孙会元固体物理基础第三章能带论课件序言
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孙会元固体物理基础第三章能带论课件3.1布洛赫定理及能带
ˆ ˆ H (r )TRn (r ) ˆ, H ˆ]0 [T
所以平移对称操作算符与哈密顿算符是对易的。
推导中用到了周期势的假定和微分算符中的变量 改变一常矢量不影响微分结果。即：
V (r ) V (r Rn ) 2 2 2 2 2 2 2 2 r 2 2 2 r R 2 2 2 n ( x n a ) ( y n a ) ( z n a ) x y z 1 1 2 2 3 3
n
（3）平移算符的本征值 设 TR 对应的本征值为 (Rn )，波函数 ( r ) 和 是 TR ˆ 共同的本征函数。则有 H
n
ˆ T ( Rn ) (r ) (r Rn ) ( Rn ) (r ) H (r ) E (r )
(3)
对易的算符有共 同的本征函数
ˆ T
ik Rn ( Rn ) e
(1)引入平移对称算符 TR n
f (r ) f (r R ) 平移对称算符的定义： TR n n
平移对称算符的性质： 2 f (r ) T f (r R ) f (r 2 R ) TR n n Rn n l f (r ) f (r lR ) TR n n T T T T TR Rm Rn Rn Rm n Rm
根据波函数的归一性：
2 2 2 ( r ) dr T ( R ) ( r ) dr ( R ) ( r ) dr 1 n n
但是： ( Rn ) (r ) (r ) 2 所以只能有： ( R ) 1 n 从而 ( Rn )可以写成如下形式 ：
所以平移对称操作算符与哈密顿算符是对易的。
推导中用到了周期势的假定和微分算符中的变量 改变一常矢量不影响微分结果。即：
V (r ) V (r Rn ) 2 2 2 2 2 2 2 2 r 2 2 2 r R 2 2 2 n ( x n a ) ( y n a ) ( z n a ) x y z 1 1 2 2 3 3
n
（3）平移算符的本征值 设 TR 对应的本征值为 (Rn )，波函数 ( r ) 和 是 TR ˆ 共同的本征函数。则有 H
n
ˆ T ( Rn ) (r ) (r Rn ) ( Rn ) (r ) H (r ) E (r )
(3)
对易的算符有共 同的本征函数
ˆ T
ik Rn ( Rn ) e
(1)引入平移对称算符 TR n
f (r ) f (r R ) 平移对称算符的定义： TR n n
平移对称算符的性质： 2 f (r ) T f (r R ) f (r 2 R ) TR n n Rn n l f (r ) f (r lR ) TR n n T T T T TR Rm Rn Rn Rm n Rm
根据波函数的归一性：
2 2 2 ( r ) dr T ( R ) ( r ) dr ( R ) ( r ) dr 1 n n
但是： ( Rn ) (r ) (r ) 2 所以只能有： ( R ) 1 n 从而 ( Rn )可以写成如下形式 ：
《固体能带理论》课件
分类
导带、价带、禁带等，导带与价带之 间的区域称为能隙，决定了固体是否 导电。
能带结构的形成
原子轨道重叠
固体中的原子通过轨道重叠形成分子轨道，进一步形 成能带。
周期性结构
固体中的原子按照一定的周期性排列，导致能带结构 的周期性。
电子相互作用
电子之间的相互作用会影响能带结构，包括电子间的 排斥力和交换力等。
量子场论和量子力学
与量子场论和量子力学的结合，将有助于更全面地描述和理解固体中的电子行为 和相互作用。
谢谢聆听
新材料的设计与发现
拓扑材料
随着拓扑学的发展，将会有更多具有独特电子结构和性质的拓扑材料被发现， 为新材料的设计和开发提供新的思路。
二维材料
