第三章 谐振子
量子力学——谐振子、势垒贯穿
量子隧道效应
量子力学中散射问题通常当作 定态问题处理
一维散射的核心问题是透射率 和反射率的计算
E
有限深方势阱
• 方势阱存在束缚 态,也存在散射态
E U0 散射态
U0
E U0
束缚态
E
U ( ) U0
势垒问题
E>0， U ( ) 0
粒子能量大于无穷远势能
没有束缚态(可以出现在无穷远)
A-振幅； 0 初始相位
量子谐振子的例子
• 电磁场量子运动可以借助于谐振子模型（量子光 学课程） • 微观粒子在平衡位置附近的微小振动可以近似当 作谐振子（统计物理部分） • U 1 2U
U ( x ) U(0)+ x x
x=0
2 x 2 U x
x 2 ....
x=0
n2
线 性 谐 振 子 位 置 概 率 密 度
x
n=11 时的概率密度分布
11
2
n 11
x
（经典力学最 1 远点）临界点
2
m x 0 E x 0
2 2
2E 2 m
经典粒子不能出现在E < U 区，量子粒子则 可以！
U( x )
基态E0
0
0
2
x
E0 U“经典禁区” ( )
d 2 2 E 2 2 2 2 2 x 0. 2 dx
无量纲化变换： x x ,
2E
得到
d 2 2 ( ) ( ) 0. 2 d
无量纲化的定态方程
d 2 2 ( ) ( ) 0. 2 d
取U(0)=0；因平衡位置 1 2U U ( x) 2 x 2
量子力学中的谐振子模型及其在材料科学研究中的应用
量子力学中的谐振子模型及其在材料科学研究中的应用量子力学是物理学中一门重要的分支，研究微观粒子的行为和性质。
在量子力学中，谐振子是一种经典的模型，广泛应用于各个领域，特别是在材料科学中。
一、量子力学中的谐振子模型谐振子是一个物理学中常见的模型，描述了一种能量随位置变化而呈正弦形式变化的系统。
在量子力学中，谐振子模型可以通过哈密顿算符来描述，形式如下：H = ħω (a†a + 1/2)其中H是系统的哈密顿算符，ħ是普朗克常数的约化常数，ω是谐振子的固有频率，a†和a是创建算符和湮灭算符，满足如下关系：[a, a†] = 1谐振子的能级结构由哈密顿算符的本征值和本征态确定，能级之间的能量差为ħω。
二、谐振子模型在材料科学中的应用谐振子模型在材料科学的研究中有着重要的应用价值，以下将从光学性质和电子结构两个方面探讨其具体应用。
1. 光学性质在材料科学中，研究材料的光学性质对于开发新型光电器件和解释材料行为具有重要意义。
谐振子模型在描述原子或分子的光学性质时非常有效。
例如，对于分子中的振动模式，可以使用谐振子模型来解释在不同频率下的吸收光谱。
谐振子模型可以定量地计算分子的吸收峰位、强度和形状，为实验结果提供了重要的理论依据。
2. 电子结构在材料科学中，了解材料的电子结构对于理解材料的导电性和光电性质具有关键意义。
谐振子模型在描述电子结构中的载流子行为时也有广泛应用。
例如，在固体中，电子在晶体势场中的行为可以用谐振子模型来描述，其中电子的能量就是谐振子的能级。
通过计算谐振子的能级分布，可以得到材料的能带结构和载流子的行为，为解释电导率、磁光性等材料性质提供了重要的理论基础。
三、结论量子力学中的谐振子模型是一个重要的模型，广泛应用于各种领域，特别是在材料科学研究中。
这个模型通过描述系统的能量随位置的变化规律，揭示了物质微观行为的奥秘。
在材料科学的研究中，谐振子模型被成功应用于解释材料的光学性质和电子结构，为实验结果提供了重要的理论支持。
谐振子
O
2) 由： A
02
2 0
和已知条件：
2
0
x0
b
x0
mg k
0.05
m
b
O' 0
x0
可得：A 0.07 m
x
3)
由
tg 0
0 0
1
和初速度为负值，可知：0 4
4) (t) Acos(t ) 0.07cos(4t 4) (m)
5) E 1 kA2 0.039 (J) 6) 做图略
x0
和速度
0，由：
x0
Acos Asin
0
联立可得：
A
x02
2 0
2
tg1( 0 ) x0
简谐运动实例：
( 1 ) 单摆
准弹性力：
l
1. 细线质量不计 约
ft mg
定 2. <5 以保证sin 由牛顿定律：
m
ft
3. 阻力忽略不计
ft
பைடு நூலகம்
mg
mat
m
l
ml
d2
dt 2
mg
d2g 0
dt2 l
一个作简谐运动的质点所受的沿位移方向的合外力 与它对于平衡位置的位移成正比而反向。这样的力称为 恢复力(Restoring Forces)。
2. 动力学方程 (以水平弹簧振子为例)
由 f ma m d2 x dt2
及 f kx 得
f
k
m
0x
x
弹簧振子
d2 x m d t 2 kx
d 2x dt2
§4.2 谐振子(动力学部分) (Harmonic Oscillator)
量子力学中的谐振子模型
量子力学中的谐振子模型谐振子是最简单的物理模型之一，它是许多物理学和工程学研究中的基础。
谐振子模型最初是由赫兹在19世纪初研究弹簧振动得到的。
在量子力学中，谐振子模型被广泛应用于描述原子、分子、晶格等系统的振动。
谐振子模型的基本特征谐振子模型是一个标准量子力学问题，它最初是由薛定谔在1926年提出的。
谐振子模型由一个质量为m的粒子在一个势场V(x)中振动组成。
当此势场是一个二次曲线时，粒子的行为就是谐振子。
这个势场可以用下面的公式来描述：V(x) = 1/2mω²x²这里ω是一个频率，它是振动的夹角频率。
谐振子模型的哈密顿量通过薛定谔方程，我们能够得到谐振子模型的哈密顿量。
这个哈密顿量可以去掉第一项(x)来表示为：H = 1/2(p²/m + ω²x²)这里p是粒子的动量。
哈密顿量包含两个部分：动能和势能。
前者与粒子的速度有关，后者与粒子的位置有关。
我们发现，当位置x 和动量p 等于零时，哈密顿量 H 的值从 0 开始逐渐增加。
谐振子模型的能态由于谐振子的势能是是二次函数的形式，其能级也是均匀分布的。
