江苏省高一数学下学期期末考试试题苏教版演示教学
江苏省苏州中学园区校2024届高一数学第二学期期末学业水平测试试题含解析
江苏省苏州中学园区校2024届高一数学第二学期期末学业水平测试试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．某船从A 处向东偏北30方向航行B 处，然后朝西偏南60的方向航行6千米到达C 处，则A 处与C 处之间的距离为（ ）AB ．C ．3千米D ．6千米2．定义运算,:,a a ba b b a b≤⎧⊗⊗=⎨>⎩，设()()()F x f x g x =⊗，若()sin f x x =，()cos g x x =，R x ∈，则()F x 的值域为（ ）A ．[]1,1-B ．2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．1,2⎡-⎢⎣⎦D ．1,2⎡--⎢⎣⎦3．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是（ ） A ．2张恰有一张是移动卡 B ．2张至多有一张是移动卡 C ．2张都不是移动卡D ．2张至少有一张是移动卡4．从A ，B ，C 三个同学中选2名代表，则A 被选中的概率为（ ） A ．13B ．14C ．12D ．235．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若323n n S a n =-，则2019a =（） A ．201921-- B ．201936--C ．20191728⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．201911033⎛⎫--⎪⎝⎭6．函数tan()42y x ππ=-的部分图象如图，则（OA OB +）AB ⋅=（ ）A ．0B ．33C ．3D ．67．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，...，960，分组后某组抽到的号码为1．抽到的32人中，编号落入区间[]401,755 的人数为（ ） A ．10B ．11C ．12D ．138．已知角A 、B 是ABC 的内角，则“A B <”是“sin sin A B <”的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．如图，AB 是圆O 的直径，点C D 、是半圆弧的两个三等分点，AC a =，AD b =，则AO =（ ）A ．b a -B ．12a b - C ．12a b -D ．22b a -10．下列表达式正确的是（ ）①min 2(sin )22sin x x+=(0,)x π∈ ②若0a b ->，则220a b -> ③若22ac bc >，则a b > ④若0a b >>，则ln 0ba<A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2020-2021学年高一数学下学期期末测试卷(苏教版 2019)02(必修二解析版)
2020-2021学年高一数学下学期期末测试卷（苏教版 2019）02试卷满分：150分 考试时长：120分钟注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.2.答卷前务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰.超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.一、单选题（本大题共8小题，共40分）1．若向量(2,3)BA =，(4,7)AC =--，则BC =（ ）A ．(2,4)--B ．(2,4)C ．(6,10)D ．(6,10)--【答案】A【分析】由向量加法的坐标运算计算．【详解】 (2,3)(4,7)(2,4)BC BA AC =+=+--=--．故选：A ．2．已知复数z 满足1iz i =-(i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【分析】先利用复数的除法运算化简复数z ，可得对应点的坐标，从而可得答案.【详解】因为1iz i =-， 所以()()()111i i i z i i i i ---===---， 则z 在复平面内对应点的坐标为()1,1--，所以z 在复平面内对应的点在第三象限，3．已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′原△ABC 的面积是( )A B ．C ．2D ．4【答案】A【分析】先根据已知求出原△ABC 的高为AO △ABC 的面积.【详解】由题图可知原△ABC 的高为AO∴S △ABC ＝12×BC ×OA ＝12A 【点睛】本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n 名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50,150]中，其频率分布直方图如图所示．已知在[50,75)中的频数为100，则n 的值是（ ）A ．500B ．1000C ．10000D ．25000【分析】根据频率分布直方图可得在[50,75)中的频率，进而可得n .【详解】由图可得在[50,75)中的频率为0.004250.1⨯=， 所以10010000.1n ==， 故选：B.5．已知一个直角三角形的边长分别为3，4，5，若以斜边所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周，所得几何体的体积等于（ ）A ．12πB ．16πC ．485πD ．1445π 【答案】C【分析】先判断所得几何体是由两个同底的圆锥拼接而成，Rt ABC 中通过等面积法计算底面半径BO ，再利用圆锥体积之和求所得几何体的体积即可.【详解】依题意，所得几何体是由两个同底的圆锥拼接而成，如图所示， Rt ABC 中，4,3,5AB BC AC ===，由Rt ABC 的面积1122S AB BC AC BO '=⋅=⋅，得431255AB BC BO AC ⋅⨯===，即圆锥底面面积214425S BO ππ=⋅=， 又上面圆锥体积为113V S AO =⋅，下面圆锥体积为213V S OC =⋅，故几何体的体积()122111144485333255V V V V S AO OC S AC ππ=+==⋅+=⋅=⨯⨯=. 故选：C.6．已知α∈（2π，π），并且sin α+2cos α25=，则tan （α4π+）＝（ ） A ．1731- B ．3117- C ．17- D ．﹣7【答案】A【分析】将已知等式平方，利用同角三角函数的基本关系可得cos α﹣2sin α115=-，再结合已知等式作商可求得tan α，由两角和与差的正切公式计算即可得解．【详解】 由sin α+2cos α25=，得sin 2α+4sin αcos α+4cos 2α425=， 所以（1﹣cos 2α）+4sin αcos α+4（1﹣sin 2α）425=， 整理得cos 2α﹣4sin αcos α+4sin 2α12125=， 所以（cos α﹣2sin α）212125=， 因为α∈（2π，π），所以sin 0cos 0αα⎧⎨⎩＞＜， 所以cos α﹣2sin α115=-，又sin α+2cos α25=， 所以7cos 25α=-，24sin 25α=， 所以tan α247=-， 所以tan （α4π+）241tan 1177241tan 3117αα-++===--+． 故选：A ．【点睛】关键点点睛：由sin α+2cos α25=推出cos α﹣2sin α115=-是本题的解题关键. 7．已知点G 是ABC ∆的重心，(,)AG AB AC R λμλμ=+∈，若120A ∠=，2AB AC ⋅=-，则AG 的最小值是A B C ．23 D ．34【答案】C【分析】 由题意将原问题转化为均值不等式求最值的问题，据此求解AG 的最小值即可.【详解】 如图所示，由向量加法的三角形法则及三角形重心的性质可得()2133AG AD AB AC ==+, 120,2A AB AC ∠=⋅=-， 根据向量的数量积的定义可得cos1202AB AC AB AC ⋅=⨯⨯=-, 设,AB x AC y ==，则4AB AC xy ⨯==， 2211233AG AB AC AB AC AB AC =+=++⋅ 22112443x y xy =+-≥-=， 当且仅当x y =，即AB AC =，△ABC 是等腰三角形时等号成立.综上可得AG 的最小值是23. 本题选择C 选项.【点睛】本题主要考查平面向量的加法运算，向量的模的求解，均值不等式求解最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．设a ，b ，c 为ABC 中的三边长，且a +b +c =1，则a 2+b 2+c 2+4abc 的取值范围是（ ）A ．131,272⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．131,272⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．131,272⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．131,272⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】记f (a ，b ，c )=a 2+b 2+c 2+4abc ，则f (a ，b ，c )=1﹣2ab ﹣2c (a +b )+4abc ，再根据三角形边长性质可以证得f (a ，b ，c )12<.再利用不等式和已知可得ab 22(1)24a b c +-⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以f (a ，b ，c )≥1﹣2(1)2(12)4c c -⨯-﹣2c (1﹣c )=321122c c -+，再利用求导根据单调性可以推得a 2+b 2+c 2+4abc 1327，继而可以得出结果. 【详解】记f (a ，b ，c )=a 2+b 2+c 2+4abc ，则f (a ，b ，c )=1﹣2ab ﹣2c (a +b )+4abc=1﹣2ab (1﹣2c )﹣2c (1﹣c )=2(c +ab )2﹣2a 2b 2﹣2(ab +c )+1=2[c +ab ﹣12]2﹣2a 2b 2+121112()()222c ab ab c ab ab =+-++--+ 1112(2)()222c ab c =+--+ 1112(12)()222a b ab c =--+--+ 1112(2)()222a b ab c =--+-+ 1114()()42222a b ab c =--+-+ =4(c ﹣12)(a ﹣12)(b ﹣11)22+， 又a ，b ，c 为ABC 的三边长，所以1﹣2a >0，1﹣2b >0，1﹣2c >0，所以f (a ，b ，c )12<. 另一方面f (a ，b ，c )=1﹣2ab (1﹣2c )﹣2c (1﹣c )，由于a >0，b >0，所以ab 22(1)24a b c +-⎛⎫= ⎪⎝⎭， 又1﹣2c >0， 所以f (a ，b ，c )≥1﹣2(1)2(12)4c c -⨯-﹣2c (1﹣c )=321122c c -+， 不妨设a ≥b ≥c ，且a ，b ，c 为ABC 的三边长， 所以0<c <13. 令y =321122c c -+，则y ′=3c 2﹣c =c (3c ﹣1)≤0， 所以y min =127﹣2111232⎛⎫+ ⎪⎝⎭=1327， 从而1327<f(a,b,c)<12. 当且仅当a =b =c =13时取等号. 故选：B.【点睛】本题主要考查了解三角形，考查导数求函数的最值，考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.二、多选题（本大题共4小题，共20分）9．袋中装有形状完全相同的3个白球和4个黑球，从中一次摸出3个球，下列事件是互斥事件的是（ ） A ．摸出三个白球事件和摸出三个黑球事件B ．恰好有一黑球事件和都是黑球事件C ．至少一个黑球事件和至多一个白球事件D ．至少一个黑球事件和全是白球事件【答案】ABD【分析】根据互斥事件的定义可判断各选项的正误，从而可得正确的选项.【详解】对于A ，摸出三个白球事件和摸出三个黑球事件不可能同时发生，故它们为互斥事件，故A 正确. 对于B ，恰好有一黑球事件和都是黑球事件不可能同时发生，故它们为互斥事件，故B 正确.对于C ，比如三个球中两个黑球和1个白球，则至少一个黑球事件和至多一个白球事件可同时发生，故C 错误.对于D ，至少一个黑球事件和全是白球事件也不可能同时发生，故D 正确.故选：ABD.10．已知a ，b 是平面上夹角为23π的两个单位向量，c 在该平面上，且()()·0a c b c --=，则下列结论中正确的有（ ）A ．||1a b +=B ．||3a b -=C ．||3<cD ．a b +，c 的夹角是钝角 【答案】ABC【分析】在平面上作出OA a =，OB b =，1OA OB ==，23AOB π∠=，作OC c =，则可得出C 点在以AB 为直径的圆上，这样可判断选项C 、D ． 由向量加法和减法法则判断选项A 、B ．【详解】对于A ：()2222+2||+cos 13a b a b a b a b π+=+=⨯⨯=，故A 正确； 对于B ：设OA a =，OB b =，1OA OB ==，23AOB π∠=，则2222+c 32os 3AB O OA O A O B B π-⋅==，即3a b -=，故B 正确； OC c =，由(a ﹣c )·(b﹣c )=0得BC AC ⊥，点C 在以AB 直径的圆上（可以与,A B 重合）．设AB 中点是M ， c OC =的最大值为1+222+A bBO MC a M +==<C 正确；a b +与OM 同向，由图，OM 与c 的夹角不可能为钝角．故D 错误．故选：ABC ．【点睛】思路点睛：本题考查向量的线性运算，考查向量数量积．解题关键是作出图形，作出OA a =，OB b =，OC c =，确定C 点轨迹，然后由向量的概念判断．11．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，P ，M ，N 分别为棱1CC ，CB ，CD 上的动点(点P 不与点C ，1C 重合)，若CP CM CN ==，则下列说法正确的是（ ）A ．存在点P ，使得点1A 到平面PMN 的距离为43B ．用过P ，M ，1D 三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形C ．1//BD 平面PMND ．用平行于平面PMN 的平面α去截正方体，得到的截面为六边形时，该六边形周长一定为【答案】ABD【分析】A ．根据条件分析出1A 到平面PMN 的距离的取值范围，即可进行判断；B ．根据空间中点、线、面的位置关系，结合线段比例关系，作出过P ，M ，1D 三点的截面，并进行判断；C ．根据1BD 与平面1BC D 的位置关系，以及平面PMN 与平面1BC D 的位置关系进行判断； D ．先利用平行关系作出截面α，然后根据长度关系求解出截面六边形的周长并进行判断.【详解】A ．连接1111111,,,,,,AC BC AB BDCD A D B C ，如图所示：因为CP CM CN ==，所以易知11//,//,//MN BD NP C D MP BC ，且平面//MNP 平面1BC D ， 又已知三棱锥11A BC D -各条棱长均为11A BC D -为正四面体， 所以1A 到平面1BC D3=， 因为11A B ⊥平面11BCC B ，所以111A B BC ⊥，又11BC B C ⊥，且1111A B B C B =，所以1BC ⊥平面11A B C ，又1AC ⊂平面11A B C ，所以11BC AC ， 同理可得11C D AC ⊥，且111BCC D C ⋂=，所以1AC ⊥平面1BC D ，又因为1AC ，所以1A 到平面PMN 的距离∈⎝43<< B ．如图所示，连接1D P 并延长交DC 的延长线于Q 点，连接QM 并将其延长与AD 相交于A '， 因为CP CM =，且1//,//CP DD CM AD ，则1CP CM CQ DD DA DQ =='，所以1DA DD '=，所以A '即为A ，连接1AD ，所以过P ，M ，1D 的截面为四边形1AD PM ，由条件可知111//,//MP BC BC AD ，且1MP AD ≠，所以四边形1AD PM 为梯形，故正确；C ．连接1BD ，由A 可知平面//MNP 平面1BC D ，又因为B ∈平面1BC D ，1D ∉平面1BC D ，所以1BD 不平行于平面1BC D ，所以1//BD 平面PMN 不成立，故错误；D ．在1BB 上取点1P ，过点1P 作12//PP MP 交11B C 于2P ，过2P 作21//P N MN 交11C D 于1N ，以此类推，依次可得点212,,N M M ，此时截面为六边形，根据题意可知：平面121212//PP N N M M 平面MNP ，不妨设1BP x =，所以122121PM P N N M ===，所以)1212121PP N N M M x ===-，所以六边形的周长为：)31x ⎤-=⎦故选：ABD.【点睛】方法点睛：作空间几何体截面的常见方法：（1）直接连接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程；（2）作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线；（3） 作延长线找交点法：若直线相交但是立体图形中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线；（4）辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面. 12．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2a =，sin 2sin B C =，有以下四个命题中正确的是（ ）A ．满足条件的ABC 不可能是直角三角形B ．ABC 面积的最大值为43C ．当A =2C 时，ABC 的周长为2+D ．当A =2C 时，若O 为ABC 的内心，则AOB 的面积为13【答案】BCD【分析】对于A ，利用勾股定理的逆定理判断；对于B ，利用圆的方程和三角形的面积公式可得答案；对于C ，利用正弦定理和三角函数恒等变形公式可得答案对于D ，由已知条件可得ABC 为直角三角形，从而可求出三角形的内切圆半径，从而可得AOB 的面积【详解】对于A ，因为sin 2sin B C =，所以由正弦定理得，2b c =，若b 是直角三角形的斜边，则有222a c b +=，即2244c c +=，得233c =，所以A 错误；对于B ，以BC 的中点为坐标原点，BC 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则(1,),(1,0)B C -，设(,)A m n ，因为2b c =2222(1)2(1)m n m n -+=++，化简得22516()39m n ++=，所以点A 在以5,03⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆心，43为半径的圆上运动， 所以ABC 面积的最大值为1442233⨯⨯=，所以B 正确； 对于C ，由A =2C ，可得3B C π=-，由sin 2sin B C =得2b c =， 由正弦定理得，sin sin b c B C=，即2sin(3)sin c c C C π=-， 所以sin 32sin C C =，化简得2sin cos 22cos sin 2sin C C C C C +=，因为sin 0C ≠，所以化简得23cos 4C =， 因为2b c =，所以B C >，所以3cos 2C =，则1sin 2C =， 所以sin 2sin 1B C ==，所以2B π=，6C π=，3A π=， 因为2a =，所以2343,33c b ==， 所以ABC 的周长为223+，所以C 正确；对于D ，由C 可知，ABC 为直角三角形，且2B π=，6C π=，3A π=，2343c b ==， 所以ABC 的内切圆半径为123433212r ⎛=+= ⎝⎭，所以AOB的面积为11122cr ⎛=-= ⎝⎭ 所以D 正确，故选：BCD【点睛】 此题考查三角形的正弦定理和面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换，考查转化能力和计算能力，属于难题.三、填空题（本大题共4小题，共20分）13．写出一个虚数z ，使得23z +为纯虚数，则z =___________.【答案】12i +（答案不唯一）．【分析】设i z a b =+（a ，b ∈R ，0b ≠），代入计算后由复数的定义求解．【详解】设i z a b =+（a ，b ∈R ，0b ≠），则222332i z a b ab +=-++，因为23z +为纯虚数，所以223a b -=-且0ab ≠.任取不为零的实数a ，求出b 即可得，答案不确定，如12z i =+，故答案为：12i +．14．棱长均为1的正四棱锥，该正四棱锥内切球半径为1R ，外接球半径为2R ，则12R R 的值为______.【分析】 对角线1AC BD O ⋂=，设外接球球心为O ，外接球球心到各顶点距离相等列出关于2R 的方程可得2R ，利用“体积法”可得1R ，进而可得结果.【详解】如图所示，对角线1AC BD O ⋂=，设外接球球心为O，12PO =，则22222R R ⎫=-+⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得22R =， 内切球半径1R满足1111141113232R ⎛⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯ ⎝⎭，解得1R =，于是1212R R ==，故答案为：12.15．在△ABC 中，设角A ，B ，C 对应的边分别为,,a b c ，记△ABC 的面积为S ，且22242a b c =+，则2S a 的最大值为__________.【答案】6【分析】根据题中条件利用余弦定理进行简化，然后化简为二次函数，求出二次函数的最值即可.【详解】由题知22222222422c 2os 4b a c a c ac B a b c ⇒=-=+-=+，整理得()222232cos 33cos 2a c ac B a c B ac -=-+⇒=， 因为()222222221sin 1cos sin 224ac B c B S c B a a a a ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，代入()223cos 2a c B ac-=整理得2422421922916S c c a a a ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令22c t a =，有()22222111110922931616336S t t t a ⎛⎫⎛⎫=--+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2221036S S a a ⎛⎫≤⇒≤ ⎪⎝⎭，所以2S a故答案为：6【点睛】 本题主要考查了利用余弦定理解三角形，结合考查了二次函数的最值问题，属于中档题.16．赵爽是我国古代数学家大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设AD AB AC λμ=+，若2DF AF =，则可以推出λμ+=_________.【答案】1213【分析】利用建系的方法，假设1AF =，根据120ADB ∠=，利用余弦定理可得AB 长度，然后计算cos ,sin DAB DAB ∠∠，可得点D 坐标，最后根据点,B C 坐标，可得结果.【详解】设1AF =，则3,1AD BD AF ===如图由题可知：120ADB ∠=，由2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠所以AB =AC AB ==所以),B C ⎝⎭，()0,0A又sin sin sin 26BD AB BAD BAD ADB =⇒∠=∠∠所以cos BAD ∠=所以()cos ,sin D AD AD BAD BAD ∠∠即D ⎝⎭ 所以()2113339,13,0,AD AB⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭ 13AC ⎛=⎝⎭又AD AB AC λμ=+所以913313μλμμ⎧==⎪⎪⇒⎨⎪==⎪⎩所以1213λμ+=故答案为：12 13【点睛】本题考查考查向量的坐标线性表示，关键在于建系，充分使用条件，考验分析能力，属难题.四、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）2020年春季，受疫情的影响，学校推迟了开学时间.