数值分析思考题[综合]

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数值分析思考题1

数值分析思考题11、讨论绝对误差（限）、相对误差（限）与有效数字之间的关系。

答：（1）绝对误差（限）与有效数字：若*120....10m n x ααα=⨯（a 1≠0，m 为整数）绝对误差：*1*102m n e x x -=-≤⨯，那么*x 就有 n 个有效数字。

因此，从有效数字可以算出近似数的绝对误差限；有效数字位数越多，其绝对误差限也越小。

（2）相对误差限与有效数字：*120....10m n x ααα=⨯（a1≠0，m 为整数）相对误差限:*1111110*1210*102m n n r m x x e x αα--+-⨯-=≤=⨯⨯，*1*102m n e x x -=-≤⨯，11*10m x α-≥⨯可见*x 至少有n 位有效数字。

2、相对误差在什么情况下可以用下式代替？答：实际情况下真实值 x 是无法得到的，当测量值与真实值之间的误差可以忽略不计时，可用下式代替。

3、查阅何谓问题的“病态性”，并区分与“数值稳定性”的不同点。

r e x x e x x *****-==答：病态性：数学问题本身性质所决定的，与算法无关，却能引起问题真解很大变化。

同:都是输入数据的微小误差导致输出数据误差的增大。

异：数值稳定性是相对于算法而言的，算法的不同直接影响结果的不同；而病态性是数学模型本身的问题，与算法无关。

4、取，计算，下列方法中哪种最好？为什么？（1）(33-，（2）(27-，（3）()313+，（4）()611，（5）99-答：)631 5.05110-≈⨯ （1）(()333332 1.41 5.83210--≈-⨯≈⨯（2）223(7(75 1.41) 2.510--≈-⨯=⨯（3331 5.07310(32 1.41)-≈≈⨯+⨯（4361 5.10410(1.411)-≈≈⨯+（5）9999700.3-≈-=方法3最好，误差最小141.≈)61。

