三阶幻方1
有趣的数学游戏-三阶幻方
?
19 13
2倍角格=不相邻的两个边格之和 ？=（13+19）÷2=16
三条直线上的数字的和=幻方所有数字之和+2个？-（19+13） 幻和=一条直线上的三个数字之和 所有数字之和=3×幻和 所以：三条直线上的数字的和=幻方所有数字之和 则：？=（13+19）÷2
10
30
10
30
30
10
30
10
三阶幻方
风
子
编
辑
第一课 基础部分
幻方起源：大约两千多年前西汉时代，流传夏禹治水时，黄河中跃出一匹神马，马背上 驮着一幅图，人称「河图」；又洛水河中浮出一只神龟，龟背上有一张象征吉祥的图案 称为「洛书」.他们发现，这个图案每一列，每一行及对角线，加起来的数字和都是一样 的。
中国不仅拥有幻方的发明权，而且是对幻方进行深入研究的国家。公元13世纪的 数学家杨辉已经编制出3－10阶幻方。
30
5
30
5
5
30
5
30
原先每条边的和为：30+10+10=50 新的填法每条边的和为：50+15=65 总和减少，每边和增加，则应该把大数移到公共角的位置 则有：30+10+30=70 70-65=5 所以，四个10各减5，合计正好减了20.
22
30
26
22
30
26
22
30
26
22
30
26
30
26
2 9 31 20 27 22
7 32 3 25 23 21 6 1 35 24 19 26 29 36 4 11 18 13 34 5 30 16 14 12 33 28 8 15 10 17
三阶幻方
三阶幻方__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________能够根据三阶幻方的规律补充三阶幻方中的空格幻方起源于中国，传说在大禹治水时有神龟在洛水出现，背上有图，称为洛书．宋代学者朱熹在所著的《周易本义》卷首画出如下的洛书图，用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方。
三阶幻方就是将九个自然数填在3×3（三行三列）的正方形内，使每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数的和都相等．三阶幻方是一种特殊的数阵图。
【例1】将1~9这九个数填入下图，使它成为一个三阶幻方．分析：l+2+…+8+9=45所以，每行、每列、每条对角线的三个数的和是15(= 45÷3)．从l到9中，三个不同的数相加等于15，只可能是9+5+1，9+4+2，8+6+1, 8+5+2，8+4+3，7+6+2，7+5+3, 6+5+4这八个式子．其中只有5出现四次，因此5一定在中心，在式子中出现三次的只有8、6、4、2这四个数，因此这四个数应当在四个角上．从而将三阶幻方完成，如图所示除了上图所示的答案外，如果8、6、4、2在四个角上的位置排得不同，9、7、3、1的位置也相应有所不同，那么还可以得到其他形式的三阶幻方．我们把这些只是形式不同而实质相同的结果看作是一个解，只要写出其中一个作为答案就可以了．【例2】.将1，3，5，7，…，1 7填入3×3的方格中，使它们成为一个三阶幻方．分析：将图9-2 中的1，2，3，…，9分别用l，3，5，…，17代替，得到下图．它就是所求的三阶幻方，每行、每列、每条对角线上的和都是27将2，4，6，…，18填入3×3的方格中，使它成为一个三阶幻方．【例3】如果1、4、7、10、13、16、19、22、25这9个数组成三阶幻方，那么每一行、每一列、每条对角线的和是多少？中央的那个数是多少？分析：总和是1+4+7+…+25=(1+25)×9÷2=117由于三行的和相等，所以每一行的和是117÷3=39．每一列、每一条对角线的和也是39两条对角线、第二列的总和是39×3，它也是第一行加第三行再加中央那个数的3倍，所以中央的那个数是(39×3-39×2)÷3=13一般地，三阶幻方中央的数，等于行（列）和除以3．行（列）和等于中央的数乘以3．【例4】下图是一个三阶幻方，已知3个数，请根据幻方性质填出其他的数．分析：由例3，每一行（每一列、每条对角线）的和是中央那个数的3倍，因此，现在每一行的和是15×3=45这样，就可以得出第三行第一个数是45 -6 –28=l1．第三行第三个数是45 -6 -15=24第三行第二个数是45 -11- 24 =10．同样，可得其他的数．最后得出三阶幻方如图所示．【例5】已知图中，每一行、每一列、每条对角线上3个数的乘积都相等．请填出其他的数．分析: 每一行、每一列、每条对角线的乘积都是3×6×12第一行的第一个数是3×6×12÷12÷1=18，第一列的第二个数是3×6×12÷18÷3 = 4．第二列的第三个数是3×6×12÷1÷6 = 36．第三列的第二个数是3×6×12÷4÷6=9．第三列的第三个数是3×6×12÷18÷6=2于是，得出下图【例6】已知下图是一个三阶幻方，每一行、每一列、每条对角线的和都等于2 037．求画有“？”的格子填的数是多少．分析:根据例3，中央的那个数是2 037÷3 = 679．第一行第二个数是2 037 - 679 –894=464第一行第三个数是？=2 037 - 447 - 464=1126．所以要填的数是l1261.用0到8这几个数构造个三阶幻方．2.将2，4，6，…，18填入3×3的方格中，使它成为一个三阶幻方．3.如果2、6、10、11、15、19、20、21、28可以组成一个三阶幻方，那么每一行、每一列、每条对角线的和是多少？