运筹学8_灵敏度分析

3 x3 0 1 1 0 0 1 15
σ
0 -3 0 0 -1 -2
方法一：最优基的逆为
B −1
=
⎜⎛ 1 ⎜0
−1 1
− 1⎟⎞ −1⎟
⎜⎝ 0 0 1 ⎟⎠
对于b1：只有β11非零且为正，因此
Δb1
≥
max{−
b1 }
β11
=
−5 1
=
−5
即：b1’= b1+Δb1≥40-5=35。
例2
cj
113000
什么是灵敏度分析
• 在以前讲的线性规划问题中，aij，bi，cj 均为已知常数， 但实际上这些数往往是一些估计和预测的数字，如随市 场条件变化， cj 的值就会变化； aij 也会随工艺条件的改 变而改变， bi 是各项资源的投入数量，随着企业资金水 平的变化也会变化。
• 问题：当这些参数中的一个或几个发生变化时，问题的 最优解会有什么变化？这些参数在多大范围内变化时， 问题的最优解不变？这就是灵敏度分析。
=
c5
c1,
σ
′
2
−
CB′
B
P −1 5
= =
c2
−
CB′
B
P −1 2
=1−
(0,
c1′,
⎜⎛ − 3)⎜1
⎛⎜ −1⎞⎟
⎜⎝1
0 − (0, c1′, 3)⎜1 ⎟ = −c1′ ≤ 0
2 ⎟⎞ ⎟ ⎠⎟
=
−c1′ − 2 ≤ 0
要使三个新检验
⎜⎝ 0 ⎟⎠
数都非正，因此，
σ
′
6
=
c6
− CB′ B−1P6
≤
20
⎪⎩x1, x2 , x3 ≥ 0
cj
113000
CB XB x1
x2
x3
x4
x5
x6
b
0 x4 0 -2 0 1 -1 -1 5
1 x1 1 1 0 0 1 -1 5
3 x3 0 1 1 0 0 -1 15
σ
0 -3 0 0 -1 -2
分别求 c1, c2, c3 的范围，使得最优解不变。
例1
M
⎞⎟ ⎛⎜b1 ⎟=⎜ M
⎞⎟ ⎛⎜ β1rΔbr
⎟+⎜ M
⎞⎟ ⎟≥0
⎜⎝ βmrΔbr ⎟⎠ ⎜⎝ b1r ⎟⎠ ⎜⎝ βmrΔbr ⎟⎠
最优基不变的条件
X
′
B
=
B−1(b + Δb)
=
B
−1b
+
⎜⎛ ⎜
β1r Δbr
M
⎟⎞ ⎟≥
0
⎜⎝ βmrΔbr ⎟⎠
• 即：在最优单纯形表中，查看最优基逆矩阵的第 r 列
cj
113000
CB XB x1
x2
x3
x4
x5
x6
b
0 x4 0 -2 0 1 -1 -1 5
1 x1 1 1 0 0 1 -1 5
3 x3 0 1 1 0 0 1 15
σ
0 -3 0 0 -1 -2
方法一：x2 是非基变量，因此Δc2≤- σ2 =3。要使得最优 解不变须使得c2’ -c2 =Δc2 ≤ 3，即c2的变化范围是 c2’ ≤ 4。
⎜⎛ − 3)⎜1
2 ⎟⎞ ⎟
=
c2′
−
4
≤
0
⇒
c2′
≤
4
⎜⎝1 ⎟⎠
例1
cj
113000
CB XB x1 x2 x3 x4 x5 x6 b
0 x4 0 -2 0 1 -1 -1 5
1 x1 1 1 0 0 1 -1 5
3 x3 0 1 1 0 0 1 15
σ
0 -3 0 0 -1 -2
对于
σ
′
5
0 -3 0 0 -1 -2
对于
σ
′
5
=
c5
c3,
− CB′
B
σ
′
2
P −1 5
= =
c2
−
CB′
B
P −1 2
⎜⎛ − = 1− (0,1, c3′)⎜1
⎛⎜ −1⎞⎟
⎜⎝1
0 − (0,1, c3′)⎜1 ⎟ = −1 ≤ 0
2
⎟⎞ ⎟ ⎟⎠
=
−c3′ ≤ 0
要使三个新检验
⎜⎝ 0 ⎟⎠
数都非正，因此，
B −1
⎛⎜ β11 L
=⎜ M O
β1m
M
⎞⎟ ⎟
⎜⎝ βm1 L βmm ⎟⎠
⎛⎜b1 ⎞⎟ b=⎜M ⎟
⎜⎝bm ⎟⎠
⎛⎜ ⎜
0 M
⎞⎟ ⎟
⎜ ⎜
0
⎟ ⎟
Δb = ⎜ Δbr ⎟
⎜ ⎜
0
⎟ ⎟
⎜M ⎟
⎜⎝ 0 ⎟⎠
b′ = b + Δb
X
′
B
=
B−1(b + Δb) =
B
−1b
+
⎛⎜ ⎜
β1r Δbr
CB XB x1 x2 x3 x4 x5 x6 b
0 x4 0 -2 0 1 -1 -1 5
1 x1 1 1 0 0 1 -1 5
3 x3 0 1 1 0 0 1 15
σ
0 -3 0 0 -1 -2
对于b2：β12<0,
β22>0，所以
−
5
=
max{−
b2 }
β 22
≤
Δb1
≤
min{−
b1 }
β12