数值分析第二章复习与思考题

第二章复习与思考题1.什么是拉格朗日插值基函数？它们是如何构造的？有何重要性质？答：若n 次多项式()),,1,0(n j x l j =在1+n 个节点n x x x <<< 10上满足条件(),,,1,0,,,0,,1n k j j k j k x l k j =⎩⎨⎧≠==则称这1+n 个n 次多项式()()()x l x l x l n ,,,10 为节点n x x x ,,,10 上的n 次拉格朗日插值基函数.以()x l k 为例，由()x l k 所满足的条件以及()x l k 为n 次多项式，可设()()()()()n k k k x x x x x x x x A x l ----=+- 110，其中A 为常数，利用()1=k k x l 得()()()()n k k k k k k x x x x x x x x A ----=+- 1101，故()()()()n k k k k k k x x x x x x x x A ----=+- 1101，即()()()()()()()()∏≠=+-+---=--------=n kj j jk j n k k k k k k n k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l 0110110)( .对于()),,1,0(n i x l i =，有()n k xx l x ni ki k i ,,1,00==∑=，特别当0=k 时，有()∑==ni i x l 01.2.什么是牛顿基函数？它与单项式基{}nxx ,,,1 有何不同？答：称()()()(){}10100,,,,1------n x x x x x x x x x x 为节点n x x x ,,,10 上的牛顿基函数，利用牛顿基函数，节点n x x x ,,,10 上的n 次牛顿插值多项式()x P n 可以表示为()()()()10010---++-+=n n n x x x x a x x a a x P其中[]n k x x x f a k k ,,1,0,,,,10 ==.与拉格朗日插值多项式不同，牛顿插值基函数在增加节点时可以通过递推逐步得到高次的插值多项式，例如()()()()k k k k x x x x a x P x P --+=++ 011,其中1+k a 是节点110,,,+k x x x 上的1+k 阶差商，这一点要比使用单项式基{}nx x ,,,1 方便得多.3.什么是函数的n 阶均差？它有何重要性质？答：称[]()()000,x x x f x f x x f k k k --=为函数()x f 关于点k x x ,0的一阶均差，[][][]110010,,,,x x x x f x x f x x x f k k k --=为()x f 的二阶均差. 一般地，称[][][]11102010,,,,,,,,-----=n n n n n n x x x x x f x x x f x x x f 为()x f 的n 阶均差.均差具有如下基本性质：(1) n 阶均差可以表示为函数值()()()n x f x f x f ,,,10 的线性组合，即[]()()()()()∑=+-----=nj n j j j j j jj n x x x x x x x xx f x x x f 011010,, ,该性质说明均差与节点的排列次序无关，即均差具有对称性.(2) [][][]01102110,,,,,,,,x x x x x f x x x f x x x f n n n n --=- .(3) 若()x f 在[]b a ,上存在n 阶导数，且节点[]b a x x x n ,,,,10∈ ，则n 阶均差与n 阶导数的关系为[]()()!,,10n f x x x f n n ξ= ，[]b a ,∈ξ. 4.写出1+n 个点的拉格朗日插值多项式与牛顿均差插值多项式，它们有何异同？答：给定区间[]b a ,上1+n 个点b x x x a n ≤<<<≤ 10上的函数值()),,1,0(n i x f y i i ==，则这1+n 个节点上的拉格朗日插值多项式为()()∑==nk k k n x l y x L 0,其中()n k x x x x x l n kj j jk jk ,,1,0,0 =⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=∏≠=. 这1+n 个节点上的牛顿插值多项式为()()()()10010---++-+=n n n x x x x a x x a a x P ,其中[]n k x x x f a k k ,,1,0,,,,10 ==为()x f 在点k x x x ,,,10 上的k 阶均差.由插值多项式的唯一性，()x L n 与()x P n 是相同的多项式，其差别只是使用的基底不同，牛顿插值多项式具有承袭性，当增加节点时只需增加一项，前面的工作依然有效，因而牛顿插值比较方便，而拉格朗日插值没有这个优点.5.插值多项式的确定相当于求解线性方程组y Ax =，其中系数矩阵A 与使用的基函数有关.y 包含的是要满足的函数值()Tn y y y ,,,10 .用下列基底作多项式插值时，试描述矩阵A 中非零元素的分布.(1) 单项式基底；(2) 拉格朗日基底；(3) 牛顿基底.答：(1) 若使用单项式基底，则设()nn n x a x a a x P +++= 10，其中n a a a ,,,10 为待定系数，利用插值条件，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn n n n nn nn y x a x a a y x a x a a y x a x a a 101111000010，因此，求解y Ax =的系数矩阵A 为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n nx x x x x x A 1111100为范德蒙德矩阵.(2) 若使用拉格朗日基底，则设()()()()x l a x l a x l a x L n n n +++= 1100，其中()x l k 为拉格朗日插值基函数，利用插值条件，有()()()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn n n n n n n n n y x l a x l a x l a y x l a x l a x l a y x l a x l a x l a 11001111110000011000，由拉格朗日插值基函数性质，求解y Ax =的系数矩阵A 为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100010001 A 为单位矩阵.(3) 若使用牛顿基底，则设()()()()10010---++-+=n n n x x x x a x x a a x P ，由插值条件，有()()()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--++-+=--++-+=--++-+---nn n n n n n n n n y x x x x a x x a a y x x x x a x x a a y x x x x a x x a a 10010111010110010000010 即()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--++-+=-+=-nn n n n n y x x x x a x x a a y x x a a y a 100101011000 故求解y Ax =的系数矩阵A 为()()()()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------=-110100120202011111n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx A为下三角矩阵.6.用上题给出的三种不同基底构造插值多项式的方法确定基函数系数，试按工作量由低到高给出排序.答：若用上述三种构造插值多项式的方法确定基函数系数，则工作量由低到高分别为拉格朗日基底，牛顿基底，单项式基底.7.给出插值多项式的余项表达式，如何用它估计截断误差？答：设()()x fn 在[]b a ,上连续，()()x fn 1+在()b a ,内存在，节点b x x x a n ≤<<<≤ 10，()x L n 是满足条件()n j y x L j j n ,,1,0, ==的插值多项式，则对任何[]b a x ,∈，插值余项()()()()())(!111x n f x L x f x R n n n n +++=-=ωξ，这里()b a ,∈ξ且与x 有关，()()()()n n x x x x x x x ---=+ 101ω.若有()()11max ++≤≤=n n bx a M x f，则()x L n 逼近()x f 的截断误差()()()x n M x R n n n 11!1+++≤ω.8.埃尔米特插值与一般函数插值区别是什么？什么是泰勒多项式？它是什么条件下的插值多项式？答：一般函数插值要求插值多项式与被插函数在插值节点上函数值相等，而埃尔米特插值除此之外还要求在节点上的一阶导数值甚至高阶导数值也相等.称()()()()()()()n n n x x n x f x x x f x f x P 00000!-++-'+= 为()x f 在点0x 的泰勒插值多项式，泰勒插值是一个埃尔米特插值，插值条件为()()()()n k x f x P k k n ,,1,0,00 ==，泰勒插值实际上是牛顿插值的极限形式，是只在一点0x 处给出1+n 个插值条件得到的n 次埃尔米特插值多项式.9.为什么高次多项式插值不能令人满意？分段低次插值与单个高次多项式插值相比有何优点？答：对于任意的插值结点，当∞→n 时，()x L n 不一定收敛于()x f ，如对龙格函数做高次插值时就会出现振荡现象，因而插值多项式的次数升高后，插值效果并不一定能令人满意.分段低次插值是将插值区间分成若干个小区间，在每个小区间上进行低次插值，这样在整个插值区间，插值多项式为分段低次多项式，可以避免单个高次插值的振荡现象.10.三次样条插值与三次分段埃尔米特插值有何区别？哪一个更优越？请说明理由.答：三次样条插值要求插值函数()[]b a C x S ,2∈，且在每个小区间[]1,+j j x x 上是三次多项式，插值条件为()n j y x S j j ,,1,0, ==.三次分段埃尔米特插值多项式()x I h 是插值区间[]b a ,上的分段三次多项式，且满足()[]b a C x I h ,1∈，插值条件为()()k k h x f x I =，()()),,1,0(,n k x f x I k k h='='. 分段三次埃尔米特插值多项式不仅要使用被插函数在节点处的函数值，而且还需要节点处的导数值，且插值多项式在插值区间是一次连续可微的.三次样条函数只需给出节点处的函数值，但插值多项式的光滑性较高，在插值区间上二次连续可微，所以相比之下，三次样条插值更优越一些.11.确定1+n 个节点的三次样条插值函数需要多少个参数？为确定这些参数，需加上什么条件？答：由于三次样条函数()x S 在每个小区间上是三次多项式，所以在每个小区间[]1,+j j x x 上要确定4个待定参数，1+n 个节点共有n 个小区间，故应确定n 4个参数，而根据插值条件，只有24-n 个条件，因此还需要加上2个条件，通常可在区间[]b a ,的端点0x a =，n x b =上各加一个边界条件，常用的边界条件有3种： (1) 已知两端的一阶导数值，即()00f x S '='，()n n f x S '='.(2) 已知两端的二阶导数值，即()00f x S ''=''，()n n f x S ''='',特殊情况为自然边界条件()00=''x S ，()0=''n x S .(3) 当()x f 是以0x x n -为周期的周期函数时，要求()x S 也是周期函数，这时边界条件就满足()()00-=+n x S x S ，()()000-'=+'n x S x S ，()()000-''=+''n x S x S这时()x S 称为周期样条函数.12.判断下列命题是否正确？(1) 对给定的数据作插值，插值函数个数可以任意多.(2) 如果给定点集的多项式插值是唯一的，则其多项式表达式也是唯一的.(3) ()),,1,0(n i x l i =是关于节点),,1,0(n i x i =的拉格朗日插值基函数，则对任何次数不大于n 的多项式()x P 都有()()()x P x P x l ini i=∑=0(4) 当()x f 为连续函数，节点),,1,0(n i x i =为等距节点，构造拉格朗日插值多项式()x L n ，则n 越大()x L n 越接近()x f .(5) 同上题，若构造三次样条插值函数()x S n ，则n 越大得到的三次样条函数()x S n 越接近()x f .(6) 高次拉格朗日插值是很常用的.(7) 函数()x f 的牛顿插值多项式()x P n , 如果()x f 的各阶导数均存在，则当),,1,0(0n i x x i =→时，()x P n 就是()x f 在0x 点的泰勒多项式.答：(1) 对.(2) 错.1+n 个节点上的拉格朗日插值和牛顿插值就是表示形式不同的两种插值多项式. (3) 对.(4) 错.当∞→n 时，()x L n 并一定收敛到()x f .(5) 对.(6) 错.高次拉格朗日插值不一定具有收敛性，因而并不常用. (7) 对.。