上级部门倡导“停课不停学”，鼓励学生在家学习，复课后，某校为了解学生在家学习的周均时长(单位:小时)，随机调查了部分学生，根据他们学习的周均时长，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求该校学生学习的周均时长的众数的估计值;（2）估计该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率.【答案】（1）25小时；（2）0.3.【分析】（1）根据直方图，频率最大的区间中点横坐标为众数即可求众数；（2）由学习的周均时长不少于30小时的区间有[30,40)、[40,50)，它们的频率之和，即为该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率.【详解】（1）根据直方图知：频率最大的区间中点横坐标即为众数，∴由频率最大区间为[20,30)，则众数为2030252+=；（2）由图知：不少于30小时的区间有[30,40)、[40,50)，∴该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率0.03100.3P=⨯=.【点睛】本题考查了根据直方图求众数、概率，应用了众数的概念、频率法求概率，属于简单题. 18．（12分）已知复数z ＝a ＋i (a >0，a ∈R )，i 为虚数单位，且复数2z z +为实数. （1）求复数z ；（2）在复平面内，若复数(m ＋z )2对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围.【答案】（1）1z i =+；（2）()0,∞+.【分析】（1）利用复数的四则运算以及复数的分类即求解.（2）利用复数的四则运算以及复数的几何意义即可求解.【详解】（1）因为z ＝a ＋i (a >0)，所以z ＋2z＝a ＋i ＋2a i + ＝a ＋i ＋()()()2a i a i a i -+- ＝a ＋i ＋2221a i a -+ ＝2222111a a i a a ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 由于复数z ＋2z为实数，所以1－221a +＝0， 因为a >0，解得a ＝1，因此，z ＝1＋i .（2）由题意(m ＋z )2＝(m ＋1＋i )2＝(m ＋1)2－1＋2(m ＋1)i ＝(m 2＋2m )＋2(m ＋1)i ，由于复数(m ＋z )2对应的点在第一象限，则()220210m m m ⎧+>⎪⎨+>⎪⎩，解得m >0. 因此，实数m 的取值范围是(0，＋∞).19．（12分）已知函数2()2cos f x x x =+． （1）求()f x 的最小正周期及()f x 的图象的对称轴方程；（2）若[4x π∈-，]4π，求()f x 的取值范围．【答案】（1）最小正周期为π，对称轴方程为612x k ππ=+，k Z ∈；（2）1[2，3]2． 【分析】（1）将()f x 化为()1sin(2)62x f x π++=，然后可求出答案； （2）由[4x π∈-，]4π可得2[63x ππ+∈-，2]3π，然后可得答案. 【详解】（1）2()2cos f x x x =+1cos 2222x x +=+ 1sin(2)62x π++=， ()f x ∴的最小正周期22T ππ==， 令262x k πππ+=+，k Z ∈，可得612x k ππ=+，k Z ∈，即()f x 的图象的对称轴方程为612x k ππ=+，k Z ∈． （2）[4x π∈-，]4π， 2[63x ππ∴+∈-，2]3π，sin(2)[62x π∴+∈-，1]，可得11()sin(2)[622f x x π=++∈，3]2． 【点睛】本题考查的是三角函数的恒等变换和三角函数的性质，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单. 20．（12分）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin sin sin 4cos 0cos sin a A b B c C c A A B--+=． （1）求A ； （2）若a c >，求a b c +的取值范围． 【答案】（1）3A π=；（2）(2,)+∞． 【分析】（1）利用正弦定理与余弦定理将题中所给条件化简整理，即可求出1cos 2A =，从而可得角A ； （2）先由题中条件，得到0,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，再由正弦定理将所求式子化为sin sin sin A B C +，进而转化为关于C 的函数，即可求出结果.【详解】 （1）由条件与正弦定理可得，2224cos 0cos a b c c A b A--+=， 即2224cos 0cos b c a c A b A+--=， 由余弦定理得，2cos 4cos 0cos bc A c A b A-=， 所以2cos 10A -=，即1cos 2A =． 由0A π<<得，3A π=． （2）由a c >可知，0,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 由正弦定理可知，21sin sin sin sin 3222sin sin sin C C C a b A B c C C Cπ⎛⎫-++ ⎪++⎝⎭===22cos 11cos 122sin 22sin cos 22C C C C C +==+112tan 2C =又知0,26C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以tan 2C ⎛∈ ⎝⎭，所以2a b c +>， 故a b c+的取值范围为(2,)+∞． 【点睛】方法点睛：求解三角形中有关边长、角、面积的最值（范围）问题时，常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立a b +，ab ，22a b +之间的等量关系与不等关系，然后利用函数或基本不等式求解.21．（12分）如图，在AOB 中，D 是边OB 的中点，C 是边OA 上靠近点O 的一个三等分点，AD 与BC 交于点M .设OA a =，OB b =.（1）用a ，b 表示OM .（2）过点M 的直线与边OA ，OB 分别交于点E ，F .设OE pa =，OF qb =，求12p q+的值. 【答案】（1）1255OM a b =+（2）125p q += 【分析】（1）设OM xa yb =+，利用A ，M ，D 三点共线和C ，M ，B 三点共线可以得出,x y 的两个方程，然后解出即可（2）利用EM ，EF 共线即可推出【详解】（1）设OM xa yb =+，则()()11AM OM OA x OA yOB x a yb =-=-+=-+，∵A ，M ，D 三点共线，12AD OD OA a b =-=- ∴AM ，AD 共线，从而()112x y -=-.① 又C ，M ，B 三点共线. ∴BM ，BC 共线， 同理可得()113y x -=-.②联立①②，解得1525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故1255OM a b =+. （2）∵12125555EM OM OE a b pa p a b ⎛⎫=-=+-=-+ ⎪⎝⎭， EF OF OE qb pa =-=-，且EM ，EF 共线， ∴1255p q p ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，整理得125p q +=. 【点睛】1.平面向量共线定理：若a 与b 共线且0b ≠，则存在唯一实数λ使得a b λ=2.平面向量基本定理：若1e ，2e 是平面α内两个不共线的向量，则对于平面α中的任一向量a ，使12a e e λμ=+的实数λ，μ存在且唯一.22．（12分）在四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD ⊥ 底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，//BC AD ，∠ADC =90°，BC =CD =12AD =1，PA =PD ，E ，F 分别为AD ，PC 的中点.（1）求证：//PA 平面BEF ；（2）若PC 与AB 所成角为45°，求二面角F -BE -A 的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）-【分析】（1）连接AC 交BE 于O ，并连接FO ，根据条件可证//OF PA ，从而可证明结论.（2）由ABCE 为平行四边形可得//EC AB ，PCE ∠为PC 与AB 所成角，即45PCE ∠=︒，又由条件可得PE ABCD ⊥平面，可得PE EC ==PD 中点M ，连,ME MA MF ，，可得MEA ∠为F BE A --的平面角，可得答案.【详解】（1）证明：连接AC 交BE 于O ，并连接FO ，1,2BC AD BC AD =∥，E 为AD 中点，∴//AE BC ，且AE =BC . ∴四边形ABCE 为平行四边形，∴O 为AC 中点，又F 为AD 中点，//OF PA ∴，OF ⊂平面,BEF PA ⊄平面BEF ，//PA ∴平面BEF .（2）由BCDE 为正方形可得EC ==由ABCE 为平行四边形可得//EC AB .PCE ∴∠为PC 与AB 所成角，即45PCE ∠=︒.PA PD =E 为AD 中点,所以PE AD ⊥.侧面PAD ⊥底面,ABCD 侧面PAD 底面,ABCD AD PE =⊂平面PAD ，PE ∴⊥平面ABCD ，PE EC ∴⊥，PE EC ∴==取PD 中点M ，连,ME MA MF ，，由M F ，，分别为,PD PC 的中点，所以//,MF CD又//CD BE ，所以//MF BE ,所以,,,B E M F 四点共面.因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面,ABCD AD BE AD =⊥，BE ∴⊥平面PAD ，,EM AE ⊂平面PAD所以,BE AE BE EM ⊥⊥,则MEA ∠为F BE A --的平面角.又1,22EM AE AM ===cos 3MEA ∴∠=.所以二面角F BE A --的余弦值为 【点睛】本题考查证明线面平行和求二面角的平面角，解答本题的关键是取PD 中点M ，连,ME MA MF ，，证明出,BE AE BE EM ⊥⊥,得到MEA ∠为F BE A --的平面角，属于中档题.。
高一数学下学期期末考试试题(含解析)苏教版
第二学期期末调研考试 高一数学试题（四星）本卷满分160分，考试时间为120分钟．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知角α的终边过点-(4,3)P ，则2sin cos αα+的值是 ．2．某校高一（1）班共有44人，学号依次为01，02，03，…，44．现用系统抽样的办法抽一个容量为4的样本，已知学号为06，28，39的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为 ．3．某雷达测速区规定：凡车速大于或等于70 km/h 的汽车视为“超速”，并将受到处罚．如图是某路段的一个检测点对100辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有 辆．解：由所给的频率分布的直方图可得，汽车被处罚的频率为 0.02×10=0.2， 故被处罚的汽车大约有100×0.2=20（辆），故答案为 20．4．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是 ．5．取一根长度为4m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少于1 m 的概率是 ．6．从｛1，2，3，4，5，6｝中随机选一个数a ，从｛1，2，3｝中随机选一个数b ，则a b > 的概率为 ．解：根据题意，用数组（a ，b ）表示抽取的情况， 则有（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（3，1）、（3，2）、（3，3）、（4，1）、（4，2）、（4，3）、（5，1）、（5，2）、（5，3），（6，1）、（6，2）、（6，3），共18种情况，其中a ＞b 的情况有（2，1）、（3，1）、（3，2）、（4，1）、（4，2）、（4，3）、（5，1）、（5，2）、（5，3）、（6，1）、（6，2）、（6，3），共12种情况，7．设x ∈R ，向量a (,1)x =，b (1,2)=-，且a ⊥b ，则|a +b |= ．↓ 开始 结束输出a N ↓8．如图是某工厂一名工人在六天中上班时间的茎叶图，则该工人在这六天中上班时间的方差为 ．089102259．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,A ωπϕπ>>-<<）在512x π=处取得最大值3，其图象与x 轴的相邻两个交点的距离为2π，则()f x 的解析式为 ．10．正三棱锥的底面边长为1，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为 ．11．函数()f x =ax ，x [0,]π∈，且()f x ≤1＋sin x ，则a 的取值范围是 ．12．已知|a |1=，若非零向量b 满足b ⋅(b －a )0=，则|b |的取值范围为 ．13．若A ，B ，C (0,)2π∈，且sin A －sin C =sin B ，cos A ＋cos C =cos B ，则B －A = ．14．已知函数22|log|,04,()2708, 4.33x xf xx x x<≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩若,,,a b c d互不相同，且()()()()f a f b f c f d===，则abcd的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知向量a，b的夹角为60︒，且|a|1=，|2a－b|=．（1）求|b|；（2）求b 与2a －b 的夹角．解：（1）将|2a －b |=两边平方得42a +2b -4|a ||b |cos ,a b <>=12，…………4分即2b -2|b |-8=0，解得|b |=4． …………7分（2） b ⋅（2a －b ）=2ab - 2b =12142⨯⨯⨯=12-，又|b ||2a -b |=4⨯ ………10分由夹角公式得b 与2a －b=，∴夹角为150︒．………14分 16．（本小题满分14分）某企业生产A ，B ，C 三种产品，每种产品有M 和N 两个型号．经统计三月下旬该企业的产量如下表（单位：件）．用分层抽样的方法从这月下旬生产的三种产品中抽取50件调查，其中抽到A 种产品10件． （1）求x 的值；（2）用分层抽样方法在C 产品中抽取一个容量为5的样本，将该样本看作一个总体，从中任取两件，求至少有一件是M 型号的概率；（3）用随机抽样的方法从C 产品中抽取8件产品做用户满意度调查，经统计它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2．把8件产品的得分看作一个样本，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值超过0.5的概率．解：（1）产品A 的产量为400，从中抽取样本容量为10，故按1∶40的比例抽取， 同理产品B 的产量为1000，按1∶40的比例抽取，从中抽取样本容量为25， 所以产品C 应抽取件数为15，故11540240x=+，解得360x =； …………4分 （2）用分层抽样方法在C 产品中抽取一个容量为5的样本，则M 型号有2件，N 型号有3件，从中任取两件所有的情况有：（M 1，M 2），（N 1，N 2），（N 1，N 3），（N 2，N 3），（M 1，N 1），（M 1，N 2），（M 1，N 3），（M 2，N 1），（M 2，N 2），（M 2，N 3），共10种.故至少有一件是M 型号的有（M 1，M 2），（M 1，N 1），（M 1，N 2），（M 1，N 3），（M 2，N 1），（M 2，N 2），（M 2，N 3），共有7种，所以至少有一件是M 型号的概率1710P =；……9分 （3）9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2这8个数据的平均数为9，则与9差的绝对值超过0.5的有9.6，8.2，所以与样本平均数之差的绝对值超过0.5的概率22184P ==…14分 17．（本小题满分14分）如图，在半径为R 、圆心角为60︒的扇形AB 弧上任取一点P ，作扇形的内接矩形PNMQ ，使点Q 在OA 上，点M ，N 在OB 上，设BOP ∠θ=，矩形PNMQ 的面积记为S ． （1）求S 与θ之间的函数关系式；（2）求矩形PNMQ 面积的最大值及相应的θ值．解：（1）在Rt PON ∆中，sin ,cos .PN R ON R θθ==四边形PNMQ 为矩形，sin MQ PN R θ∴==. …………2分 故在Rt OMQ ∆中，sin tan 60MQ OM θ==︒，所以cos sin MN ON OM R θθ=-=. …………4分则sin (cos sin )S PN MN R R θθθ=⋅=. …………6分2221(sin cos )(sin 22R R θθθθ==22sin(230)R θ+︒…11分 （2）因为当23090θ+︒=︒时，max sin(230)1θ+︒=，所以当30θ=︒时，22max S =， 所以矩形PNMQ2，30BOP ∠=︒. …………14分 18．（本小题满分16分）已知锐角三角形ABC 中，3sin()5A B +=，1sin()5A B -=． （1）求tan tan AB的值； （2）求tan B 的值． 解：（1）53sin cos cos sin )sin(=+=+B A B A B A ① …………2分 51sin cos cos sin )sin(=-=-B A B A B A ② …………4分 ①+②得54cos sin 2=B A ，52cos sin =∴B A ③ 51sin cos =B A ④③/④得：2tan tan =B A． …………7分 APBOQ M N（2）ABC ∆ 是锐角三角形，又20,ππ<<-=+C C B A ，ππ<+<∴B A 2，53)sin(=+B A ， 43)tan(-=+∴B A ，即43tan tan 1tan tan -=-+B A B A ．…………10分由（1）B A tan 2tan =，43tan 21tan 32-=-∴BB ，即01tan 4tan 22=--B B ，4244tan ±=B ． …………14分B 是锐角，261tan +=∴B ． …………16分 19．（本小题满分16分）已知函数2()cos 2sin 1f x x a x a =-+-，a ∈R ．（1）当0a =时，求函数()f x 的最小正周期和单调增区间； （2）求()f x 在[,]36x ππ∈-上的最大值()m a ．解：（1）当0a =时，21()cos 1(cos21)2f x x x =-=-．易得周期T π=,单调增区间为[,]()2k k k Z ππππ++∈． …………5分 （2）将函数2()cos 2sin 1f x x a x a =-+-变形为2()sin 2sin f x x a x a =--+，[,]36x ππ∈-．设sin ,t x =则1[]2t ∈， 即求函数2()2h t t at a =--+在1[]2t ∈上的最大值()m a ．…………8分①当-≤-a ()h t在-1[,]2上单调递减，∴=-=-++3()(1)24m a h a ． …………10分②当-≥12a 时，()h t在-1[,]2上单调增，∴==-11()()24m a h ………12分③当-<-<122a 时，∴=+2()m a a a ． …………14分综上所述，231),411(),,421,22a a m a a a a a ⎧-++≥⎪⎪⎪=-≤-⎨⎪⎪+-<<⎪⎩…………16分20．（本小题满分16分）已知圆M 的方程为22(2)1x y -+=，直线l 的方程为2y x =，点P 在直线l 上，过P 点作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ． （1）若60APB ∠= ，试求点P 的坐标；（2）求PA PB ⋅的最小值；（3）求证：经过,,A P M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标． 解：（1）设(,2)P m m ，由题可知2MP =，所以22(2)(2)4m m +-=， 解之得40,5m m ==．故所求点P 的坐标为(0,0)P 或48(,)55P ． ………4分 （2）设(,2)P m m ，则2||cos PA PB PA PAB ⋅=∠．又22||1PA PM =- ,222cos 12sin 12PAB PAB PM∠∠=-=-， 2222222||cos (1)(1)3PA PB PA PAB PM PM PM PM ∴⋅=∠=--=+- ．………7分又222216(2)(2)544[,)5PM m m m m =-+=-+∈+∞，2222233||cos 3(1[,)40PA PB PA PAB PM PM PM ∴⋅=∠=+-=-∈+∞ ，故PA PB ⋅ 的最小值3340． …………10分（3）设(,2)P m m ，MP 的中点(1,)2mQ m +，因为PA 是圆M 的切线， 所以经过,,A P M 三点的圆是以Q 为圆心，以MQ 为半径的圆， 故其方程为2222(1)()(1)22m mx y m m --+-=+-， 化简得222(22)0x y x m x y +-+--+=， …………13分故2220,220x y x x y ⎧+-=⎨--+=⎩解得20x y =⎧⎨=⎩或2,54.5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以经过,,A P M 三点的圆必过定点(2,0)和24(,)55． …………16分。
最新江苏省高一数学下学期期末考试试题苏教版
高一下学期期末考试数学试题一、填空题：（本题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在答卷相应位置上）1．某运动员在某赛季的得分如右边的茎叶图，该运动员得分的方差为 ▲ .2．连续抛掷一颗骰子两次，则2次掷得的点数之和为6的概率是 ▲ .3．两根相距6米的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2米的概率是 ▲ .4．根据如图所示的伪代码，输出的结果S 为 ▲.5．若a>1则y=11-+a a 的最小值为 ▲ . 6．在△ABC 中，若a=2bcosC ，则△ABC 的形状为 ▲ .7．我校高中生共有2700人，其中高一年级900人，高二年级1200人，高三年级600人，现采取分层抽样法抽取容量为135的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为 ▲ .8．不等式02<+-b ax x 的解集为{}32|<<x x ，则不等式012>--ax bx 的解集为 ▲ .9．设x>0,y>0，x+y=4，则yx u 11+=的最小值为 ▲ . 10．在△ABC 中，∠A=600,b=1,这个三角形的面积为3，则△ABC 外接圆的直径是 ▲ .11．等差数列{}n b 中，53=b ，95=b ，数列{}n a 中，11=a ，n n n b a a =--1()2≥n ，则数列{}n a 的通项公式为=n a ▲ .12．若实数a,b 满足()1014>=+--a b a ab ，则()()21++b a 的最小值为 ▲ .13．在等差数列{}n a 中，若42≥S ，93≤S ，则4a 的最大值为 ▲ .14．已知数列{}n a 满足n a a a a n n n n =+--+++1111（n 为正整数），且62=a ，则数列{}n a 的通1 8 9 2 0 1 24.8 DC B A 项公式为n a = ▲ .二、解答题（本题共6个小题，每题15分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16． (1)从集合｛0，1，2，3｝中任取一个数x ，从集合｛0，1，2｝中任取一个数y ，求x>y 的概率。
高一数学下学期期末试卷(1)苏教版
28
，至少有一件二级品的概率为
45
17
…… 12 分
45
∴ AB DC, AD BC ，且 AD DC
……………………………２ 分
又 AC AD DC ， BD BC CD ， ……………………………………４ 分
∴ BD AD DC …………………………………………………５ 分
∴ AC BD ( AD DC ) ( AD DC )
（ 2）设至少有一件二级品为事件 B， ………………………………………７ 分
则 B 是两个互斥事件：“抽取的 2 件产品中包含了一件一级品， 一件二级品 （记为 B1）”
与“抽取的 2 件产品均为二级品（ B2）”的和。 ………………８ 分
16
1
而 P（ B1）= ， P（B2） = ，
45
45
…………………９ 分
117,119 20 株； 119,121 7 株； 121,123 4 株； [123,125]2 株 .