二维材料具有独特的物理性质和结构，未来将会有更多新型二维材料被发现和 应用。
与其他理论的结合与发展
强关联理论
固体能带理论与强关联理论的结合，将有助于更深入地理解强关联体系中的电子 行为和物理性质。
电子在能带中的状态
01
02
03
占据电子
价带中的电子被原子轨道 上的电子占据，导带中的 电子较为自由。
热激发
在温度较高时，价带中的 电子可以被激发到导带中 ，形成电流。
光电效应
光照在固体表面时，能量 较高的光子可以使价带中 的电子激发到导带中，产 生光电流。
03 固体能带理论的的基本方程，描述 了电子密度随时间和空间的变化 。
02
交换相关泛函
03
自洽迭代方法
描述电子间的交换和相关作用的 能量，是密度泛函理论中的重要 部分。
通过迭代求解哈特里-福克方程 ，得到电子密度和总能量，直至 收敛。
格林函数方法
格林函数
导带、价带、禁带等，导带与价带之 间的区域称为能隙，决定了固体是否 导电。
能带结构的形成
原子轨道重叠
固体中的原子通过轨道重叠形成分子轨道，进一步形 成能带。
周期性结构
固体中的原子按照一定的周期性排列，导致能带结构 的周期性。
电子相互作用
电子之间的相互作用会影响能带结构，包括电子间的 排斥力和交换力等。
量子场论和量子力学
与量子场论和量子力学的结合，将有助于更全面地描述和理解固体中的电子行为 和相互作用。
谢谢聆听
新材料的设计与发现
拓扑材料
随着拓扑学的发展，将会有更多具有独特电子结构和性质的拓扑材料被发现， 为新材料的设计和开发提供新的思路。
二维材料
二维材料具有独特的物理性质和结构，未来将会有更多新型二维材料被发现和 应用。
与其他理论的结合与发展
强关联理论
固体能带理论与强关联理论的结合，将有助于更深入地理解强关联体系中的电子 行为和物理性质。
电子在能带中的状态
01
02
03
占据电子
价带中的电子被原子轨道 上的电子占据，导带中的 电子较为自由。
热激发
在温度较高时，价带中的 电子可以被激发到导带中 ，形成电流。
光电效应
光照在固体表面时，能量 较高的光子可以使价带中 的电子激发到导带中，产 生光电流。
03 固体能带理论的的基本方程，描述 了电子密度随时间和空间的变化 。
02
交换相关泛函
03
自洽迭代方法
描述电子间的交换和相关作用的 能量，是密度泛函理论中的重要 部分。
通过迭代求解哈特里-福克方程 ，得到电子密度和总能量，直至 收敛。
格林函数方法
格林函数
孙会元固体物理基础第三章能带论课件3.10 金属的费米面和能带论的局限性
因此，费米面完全在第一布里渊区内，在周期势的作用下， 费米面都是稍稍变形的球。
对于立方晶系的二价碱土金属(Ca(fcc)，Sr(fcc)， Ba(bcc))，每个原胞有两个 s 价电子。 由于费米球和第一布里渊区等体积,因而和区界面 相交,导致电子并没有全部在第一布里渊区,而是有一 部分填到了第二区,因此费米面在第一区形成空穴球面 ,第二区形成电子球面. 对于六角密堆积结构的二价金属Be、Mg,由于在第 一布里渊区六角面上几何结构因子为零,弱周期势场在 此不产生带隙,仅当考虑二级效应,如自旋轨道耦合时 才能解除简并。 这些金属的费米面可看作由自由电子球被布里渊区 边界切割,并将高布里渊区部分移到第一布里渊区得到 .因此,费米面的形状很复杂,会出现空穴型宝冠状、电 子型雪茄状等.
以第一布里渊区中心为原点,以费米波矢为半径画 自由电子的费米圆. (费米面的广延区图)
3) 将落在各个布里渊区的费米球片断平移适当 的倒格矢进入简约布里渊区中等价部位(费米面 的简约区图)。
第一区
=1
第一区
第二区
=2，3
第三区圆，即费米面 同布里渊区边界垂直相交，尖角处要钝化，就 可以得到近自由电子的费米面。
三价金属铝,具有面心立方结构,每个原胞含有 3个价电子,自由电子的费米球将延伸至第一布 里渊区以外.由于周期势的作用,使得第二、第三 布里渊区的费米面变得支离破碎.
