太康县第二高级中学 郭伟峰
.
1
引入
问题1:从前一个地主的孩子学写字,学过一二三后得出结论四就是四 横五就是五横。
问题 2:数列{an}的通项公式为an=(n2-5n+5)2,计算得 a1=1,a2=1, a3 =1, 于是猜出数列{an}的通项公式为:an=1。
问题3:三角形的内角和为180°,四边形的内角和为2•180°,五边形的内 角和为3•180°,于是有:凸n边形的内角和为(n-2) • 180°。
由(1)和(2)知,等式对于任何n∈ N *都成立。
.
7
注意
由以上可知,用数学归纳法需注意:
1、三个步骤却一不可:第一步是是奠基步骤,是命题论证的基础,称之为
归纳基础;第二步是归纳假设,是推理的依据,是判断命题的正确性能
否由特殊推广到一般,它反映了无限递推关系,其中 “假设n=k时成立”
数学归纳法 课件
数学归纳法
1.数学归纳法的定义
一般地,证明一个与正整数 n 有关的命题,可按下列步骤进行
只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从 n0 开始的所 有正整数 n 都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.
2.数学归纳法的框图表示
[点睛] 数学归纳法证题的三个关键点 (1)验证是基础 数学归纳法的原理表明:第一个步骤是要找一个数 n0,这个 n0, 就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数,这个自然数并不一定 都是“1”,因此“找准起点,奠基要稳”是第一个关键点. (2)递推是关键 数学归纳法的实质在于递推,所以从“k”到“k+1”的过程中, 要正确分析式子项数的变化.关键是弄清等式两边的构成规律,弄清 由 n=k 到 n=k+1 时,等式的两边会增加多少项,增加怎样的项.
(3)利用假设是核心 在第二步证明 n=k+1 成立时,一定要利用归纳假设, 即必须把归纳假设“n=k 时命题成立”作为条件来导出 “n=k+1”,在书写 f(k+1)时,一定要把包含 f(k)的式子 写出来,尤其是 f(k)中的最后一项,这是数学归纳法的核 心.不用归纳假设的证明就不是数学归纳法.
用数学归纳法证明不等式
[典例] 求证:n+1 1+n+1 2+n+1 3+…+31n>56(n≥2,n∈N*) [证明] (1)当 n=2 时,13+14+15+16>56,不等式成立. (2)假设当 n=k(k≥2,k∈N*)时,命题成立. 即k+1 1+k+1 2+…+31k>56.
则当 n=k+1 时,k+11+1+k+11+2+…+31k+3k1+1+
1 3k+2
+
1 3k+1
=
1 k+1
+
1 k+2
+
…
+
1 3k
数学归纳法【公开课教学PPT课件】
因为(3k+1)·7k-1和9·(2k+3)·7k都能被9整除,所以(3k+1)·7k1+9·(2k+3)·7k能被9整除,即当n=k+1时,命题也成立,综合(1)(2)可 知,(3n+1)·7n-1(n∈N+)能被9整除.
反思感悟 用数学归纳法证明整除问题时,首先从要证的式子中 拼凑出假设成立的式子,然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除. 其中的关键是“凑项”,可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法 分析出因子,从而利用归纳假设使问题得到解决.
点拨 数学归纳法一般被用来证明某些涉及正整数n的命题,n可 取无限多个值,但不能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用 数学归纳法证明。一般来说,从n=k到n=k+1时,如果问题中存在可 利用的递推关系,则可以用数学归纳法,否则使用数学归纳法就有 困难.
在运用数学归纳法时,要注意起点n0并非一定取1,也可能取0,2等
(2)数学归纳法:
数学归纳法可以用于证明与正整数 n 有关的命题.证明需要经
过三个步骤:
①验证当n取第一个值n0(如n0=1或2等)时命题成立. ②假设当n=k时(k∈N+,k≥n0)命题成立,
证明当n=k+1 时命题也成立.在完成了上述两个步骤之后,
就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数都成立.