数值分析思考题2

数值分析思考题21、已知函数()f x 的下列观测值：利用Lagrange 和Newton 插值方法计算02(.)f 的近似值。

若另外测得一个新点：02080(.).f ，试估计用上述方法计算02(.)f 的近似值的误差。

答：lagragange 插值方法：（1） n=1时，取x 0=0.15，x 1=0.25，L 1(x)=l 0(x)f(x 0)+l 1f(x 1)= x−0.250.15−0.25×0.860708+x−0.150.25−0.15×0.778801;将x=0.2代入得f （0.2）=0.8197545 （2） n=2时，取x 0=0.15，x 1=0.25，x 2=0.30，L2（x ）=l0(x)f(x0)+l1f(x1)+l2f(x2)=（x −x1)(x −x2)(x 0−x 1)(x 0−x 2)f(x0)+（x −x0)(x −x2)(x 1−x 0)(x 1−x 2)f(x1)+（x −x0)(x −x1)(x 2−x 0)(x 2−x 1)f(x2);代入x=0.2.得f （0.2）=0.8187643334Newton 插值方法：clear,clcX=[0.10,0.15,0.25,0.30];Y=[0.904837,0.860708,0.778801,0.740818]; n=length(X); A(1:n,1)=Y(1:n); format rat已知for j=2:nfori=j:nA(i,j)=(A(i,j-1)-A(i-1,j-1))/(X(i)-X(i-j+1)); end end A=A syms x f f=0; fori=1:n u=1.0; for k=1:i-1u=u*(x-X(k)); endf=f+u*A(i,i); end y=expand(f) ezplot(y,[0.10,0.30]) hold on plot(X,Y,'ro') 得f(0.2)=0.8188.2、函数251()f x x =+及定义区间]5,5[-，将定义区间分成 10等分。

数值分析思考题

数值分析思考题1、一个算法局部误差和整体误差的区别是什么？如何定义常微分方程数值方法的阶？称 ()n n n e y x y =-为某方法在点n x 的整体截断误差，设n y 是准确的，用某种方法计算n y 时产生的截断误差，称为该方法的局部截断误差。

可以知道，整体误差来自于前面误差积累，而局部误差只来自于n y 的误差。

如果给定方法的局部截断误差为11()p n T O h ++=，其中p 为自然数，则称该方法是p 阶的或具有p 阶精度。

2、显式方法和隐式方法的优缺点分别是什么？多步法中为什么还要使用单步法？显式方法优点:方法简单快速。

缺点：精度低。

隐式方法优点：稳定性好。

缺点：精度低，计算量大。

多步法需要多个初值来启动迭代，而初值的计算需要用到单步法。

3、刚性问题的求解困难主要体现在哪儿？计算刚性问题的最简单的稳定方法是什么？了保证数值稳定性，步长h 需要足够小，但是为了反映解的完整性，x 区间又需要足够长，计算速度变慢。

最简单的稳定方法就是扩大绝对稳定域。

4、分别用欧拉向前法、欧拉向后法、改进的欧拉法、经典的四阶Runge-Kutta 法、四阶Adams 方法计算下列微分方程初值问题的解。

（1）3,12(1)0.4dy y x x dxx y ⎧=-≤≤⎪⎨⎪=⎩；（2）'109,'1011,y y z z y z =-+⎧⎨=-⎩ 满足(1)1,(1)1,y z =⎧⎨=⎩，12x ≤≤。

解：（1）取步长为0.1，向前Euler 公式：3101=0.11.(,)()n n n n n n ny y hf x y x y x +=++-向后Euler 公式：41111110101.(,).n n n n n n n n x y x y y hf x y x +++++++=+=+改进的Euler 公式：()11333113211(,),(,)20.10.12n n n n n n n n n n nn n n n n n hy y f x y f x y h f x y y x y y x x x x x ++++++=+++⎡⎤⎣⎦⎡⎤+=+-+-⎢⎥+⎣⎦经典的四阶Runge-Kutta 法：11234226()n n hy y k k k k +=++++1(,)n n k f x y =2122(,)n n h hk f x y k =++ 3222(,)n n h hk f x y k =++43(,)n n k f x h y hk =++四阶显示Adams 方法：01112233555937924()[(,)(,)(,)(,)]n n n n n n n n n n hy y f x y f x y f x y f x y +------=+-+- 01111122919524()[(,)(,)(,)(,)]n n n n n n n n n n h y y f x y f x y f x y f x y +++----=++-+（2）二元微分方程组，经典的四阶Runge-Kutta 法公式为：11234226()n n hy y k k k k +=++++ 11234226()n n hz z L L L L +=++++1(,,)n n n k f x y z =211222(,,)n n n h h h k f x y k z L =+++ 322222(,,)n n n h h hk f x y k z L =+++433(,,)n n n k f x h y hk z hL =+++1(,,)n n n L g x y z =211222(,,)n n n h h h L g x y k z L =+++ 322222(,,)n n n h h hL g x y k z L =+++433(,,)n n n L g x h y hk z hL =+++改进的欧拉即为特殊的二阶龙格-库塔，公式在此不累述，注意系数。