一价贵金属包括Cu，Ag，Au等均为面心立方结构,它 们s 轨道附近还有d轨道,形成固体时, s 轨道交叠积分 大, 演变成宽的s带, d轨道因交叠积分小, 变成一窄的d 带. 11个电子将d带填满, s带填了一半. 费米面在s带中, 但d带离费米面很近, 导致球形费米面发生畸变, 因而 出现复杂的输运行为, 但是仍属于单带金属. 比如对于金属铜，假设晶格常数为a，其费米半径
孙会元固体物理基础第三章能带论课件3.6 能态密度
相应的状态数为：
V V V d (k ) dk ds k (k ) ds 3 3 3 (2 ) (2 ) (2 ) k n (k )
等能面Sn(ε)和Sn(ε+dε)之间计及自旋不同的电子 态数为
V V (k ) N N 2 ds k (k ) 2 ds 3 3 (2 ) (2 ) k n (k )
2 2 2 J 0 6 J1 a J1 k x k y k z at s 2
2 2 2 s (k ) sat J 0 6 J1 a 2 J1 k k k y z x
2. 简立方紧束缚近似s电子, 能量为
s (k ) sat J 0 2 J1 (cos k x a cos k y a cos k z a )
k n (k ) 2aJ1 sin 2 k x a sin 2 k y a sin 2 k z a
つづき
写成积分的形式则有
ds V dN n ( ) 2 3 (2 ) k n (k ) d (k )
则态密度为
dN n ( ) 2V N n ( ) d (k ) (2 )3
2 (2 )
3
k n (k )
ds
kz = 0时的等能面的截面示意图 sc结构s带紧束 缚近似下的能态 密度示意图
0 6 J1
3. 简立方近自由电子模型，除了布里渊区边界附近 外，其它地方和自由电子一样，等能面为球面，所以 能态密度也是类似于自由电子。
在布里渊区边界附近时,因为周期势的微扰使其能量下 降(与自由电子相比),所以要达到同样的能量(等能面), 需要更大的波矢,从而导致等能面向布里渊区边界凸起. 越靠近边界,凸起越强烈,因而导致等能面间的体积元愈 来愈快的增长,从而能态密度也比自由电子的显著增大. 当然这是第一布里渊区内 且对应的等能面的能量小 于布里渊区边界中心A点 (±π/a，0，0)的能量时的 状态。
固体物理第三章：能带论I
此式表明,晶体中总的 He 是N个单电子的哈密 顿之和,即N体问题简化为单体问题。 单电子近似在很多情况下是一个很好的近似， 其原因后面讲。 3.周期场近似(periodic potential approximation) 单电子势能:
e2 V (r ) = ve (r ) − ∑ Rn 4πε 0 r − Rn 1
3 假定晶体体积 V = L ,含有N个带正电荷Ze的离子 实,Z为单原子的价电子数目,因而,晶体中有NZ个价电子。 即：
N个离子实，每个离子实带正电荷Ze，其位矢用 Rn 表示； NZ个价电子，简称为电子，其位矢用 ri 表示。
NZ ∑ ∇i2 + ∑ 2 i , j 4πε 0 ri − rj i =1 2m 1 / 1 (Ze)2 2 −∑ ∇n + ∑ 2 n,m 4πε 0 Rn − Rm n =1 2M
ψ (r + Rn ) = e
ik ⋅( r + Rn )
=e
ik ⋅ Rn
e
ik ⋅ r
=e
ik ⋅ Rn
NZ 1 1 e Vee (ri , rj ) = ∑∑ = ∑ ve (ri ) 2 i =1 j ≠i 4πε 0 ri − rj i =1 NZ 2
为简单起见，取单原子的价电子数目Z=1。 则电子体系的哈密顿进一步简化为： 2 单电子势能 N 1 e2 2
i =1
H e = ∑[ −
∇i + ve (ri ) − ∑ ] 2m Rn 4πε 0 r − Rn i
∇r = ∂x