谐振子模型的能态有无限多个，它们对应于独立的能子态和能量。
各个能级之间的能量差为ℏω，其中ℏ是普朗克常数。
任意谐振子可以写成费米函数形式的线性组合。
费米（Fermi）函数是一组由意大利物理学家费米创立的函数，用于描述费米子体系的基态和激发态。
经典谐振子模型与量子谐振子模型经典谐振子模型与量子谐振子模型是存在区别的，量子谐振子模型存在量子化现象。
经典谐振子的振幅可以是任意值，但量子谐振子仅对于特定离散位置有非零振幅。
在这些位置上，它的“位置波函数”保持相干，因此与经典谐振子的振幅一致。
单谐振子和多谐振子单谐振子和多谐振子是量子谐振子模型的两种形式。
单谐振子模型是指只有一个谐振子的系统，多谐振子模型是指由多个谐振子组成的系统。
在单谐振子模型中，哈密顿量可以表示为：H = ℏω( a† a + 1/2)这里a和a†分别是降算符和升算符，它们是谐振子模型的基础运算符。
谐振子运动方程
谐振子运动方程谐振子是物理学中一个重要的模型，用于描述有固定平衡位置的物体在受到力的作用下的振动。
谐振子在很多领域都有应用，比如机械振动、电路振荡以及量子力学等。
通过对谐振子的研究，可以深入理解振动的特性和规律。
谐振子的运动方程是描述谐振子振动的基本方程。
在经典力学中，一个简单的谐振子由质点和弹簧组成，并且假设没有外力作用。
谐振子的运动方程可以通过牛顿第二定律推导出来。
我们假设一个质量为m的质点沿着一条直线上运动，它与原点处的一个弹簧相连接。
弹簧的劲度系数为k，原点是谐振子的平衡位置。
当质点偏离平衡位置时，弹簧会施加一个与质点位移成正比的力。
根据胡克定律，弹簧对质点的作用力可以表示为F = -kx，其中F是作用在质点上的力，x是质点的位移。
根据牛顿第二定律，当质点受到的合力不为零时，它将加速度。
因此，我们可以得到方程m*a = -k*x，其中a是质点的加速度。
由于加速度是位移的二阶导数，我们可以将运动方程改写为二阶微分方程m*x'' = -k*x。
这是一个关于位移x的二阶常微分方程，解此方程即可得到谐振子的运动方程。
我们假设解的形式为x(t) = A*cos(ωt + φ)，其中A是振幅，ω是角频率，φ是相位常数。
将上述解代入运动方程中，我们可以得到ω的表达式。
由于二阶导数为负号，我们可以得到方程-m*ω^2*A*cos(ωt + φ) = -k*A*cos(ωt + φ)。
两边化简后得到-m*ω^2 = -k，即ω =sqrt(k/m)。
从上述解中可以看出，谐振子的振动是一种简谐运动，即振幅不变、频率恒定的振动。
在运动过程中，质点在平衡位置附近往复振动，通过正弦函数描述运动曲线。
谐振子在物理学中有很多应用。
在机械振动中，谐振子可以用来模拟弹簧振子、摆锤等物体的振动。
在电路中，电感和电容组成的电路也可以看作谐振子。
此外，在量子力学中，谐振子是描述原子和分子的振动性质的重要模型。
总结起来，谐振子的运动方程是一个关于位移x的二阶微分方程。
量子力学3.3一维谐振子
量子隧道效应实验
总结词
量子隧道效应实验是用来验证量子力学中隧 道效应的实验方法，通过观察粒子穿越障碍 物的现象，可以证明粒子具有穿越障碍物的 能力。
详细描述
在量子隧道效应实验中，粒子在一定能量下 可以穿越高于其自身能量的势垒，这种现象 被称为量子隧道效应。实验中可以通过测量 穿越势垒的粒子数量和能量分布，来验证量 子力学中隧道效应的预测。
子不同。
干涉实验
总结词
干涉实验是用来验证量子力学中波动性 质的另一种实验方法，通过观察粒子在 通过两个相距较近的障碍物后产生的干 涉现象，可以进一步验证量子力学的正 确性。
VS
详细描述
在干涉实验中，粒子通过两个相距较近的 障碍物后，会在屏幕上产生类似于水波通 过两个相距较近的小孔后产生的干涉条纹 。这进一步证明了粒子具有波动性质，并 且其行为方式与经典物理中的粒子不同。
05
CATALOGUE
一维谐振子的实验验证
双缝实验
总结词
双缝实验是用来验证量子力学中波动性质的经典实验，通过观察电子通过双缝后的干涉 现象，可以证明电子具有波动性。
详细描述
在双缝实验中，电子通过双缝后会在屏幕上产生干涉条纹，类似于水波通过两个相距较 近的小孔后产生的干涉现象。这表明电子具有波动性质，其行为方式与经典物理中的粒
经典力学中的一维谐振子
1
在经典力学中，一维谐振子通常由弹簧和质点组 成，其运动方程为 Hooke定律。
2
一维谐振子的能量与其振幅的平方成正比，当能 量增加时，振幅也会增加，导致系统的不稳定性 。
3
在经典力学中，一维谐振子的运动轨迹是确定的 ，可以用经典力学方程进行描述。
02
CATALOGUE
谐振子
解：1) v 2 1 k 2 Hz 4 (rad/s)
2 m
O
2)
由：
0
A
x0
02
2 0
2
b x0
一个作简谐运动的质点所受的沿位移方向的合外力
与它对于平衡位置的位移成正比而反向。这样的力称为 恢复力(Restoring Forces)。
2. 动力学方程 (以水平弹簧振子为例)
由
f
ma
d2 x m dt2
及 f kx 得
f
k
m
0x
x
弹簧振子
d2 x m d t 2 kx
d2 x k dt2 m x 0
令： 2 k
m
d2 x dt2
2
x
0
简谐运动的 动力学方程
方程的解为： 3. 固有(圆)频率
x (t) =Acos( t+)
谐振子: k
m
只由系统自身的性质 决定。而振幅A和初相 由初始条件决定。
4. 由初始条件求振幅和相位 x(t)=Acos( t+)
已知：初始时刻的位移
ft mg mat m l
ml
d2
dt 2
ft
m
mg
g 0
g 固有频率决定于系统内在性质
l
l
0 cos t 0
(2) 竖直放置的弹簧振子（vertical oscillator)
机械振动与谐振子模型
机械振动与谐振子模型振动是物体围绕平衡位置进行往复运动的现象，它广泛应用于科学研究和工程实践中。