中央的那个数是多少？4.下图是一个三阶幻方，请填出其他的数．5.已知图中，每一行、每一列、每条对角线上3个数的乘积都相等．请填出其他的数．1．用3、6、9、12、15、18、21、24、27这9个数作一个三阶幻方.2．用0、2、4、6、8、10、12、14、16这9个数作一个三阶幻方3．在空格中填数，使每一行、每一列、每条对角线的和都等于30．4．在空个格中填数，使每一行、每一列、每条对角线的和都等于30．5．用9个连续自然数组成三阶幻方，使每一行、每一列、每条对角线的和都是60．_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________1．下图是一个三阶幻方．求“？”是多少．2．从1~13这13个数中选12个数填到下图，使每一横行的4个数的和相等，每一竖列的3个数的和也相等．这时所选的12个数是哪12个数？每一行的和是多少？每一列的和是多少？3．填好第7题的图4．在下图中，每个方格填一个数，使得每行、每列、每条对角线上的4个数都是1、3、5、7．带“☆”号的两个方格中的数的和是多少？5．将八个不同的数填入下图的空格中，使8个数的总和等于36．如果总和为37、38、39，你还能填吗？6．在3×3的正方形中，每个方格填一个自然数，使每一行、每一列、每条对角线上3个数的乘积都相等，并且其中有一个数是10．7．完成下图，使每一行、每一列、每条对角线上3个数的乘积都相等．。
三阶幻方的公式
三阶幻方的公式三阶幻方，又称“独一无二”，是人类最强大的数学游戏之一。
它被认为是世界上第一个数学游戏，因为它蕴含着各种解题技巧和深奥的数学原理。
三阶幻方的原理在欧洲最早由泰勒斯在1600年代提出，但他的原理不完整，所以无法用来解决此问题。
直到19世纪，在各个国家的探索和研究下，终于有了完整的解题公式。
三阶幻方的公式是其基本原理，也是整个游戏中最重要的部分。
三阶幻方用其特有的解题方法来求解，它是一种制定一定原则，通过利用计数、算法、图论等数学原理来求解问题的方法。
其关键在于要求填入每一个“盒子”中的数字符合一定的原则。
首先，每个盒子中应填入1至9的数字，每一行、每一列和每一个斜角方向的数字总和都必须相等，并且每个盒子中填入的数字都不能重复。
止匕外，还必须符合排布顺序的要求，即必须在上一个盒子中填入的数字按照设定的规则排列，以确保每一行、每一列和每一个斜角方向的数字总和相等。
有了公式,三阶幻方的游戏就变得容易多了，因为可以根据公式,快速算出每个盒子填入的数字，从而完成游戏。
公式可以分成几种方法，最典型的是“分解法”。
该法要求将一个三阶的幻方分解为三个二阶的幻方，然后分别求出每一个二阶的幻方的解。
止匕外，还有“重组法”、“树形法”、“枚举法”等，它们分别从不同的角度来研究三阶幻方，都有其独特的优势。
不同的方法会有不同的步骤，但它们的最终目的都是一致的：给定一系列数字，需要按照一定的规则来填入每个盒子，以得出图形最终结果。
数学家们的研究伴随着三阶幻方的公式的不断发展，使我们对其解题原理有了更深刻的理解。
从古代中国到当今的西方社会，三阶幻方都被人们所推崇，三阶幻方的公式成为研究者共同推展的一部分，也是我们认识数学原理的重要途径。
三阶幻方被称为“独一无二”，其本质就是要求结果独一无二，因此一定要认真按照一定的原则来完成每一个步骤，以确保游戏结果是唯一的。
三阶幻方的公式和原理，既可以用来解决数学问题，也可以用来训练人们的逻辑、思维能力。
三阶幻方的方法和其中的数字规律
三阶幻方的方法和其中的数字规律嘿，朋友们！今天咱来聊聊三阶幻方。
三阶幻方啊，就像是一个神秘的数字魔法阵。
你看哈，三阶幻方就是把九个数字填进一个3×3 的方格中，让每行、每列以及两条对角线上的数字之和都相等。
这听起来是不是挺神奇的？先来说说填三阶幻方的方法。
咱可以先把中间的数字确定下来，一般来说，中间这个数字就像是整个幻方的核心呐！那怎么确定呢？可以找这九个数字的中间数呀。
然后呢，再根据其他数字和中间数字的关系慢慢填。
这就好像是搭积木，一块一块地往上放，可有意思啦！再讲讲其中的数字规律。
你想想，九个数字在那方格中，怎么就能那么巧妙地达成那种神奇的平衡呢？这其中的规律可多着呢！每行、每列、对角线上的数字相互关联，就像一群小伙伴手牵手，谁也不能掉队。
比如说，相对的两个数字之和可能会相等，或者每行数字的间隔可能有某种规律。
咱举个例子哈，比如有这么一组数字1、2、3、4、5、6、7、8、9。
咱把 5 放在中间，然后试着填其他数字。
哎呀，你会发现，随着数字的填入，它们之间的关系越来越清晰，就像一幅神秘的画卷慢慢展开。
这感觉，就像在探索一个未知的宝藏一样刺激！三阶幻方可不只是个数学游戏哦，它在很多地方都有用呢！比如在一些谜题中，或者在设计图案的时候。
它就像是一把神奇的钥匙，可以打开很多奇妙的大门。
你说这三阶幻方是不是特别神奇？它就像一个小小的数字宇宙，充满了奥秘和惊喜。
咱可得好好研究研究，说不定能发现更多有趣的东西呢！所以啊，别小看了这小小的三阶幻方，它里面蕴含的智慧和乐趣可多着呢！大家都快来试试吧，感受一下数字魔法的魅力！。
巧求幻方—三阶幻方
规律1： 幻和=中间数×3
三 阶 幻 方
4
3 8
9
2
7 6
5
1
规律2:与中间数对应的上下、左右、 对角两个数字的和=中间数×2
三 阶 幻 方
4
3 8
9
2
7 6
5
1
练习1.