（ 1）列出频率分布表； （ 2）画出频率分布直方图；
（ 3）据上述图表，估计数据落在 109,121 范围内的可能性是百分之几？
22. 函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等，请选择适当的
∴ f ( x) 为偶函数； ………………………………………………………４ 分
③ ∵ f (x ) f ( x) , ∴ f (x) 是周期为 的周期函数； ……………６ 分
④ 当 x [0, ] 时， f ( x) = ( 1 sin x 1 sin x)2 2
x 2 2 | cos x | 2cos ，
（ 1）2 件都是一级品的概率；
（ 2）至少有一件二级品的概率。
2021学年江苏高一下学期苏教版高中数学期末考试【含解析】
2021学年江苏高一下学期苏教版高中数学期末考试【含解析】姓名：__________ 班级：__________学号：__________题号一二三四五六总分评分一、选择题（共12题）1、已知点M（1，6）， N（7，3），则直线MN的斜率为22、的值为3、圆的圆心坐标为4、下列命题错误的是A．不在同一直线上的三点确定一个平面B．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面C．如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面D．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面5、下列叙述正确的是A．频率是稳定的，概率是随机的B．互斥事件一定不是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件C． 5张奖券中有1张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性小D．若事件A发生的概率为P（A），则6、在△ABC中，已知∠B＝60°，边AB＝4，且△ABC的面积为2，则边AC的长为7、某同学5次考试的数学成绩x与物理成绩y的统计数据如下表，已知该同学的物理成绩）与数学成绩x是线性相关的，根据数据可得回归方程的b的值为0．5，则当该生的物理成绩y达到90分时，可以估计他的数学成绩为А． 140B． 142C． 145D． 1488、阿基米德（Archimedes，公元前287年一公元前212年）是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家．他推导出的结论“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”是其毕生最满意的数学发现，后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若球的体积为36π，则圆柱的表面积为A．36πB．45πC．54πD．63π9、已知直线，则下列说法正确的是A．若，则m＝－1或m＝3B．若，则m＝3C．若，则D．若，则10、已知△ABC的内角A， B， C所对的边分别为a， b， c，则下列说法正确的是A．若sinB＞sinC，则B＞CB．若a＝4， b＝2， A＝，则三角形有两解C．若bcosB－ccosC＝0，则△ABC一定为等腰直角三角形D．若bcosC－ccosB—0，则△ABC一定为等腰三角形11、PM2．5是衡量空气质量的重要指标，下图是某地7月1日到10日的PM2．5日均值（单位： ug/m3）的折线图，则下列关于这10天中PM2．5日均值的说法正确的是A．众数为30B．中位数是31C．平均数小于中位数D．后4天的方差小于前4天的方差12、如图，在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是A．异面直线AC与BC1所成的角为60°B．直线AB1与平面ABC1D1所成角为45°C．二面角的正切值为D．四面体的外接球的体积为二、填空题（共4题）1、已知tanα＝2，tanβ＝－1，则tan（α－β）的值为________2、过圆上一点P（1，－2）的圆的切线的一般式方程为________3、在我国，每年的农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽粒，俗称“粽子”，古称“角黍”，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为2的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为________4、如图，某数学学习兴趣小组的同学要测量学校地面上旗杆CD的高度（旗杆CD垂直于地面），设计如下的测量方案：先在地面选定距离为30米的A， B两点，然后在A处测得，在B处测得，由此可得旗杆CD的高度为________米三、解答题（共6题）1、已知 A（3， 2）和．（1）求过点A且与直线l平行的直线方程；（2）求点A关于直线l的对称点B的坐标．2、已知(1)求cosα的值；（2）求sin2α的值．3、已知△ABC的内角A， B， C所对的边分别为a， b， c， A＝，________且b＝，请从这三个条件中任选一个补充在横线上，求出此时△ABC的面积．4、手机支付也称为移动支付（Mobile Payment），是当今社会比较流行的一种付款方式．某金融机构为了了解移动支付在大众中的熟知度，对15—65岁的人群作了问题为“你会使用移动支付吗？”的随机抽样调查，把回答“会”的100个人按照年龄分成5组，绘制成如图所示的频率分布表和频率分布直方图．(1)求x，a的值；（2）若从第1， 3组中用分层抽样的方法抽取5人，求两组中分别抽取的人数；（3）在（2）抽取的5人中再随机抽取2人，求所抽取的2人来自同一个组的概率5、如图，在P—ABC中，PA⊥面ABC， PA＝2， CA＝CB＝AB＝2， D为棱AB的中点，点E在棱PA上．(1)若AE＝EP，求证：PB∥平面CDE；(2)求证：平面PAB⊥平面CDE；（3）若二面角B—CD—E的大小为120°，求异面直线PC与DE所成角的余弦值．6、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：，过点O及点A(－2，0)的圆N与圆M外切．（1）求圆N的标准方程；（2）若过点A的直线l被两圆截得的弦长相等，求直线l的方程；（3）直线MN上是否存在点B，使得过点B分别作圆M与圆N的切线，切点分别为P， Q (不重合)，满足BQ＝2BP?若存在，求出点B的坐标，若不存在，请说明理由．============参考答案============一、选择题1、 B2、 D3、 B4、 C5、 D6、 C7、 A8、 C9、 BD10、 ABD11、 AD12、 ACD二、填空题1、2、3、4、；三、解答题1、（1）设所求直线的方程为，将点代入，得，故所求直线的方程为．……………………………………………4分（2）设，则由及线段的中点在直线上可得，…………………………………………………………8分解得，，所以点的坐标为．……………………………………………………10分2、（1）因为，所以，所以，由，所以，所以．………………………………………6分（2）．………………………………………12分3、情形一：若选择①，由余弦定理，……………………………………2分情形二：若选择②，则，因为，所以，……………………………………………………2分因为，所以；………………………………………………………4分情形三：若选择③，则，所以，………………………………………………………………2分因为，所以，所以，所以；………4分由正弦定理，得，……………………6分因为，，所以，………………………………8分所以，……10分所以．…………………12分4、（1）由题意可知，，…………………………………………2分所以，（2）第1，3组共有50人，所以抽取的比例是，则从第1组抽取的人数为，……………………………………………6分从第3组抽取的人数为．……………………………………………8分（3）设第1组抽取的2人为，，第3组抽取的3人为，，，则从这5人中随机抽取2人有如下种情形：，，，，，，，，，共有10个基本事件．………………………………………………………10分其中符合“抽取的2人来自同一个组”的基本事件有，，，共4个基本事件，所以抽取的2人来自同一个组的概率．………………………………12分5、（1）由知，为棱的中点，又因为为棱的中点，所以在中，，因为平面，平面，所以平面．………………………………………………………………2分（2）因为底面，平面，所以，在中，，为的中点，所以，又因为，平面，平面，所以平面．………………………………………………………5分又因为平面，所以平面平面．…………………………6分（3）由题意知，二面角的大小为，由（2）的证明可知，平面，又因为平面，所以，又，所以即为二面角的平面角，………………8分所以，因为底面，平面，所以，在中，，，所以．因为，所以为棱的中点，故，于是即为异面直线与所成的角．………………………………10分易知，，在中，由余弦定理知，，所以异面直线与所成角的余弦值为．………………………………12分6、（1）由题意知，圆的圆心在直线上，设，半径为，因为圆与圆外切，且圆的圆心，半径为，所以，………………………………1分即①又，即②………………………………2分由①得，，代入②得，，解得或（舍），所以，故所求圆的标准方程为．………………………………4分（2）当的斜率不存在时，不符合题意．当的斜率存在时，设为，故的方程为，因为被两圆截得的弦长相等，所以，……………………………………………6分即，解得或，故直线的方程为或．…………………………………8分（3）设，由可知，，即，所以，即，整理得①，…………………………………………10分又直线的方程为②，…………………………………………11分由①②联立解得，，或，，由，两点不重合，故，不合题意，舍去，故存在点符合题意．………………………………………………………12分。
苏教版高一下学期数学期末试卷(含答案解析)
启东市高一下学期数学期末试卷一、填空题（每题5分，共70分）1．若直线l的斜率为﹣1，则直线l的倾斜角为．2．一元二次不等式﹣2x2﹣x+6≥0的解集为．3．一个三角形的两个内角分别为30°和45°，如果45°角所对的边长为8，那么30°角所对的边长是．4．给出下列条件：①l∥α；②l与α至少有一个公共点；③l与α至多有一个公共点．能确定直线l在平面α外的条件的序号为．5．已知直线l过点P（2，3），且与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为12，则直线l的方程为．6．在等比数列{a n}中，已知公比q=，S5=﹣，则a1= ．7．在△ABC中，已知a=6，b=5，c=4，则△ABC的面积为．8．已知正四棱锥的底面边长是2，侧面积为12，则该正四棱锥的体积为．9．已知点P（x，y）在不等式组所表示的平面区域内运动，则的取值范围为．10．在平面直角坐标系xOy中，直线l：（2k﹣1）x+ky+1=0，则当实数k变化时，原点O到直线l的距离的最大值为．11．已知正三角形ABC的边长为2，AM是边BC上的高，沿AM将△ABM折起，使得二面角B ﹣AM﹣C的大小为90°，此时点M到平面ABC的距离为．12．已知正实数m，n满足+=1，则3m+2n的最小值为．13．已知直线l：2x﹣y﹣2=0和直线l：x+2y﹣1=0关于直线l对称，则直线l的斜率为．14．正项数列{a n}的前n项和为S n，满足a n=2﹣1．若对任意的正整数p、q（p≠q），不等式S P+S q＞kS p+q恒成立，则实数k的取值范围为．二、解答题15．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA=asinB．（1）求角A的大小；（2）若a=1，求△ABC面积的最大值．16．如图所示，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D．（1）求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；（2）如果点E是B1C1的中点，求证：AE∥平面ADC1．三、解答题17．已知数列{a n}满足a n+1=λa n+2n（n∈N*，λ∈R），且a1=2．（1）若λ=1，求数列{a n}的通项公式；（2）若λ=2，证明数列{}是等差数列，并求数列{a n}的前n项和S n．18．已知三条直线l1：ax﹣y+a=0，l2：x+ay﹣a（a+1）=0，l3：（a+1）x﹣y+a+1=0，a＞0．（1）证明：这三条直线共有三个不同的交点；（2）求这三条直线围成的三角形的面积的最大值．19．如图是市儿童乐园里一块平行四边形草地ABCD，乐园管理处准备过线段AB上一点E设计一条直线EF（点F在边BC或CD上，不计路的宽度），将该草地分为面积之比为2：1的左、右两部分，分别种植不同的花卉．经测量得AB=18m，BC=10m，∠ABC=120°．设EB=x，EF=y（单位：m）．（1）当点F与C重合时，试确定点E的位置；（2）求y关于x的函数关系式；（3）请确定点E、F的位置，使直路EF长度最短．20．已知数列{a n}满足对任意的n∈N*，都有a13+a23+…+a n3=（a1+a2+…+a n）2且a n＞0．（1）求a1，a2的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）若b n=，记S n=，如果S n＜对任意的n∈N*恒成立，求正整数m的最小值．参考答案一、填空题（每题5分，共70分）1．若直线l的斜率为﹣1，则直线l的倾斜角为．【考点】I2：直线的倾斜角．【分析】设直线l的倾斜角为θ，θ∈[θ，π）．可得tanθ=﹣1，解得θ．【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[θ，π）．∴tanθ=﹣1，解得θ=．故答案为：．2．一元二次不等式﹣2x2﹣x+6≥0的解集为[﹣2，] ．【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】把不等式化为（2x﹣3）（x+2）≤0，求出解集即可．【解答】解：不等式﹣2x2﹣x+6≥0化为2x2+x﹣6≤0，即（2x﹣3）（x+2）≤0，解得﹣2≤x≤，所以不等式的解集为[﹣2，]．故答案为：[﹣2，]．3．一个三角形的两个内角分别为30°和45°，如果45°角所对的边长为8，那么30°角所对的边长是4．【考点】HP：正弦定理．【分析】设30°角所对的边长是x，由正弦定理可得，解方程求得x的值．【解答】解：设30°角所对的边长是x，由正弦定理可得，解得 x=，故答案为．4．给出下列条件：①l∥α；②l与α至少有一个公共点；③l与α至多有一个公共点．能确定直线l在平面α外的条件的序号为①③．【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据直线与平面的位置关系的定义判定即可．【解答】解：直线l在平面α外包含两种情况：平行，相交．对于①，l∥α，能确定直线l在平面α外，对于②，l与α至少有一个公共点，直线可能与平面相交，故不能确定直线l在平面α外，对于③，l与α至多有一个公共点，直线可能与平面相交或平行，故能确定直线l在平面α外，故答案为：①③5．已知直线l过点P（2，3），且与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为12，则直线l的方程为3x+2y﹣12=0 ．【考点】IB：直线的点斜式方程．【分析】写出直线的截距式方程，根据要求条件参数的值，得到本题结论．【解答】解：设l在x轴、y轴上的截距分别为a，b（a＞0，b＞0），则直线l的方程为+=1∵P（2，3）在直线l上，∴+=1．又由l与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积为12，可得ab=24，∴a=4，b=6，∴直线l的方程为+=1，即3x+2y﹣12=0，故答案为：3x+2y﹣12=0．6．在等比数列{a n}中，已知公比q=，S5=﹣，则a1= ﹣4 ．【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的前n项和公式直接求解．【解答】解：∵在等比数列{a n}中，公比q=，S5=﹣，∴==﹣，a1=﹣4．故答案为：﹣4．7．在△ABC中，已知a=6，b=5，c=4，则△ABC的面积为．【考点】HR：余弦定理；%H：三角形的面积公式．【分析】由余弦定理算出cosA，结合同角三角函数的平方关系得sinA，最后由正弦定理的面积公式，可得△ABC的面积．【解答】解：∵△ABC中，a=6，b=5，c=4，∴由余弦定理，得cosA==，∵A∈（0，π），∴sinA==，由正弦定理的面积公式，得：△ABC的面积为S=bcsinA=×5×4×=，故答案为：．8．已知正四棱锥的底面边长是2，侧面积为12，则该正四棱锥的体积为．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意画出图形，求出正四棱锥的斜高，进一步求出高，代入棱锥体积公式得答案．【解答】解：如图，∵P﹣ABCD为正四棱锥，且底面边长为2，过P作PG⊥BC于G，作PO⊥底面ABCD，垂足为O，连接OG．由侧面积为12，即4×，即PG=3．在Rt△POG中，PO=∴正四棱锥的体积为V=故答案为：9．已知点P（x，y）在不等式组所表示的平面区域内运动，则的取值范围为（1，）．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的阴影部分．则z=，表示直线的斜率，再将点P移动，观察倾斜角的变化即可得到k的最大、最小值，从而得到的取值范围．【解答】解：设直线3x﹣2y+4=0与直线2x﹣y﹣2=0交于点A，可得A（8，14），不等式组表示的平面区域如图：则的几何意义是可行域内的P（x，y）与坐标原点连线的斜率，由可行域可得k的最大值为：k OA=，k的最小值k=1．因此，的取值范围为（1，）故答案为：（1，）．10．在平面直角坐标系xOy中，直线l：（2k﹣1）x+ky+1=0，则当实数k变化时，原点O到直线l的距离的最大值为．【考点】IT：点到直线的距离公式．【分析】由于直线l：（2k﹣1）x+ky+1=0经过定点P（1，﹣2），即可求出原点O到直线l 的距离的最大值．【解答】解：直线l：（2k﹣1）x+ky+1=0化为（1﹣x）+k（2x+y）=0，联立，解得，经过定点P（1，﹣2），由于直线l：（2k﹣1）x+ky+1=0经过定点P（1，﹣2），∴原点O到直线l的距离的最大值为．故答案为：．11．已知正三角形ABC的边长为2，AM是边BC上的高，沿AM将△ABM折起，使得二面角B ﹣AM﹣C的大小为90°，此时点M到平面ABC的距离为．【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【分析】以M为原点，MB，MC，MA为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点M到平面ABC的距离．【解答】解：∵正三角形ABC的边长为2，AM是边BC上的高，沿AM将△ABM折起，使得二面角B﹣AM﹣C的大小为90°，∴MA、MB、MC三条直线两两垂直，AM=，BM=CM=1，以M为原点，MB，MC，MA为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则M（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），A（0，0，），=（﹣1，0，0），=（﹣1，0，），=（﹣1，1，0），设平面ABC的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（，，1），∴点M到平面ABC的距离为：d===．故答案为：．12．已知正实数m，n满足+=1，则3m+2n的最小值为3+．【考点】7F：基本不等式．【分析】根据题意，分析可得3m+2n=（m+n）+（m﹣n），又由+=1，则有3m+2n=[（m+n）+（m﹣n）]×[+]=3++，利用基本不等式分析可得答案．【解答】解：根据题意，3m+2n=（m+n）+（m﹣n），又由m，n满足+=1，则有3m+2n=[（m+n）+（m﹣n）]×[+]=3++≥3+2=3+，当且仅当=时，等号成立，即3m+2n的最小值为3+，故答案为：3+．13．已知直线l：2x﹣y﹣2=0和直线l：x+2y﹣1=0关于直线l对称，则直线l的斜率为或﹣3 ．【考点】IQ：与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】设P（a，b）是直线l上任意一点，则点P到直线l：2x﹣y﹣2=0和直线l：x+2y﹣1=0的距离相等．，整理得a﹣3b﹣1=0或3a+b﹣3=0，即可求解．【解答】解：设P（a，b）是直线l上任意一点，则点P到直线l：2x﹣y﹣2=0和直线l：x+2y﹣1=0的距离相等．整理得a﹣3b﹣1=0或3a+b﹣3=0，∴直线l的斜率为或﹣3．故答案为：或﹣314．正项数列{a n}的前n项和为S n，满足a n=2﹣1．若对任意的正整数p、q（p≠q），不等式S P+S q＞kS p+q恒成立，则实数k的取值范围为．【考点】8H：数列递推式．【分析】a n=2﹣1，可得S n=，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，利用已知可得：a n﹣a n﹣=2．利用等差数列的求和公式可得S n，再利用基本不等式的性质即可得出．1【解答】解：∵a n=2﹣1，∴S n=，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣，化为：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，∵∀n∈N*，a n＞0，∴a n﹣a n﹣1=2．n=1时，a1=S1=，解得a1=1．∴数列{a n}是等差数列，首项为1，公差为2．∴S n=n+=n2．∴不等式S P+S q＞kS p+q化为：k＜，∵＞，对任意的正整数p、q（p≠q），不等式S P+S q＞kS p+q恒成立，∴．则实数k的取值范围为．故答案为：．二、解答题15．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA=asinB．（1）求角A的大小；（2）若a=1，求△ABC面积的最大值．【考点】HP：正弦定理．【分析】（1）根据正弦定理化简可得sinAsinB=sinBcosA，结合sinB≠0，可求tanA，由范围0＜A＜π，可求A的值．（2）由已知利用余弦定理，基本不等式可求bc≤2，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）在△ABC中，∵ asinB=bcosA．由正弦定理，得： sinAsinB=sinBcosA，∵0＜B＜π，sinB≠0．∴sinA=cosA，即tanA=．∵0＜A＜π，∴A=．（2）∵由a=1，A=，∴由余弦定理，1=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc，得：bc≤2，当且仅当b=c等号成立，∴△ABC的面积S=bcsinA≤（2+）×=，即△ABC面积的最大值为．16．如图所示，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D．（1）求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；（2）如果点E是B1C1的中点，求证：AE∥平面ADC1．【考点】LY：平面与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）推导出AD⊥C1D，从而CC1⊥平面ABC，进而AD⊥CC1，由此能证明AD⊥平面BCC1B1．即平面ADC1⊥平面BCC1B1（2）由AD⊥BC，得D是BC中点，连结ED，得四边形AA1DE是平行四边形，由此能证明A1E ∥平面ADC1．【解答】证明：（1）∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D，∴CC1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，∴AD⊥CC1，又C1D∩CC1=C1，∴AD⊥平面BCC1B1．AD⊂面ADC1，∴平面ADC1⊥平面BCC1B1（2）∵AD⊥平面BCC1B1，∴AD⊥BC，∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=AC，∴D是BC中点，连结ED，∵点E是C1B1的中点，∴AA1∥DE且AA1=DE，∴四边形AA1DE是平行四边形，∴A1E∥AD，又A1E⊄面ADC1，AD⊂平面ADC1．∴A1E∥平面ADC1．三、解答题17．已知数列{a n}满足a n+1=λa n+2n（n∈N*，λ∈R），且a1=2．（1）若λ=1，求数列{a n}的通项公式；（2）若λ=2，证明数列{}是等差数列，并求数列{a n}的前n项和S n．【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．【分析】（1）当λ=1时，，由此利用累加法能求出数列{a n}的通项公式．（2）当λ=2时， =，再由，能证明数列{}是首项为1，公差为的等差数列，从而a n=（）•2n=（n+1）•2n﹣1，由此利用错位相减法能出数列{a n}的前n项和．【解答】解：（1）当λ=1时，a n+1=a n+2n（n∈N*），且a1=2．∴，∴a n=a1+a2﹣a1+a3﹣a2+…+a n﹣a n﹣1=2+2+22+…+2n﹣1=2+=2n．证明：（2）当λ=2时，a n+1=2a n+2n（n∈N*），且a1=2．∴，即=，∵，∴数列{}是首项为1，公差为的等差数列，∴=，∴a n=（）•2n=（n+1）•2n﹣1，∴数列{a n}的前n项和：S n=2•20+3•2+4•22+…+（n+1）•2n﹣1，①2S n=2•2+3•22+4•23+…+（n+1）•2n，②②﹣①，得：S n=（n+1）•2n﹣2﹣（2+22+23+…+2n﹣1）=（n+1）•2n﹣2﹣=（n+1）•2n﹣2﹣2n+2=n•2n．