数值分析思考题2

数值分析思考题二1、怎样确定一个隔根区间？如何求解一个方程的全部实根？如：已知方程：1020()x f x e x =+-=在(),-∞+∞有实数根，用二分法求它的全部实根，要求误差满足210*k x x --<？若要求6*10k x x --<，需二分区间多少次？答：（1）已知1020()x f x e x =+-=,作210x e x =-的图像，可得在区间[0,1]之间有交点，即有且仅有一个根。

由于()102x f x e x =+-，所以()f x 在区间[0,1]上连续，且()00100210f e =+⨯-=-，()11101280f e e =+⨯-=+，即()()010f f •，又()'100x f x e =+,根据零点定理得知，在()f x 在区间[0,1]有唯一实根。

由二分法的估计式()*211102k k x x b a ε-+-≤-=，得到()ln 102ln10 4.60511 5.645ln 20.693k-+-≈-≈，因此取6k =。

1211102 4.6022f e ⎛⎫=+⨯-≈ ⎪⎝⎭，又()1002f f ⎛⎫• ⎪⎝⎭，()f x 在区间[0,12]有唯一实根。

1411102 1.8044f e ⎛⎫=+⨯-≈ ⎪⎝⎭，同理，()f x 在区间[0,14]有唯一实根。

18111020.38088f e ⎛⎫=+⨯-≈ ⎪⎝⎭，同理，()f x 在区间[0,18]有唯一实根。

116111020.3101616f e ⎛⎫=+⨯-≈- ⎪⎝⎭，又110816f f ⎛⎫⎛⎫• ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x 在区间[18,116]有唯一实根。

332331020.03603232f e ⎛⎫=+⨯-≈ ⎪⎝⎭，同理，()f x 在区间[116,332]有唯一实根。

56455102.0146464f e ⎛⎫=+⨯-=- ⎪⎝⎭，故 50.07864=即为所求。

电子科技大学数值分析-第四章思考题

电⼦科技⼤学数值分析-第四章思考题《数值分析》第四章思考题1.解线性⽅程组的迭代法与直接法相⽐哪些不同？解：解⽅程的迭代法分为多种迭代法，迭代法适⽤于求解⼤规模稀疏矩阵的线性⽅程组。

直接法适⽤于求解阶数⽐较低的线性⽅程组。

2.雅可⽐迭代法中的迭代矩阵如何构造？解：雅可⽐迭代法的矩阵表⽰，可以⽤矩阵分裂导出。

传统的矩阵分裂法是将⽅程组Ax = b 的系数矩阵 A 分为三部分之和，设A=D?L?U3.迭代法中的迭代矩阵与⽅程组数值解误差有何关系？解：迭代格式收敛的充分必要条件是B k=0limk→∞经过证明过程得：这也就是说明迭代法产⽣的序列收敛，且序列的极限是⽅程组(I?B)?1x=f的解。

4.迭代矩阵的幂级数有何数学意义？解：5.矩阵的谱半径与矩阵的范数相⽐哪⼀个⼤？解：设n阶矩阵B的特征值为λ1，λ2，λ3，?λn，则称|λk|ρ(B)=max1≤k≤n为矩阵B的谱半径。

谱半径与矩阵的算⼦范数之间如下关系：ρ(B)≤‖B‖6.迭代法收敛定理对⽅程组数值解的误差是如何估计的？解：如果迭代法收敛。

当迭代次数⾜够⼤时，可⽤最后相邻两次迭代解的差替代最后⼀次迭代解的误差。

7.如果系数矩阵是主对⾓占优矩阵，是否可⽤雅可⽐迭代法或赛德迭代法求解⽅程组？解：如果系数矩阵是严格主对⾓占优矩阵，可以⽤赛德尔迭代法求解。

8.如果系数矩阵是实对称正定矩阵，是否可⽤雅可⽐迭代法或赛德迭代法求解⽅程组？解：如果系数矩阵是对称正定矩阵，可以⽤赛德尔迭代法求解。

9.何谓共轭向量组？共轭向量组与正交向量组有何区别？向量共轭是向量正交关系的推⼴。

10.何谓线性⽅程组的初等变分原理？初等变分原理有哪些应⽤？解：对于⼀个系数矩阵为对称正定矩阵的线性⽅程组，求解过程可以与⼀个多元⼆次函数的极⼩值点相联系。

设线性⽅程组Ax = b 的系数矩阵 A 是实对称正定矩阵，构造⼆次函数f(x)=1(Ax,x)?(b,x),x∈R n由于A对称正定，故⽅程组Ax =b有唯⼀解x?，且⼆次函数f(x) 也有唯⼀的极⼩值点。

数值分析思考题

数值分析思考题61、数值计算中迭代法与直接法的区别是什么(D直接法是指在没有舍入误差的情况下经过有限次运算求得方程组的精确解的方法。

直接法又称为精确法。

(2)迭代法是采取逐次逼近的方法，即从一个初始向量出发，按照一定的计算格式，构造一个向量的无穷序列，其极限才是方程组的精确解，只经过有限次运算得不得精确解。

迭代法是一种逐次逼近的方法，与直接法比较，具有程序简单，存储量小的优点。

2、详述你所知道的线性方程组的迭代法的收敛性定理。

迭代公式X(_I)二Bx(k)+ g(k二0,1,2, ?)收敛的充分必要条件是M k->0.假设矩阵M的谱半径p(B),可知MkTO的充分必要条件是p (B) < 1 o 迭代公式x(k I)二Bx(k)+ g(k 二0,1,2, ?) 和x(k + 1)二Bix(k + 1) + B2x(k) + g(k 二0,1,2,?),收敛。

严格对角占优线性方程组Ax二b(其中A e R m x n,b e L)的Jacobi 迭代公式x(k + 1) = Bx(k)+ g(k = 0,1,2,?),收敛。