正解当 n=1 时,a1=3,当 n≥2
时,an=Sn-Sn-1=6-2an+1-(6-2an)=2an-2an+1,即 an+1=12an.
∵a1=3,
∴a2=12a1=32,a3=34,a4=38.
3,������ = 1,
猜想
an=
3 2������-1
反思感悟 用数学归纳法证明整除问题时,首先从要证的式子中 拼凑出假设成立的式子,然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除. 其中的关键是“凑项”,可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法 分析出因子,从而利用归纳假设使问题得到解决.
点拨 数学归纳法一般被用来证明某些涉及正整数n的命题,n可 取无限多个值,但不能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用 数学归纳法证明。一般来说,从n=k到n=k+1时,如果问题中存在可 利用的递推关系,则可以用数学归纳法,否则使用数学归纳法就有 困难.
在运用数学归纳法时,要注意起点n0并非一定取1,也可能取0,2等
(2)数学归纳法:
数学归纳法可以用于证明与正整数 n 有关的命题.证明需要经
过三个步骤:
①验证当n取第一个值n0(如n0=1或2等)时命题成立. ②假设当n=k时(k∈N+,k≥n0)命题成立,
证明当n=k+1 时命题也成立.在完成了上述两个步骤之后,
就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数都成立.
正解当 n=1 时,a1=3,当 n≥2
时,an=Sn-Sn-1=6-2an+1-(6-2an)=2an-2an+1,即 an+1=12an.
∵a1=3,
∴a2=12a1=32,a3=34,a4=38.
3,������ = 1,
猜想
an=
3 2������-1
4-4数学归纳法 课件【共44张PPT】
检测篇·达标小练
1.一个关于自然数 n 的命题,如果证得当 n=1 时命题成立,并在假设当 n= k(k≥1 且 k∈N*)时命题成立的基础上,证明了当 n=k+2 时命题成立,那么综合上 述,对于( B )
A.一切正整数命题成立 B.一切正奇数命题成立 C.一切正偶数命题成立 D.以上都不对
解析:本题证明了当 n=1,3,5,7,…时,命题成立,即命题对一切正奇数成立.A, C,D 不正确.故选 B.
检测篇·达标小练
课时作业
展视野•思维升华
课前篇·自主预习
知识点 数学归纳法
一般地,证明一个与正整数 n 有关的命题,可按下列步骤进行: (1)(归纳奠基)证明当 n=n0 (n0∈N*)时命题成立; (2)(归纳递推)以“当 n=k(k∈N*,k≥n0) 时命题成立”为条件,推出当 “ n=k+1 时命题也成立”. 只要完成了这两个步骤,就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立, 这种证明方法称为数学归纳法.
=1 时,等式左边是 1+a+a2
.
解析:根据数学归纳法的步骤可知,当 n=1 时,等式的左边应为 1+a+a2.
3.用数学归纳法证明:12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1).
证明:(1)当 n=1 时,左边=12-22=-3, 右边=-1×(2×1+1)=-3,等式成立. (2)假设当 n=k(k≥1,k∈N+)时,等式成立,即 12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1). 当 n=k+1 时,12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-(2k+2)2=-k(2k +1)+(2k+1)2-[2(k+1)]2=-k(2k+1)-(4k+3)=-(2k2+5k+3)=-(k+1)[2(k+1) +1],所以 n=k+1 时等式也成立, 根据(1)和(2)可知,等式对任何 n∈N+都成立.