机械振动作为一种常见的振动形式，可以通过谐振子模型进行描述和分析。
首先，让我们来了解一下什么是谐振子模型。
谐振子模型是指一个系统在外力作用下，能够响应并产生频率与外力相同的振动。
在谐振子模型中，系统的振动是围绕平衡位置进行的，并且存在一种力的恢复机制，使得系统能够不断向平衡位置回复。
谐振子模型最常见的例子是弹簧振子，即一个质点通过弹簧与一个固定点相连接。
当外力作用于质点时，弹簧产生的恢复力与质点的位移成正比，符合胡克定律。
这样，质点在弹簧的作用下会发生振动，频率与外力的频率相同，而且振动的大小与外力的振幅有关。
除了弹簧振子，谐振子模型还应用于其他多种振动系统，如简谐摆、钟摆等。
这些系统的振动都可以通过谐振子模型进行描述，并且具有相似的特征。
例如，在简谐摆中，重物的位移与重力的恢复力成正比，而在钟摆中，则是重物的位移与拉力的恢复力成正比。
谐振子模型的重要性在于它对振动现象的描述和理解提供了简单而有效的工具。
通过谐振子模型，我们可以计算振动的频率、周期、振幅等参数，从而对振动系统进行分析和优化。
在工程实践中，谐振子模型被广泛应用于结构强度计算、振动控制以及共振现象的预测。
然而，谐振子模型也有其局限性。
在现实世界中，许多振动系统并不完全符合谐振子模型的假设。
例如，在摩擦力和阻力的存在下，振动系统的能量会逐渐耗散，振动的幅度会减小。
此外，外部扰动和非线性效应也会影响振动系统的行为，使其远离理想的谐振子模型。
为了更准确地描述和分析振动系统，研究者们提出了更加复杂的模型和方法，如阻尼振动模型、非线性振动模型等。
这些模型可以更好地解释和预测实际振动系统的行为，但也增加了计算和分析的复杂性。
总结一下，机械振动与谐振子模型密切相关，谐振子模型为我们理解和分析振动现象提供了简单而有效的工具。
然而，在实际应用中，我们也要考虑到振动系统的实际情况，运用更加复杂的模型和方法进行分析。
线性谐振子量子力学课件
对应的波函数是：
1 2
1 2x2
n (x) Nn H n ( ) e 2 Nn H n (x) e 2 .(
)
(3.2 9)
Nn是归一化常数，利用特殊积分
ex2 dx ,
可得
Nn
2n
n
. !
2.讨论 (1) 能级是等间隔的 ；(2)零点能是
E0
1
2
；(3)能级
的宇称偶奇相间，基态是偶宇称,即ψn(-x)=(-1)ψnn(x) (4)ψn(x)有
当ξ→±∞时，方程变为：
d 2 d 2
2 .
我们发现它有近似解：
12
() ~ e 2 .
但是 e 2 /2 应该舍去。
所以再进行变换：
12
() e 2 H(),
可得关于H(ξ)的如下方程：
d 2 H 2 dH ( 1)H 0. (3.2 4)
d 2
d
二. Hermitian多项式 可以用级数法求解H(ξ)的方程，结果发现：只要H(ξ)是“真”
§ 3.2线性谐振子
一维量子谐振子问题
在经典力学中，一维经典谐振子问题是个基本的问题，它 是物体在势（或势场）的稳定平衡位置附近作小振动这类常见 问题的普遍概括。在量子力学中，情况很类似。一维量子谐振 子问题也是个基本的问题，甚至更为基本。因为它不仅是微观 粒子在势场稳定平衡位置附近作小振动一类常见问题的普遍概 括，而且更是将来场量子化的基础。
d
dt
a
cos(t
)
a
(1
a
2 2
)
1 2
所以几率密度与 (1 2
/
a
2
)
1 2
成比例。
量子力学中的谐振子
量子力学中的谐振子量子力学中的谐振子是一种基础的量子力学系统，它在研究原子、分子和固体物质等领域有着重要的应用。
本文将介绍谐振子的基本概念、数学描述以及其在量子力学中的应用。
1. 谐振子的基本概念谐振子是指一个物理系统在平衡位置附近发生振动时，满足线性回复定律的系统。
它的运动可以用势能函数的二次项来描述。
在量子力学中，谐振子的势能函数可以写为：V(x) = 1/2 kx^2其中V(x)表示势能，k为弹性常数，x为谐振子的位移。
谐振子的基态能量为零，且能级是等间隔的。
谐振子的能量具有量子化特性，其能级公式为：E_n = (n + 1/2)ħω其中E_n表示第n级能量，ħ为约化普朗克常数，ω为谐振子的频率。
2. 谐振子的数学描述谐振子的数学描述可以通过谐振子算符实现。
谐振子算符包括产生算符a^+和湮灭算符a，它们满足以下关系：[a, a^+] = 1谐振子的波函数可以用谐振子算符的本征态表示，即：a|n⟩= √n|n-1⟩a^+|n⟩= √(n+1)|n+1⟩其中|n⟩表示第n级本征态。
谐振子算符的本征态是谐振子算符的共同本征态，同时也是能量算符的本征态。
谐振子算符和能量算符之间的关系可以通过谐振子算符的乘积表达：N = a^+ aH = (N + 1/2)ħω其中N为数算符，H为能量算符。
3. 谐振子的应用谐振子在量子力学中有着广泛的应用。
以下介绍谐振子在原子、分子以及固体物质领域的应用。
在原子物理学中，谐振子模型可以用来描述氢原子中电子围绕原子核的振动。
谐振子模型能够计算出氢原子的能级和波函数，从而揭示电子在氢原子中的行为。
在分子物理学中，谐振子模型可以用来描述化学键的振动。
例如，当分子中的原子围绕键的平衡位置发生微小的振动时，可以使用谐振子模型来计算分子的振动能级和谱带。
在固体物理学中，谐振子模型被广泛应用于描述固体中的晶格振动。
固体中原子的排列形成了晶格结构，晶格振动对于固体的热性质、导电性等起着重要作用。
谐振子能量公式范文
谐振子能量公式范文谐振子是物理学中一个常见的振动系统，它的能量公式体现了振动能量的计算方法。
以下是一个详细的解释。
首先，我们需要了解谐振子的基本概念。
谐振子是一个具有回复力的振动系统，它能够以固定频率在平衡位置附近振动。
谐振子可以是一个单摆系统、弹簧振子或者光学谐振腔等。
在谐振子的运动过程中，它的能量是由动能和势能构成的。
动能指的是振动物体由于运动而具有的能量，通常可以用公式K=½mv²来表示，其中m是物体的质量，v是物体的速度。