18．已知三条直线l1：ax﹣y+a=0，l2：x+ay﹣a（a+1）=0，l3：（a+1）x﹣y+a+1=0，a＞0．（1）证明：这三条直线共有三个不同的交点；（2）求这三条直线围成的三角形的面积的最大值．【考点】IM：两条直线的交点坐标．【分析】（1）分别求出直线l1与l3的交点A、l1与l2的交点B和l2与l3的交点C，且判断三点的坐标各不相同即可；（2）根据题意画出图形，由AB⊥BC知点B在以AC为直径的半圆上，除A、C点外；由此求出△ABC的面积最大值．【解答】解：（1）证明：直线l1：ax﹣y+a=0恒过定点A（﹣1，0），直线l3：（a+1）x﹣y+a+1=0恒过定点A（﹣1，0），∴直线l1与l3交于点A；又直线l2：x+ay﹣a（a+1）=0不过定点A，且l1与l2垂直，必相交，设交点为B，则B（，）；l2与l3相交，交点为C（0，a+1）；∵a＞0，∴三点A、B、C的坐标不相同，即这三条直线共有三个不同的交点；（2）根据题意，画出图形如图所示；AB⊥BC，∴点B在以AC为直径的半圆上，除A、C点外；则△ABC的面积最大值为S=•|AC|•|AC|=×（1+（a+1）2）=a2+a+．19．如图是市儿童乐园里一块平行四边形草地ABCD，乐园管理处准备过线段AB上一点E设计一条直线EF（点F在边BC或CD上，不计路的宽度），将该草地分为面积之比为2：1的左、右两部分，分别种植不同的花卉．经测量得AB=18m，BC=10m，∠ABC=120°．设EB=x，EF=y（单位：m）．（1）当点F与C重合时，试确定点E的位置；（2）求y关于x的函数关系式；（3）请确定点E、F的位置，使直路EF长度最短．【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【分析】（1）根据面积公式列方程求出BE；（2）对F的位置进行讨论，利用余弦定理求出y关于x的解析式；（3）分两种情况求出y的最小值，从而得出y的最小值，得出E，F的位置．【解答】解：（1）∵S△BCE=，S ABCD=2×，∴==，∴BE=AB=12．即E为AB靠近A的三点分点．（2）S ABCD=18×10×sin120°=90，当0≤x＜12时，F在CD上，∴S EBCF=（x+CF）BCsin60°=90，解得CF=12﹣x，∴y==2，当12≤x≤18时，F在BC上，∴S△BEF==，解得BF=，∴y==，综上，y=．（3）当0≤x＜12时，y=2=2≥5，当12≤x≤18时，y=＞＞5，∴当x=，CF=时，直线EF最短，最短距离为5．20．已知数列{a n}满足对任意的n∈N*，都有a13+a23+…+a n3=（a1+a2+…+a n）2且a n＞0．（1）求a1，a2的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）若b n=，记S n=，如果S n＜对任意的n∈N*恒成立，求正整数m的最小值．【考点】8E：数列的求和．【分析】（1）由题设条件知a1=1．当n=2时，有a13+a23=（a1+a2）2，由此可知a2=2．（2）由题意知，a n+13=（a1+a2++a n+a n+1）2﹣（a1+a2++a n）2，由于a n＞0，所以a n+12=2（a1+a2++a n）+a n+1．同样有a n2=2（a1+a2++a n﹣1）+a n（n≥2），由此得a n+12﹣a n2=a n+1+a n．所以a n+1﹣a n=1．所以数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列，由通项公式即可得到所求．（3）求得b n===2[﹣]，运用数列的求和方法：裂项相消求和，可得S n，结合不等式的性质，恒成立思想可得m≥，进而得到所求最小值．【解答】解：（1）当n=1时，有a13=a12，由于a n＞0，所以a1=1．当n=2时，有a13+a23=（a1+a2）2，将a1=1代入上式，可得a22﹣a2﹣2=0，由于a n＞0，所以a2=2．（2）由于a13+a23+…+a n3=（a1+a2+…+a n）2，①则有a13+a23+…+a n3+a n+13=（a1+a2+…+a n+a n+1）2．②②﹣①，得a n+13=（a1+a2+…+a n+a n+1）2﹣（a1+a2+…+a n）2，由于a n＞0，所以a n+12=2（a1+a2+…+a n）+a n+1．③同样有a n2=2（a1+a2+…+a n﹣1）+a n（n≥2），④③﹣④，得a n+12﹣a n2=a n+1+a n．所以a n+1﹣a n=1．由于a2﹣a1=1，即当n≥1时都有a n+1﹣a n=1，所以数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列．故a n=n．（3）b n===2[﹣]，则S n=2[﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣]=2[+﹣﹣]＜2×=，S n＜对任意的n∈N*恒成立，可得≥，即有m≥，可得正整数m的最小值为4．2017年7月28日。
学年高一数学(苏教版)第二学期期末考试模拟试题(含详解)
高一第二学期期末考试模拟试题（1）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分.）1. 经过空间任意三点作平面个数为_________▲________.2．在ABC ∆中，已知 ()()a b c a b c ab +++-=，则C ∠的大小为 ▲ ． 3. 设定义在区间()π02,上的函数sin 2y x =的图象与1cos 2y x =图象的交点横坐标为α，则tan α的值为 ▲ ．4. 如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，异面直线A 1B 和AD 1所成角的大小 是 ▲ ．5.求值：=- 15cos 2315sin 21____▲____. 6．若长方体1111ABCD A BC D -的底面正方形边长为1，1AB 与底面ABCD 成60°角，则11AC 到底面ABCD 的距离为 ▲ ．⒎ 设直线n 和平面α，不管直线n 和平面α的位置关系如何，在平面α内总存在直线m ，使得它与直线n ▲ ．(在“平行”、 “相交”、 “异面”、 “垂直”中选择一个填空)8．设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是 ▲ ． ①若αα⊂b a ,//则b a // ②若//,//l ααβ，则l β⊂ ③若,//l ααβ⊥，则l β⊥ ④若b a a //,//α则α//b 或α⊂b 9．ABC ∆中，已知cos cos a b c B c A -=-，则三角形的 形状为 ▲ ． 10．已知圆内接四边形ABCD 中，2,6,4,AB BC AD CD ====则四边形ABCD 的面积为▲ ．11．已知113cos ,cos(),07142πααββα=-=<<<且，则β= ▲ ．12．已知0a ≥，函数21())sin 242f x a x x π=-+的最大值为252，则实数a 的值为▲ ．13.已知ABC ∆中，︒=∠45B ，4=AC ，则ABC ∆面积的最大值为 ▲ ． 14.设,a b 均为大于1的自然数,函数()(sin ),()cos f x a b x g x b x =+=+,若存在实数m,使得()()f m g m =,则a b += ▲ ．二、解答题：（本大题共6个小题.共90.）15．(本题满分14分)在ABC ∆中，已知45A =，4cos 5B =. (1)求cosC 的值；(2)若10,BC D =为AB 的中点，求CD 的长.16.(本题满分14分)如图,在三棱柱111ABC A B C -中,已知1112,60AB AC AA BAA CAA ==∠=∠=,点D,E 分别为1,AB AC 的中点. (1) 求证:DE ∥平面11BB C C ； (2) 求证:11BB A BC ⊥平面.17.( （本题满分15分）)P在ABC ∆中,已知角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且sin sin sin a c Bb c A C-=-+. (1) 求A ；(2) 若22()cos ()sin ()f x x A x A =+--,求()f x 的单调递增区间.18．（本题满分15分）如图，三棱锥ABC P -中， ⊥PC 平面D BC AB AC PC ABC ,,2,===是PB 上一点，且⊥CD 平面PAB ． (1) 求证：⊥AB 平面PCB ；(2) 求异面直线AP 与BC 所成角的大小.19．（本题满分16分）如图，点A是单位圆与x轴正半轴的交点，点34(,)55B-，AOBα∠=，2παπ<<，1=，AOPθ∠=，02πθ<<．（1）若16cos()65αθ-=-，求点P的坐标；（2）若四边形OAQP为平行四边形且面积为S，求S⋅+的最大值．20. (本题满分16分)如图,有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD,在点A处有一个可转动的探照灯,其照射角PAQ∠始终为45(其中点P，Q分别在边BC，CD上),设,tanPAB tθθ∠==.(1)用t表示出PQ的长度,并探求CPQ∆的周长l是否为定值；(2)问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至少为多少(平方百米)?参考答案:Q CDP45θ1.一个或无数个2.23π 3.1515 4.3π 5.2- 6.7. 垂直 8. ③ ④ 9. 等腰或直角 10.11. 3π12.212- 13.244+ 14.4二、解答题：本大题共6个小题.共90解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．(本题满分14分)在ABC ∆中，已知45A =，4cos 5B =. (1)求cos C 的值； (2)若10,BC D =为AB 的中点，求CD 的长. 解：（Ⅰ）4cos ,5B =且(0,180)B ∈，∴3sin 5B ==． cos cos(180)cos(135)C A B B =--=-243cos135cos sin135sin 55B B =+=-=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sin C ===．由正弦定理得sin sin BC AB A C =AB=，解得14AB =．在BCD ∆中，7BD =， 22247102710375CD =+-⨯⨯⨯=， 所以CD = 16.(本题满分14分)如图,在三棱柱111ABC A B C -中,已知1112,60AB AC AA BAA CAA ==∠=∠=,点D,E 分别为1,AB AC 的中点. （1）求证:DE ∥平面11BB C C ; （2）求证:11BB A BC ⊥平面.17.(本题满足15分)在ABC ∆中,已知角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且sin sin sin a c Bb c A C-=-+. (3) 求A.(4) 若22()cos ()sin ()f x x A x A =+--,求()f x 的单调递增区间.18．（本小题满分15分）(1) 求证：⊥AB 平面PCB ；(2) 求异面直线AP 与BC 所成角的大小.(1) ∵PC ⊥平面ABC ，⊂AB 平面ABC ，∴PC ⊥AB ．∵CD ⊥平面PAB ，⊂AB 平面PAB ，∴CD ⊥AB ． 又C CD PC = ，∴AB ⊥平面PCB ． ……6分 (2) 过点A 作AF//BC ，且AF=BC ，连结PF ，CF ．则 PAF ∠为异面直线PA 与BC 所成的角． 由（1）可得AB ⊥BC ，∴CF ⊥AF ． 得PF ⊥AF ．则AF=CF=2，PF=6 CF PC 22=+，在PFA Rt ∆中， tan ∠PAF=26AF PF ==3， ∴异面直线PA 与BC 所成的角为3π． 19．（本小题满分16分）如图，点A 是单位圆与x 轴正半轴的交点，点34(,)55B -，AOB α∠=，2παπ<<，||1OP =u u u r ，AOP θ∠=，02πθ<<．（1）若16cos()65αθ-=-，求点P 的坐标；（2）若四边形OAQP 为平行四边形且面积为S ，求S ⋅+的最大值．解：（1）由点34(,)55B -，AOB α∠=，可知3cos 5α=-又2παπ<<，02πθ<<，所以0αθπ<-<，于是由16cos()65αθ-=-可得63sin()65αθ-=．………………………………………4分cos cos[()]θααθ∴=--316463()565565=-⨯-+⨯=1213，sin sin[()]θααθ=--416363()()565565=⨯---⨯513=，因||1OP =u u u r ，故点P 的坐标为125(,)1313． ……………………………………………8分（2）(1,0)OA =uu r ，(cos ,sin )OP θθ=u u u r ．因02πθ<<，故sin S θ=．……………10分因OAQP 为平行四边形，故(1cos ,sin )OQ OA OP θθ=+=+u u u r u u r u u u r．OQ OA S ⋅+sin 1cos θθ=++)14πθ=++(02πθ<<)．…………………14分当4πθ=时，S ⋅+1+．…………………………………………16分20. (本题满分16分)如图,有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD,在点A 处有一个可转动的探照灯,其照射角PAQ ∠始终为45(其中点P ，Q 分别在边BC ，CD 上),设,tan PAB t θθ∠==.(3) 用t 表示出PQ 的长度,并探求CPQ ∆的周长l 是否为定值.(4) 问探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积S 至多为多少(平方百米)?DP45θ。
2022-2023学年江苏省苏州高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年江苏省苏州高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．cos105°cos45°+sin105°sin45°＝（ ） A ．12B ．−12C ．√32D ．−√322．已知复数z 是一元二次方程x 2+2x +2＝0的一个根，则|z |＝（ ） A ．0B ．1C ．√2D ．23．抛掷三枚质地均匀的硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，“既有正面向上，也有反面向上”的概率为（ ） A ．14B ．38C ．12D ．344．已知A （2，3），B （4，﹣3），点P 在线段AB 的延长线上，且|AP →|=2|PB →|，则点P 的坐标为（ ） A ．（0，9） B ．（6，﹣9） C ．(103，−1) D ．（6，﹣9）或(103，−1) 5．中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”的“祖暅原理”，其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高．如图，已知正六棱台的上、下底面边长分别为1和2，高为2√3，一个不规则的几何体与此棱台满足“幂势既同”，则该几何体的体积为（ ）A ．72√33B ．16√3C ．18√3D ．216．已知平面向量a →，b →满足|b →|=1，a →⋅b →=−2，则3a →−b →在b →上的投影向量为（ ） A ．7b →B ．−7b →C ．5b →D ．−5b →7．已知a =45，b =sin 23，c =cos 13，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a8．用长度分别为2，3，4，5，6（单位：cm ）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（ ） A ．8√5cm 2B ．6√10cm 2C ．15√2cm 2D ．3√55cm 2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知一组数据4，2，a ，10，7的平均数为5，则此组数据的（ ） A ．众数为2B ．中位数为4C ．极差为3D ．方差为48510．下列条件中能推导出△ABC 一定是锐角三角形的有（ ） A ．AB →⋅AC →＞0B ．sin A ：sin B ：sinC ＝4：5：6C ．cos A cos B cos C ＞0D ．tan A •tan B ＝211．折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子（如图1），打开后形成以O 为圆心的两个扇形（如图2），若∠AOB ＝150°，OA ＝2OC ＝2，点F 在AB ̂上，∠BOF ＝120°，点E 在CD ̂上，OE →=xOC →+yOD →（x ，y ∈R ），则（ ）A ．OE →⋅EF →的取值范围为[﹣2，1] B ．OE →⋅EF →的取值范围为[﹣3，1] C ．当OE →⊥EF →时，x +y =1+√3D ．当OE →⊥EF →时，x +y =2+√312．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 在线段AC 上运动，则下列说法正确的有（ ） A ．B 1P ⊥BD 1B ．三棱锥C 1﹣A 1DP 的体积为定值C ．若Q 为棱BC 上一动点，则△B 1PQ 的周长的最小值为√3+1D ．过P 作平面α，使得A 1C ⊥α，则α截正方体所得的截面可以是四边形 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知事件A 与B 相互独立，P （A ）＝0.6，P （AB ）＝0.42，则P （A +B ）＝ ．14．已知三条不同的直线a ，b ，c 和两个不同的平面α，β满足以下条件：①a ⊥α，b ⊥β；②α∩β＝m ；③c ⊥a ，c ⊥b ，c ⊄α，c ⊄β，则c 与m 的位置关系是 ．（填“相交”，“平行”或“异面”） 15．已知棱长为4的正四面体A ﹣BCD 的四个顶点都在同一球面上，过棱AB 的中点M 的一个平面截此球所得截面面积为k π（k ∈N *），请写出一个符合条件的k 的值： ． 16．已知α，β为一个斜三角形的两个内角，若cosα−sinαcosα+sinα=cos2β，则tan α+tan β的最小值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知i 为虚数单位，复数z 0＝3+4i ． （1）若复数z 1满足z 1z 0＝3z 1+z 0，求z 1的虚部；（2）设复数z ＝（x 2﹣4x ）+（x +2）i （x ∈R ），若复平面内表示复数z +z 0的点位于第二象限，求x 的取值范围．18．（12分）数字人民币在数字经济时代中体现的价值、交易媒介和支付手段职能，为各地数字经济建设提供了安全、便捷的支付方式，同时也为金融监管、金融产品设计提供更多选择性和可能性．苏州作为全国首批数字人民币试点城市之一，提出了2023年交易金额达2万亿元的目标．现从使用数字人民币的市民中随机选出200人，并将他们按年龄（单位：岁）进行分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中a 的值和第25百分位数；（2）在这200位市民中用分层随机抽样的方法从年䯍在[25，35）和[45，55）内抽取6位市民做问卷调查，并从中随机抽取两名幸运市民，求两名幸运市民年龄都在[25，35）内的概率．19．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 是菱形，平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ，AB ⊥BC ，M 和N 分别是AB 和B 1C 1的中点． （1）求证：MN ∥平面AA 1C 1C ； （2）求证：B 1C ⊥AC 1．20．（12分）已知向量a →=(sinx ，cosx)，b →=(cosx ，√3cosx)，函数f(x)=a →⋅b →−√32．（1）若f(x 02)=−13，且x 0∈(−π2，π2)，求sin x 0的值；（2）已知A （﹣3，2），B （3，10），将f （x ）的图象向左平移π12个单位长度得到函数g （x ）的图象．在g（x）的图象上是否存在一点P，使得AP⊥BP？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．21．（12分）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部传世巨著，该书以基本定义、公设和公理作为推理的出发点，第一次实现了几何学的系绕化、条理化，成为用公理化方法建立数学演绎体系的最早典范．书中第Ⅰ卷第47号命题是著名的毕达哥拉斯（勾股定理），证明过程中以直角三角形ABC中的各边为边分别向外作了正方形（如图1）．某校数学兴趣小组对上述图形结构作拓广探究，提出了如下问题，请帮忙解答．问题：如图2，已知△ABC满足AC=2√2，AB＝2，设∠BAC＝θ（0＜θ＜π），四边形ABGF、四边形ACED、四边形BCQP都是正方形．（1）当θ=π2时，求EQ的长度；（2）求AQ长度的最大值．22．（12分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，DE＝3，AE＝2，BC＝CD＝1，∠BCD=∠CDE=2π3，∠AEB=π2．（1）当AB⊥BC时，求直线AB与平面BCDE所成角的大小；（2）当二面角A﹣BE﹣C为π3时，求平面ABC与平面ADE所成二面角的正弦值．2022-2023学年江苏省苏州高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．cos105°cos45°+sin105°sin45°＝（ ） A ．12B ．−12C ．√32D ．−√32解：cos105°cos45°+sin105°sin45°=cos(105°−45°)=cos60°=12． 故选：A ．2．已知复数z 是一元二次方程x 2+2x +2＝0的一个根，则|z |＝（ ） A ．0B ．1C ．√2D ．2解：设z ＝a +bi ，a ，b ∈R ，（a +bi ）2+2（a +bi ）+2＝0，即a 2﹣b 2+2a +2+（2ab +2b ）i ＝0，故{a 2−b 2+2a +2=02ab +2b =0，解得{a =−1b =1或{a =−1b =−1，故z ＝﹣1±i ，所以|z|=√1+1=√2． 故选：C ．3．抛掷三枚质地均匀的硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，“既有正面向上，也有反面向上”的概率为（ ） A ．14B ．38C ．12D ．34解：抛掷三枚质地均匀的硬币，观察它们落地时朝上的面的情况： （正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）， （反，反，正），（反，正，反），（正，反，反），（反，反，反）， 共有8种不同的结果，既有正面向上，也有反面向上情况：（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）， （反，反，正），（反，正，反），（正，反，反）， 有6种不同的结果，所以，既有正面向上，也有反面向上的概率为68=34．故选：D ．4．已知A （2，3），B （4，﹣3），点P 在线段AB 的延长线上，且|AP →|=2|PB →|，则点P 的坐标为（ ）A ．（0，9）B ．（6，﹣9）C ．(103，−1) D ．（6，﹣9）或(103，−1) 解：由题意得，点B 为AP 中点，设点P （x ，y ），则{x+22=4y+32=−3，解得{x =6y =−9，所以点P 的坐标为（6，﹣9）．故选：B ．5．中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”的“祖暅原理”，其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高．如图，已知正六棱台的上、下底面边长分别为1和2，高为2√3，一个不规则的几何体与此棱台满足“幂势既同”，则该几何体的体积为（ ）A ．72√33B ．16√3C ．18√3D ．21解：因为正六棱台的上下底面为正六边形， 所以S 上=6×√34×12=3√32，S 下=6×√34×22=6√3， 所以V 六棱台=13(3√32+6√3+√3√32×6√3)×2√3=21， 由祖暅原理知该几何体的体积也为21． 故选：D ．6．已知平面向量a →，b →满足|b →|=1，a →⋅b →=−2，则3a →−b →在b →上的投影向量为（ ） A ．7b →B ．−7b →C ．5b →D ．−5b →解：由题意，3a →−b →在b →上的投影向量为(3a →−b →)⋅b→|b →|•b →=3a →⋅b →−b→2|b →|•b →=3×(−2)−11•b →=−7b →． 故选：B ．7．已知a =45，b =sin 23，c =cos 13，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a解：因为sin 23＜sin π4=√22＜45＜sin π3=√32，所以b ＜a ， c =cos 13＞cos π6=√32＞45=a ，所以c ＞a ，所以b ＜a ＜c ． 故选：C ．8．用长度分别为2，3，4，5，6（单位：cm ）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（ ） A ．8√5cm 2B ．6√10cm 2C ．15√2cm 2D ．