2
+
∂y
2
+
∂z
2
= ∇ r + Rn
∂2 ∂2 ∂2 = + + 2 2 ∂( x + n1a1 ) ∂( y + n2a2 ) ∂( z + n3a3 )2
孙会元固体物理基础第三章能带论课件3.5 能带结构的图示和空晶格模型
k at s
k ( , 0, 0) 同理在 点： a
R点： k ( , , ) a a a
R at s
J 0 2 J1
at s
J 0 6 J1 对应能带顶
a
则沿ГX即Δ轴的波矢取值范围
(k x ,Байду номын сангаасk y , k z ) ( , 0, 0); 且0 1
的解为：
nk (r ) e
ik r
unk (r ) 且
unk (r ) e
iGh r
2 2 相应的能量本征值为： n (k ) (k Gh ) 2m
面心立方格子的倒格子为体心立方。第一布 里渊区为倒格子空间中的WS原胞，由于共有8个 近邻，所以，形状为截角八面体。
在讨论金属和 半导体的能带 结构时，常以 空晶格近似作 为参照。如图 所示为面心立 方金属铝的能 带计算结果(实 线),虚线为空晶 格近似的能带 结构，可见， 两者非常接近。 除布里渊边界 处以及晶格 周期场使某些简并解除导致偏离以外。
つづき
按照
2 2 n (k ) k 2m
kz
以及K空间中相应点的坐标 , 可求得 n (k ) 从而可描点画图。
kx
ky
对面心立方格子(fcc)对称点、线符号说明： 2 点： k (1, 0, 0) 点： k (0, 0, 0)
2 3 3 K点： k ( , , 0) a 4 4 a 2 1 1 1 L点： k ( , , ) a 2 2 2
这些高对称性的点、线常用一些固定的符号 表示出来(在K空间)，第二章我们已经给出了这 些符号的说明。
k ( , 0, 0) 同理在 点： a
R点： k ( , , ) a a a
R at s
J 0 2 J1
at s
J 0 6 J1 对应能带顶
a
则沿ГX即Δ轴的波矢取值范围
(k x ,Байду номын сангаасk y , k z ) ( , 0, 0); 且0 1
的解为：
nk (r ) e
ik r
unk (r ) 且
unk (r ) e
iGh r
2 2 相应的能量本征值为： n (k ) (k Gh ) 2m
面心立方格子的倒格子为体心立方。第一布 里渊区为倒格子空间中的WS原胞，由于共有8个 近邻，所以，形状为截角八面体。
在讨论金属和 半导体的能带 结构时，常以 空晶格近似作 为参照。如图 所示为面心立 方金属铝的能 带计算结果(实 线),虚线为空晶 格近似的能带 结构，可见， 两者非常接近。 除布里渊边界 处以及晶格 周期场使某些简并解除导致偏离以外。
つづき
按照
2 2 n (k ) k 2m
kz
以及K空间中相应点的坐标 , 可求得 n (k ) 从而可描点画图。
kx
ky
对面心立方格子(fcc)对称点、线符号说明： 2 点： k (1, 0, 0) 点： k (0, 0, 0)
2 3 3 K点： k ( , , 0) a 4 4 a 2 1 1 1 L点： k ( , , ) a 2 2 2
这些高对称性的点、线常用一些固定的符号 表示出来(在K空间)，第二章我们已经给出了这 些符号的说明。
孙会元主编固体物理基础序言PPT学习教案
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热导系数K 、扩散系数D 、电导系数取决于 晶体的内禀性质.输运理论的任务就是要从微观 上揭示这些唯象系数与内禀性质的关系.
Ju KT Jn Dn
Je E
唯象关系
上述唯象关系的形式意味着输运过程是一个 扩散过程.因而,输运过程中粒子会在漂移的过 程中不断受到碰撞,不会简单的从一端径直到达 另一端.