势能指的是振动物体由于位移而具有的能量，通常可以用公式U=½kx²来表示，其中k是系统的回复力系数，x是物体的位移。
对于谐振子来说，它的回复力是与位移成正比的。
也就是说，当谐振子偏离平衡位置时，回复力的大小与偏离量成正比。
这种回复力通常可以用胡克定律来描述，它的数学表达式为F=-kx，其中F是回复力，k是回复力系数，x是谐振子的位移。
当谐振子从平衡位置向一个方向运动时，回复力的方向与运动方向相反，这样回复力就会做负功，并且产生势能。
而当谐振子达到最大偏离时，回复力的大小最大，势能最大。
当谐振子从最大偏离回到平衡位置时，回复力的方向与运动方向相同，这时回复力做正功，将势能转化为动能。
谐振子在运动过程中，动能和势能不断地转换，但总能量保持不变。
在谐振子的运动中，它的总能量E等于动能K和势能U的和。
即E=K+U。
根据动能和势能的公式，我们可以将此公式改写为E=½mv²+½kx²。
此外，对于谐振子的振动，还有一个重要的物理量叫做振动角频率ω，它是指每秒钟振动的周期数。
振动角频率与回复力系数k和质量m有关，其数学表达式为ω=√(k/m)。
通过对总能量公式E=½mv²+½kx²进行变换，我们可以得到另一种形式的能量公式。
由于振动角频率ω与回复力系数k和质量m有关，因此可以将总能量公式改写为E=½m(ωx)²。
量子力学3.3一维谐振子
x 的 n 次多项式，当 n 为奇数时，只存在奇幂次； 因 H n ( x ) 为
当 n 为偶数时，只存在偶幂次。
( 1) n 。 所以： n ( x ) ( 1) n n ( x ) ，即宇称为
(3) n 有 n 1 个极大值，有 n 个零点（与经典分布不同） ，分 布关于 y 0 对称。
1 2 2 x 2 0 ( x) e 3
（偶宇称）
（奇宇称）
5 n 2, 第二激发态 E2 ， 2 1 1/ 2 x 2 2 2 ( x) (2 x 1)e 2 2
2 2
（偶宇称）
三、结果讨论
1.能级
1 E n (n ) 2
n 0,1,2,...
(1)能量是量子化的，且相邻能级的间距
E n E n 1 E n
即能级是等间距的。 1 E （基态能量） (2)存在零点能 0 。 2 在T 0 时也有振动，这是旧量子论中没有的，已被实验所
证实，这纯属量子效应，是由于微观粒子具有波粒二象性所导 致的。
§3.3
一维谐振子
引
言
1.经典谐振子
在经典力学中，当质量为 的粒子，受弹性力 F k x 作 用，由牛顿第二定律可以写出运动方程为：
d 2x 2 k x x 2 x 0 k dt 其解为 x A cos t 。这种运动称为简谐振动，作这种运
代入方程(4)得u( )所满足的方程 2 d H dH 2 ( 1) H ( ) 0-------- 3 2 d d
这就是所谓的Hermite 方程。
0为方程的常点，可在 0邻域用幂级
量子力学 第三章习题与解答
第三章习题解答3.1 一维谐振子处在基态t i x e x ωαπαψ2222)(--=，求：(1)势能的平均值2221x U μω=； (2)动能的平均值μ22p T =；(3)动量的几率分布函数。
解：(1) ⎰∞∞--==dx e x x U x 2222222121απαμωμω μωμωππαμω ⋅==⋅=2222221111221ω 41= (2) ⎰∞∞-==dx x p x p T )(ˆ)(2122*2ψψμμ ⎰∞∞----=dx e dx d e x x 22222122221)(21ααμπα ⎰∞∞---=dx e x x 22)1(22222αααμπα][222222222⎰⎰∞∞--∞∞---=dx e x dx e x xααααμπα]2[23222απααπαμπα⋅-=μωμαμαπαμπα⋅===442222222 ω 41=或 ωωω 414121=-=-=U E T (3) ⎰=dx x x p c p )()()(*ψψ 212221⎰∞∞---=dx ee Px i xαπαπ⎰∞∞---=dx eePx i x222121απαπ⎰∞∞--+-=dx ep ip x 2222)(21 21αααπαπ ⎰∞∞-+--=dx ee ip x p 222222)(212 21αααπαπ παπαπα22122p e -=22221απαp e-=动量几率分布函数为 2221)()(2απαωp ep c p -==#3.2.氢原子处在基态0/301),,(a r e a r -=πϕθψ，求：(1)r 的平均值；(2)势能re 2-的平均值；(3)最可几半径； (4)动能的平均值；(5)动量的几率分布函数。
解：(1)ϕθθπτϕθψππd rd d r re a d r r r a r sin 1),,(0220/23020⎰⎰⎰⎰∞-==⎰∞-=0/233004dr a r a a r04030232!34a a a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2203020/232020/232202/2322214 4 sin sin 1)()2(000a e a a e drr ea e d drd r e a e d drd r e ra e r e U a r a r a r -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞-∞-∞-ππππϕθθπϕθθπ(3)电子出现在r+dr 球壳内出现的几率为 ⎰⎰=ππϕθθϕθψω02022 sin )],,([)(d drd r r dr r dr r e a a r 2/23004-=2/23004)(r e a r a r -=ω 0/2030)22(4)(a r re r a a dr r d --=ω令 0321 , ,0 0)(a r r r drr d =∞==⇒=，ω 当0)( ,0 21=∞==r r r ω时，为几率最小位置/22203022)482(4)(a r e r a r a a dr r d -+-=ω08)(230220<-=-=e a dr r d a r ω ∴ 0a r =是最可几半径。