补全这个幻方。
9 4 11
10 8 6
5
12 7
练习2.
补全这个幻方。
7
4
12
16 11 6 10 18 15
三阶幻方怎么求呢？
ห้องสมุดไป่ตู้那我们就来一个“数字大换位”的游戏吧！ 把1，2，3…9这9个数填入3×3的方格里,变成三阶幻方
1 4 7 5 2 3 3 4
9
2 5
8 1 三阶幻方有技巧,
8
9
6 换位
7 3数斜着先排好 7 , 8 6 上下左右要交换, 9 然后各自归位了 ! 1
归位
幻和=4+5+6=15
试一试（1）
• 把2、3、4、5、6、7、8、9、10 分别填入三阶方格中,每个数只用 一次,使每一横行、竖列、对角线 上三个数的和都相等.
试一试（1）
3 8 7
10
6 2
5
4
9
试一试（2）
• 把3、5、7、8、10、12、13、15、 17分别填入三阶方格中,每个数只 用一次,使每一横行、竖列、对角 线上三个数的和都相等.
试一试（2）
8 7 15
17
5
10 13 3 12
三阶幻方
如何把1、2、3、4、5、6、7、8、 9这9个不重复的数字填入下图，使每 一横行、竖列、对角线上的三个数字 的和都相等？
三阶幻方的解法最简单的口诀
三阶幻方的解法最简单的口诀三阶幻方是指一个 $3\\times 3$ 的矩阵，其中填入了 $1$ 至 $9$ 的数字，使得每个数字在该矩阵中出现且仅出现一次，并且每行、每列和两条对角线的数字和均相等。
解决三阶幻方问题最简单的口诀如下：1. 定义首先，我们需要明确一些基本的概念和定义。
矩阵：$m \\times n$ 的矩阵是一个由 $m$ 行、$n$ 列数字（称为元素）所组成的矩形数组，通常用方括号表示，如下所示：$$\\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \\cdots & a_{1n} \\\\a_{21} & a_{22} & \\cdots & a_{2n} \\\\\\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\a_{m1} & a_{m2} & \\cdots & a_{mn}\\end{bmatrix}$$矩阵元素：矩阵中每一个数字称为矩阵元素。
对角线：矩阵中从左上角到右下角和从右上角到左下角的线称为对角线。
主对角线：从左上角到右下角的对角线称为主对角线。
副对角线：从右上角到左下角的对角线称为副对角线。
2. 解法接下来，我们将逐步介绍如何解决三阶幻方问题。
步骤 1：确定中间的数字由于每行、每列和两条对角线的数字和均相等，因此中间的数字必须是$5$。
$$\\begin{bmatrix}\\emptyset & \\emptyset & \\emptyset \\\\\\emptyset & 5 & \\emptyset \\\\\\emptyset & \\emptyset & \\emptyset\\end{bmatrix}$$步骤 2：填充四个角的数字要求每行、每列和两条对角线的数字和均相等，因此填充四个角的数字时需要保持对称。
三阶幻方
简单的三阶幻方1、什么是幻方？幻方起源于中国. 传说在大禹治水时，有只神龟在洛水中浮起，龟背上有奇特的图案，如右图. 人们称之为洛书.如果将龟背上的数字翻译出来，如下图.观察，你发现了什么？观察发现，上图的每行每列，斜着的三个数之和都是15. 像这样，将九个不同的自然数填在3×3（三行三列）的正方形内，使每行、每列以及每条对角线上的三个数和都相等，这样的图形就叫三阶幻方. 三阶幻方是一种特殊的数阵图.上面的三阶幻方中，15是这个幻方的和，简称幻和. 5是幻方最中心的数字，简称中心数. 罗伯法构造三阶幻方游戏：把1~9这9个数字按照要求填入下面的九宫格中？（1）把1~9依次按照从右上到左下的斜行顺序填入9个空白格中；（2）把最上面的“1”调到粗线框中第三行中间，最小面的“9”调到粗线框中第一行的中间。
最左边的“3”调到粗线框中第列的中间，最右边的“7”调到粗线框中第一列的中间。
（3）把粗线框中最后的结果填入右边的九宫格中算一算，九宫格中各行、各列及斜行的数字和，你有什么发现？三阶幻方的规律：1、幻和：各行、各列及斜行的和都是15，我们称它为幻和；幻和= 九个数之和 ÷3；2、中心数：幻和是中心数字的3倍；中间数=幻和÷3=(3+7)÷2=(1+9)÷2=(2+8)÷2=(6+4)÷23、左上角、右上角、左下角、右下角的四个数字依次是第2、第4、第6、第8个数字672159834四个角上的数字2=(3＋1)÷2，8=(9＋7)÷2；6=(3＋9)÷2；4=(1＋7)÷22、小试牛刀你能用上面的方法把2、4、6、8、10、12、、14、16、18这九个数字填入右面的九宫格中，使它构成三阶幻方吗？例1在图中填上合适的数，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都相等。