Gauss-Seidel 迭代公式x(k + 1)二Bix(k + 1) + B2x(k) + g(k = 0,1,2,?),收敛。

3、详述你所知道的非线性方程(组)的迭代法以及收敛性结果。

(1)不动点迭代法：不一定收敛，若存在常数L<1 ,使得I 4> (x) - 0 (y) I W L|x 一y|,?x, y G [a, b],则收敛于x*。

(2)斯蒂芬森迭代法：若不动点迭代公式的迭代函数e(x)在不动点X*的某邻域内具有二阶连续导数，e'(x*)二A工1且A工0,则二阶收敛，极限是X*。

(3)牛顿迭代法：收敛4、举例说明解线性方程组的S0R方法的最佳松弛因子与何种因素有解线性方程组的S0R方法的最佳松弛因子与迭代矩阵的谱半径有关，是单峰关系。

数值计算方法思考题

数值计算方法思考题数值计算方法思考题第一章预篇1．什么是数值分析？它与数学科学和计算机的关系如何？ 2．何谓算法？如何判断数值算法的优劣？3．列出科学计算中误差的三个来源，并说出截断误差与舍入误差的区别。

4．什么是绝对误差与相对误差？什么是近似数的有效数字？它与绝对误差和相对误差有何关系？5．什么是算法的稳定性？如何判断算法稳定？为什么不稳定算法不能使用？ 6．判断如下命题是否正确：一个问题的病态性如何，与求解它的算法有关系。

无论问题是否病态，好的算法都会得到好的近似解。

解对数据的微小变化高度敏感是病态的。

高精度运算可以改善问题的病态性。

用一个稳定的算法计算良态问题一定会得到好的近似值。

用一个收敛的迭代法计算良态问题一定会得到好的近似值。

两个相近数相减必然会使有效数字损失。

计算机上将1000个数量级不同的数相加，不管次序如何结果都是一样的。

7．考虑二次代数方程的求解问题ax2 + bx + c = 0.下面的公式是熟知的bb24acx.2a与之等价地有x?对于2c?b?b?4ac2.a = 1,b = -100 000 000 ,c = 1应当如何选择算法？8．指数函数有著名的级数展开x2x3e?1?x2!3!x 如果对x 9．考虑数列xi, i = 1,…, n, 它的统计平均值定义为x?1n?xi xi?1 它的标准差2?1n2(xi?x)? n?1i?1??1 数学上它等价于1n222xinx n1i11 作为标准差的两种算法，你如何评价它们的得与失？第二章非线性方程求根1．判断如下命题是否正确：(a) 非线性方程的解通常不是唯一的；(b) Newton法的收敛阶高于割线法；(c) 任何方法的收敛阶都不可能高于Newton法； (d)Newton法总是比割线法更节省计算时间；(e) 如果函数的导数难于计算，则应当考虑选择割线法；(f) Newton法是有可能不收敛；(g) 考虑简单迭代法xk+1 = g(xk)，其中x* = g(x*)。

数值分析思考题

数值分析复习思考题（2006-12-28）这几天的答疑时间中，解答了部分同学的问题，更多是作为教师的深入思考。

而共同探讨问题是非常重要的。

由于时间有限，这个文档中提出问题的深度可能不够，有些问题还没给出解答，希望研究生同学一起来思考，提出更多的问题。

我会在以后的时间中形成新的文档。

第一章思考题1．在科学计算中，一般认为误差的来源有几种？列举在数值分析课中主要讨论误差。

数值计算中一个基本的手段是近似，所以就有了各种误差。

误差来源有四种：模型误差，观测误差，截断误差，舍入误差。

一般分为两类，第一类是固有误差（包括模型误差和观测误差），第二类是计算误差（包括截断误差和舍入误差）。

计算方法课中主要讨论计算误差。

这是因为在用计算机解决数学问题时，常常用“有限代替无穷，用近似代替准确”。

例如，解决连续性问题时通常要将其转化为离散问题求解，这将引起截断（方法）误差；由于机器数的位数有限，计算机表示数据时一般带有舍入误差。

下面不全面列举出本课程内容涉及的误差线性方程组直接求解方法——舍入误差多项式插值方法——插值误差数据拟合方法——残差数值积分方法——求积误差微分方程数值解方法——局部截断误差………………………………………………2．有效数字的概念是如何抽象而来的，请简单给予叙述。

有效数字位数与计算近似值x的误差这两个概念是通过末位数半个单位相联系的。

由于计算机的机器数只能表示有限位浮点数，对于很多数据只能近似表示，近似采用“四舍五入”的原则进行。

有效数字概念正是根据日常生活中的“四舍五入”原则抽象而来的。

若近似值x的绝对误差限是某一位上半个单位，该位到x的第一位非零数字一共有n位，则称这一近似数具有n位有效数字。

而相对误差则与有效数位数基本一致。

3．什么样的算法被称为是不稳定的算法？试举一个例子说明在算法执行过程中，舍入误差对计算结果影响大的一类算法被称为数值不稳定的算法。

例如初始数有一点微小的误差，就会对一个算法的数据结果产生较大的影响，造成误差扩散，用计算公式I n = 1 – n I n-1构造出的递推算法是一个数值不稳定的算法；而另一个公式I n-1= ( 1 – I n )/n则可以构造出一个数值稳定的算法。

数值分析思考题答案

数值分析思考题答案数值分析课程思考题1．叙述拉格朗⽇插值法的设计思想。

Lagrange插值是把函数y=f(x)⽤代数多项式pn(x)代替，构造出⼀组n次差值基函数；将待求得n次多项式插值函数pn(x)改写成另⼀种表⽰⽅式，再利⽤插值条件确定其中的待定函数，从⽽求出插值多项式。

2．函数插值问题的提出以及插值法发展的脉络。

问题的提出：实际问题中常遇到这样的函数y=f(x),其在某个区间[a,b]上是存在的。

但是，通过观察或测量或试验只能得到在[a,b]区间上有限个离散点x0,x1,…,xn上的函数值y=f(xi),(i=0,…,n)或者f(x)函数表达式是已知的，但却很复杂⽽不便于计算希望⽤⼀个简单的函数描述它。