3√55cm 2解：方法一：因为三角形的周长为20，所以三角形越接近等边三角形，面积越大，所以三边长为6，7，7时面积最大，此时边长为6的边上的高为√72−32=2√10，面积为S =12×6×2√10=6√10， 方法二：设三角形的三边分别为a ，b ，c ， 令p =a+b+c2，则p ＝10．由海伦公式S =√p(p −a)(p −b)(p −c)， 知S =√10(10−a)(10−b)(10−c)≤√10[(10−a)+(10−b)+(10−c)3]3=100√39＜20＜3√55，由于等号成立的条件为10﹣a ＝10﹣b ＝10﹣c ，故“＝”不成立， ∴S ＜20＜3√55．排除CD ；由以上不等式推测，当三边长相等时面积最大，故考虑当a ，b ，c 三边长最接近时面积最大， 此时三边长为7，7，6，用2、5连接，3、4连接各为一边，第三边长为6组成三角形，此三角形面积最大，解法同一可知面积为6√10cm 2， 故选：B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知一组数据4，2，a ，10，7的平均数为5，则此组数据的（ ） A ．众数为2 B ．中位数为4C ．极差为3D ．方差为485解：由题意可得4+2+a+10+75=5⇒a =2，所以A 正确：2，2，4，7，10的中位数为4，故B 正确； 极差为10﹣2＝8，故C 错误；对于D ：S 2=(4−5)2+(2−5)2+(2−5)2+(10−5)2+(7−5)25=485，D 正确．故选：ABD ．10．下列条件中能推导出△ABC 一定是锐角三角形的有（ ） A ．AB →⋅AC →＞0B ．sin A ：sin B ：sinC ＝4：5：6C ．cos A cos B cos C ＞0D ．tan A •tan B ＝2解：对于A ，因为AB →⋅AC →=|AB →||AC →|cos〈AB →⋅AC →〉＞0，即cos〈AB →⋅AC →〉＞0， 又0＜〈AB →⋅AC →〉＜π，故角A 为锐角，但无法确定另两个角的范围，故△ABC 不一定是锐角三角形，故A 错误； 对于B ：因为sin A ：sin B ：sin C ＝4：5：6，由正弦定理得a ：b ：c ＝4：5：6， 令a ＝4k ，则b ＝5k ，c ＝6k ，显然最大角为C ，且cosC =a 2+b 2−c 22ab =(4k)2+(5k)2−(6k)22×4k×5k＞0，所以最大角C 为锐角，所以△ABC 一定是锐角三角形，故B 正确； 对于C ，因为cos A cos B cos C ＞0，若cos A ＜0，则cos B ＜0，cos C ＞0或cos B ＞0，cos C ＜0，又0＜A ，B ，C ＜π，则除了角A 为钝角外，还有一角为钝角，矛盾； 同理cos B ＜0，cos C ＜0都不可能，故cos A ＞0，cos B ＞0，cos C ＞0，即三个角均为锐角，故C 正确；对于D ，因为tan A •tan B ＝2＞0，易知tan A ＞0，tan B ＞0，则A ，B 均为锐角， 又tanC =−tan(A +B)=−tanA+tanB1−tanA⋅tanB=tanA +tanB ＞0，则C 也为锐角，所以△ABC 一定为锐角三角形，故D 正确． 故选：BCD ．11．折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子（如图1），打开后形成以O 为圆心的两个扇形（如图2），若∠AOB ＝150°，OA ＝2OC ＝2，点F 在AB ̂上，∠BOF ＝120°，点E 在CD ̂上，OE →=xOC →+yOD →（x ，y ∈R ），则（ ）A ．OE →⋅EF →的取值范围为[﹣2，1] B ．OE →⋅EF →的取值范围为[﹣3，1] C ．当OE →⊥EF →时，x +y =1+√3D ．当OE →⊥EF →时，x +y =2+√3解：对于A ，OE →⋅EF →=OE →⋅(OF →−OE →)=OE →⋅OF →−OE →2=OE →⋅OF →−1=2cos∠EOF −1，因为∠EOF ∈[0，2π3]．所以cos ∠EOF ∈[−12，1]，所以2cos ∠EOF ﹣1∈[﹣2，1]， 即OE →⋅EF →∈[−2，1]，A 正确；B 错误；对于C ，如图，当OE →⊥EF →时，可判断E 为BF 中点，OF ＝2OE ＝2，则∠OFE ＝∠AOF ＝30°，OA ∥BF ，作EM ∥OB ，则四边形OBEM 为平行四边形， 则OE →=OM →+OB →，OM =BE =EF =√3，所以OM →=√3OC →，OB →=2OD →， 所以OE →=OM →+OB →=√3OC →+2OD →．所以x +y =2+√3，C 错误，D 正确． 故选：AD ．12．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 在线段AC 上运动，则下列说法正确的有（ ） A ．B 1P ⊥BD 1B ．三棱锥C 1﹣A 1DP 的体积为定值C ．若Q 为棱BC 上一动点，则△B 1PQ 的周长的最小值为√3+1D ．过P 作平面α，使得A 1C ⊥α，则α截正方体所得的截面可以是四边形 解：对于A ，在正方体中，DD 1⊥平面ABCD ，所以DD 1⊥AC ， 又因为BD ⊥AC ，BD ∩DD 1＝D 且BD ⊂平面BDD 1，DD 1⊂平面 BDD 1， 所以AC ⊥平面BDD 1，所以AC ⊥BD 1，同理可证AB 1⊥BD 1， 又因为AC ∩AB 1＝A ，AC ⊂平面AB 1C ，AB 1⊂平面AB 1C ，所以BD 1⊥平面AB 1C ，因为B 1P ⊂平面AB 1C ，所以B 1P ⊥B 1D ，故A 正确； 因为在正方体中，AA 1∥CC 1，且AA 1＝CC 1，所以ACC 1A 1是平行四边形， 所以AC ∥A 1C 1，又A 1C 1⊂平面A 1DC 1，AC ⊄平面A 1DC 1，所以AC ∥平面A 1DC 1，又P ∈AC ，所以点P 到平面A 1DC 1的距离为定值，而△A 1DC 面积为定值， 所以三棱锥C 1﹣A 1DF 的体积为定值，故B 正确；对C，如图，将△AB1C绕AC旋转，△BB1C绕BC旋转，使得△AB1C与和△BB1C与△ABC共面，如图点P在AC上，点Q在BC上，若△B1PQ周长最小，即B1P+PQ+QB1最小，当B1，P，Q，B1四点共线时，B1P+PQ+QB1最小，在△CB1B1中，由余弦定理得B1B12=（√2）2+（√2）2﹣2×√2×√2×cos150°＝4+2√3，所以B1B1=√3+1，故C正确；对于D，如图，在正方体中，与正方体体对角线垂直的截面只有两种图形，三角形与六边形，所以D错误．故选：ABC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知事件A与B相互独立，P（A）＝0.6，P（AB）＝0.42，则P（A+B）＝0.88．解：因为事件A与B相互独立，所以P（AB）＝P（A）×P（B）＝0.6×P（B）＝0.42⇒P（B）＝0.7，所以P（A+B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）＝0.6+0.7﹣0.42＝0.88．故答案为：0.88．14．已知三条不同的直线a，b，c和两个不同的平面α，β满足以下条件：①a⊥α，b⊥β；②α∩β＝m；③c⊥a，c⊥b，c⊄α，c⊄β，则c与m的位置关系是平行．（填“相交”，“平行”或“异面”）解：由题意可知，直线a与直线b不平行，过a上一点A作与直线b′∥b，如图所示，则a与b′确定一个平面γ，由a⊥α，a⊂γ，则γ⊥α，由b ⊥β，b ′∥b ，则b ′⊥β，又b ′⊂γ，则γ⊥β， 由α∩β＝m ，得m ⊥γ，由c ⊥b ，得c ⊥b ′，又c ⊥a ，a ∩b ′＝A ，a ，b ′⊂γ，所以c ⊥γ， c ⊄a ，c ⊄β，所以c ∥m ． 故答案为：平行．15．已知棱长为4的正四面体A ﹣BCD 的四个顶点都在同一球面上，过棱AB 的中点M 的一个平面截此球所得截面面积为k π（k ∈N *），请写出一个符合条件的k 的值： 4或5或6 ． 解：如图，棱长为4的正四面体ABCD ，置入到正方体中，此正方体棱长为2√2，四面体外接球即为此正方体外接球，球心即为正方体中心O ， 半径R =12×√(2√2)2+(2√2)2+(2√2)2=√6． 则过点M 的最大截面圆即为过球心时，此时截面圆半径即为球半径√6，截面面积为π×(√6)2=6π， 当点M 为截面圆圆心时，此时截面圆面积最小，其中OM =√2， 最小截面圆半径为r =√R 2−OM 2=√6−2=2，截面圆面积为π×22＝4π，所以过点M 的截面圆面积取值范围为[4π，6π]， 所以k ∈{4，5，6}． 故答案为：4或5或6．16．已知α，β为一个斜三角形的两个内角，若cosα−sinαcosα+sinα=cos2β，则tan α+tan β的最小值为 −14．解：cosα−sinαcosα+sinα=cos2β，等号左边弦化切，右边用二倍角公式可得，1−tanα1+tanα=cos 2β−sin 2βcos 2β+sin 2β，1−tanα1+tanα=1−tan 2β1+tan 2β，tan α＝tan ²β，∴tan α+tan β＝tan ²β+tan β＝（tan β+12）²−14≥−14，取等号条件：tan β=−12时， 此时tan α=14，tan （α+β）=−29＜0，0＜α＜π2，π2＜β＜π，π2＜(α+β)＜π，0＜π−(α+β)＜π2，∴满足α、β、π﹣（α+β）为一斜三角形内角．所以tan α+tan β最小值为−14．故答案为：−14．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知i 为虚数单位，复数z 0＝3+4i ． （1）若复数z 1满足z 1z 0＝3z 1+z 0，求z 1的虚部；（2）设复数z ＝（x 2﹣4x ）+（x +2）i （x ∈R ），若复平面内表示复数z +z 0的点位于第二象限，求x 的取值范围．解：（1）设z 1＝a +bi （a ，b ∈R ），则由z 1z 0＝3z 1+z 0可得（a +bi ）（3+4i ）＝3（a +bi ）+3+4i ，整理得﹣4b ﹣3+（4a ﹣4）i ＝0，所以{4a −4=0−4b −3=0，解得a ＝1，b =−34，所以z 1的虚部为−34；（2）z +z 0=(x 2−4x)+(x +2)i +3−4i =(x 2−4x +3)+(x −2)i ， 因为复平面内表示复数z +z 0的点位于第二象限， 所以{x 2−4x +3＜0x −2＞0⇒⇒{1＜x ＜3x ＞2⇒⇒2＜x ＜3，即x 的取值范围为（2，3）．18．（12分）数字人民币在数字经济时代中体现的价值、交易媒介和支付手段职能，为各地数字经济建设提供了安全、便捷的支付方式，同时也为金融监管、金融产品设计提供更多选择性和可能性．苏州作为全国首批数字人民币试点城市之一，提出了2023年交易金额达2万亿元的目标．现从使用数字人民币的市民中随机选出200人，并将他们按年龄（单位：岁）进行分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中a 的值和第25百分位数；（2）在这200位市民中用分层随机抽样的方法从年䯍在[25，35）和[45，55）内抽取6位市民做问卷调查，并从中随机抽取两名幸运市民，求两名幸运市民年龄都在[25，35）内的概率．解：（1）（a +0.03+0.015+0.01×2）×10＝1⇒a ＝0.035， 因为第一组的频率为0.01×10＝0.1，0.1＜0.25，第二组的频率为0.03×10＝0.3，0.1+0.3＞0.25，所以第25百分位数在第二组，设为x，则0.1+x−2510×0.3=0.25⇒x=30，所以第25百分位数为30．（2）年龄在[25，35）的市民人数为200×0.3＝60，年龄在[45，55）的市民人数为200×0.15＝30，用分层随机抽样的方法抽取年龄在[25，35）的人数为6×6060+30=4人，年龄在[45，55）的人数为6×3060+30=2人，设年龄在[25，35）的4人为A，B，C，D，年龄在[45，55）的2人为E，F，从这6为市民中抽取两名的样本事件为{（AB），（AC），（AD），（AE），（AF），（BC），（BD），（BE），（BF），（CD），（CE），（CF），（DE），（DF），（EF）}，共15种，其中2名年龄都在[25，35）内的样本事件有{（AB），（AC），（AD），（BC），（BD），（CD）}6种，所以两名幸运市民年龄都在[25，35）内的概率为615=25．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C是菱形，平面ABC⊥平面BB1C1C，AB⊥BC，M和N分别是AB和B1C1的中点．（1）求证：MN∥平面AA1C1C；（2）求证：B1C⊥AC1．证明：（1）取AC中点为Q，连接MQ，C1Q，∵M，Q分别为AB，AC中点，∴MQ∥BC，MQ=12 BC，∵BC∥B1C1，BC＝B1C1，又N为B1C1中点，∴NC1∥BC，NC1=12BC，∴MQ∥NC1，MQ＝NC1，∴四边形MQC1N为平行四边形，∴MN∥C1Q，∵C1Q⊂平面AA1C1C，MN⊄平面AA1C1C，∴MN∥平面AA1C1C．（2）连接B 1C ，∵四边形BB 1C 1C 是菱形， ∴B 1C ⊥BC 1，∵平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ，平面ABC ∩平面BB 1C 1C ＝BC ，AB ⊂平面ABC ，AB ⊥BC ， ∴AB ⊥平面BB 1C 1C ， 又B 1C ⊂平面BB 1C 1C ， ∴AB ⊥B 1C ，∵AB ∩BC 1＝B ，AB ，BC 1⊂平面ABC 1， ∴B 1C ⊥平面ABC 1， ∵AC 1⊂平面ABC 1， ∴B 1C ⊥AC 1．20．（12分）已知向量a →=(sinx ，cosx)，b →=(cosx ，√3cosx)，函数f(x)=a →⋅b →−√32．（1）若f(x02)=−13，且x 0∈(−π2，π2)，求sin x 0的值； （2）已知A （﹣3，2），B （3，10），将f （x ）的图象向左平移π12个单位长度得到函数g （x ）的图象．在g （x ）的图象上是否存在一点P ，使得AP ⊥BP ？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）f(x)=a →⋅b →−√32=sinxcosx +√3cos 2x −√32=12sin2x +√32(1+cos2x)−√32=sin(2x +π3)，f(x 02)=sin(x 0+π3)=−13，因为x 0∈(−π2，π2)，所以x 0+π3∈(−π6，5π6)，而sin(x 0+π3)=−13＜0，所以x 0+π3∈(−π6，0)， 所以cos(x 0+π3)=√1−sin 2(x 0+π3)=2√23，所以sinx 0=sin[(x 0+π3)−π3]=12sin(x 0+π3)−√32cos(x 0+π3)=−1+2√66； （2）由题意得g(x)=sin(2(x +π12)+π3)=cos2x ， 假设g （x ）的图象上存在点P （x 1，cos2x 1）使得AP ⊥BP ，因为AP →=(x 1+3，cos2x 1−2)，BP →=(x 1−3，cos2x 1−10)， 因为AP ⊥BP ，所以AP →⋅BP →=(x 1+3)(x 1−3)+(cos2x 1−2)(cos2x 1−10)=x 12+cos 22x 1−12cos2x 1+11=0， 令ℎ(x 1)=x 12+cos 22x 1−12cos2x 1+11=x 12+(cos2x 1−6)2−25，因为cos2x 1∈[﹣1，1]，所以ℎ(x 1)=x 12+(cos2x 1−6)2−25≥x 12+(1−6)2−25=x 12≥0，当且仅当{x 1=0cos2x 1=1时取等，所以h （x 1）＝0存唯一解x 1＝0，此时cos2x 1＝1，点P （0，1）， 综上，符合条件的点P 坐标为（0，1）．21．（12分）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部传世巨著，该书以基本定义、公设和公理作为推理的出发点，第一次实现了几何学的系绕化、条理化，成为用公理化方法建立数学演绎体系的最早典范．书中第Ⅰ卷第47号命题是著名的毕达哥拉斯（勾股定理），证明过程中以直角三角形ABC 中的各边为边分别向外作了正方形（如图1）．某校数学兴趣小组对上述图形结构作拓广探究，提出了如下问题，请帮忙解答．问题：如图2，已知△ABC 满足AC =2√2，AB ＝2，设∠BAC ＝θ（0＜θ＜π），四边形ABGF 、四边形ACED 、四边形BCQP 都是正方形．（1）当θ=π2时，求EQ 的长度； （2）求AQ 长度的最大值．解：（1）在△ABC 中，AC =2√2，AB ＝2，∠BAC =π2，则BC =2√3，cos ∠ACB =√23，因为∠ACB +∠ECQ ＝π，所以cos ∠ECQ =cos(π−∠ACB)=−cos ∠ACB =√2√3，在△ECQ 中，CE =AC =2√2，CQ =BC =2√3，由余弦定理EQ 2=CE 2+CQ 2−2CE ×CQ ×cos∠ACB =8+12−2×2√2×2√3×√2√3)=36⇒EQ=6，所以EQ的长度为6．（2）在△ABC中，BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC•cosθ，所以BC2=12−8√2cosθ，设∠ACB＝α，在△ACQ中，AQ2=AC2+CQ2−2AC⋅CQ⋅cos(α+π2 )，所以AQ2=8+12−8√2cosθ+4√2⋅CQ⋅sinα①，在△ABC中，由正弦定理得ABsinα=BCsinθ，所以CQ•sinα＝BC•sinα＝AB•sinθ＝2sinθ，代入①可得AQ2=20−8√2cosθ+8√2sinθ=20+16sin(θ−π4 )，因为0＜θ＜π，所以−π4＜θ−π4＜3π4，当θ−π4=π2即θ=3π4时，AQ2的最大值为20+16＝36，所以AQ长度的最大值为6．22．（12分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，DE＝3，AE＝2，BC＝CD＝1，∠BCD=∠CDE=2π3，∠AEB=π2．（1）当AB⊥BC时，求直线AB与平面BCDE所成角的大小；（2）当二面角A﹣BE﹣C为π3时，求平面ABC与平面ADE所成二面角的正弦值．解：（1）如图，延长BC，ED交于点F，连接AF．∵∠BCD =∠CDE =2π3，∴∠FCD =∠FDC =π3，故△CDF 为等边三角形， ∴CF ＝DF ＝1，∠F =π3．∵DE ＝3，BC ＝1，∴BF ＝2，EF ＝DF +DE ＝4，在△BEF 中，由余弦定理得BE 2＝BF 2+EF 2﹣2BF •EF cos ∠BFE ＝12， ∴BE =2√3，∴BF 2+BE 2＝EF 2，∴BC ⊥BE ．∵AB ⊥BC ，AB ∩BE ＝B ，∴BC ⊥平面ABE ． ∵AE ⊂平面ABE ，∴BC ⊥AE ． ∵AE ⊥BE ，BE ∩BC ＝B ， ∴AE ⊥平面BCDE ，∴∠ABE 即为直线AB 与平面BCDE 的所成角， 在Rt △AEB 中，tan ∠ABE =AEBE =√33， 故直线AB 与平面BCDE 所成角的大小为π6．（2）过E ，F 分别作BC ，BE 的平行线交于点G ，连接AG ，取EG 的中点H ，连接AH ．则四边形BFGE 为平行四边形， 由（1）知，BF ＝2，故EG ＝2， ∵BC ⊥BE ，EG ∥BC ，∴EG ⊥BE ．又∵AE ⊥BE ，∴∠AEG 为二面角A ﹣BE ﹣C 的平面角，即∠AEG =π3． 在△AEG 中，∵AE ＝EG ＝2，∠AEG =π3，∴△AEG 为等边三角形， ∴AH ⊥EG ，且AH =√3，AG ＝2． 由（1）知BC ⊥BE ，∴EG ⊥BE ，∵AE ⊥BE ，AE ∩EG ＝E ，∴BE ⊥平面AEG ． ∵AH ⊂平面AEG ，∴BE ⊥AH ．∵EG ∩BE ＝E ，∴AH ⊥平面BFGE ， ∵FG ∥BE ，∴FG ⊥平面AEG ， ∵AG ⊂平面AEG ，∴FG ⊥AG ，在△AFG 中，AG ＝2，FG =2√3，∠AGF =π2，∴AF ＝4． 在△AEF 中，AE ＝2，EF ＝AF ＝4，∴cos ∠EAF =AE 2+AF 2−EF 22AE⋅AF=4+16−162×2×4=14， 故sin ∠EAF =√1−cos 2∠EAF =√154，∴S △AEF =12AE ⋅AFsin∠EAF =√15．易求得S △BEF =2√3．设点B 到平面AEF 和边AF 的距离分别为d 1，d 2， ∵V A ﹣BEF ＝V B ﹣AEF ，∴13S △BEF ⋅AH =13S △AEF ⋅d 1，即2√3×√3=√15×d 1，∴d 1=6√15． 在△ABF 中，AB ＝AF ＝4，BF ＝2，故△ABF ≌△FEA ， 故S △ABF ＝S △AEF ，∴12×4×d 2=√15，∴d 2=√152．设平面ABC 与平面ADE 所成二面角的大小为θ，则sinθ=d 1d 2=6√152√15=45．。
2024届江苏省南京市、盐城市高一数学第二学期期末综合测试试题含解析
2024届江苏省南京市、盐城市高一数学第二学期期末综合测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如图，测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB 等于（ ）A ．56B ．153C ．52D ．1562． “结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量.如图所示的是一位农民记录自己采摘果实的个数.在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一.根据图示可知，农民采摘的果实的个数是（ ）A ．493B ．383C ．183D ．1233．若tan 0α>，则（ ） A ．sin 0α> B ．cos 0α>C ．sin 20α>D ．cos20α>4．已知ππ042βα<<<<，且π10sin 410α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π4sin 45β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()sin αβ+=( )A ．1010B ．1010-C ．31010D ．31010-5．设集合{1,2,3,4,5},{1,2,5}U A ==，则U C A =（ ） A ．{1,5}B ．{3,4}C ．{3,5}D ．{1,2,3,4,5}6．给出下列命题：（1）存在实数α使5sin cos 3αα+= . （2）直线20192x π=是函数cos y x =图象的一条对称轴. （3）()()cos sin y x x R =∈的值域是[]cos1,1.（4）若,αβ都是第一象限角，且sin sin αβ>，则tan tan αβ>. 其中正确命题的题号为（ ） A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（3）（4）D ．（1）（4）7．汉朝时，张衡得出圆周率的平方除以16等于58，如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的曲线为圆，利用张衡的结论可得该几何体的体积为（ ）A ．32B ．40C ．32103D ．1038．某单位职工老年人有30人，中年人有50人，青年人有20人，为了了解职工的建康状况，用分层抽样的方法从中抽取10人进行体检，则应抽查的老年人的人数为（ ） A ．3B ．5C ．2D ．19．直线310x y -+=的倾斜角为 A ．23π B ．56π C ．3π D ．6π 10．正四棱柱的高为3cm ,17,则正四棱柱的侧面积为( ) A ．10B ．24C ．36D ．40二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
江苏省13市2024届高一数学第二学期期末学业水平测试试题含解析
江苏省13市2024届高一数学第二学期期末学业水平测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．下图是实现秦九韶算法的一个程序框图，若输入的5x =，2n =，依次输入的a 为2,2,5，则输出的s =（ ）A ．10B ．12C ．60D ．652．若实数满足，则的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．3．已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于5km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东020，灯塔B 在观察站C 的南偏东040，则灯塔A 与灯塔B 的距离为（ ） A ．52kmB ．3kmC ．5kmD ．10km4．已知向量m ，n ，若1m =，22m n -=，则m n n -+的最大值为( ) A ．5B 10C ．4D ．55．已知向量(2,tan ),(1,1)a b θ==-，且//a b ，则tan()4πθ-=（ ）A ．2B ．3-C ．1-D ．13-6．已知函数()sin cos 6f x x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭在区间03π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上()f x a ≤恒成立，则实数a 的最小值是（ ） A ．32-B ．12-C ．12D ．327．如图，正四面体A BCD -，P 是棱CD 上的动点，设CP tCD =（()01t ∈，），分别记AP 与BC ，BD 所成角为α，β，则（ ）A ．αβ≥B ．αβ≤C ．当102t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，时，αβ≥D ．当102t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，时，αβ≤ 8．函数2sin cos y x x =+，当x ϕ=时函数取得最大值，则cos ϕ=（ ）A ．55B ．255C ．223D ．139．七巧板是古代中国劳动人民的发明，到了明代基本定型．清陆以湉在《冷庐杂识》中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．如图，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率是（ ）A ．116B ．18 C ．38D ．31610．已知数列{}n a 的前n 项和1nn S a =-（0a ≠），那么{}n a （ ）A ．一定是等差数列B ．一定是等比数列C ．或者是等差数列，或者是等比数列D ．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