（1（2巩固练习：在下图的方格中填上适合的数，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都等于21。
三阶幻方公式简易口诀
三阶幻方公式简易口诀三阶幻方是指由1到9的九个数字组成的一个3x3的方阵，使得方阵中的每一行、每一列以及对角线上的数字之和都相等。
下面是一个简单的口诀来求解三阶幻方的公式：首先，我们需要把9个数字按照一定的规律填入到3x3的方阵中。
设置一个3x3的方阵如下：abcdefghi第一步：选取任意一个数字填入中间的位置，比如选取数字5，填入方阵的中心位置e：abcd5fghi第二步：根据魔方的特性，可以得出以下规律：1.真正的幻方中心位置的值将会是(n^2+1)/2，对于三阶幻方来说，中心位置的值为(3^2+1)/2=52.方阵的每个角的位置必须是n的倍数，对于三阶幻方来说，四个角的值即为1、3、7、9根据以上两个规律，我们可以进行以下步骤填充幻方：第三步：将数字1填入到方阵的上一个位置g（此处的上指的是在方阵中“上方”相对于中心位置e的方向）：abc15fghi第四步：根据规律2，将数字9填入到方阵的下一个位置f（此处的下指的是在方阵中“下方”相对于中心位置e的方向）：abc159ghi第五步：根据规律2，将数字3填入到方阵的下一个位置h（此处的下指的是在方阵中“下方”相对于中心位置e的方向）：abc159g3i第六步：根据规律2，将数字7填入到方阵的下一个位置d（此处的下指的是在方阵中“下方”相对于中心位置e的方向）：abc15973i第七步：根据规律1，将数字8填入到方阵的下一个位置b（此处的下指的是在方阵中“下方”相对于中心位置e的方向）：a8c15973i第八步：根据规律1，将数字4填入到方阵的下一个位置f（此处的下指的是在方阵中“下方”相对于中心位置e的方向）：a8c159734最终得到了一个三阶幻方。
利用以上口诀和规律，我们可以通过简单的步骤来构造三阶幻方。
通过这个口诀，我们可以快速而准确地创建出一个三阶幻方，仅需一些简单的数字填充操作。
三阶幻方黄金三角解法
三阶幻方黄金三角解法
三阶幻方是指一个3x3的方阵，其中每一行、每一列和两条对角线上的数字相加都相等。
如果每个数字都是1到9之间的整数且每个数字只出现一次，则称为幻方。
黄金三角解法是解决三阶幻方问题的一种方法。
它的核心思想是将幻方划分为三个水平方块（行组）和三个垂直方块（列组），使得这些方块的数字之和相等。
具体的解法步骤如下：
1. 将第一行的第一个数字设为5。
这相当于将三阶幻方的中心位置填充为5。
2. 然后按以下顺序填充方块：第一行右边、左下角和右下角。
3. 先填充第一行右边的方块。
从1到9中找到与中心位置数字的和为10的两个数字，填充在第一行右侧位置，例如2和8。
4. 下一步填充左下角的方块。
从1到9中找到与中心位置数字的和为10且没有被使用过的数字，例如4，填充在左下角位置。
5. 最后填充右下角的方块。
从1到9中找到与左下角数字的和与中心
位置数字的和均为10的数字，例如6，填充在右下角位置。
6. 接下来在第二行和第三行中寻找符合条件的数字，填充到相应位置。
如果没有找到合适的数字，则需要重新安排第一行数字的位置。
7. 最后检查每个方块数字之和是否相等，是否符合幻方的要求。
黄金三角解法的优点是简单易懂，解法相对较快，适用于初学者和普
通人。
当然，这个解法的限制是只适用于每个数字只出现一次的三阶
幻方。
对于更高级、更大规模的幻方，需要使用更复杂的算法和技巧
来解决。
三阶幻方文档
三阶幻方什么是幻方？幻方是一个由数字组成的方形矩阵，其中每行、每列以及对角线上的数字之和都相等。
这种特殊的矩阵在数学和游戏领域都有广泛的应用。
幻方可以划分为奇阶幻方和偶阶幻方两种类型，根据矩阵边长的奇偶性质进行分类。
三阶幻方三阶幻方是指边长为3的幻方。
三阶幻方是最简单的幻方之一，它是一种非常有趣且充满挑战性的问题，吸引了许多数学家和爱好者的研究。
在三阶幻方中，矩阵由3行3列的方格组成，每个方格填入1到9之间的不重复数字。
对于一个三阶幻方，要求每行、每列以及对角线上的数字之和都相等。
下面是一个例子，展示了一个三阶幻方的布局：2 9 47 5 36 1 8该幻方的每行、每列以及对角线上的数字之和都是15。
如何构造三阶幻方？构造一个符合条件的三阶幻方是一个具有一定难度的问题。
目前，已经有多种方法被开发出来用于构造三阶幻方。
阶梯法阶梯法是一种基于填充数字的规律来构造三阶幻方的方法。
这种方法是通过按照一定的规则，依次填充数字到矩阵的不同位置上来实现的。
具体步骤如下： 1. 矩阵的中间行第一列为1； 2. 从2开始依次填充数字，如果当前的位置已经被填充，则向下一行移动，并将数字填充到下一行的同一列。
如果下一行超出边界，则返回到当前行第一列的下一行； 3. 如果当前位置为空，则将数字填充到此位置。
以下是根据阶梯法构造的一个三阶幻方的示例：8 1 63 5 74 9 2奇偶交换法奇偶交换法是另一种常用的构造三阶幻方的方法。
这种方法是通过将两个已知的三阶幻方进行特定的交换来构造新的三阶幻方。