• σj’= cj ’– CBB-1 Pj = cj ’– (CB+ΔCB) B-1 Pj
= cj ’– CB B-1 Pj – ΔCB B-1 Pj
= σj – Δ CB B-1 Pj ≤ 0
最优解不变的条件
• σj’= σj – ΔCB B-1 Pj ≤ 0 对每一个非基变量xj的检验数
都成立
113000
CB XB x1
x2
x3
x4
x5
x6
b
0 x4 0 -2 0 1 -1 -1 5
1 x1 1 1 0 0 1 -1 5
3 x3 0 1 1 0 0 1 15
σ
0 -3 0 0 -1 -2
方法二：直接从非基变量检验数入手。
对于
σ
′
2
c2 ：
= c2′ −
C
B
B
P −1 2
=
c2′
−
(0, 1,
基变量 xi 的系数 ci 的变化范围
• 检验数 σj =cj - CBB-1 Pj
• 如果 ci 是基变量xi 的系数， ci 变化影响每一个非基 变量xj对应的检验数σj
• 当 ci 变为 ci’ = ci +Δci 时，要使得线性规划最优解不
变需要且只需要每一个非基变量xj对应的检验数都有
σj’= cj ’- CBB-1 Pj ≤ 0
提纲
• 灵敏度分析的含义 • 价值系数 cj 的变化分析 • 资源数量 bi 的变化分析 • 增加一个变量 xj 的分析 • 增加新约束的分析 • 技术系数 aij 的变化分析
回忆单纯形表
XB
XN
b
XB
B
N
b
C
CB
CN
0
XB
XN
b
XB
I
B-1 N
B-1b
σ
0
CN-CBB-1 N
-CBB-1b
• 检验数向量 σ =(0 , CN - CBB-1 N) = C - CBB-1 A • 检验数 σj =cj - CBB-1 Pj
的交叉点的元素
最优解不变的条件
• σj’= σj – ΔCB B-1 Pj ≤ 0 对每一个非基变量xj的检验数
都成立
• 对每一个非基变量的检验数，保持σj – Δci aij’ ≤0
• 即：在最优单纯形表中，查看基变量xi 对应的行
（1）如果aij’ > 0，必须有Δci ≥ σj /aij’
（2）如果aij’ < 0，必须有Δci ≤ σj /aij’
• 思考： cj 在什么范围内变化时，最优解不变？
分情况讨论
• 检验数 σj =cj - CBB-1 Pj
• 如果 cj 是非基变量 xj 的系数, cj 变化只影响此非基
变量的检验数 σj
• 如果 ci 是基变量 xi 的系数， ci 变化影响每一个非基 变量对应的检验数σj
非基变量 xj 的系数 cj 的变化范围
灵敏度分析
李田 华东理工大学商学院
2014年春季学期
提纲
• 灵敏度分析的含义 • 价值系数 cj 的变化分析 • 资源数量 bi 的变化分析 • 增加一个变量 xj 的分析 • 增加新约束的分析 • 技术系数 aij 的变化分析
提纲
• 灵敏度分析的含义 • 价值系数 cj 的变化分析 • 资源数量 bi 的变化分析 • 增加一个变量 xj 的分析 • 增加新约束的分析 • 技术系数 aij 的变化分析
x1，x3是基变量。对于c1：最优表中基变量x1对应行的系数
a2j’只有一个负数a26’=-1 ,有两个正数a22’=a25’=1,因此，
−1
=
max{− 3, 1
− 1} 1
≤
Δc2
≤
min{− 2} −1
=
2
即0
≤
c1’ ≤
3。
例1
cj
113000
CB XB x1
x2
x3
x4
x5
x6
b
0 x4 0 -2 0 1 -1 -1 5
• 检验数 σj =cj - CBB-1 Pj • 如果 cj 是非基变量 xj 的系数, cj 变化只影响 σj • 当 cj 变为 cj’ = cj +Δcj 时，要使得线性规划最优解不变
需要且只需要对应的新检验数 σj’= cj ’- CBB-1 Pj ≤ 0 • σj’ = cj’- CBB-1 Pj = cj +Δcj - CBB-1 Pj = σj +Δcj ≤ 0 • 当Δcj ≤- σj，即 cj’ ≤ cj – σj 时，最优解不变
⎡a11 a12 ... a1 j
⎢
A
=
⎢a21 ⎢
⎢
a22 ... a2 j ......
⎢⎣am1 am2 ... amj
... a1n ⎤ ⎡a1′1 a1′2 ... a1′j
...
a2n
⎥ ⎥ ⎥
B→-1
⎢ ⎢
a2′1
⎢
⎥⎢
a2′2 ... a2′ j ......