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非平衡分布函数 fn(r,k ,t) 的定义是在t时刻 ，在单位体积晶体内位置r 附近找到一个波矢k为 的电子的几率。也就是说， 对于单位体积的样
品，fn (r , k ,t)drdk / 8 3 为时刻t, 在第n个能带
中，在r , k处drdk 相空间体积内一种自旋的平均
电子数。在本章中仅考虑一个能带，也就是导带
中的情况。因而可以去掉带指标n. 借助于分布函数，电流密度(单位时间内垂
直通过单位面积的载流子(电子或空穴)数)可以 表示为更普遍的一种形式。
第6页/共10页
则电流密度借助于分布函数的表达式：
Je
2e
f
1
8 3
dt
drdk
2e
dr dt
f
1
8 3 dk
1
4
3
ev(k ) fdk;
其中v(k )相当于群速度。
数、电荷数等广延量的流动.
假设沿晶体的某个方向存在温度梯度T、浓
度梯度n 、电势梯度 =-E,则输运过程中的热
流通量Ju、粒子流通量Jn 、电流通量Je 等与相 应的梯度之间存在如下的唯象关系:
Ju KT
--热导现象,K为热导系数
Jn Dn
--扩散现象,D为扩散系数
Je E --电导现象,为电导系数
孙会元固体物理基础第三章能带论课件32近自由电子近似
计入微扰后波函数的一级修正为:
kVk
k(1)(x) '
k
(0) (0)
k
k
k(0 )(x)
波函数的一级修正为:
k(1)(x)
k
kVk
'
(0) (0)
k
k
k(0 )(x)
计入微扰后能量本征值的一级和二级修正为：
2
kVk
(1) k
kVk，k(2)
'
k
(0) (0)
k
k
式中求和号上的一撇表示不包含k=k/一项。
零级近似解 k(0)和k(0)(x)是对应周期势为零时 的波函数和能量本征值.显然,对应的就是第一章 自由电子费米气体的本征函数和能量本征值,只 是这里是一维情形.
所以有：
(0) k
(x)
1 eikx; L
(0) k
2k 2 2m
且满足
N a k (0 )(x)k (0)(x)d xkk
分析：对
e
i
2 a
,n当x x改变a的任意整数倍时,其值不
变，因而 uk(xn,a这)=u表k(x明) 考虑了弱周期场近似后,
计算到一级修正,波函数已从平面波过渡到了布
洛赫波。
k(x)
1
eikx1
L n
/ 2m 2 k2V ne (k i2a nx2 an)2 eikxuk(x)
k
2π
n
nπ
Gn
a a2
时,振幅
un
2m2 k2
Vn (k
2π a
n)2
已足够大,这时散射波不能再忽略.