具体步骤如下： 1. 构造两个已知的三阶幻方，可以使用任何已知的三阶幻方；2. 将两个已知的幻方中的某些数字进行交换，并保持每行、每列以及对角线上的数字之和不变。
以下是一个使用奇偶交换法构造的三阶幻方的示例：已知幻方A：2 9 47 5 36 1 8已知幻方B：4 9 23 5 78 1 6通过交换A和B的2和4，以及6和8，得到以下新的三阶幻方：4 9 27 5 36 1 8总结三阶幻方是一种非常有趣且具有挑战性的问题。
三阶幻方的规律和方法
三阶幻方的规律和方法
三阶幻方是一种方阵，也又称魔方阵，主要由0-8九个数组成，要求其行、列、对角线相加的和都是15，又称为等式的结果。
三阶幻方的具体建立方法可以有很多，以下就介绍三种比较常见的建立方法：
一、将0-8九个数按图案填到幻方格子中，幻方的中心位置用5来填充。
先从左上角开始，在上行中填入3，8，4。
然后从左上角的第二行开始，在上行中填入6，1，7。
最后要填入的正中间位置是5，这样先把上面的三行填满，下面的三行也就推出了。
一共是九个数，填满就可以形成一个三阶幻方。
二、把一个三阶幻方拆分成九小格，用九个0-8数字重新排列，分四等分，把这九个数字依次从1-9进行排序，形成一个完整的三阶幻方阵。
三、另一种方法就是以空格的方式填写，把上面的三个数字放到每个格子里，再把中间的0放到空格的中间。
根据宫格的大小，一共只能填入八个数，最后一个数就会在格子的旁边。
最后将8个数进行重新排列，便可得到一个三阶幻方。
以上三种方法都可以用来制作三阶幻方，只要掌握了规律，就可以轻松完成。
首先，三阶幻方的规律是，行列对角线相加的和都是15。
其次，三种不同的建立方法可以帮助我们更好地掌握规律，并可以轻松的制作三阶幻方。
然而，解决三阶幻方的规律并不容易，因为其解答是有限的，在解决过程中，需要经过反复的尝试和思考，才能正确的得到答案。
总之，一切取决于你如何思考及如何改变观点，掌握规律，在不断的尝试中，你将会慢慢把三阶幻方解决！。
小学奥数三阶幻方
三阶幻方三阶幻方就是将九个自然数填在3×3（三行三列）的正方形内，使每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数的和都相等。
三阶幻方是一种特殊的数阵图。
例1 将1-9这九个数填入方格，使它成为一个三阶幻方。
分析：1+2+3+4+...+9=45 所以，每行、每列、每条对角线的三个数的和是45÷3=159+5+1，9+4+2 8+6+1，8+5+2，8+4+37+6+2，7+5+36+5+4这8个式子中5出现四次，所以5一定在中心。
8、6、4、2这四个数出现三次，所以在四个角上。
随堂练习1、用0-8这9个数构造一个三阶幻方。
2、将2，4，6，...，18填入3×3方格中，使它成为一个三阶幻方。
公式：三阶幻方中央的数=行（列）和÷3和=中央数×33、如果2、6、10、11、15、19、20、24、28可以组成一个三阶幻方，那么每一行、每一列、每条对角线的和是多少？中央数是多少？4、如图，这是一个三阶幻方，请填出其它数。
（4） （5）5、已知图中，每一行、每一列、每条对角线上3个数的乘积都相等，请填出其它的数。
6、把下图三阶幻方补充完整。
练习题1、用3、6、9、12、15、18、21、24、27这9个数作一个三阶幻方。
2、用0、2、4、6、8、10、12、14、16这9个数作一个三阶幻方。
（第1题） （第2题）3、在空格中填数，使每一行、每一列、每条对角线的和是30。
（第3题） （第4题） （第5题）4、在空格中填数，使每一行、每一列、每条对角线的和是30。
5、用9个连续自然数组成三阶幻方，使每一行、每一列、每条对角线的和是60。
6、下图是一个三阶幻方，求？是多少。
（第6题） （第7题）7、从1-13这13个数中选12个数填到下图，使每一横行的4个数的和相等，每一竖列的3个数的和也相等。
这时所选的12个数是哪12个数？每一行的和是多少？每一列的和是多少？8、填完第7题的图。
三阶幻方公式
三阶幻方公式三阶幻方是一种数学游戏，它包含一个3x3的矩阵，每行、每列和对角线上的数字和都是15，而各格中的数字则由1到9不等。
它的解法是在空格中填入1到9的数字，使每行、每列和对角线上的数字和都是15。
三阶幻方的解法一般有两种：一种是推理法，即根据每行、每列和对角线上的数字和等于15，来推断哪些数字可以填入，从而找出解法；另一种是公式法，即利用三阶幻方的公式，来计算出空格中应填入的数字。
三阶幻方的公式为：a +b +c = 15d +e +f = 15g + h + i = 15a + d + g = 15b + e + h = 15c + f + i = 15a + e + i = 15g + e + c = 15其中，a、b、c、d、e、f、g、h、i分别代表三阶幻方矩阵中的九个数字。
利用上述公式，可以找出三阶幻方的解法。
例如，假设已知a=3，b=2，c=1，d=9，e=7，f=8，g=4，则可以算出h=5，i=6。
这样就可以确定三阶幻方矩阵中的九个数字，而且每行、每列和对角线上的数字和都是15。