数学归纳法PPT课件
归纳步骤的正确性
归纳步骤必须严谨、准确, 确保从$n=k$到 $n=k+1$的推理过程无误, 才能保证数学归纳法的正 确性。
03 数学归纳法的证明方法
直接证明法
总结词
通过直接验证n=1和归纳假设验证n=k+1,逐步推导归纳步骤。
详细描述
在直接证明法中,首先验证基础步骤(n=1),然后提出归纳假设,即假设对 于某个自然数k,结论成立。接着利用归纳假设推导n=k+1时的结论,从而完成 归纳步骤。
归纳基础的作用
归纳基础的作用是提供一个初始 的判断依据,为后续的归纳步骤 提供支撑和依据。
归纳步骤
01
02
03
归纳假设
归纳假设是数学归纳法的 核心,即在$n=k$时命题 成立的基础上,推导出 $n=k+1$时命题也成立。
归纳推理
在归纳假设的基础上,通 过逻辑推理和演绎,推导 出$n=k+1$时命题成立的 过程称为归纳推理。
反向证明法
总结词
通过证明结论的反面不成立,从而证明原结论成立。
详细描述
在反向证明法中,首先提出结论的反面,然后试图证明这个反面不成立。如果反 面不成立,那么原结论必然成立。反向证明法常常用于解决一些不易直接证明的 问题,通过反证发现矛盾,从而得出原结论的正确性。
04 数学归纳法的应用实例
数列求和
详细描述
数学归纳法的变种包括但不限于超数 学归纳法、双数学归纳法和反向数学 归纳法等。这些变种可以使得证明更 加简洁、直观和易于理解。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
详细描述
二项式定理的证明过程可以通过数学归纳 法进行推导。通过归纳法的应用,我们可 以逐步推导出二项式定理的各项展开式, 从而证明了二项式定理的正确性。
《数学归纳法》课件
数学归纳法
REPORTING
• 数学归纳法简介 • 数学归纳法的原理 • 数学归纳法的应用实例 • 数学归纳法的注意事项 • 数学归纳法的扩展与深化
目录
PART 01
数学归纳法简介
REPORTING
数学归纳法的定义
数学归纳法是一种证明数列、组合数学等数学问题的方法,通过递推的方式,将 问题从n-1的情形推广到n的情形,从而完成对所有情形的证明。
详细描述
在应用数学归纳法时,首先需要验证初始条 件是否满足。初始条件通常是数学表达式在 某个特定值或某些特定值下的结果。验证初 始条件是为了确保递推的基础是正确的,从 而保证整个证明的正确性。
归纳递推步骤的正确性
总结词
确保归纳递推步骤的正确性是数学归纳法的 核心。
详细描述
归纳递推步骤是将问题从n个情况简化为n1个情况的推理过程。这个步骤必须正确无 误,否则整个证明就会失败。在验证归纳递 推步骤的正确性时,需要仔细检查每个步骤 的逻辑推理和数学运算,确保它们是正确的
归纳步骤
使用归纳假设来证明下一个 整数的结论,并逐步推导到 所有正整数。
PART 03
数学归纳法的应用实例
REPORTING
等差数列求和公式的证明
总结词
通过数学归纳法证明等差数列求和公式
详细描述
首先,验证基础步骤,当$n=1$时,公式成立。然后,假设当$n=k$时公式成立,推导当$n=k+1$时公式的成 立。最后,根据归纳法原理,得出结论:等差数列求和公式对所有正整数$n$都成立。
VS
详细描述
首先,验证基础步骤,当$n=1$时,公式 成立。然后,假设当$n=k$时公式成立, 推导当$n=k+1$时公式的成立。最后, 根据归纳法原理,得出结论:几何级数求 和公式对所有正整数$n$都成立。
REPORTING
• 数学归纳法简介 • 数学归纳法的原理 • 数学归纳法的应用实例 • 数学归纳法的注意事项 • 数学归纳法的扩展与深化
目录
PART 01
数学归纳法简介
REPORTING
数学归纳法的定义
数学归纳法是一种证明数列、组合数学等数学问题的方法,通过递推的方式,将 问题从n-1的情形推广到n的情形,从而完成对所有情形的证明。
详细描述