... amn ⎥⎦ ⎢⎣am′ 1 am′ 2 ... am′ j
回忆单纯形表
XB
XN
b
XB
B
N
b
C
CB
CN
0
XB
XN
b
XB
I
B-1 N
B-1b
σ
0
CN-CBB-1 N
-CBB-1b
• 当 b 变化的时候，最优单纯形表怎样变化？ • 思考： b 在什么范围变化时，最优基不变？
资源 br 的变化范围
• 当 br 变为 br’ = br +Δbr 时，最优解变为 XB ’=B-1 b’
=
⎜⎛ −1⎟⎞ 0 − (0, c1′, 3)⎜ −1⎟
=
c1′
−3
≤
0
⎜⎝1 ⎟⎠
0 ≤ c1’ ≤ 3
例1
cj
113000
CB XB x1 x2 x3 x4 x5 x6 b
0 x4 0 -2 0 1 -1 -1 5
1 x1 1 1 0 0 1 -1 5
3 x3 0 1 1 0 0 1 15
σ
max z = x1 + x2 + 3x3
⎧x1 + x2 + 2x3 ≤ 40
s.t.⎪⎪⎨x1 ⎪x2
+ 2x2 + x3 + x3 ≤ 15
≤
20
⎪⎩x1, x2 , x3 ≥ 0
cj
113000
CB XB x1 x2 x3 x4 x5 x6 b
0 x4 0 -2 0 1 -1 -1 5
1 x1 1 1 0 0 1 -1 5
• 上述两式对所有非基变量xj 都必须成立
•
因此，max
j
σ
{
j
ai′j
| ai′j
>
0} ≤
Δci
≤
min
j
σ
{
j
ai′j
|
ai′j
<
0}
例1
已知线性规划及其最优 单纯形表如下:
max z = x1 + x2 + 3x3
⎧x1 + x2 + 2x3 ≤ 40
s.t.⎪⎪⎨x1 ⎪x2
+ 2x2 + x3 + x3 ≤ 15
... a1′n ⎤
...
a2′ n
⎥ ⎥ ⎥
=
B−1 A
⎥
... am′ n ⎥⎦
ΔCB B−1Pj
=
Pj
⎜⎛ a1 j ' ⎟⎞
(0,...,0,
Δci
,0,...,0)⎜⎜⎜Ma2
j
'
⎟ ⎟ ⎟
=
B −1 Pj
Δciaij '
最优单纯形表系数矩 阵中基变量xi所在的行 与非基变量xj所在的列
⎜⎝ amj '⎟⎠
（1）如果βir > 0，必须有Δbr ≥ -bi /βir
（2）如果βir < 0，必须有Δbr ≤ -bi /βir
• 上述两式每一个基变量（即对所有行 i ）都必须成立
•
因此，max
i
{−
bi
βir
|
βir
>
0} ≤
Δbr
பைடு நூலகம்
≤
min
i
{−
bi
βir
|
βir
<
0}
例2：求例1中使最优基不变的 b 的范围
=
5
即：15=20-5 ≤ b2’= b2+Δb2 ≤20+5=25。
对于b3：β13，β23 <0, β33>0，所以
− 15
=
max{−
b3 }
β33
≤
Δb1
≤
min{−
b1
β13
,−
b2 }
β 23
=
5
即：0=15-15 ≤ b2’= b2+Δb2 ≤15+5=20
例2
cj
113000
CB XB x1 x2 x3 x4 x5 x6 b
σ
′
6
=
c6
− CB′ B−1P6
=
⎜⎛ −1⎟⎞ 0 − (0,1, c3′)⎜ −1⎟
= 1− c3′
≤
0
⎜⎝1 ⎟⎠
c3’ ≥1
提纲
• 灵敏度分析的含义 • 价值系数 cj 的变化分析 • 资源数量 bi 的变化分析 • 增加一个变量 xj 的分析 • 增加新约束的分析 • 技术系数 aij 的变化分析
0 x4 0 -2 0 1 -1 -1 5
1 x1 1 1 0 0 1 -1 5
3 x3 0 1 1 0 0 1 15
σ
0 -3 0 0 -1 -2
方法二：直接计算B-1 b’
。最优基的逆为
B −1
=
⎜⎛ 1 ⎜0
−1 1
− 1⎟⎞ −1⎟
对于b1：B
−1b′
=
⎛⎜ ⎜
1 0
−1 1
−1⎞⎟⎛⎜b1′ ⎞⎟ ⎛⎜b1′ − 35⎞⎟ −1⎟⎜ 20⎟ = ⎜5 ⎟ ≥ 0
1 x1 1 1 0 0 1 -1 5
3 x3 0 1 1 0 0 1 15
σ
0 -3 0 0 -1 -2
对于c3：最优表中基变量x3对应行的系数a3j’没有负数。
而 a35’=0，即非基变量x5的检验数不受c3变化的影响。
因此，Δc3
≥
max{− 3, 1
− 2} 1
=
−2，即c3’
≥1。
例1
cj