发展脉络：在⼯程中⽤的多的是多项式插值和分段多项式插值。

在多项式插值中，⾸先谈到的是Lagrange插值，其成功地⽤构造插值基函数的⽅法解决了求n次多项式插值函数的问题，但是其⾼次插值基函数计算复杂，且次数增加后，插值多项式需要重新计算，所以在此基础上提出Newton插值，它是另⼀种构造插值多项式的⽅法，与Lagrange插值相⽐，具有承袭性和易于变动节点的特点。

如果对插值函数，不仅要求他在节点处与函数同值，还要求它与函数有相同的⼀阶，⼆阶甚⾄更⾼阶的导数值，这就提出了Hermite插值，它是利⽤未知函数f(x)在插值节点上的函数值及导数值来构造插值多项式的。

为了提⾼精度，加密节点时把节点分成若⼲段，分段⽤低次多项式近似函数，由此提出了分段多项式插值。

最后，由于许多⼯程中对插值函数的光滑性有较⾼的要求，就产⽣了样条插值。

3．描述数值积分算法发展和完善的脉络。

数值积分主要采⽤插值多项式来代替函数构造插值型求积公式。

通常采⽤Lagrange插值。

如果取等距节点，则得到Newton-Cotes公式，其中，当n=1时，得到梯形公式；当n=2时，得到Simpson公式；当n=4时，得到Cotes公式。

数值分析思考题2

数值分析思考题2数值分析思考题⼆1、怎样确定⼀个隔根区间？如何求解⼀个⽅程的全部实根？如：已知⽅程：1020()x f x e x =+-=在(),-∞+∞有实数根，⽤⼆分法求它的全部实根，要求误差满⾜210*k x x --<？若要求6*10k x x --<，需⼆分区间多少次？答：（1）已知1020()x f x e x =+-=,作210x e x =-的图像，可得在区间[0,1]之间有交点，即有且仅有⼀个根。

由于()102x f x e x =+-，所以()f x 在区间[0,1]上连续，且()00100210f e =+?-=-p ，()11101280f e e =+?-=+f ，即()()010f f ?p ，⼜()'100x f x e =+f ,根据零点定理得知，在()f x 在区间[0,1]有唯⼀实根。

由⼆分法的估计式()*211102k k x x b a ε-+-≤-=p ，得到()ln 102ln10 4.60511 5.645ln 20.693k -+-≈-≈f，因此取6k =。

1211102 4.6022f e ??=+?-≈f ，⼜()1002f f ??p ，()f x 在区间[0, 12]有唯⼀实根。

1411102 1.8044f e ??=+?-≈f ，同理，()f x 在区间[0, 14]有唯⼀实根。

18111020.38088f e ??=+?-≈f ，同理，()f x 在区间[0, 18]有唯⼀实根。

16111020.3101616f e ??=+?-≈-p ，⼜110816f f ??p ，()f x 在区间[18,116]有唯⼀实根。

332331020.03603232f e ??=+?-≈f ，同理，()f x 在区间[116,332]有唯⼀实根。

56455102.0146464f e ??=+?-=-，故 50.07864=即为所求。

数值分析作业思考题

数值分析思考题11、讨论绝对误差（限）、相对误差（限）与有效数字之间的关系。

2、相对误差在什么情况下可以用下式代替？3、查阅何谓问题的“病态性”，并区分与“数值稳定性”的不同点。

4、取，计算，下列方法中哪种最好？为什么？（1）(33-，（2）(27-，（3）()313+，（4）()611，（5）99-数值实验数值实验综述：线性代数方程组的解法是一切科学计算的基础与核心问题。

求解方法大致可分为直接法和迭代法两大类。

直接法——指在没有舍入误差的情况下经过有限次运算可求得方程组的精确解的方法，因此也称为精确法。

当系数矩阵是方的、稠密的、无任何特殊结构的中小规模线性方程组时，Gauss消去法是目前最基本和常用的方法。

如若系数矩阵具有某种特殊形式，则为了尽可能地减少计算量与存储量，需采用其他专门的方法来求解。

Gauss消去等同于矩阵的三角分解，但它存在潜在的不稳定性，故需要选主元素。

对正定对称矩阵，采用平方根方法无需选主元。

方程组的性态与方程组的条件数有关，对于病态的方程组必须采用特殊的方法进行求解。

数值计算方法上机题目11、实验1. 病态问题实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”和“坏”之别。

所谓坏问题就是问题本身的解对数据变化的比较敏感，反之属于好问题。

希望读者通过本实验对此有一个初步的体会。

数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。

病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。

问题提出：考虑一个高次的代数多项式re x xex x*****-==141.≈)61∏=-=---=201)()20)...(2)(1()(k k x x x x x p （E1-1）显然该多项式的全部根为l ，2，…，20，共计20个，且每个根都是单重的（也称为简单的）。

现考虑该多项式方程的一个扰动0)(19=+xx p ε (E1-2)其中ε是一个非常小的数。

数值分析第五章思考题

数值分析第五章思考题黄河小浪底调水调沙问题一、问题的提出2004年6月至7月黄河进行了第三次调水调沙试验，特别是首次由小浪底、三门峡和万家寨三大水库联合调度，采用接力式防洪预泄防水，形成人造洪峰进行调沙试验获得成功。

整个试验期为20多天，小浪底从6月19日开始预泄放水，直到7月13日恢复正常供水结束。

小浪底水利工程按设计拦沙量为亿m3，在这之前，小浪底共积泥沙达亿t。

这次调水调沙试验一个重要目的就是由小浪底上游的三门峡和万家寨水库泄洪，在小浪底形成人造洪峰，冲刷小浪底库区沉积的泥沙，在小浪底水库开闸泄洪以后，从6月27日开始三门峡水库和万家寨水库陆续开闸放水，人造洪峰于29日先后到达小浪底，7月3日达到最大流量2700m3/s，使小浪底水库的排沙量也不断增加。