在应用数学归纳法时,首先需要验证初始条 件是否满足。初始条件通常是数学表达式在 某个特定值或某些特定值下的结果。验证初 始条件是为了确保递推的基础是正确的,从 而保证整个证明的正确性。
归纳递推步骤的正确性
总结词
确保归纳递推步骤的正确性是数学归纳法的 核心。
详细描述
归纳递推步骤是将问题从n个情况简化为n1个情况的推理过程。这个步骤必须正确无 误,否则整个证明就会失败。在验证归纳递 推步骤的正确性时,需要仔细检查每个步骤 的逻辑推理和数学运算,确保它们是正确的
归纳步骤
使用归纳假设来证明下一个 整数的结论,并逐步推导到 所有正整数。
PART 03
数学归纳法的应用实例
REPORTING
等差数列求和公式的证明
总结词
通过数学归纳法证明等差数列求和公式
详细描述
首先,验证基础步骤,当$n=1$时,公式成立。然后,假设当$n=k$时公式成立,推导当$n=k+1$时公式的成 立。最后,根据归纳法原理,得出结论:等差数列求和公式对所有正整数$n$都成立。
VS
详细描述
首先,验证基础步骤,当$n=1$时,公式 成立。然后,假设当$n=k$时公式成立, 推导当$n=k+1$时公式的成立。最后, 根据归纳法原理,得出结论:几何级数求 和公式对所有正整数$n$都成立。
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1)当n=1时,左边=1×2=2,右边=
1 3
×1× 2×
3
=2.
命题成立
2)假设n=k时命题成立,即
1
1×2+2×3+3×4+…+k(k+1)=
k(k1)(k2) 3
则当n=k+1时, 1 2 2 3 3 4 . .k ( .k 1 )(k1)k (2)
从n=k到n=k+1有什么变化
1 3 5 (2 k 3 ) (2 k 1 ) k 2 1
那么1 3 5 (2 k 1 ) (2 k 1 )
k2 1 (2 k 1 )(k 1 )2 1
即n=k+1时等式成立。所以等式对
一切正整数n均成立. 。
9
❖ 例如:用数学归纳法证明
❖
1+3+5+ …+(2n-1)= n 2
D. n=4时该命题成立
.
12
练习巩固
1.用1 + 数a + 学a 2 归+ . 纳. . + 法a n 证 1= 明:1 1 - - a a n 2a ≠ 1 , n N *
在验证 n=1成立时,左边计算所得的
结果是( C )
A.1
B. 1 + a
C.1+a+a2
D.1+a+a2+a3
.
13
例1.用数学归纳法证明
1 2 2 2 3 2 L n 2 ( nn 1 ( )2 n 1 ) ( n N ) 6
1×2+2×3+3×4+…+n(n+1) =
1 n(n 1)(n 2) 3
练习.用数学归纳法证明: 1×2+2×3+3×4+…+n(n+1) =
1 n(n 1)(n 2) 3
证明:
1 多米诺骨牌游戏的原理 a n n 这个猜想的证明方法
(1)第一块骨牌倒下。(1)当n=1时猜想成立。
(2)若当n=k时猜想成立,
(2)若第k块倒下时, 即 则相邻的第k+1块也倒下。
ak
1 k
,则当n=k+1时猜想
1
也成立,即 ak 1 k 1 。
根据(1)和 (2), 根据(1)和(2),可
2.3数学归纳法(1)
问题 1:如何证明粉笔盒中的粉笔
它们都是白色的?
对 问于 题数 列 2:an,已 知 a11, an11 an ann1,2,..
猜 想 其 通 项 公 式
a1
1 1
1 a2 2
a3
1 3
an
1 n
有限步骤
考察对象 无限
…
多 米 诺 骨 牌 课 件 演 示
.
3
.
4
已知数列 an,a1=1,an+1=1+ aa nn(nN*),
可知不论有多少块骨牌,
都能全部倒下。
.
知对任意的正整数n,猜 想 都成立。
5பைடு நூலகம்
对于数列an,已知a1=1,an+1=1+ aann(nN*),
猜想其通项公式为an=n 1,怎样证明?