也就是当波矢位于布里渊区边界（或布拉格 平面）时，此时它的振幅已足够大，散射波不能 再忽略。
孙会元固体物理基础第三章能带论39布洛赫电子在恒定磁场作用下的运动PPT课件
在有外磁场B时，k x k y 平面上的能量变为：n(n1/2)c
变成了谐振子，其中心位置在 y 0k x/e B ;(o rx 0 k y/e B ), 代表电子的平均位置, y0 (or x0 ) 可以位于晶体中不同的
地点。所以： L 2 y y 0e k B x L 2 y (k x)m a x e 2 B L y
自由电子在外加磁场(沿z轴方向)的哈密顿算 符为： H ˆ 1 (p eA )2
p：电子的2m 运动学动量， A ：电子的场动量，
eA：矢量势
则由于 BBz 且 B A
可令 A(By,0,0) (orA(0,B x,0))
H ˆ 1 (p eA )2 2m
21mp xeB2yp 2yp 2z
kx
圆周运动,回转的频率 0eB/m
(2)电子在实空间的运动图象
v(k ) k m
v
x
m
kx
v
y
m
ky
v
z
m
kz
dvx dt
m
dkx dt
m
eB m
ky
eB m
vy
dvy dt
m
dk y dt
m
eB m
kx
eB m
vx
dvz
dt
0
电子在r 空间做螺旋运动，即在垂直磁场的平面内
做匀速圆周运动，回旋频率为 0eB/m
(n 为 整 数 ,( 1 )为 相 位 因 子 , 对 自 由 电 子 1 ) 2
可以证明：布洛赫电子的闭合轨道在k空间所围面积
也是以
2eB为 单 位 量 子 化 的 。
这与自由电子相同, 相邻闭合轨道的能量差为: c
孙会元固体物理基础第三章能带论课件37布洛赫电子的准经典运动
1 (r , t ) k
归一化因子
k k0 2 k k0 2
u n , k ( r )e
i[ k r
n (k )
t]
dk
求和写成积分是同一能带中波矢 k是准连续的
令：k k0 k
1 (r , t ) k
k 2 k k0 2 k0
u n , k ( r )e
前面写波函数时,考虑到本征态是定态,没有考 虑时间因子,现在考虑时间因子后，布洛赫波函 数写成：
i n ( k )t i[ k r
( r , t ) n ( k , r )e
e
n (k )
t]
un , k ( r )
由于波包包含不同能量本征态(不同的 k 状态 k 范 具有不同的能量).忽略带间跃迁,可把 k0 附近 围内的布洛赫本征态叠加构成的波包函数写成:
*
左2
[ k n (k )] u nk (r )unk (r )dr n (k ) u nk (r ) k unk (r )dr
左2 ( H k u nk (r )) k unk (r )dr n (k ) u nk (r ) k unk (r )dr 右2
又因为：
Hk
2
2m
(i k )2 V (r )
1 1 2 2 (i k ) V (r ) ( p k ) V (r ) 2m 2m
H 所以： k ( p k ) m k H k unk (r ) H k k unk (r ) [k n (k )]unk (r ) n (k )k unk (r ) k
* *
由于 H k 是厄米算符，则左2为：
固体物理学课件第三章
10
3.1 一维单原子链的晶格振动
将：
un1 Aei[t(n1)aq] un1 Aei[t(n1)aq] un Aei[tnaq]
代入到运动方程：
m
d 2un dt 2
(un1 un1 2un )
消去共同因子，得到：
m 2 (eiap eiaq 2)
《固体物理学》 微电子与固体电子学院
14
3.1 一维单原子链的晶格振动
格波的波长： 2
q
格波的波矢：q 2 n
n 代表沿格波传播方向的单位
矢量。
格波的相速度：v p
q
不同原子间的位相差：
n’aq-naq = (n’-n)aq
《固体物理学》 微电子与固体电子学院
15
3.1 一维单原子链的晶格振动
a
2
f
U
U R
a
2U R2
a
第一项与振动无关，为常数项，第二项中因为平衡位置处，
势能为极小值，互作用力为零。
《固体物理学》 微电子与固体电子学院
4
3.1 一维单原子链的晶格振动
引入弹性系数
2U R 2
(un1 un1 2un )
《固体物理学》 微电子与固体电子学院
5
3.1 一维单原子链的晶格振动
最近邻近似下一维单原子振动可 简化为质量为m的小球被用弹性系
数为的弹簧连起来的弹性链。处
理微小振动一般都采取这种简谐 近似。在有些物理问题需要考虑 高阶项的效应，称为非简谐效应。
孙会元固体物理基础第三章能带论课件3.8 布洛赫电子在恒定电场作用下的运动
π a
A π
V
a
k
0
v (k ) v (k )
j (k ) ev (k ) ev (k ) j (k )
亦即处在k 和-k 态的电子,对电 流密度的贡献恰好相消。 一个能带对电流的贡献,是所有 电子携带电流的和：I ev (k )
k
A
π a
A π
三、近满带和空穴
1. 非导体的能带特征 对于不具有部分填充能带的非导体，也就是说基态时 N个电子恰好填满最低的一系列能带，再高的各带全部 都是空的。则对该类材料中的能带来说，除了所有电子 状态都被电子占据的满带以外，还有能带中所有电子状 态均未被电子占据的能带，即空带。 对于非导体来说，把能量最低的空带称为导带。并把 导带中能量最低的能级，定义为导带底；把能量最高的 满带定义为价带；价带中能量最高的能级称为价带顶。 导带底和价带顶之间的能量范围称为能隙(energy gap), 或叫带隙.