表-1是由小浪底观测站从6月29 日到7月10日检测到的试验数据。

表-1试验观测数据单位：水流为m3/s现在，根据试验数据建立数学模型研究下面的问题：(1)给出估算任意时刻的排沙量及总排沙量的方法。

(2)确定排沙量与水流量的变化关系。

二、具体求解过程：①首先做一些假设：所给数据客观准确的反应了现实情况；数据是连续的；不考虑外在因素；时间化为等分的时间点。

②符号说明：t:时间或时间点；V：水流量S:含沙量；V:排沙量③问题分析:假设水流量和含沙量都是连续的，某一时刻的排沙量V=v(t)S(t)，其中v(t)为t时刻的水流量，S(t)为t时刻的含沙量。

由于这些数据是每12小时采集一次，所以可以将时间设为时间点t，依次为1, 2, 3，……，24,单位时间为12h。

三、模型的建立与求解：先对(1)给出估算任意时刻的排沙量及总排沙量的方法”进行求解。

在MATLAB工作窗口输入程序为：>> S=[32 60 75 85 90 98 100 102 108 112 115 116 118 120 11805 80 60 50 30 26 20 8 5];W=[1800 1900 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2650 2700 2720 2650 2600 2500 2300 2200 2000 1850 1820 1800 1750 1500 1000 900]; T=1:24;sub plot(2,1,1); plot(T,S); hold on; plot(T,S,'.');xIabelC 时间t/12h');ylabel('含沙量/公斤每立方米'); titleC 时间与含沙量关系'); sub plot(2,1,2); plot(T,W); hold on; plot(T,W,'.');xIabelC 时间t/12h');ylabel('水流量/立方米每秒'); title('时间与水流量关系');运行后屏幕上显示为：通过观察图像，我们可以看出其变化并不光滑，而且也没有特定的表现出服从某种分布的趋势。

数值分析课程设计思考题

数值分析课程设计思考题一、教学目标本节课的教学目标是让学生掌握数值分析的基本概念和方法，培养学生运用数值分析解决实际问题的能力。

具体来说，知识目标包括：了解数值分析的基本概念、原理和方法；掌握常用的数值计算算法及其优缺点。

技能目标包括：能够运用数值分析方法解决实际问题；能够使用相关软件进行数值计算和数据分析。

情感态度价值观目标包括：培养学生对数值分析的兴趣和好奇心，提高学生学习的积极性；培养学生的团队合作意识和科学精神。

二、教学内容本节课的教学内容主要包括数值分析的基本概念、原理和方法。

具体来说，教学大纲如下：1.数值分析的基本概念：数值分析的定义、特点和意义。

2.数值计算算法：插值法、最小二乘法、数值积分和数值微分。

3.误差分析：误差的定义和来源、误差的估计和减少方法。

4.稳定性分析：稳定性的定义和判定方法。

5.实际应用案例：利用数值分析方法解决实际问题。

三、教学方法为了达到本节课的教学目标，我们将采用多种教学方法进行教学。

具体来说，包括以下几种：1.讲授法：通过讲解数值分析的基本概念、原理和方法，使学生掌握相关知识。

2.案例分析法：通过分析实际应用案例，使学生了解数值分析在解决实际问题中的应用。

3.讨论法：学生进行小组讨论，培养学生的团队合作意识和科学精神。

4.实验法：让学生利用相关软件进行数值计算和数据分析，提高学生的实践能力。

四、教学资源为了支持本节课的教学内容和教学方法的实施，我们将准备以下教学资源：1.教材：数值分析教材，用于引导学生学习基本概念和原理。

2.参考书：提供额外的学习资料，帮助学生深入理解数值分析方法。

3.多媒体资料：制作PPT、视频等多媒体资料，生动展示数值分析的原理和应用。

4.实验设备：计算机和相关软件，供学生进行数值计算和数据分析实践。

五、教学评估为了全面、客观地评估学生的学习成果，本节课的评估方式包括以下几个方面：1.平时表现：通过观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，评估学生的学习态度和理解程度。

数值分析第一章思考题

第一章思考题(2012级本科学生作品)1、什么样的算法被称为不稳定算法？试列举一个例子进行说明。

在算法执行过程中，舍入算法对计算结果影响大的一类算法被称为数值不稳定的一种算法。

例如，假设初始数据有一点微小误差，就会对一个算法的数据结构产生很大的影响，造成误差扩散。

用计算公式ln 1ln n n =-，构造出的递推算法是一个数值不稳定的算法；而另一公式ln 1(1ln)/n -=-则可以构造出一个数值稳定的算法。

2、我们都知道秦九韶算法能够减少运算次数，高中也学过他的具体过程，请举出一个例子并用秦九韶算法计算。

答；一般的，一元n 次多项式的求值需要经过(1)/2n n +次乘法和n 次加法，而秦九韶算法只需要n 次乘法和n 次加法。

具体的不太会了。

3、为什么要设立相对误差的概念？答：相对误差是近似值误差与精确值的比值，用来衡量近似值的近似程度。

x=10±1，y=1000±5。

虽然x 的误差比y 的误差小，但y 的近似程度比x 更好。

这单用误差无法表现出来，而相对误差可以解决这个问题。

4、误差在生活中有什么作用？答：误差的作用不仅仅体现在数学课题研究中，在生活中误差的作用也非常大，比如在建筑行业中，设计图纸时必须要达到一定的精确度才行。

5、有效数字以及计算规则答：有效数字是指实际上能测量到的数值，在该数值中只有最后一位是可疑数字，其余的均为可靠数字。

它的实际意义在于有效数字能反映出测量时的准确程度。

例如，用最小刻度为0.1cm 的直尺量出某物体的长度为11.23cm ，显然这个数值的前3位数是准确的，而最后一位数字就不是那么可靠，医|学教育网搜集整理因为它是测试者估计出来的，这个物体的长度可能是11.24cm ，亦可能是11.22cm ，测量的结果有±0.01cm 的误差。