证明:(1)当 n=1时 a1=1成 立
(2)假设n=k时猜想成立即 a k
1
1 k
则n=k+1时,ak+1
ak 1ak
=k2+(2k+1)=(k+1
所以等式也成立。
)2
综合(1)(2)等式对. 一切正整数n均成立11
练问习题:情境某一个命题当n=k (k∈N )时成立, 可证得当n=k+1时也成立。现在已知当 n=5时该命题不成立,那么可推得(C)
A. n=6时该命题不成立
B. n=6时该命题成立
C. n=4时该命题不成立
凑 假 a1 kd a1(k1)1d
由∴(当1设)n和=k(+21)时知,,等结式论对也于. 成任立何. n∈N*都成凑立结。论 18
注意类比思想的运用
.
17
用数学归纳法证明:如果{an}是一个等差数列 则an=a1+(n-1)d对于一切n∈N*都成立。
证明:(1)当n=1时,左边=a1,右边=a1 +(1-1)d=a1, ∴ 当n=1时,结论成立
(2)假设当n=k时结论成立,即ak=a1+(k-1)d
则ak1ak d
a1(k1)dd
.
16
课堂小结
1、数学归纳法能够解决哪一类问题?
一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题
2、数学归纳法证明命题的步骤是什么?
两个步骤和一个结论,缺一不可
3、数学归纳法证明命题的关键在哪里?
关键在第二步,即归纳假设要用到,解题目标要明确
4、数学归纳法体现的核心思想是什么?
递推思想,运用“有限”的手段,来解决“无限”的问题
=
1
k(k1)(k2) + 3
(k1)k (2)
凑假设
= ( 1 k 1) (k1)k (2) 3
=
1(k1)k11k12
3
凑结论
∴ n=k+1时命题正确。 由(1)和(2)知. ,当 nN,命题正确。 15
2.已知 f(n) 1 1 ... 1 n1 n2 3n1
则f(k1)f(k)
答案 1 : 1 1 1 3K 23K 33K 4K 1
证明:(1) 当 n 1
左边 = 1,右边 = 12= 1 ,等式成立
(2)假设当n=k时成立,即:
1 3 5 (2 k 3 ) (2 k 1 ) k2
当n=k+1时, 代入得
1 3 5 ( 2 k 1 ) ( 2 k 1 ) ( k 1 ) 2 ,
所以等式也成立。 综合(1)(2)等式对一切正整数n均成立
那么1 3 5 (2 k 1 ) (2 k 1 )
k2 1 (2 k 1 )(k 1 )2 1
即n=k+1时等式成立。所以等式对
一切正整数n均成立. 。
8
例如:用数学归纳法证明
1+3+5+ …+(2n-1)= n 2 1 (nN)
n=1时,左边=1,右边=0,左边 =右边
证假明设:n假=k设时n等=k式时成等立式,成即立,即
.
10
❖ 例如:用数学归纳法证明
❖
1+3+5+ …+(2n-1)= n2(nN*)
证明:(1) 当 n 1
左边 = 1,右边 = 12= 1 ,等式成立
(2)假设当n=k时成立,即:
1 3 5 (2 k 3 ) (2 k 1 ) k 2
当n=k+1时, 代入得
1+1 3 +3 55 + ……+ ( (2 k 2 k1 -) 1 )( +2 k ( 21 k) + 1( k ) 1 ) 2 ,
1k1
1 k1
即 n=k+1时 猜 想 也 成 立k
根据(1)(2)可知对任意正整数n猜想都成立.
例:证明凸n边形内角和为 (n2)•180o中,
初始值应该从几取? 初始值应取3
.
7
例如:用数学归纳法证明
1+3+5+ …+(2n-1)= n 2 1 (nN)
证明:假设n=k时等式成立,即
1 3 5 (2 k 3 ) (2 k 1 ) k 2 1