量子力学中的谐振子模型与能级结构
量子力学中的谐振子模型与能级结构量子力学是一门研究微观粒子行为的科学，其中谐振子模型是研究非常重要且常见的一种模型。
在这篇文章中，我们将探讨谐振子模型在量子力学中的应用以及与其相关的能级结构。
1. 谐振子模型的基本概念谐振子模型是通过描述一种具有平衡位置的物理系统的振动来建立的。
它假设系统的势能函数与物体偏离平衡位置的平方成正比，即V(x) = kx^2，其中k是弹性常数，x是物体相对平衡位置的位移。
在量子力学中，谐振子模型可以应用于描述原子核、分子振动以及固体中的晶格振动等多个领域。
2. 能级结构的计算在量子力学中，我们通过求解谐振子模型的定态薛定谔方程来计算其能级结构。
定态薛定谔方程可以写为HΨ = EΨ，其中H是哈密顿算符，Ψ是波函数，E是能量。
由于谐振子的哈密顿算符是一个二次型，我们可以将其转化为简化形式，使其更易于求解。
3. 能级结构的计算方法求解谐振子模型的能级结构有多种方法，其中最常用的方法是升降算符法和求解本征值问题。
升降算符法是通过定义两个算符a±来实现的，这两个算符分别与谐振子的产生和湮灭操作相关联。
利用这两个算符，我们可以构造出能量算符和Hamilton算符的升降算符，从而求解出能级。
4. 能级结构的性质谐振子的能级结构具有一些特殊的性质。
首先，能级是均匀分布的，能量间隔相等。
其次，能级是分立的，不存在连续能量的情况。
此外，谐振子模型的基态能量是非零的，且存在一个最低能级。
这些性质使得谐振子模型成为描述实际物理系统的重要工具。
5. 谐振子模型的应用谐振子模型在物理学中有广泛的应用。
它可以用来描述原子核振动、固体中的晶格振动以及分子的振动等现象。
此外，在量子计算和量子通信领域，谐振子模型也被广泛应用于构建量子比特和实现量子门操作。
总结：本文主要介绍了量子力学中谐振子模型与能级结构的相关内容。
谐振子模型是描述具有平衡位置的物理系统振动的模型，求解谐振子的能级结构可以通过升降算符法和解本征值问题等方法来实现。
3.谐振子
谐振子•自然界中广泛碰到简谐运动，任何体系在平衡位置附近的小振动，例如分子的振动，晶格的振动等，在选择适当的坐标系之后，往往可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动，所以谐振子的研究无论在理论上还是在应用上，都很重要。
1.谐振子问题在不同表象下的能量本征值的求解—结合习题3.12.外场中的谐振子--结合习题3.43.求解非定态势场中的谐振子问题—结合习题3.64.三维谐振子不同表象下的谐振子•1.1.占有数表象中谐振子本征值和本征方程占有数表象中谐振子本征值和本征方程的求解的求解（（引入升降算符求解波函数和能量本征值本征值））•2.X 2.X表象中谐振子本征值和本征方程的求解表象中谐振子本征值和本征方程的求解谐振子的占有数表象算符算符a a 不是厄米自共轭算符不是厄米自共轭算符，，但是它是厄米共轭算符但是它是厄米共轭算符：：,2a a αβ+= h•现在我们要求解上述对易关系式现在我们要求解上述对易关系式，，就是以这个对易关系式为出发点关系式为出发点，，采用适当的表象采用适当的表象，，求出求出a a 和的矩阵形式的矩阵形式。
a +可以证明可以证明，，算符算符N N 是厄米算符…n+2,n+1,n,n n+2,n+1,n,n--1,n 1,n--2…但是但是，，这一序列可以无限向右方延伸下去这一序列可以无限向右方延伸下去，，其本征值必须非负其本征值必须非负，，可以证明可以证明：：N 的本征值谱a+矩阵的不为零的矩阵元是⇒我们可以写出算符x x和p在占有数表象中的矩阵元我们可以写出算符坐标表象中的谐振子严格的谐振子势是一个无限深势井严格的谐振子势是一个无限深势井，，因此粒子仅存在束缚态。
其边界条件其边界条件：：⇓⇒只有当下式满足时只有当下式满足时，，厄米方程才有一个多项式解厄米方程才有一个多项式解（（厄米多项式多项式），），），才能满足边界条件才能满足边界条件才能满足边界条件。
归一化谐振子的波函数归一化谐振子的波函数：：⇓注意，nn n n x im p ,1,1++=ω1,1,++−=n n n n x im p ωa a 和+a a 和+a a 和+式（26）反映了算符的主要性质，因此常将分别称为量子数升、降算符。
第三章 谐振子
第三章 谐振子一 内容提要1 一维线性谐振子的能级与波函数2221)(x x V μω= 222212ˆˆx p Hμω+= ,3,2,1)21(=ω+=n n E n)()(2221x H eN x n x n n α-=ψ [其中 !2n N n n πα=μω=α ] 2 谐振子的升降算符 [1] 升降算符)ˆˆ(2ˆp i x aμω-μω=+ )ˆˆ(21p ix μω-α= )ˆˆ(2ˆp i x aμω+μω= )ˆˆ(21pix μω+α= 则 )ˆˆ(2ˆ++μω=a ax)ˆˆ(2ˆ+-μω-=a a i p [2] 升降算符的性质11ˆ++ψ+=ψn n n a1ˆ-ψ=ψn n n a1]ˆ,ˆ[=+a a二 例题讲解1 一维谐振子如果考虑非谐振微扰项4'ˆx Hλ=，求体系能级的一级修正。
解：>+<μωλ>=<λ>==<+n a an n x n n Hn E n 424')1()ˆˆ()2(ˆ 可以导出 )122(3)ˆˆ(24++>=+<+n n n a an 那么 =)1(n E )122()(4322++μωλn n2 已知单摆在重力作用下能在竖直平面内摆动。