苏教版高一下学期数学期末试卷(含答案解析)
启东市高一下学期数学期末试卷一、填空题（每题5分，共70分）1．若直线l的斜率为﹣1，则直线l的倾斜角为．2．一元二次不等式﹣2x2﹣x+6≥0的解集为．3．一个三角形的两个内角分别为30°和45°，如果45°角所对的边长为8，那么30°角所对的边长是．4．给出下列条件：①l∥α；②l与α至少有一个公共点；③l与α至多有一个公共点．能确定直线l在平面α外的条件的序号为．5．已知直线l过点P（2，3），且与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为12，则直线l的方程为．6．在等比数列{a n}中，已知公比q=，S5=﹣，则a1= ．7．在△ABC中，已知a=6，b=5，c=4，则△ABC的面积为．8．已知正四棱锥的底面边长是2，侧面积为12，则该正四棱锥的体积为．9．已知点P（x，y）在不等式组所表示的平面区域内运动，则的取值范围为．10．在平面直角坐标系xOy中，直线l：（2k﹣1）x+ky+1=0，则当实数k变化时，原点O到直线l的距离的最大值为．11．已知正三角形ABC的边长为2，AM是边BC上的高，沿AM将△ABM折起，使得二面角B ﹣AM﹣C的大小为90°，此时点M到平面ABC的距离为．12．已知正实数m，n满足+=1，则3m+2n的最小值为．13．已知直线l：2x﹣y﹣2=0和直线l：x+2y﹣1=0关于直线l对称，则直线l的斜率为．14．正项数列{a n}的前n项和为S n，满足a n=2﹣1．若对任意的正整数p、q（p≠q），不等式S P+S q＞kS p+q恒成立，则实数k的取值范围为．二、解答题15．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA=asinB．（1）求角A的大小；（2）若a=1，求△ABC面积的最大值．16．如图所示，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D．（1）求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；（2）如果点E是B1C1的中点，求证：AE∥平面ADC1．三、解答题17．已知数列{a n}满足a n+1=λa n+2n（n∈N*，λ∈R），且a1=2．（1）若λ=1，求数列{a n}的通项公式；（2）若λ=2，证明数列{}是等差数列，并求数列{a n}的前n项和S n．18．已知三条直线l1：ax﹣y+a=0，l2：x+ay﹣a（a+1）=0，l3：（a+1）x﹣y+a+1=0，a＞0．（1）证明：这三条直线共有三个不同的交点；（2）求这三条直线围成的三角形的面积的最大值．19．如图是市儿童乐园里一块平行四边形草地ABCD，乐园管理处准备过线段AB上一点E设计一条直线EF（点F在边BC或CD上，不计路的宽度），将该草地分为面积之比为2：1的左、右两部分，分别种植不同的花卉．经测量得AB=18m，BC=10m，∠ABC=120°．设EB=x，EF=y（单位：m）．（1）当点F与C重合时，试确定点E的位置；（2）求y关于x的函数关系式；（3）请确定点E、F的位置，使直路EF长度最短．20．已知数列{a n}满足对任意的n∈N*，都有a13+a23+…+a n3=（a1+a2+…+a n）2且a n＞0．（1）求a1，a2的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）若b n=，记S n=，如果S n＜对任意的n∈N*恒成立，求正整数m的最小值．参考答案一、填空题（每题5分，共70分）1．若直线l的斜率为﹣1，则直线l的倾斜角为．【考点】I2：直线的倾斜角．【分析】设直线l的倾斜角为θ，θ∈[θ，π）．可得tanθ=﹣1，解得θ．【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[θ，π）．∴tanθ=﹣1，解得θ=．故答案为：．2．一元二次不等式﹣2x2﹣x+6≥0的解集为[﹣2，] ．【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】把不等式化为（2x﹣3）（x+2）≤0，求出解集即可．【解答】解：不等式﹣2x2﹣x+6≥0化为2x2+x﹣6≤0，即（2x﹣3）（x+2）≤0，解得﹣2≤x≤，所以不等式的解集为[﹣2，]．故答案为：[﹣2，]．3．一个三角形的两个内角分别为30°和45°，如果45°角所对的边长为8，那么30°角所对的边长是4．【考点】HP：正弦定理．【分析】设30°角所对的边长是x，由正弦定理可得，解方程求得x的值．【解答】解：设30°角所对的边长是x，由正弦定理可得，解得 x=，故答案为．4．给出下列条件：①l∥α；②l与α至少有一个公共点；③l与α至多有一个公共点．能确定直线l在平面α外的条件的序号为①③．【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据直线与平面的位置关系的定义判定即可．【解答】解：直线l在平面α外包含两种情况：平行，相交．对于①，l∥α，能确定直线l在平面α外，对于②，l与α至少有一个公共点，直线可能与平面相交，故不能确定直线l在平面α外，对于③，l与α至多有一个公共点，直线可能与平面相交或平行，故能确定直线l在平面α外，故答案为：①③5．已知直线l过点P（2，3），且与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为12，则直线l的方程为3x+2y﹣12=0 ．【考点】IB：直线的点斜式方程．【分析】写出直线的截距式方程，根据要求条件参数的值，得到本题结论．【解答】解：设l在x轴、y轴上的截距分别为a，b（a＞0，b＞0），则直线l的方程为+=1∵P（2，3）在直线l上，∴+=1．又由l与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积为12，可得ab=24，∴a=4，b=6，∴直线l的方程为+=1，即3x+2y﹣12=0，故答案为：3x+2y﹣12=0．6．在等比数列{a n}中，已知公比q=，S5=﹣，则a1= ﹣4 ．【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的前n项和公式直接求解．【解答】解：∵在等比数列{a n}中，公比q=，S5=﹣，∴==﹣，a1=﹣4．故答案为：﹣4．7．在△ABC中，已知a=6，b=5，c=4，则△ABC的面积为．【考点】HR：余弦定理；%H：三角形的面积公式．【分析】由余弦定理算出cosA，结合同角三角函数的平方关系得sinA，最后由正弦定理的面积公式，可得△ABC的面积．【解答】解：∵△ABC中，a=6，b=5，c=4，∴由余弦定理，得cosA==，∵A∈（0，π），∴sinA==，由正弦定理的面积公式，得：△ABC的面积为S=bcsinA=×5×4×=，故答案为：．8．已知正四棱锥的底面边长是2，侧面积为12，则该正四棱锥的体积为．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意画出图形，求出正四棱锥的斜高，进一步求出高，代入棱锥体积公式得答案．【解答】解：如图，∵P﹣ABCD为正四棱锥，且底面边长为2，过P作PG⊥BC于G，作PO⊥底面ABCD，垂足为O，连接OG．由侧面积为12，即4×，即PG=3．在Rt△POG中，PO=∴正四棱锥的体积为V=故答案为：9．已知点P（x，y）在不等式组所表示的平面区域内运动，则的取值范围为（1，）．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的阴影部分．则z=，表示直线的斜率，再将点P移动，观察倾斜角的变化即可得到k的最大、最小值，从而得到的取值范围．【解答】解：设直线3x﹣2y+4=0与直线2x﹣y﹣2=0交于点A，可得A（8，14），不等式组表示的平面区域如图：则的几何意义是可行域内的P（x，y）与坐标原点连线的斜率，由可行域可得k的最大值为：k OA=，k的最小值k=1．因此，的取值范围为（1，）故答案为：（1，）．10．在平面直角坐标系xOy中，直线l：（2k﹣1）x+ky+1=0，则当实数k变化时，原点O到直线l的距离的最大值为．【考点】IT：点到直线的距离公式．【分析】由于直线l：（2k﹣1）x+ky+1=0经过定点P（1，﹣2），即可求出原点O到直线l 的距离的最大值．【解答】解：直线l：（2k﹣1）x+ky+1=0化为（1﹣x）+k（2x+y）=0，联立，解得，经过定点P（1，﹣2），由于直线l：（2k﹣1）x+ky+1=0经过定点P（1，﹣2），∴原点O到直线l的距离的最大值为．故答案为：．11．已知正三角形ABC的边长为2，AM是边BC上的高，沿AM将△ABM折起，使得二面角B ﹣AM﹣C的大小为90°，此时点M到平面ABC的距离为．【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【分析】以M为原点，MB，MC，MA为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点M到平面ABC的距离．【解答】解：∵正三角形ABC的边长为2，AM是边BC上的高，沿AM将△ABM折起，使得二面角B﹣AM﹣C的大小为90°，∴MA、MB、MC三条直线两两垂直，AM=，BM=CM=1，以M为原点，MB，MC，MA为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则M（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），A（0，0，），=（﹣1，0，0），=（﹣1，0，），=（﹣1，1，0），设平面ABC的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（，，1），∴点M到平面ABC的距离为：d===．故答案为：．12．已知正实数m，n满足+=1，则3m+2n的最小值为3+．【考点】7F：基本不等式．【分析】根据题意，分析可得3m+2n=（m+n）+（m﹣n），又由+=1，则有3m+2n=[（m+n）+（m﹣n）]×[+]=3++，利用基本不等式分析可得答案．【解答】解：根据题意，3m+2n=（m+n）+（m﹣n），又由m，n满足+=1，则有3m+2n=[（m+n）+（m﹣n）]×[+]=3++≥3+2=3+，当且仅当=时，等号成立，即3m+2n的最小值为3+，故答案为：3+．13．已知直线l：2x﹣y﹣2=0和直线l：x+2y﹣1=0关于直线l对称，则直线l的斜率为或﹣3 ．【考点】IQ：与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】设P（a，b）是直线l上任意一点，则点P到直线l：2x﹣y﹣2=0和直线l：x+2y﹣1=0的距离相等．，整理得a﹣3b﹣1=0或3a+b﹣3=0，即可求解．【解答】解：设P（a，b）是直线l上任意一点，则点P到直线l：2x﹣y﹣2=0和直线l：x+2y﹣1=0的距离相等．整理得a﹣3b﹣1=0或3a+b﹣3=0，∴直线l的斜率为或﹣3．故答案为：或﹣314．正项数列{a n}的前n项和为S n，满足a n=2﹣1．若对任意的正整数p、q（p≠q），不等式S P+S q＞kS p+q恒成立，则实数k的取值范围为．【考点】8H：数列递推式．【分析】a n=2﹣1，可得S n=，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，利用已知可得：a n﹣a n﹣=2．利用等差数列的求和公式可得S n，再利用基本不等式的性质即可得出．1【解答】解：∵a n=2﹣1，∴S n=，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣，化为：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，∵∀n∈N*，a n＞0，∴a n﹣a n﹣1=2．n=1时，a1=S1=，解得a1=1．∴数列{a n}是等差数列，首项为1，公差为2．∴S n=n+=n2．∴不等式S P+S q＞kS p+q化为：k＜，∵＞，对任意的正整数p、q（p≠q），不等式S P+S q＞kS p+q恒成立，∴．则实数k的取值范围为．故答案为：．二、解答题15．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA=asinB．（1）求角A的大小；（2）若a=1，求△ABC面积的最大值．【考点】HP：正弦定理．【分析】（1）根据正弦定理化简可得sinAsinB=sinBcosA，结合sinB≠0，可求tanA，由范围0＜A＜π，可求A的值．（2）由已知利用余弦定理，基本不等式可求bc≤2，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）在△ABC中，∵ asinB=bcosA．由正弦定理，得： sinAsinB=sinBcosA，∵0＜B＜π，sinB≠0．∴sinA=cosA，即tanA=．∵0＜A＜π，∴A=．（2）∵由a=1，A=，∴由余弦定理，1=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc，得：bc≤2，当且仅当b=c等号成立，∴△ABC的面积S=bcsinA≤（2+）×=，即△ABC面积的最大值为．16．如图所示，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D．（1）求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；（2）如果点E是B1C1的中点，求证：AE∥平面ADC1．【考点】LY：平面与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）推导出AD⊥C1D，从而CC1⊥平面ABC，进而AD⊥CC1，由此能证明AD⊥平面BCC1B1．即平面ADC1⊥平面BCC1B1（2）由AD⊥BC，得D是BC中点，连结ED，得四边形AA1DE是平行四边形，由此能证明A1E ∥平面ADC1．【解答】证明：（1）∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D，∴CC1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，∴AD⊥CC1，又C1D∩CC1=C1，∴AD⊥平面BCC1B1．AD⊂面ADC1，∴平面ADC1⊥平面BCC1B1（2）∵AD⊥平面BCC1B1，∴AD⊥BC，∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=AC，∴D是BC中点，连结ED，∵点E是C1B1的中点，∴AA1∥DE且AA1=DE，∴四边形AA1DE是平行四边形，∴A1E∥AD，又A1E⊄面ADC1，AD⊂平面ADC1．∴A1E∥平面ADC1．三、解答题17．已知数列{a n}满足a n+1=λa n+2n（n∈N*，λ∈R），且a1=2．（1）若λ=1，求数列{a n}的通项公式；（2）若λ=2，证明数列{}是等差数列，并求数列{a n}的前n项和S n．【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．【分析】（1）当λ=1时，，由此利用累加法能求出数列{a n}的通项公式．（2）当λ=2时， =，再由，能证明数列{}是首项为1，公差为的等差数列，从而a n=（）•2n=（n+1）•2n﹣1，由此利用错位相减法能出数列{a n}的前n项和．【解答】解：（1）当λ=1时，a n+1=a n+2n（n∈N*），且a1=2．∴，∴a n=a1+a2﹣a1+a3﹣a2+…+a n﹣a n﹣1=2+2+22+…+2n﹣1=2+=2n．证明：（2）当λ=2时，a n+1=2a n+2n（n∈N*），且a1=2．∴，即=，∵，∴数列{}是首项为1，公差为的等差数列，∴=，∴a n=（）•2n=（n+1）•2n﹣1，∴数列{a n}的前n项和：S n=2•20+3•2+4•22+…+（n+1）•2n﹣1，①2S n=2•2+3•22+4•23+…+（n+1）•2n，②②﹣①，得：S n=（n+1）•2n﹣2﹣（2+22+23+…+2n﹣1）=（n+1）•2n﹣2﹣=（n+1）•2n﹣2﹣2n+2=n•2n．18．已知三条直线l1：ax﹣y+a=0，l2：x+ay﹣a（a+1）=0，l3：（a+1）x﹣y+a+1=0，a＞0．（1）证明：这三条直线共有三个不同的交点；（2）求这三条直线围成的三角形的面积的最大值．【考点】IM：两条直线的交点坐标．【分析】（1）分别求出直线l1与l3的交点A、l1与l2的交点B和l2与l3的交点C，且判断三点的坐标各不相同即可；（2）根据题意画出图形，由AB⊥BC知点B在以AC为直径的半圆上，除A、C点外；由此求出△ABC的面积最大值．【解答】解：（1）证明：直线l1：ax﹣y+a=0恒过定点A（﹣1，0），直线l3：（a+1）x﹣y+a+1=0恒过定点A（﹣1，0），∴直线l1与l3交于点A；又直线l2：x+ay﹣a（a+1）=0不过定点A，且l1与l2垂直，必相交，设交点为B，则B（，）；l2与l3相交，交点为C（0，a+1）；∵a＞0，∴三点A、B、C的坐标不相同，即这三条直线共有三个不同的交点；（2）根据题意，画出图形如图所示；AB⊥BC，∴点B在以AC为直径的半圆上，除A、C点外；则△ABC的面积最大值为S=•|AC|•|AC|=×（1+（a+1）2）=a2+a+．19．如图是市儿童乐园里一块平行四边形草地ABCD，乐园管理处准备过线段AB上一点E设计一条直线EF（点F在边BC或CD上，不计路的宽度），将该草地分为面积之比为2：1的左、右两部分，分别种植不同的花卉．经测量得AB=18m，BC=10m，∠ABC=120°．设EB=x，EF=y（单位：m）．（1）当点F与C重合时，试确定点E的位置；（2）求y关于x的函数关系式；（3）请确定点E、F的位置，使直路EF长度最短．【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【分析】（1）根据面积公式列方程求出BE；（2）对F的位置进行讨论，利用余弦定理求出y关于x的解析式；（3）分两种情况求出y的最小值，从而得出y的最小值，得出E，F的位置．【解答】解：（1）∵S△BCE=，S ABCD=2×，∴==，∴BE=AB=12．即E为AB靠近A的三点分点．（2）S ABCD=18×10×sin120°=90，当0≤x＜12时，F在CD上，∴S EBCF=（x+CF）BCsin60°=90，解得CF=12﹣x，∴y==2，当12≤x≤18时，F在BC上，∴S△BEF==，解得BF=，∴y==，综上，y=．（3）当0≤x＜12时，y=2=2≥5，当12≤x≤18时，y=＞＞5，∴当x=，CF=时，直线EF最短，最短距离为5．20．已知数列{a n}满足对任意的n∈N*，都有a13+a23+…+a n3=（a1+a2+…+a n）2且a n＞0．（1）求a1，a2的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）若b n=，记S n=，如果S n＜对任意的n∈N*恒成立，求正整数m的最小值．【考点】8E：数列的求和．【分析】（1）由题设条件知a1=1．当n=2时，有a13+a23=（a1+a2）2，由此可知a2=2．（2）由题意知，a n+13=（a1+a2++a n+a n+1）2﹣（a1+a2++a n）2，由于a n＞0，所以a n+12=2（a1+a2++a n）+a n+1．同样有a n2=2（a1+a2++a n﹣1）+a n（n≥2），由此得a n+12﹣a n2=a n+1+a n．所以a n+1﹣a n=1．所以数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列，由通项公式即可得到所求．（3）求得b n===2[﹣]，运用数列的求和方法：裂项相消求和，可得S n，结合不等式的性质，恒成立思想可得m≥，进而得到所求最小值．【解答】解：（1）当n=1时，有a13=a12，由于a n＞0，所以a1=1．当n=2时，有a13+a23=（a1+a2）2，将a1=1代入上式，可得a22﹣a2﹣2=0，由于a n＞0，所以a2=2．（2）由于a13+a23+…+a n3=（a1+a2+…+a n）2，①则有a13+a23+…+a n3+a n+13=（a1+a2+…+a n+a n+1）2．②②﹣①，得a n+13=（a1+a2+…+a n+a n+1）2﹣（a1+a2+…+a n）2，由于a n＞0，所以a n+12=2（a1+a2+…+a n）+a n+1．③同样有a n2=2（a1+a2+…+a n﹣1）+a n（n≥2），④③﹣④，得a n+12﹣a n2=a n+1+a n．所以a n+1﹣a n=1．由于a2﹣a1=1，即当n≥1时都有a n+1﹣a n=1，所以数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列．故a n=n．（3）b n===2[﹣]，则S n=2[﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣]=2[+﹣﹣]＜2×=，S n＜对任意的n∈N*恒成立，可得≥，即有m≥，可得正整数m的最小值为4．2017年7月28日。
最新江苏省苏州市高一下学期期末数学试题(解析版)