我们把这个数值的前面3位可靠数字和最后一位可疑数字称为有效数字。

这个数值就是四位有效数字。

在确定有效数字位数时，特别需要指出的是数字“0”来表示实际测量结果时，它便是有效数字。

数值分析思考题8

数值分析思考题81、简述一般插值型求积公式的积分原理。

Newton-Cotes求积公式为什么没有Gauss型求积公式代数精度高？给定一组节点a≤x0<x1<x2<…<xn≤b,已知f(x)在节点上的值，作插值函数L n(x)，取I n=,作为积分I的近似值，构造求积公式I n=,系数A k=，l k(x)为插值基函数。

余项为R[f]=。

如果求积公式为插值型，对于不超过n的多项式f(x)，其余项R[f]等于0，这是求积公式至少具有n次代数精度。

高斯型求积公式的节点是经过适当选取的，具有2n+1次代数精度,因此精度也比Newton-Cotes求积公式的n次（n为偶数则为n+1）次代数精度高。

2、梯形法与两个节点的Gauss型方法哪个更精确？证明Simpson方法的代数精度为3。

两个节点的Gauss型方法更加精确。

Simpson公式：将f(x)=x3代入得到S=I,因此具有三次代数精度。

将f(x)=x4代入得到S=，通常情况下S不等于I，因此不具有四次代数精度。

3、确定下列数值积分公式中的参数，使它有尽可能高的代数精度。

（1）101()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰；A -1=A 1=, A 0=（2）1234()()()'()'()ba f x dx w f a w fb w f a w f b ≈+++⎰。

w 1=w 2= w 3=w 4=3、分别用复化梯形公式、复化Simpson 公式计算11xxe dx e+⎰的数值积分，误差不超过310- 精确值为0.620115. 复化梯形公式：T n =取h=(b-a)/2得，T n =0.618994 取h=(b-a)/4得，T n =0.619836取h=(b-a)/8得，T n =0.620045, 满足精度要求。

复化Simpson 公式：S n =取h=(b-a)/2得，T n =0.620116，满足精度要求。

数值分析思考题1

4、取，计算，下列方法中哪种最好？为什么？
（1），（2），（3），（4），（；
（2） =0.52=0.25；
（3） =0.0050726；
（4） =0.00510385；
（5） =99-98.70=0.3；
2、相对误差在什么情况下可以用下式代替？
答：在实际计算时，由于真值常常是未知的，当较小时，通常用代替。
3、查阅何谓问题的“病态性”，并区分与“数值稳定性”的不同点。
答：（1）病态问题：对于数学问题本身，如果输入数据有微小变化，就会引起输出数据（即问题真解）的很大变化，这就是病态问题。
（2）不同点：数值稳定性是相对于算法而言的，算法的不同直接影响结果的不同；而病态性是数学问题本身性质所决定的，与算法无关，也就是说对病态问题，用任何算法（或方法）直接计算都将产生不稳定性。
数值分析思考题1
1、讨论绝对误差（限）、相对误差（限）与有效数字之间的关系。
答：（1）绝对误差（限）与有效数字：将x的近似值x*表示成
x*=±10m×(a1×10﹣1+a2×10﹣2+…an×10﹣n+…+ak×10﹣k+…)，其中m是整数，a1≠0，a1，a2，…，ak是0到9中的一个数字。若绝对误差，那么x*至少有n个有效数字，即a1，a2，…，an为有效数字，而an+1，…，ak，…不一定是有效数字。因此，从有效数字可以算出近似数的绝对误差限；有效数字位数越多，其绝对误差限也越小。
（2）相对误差（限）与有效数字：将x的近似值x*表示成
x*=±10m×(a1×10﹣1+a2×10﹣2+…an×10﹣n+…+ak×10﹣k+…)，其中m是整数，a1≠0，a1，a2，…，ak是0到9中的一个数字。若ak是有效数字，那么相对误差不超过 ;反之，如果已知相对误差r，且有，那么ak必为有效数字。

数值分析第五章思考题

整个试验期为20多天，小浪底从6月19日开始预泄放水，直到7月13日恢复正常供水结束。

小浪底水利工程按设计拦沙量为亿m3，在这之前，小浪底共积泥沙达亿t。

表-1是由小浪底观测站从6月29 日到7月10日检测到的试验数据。

3表-1试验观测数据单位：水流为m /s现在，根据试验数据建立数学模型研究下面的问题：(1)给出估算任意时刻的排沙量及总排沙量的方法。

(2)确定排沙量与水流量的变化关系。

二、具体求解过程：①首先做一些假设：所给数据客观准确的反应了现实情况；数据是连续的；不考虑外在因素；时间化为等分的时间点。

②符号说明：t:时间或时间点；v:水流量S含沙量；V:排沙量③问题分析:假设水流量和含沙量都是连续的，某一时刻的排沙量V=v(t)S(t)，其中v(t)为t时刻的水流量，S(t)为t时刻的含沙量。

由于这些数据是每12小时采集一次，所以可以将时间设为时间点t，依次为1, 2, 3，……，24,单位时间为12h。

三、模型的建立与求解：先对(1)给出估算任意时刻的排沙量及总排沙量的方法”进行求解。

在MATLAB工作窗口输入程序为：>> S=[32 60 75 85 90 98 100 102 108 112 115 116 118 120 11805 80 60 50 30 26 20 8 5];W=[1800 1900 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2650 2700 2720 2650 2600 2500 2300 2200 2000 1850 1820 1800 1750 1500 1000 900];T=1:24; subplot(2,1,1); plot(T,S); hold on; plot(T,S,'.');xlabel('时间t/12h');ylabel('含沙量/公斤每立方米'); title('时间与含沙量关系'); subplot(2,1,2); plot(T,W); hold on; plot(T,W,'.');xlabel('时间t/12h');ylabel('水流量/立方米每秒'); title('时间与水流量关系');运行后屏幕上显示为：通过观察图像，我们可以看出其变化并不光滑，而且也没有特定的表现出服从某种分布的趋势。