三阶幻方公式是由英国数学家哈里·韦恩斯所发明的，它可以用来解决三阶幻方的谜题，而且相比推理法，它更加方便快捷。
它的出现，不仅节省了解决三阶幻方的时间，而且也更有趣，让更多人喜欢上了这种数学游戏。
三阶幻方不仅是一种普通的数学游戏，它还可以用来培养孩子的数学思维能力。
它的解法可以从几个方面来考虑，如数学逻辑、排列组合和推理等，这些都可以帮助孩子提高解题能力，同时也可以培养孩子的独立思考能力。
总之，三阶幻方公式是一种优秀的算法，它不仅可以解决三阶幻方的谜题，还可以培养孩子的数学思维能力。
它的简单易用，使更多的人喜欢上了这种数学游戏。
三阶幻方
幻方的来源及神奇传说
根据记载，传说夏禹治水 时, 在洛水里出现了一只大 乌龟, 龟背上刻有奇特的图 案（如图），古代人们把这 个图取名为“洛书”，也有 的称作“河图”，我国宋代 数学家杨辉称之为“纵横 图”。
九宫之义，
九子斜排，
法二以四灵为龟肩，，4
9
上下对易，
2 左右相更，
六八为足，3 左戴三九右履七一，，8
5 1
7
四维挺出， 戴九履一，6 左三右Biblioteka ，二四为肩，五居中央。
六八为足。
4
9
2
3
5
7
8
1
6
相传很久以前，洛阳北黄河边上的孟津，有一年从黄河里爬出了
个大怪物。这个怪物异常庞大，一张嘴就吞下个活人，一打滚地里 的庄稼全都遭秧。从此这里田地渐渐荒芜，百姓也吃尽苦头，无以 谋生。怪物闹得大家没有活路，只好找来了伏羲。羲皇听了大家的 诉说后，忙带上宝剑，来到河边。那怪物原来是黄河中的龙马，看 到羲皇挥舞宝剑站在面前，知道逃脱不掉，忙伏地告饶，乞求羲皇 放它条生路，并承诺：“若放了我，定从黄河里拿件宝贝给您!”羲 皇听到说：“我不要什么宝贝，只要你答应不再祸害百姓，我就放 你。”龙马答应潜入河中。几天后，它果然背负着一块玉版献给羲 皇。伏羲发现，玉版图案中各行各列以及各对角线数字之和都相等。 伏羲知它是黄河中的宝贝，便唤它为“河图”。
“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。把这些连在一起 的圆圈用数目表示出来，得到九个数。这九个数就组成了一个 纵横图。后来经过反复揣摸，大禹整理出九个方面的内容，有 历法、种植谷物，制定法令等。后来，古人根据“洛书”的九 章大法，整理出一本科学法典——《洪范篇》，这部书一直传 至今日。
三阶幻方的规律和结论
三阶幻方的规律和结论
三阶幻方解题规律和结论：
1. 三阶幻方是一种幻方类拼图玩具，其中包含九个旋转的板块，在正确的排列组合后可能获得最终的成型。
2. 每个板块上分别有一到九号数字，解决这个三阶幻方有可能利用规律实现，依据不同拼图直觉，处于空格位置一定阻塞中旋转某一块，使相对位置上的数字拼凑在一起。
3. 根据数字之和解题原则，每行或每列加起来是15，其中包含了最中心的是5以及4个角位置，每个角位置也是15，作为3×3幻方解题的基础规则。
4. 解决时，根据上文提到的规则，在每一行和每一列中，一定有6个数字和其他人独立，这6个独立的数字会一定形成一个轮廓图案，将这种独立的数字及其轮廓图形作为主方向拼凑直至最终拼合成功。
5. 最后要记住的一个要点：拼凑三阶幻方要按照轮廓图案（如棋盘）进行拆解，可以从数字排序、分组、排版等多种思路出发，综合应用数字规律，慢慢拼凑出最终效果，就能逐步解出三阶幻方了。
6. 三阶幻方解谜要求既要发挥直觉灵敏性又要利用数学知识，拼凑三阶幻方可以给大家带来更多的想象创造的空间，提高解谜的乐趣性与挑战性，加深大家对数学运算规律的领悟力。
人教版七年级上册数学《三阶幻方》教学课件
幻方游戏
演绎一：三阶幻方的起源
【阅读】我国有“河图”和“洛书”之 说。相传在远古时期， 伏羲氏取得天下， 把国家治理得井井有条，感动了上天， 于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一 张图，作为礼物献给他，这就是“河
谢谢！ 图”，也是最早的幻方。伏羲氏凭借着
“河图”而演绎出了八卦，后来大禹治 洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的 背上有图有字，人们称之为“洛书” 而把这些连在一起的小圆和数目表示出 来，得到九个数，这九个数组成一个纵 横图，无论是纵向横向、斜向、三条 线上的三个数字其和皆等于15，九宫格 游戏正是在纵横图的基础上发展而来的。 在现代数学中，九宫格被称为三阶幻方。
下對易，左右相更，四維挺出，戴九履一，左 4 9 2
三右七，二四為肩，六八為足。
3 57
8 16
演绎二：三阶幻方的口诀及规律
【阅读 探究】
三阶幻方的构造方推理 杨辉
九子斜排，上下对易， 左右相更，四维挺出。
谢谢！
幻方游戏
戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足”
4 92 3 57 8 16
阅读规律
幻
方 8 17 5
2a-1
谢谢?！ 2
3a
2a-2
?