2018-2019 学年江苏省苏州市高一下学期期末数学试题tan 1 ，解得45故选： B ．点睛】 本题考查直线的倾斜角与斜率之间的关系、三角函数求值，考查推理能力与计算能力， 属于基础题．2．从 A ， B ，C 三个同学中选 2 名代表，则 A 被选中的概率为（答案】 D中的概率． 【详解】从 A ， B ， C 三个同学中选 2名代表， 基本事件总数为： AB,AC,BC ，共 3个，A 被选中包含的基本事件为： AB,AC ，共 2个，2A 被选中的概率 p 3．3故选： D ． 【点睛】本题考查概率的求法，考查列举法和运算求解能力，是基础题．3．正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1中，异面直线 AA 1与 BC 所成角的大小为（1．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l : xA ． 0B ． 45【答案】 B【解析】 设直线 l :x y 0 的倾斜角为【详解】设直线 l :x y 0 的倾斜角为 ， [0y 0 的倾斜角为（ ）C ． 90D ．135[0 ，180 ） ，可得 tan 1，解得A ．B ． 1C ．D ．解析】 先求出基本事件总数， A 被选中包含的基本事件个数 2 ，由此能求出 A 被选、单选题，180 ) ．【答案】 D【解析】 利用异面直线 AA 1与 BC 所成角的的定义，平移直线 BC ，即可得答案． 【详解】在正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1 中，易得 A 1AD 90 ．Q AD//BC异面直线 AA 1 与 BC 垂直，即所成的角为 90 . 故选： D ． 【点睛】本题考查异面直线所成角的定义，考查对基本概念的理解，属于基础题 .4．甲、乙、丙、丁四名运动员参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如表所示，从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】 C【解析】 甲，乙，丙，丁四个人中乙和丙的平均数最大且相等，甲，乙，丙，丁四个人 中丙的方差最小，说明丙的成绩最稳定，得到丙是最佳人选． 【详解】Q 甲，乙，丙，丁四个人中乙和丙的平均数最大且相等，甲，乙，丙，丁四个人中丙的方差最小， 说明丙的成绩最稳定，综合平均数和方差两个方面说明丙成绩即高又稳定， 丙是最佳人选， 故选： C ．A ． 30°B ． 45C ． 60D ． 9点睛】 本题考查平均数和方差的实际应用， 考查数据处理能力， 求解时注意方差越小数据越稳定. 5．在平面直角坐标系 xOy 中，点 P （ 2，– 1）到直线 l ： 4x – 3y +4=0 的距离为（ ） A ．3 【答案】 A B ．11 C ．1 D ． 3 5 解析】 由点到直线距离公式计算． 详解】 4 2 3 ( 1) 4 42 ( 3)2 故选： A ． 点睛】 本题考查点到直线的距离公式，掌握距离公式是解题基础．点 P(x 0, y 0 )到直线Ax By C 0 的距离为 d Ax 0 By 0 C 6．在VABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，若 a2，Ac 则sin cCA ．4B ． 43 3C ． 2 3【答案】 B 【解析】 由正弦定理可得， a sin A c，代入即可求解 sinC【详解】值为（ ） D ． 342， A 3 ，∴由正弦定理可得，3ac sin A sinCc 2 4 3 则sinC 3 3 2故选： B ． 【点睛】 本题考查正弦定理的简单应用，考查函数与方程思想， 考查运算求解能力， 属于基础题．7．用斜二测画法画一个边长为 2 的正三角形的直观图，则直观图的面积是：A．B．1C．31D．4A．3B．3C．6D．6 2442【答案】C【解析】分析：先根据直观图画法得底不变，为2，再研究高，最后根据三角形面积公式求结果.详解：因为根据直观图画法得底不变，为2，高为31 2=6，2 2 4所以直观图的面积是126=6，2 4 4选 C.点睛：本题考查直观图画法，考查基本求解能力.8．某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率如下：则至少有两人排队的概率为（）A．0.16 B．0.26 C．0.56【答案】D【解析】利用互斥事件概率计算公式直接求解．【详解】由某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率表，得：至少有两人排队的概率为：P 1 P(X 0) P(X 1) 1 0.1 0.16 0.74．故选：D．【点睛】本题考查概率的求法、互斥事件概率计算公式，考查运算求解能力，是基础题．9．在△ ABC中，如果sin A :sin B:sin C 2:3: 4 ，那么cosC等于（）D．0.743第 4 页共16 页答案】 C解析】 设长方体过一个顶点的三条棱长分别为 a ， b ，c ，由已知面积求得 a ，b ，c 的值，得到长方体对角线长，进一步得到外接球的半径，则答案可求． 【详解】 设长方体过一个顶点的三条棱长分别为 a ，b ， c ，ab 2则 bc 3 ，解得 a 2， b 1， c 3．ac 6长方体的对角线长为 22 12 32 14 ． 则长方体的外接球的半径为 14 ，2 此长方体的外接球的表面积等于 4 （ 14）2 14 ．2故选： C ． 【点睛】本题考查长方体外接球表面积的求法， 考查空间想象能力和运算求解能力， 求解时注意 长方体的对角线长为长方体外接球的直径 .11 ．已知平面平面 ，直线 m 平面 ，直线 n 平面 ， I l ，在下列说法中，①若 m n ，则 m l ；②若 m l ，则 m ；③若 m ，则 m n . 正确结论的序号为（ ）A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③【答案】 D【解析】 由面面垂直的性质和线线的位置关系可判断①； 由面面垂直的性质定理可判断 ②；由线面垂直的性质定理可判断③． 详解】答案】 D解析】 解：由正弦定理可得； sinA ： sinB ：sinC=a ： b ：c=2： 3：4 可设 a=2k ，b=3k ，c=4k （k > 0） 10．若长方体三个面的面积分别为 1 由余弦定理可得， CosC=- , 选 D42，3，6，则此长方体的外接球的表面积等于 （ ） A ． 49B ． 494C ．1414D ．32平面 平面 ．直线 m 平面 ，直线 n 平面 ， I l ， ① 若 m n ，可得 m ，l 可能平行，故①错误；② 若 m l ，由面面垂直的性质定理可得 m ，故②正确； ③ 若 m ，可得 m n ，故③正确． 故选： D ．【点睛】 本题考查空间线线和线面、面面的位置关系，主要是平行和垂直的判断和性质，考查推 理能力，属于基础题．12．已知 VABC 中，AB 2 ，BC 3，CA 4 ，则 BC 边上的中线 AM 的长度为 (由题意知四边形 ABDC 是平行四边形，且满足 AD 2 BC 2 2(AB 2 AC 2) ，2 2 2 2即 32 (2AM )2 2(22 42) ，故选： A ． 点睛】C ． 2 31D ． 314答案】 A解析】 利用平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和，求 AM 的长．CD ，如图所示；解得 AM31 2所以 BC 边上的中线 AM 的长度为2详解】，连接 BD 、本题考查平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和应用问题， 想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力．二、填空题13．在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 x ay 2a 2与直线 x y 1 0 平行，则实 数 a 的值为 _____________ . 【答案】 1【解析】 由a 1 0，解得 a ，经过验证即可得出． 【详解】由 a 1 0 ，解得 a 1 ． 经过验证可得： a 1满足直线 x ay 2a 2 与直线 x y 1 0 平行， 则实数 a 1 ． 故答案为： 1．【点睛】 本题考查直线的平行与斜率之间的关系，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 14．如图，某人在高出海平面方米的山上 P 处，测得海平面上航标 A 在正东方向，俯角为 30°，航标 B 在南偏东 60 ，俯角 45 ，且两个航标间的距离为 200 米，则【答案】 200【解析】 根据题意利用方向坐标，根据三角形边角关系，利用余弦定理列方程求出 h 的 值． 【详解】航标 A 在正东方向，俯角为 30°，由题意得 APC 60 ， PAC 30 ． 航标 B 在南偏东60 ，俯角为 45 ，则有 ACB 30 ， CPB 45 ．所以 BC PC h ， AC PC 3h ；tan30由余弦定理知 AB 2 BC 2 AC 2 2BCgACgcos ACB ，考查函数与方程思可求得 h 200（米 ） ． 故答案为： 200．【点睛】 本题考查方向坐标以及三角形边角关系的应用问题， 考查余弦定理应用问题， 是中档题．15 ．一个封闭的正三棱柱容器，该容器内装水恰好为其容积的一半（如图 1，底面处于水平状态） ，将容器放倒（如图 2，一个侧面处于水平状态）E AE B 2 222 1．故答案为： 2 1 ． 点睛】三棱柱的体积等基础知识， 考查运算求解能力， 是中档题．，这时水面与各棱交点分别AE解析】 设ABk ，EF BCV AEF A 1E 1F 1k，由题意得： VV ABC A 1B 1C 1k 2 1AE，由此能求出 的2EB值． 详解】AE AB k ，则 EFBC k ，由题意得： V AEF A 1E 1F 1V ABC A 1B 1C 1AE EF sin AEF AA 1 k 2AB BC sin ABC AA 112，解得 k 22 ，本题考查两线段比值的求法、 AE为 E ，F 、 E 1， F 1，则 的值是 _________EB16．在平面直角坐标系 xOy 中，已知直角 VABC 中，直角顶点 A 在直线 x y 6 0 上，顶点 B ，C 在圆 x 2 y 2 10上，则点 A 横坐标的取值范围是 ____________ . 【答案】 [ 4, 2]【解析】 由题意画出图形，写出以原点为圆心，以 2 5 为半径的圆的方程，与直线方 程联立求得 x 值，则答案可求． 【详解】如图所示，当点 A 往直线两边运动时， BAC 不断变小， 当点 A 为直线上的定点时，直线AB, AC 与圆相切时， BAC 最大， ∴当 ABOC 为正方形，则 OA 2 5 ，则以 O 为圆心，以 2 5 为半径的圆的方程为 x 2 y 2 20． 解得 x 4或 x 2 ．点 A 横坐标的取值范围是 [ 4, 2] ． 故答案为： [ 4, 2] ．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑 推理能力和运算求解能力，求解时注意坐标法的应用 .三、解答题17．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P 是直线 2x y 0与直线 x y 3 0 的交点 . （ 1）求点 P 的坐标；2）若直线 l 过点 P ，且与直线 3x 2y 1 0垂直，求直线 l 的方程 .答案】（ 1） （1,2） ；（ 2） 2x 3y 4 0联立x62y 220，得 6x 8 0 ．【解析】（ 1）由两条直线组成方程组，求得交点坐标；（ 2）设与直线 3x 2y 1 0垂直的直线方程为 2x 3y m 0，代入点 P 的坐标求 得 m 的值，可写出 l 的方程．2x y 0与直线 x y 3 0 组成方程组，0 xy30所以点 P 的坐标为 （1,2） ；（ 2）设与直线 3x 2y 1 0垂直的直线 l 的方程为 2x 3y m 0， 又直线 l 过点 P （1,2） ，所以 2 6 m 0，解得 m 4 ， 直线 l 的方程为 2x 3y 4 0．【点睛】 本题考查直线方程的求法与应用问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻 辑推理能力和运算求解能力 .18．在 VABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c . 已知 A 30 ，B 105 ，a 10.（ 1）求 c ：（2）求 VABC 的面积 .答案】（ 1） 10 2 ；（2）25 3 25解析】（ 1）由已知可先求 C ，然后结合正弦定理可求 c 的值；sin B 的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．详解】1)Q A 30 ， B 105 ， C 45 ，acQ a 10 ，由正弦定理 ，可得： c sin A sinC详解】 1）由直线得2x y 解得x1y2agsin C sin A10 2 .2）利用两角和的正弦函数公式可求2)Q sin105 sin(60 45 ) sin60 cos45 cos60 sin4562 41 1 6 2S ABC acsin B 10 10 2 25 3 25 ．2 2 4【点睛】 本题考查正弦定理，三角形的面积公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查 逻辑推理能力和运算求解能力 .19．某地区 2012 年至 2018 年农村居民家庭人均纯收入 y （单位： 千元） 的数据如下表：1）已知 y 与 x 线性相关，求 y 关于 x 的线性回归方程；2）利用（ 1）中的线性回归方程，预测该地区 2020 年农村居民家庭人均纯收入a y bx ，其中 x,y 为样本平均数）答案】（ 1） y? 0.5x 2.3 ；（ 2） 6.8 千元．2020 年对应 x 9 时 y?的值，即可得出结论．详解】11)由表中数据，计算 x (1 2 3 4 5 6 7) 4 ，71 y (2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9) 4.3 ，7(x i x)(y i y) i13 ( 1.4) ( 2) ( 1) ( 1) ( 0.7) 0 0.5 1 0.9 2 1.6 3 14 ，72 2 2 22 2 22(x ix)2 ( 3)2( 2)2( 1)202 12 223228，i1附：线性回归方程 y? bx a 中， bnnx i y inxyx i x y i y i1 i 1，nn ，222x i nx x i xi1i1解析】（ 1）由表中数据计算 x y ，求出回归系数，得出 y 关于 x 的线性回归方程；2）利用线性回归方程计算(x i x)(y i y)b i 1 7i i140.5 ，72 28(x i x)i1a y bx 4.3 0.5 4 2.3 ，y关于x 的线性回归方程为：y? 0.5x 2.3；（2）利用线性回归方程，计算x 9时，y? 0.5 9 2.3 6.8 （千元），预测该地区2020 年农村居民家庭人均纯收入为 6.8 千元．【点睛】本题考查线性回归方程的求法与应用问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，查数据处理．20．如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，AC BC ，AB 2 ，AA1 AB中点，点M在边AB上.1）当点M为AB中点时，求证：C1N / / 平面A1CM ；2）试确定点M的位置，使得AB1 平面A1CM .答案】（1）见解析；（2）见解析解析】（1）推导出C1N//CM ，由此能证明C1N //平面A1CM2）当点M 是AB中点时，推导出AA1 CM ，AB CM ，从而CMAA1B1B，进而A1M CM ，推导出△ AA1M ∽ BAB1 ，从而AB1 A1M 明AB1平面A1CM ．【详解】（1）Q 在直三棱柱ABC A1B1C1 中，点N 为A1B1 中点，M 为AB中点，，点N 为平面由此能证C1N / /CMQC1N 平面A1CM ，CM平面A1CM ，C1N / / 平面A1CM ．（2）当点M 是AB 中点时，使得AB1 平面A1CM ．证明如下：Q在直三棱柱ABC A1B1C1中，AC BC，AB 2，AA1 2，点N 为A1B1中点，点M 是AB 中点，AA1CM ，AB CM ，Q AA1AB A，CM 平面AA1B1B ，Q A1M平面AA1B1B，A1M CM ，Q A1M12( 2)23，AB122( 2)26 ，A1M AA1 ，△AA1M∽BAB1，AB1ABAA1M BAB1 ，AMA1AB1B，AB1A1M ，Q A1M CM M ，AB1平面A1CM ．【点睛】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．在平面直角坐标系xOy中，已知点P（0,6），圆C : x2 y2 10x 10y 0.（1）求过点P且与圆C相切于原点的圆的标准方程；（2）过点P的直线l 与圆C依次相交于A，B两点.①若AO PB ，求l 的方程；②当VABC 面积最大时，求直线l 的方程.2 2 48【答案】（1）（ x 3）2（y 3）2 18 ；（2）① 8x 5y 30 0；②x 0或y x 6．55【解析】（1）设所求圆的圆心为C1 ，而所求圆的圆心与C 、O共线，故圆心C1在直线y x上，又圆 C 1同时经过点 O 与点 P(0,6) ，求出圆 C 1的圆心和半径，即可得答案；( 2)①由题意可得 OB 为圆 C 的直径，求出 B 的坐标，可得直线 l 的方程； ②当直线 l 的斜率不存在时，直线方程为 x 0，求出 A ， B 的坐标，得到 ABC 的面 积；当直线 l 的斜率存在时，设直线方程为 y kx 6 ．利用基本不等式、点到直线的距 离公式求得 k ，则直线方程可求． 【详解】(1)由 x 2 y 2 10x 10y 0，得 (x 5)2 (y 5)2 50，圆 C 的圆心坐标 ( 5, 5) ，设所求圆的圆心为 C 1 ． 而所求圆的圆心与 C 、 O 共线，故圆心 C 1在直线 y 又圆 C 1同时经过点 O 与点 P(0,6) ，当且仅当 a 2 50 a 2，即 a 5 时等号成立．此时弦长为 10，圆心到直线的距离为 5，由 | 5k 5 2 6| 5，解得 k 48 1 k 2 55x 上，圆心C 1 又在直线 y3上，则有：x，解得：33，即圆心 C 1 的坐标为 (3,3) ，3又 |OC 1 | 32 32 3 2 ，即半径故所求圆 C 1 的方程为(x 3)2(y 3)2 18；2)①由 AO PB ，得 OB 为圆 C 的直径，则 OB 过点 C ，OB 的方程为 y x ，联立 y x 2(x 5)2(y5)2 50，解得 B( 10, 10) ，直线 l 的斜率则直线 l 的方程为 y 10 6 8 ，10 0 5 8x 6，即 8x 5y 30 0 ；5②当直线 l 的斜率不存在时， 直线方程为 x 0，此时 A(0,0) ，B(0, 10) ，C( 5, 5) ，1S ABC 210 5 25 ；当直线 l 的斜率存在时，设直线方程为 y kx 6 ．再设直线被圆所截弦长为 2a ，则圆心到直线的距离 d 50 a 2 ，则S ABC12g2ag 50 a 2 a 2(50 a 2), (22a 50 a 2 ．2)225 ．1)①Q A(2,0) ， B(10,0) ， C(11,3)， D(10,6) ，直线方程为 y 48x 655当 ABC 面积最大时，所求直线 l 的方程为： x 0或 y 48x 6． 55本题考查圆的方程的求法、直线与圆的位置关系应用，考查函数与方程思想、转化与化 归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力22．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(2,0) ， B(10,0) ，C(11,3)， D(10,6) .圆的圆心为 AD 的中点，然后求出点 P 的坐标；可得 E 的坐标．详解】cos ADC 0 ； ②证明：存在点 P 使得 PA PB PC PD . 并求出 P 的坐标；2)过 C 点的直线 l 将四边形 ABCD 分成周长相等的两部分，产生的另一个交点为 E ，求点 E 的坐标 . 答案】( 1)①见解析；②见解析， 解析】( 1)①利用夹角公式可得 14 3 (6,3) ；(2) (14,3). 55 cos ABC cos ADC 0 ；②由条件知点 P 为四 边形 ABCD 外接圆的圆心，根据 u A u B ur g u B u C ur 0，可得 AB BC ，四边形 ABCD 外接2)根据条件可得uu ur EDuuur 9AE ，然后设 E 的坐标为 (x,y) ，根据 10 x 9(x 2)，6 y 9y点睛】uuur uuur(1,3) ， DA ( 8, 6)， DC uuur uuur BAgBC 810 cos ABC uuuur uuuuur ，| BA||BC | 8 10 10uuur uuur DAgDC 10 10cos ADC uuuuur uuuuur，| DA ||DC | 10 10 10 cos ABC cos ADC 0 ；PD 知，点 P 为四边形 ABCD 外接圆的圆心，uuur uuurQ AB (8,0) ， BC (0,6) ，AB BC ，四边形 ABCD 外接圆的圆心为 AD 的中点，点 P 的坐标为 (6,3) ； ( 2)由两点间的距离公式可得， AB 8， BC CD 10 ， AD 10 ，Q 过 C 点的直线 l 将四边形 ABCD 分成周长相等的两部分， uuur uuur ED 9AE ，uuur uuur设 E 的坐标为 (x,y) ，则 ED (10 x,6 y) ， AE (x 2,y) ，10 x 9(x 2) 6 y 9y14 3点 E 的坐标为 (14,3) ．55【点睛】 本题考查向量的夹角公式、向量相等、向量的运算性质、两点间的距离公式等，考查函 数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力 .uuur uuurBA ( 8,0) ， BC(1, 3) ，②由 PA PB PCuuur uuur ABgBC 0 ，14。
2024届江苏省南师附中数学高一第二学期期末统考试题含解析
2024届江苏省南师附中数学高一第二学期期末统考试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC 且2,PA ABC =∆是边长为3的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为( ) A ．43πB ．4πC ．8πD ．20π2．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积12=(弦⨯矢+矢2).弧田，由圆弧和其所对弦所围成.公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为3π，弦长等于2的弧田.按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得弧田面积为（ ） A ．3B ．132+C ．11332- D ．233π- 3．若关于x 的一元二次不等式的解集为R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．B ．C ．D ．4．若0a b <<,则下列不等式恒成立的是 A ．11a b> B ．a b -> C ．22a b > D ．33a b <5．设{}n a 是公比为()01q q <<的无穷等比数列，若{}n a 的前四项之和等于第五项起以后所有项之和，则数列21{}n a -是（ ） A ．公比为12的等比数列 B ．公比为22的等比数列 C 22的等比数列D ．公比为412或412-的等比数列6．执行下边的程序框图，如果输出的y 值为1，则输入的x 值为（ ）A ．0B ．eC ．0或eD ．0或17．函数()1,0252sin 2,0,6x x f x x x ππ⎧≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+<< ⎪⎪⎝⎭⎩，，若方程()f x a =恰有三个不同的解，记为123,,x x x ，则123x x x ++的取值范围是( ) A ．10102,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．552,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭C ．10101,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．551,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭8．已知圆()()221 221:C x y ++-=，圆 ()()222 2516:C x y -+-= ，则圆1 C 与圆2C 的位置关系是（ ） A ．相离B ．相交C ．外切D ．内切9．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，BC 边上的高为h ，且3ah =，则2c a b c c b b ++的最大值是（ ） A ．2B ．23C ．4D ．610．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S .且1111S π=，则6tan 3a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A 3B ．33-C ．3-D ．33二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
江苏省苏州市高一数学下学期期末试卷(含解析)