k
A
a
A
E
a
k
即未满能带(或部分填充能带)导电，因而这种能带也 称为导带. 所以,固体材料可按照是否有部分填充的能带而分 为:导体和非导体两大类—能带论的一大成就。
小结(关于准经典模型中布洛赫电子速度和 满带不导电等问题的进一步说明)： 是布洛赫电子在实空间的 r vn (k ) k n (k ) 速度,沿等能面的法线方向.
二、能带填充情况与晶体导电性的关系
1. 满带不导电
满带是指能带中所有电子状态都 被电子占据的能带。 如果一个能带被电子部分填充，就 称为未满能带，或部分填充能带. (1)无外电场 没有外电场时,由于能带的对称性
A
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绝热近似成立的物理基础是基于晶体中电子和离子实 的质量相差很大,离子实的质量比电子大上千倍,电子的 速度远远大于离子实的速度.离子实只在它们的平衡位 置附近振动.在讨论快速运动的电子时,认为电子能绝热 于离子实运动,而离子实只能缓慢地跟上电子分布的变 化,所以可认为离子实固定在其瞬时位置上.
当然，如果我们是处理晶格振动问题，则绝热 近似可以忽略电子的动能项和电子之间的库仑 势。也就是说不考虑电子在空间的具体分布。
可以写为: ) ) ) ) H He Hn He,n
式中：
)) ) ) H He Hn He,n
)
He
) Te
Vee (rvi , rvj )
NZ
i 1
h2 2m
2 rvi
1 2
i, j
/1
40
e2 rvi rvj
表示NZ个价电子的动能和势能.
下脚标中的i、 j为电子序号、 m、n为离子 实序号.
但是,上述问题是一个NZ+N的多体问题(需要用多体 理论(many body theory)),根本无法直接求解薛定谔方 程, 为此人们对系统进行了绝热近似、单电子近似和 周期场近似，把多种粒子体系简化为单电子在周期性 势场中运动的问题。下面给出能带论中上述三个基本 近似的内容及其物理思想。
1.绝热近似
第十节 金属的费米面和能带论的局限性
3.0. 序言
在第一章的自由电子气体模型的学习中,我们已知该 模型对于理解金属尤其是一价金属的物理本质方面取得 了巨大的成功.但是对于物质为什么会分为导体、绝缘 体、半导体以及半金属等则根本无法解释,对于许多物 理量所显示的各向异性的解释也显得无能为力,根本原 因是金属自由电子气体模型的过于简单.亦即,模型中的 三条假设(近似)应该放弃。
)
Hn
) Tn
vv Vnm (Rn , Rm )
N
n1
h2 2M
n2
1 2
n,m
/
1
4 0
(Ze)2 vv Rn Rm
表示N个离子实的动能和势能.
求和号上的一撇表
)
He,n
Ven
(rvi ,
v Rn
)
NZ
i 1
N n1
1
4 0
Ze2
rvi
v Rn
示求和时i j 或 mn；1/2源于考虑 了两次相互作用.