求：[1] 小角度近似下，体系的能量本征值及归一化本征函数。
[2] 由于小角度近似而引起的体系基态能级的一级近似。
解：摆球平衡位置作为势能零点 摆球重力势能为)cos 1(θ-==mgl mgh V （1）[1] 由公式 -θ+θ-=θ42!41!211c o s（2）得在小角度近似下的二级修正势能为：2221))211(1(θ=θ--≈mgl mgl V （3）体系Hanmilton 为V L IV mr mv r V mv H z +=+⨯=+=ˆ21)(2121ˆ222 即：22221)(21ˆθ+θ=mgl d d i ml H（4） 当 θ≈θ=→θl l x sin 0设 lg =ω （4）可以变为22222212ˆx m dx d m H ω+= （5） （5）与一维谐振子类似，则（5）的解为：,3,2,1)21(=ω+=n n E n)()(2221x H eN x n x n n α-=ψ [其中 !2n N n n πα=μω=α ] （6） [2] )cos 1()(21ˆ22θ-+θ=mgl d d i ml H（7） 则微扰项20'21)cos 1(ˆˆˆθ-θ-=-=mgl mgl H H H （8） 以（2）式取前三项代入（8）得434'241!41ˆmgx l mgl H-=θ-= （9） 利用上题可以得到=)1(n E )122())(241(43223++ω-n n m mg l )122()(321223++ω=n n m mg l3 质量为m 的粒子处于一维谐振子势场)0(21)(21>=k kx x V 的基态[1] 如果弹性系数k 突然变为k 2，即势场变为)0()(22>=k kxx V ，随即测量粒子的能量，求发现粒子处于新势场)(2x V 的基态的概率；[2] 势场突然由)(1x V 变成)(2x V 后，不进行测量，经过一段时间τ后，势场又恢复成)(1x V ，问τ取什么值时粒子仍恢复到原来)(1x V 场的基态（概率100%）？解：[1] 粒子的波函数),(t x ψ随时间变化应满足dinger o Schreq ψ+∂ψ∂-=ψ∂∂V xm t i 2222 当V 突然改变（由)(1x V →)(2x V ），但变化量有限时ψ仍然是t 的连续函数，即V 突变时ψ不变。
算符对易关系第三章
ˆ z , z] p ˆ x yz[ p ˆz , p ˆ x ] [ z, x] p ˆz p ˆ y x[ z, p ˆz ]p ˆy y[ p
ˆ x i xp ˆy i yp
ˆ y yp ˆx ) i ( xp ˆ iL z
等于零
6
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件
（2 ） 为简单起见，先考虑非简并情况。由（ 1 ）、（ 2 ） ˆ 都是 F ˆ 属于本征值 的本征函数，它 式知，n 和 G n n 们最多相差一个常数因子 n ，即
ˆ ˆ G ˆ ˆ ˆ GF FG n n n n
ˆ 的本征方程的解。因此， n 也是 G 可见， n 是 ˆ 的本征函数完全系 G
ˆx, p ˆy] 0 [p ˆy, p ˆz] 0 [p ˆz, p ˆx] 0 [p
, 1, 2, 3 ˆ ˆ p , p 0
ˆ1 p ˆ x, p ˆ 2 p ˆ y, p ˆ 3 p ˆz ) (p
ˆ x , p i ( , 1, 2, 3)
测不准关系（续6）
2．力学量同时有确定值的条件（对易的物理意义）
ˆ 具有共同的本征函数完全 ˆ 和G 若算符F 定 理 ˆ 必对易。 ˆ 和G 系，则 F ˆ 和G ˆ 的共同本征函数完全系，则 prove: 设 n 是 F
ˆ ˆ , G F n n n n n n
★ 若两个力学量算符彼此不对易，则一般说来这两 个算符表示的两个力学量不能同时具有确定性，或 者说不能同时测定。
9
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件
测不准关系（续9）
高等量子力学 受微扰的谐振子 受微扰的谐振子
末态是一样的, 都用 H n 表示. 为了能用海森伯运动方程
(11.23)式解决问题, 我们应当转而讨论算符. 进入海森伯绘景 在希尔伯特空间中,首先考虑无微扰哈密顿 H0
的本征矢量 m , m 0,1,2, , 这是一组不动的基矢, 这组基矢就是
t
海森伯绘景的参考系是一组动基矢, 其运动规律受总哈密顿的支
配, 而当 t 0 时与不动基矢 m 重合. 用 mt H 表示这组动基矢,
则有
H
i tH
e
(t)
S
mt
H
i tH
e
m
m0 H m
(12.15)
这一组动基矢就是海森伯绘景的参考系, 它们彼此之间的关系 是(12.14)式转入海森伯绘景的式子:
2 2
n 1n 2 ei t 1 2 n 2
2
2n
11
cos
t
1 2
ei t e i t
i
t
n
nn 1
2
ei t
1 2
n2
(12.13)
上式右边 i 前面的系数的复平方,就是 t 时刻后的状态
t I 中能量取 i 1 2 的概率.由于这里出现的都是 H 0 的本
征态, i S 和 it I 只差一个含时相因子(其模为 1), 所以能够得出
wmn m t 2
进入海森伯绘景之后, 由于
薛定谔绘景： wmn m t 2
海森伯绘景： m mt H
t S H 0 S n n0 H
所以, 所求的概率为
wmn H mt n0 H 2
(12.17)
可见, 在海森伯绘景中, 问题在于求 H mt n0 H ,下面为了书写方便,
3.5 线性谐振子
在自然界中一维谐振子广泛存在,任何体系在平衡位置附近 的小振动,如分子的振动,晶格的振动,原子和表面振动以及辐 射场的振动等都可以分解成若干彼此独立的简谐振动 简谐振动.本节将应 简谐振动 用薛定谔方程来求出谐振子的能量本征值和本征函数. 假设一个一维谐振子,其势能按泰勒级数展开.