1
演绎四：由三阶幻方到欣赏四阶幻方 四阶幻方
4 9 5 16 谢谢！8 11 14 1
14 7 11 2
13 2 7 12
15 6 10 3
3 16 9 6
1 12 8 13
4 5 10 15
三阶幻方，史称“神农幻方”，是 世界上被发现的第一个幻方，是中 国人在数学上的伟大创造之一。 而欧洲人直到14世纪才开始研究幻 方，比我国迟了约2000年。
三阶幻方阵原理
三阶幻方阵原理幻方阵是一种远古而神奇的数学结构，它由一组整数组成，使得这些整数在矩阵中的每一行、每一列以及对角线上的和都相等。
其中，三阶幻方阵是最简单、最基础的一种幻方阵。
三阶幻方阵由3行3列的矩阵组成，共有9个位置可以填入整数。
我们可以使用逐个填数的方法来构建三阶幻方阵。
首先，我们选择一个起始位置，通常是矩阵的中间位置。
然后，我们从1开始按顺序填入每个位置，直到填满整个矩阵为止。
为了满足幻方阵的条件，我们需要遵循以下规则来填写矩阵的每个位置：1. 从起始位置开始填数，将1填入矩阵的中间位置。
2. 下一个数填入当前位置的右上方，即向上一行、向右一列的位置。
如果该位置已经被填过数，我们则将下一个数填入当前位置的下方，即向下一行、不变列的位置。
3. 重复步骤2，直到填满整个矩阵。
通过以上规则，我们可以得到一个符合幻方阵条件的三阶矩阵。
例如，以下是一个典型的三阶幻方阵：8 1 63 5 74 9 2在这个幻方阵中，每一行、每一列以及对角线的和都是15。
这也是三阶幻方阵的一个重要特点：每行、每列以及对角线的和都等于矩阵的行数或列数乘以幻方阵的行数或列数的中间值。
三阶幻方阵的原理可以通过数学推导来解释。
我们可以发现，幻方阵的构造方法与奇数的排列规律有关。
对于任意一个奇数n，我们可以通过以下公式计算出对应的三阶幻方阵：1. 幻方阵中的第一个数为：(n^2 + 1) / 22. 从第二个数开始，每个数的位置为当前位置的右上方，如果超出矩阵范围，则填入下方。
3. 如果当前位置已经被填过数，则按照规则2填入下方。
通过这个公式，我们可以根据任意奇数n构造出对应的三阶幻方阵。
例如，当n为3时，根据公式计算得到的幻方阵与前面给出的典型幻方阵完全一致。
三阶幻方阵不仅仅是一种数学结构，它还具有一定的实际应用价值。
例如，在游戏设计中，可以将三阶幻方阵用作迷宫的布局，使得玩家在游戏中的移动路径更加有趣、多样化。
总结一下，三阶幻方阵是由一组整数构成的矩阵，使得矩阵中每一行、每一列以及对角线的和都相等。
三阶幻方的填法
三阶幻方的填法三阶幻方是一个由9个数字构成的方阵，其中每行、每列和对角线上的数字之和都相等。
三阶幻方在数学、逻辑和游戏等领域都有广泛的应用。
本文将介绍三阶幻方的填法。
三阶幻方的填法有很多种，这里我们介绍一种简单的填法。
首先，我们可以将数字1至9分别填入9个空格中，形成一个初始的方阵。
然后，我们需要通过旋转和翻转这个方阵，使其变为一个幻方。
旋转是指将方阵的一个角旋转一定的角度，例如顺时针旋转90度、180度和270度。
翻转是指将方阵的行或列进行翻转，例如将方阵的行进行翻转或者将方阵的列进行翻转。
接下来，我们将详细介绍三阶幻方的一种填法：步骤1：首先，我们将数字1至9分别填入9个空格中，形成一个初始的方阵。
例如：1 8 35 7 94 2 6步骤2：接下来，我们需要通过旋转和翻转这个方阵，使其变为一个幻方。
我们可以尝试顺时针旋转90度：8 1 37 5 94 2 6步骤3：然后，我们可以尝试顺时针旋转90度再次：3 8 19 7 56 4 2步骤4：接着，我们可以尝试将方阵的行进行翻转：1 8 39 7 54 6 2步骤5：最后，我们可以尝试将方阵的列进行翻转：8 1 35 7 96 4 2经过上述步骤，我们得到了一个三阶幻方。
需要注意的是，这里我们介绍的是一种简单的填法，实际上三阶幻方的填法有很多种，可以根据需要进行不同的旋转和翻转操作。
在前面我们介绍了一种简单的方法来填写三阶幻方。
这种方法涉及到旋转和翻转操作，以确保每行、每列和对角线上的数字之和都相等。
然而，这只是一个开始，因为三阶幻方的填法有很多种，可以根据需要进行不同的旋转和翻转操作。
下面我们将进一步探讨三阶幻方的填法，包括一些更复杂的旋转和翻转操作。
首先，我们需要了解什么是旋转和翻转。
旋转是指将方阵的一个角旋转一定的角度，例如顺时针旋转90度、180度和270度。
翻转是指将方阵的行或列进行翻转，例如将方阵的行进行翻转或者将方阵的列进行翻转。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 7 13 19 24
8 14 20 25 2
15 16 21 3 9
奇阶幻方的解法
我国数学家杨辉的《续古摘奇算经》对于 3 阶幻方 的构造方法是：“九子斜排，上下对易，左右相更，四 维挺进。”，具体操作如下图： 其结果为：“戴九履一，左七右三，二四为肩，六 八为足。” 1 4 7 5 2 3 3 4 5 9 2 7 4 9 2 7 5 3 8 1 6
幻方
8
3
1
5
6
7 幻方
4
9
2
幻方的定义
幻方：一般地， 把n2个不同数字 依次填入由n×n 个小方格构成的 正方形中。
使得横行、直 纵列以及两对 角线数字之和 都相等。
这样的一个图叫 做一个（n阶）幻 方。
各直线上各 数字之和叫 幻和。