2015-2016学年江苏省苏州市高一（下）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．函数f（x）=ln（x﹣2）的定义域为．2．利用计算机产生0～2之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣2＜0”发生的概率为．3．根据如图算法语句，当输入x=60时，输出y的值为．4．对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为400，右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30）的为一等品，在区间[20，25）和[30，35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为．5．已知||=2，•=1，，的夹角θ为60°，则||为．6．从长度为2，3，4，5的四条线段中随机地选取三条线段，则所选取的三条线段恰能构成三角形的概率是．7．设变量x，y满足，则z=2x﹣y的最大值为．8．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，且|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（）的值为．9．已知等差数列{a n}的公差为d，若a1，a2，a3，a4，a5的方差为8，则d的值为．10．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，D在斜边BC上，且CD=2DB，则的值为．11． = ．12．已知正实数x，y满足x+2y=1，则+的最小值为．13．已知定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=x2﹣3x．则关于x的方程f（x）=x+3的解集为．14．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=，且对于任意正整数m，n都有a n+m=a n•a m．若S n＜a对任意n∈N*恒成立，则实数a的最小值是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知集合A={x|y=}，B={x|x2﹣2x+1﹣m2≤0}．（1）若m=3，求A∩B；（2）若m＞0，A⊆B，求m的取值范围．16．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB．（1）求B；（2）若b=2，a=c，求△ABC的面积．17．已知{a n}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{b n}满足b1=4，b4=20，且{b n﹣a n}为等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和．18．如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园，种植桃树，已知角A 为120°．现在边界AP，AQ处建围墙，PQ处围栅栏．（1）若∠APQ=15°，AP与AQ两处围墙长度和为100（+1）米，求栅栏PQ的长；（2）已知AB，AC的长度均大于200米，若水果园APQ面积为2500平方米，问AP，AQ 长各为多少时，可使三角形APQ周长最小？19．已知函数f（x）=x|x﹣a|，a∈R，g（x）=x2﹣1．（1）当a=1时，解不等式f（x）≥g（x）；（2）记函数f（x）在区间[0，2]上的最大值为F（a），求F（a）的表达式．20．已知数列{a n}，{b n}，S n为数列{a n}的前n项和，向量=（1，b n），=（a n﹣1，S n），∥．（1）若b n=2，求数列{a n}通项公式；（2）若b n=，a2=0．①证明：数列{a n}为等差数列；②设数列{c n}满足c n=，问是否存在正整数l，m（l＜m，且l≠2，m≠2），使得c l、c2、c m成等比数列，若存在，求出l、m的值；若不存在，请说明理由．2015-2016学年江苏省苏州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．函数f（x）=ln（x﹣2）的定义域为（2，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据对数函数f（x）的解析式，真数大于0，列出不等式，求出解集即可．【解答】解：∵函数f（x）=ln（x﹣2），∴x﹣2＞0；解得x＞2，∴该函数的定义域为（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．2．利用计算机产生0～2之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣2＜0”发生的概率为．【考点】几何概型．【分析】求满足事件“3a﹣2＜0”发生的a的范围，利用数集的长度比求概率．【解答】解：由3a﹣2＜0得：a＜，数集（0，）的长度为，数集（0，2）的长度为2，∴事件“3a﹣2＜0”发生的概率为；故答案为：；3．根据如图算法语句，当输入x=60时，输出y的值为31 ．【考点】选择结构．【分析】由已知中的算法语句可得：程序的功能是计算并输出分段函数y=的函数值，将x=60代入可得答案．【解答】解：由已知中的算法语句可得：程序的功能是计算并输出分段函数y=的函数值∵x=60＞50∴y=25+0.6（60﹣50）=31故输出结果为31故作案为：314．对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为400，右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30）的为一等品，在区间[20，25）和[30，35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为100 ．【考点】频率分布直方图．【分析】由频率分布直方图可知，算出三等品所占的比例乘以样本容量得出三等品的件数．【解答】解：根据频率分布直方图可知，三等品的数量是[（0.0125+0.025+0.0125）×5]×400=100（件）．故答案为：1005．已知||=2，•=1，，的夹角θ为60°，则||为 1 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量的数量积公式列出方程解出||．【解答】解：∵=||||cos60°=1，即2×||×=1，解得||=1．故答案为：1．6．从长度为2，3，4，5的四条线段中随机地选取三条线段，则所选取的三条线段恰能构成三角形的概率是．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】从长度为2，3，4，5的四条线段中随机地选取三条线段，先求出基本事件总数，再求出所选取的三条线段恰能构成三角形包含的基本事件个数，由此能求出所选取的三条线段恰能构成三角形的概率．【解答】解：∵从长度为2，3，4，5的四条线段中随机地选取三条线段，∴基本事件总数n==4，所选取的三条线段恰能构成三角形包含的基本事件有：{2，3，4}，{2，4，5}，{3，4，5}，即m=3，∴所选取的三条线段恰能构成三角形的概率是p==．故答案为：．7．设变量x，y满足，则z=2x﹣y的最大值为7 ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z的几何意义，进行平移，结合图象得到z=2x﹣y的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．由，解得，即C（3，﹣1）将C（3，﹣1）的坐标代入目标函数z=2×3﹣（﹣1）=6+1=7，即z=2x﹣y的最大值为7．故答案为：78．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，且|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（）的值为．【考点】正弦函数的图象．【分析】由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的f（x）的解析式，从而求得f（）的值．【解答】解：根据函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，且|φ|＜）的部分图象，可得==+，∴ω=2，再根据图象经过点（，0），可得2sin（2•+φ）=0，∴φ=﹣，∴f（x）=2sin（2x﹣），∴f（）=2sin（π﹣）=，故答案为：．9．已知等差数列{a n}的公差为d，若a1，a2，a3，a4，a5的方差为8，则d的值为±2．【考点】等差数列的性质．【分析】根据等差数列{a n}的公差为d，知这组数据的平均数是a3，写出这组数据的方差，得到关于数列的公差的代数式，根据方差是8，得到关于d的方程，解方程即可．【解答】解：∵等差数列{a n}的公差为d，a1，a2，a3，a4，a5的方差为8，∴这组数据的平均数是a3，∴（4d2+d2+0+d2+4d2）=2d2=8∴d2=4，∴d=±2，故答案为：±2．10．如图，在△A BC中，∠BAC=90°，AB=6，D在斜边BC上，且CD=2DB，则的值为24 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】用表示，利用=0，再根据=•（+），运算求得结果．【解答】解：∵由题意可得=+=+=+（）=+，=0，∴=•（+）=+=0+×36=24，故答案为：24．11． = 4 ．【考点】三角函数的化简求值．【分析】由已知可得，利用二倍角正弦公式及两角差的正弦公式化简可得结果．【解答】解：=故答案为：412．已知正实数x，y满足x+2y=1，则+的最小值为2+．【考点】基本不等式．【分析】由1=x+2y，可得+=+=2++，运用基本不等式即可得到所求最小值．【解答】解：由正实数x，y满足x+2y=1，则+=+=2++≥2+2=2+，当且仅当y=x=时，取得最小值2+．故答案为：2+．13．已知定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=x2﹣3x．则关于x的方程f（x）=x+3的解集为{2+，﹣1，﹣3} ．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性的性质求出当x＜0时的解析式，解方程即可．【解答】解：若x＜0，则﹣x＞0，∵定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=x2﹣3x．∴当x＜0时，f（﹣x）=x2+3x=﹣f（x）．则当x＜0时，f（x）=﹣x2﹣3x．若x≥0，由f（x）=x+3得x2﹣3x=x+3，则x2﹣4x﹣3=0，则x===2±，∵x≥0，∴x=2+，若x＜0，由f（x）=x+3得﹣x2﹣3x=x+3，则x2+4x+3=0，则x=﹣1或x=﹣3，综上方程f（x）=x+3的解集为{2+，﹣1，﹣3}；故答案为：{2+，﹣1，﹣3}14．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=，且对于任意正整数m，n都有a n+m=a n•a m．若S n＜a对任意n∈N*恒成立，则实数a的最小值是．【考点】数列递推式．【分析】由a m+n=a m•a n，令m等于1化简后，由等比数列的定义确定此数列是等比数列，利用等比数列的前n项和的公式表示出S n，利用极限思想和条件求出满足条件a的范围，再求出a的最小值．【解答】解：由题意得，对任意正整数m，n，都有a m+n=a m•a n，令m=1，得到a n+1=a1•a n，所以=a1=，则数列{a n}是首项、公比都为的等比数列，所以S n==＜，因为S n＜a对任意n∈N*恒成立，所以a≥，则实数a的最小值是，故答案为：．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知集合A={x|y=}，B={x|x2﹣2x+1﹣m2≤0}．（1）若m=3，求A∩B；（2）若m＞0，A⊆B，求m的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】（1）化简集合A，B，即可求A∩B；（2）m＞0，B={x|x2﹣2x+1﹣m2≤0}=[1﹣m，1+m]，利用A⊆B，得出不等式组，即可求m的取值范围．【解答】解：（1）由3﹣2x﹣x2≥0，解得﹣3≤x≤1，∴集合A={x|﹣3≤x≤1}；当m=3时，x2﹣2x+1﹣m2≤0可化为x2﹣2x﹣8≤0，即（x﹣4）（x+2）≤0，解得﹣2≤x≤4，∴集合B={x|﹣2≤x≤4}，∴A∩B={x|﹣2≤x≤1}；（2）m＞0，B={x|x2﹣2x+1﹣m2≤0}=[1﹣m，1+m]．∵A⊆B，∴，∴m≥4．16．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB．（1）求B；（2）若b=2，a=c，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由正弦定理及三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得sinCsinB=cosBsinC，结合sinC≠0，可得sinB=cosB，又B∈（0，π），即可得解B的值．（2）由余弦定理及已知可求a，c的值，利用三角形面积公式即可得解．【解答】（本题满分为14分）解：（1）由a=bcosC+csinB及正弦定理，可得：sinA=sinBcosC+sinCsinB，①又sinA=sin（π﹣B﹣C）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC②，由①②得sinCsinB=cosBsinC，又三角形中，sinC≠0，…所以sinB=cosB，…又B∈（0，π），所以B=．…（2）△ABC的面积为S==．…由余弦定理，b2=a2+c2﹣2accosB，得4=a2+c2﹣，得c2=4⇒c=2，，…所以△ABC的面积为．…17．已知{a n}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{b n}满足b1=4，b4=20，且{b n﹣a n}为等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即可求数列的通项公式；（2）利用分组求和的方法求解数列的和，由等差数列及等比数列的前n项和公式即可求解数列的和．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由题意得d===3．∴a n=a1+（n﹣1）d=3n（n=1，2，…）．∴数列{a n}的通项公式为：a n=3n；设等比数列{b n﹣a n}的公比为q，由题意得：q3===8，解得q=2．∴b n﹣a n=（b1﹣a1）q n﹣1=2n﹣1．从而b n=3n+2n﹣1（n=1，2，…）．∴数列{b n}的通项公式为：b n=3n+2n﹣1；（2）由（1）知b n=3n+2n﹣1（n=1，2，…）．数列{3n}的前n项和为n（n+1），数列{2n﹣1}的前n项和为=2n﹣1．∴数列{b n}的前n项和为n（n+1）+2n﹣1．18．如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园，种植桃树，已知角A为120°．现在边界AP，AQ处建围墙，PQ处围栅栏．（1）若∠APQ=15°，AP与AQ两处围墙长度和为100（+1）米，求栅栏PQ的长；（2）已知AB，AC的长度均大于200米，若水果园APQ面积为2500平方米，问AP，AQ 长各为多少时，可使三角形APQ周长最小？【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）依题意，∠AQP=45°，由正弦定理：，可得利用特殊角的三角函数值即可计算得解PQ的值．（2）设AP=x米，AQ=y米，利用三角形面积公式可求xy=10000，进而可求，设△ABC的周长为L，则L==，令x+y=t，L=在定义域上单调增，利用二次函数的图象和性质即可得解．【解答】（本题满分为16分）解：（1）∵依题意，∠AQP=45°，由正弦定理：，…∴得，…∵，…∴…（2）设AP=x米，AQ=y米．则⇒xy=10000，…，…设△ABC的周长为L，则L==，…令x+y=t，L=在定义域上单调增，所以，当x=y=100取等号；…答：（1）米；（2）当AP=AQ=100米时，三角形地块APQ的周长最小．…19．已知函数f（x）=x|x﹣a|，a∈R，g（x）=x2﹣1．（1）当a=1时，解不等式f（x）≥g（x）；（2）记函数f（x）在区间[0，2]上的最大值为F（a），求F（a）的表达式．【考点】分段函数的应用．【分析】（1）当a=1时，即解不等式x|x﹣1|≥x2﹣1|，分类讨论，分别解关于x的不等式，最后取两部分的并集即可得到原不等式的解集；（2）由题意，分类讨论，确定函数的单调性，可得F（a）的表达式．【解答】解：f（x）≥g（x），a=1时，即解不等式x|x﹣1|≥x2﹣1，…当x≥1时，不等式为x2﹣x≥x2﹣1，解得x≤1，所以x=1；…当x＜1时，不等式为x﹣x2≥x2﹣1，解得，所以；…综上，x∈．…（2）因为x∈[0，2]，当a≤0时，f（x）=x2﹣ax，则f（x）在区间[0，2]上是增函数，所以F（a）=f（2）=4﹣2a；…当0＜a＜2时，，则f（x）在区间上是增函数，在区间上是减函数，在区间[a，2]上是增函数，所以F（a）=max{f（），f（2）}，…而，f（2）=4﹣2a，令即，解得，所以当时，F（a）=4﹣2a；…令即，解得或，所以当时，；…当a≥2时，f（x）=﹣x2+ax，当即2≤a＜4时，f（x）在间上是增函数，在上是减函数，则；…当，即a≥4时，f（x）在间[0，2]上是增函数，则F（a）=f（2）=2a﹣4；…所以，，…20．已知数列{a n}，{b n}，S n为数列{a n}的前n项和，向量=（1，b n），=（a n﹣1，S n），∥．（1）若b n=2，求数列{a n}通项公式；（2）若b n=，a2=0．①证明：数列{a n}为等差数列；②设数列{c n}满足c n=，问是否存在正整数l，m（l＜m，且l≠2，m≠2），使得c l、c2、c m成等比数列，若存在，求出l、m的值；若不存在，请说明理由．【考点】等差关系的确定；数列递推式．【分析】（1）利用两个向量平行的坐标关系得到S n=（a n﹣1）b n，进一步对n取值，得到数列{a n}是等差数列；（2）①由，则2S n=na n﹣n③，又2S n+1=（ n+1）a n+1﹣（n+1）④，两式相减即可得到数列{a n}的递推公式，进一步对n 取值，得到数列{a n}是首项为﹣1，公差为1的等差数列．②由①得到数列{c n}通项公式，根据m，l的范围讨论可能的取值．【解答】解：（1）因为=（1，b n），=（a n﹣1，S n），∥．得S n=（a n﹣1）b n，当b n=2，则S n=2a n﹣2 ①，当n=1时，S1=2a1﹣2，即a1=2，…又S n+1=2a n+1﹣2 ②，②﹣①得S n+1﹣S n=2a n+1﹣2a n，即a n+1=2a n，又a1=2，所以{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，…所以a n=2n．…（2）①证明：因为，则2S n=na n﹣n③，当n=1时，2S1=a1﹣1，即a1=﹣1，又2S n+1=（ n+1）a n+1﹣（n+1）④，④﹣③得2S n+1﹣2S n=（n+1）a n+1﹣na n﹣1，…即（n﹣1）a n+1﹣na n﹣1=0 ⑤，又na n+2﹣（n+1）a n+1﹣1=0⑥⑥﹣⑤得，na n+2﹣2na n+1+na n=0，即a n+2+a n=2a n+1，所以数列{a n}是等差数列．…②又a1=﹣1，a2=0，所以数列{a n}是首项为﹣1，公差为1的等差数列．a n=﹣1+（n﹣1）×1=n﹣2，所以，…假设存在l＜m（l≠2，m≠2），使得c l、c2、c m成等比数列，即，可得，…整理得5lm﹣4l=4m+4即，由，得1≤m≤8，…一一代入检验或或或或或或或由l＜m，所以存在l=1，m=8符合条件．…。
2024届江苏省南京师大苏州实验学校数学高一下期末达标测试试题含解析
2024届江苏省南京师大苏州实验学校数学高一下期末达标测试试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．圆()()22112x y -+-=关于直线3y kx =+对称，则k 的值是（ ） A ．2B ．2-C ．1D ．1-2．设公差为－2的等差数列{}n a ，如果1479750a a a a ++++=，那么36999a a a a ++++等于()A ．－182B ．－78C ．－148D ．－823．将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平衡6π个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()g x 1B ．函数()g x 的最小正周期为2π C ．函数()g x 的图象关于直线3x π=-对称 D ．函数()g x 在区间2[,]3ππ上单调递增 4．已知0x >，0y >，182x y x y-=-，则2x y +的最小值为A B ．C ．D ．45．数列{}n a 满足“对任意正整数n ，都有312n n n n a a a a ++++=+”的充要条件是（ ） A ．{}n a 是等差数列 B ．21{}n a -与2{}n a 都是等差数列 C ．2{}n a 是等差数列 D ．21{}n a -与2{}n a 都是等差数列且公差相等6．下列事件是随机事件的是（3）在标准大气压下，水在℃时结冰 （4）任意掷一枚骰子朝上的点数是偶数 A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（3）（4）D ．（1）（4）7．数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，数列{}n b 是等差数列，且56a b =，则（ ） A ．3748a a b b +≤+ B ．3748a a b b +≥+ C ．3748a a b b +≠+D ．3748a a b b +=+8．与圆22:(2)(2)1C x y ++-=关于直线10x y -+=对称的圆的方程为（ ） A ．22(1)(1)1x y -++= B ．22(1)(1)1x y +++= C ．22(1)(1)1x y -+-=D ．22(1)(1)1x y ++-=9．若0b a <<，则下列结论不正确的是（ ） A ．22a b <B ．2ab b <C ．1122b a⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．2a bb a+> 10．已知点()1,1A -，()2,3B -， 则与向量AB 方向相同的单位向量为（ ） A ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．34,55⎛⎫-⎪⎝⎭C ．43,55⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．43,55⎛⎫-⎪⎝⎭ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
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高一下学期期末考试数学试题
一、填空题：（本题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在答卷相应位置上）
1．某运动员在某赛季的得分如右边的茎叶图，该运动员得分的方差为 ▲
.
2．连续抛掷一颗骰子两次，则2次掷得的点数之和为6的概率是 ▲ .
3．两根相距6米的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2米的概率是 ▲ .
4．根据如图所示的伪代码，输出的结果S 为 ▲ .
5．若a>1则y=1
1-+a a 的最小值为 ▲ . 6．在△ABC 中，若a=2bcosC ，则△ABC 的形状为 ▲ .
7．我校高中生共有2700人，其中高一年级900人，高二年级1200人，高三年级600人，现采取分层抽样法抽取容量为135的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为 ▲ .
8．不等式02<+-b ax x 的解集为{}32|<<x x ，则不等式012
>--ax bx 的解集为 ▲ .
9．设x>0,y>0，x+y=4，则y
x u 11+=的最小值为 ▲ . 10．在△ABC 中，∠A=600,b=1,这个三角形的面积为3，则△ABC 外接圆的直径是 ▲ .
11．等差数列{}n b 中，53=b ，95=b ，数列{}n a 中，11=a ，n n n b a a =--1()2≥n ，则数列{}n a 的通项公式为=n a ▲ .
12．若实数a,b 满足()1014>=+--a b a ab ，则()()21++b a 的最小值为 ▲ .
13．在等差数列{}n a 中，若42≥S ，93≤S ，则4a 的最大值为 ▲ .
14．已知数列{}n a 满足
n a a a a n n n n =+--+++1
111（n 为正整数），且62=a ，则数列{}n a 的通1 8 9 2 0 1 2
4.8 D
C B A 项公式为n a = ▲ .
二、解答题（本题共6个小题，每题15分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16． (1)从集合｛0，1，2，3｝中任取一个数x ，从集合｛0，1，2｝中任取一个数y ，求x>y 的概率。
（2）从区间[0，3]中任取一个数x,，从区间[0，2]中任取一个数
y ，求x>y 的概率。
17．在△ABC 中，∠A, ∠B, ∠C 所对的边分别为a,b,c ，且2
22c b bc a +=+（1）求∠A 的大小；（2）若b=2，a=3，求边c 的大小；（3）若a=3，求△ABC 面积的最大值。
18．已知函数()()1
31--+=x x a x (1)当a=1时，解关于x 的不等式()1<x f
(2)当R a ∈时，解关于x 的不等式()1<x f
(3)不等式()a x x f -<对任意1>x 恒成立，求a 的取值范围 19．如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部
分），这两栏的面积之和为18000cm 2，四周空白的宽度为10cm ，两栏之间的中缝空白的宽度
为5cm.
(1)怎样确定广告的高与宽的尺寸
（单位：cm ），能使矩形广告面积最小？
(2)如果左栏矩形ABCD 要满足k BC
AB ≥ （k 是常数，且k>1）,怎样确定广告的
高与宽的尺寸（单位：cm ），能使矩形
广告面积最小.
∴设数列{}n b 公差为d ，则得，
1261615b b b b d +++=+L
∴1615b d +＝87，
18．(1) ()2,1
(2) a=0时()1-，
∞
a<0时()+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛
∞,12-a ， 0<a<2时⎪⎭
⎫ ⎝⎛a 2,
1
a=2时φ a>2时⎪⎭
⎫ ⎝⎛1,2a （3）a<1
(2)设BC=x 则k x 10300≤
<
当58>
k 时，广告宽251060+k 高201030+k ，可使广告面积最小
当5
81≤<k 时，广告的高为140cm ，宽为175时，可使广告面积最小。
20．（I ）解：∵a n +1=2 a n +1（n ∈N ）,
∴a n +1+1=2(a n +1),
∴| a n +1| 是以a 1+1=2为首项，2为公比的等比数列。
∴a n +1=2n ，
既a n =2n －1(n ∈N)。
（II ）证法一：∵4b1－14 b2－2…4 b n －1=(a +1)bn ， ∵4k1+k2+…+kn =2nk ,
∴2[(b 1+b 2+…+b n )-n]=nbn, ① 2[(b 1+b 2+…+b n+1)-(n+1)]=(n+1)b n+1 ②
②-①,得2(b n+1-1)=(n+1)b n+1-nb n , 即 (n-1)b n+1-nb n +2=0. ③ nb n+2=(n+1)b n+1+2=0. ④ ④-③，得nb n+2-2nb n+1-nb n =0,
即 b n+2-2b n+1+b=0,
∴b n-2-b n+1=b n (n ∈N *),
∴{b n }是等差数列.
证法二：同证法一，得
(n-1)b n+1=nb n +2=0
令n=1，得b 1=2.
设b 2=2+d(d ∈R),，下面用数学归纳法证明 b n =2+(n-1)d.
(1)当n=1,得b 1=2.
(2)假设当n=k(k ≥2)时，b 1=2+(k-1)d,那么 b k+1=.)1)1((212))1(2(1121d k k d k k k k b k k -++=---+-=---
这就是说，当n=k+1时，等式也成立.
根据(1)和(2)，可知b n =2(n-1)d 对任何n ∈N *都成立.
∵b n+1-b n =d, ∴{b n }是等差数列.。