(自由电子近似；独立电子近似；驰豫时间近似)
比如,像过渡族金属如铁这样的有两层价电子结构:3d 电子和4s电子.由于3d电子位于内层,因而,3d电子全部 变成自由电子的假设就有问题.因而必须改进之,亦即把 忽略的因素考虑进来—要考虑电子和离子实之间的相互 作用。
为了考虑离子实系统对电子的作用，就要知道 离子实在固体中的排列情况，因而，在对自由电 子气体模型修正之前，我们首先学习了第二章— 晶体的结构，知道了晶体最大的特点就是具有周 期性结构，满足平移对称性。
固体能带论就是基于晶体结构的平移对称性， 考虑离子实势场对电子的影响而建立起来的一 套理论。能带理论是一个固体量子理论，它是 在用量子力学研究金属电导理论的过程中开始 发展起来的，它为阐明许多晶体的物理特性提 供了基础，成为固体电子理论的重要部分。
最早做这一项工作的人是布洛赫(Felix Bloch),1928年, 也就是索末菲建立自由电子费米气体模型的同一年,年 仅23岁的他对索末菲模型提出质疑：“我从来都不明 白,即使是一种近似,像自由运动的事会是真的.毕竟一根 充满密集离子的金属丝完全不同于真空管”。为了解 开这个谜团,布洛赫注意到晶体中点阵排列的周期性,认 为电子是在严格的周期性势场中运动的,由此提出了第 一个计算能带的理论。
所以，固体能带论一般都要从布洛赫定理讲起。它给出 了严格的周期性势场中单电子薛定谔方程的本征解是周 期性调幅的平面波，它既不被散射也不衰减，因而电子 运动似乎无视理想的点阵。除非晶体存在杂质、缺陷或 晶格振动等破坏周期势的因素，否则没有电阻产生。
为了了解固体中电子的状态,严格说来必须首先 给出周期性结构中系统的哈密顿,然后,求解薛定 谔方程即可. 假定晶体体积V=L3，含有N个带正电荷Ze的离 子实，Z为单原子的价电子数目，因而，晶体 中有NZ个价电子，简称为电子。N个离子实的 位矢用Rn表示；NZ个价电子的位矢用ri 表示。 则系统的哈密顿应包括组成固体的所有粒子的 动能和这些粒子之间的相互作用势能，形式上
表示电子和离子实之间的相互作用势能.
有了系统的哈密顿,则描写体系的薛定谔方程为:
)
H
(rv,
v R)
(rv,
v R)
其中，rv代表 rv1, rv2 , rv3,L
, rvNZ
，
v R
代表
v R1
,
v R2
,
v R3
,L
v , RN
量子力学求解问题的一般方法即是如此,首先根据模 型写出哈密顿,然后,求解薛定谔方程即可.
2.单电子近似(平均场近似)
哈密顿中的 V项ee ,使电子的运动彼此关联，难 于处理。为此，用一个平均场来代替 项Ve。e (认 为每个电子的库仑势相等)
Vee (rvi , r1
4 0
e2 rvi rvj
NZ ve (rvi )
i 1
为简单起见，取单原子的价电子数目Z=1。
绝热近似是指在处理固体中电子的运动时，认为离子
实固定在其瞬时位置上，只关注电子体系的运动。此
时，离子实的动能项和离子实之间的库仑势可不考虑，
从而多种粒子体系简化为多电子体系。绝热近似下多
电子体系的哈密顿变为：
) H
) He
) He,n
) Te
Vee (rvi , rvj ) Ven (rvi ,
v Rn )
第三章 能带论
本章主要内容： 第一节 布洛赫定理、布洛赫波及能带 第二节 近自由电子近似
第三节 紧束缚近似 第四节 能带结构的其它计算方法 第五节 能带结构的图示和空晶格模型 第六节 能态密度 第七节 布洛赫电子运动的准经典模型 第八节 布洛赫电子在恒定电场中的准经典运动 第九节 布洛赫电子在恒定磁场中的准经典运动
所以绝热近似实际上把整个问题简化为相对较 简单的电子体系运动和离子实体系运动，也就 是把电子的运动和离子实（原子核）的运动分 开了. 这种绝热近似的设想最早是由玻恩(M.Born)和 奥本海默(J.E.Oppenheimer)提出的，所以又称 为玻恩—奥本海默(Born-Oppenheimer)近似。