T /2
2π
π dx / dt
x=asinωt, 那么
dx = aω cos ωt = ωa 1 ( x / a ) 2 dt a 1 wcl ( x )dx = dx π 1 ( x / a )2
(31) (32)
振幅可以从能量得到 E = 1 mω 2 a 2 , a = 2 E / mω 2 2 相反, 对局域在x+dx中的粒子,量子力学中的几率为
∧ 1 (ξ + ) = a ξ 2
∧+
(48)
从这两个关系, 我们可以估算ψn的相邻函数ψn-1和ψn+1. 为了简便 起见,我们做如下替代
1 (ξ ) = a ξ 2
∧+
(49)
(48)式变为
aψ n = nψ n 1 ,
(6)
k2 k 2 E κ= = = 2 λ 2 m ω ω
为了解方程(6),我们设一个非对称试解
ψ ( y) = e
y/2
( y)
(7)
dψ 1 d y / 2 d 2ψ 1 d d 2 y / 2 = [ ( y ) + ]e and = [ ( y )- + 2 ]e (8) 2 dy 2 dy dy 4 dy dy
λ x, dx =
2
∫ ψ ( x)
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第三章 谐振子一 内容提要1 一维线性谐振子的能级与波函数2221)(x x V μω= 222212ˆˆx p Hμω+= ,3,2,1)21(=ω+=n n E n)()(2221x H eN x n x n n α-=ψ [其中 !2n N n n πα=μω=α ] 2 谐振子的升降算符 [1] 升降算符)ˆˆ(2ˆp i x aμω-μω=+ )ˆˆ(21p ix μω-α= )ˆˆ(2ˆp i x aμω+μω= )ˆˆ(21pix μω+α= 则 )ˆˆ(2ˆ++μω=a ax)ˆˆ(2ˆ+-μω-=a a i p [2] 升降算符的性质11ˆ++ψ+=ψn n n a1ˆ-ψ=ψn n n a1]ˆ,ˆ[=+a a二 例题讲解1 一维谐振子如果考虑非谐振微扰项4'ˆx Hλ=，求体系能级的一级修正。
解：>+<μωλ>=<λ>==<+n a an n x n n Hn E n 424')1()ˆˆ()2(ˆ 可以导出 )122(3)ˆˆ(24++>=+<+n n n a an 那么 =)1(n E )122()(4322++μωλn n2 已知单摆在重力作用下能在竖直平面内摆动。
求：[1] 小角度近似下，体系的能量本征值及归一化本征函数。
[2] 由于小角度近似而引起的体系基态能级的一级近似。
解：摆球平衡位置作为势能零点 摆球重力势能为)cos 1(θ-==mgl mgh V （1）[1] 由公式 -θ+θ-=θ42!41!211c o s（2）得在小角度近似下的二级修正势能为：2221))211(1(θ=θ--≈mgl mgl V （3）体系Hanmilton 为V L IV mr mv r V mv H z +=+⨯=+=ˆ21)(2121ˆ222 即：22221)(21ˆθ+θ=mgl d d i ml H（4） 当 θ≈θ=→θl l x sin 0设 lg =ω （4）可以变为22222212ˆx m dx d m H ω+= （5） （5）与一维谐振子类似，则（5）的解为：,3,2,1)21(=ω+=n n E n)()(2221x H eN x n x n n α-=ψ [其中 !2n N n n πα=μω=α ] （6） [2] )cos 1()(21ˆ22θ-+θ=mgl d d i ml H（7） 则微扰项20'21)cos 1(ˆˆˆθ-θ-=-=mgl mgl H H H （8） 以（2）式取前三项代入（8）得434'241!41ˆmgx l mgl H-=θ-= （9） 利用上题可以得到=)1(n E )122())(241(43223++ω-n n m mg l )122()(321223++ω=n n m mg l3 质量为m 的粒子处于一维谐振子势场)0(21)(21>=k kx x V 的基态[1] 如果弹性系数k 突然变为k 2，即势场变为)0()(22>=k kxx V ，随即测量粒子的能量，求发现粒子处于新势场)(2x V 的基态的概率；[2] 势场突然由)(1x V 变成)(2x V 后，不进行测量，经过一段时间τ后，势场又恢复成)(1x V ，问τ取什么值时粒子仍恢复到原来)(1x V 场的基态（概率100%）？解：[1] 粒子的波函数),(t x ψ随时间变化应满足dinger o Schreq ψ+∂ψ∂-=ψ∂∂V xm t i 2222 当V 突然改变（由)(1x V →)(2x V ），但变化量有限时ψ仍然是t 的连续函数，即V 突变时ψ不变。
设)(0x ψ和)(0x φ分别表示)(1x V 和)(2x V 的基态波函数，当势场突然由)(1x V →)(2x V 后，粒子的波函数仍为)(0x ψ，测得粒子处于)(0x φ的概率是：200>φψ<将)(1x V 和)(2x V 写成标准形式：221212121)(x m kx x V ω== 2222221)(x m kx x V ω== 显然 122ω=ω)(0x ψ和)(0x φ分别为：2/022)()(x e x α-πα=ψ 12ω=αm2/022)()(x ex α-πβ=φ 22ω=βm 其中 21222=ωω=αβ 因此 9852.0212)/(1/22)(4/52222)(21200222=+=αβ+αβ=β+ααβ=παβ=>φψ<⎰∞∞-β+α-dx e x [2] 取势场第一次发生突变)(1x V →)(2x V 的时刻0=t ，这时波函数为)()0,(0x x ψ=ψ以)(x n φ表示2V 势场的能量本征态，相应的能级为： 2)21(ω+= n E n 将)()0,(0x x ψ=ψ展开成)(x n