幻方的历史
相传在公元前23世纪大 禹治水的时候，在黄河支 流洛水中，浮现出一个大 乌龟， 人们将乌甲上背有 9种花点的图案图案中的花 点数了一下 竟惊奇地发现9种花点数正巧 是1—9这9个数，各数位置的排 列也相当奇妙，后来人们就称 这个图案为洛书
我国汉朝的一本叫 《数术记遗》的书把 这样的图形叫“九宫 图”，宋朝数学家杨 辉把类似“九宫图” 的图形叫“纵横图”， 国外数学家把它叫做 “幻方”。
8 1 6 3 5 7 4 9 2
幻方有多少
3阶幻方只有1种
4阶幻方方有880种 5 阶 幻 方 有 275305224 种 （ 约 两 亿七千五百万） 7 阶幻方有 363916800 种（约三亿 六千四百万）
8阶幻方超过10亿种
分类
按照幻方阶数的奇偶性， 幻方可以分为奇数阶幻方 与偶数阶幻方
偶阶幻方
• 四阶幻方
16 5 9 4
2 11 7 14
3 10 6 15
13 8 12 1
•六阶幻方
10 1 34 33 5 28 29 23 22 11 18 8 30 12 17 24 21 7
2
9
26 19 14 15 35
例题2：
补 全 这 个 幻 方
15 3
12
7 10 13 8 17 5
9 5 1 2 7 6
13 11 9 7 5 15
6 8 18 12 14 4
8
4
10 16 2 12
17
12 15 9 19 5
5 25 0 35 10 15
17
13
19 25 11 21
11 5 8 23 2 17
•在图1所示的和方格表中填入合适的数,使得每行、 •每列以及每条对角线上的三个数的和相等。 8 •那么标有“☆”的方格内应填入的数是_______.
•在下面两幅图的每个空格中，填入7个自然数， •使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和等于21
．
2 11 10 7 4 3 12 6
8
8
3
7
10
5
9
4
11
6
三阶质数幻方
下面介绍一个关于质数幻方的故事：有一次 某国的一个宫廷数学家领到了他一年的工资—— 1350 个银元后，一时来了灵感，竟然将这些银元 分成九堆，各堆银元的个数恰好组成一个很特别 的三阶幻方。他高兴地将得到的幻方给国王看了， 国王看后很是欣赏，但是他为其中没有一个数是 质数而深表遗憾（国王是一个对质数情有独钟的 人）。数学家胸有成竹地说：“如果您再给我九 个银元，我在每一堆中加一个，就能得到一个由 九个质数组成的三阶幻方。”
4
9
2
1.用3、6、9、12、15、18、21、24、27这9个数 作一个三阶幻方
24
3 18
9 15 21 12 27 6
1.请你将3~11这9个数字填入下面的方格中，使横、竖、斜行三个数的和相等。
10 3 8 5 7 9 6 11 4
三阶幻方的性质
规律1： 幻和=中间数×3
三 阶 幻 方
36 3 4 32 27
31 13 16 25 20 6
奇阶幻方
• 三阶幻方
• 特点：横的3行、纵的3列以及两对角线上各自的数 字之和都为15。
8 1 6 3 5 7 4 9 2
• 五阶幻方
特点：横的5行、 纵的5列以及两对 角线上各自的数 字之和都为65。
17 22 4 10 11
23 5 6 12 18
6
1
19
14
2
22
15
Merzirac法生成奇阶幻方(阶梯法） 在第一行居中的方格内放1，依次向右上 方填入2、3、4…，如果右上方已有数字， 则向下移一格继续填写。
1
1
3 2
1 2 1 5 6
1
1
3
4 1 3 4 5 2 6 7 2
3 4
8 3 4
5 2
1 5 6 7 2
3 4 8 3
2
1 5 6 7
8
9
6
8
1
6
类似的原理可以构造5阶、 7阶、9阶等奇数阶幻方。 下图给出了5阶幻方的构 造过程。
1 6
11 7
2
3
16
21 17
12
13
8
9
4
5
22
23
18
19 24 25
14
15 20
10
25子斜排
25 24 20
11
4 12
7
8
3
16
5
10
17
18 23 6
13
14 19 2 1
9
22 15
21
上下对易，左右相更
25 11 4 4 17 10 10 23 24 24 12 5 18 6 6 7 25 13 1 19 20 20 8 21 14 2 2 3 16 16 9 21 22 22 15
5
1
四维挺进
11 4 17
24 12 5
7 25 13
20 8 21
3 16 9
10
23
18
4
3 8
9
2
7 6
5
1
规律2:与中间数对应的上下、左右、 对角两个数字的和=中间数×2
三 阶 幻 方
4 3 8
9
2 7 6
5
1
规律3：角上的数字=对角相邻 的两数字和的一半
三 阶 幻 方
4 3
9 5
2 7
8
1
6
练习1：
17
4
12
6 11 16 10 18 5
练习2：
15
3 12 5
7 10 13 8 17
3 ☆ 7
64在空格Fra bibliotek填数，使每一行，每一列、每条对角线的和 都等于30.
13 5 12 9 10 11 8 15 7
用9个连续自然数组成三阶幻方， 使每一行、每一列、 每条对角线的和都是60
23 16 21 18 20 22 19 24 17
下图是一个三阶幻方。求“？”是多少
17 ?
19
13