φ的线性迭加：)()(0x C x nnn φ=ψ∑ （因为)(0x ψ为偶函数，那么n 只能是偶数）当τ<<t 0 S.eq 中2V 的解为：∑∑ω-ω--φ=φ=ψt in n n t i t iE n n e x C e e x C t x n 22)()(),(2//现令 )(),(0x A t x ψ=ψ 则必须有 4,2,012==τω-n e in即有： 12±=τω-i e 所以 3,2,12==τωl l或 3,2,12=ωπ=τl l当 τ=t 势场又)(1x V →)(2x V 后，粒子就永远处于)(0x ψ态，能量为121ω=E 4 耦合谐振子的Hamilton 为21222122221)(21)ˆˆˆ(21ˆx x x x m p p m H λ++ω++=其中 11ˆx i p ∂∂-=，22ˆx i p ∂∂-= ，2,1,2,1p p x x 分别属于不同自由度。
设2ω<λm 试求偶合谐振子的能级。
解： 如果没有偶合项21x x λ，就成为二维各向同性谐振子，Hamilton 为：)21ˆ21()21ˆˆ21(ˆˆˆ222221221210x m p m x m p m H H H ω++ω+=+= 用分离变量法即可化为两个独立的一维谐振子问题，那么得到上式的解为： ω++= )1(2121n n E n n ,2,1,0,)()(212121=ψψ=ψn n x x n n n n其中)(x n ψ为一维谐振子的能量本征函数。
对于耦合谐振子可以用坐标变换的方法将问题化为两个独立的一维谐振子问题。
方法如下：令 )(21211y y x += )(21212y y x -=即 )(21211x x y += )(21212x x y -= 不难证明有： 22212221y y x x +=+ )(21222121y y x x -=222212x x ∂∂+∂∂222212y y ∂∂+∂∂=因此Hamilton 可以表为：)(2)(21)(2ˆ2221222122222122y y y y m y y m H -λ++ω+∂∂+∂∂-=2222212122221222121)(2y m y m y y m ω+ω+∂∂+∂∂-= 其中mλ+ω=ω221mλ-ω=ω222 已经表示为两个独立的一维谐振子问题，能量本征值和本征函数分别是：2211)21()21(21ω++ω+= N N E N N),2,1,0()()(2,1212121 =ψψ=ψN N y y N N N N5 粒子处于势阱⎪⎩⎪⎨⎧>ω≤∞=)0(21)0()(22x x m x x V 中。
试求粒子的可能能量。
解：既然粒子不能穿入0<x 的区域，则0=x 的波函数等于0 ，另一方面，在0>x 的区域，本征函数和本征值与一般谐振子的形式应该相同。
但考虑到0)(0=ψ=x n x由谐振子的波函数公式)()(2221x H eN x n x n n α-=ψ可知0)(0==x n x H 再由Hemit 多项式的性质知2,1,012=+=k k n即波函数)(x n ψ为奇函数。
总之体系的能量可能值是)2,1,0()2112( =ω++=k k E k6 考虑一谐振子，令0ψ和1ψ分别为它的基态与第一激发态的波函数（均为实数且归一化 的），令10ψ+ψB A 是某一瞬时谐振子的波函数，A 和B 是实数。
[1] 证明x 的平均值一般不为零。
[2] A 和B 取什么值><x 为最大和最小？ 解：谐振子的本征态n ψ，n 为奇（偶）数时，分别为奇（偶）数。
⎰⎰⎰ψψ=ψψ+ψψ=ψ+ψψ+ψ>=<dxx AB dx x AB x B A dx B A x B A x 100*1*1*0*10*102)()(()(dx x B A 102])(1[⎰ψψ--= 一般不为零。
考虑到2/1,122===+B A B A 时，><x 最大；当A=-B=2/1时，><x 最小。
7 考虑位于电场x E E 0=内且在三维各向同性势2221)(r m r V ω=下运动的带电荷e +的粒子，求粒子的本征态和本征值。
解：体系的Hanmilton 为z y x H H H x eE r m m p H ++=-ω+=022222这里 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧ω+=ω+=-ω+=2222220222222222z m m p H y m m p H x eE x m m p H z z y y x xy H 和z H 完全和一维谐振子的Hanmilton 相同， 令)()()(),,(321z y x z y x ψψψ=ψ 其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧πλ=ψπλ=ψλ-λ-223322222/332/22)(!21)()(!21)(z n n y n n e z H n z e y H n y 式中ω=λm)(1x ψ的方程是： 11101222122122)(ψ=ψ-ψω+∂ψ∂-=ψE x eE x m x m x H x做变量替换 ω-λ=ξm eE x 0 则有方程：0))(2(213201212=ξ-ψω+ω+ξψ m eE E d d 其解为： 22112/11)(!21)(λ-πλ=ψyn n e x H n x在这种情况下，量子条件是： 12)(213201+=ω+ωn m eE E 于是能级本征值是 220112)()21()(1ω-ω+=m eE n E n 总之： 波函数是 )()()(),,(321z y x z y x ψψψ=ψ 能级是 2203212)()23(321ω-ω+++=m eE n n n E nn n 8 已知线性谐振子的初始时刻（t=0）处于)](sin 221)([cos )0,(202122x H x H Ae x x αβ+αβ=ψα-之中。