05-4刚体的角动量定理和角动量守恒定律
角动量守恒定理及其应用
角动量守恒定理及其应用摘要:角动量这一概念是经典物理学里面的重要组成部分，角动量的研究主要是对于物体的转动方面，并且可以延伸到量子力学以、原子物理及天体物理等方面。
角动量这一概念范畴系统的介绍的力矩、角速度、角加速度的概念，并且统筹的联系到质点系、质心系、对称性等概念。
关键词:角动量；力矩；角动量守恒；矢量；转动；应用Angular momentum conservation theorems and theirapplicationAbstract:Angular momentum to the concept of classical physics there is an important component of angular momentum of research mainly for the rotation, and may extend to the quantum mechanics and physical and in the astrophysical. angular momentum in the categorical system of the present moment, the angular velocity, the concepts of angular acceleration and co-ordination of the particle, the quality of heart, symmetry, and concepts.Key words:Angular momentum;Torque;Conservation of angular momentum; Vector; Turn; application.引言在研究物体运动时,人们经常可以遇到质点或质点系绕某一定点或轴线运动的情况。
例如太阳系中行星绕太阳的公转、月球绕地球的运转、物体绕某一定轴的转动等,在这类运动中,运动物体速度的大小和方向都在不断变化,因而其动量也在不断变化。
刚体的转动 角动量守恒定律
M
dL
dt
或：
H
I22
I11
三. 角动量守恒定律
若：
M
0
则有：
L 常矢量
即：刚体所受合外力矩为零时，其角动量保持 恒定
例１．一长为L，质量为M的均匀细棒，一端可 绕光滑水平轴在竖直平面内转动 。求棒从水平 静止转动到竖直位置时A点的速度大小 （分别用动能定理和机械能守恒定律求解）
O
例２．一质量为M，半径为R的均质圆盘， 从水平位置起绕与直径平行的水平切线 转动，求转到竖直位置时，Ａ点的速度
1 2
I
2
连续物体
dm ldl
I r2dm
dm SdS
质点组
I
n
ri
m 2 i
dm dV
dm 到转轴的垂直距离
i 1
mi 到转轴的垂直距离
例1）求质量为m,长为L的均匀细棒对下面三种
与棒转 转 转B垂轴轴轴直通通通转A过过过轴棒棒棒的的的上转h一 距中动端 质心惯O心OB量质为：IhA的dI一mO11点2m1A12L2mLXm2 h2
r dm v
四. 角速度及 角加速度矢量
v r d
dt
3.2 转动动能 转动惯量
一. 转动动能
dm 的动能
dEk
1 v2dm 2
1 2
r2dm 2
r dm v
m 的动能
I
Ek
dEk
1 2
r2dm 2
Ek
1 2
I
2
Ek
1 2
m
v2
3.2 转动动能 转动惯量
一. 转动动能 二. 转动惯量
Ek
I r2dm
质点组
第五章 角动量角动量守恒定理解读
第五章角动量角动量守恒定理本章结构框图学习指导本章概念和内容是中学没有接触过的，是大学物理教学的重点和难点。
许多同学容易将平动问题与转动问题中的概念和规律混淆，例如两种冲击摆问题。
建议采用类比方法，对质量与转动惯量、动量与角动量、力与力矩、冲量与角冲量、平动动能和转动动能、运动学的线量和角量、动量定理和角动量定理、动量守恒和角动量守恒……一一加以比较。
本章的重点是刚体定轴转动问题，注意定轴条件下，各种规律都应该用标量式表示。
还请注意动量守恒在天体问题、粒子问题中的应用。
基本要求1.理解质点、质点系、定轴刚体的角动量概念。
2.理解定轴刚体的转动惯量概念，会进行简单计算。
3.理解力矩的物理意义, 会进行简单计算。
4.掌握刚体定轴转动定律，熟练进行有关计算。
5.理解角冲量（冲量矩）概念，掌握质点、质点系、定轴刚体的角动量定理，熟练进行有关计算。
6.掌握角动量守恒的条件，熟练应用角动量守恒定律求解有关问题。
内容提要1.基本概念刚体对定轴的转动惯量：是描述刚体绕定轴转动时，其转动惯性大小的物理量。
定义为刚体上每个质元（质点、线元、面元、体积元）的质量与该质元到转轴距离平方之积的总和。
即：I的大小与刚体总质量、质量分布及转轴位置有关。
质点、质点系、定轴刚体的角动量：角动量也称动量矩，它量度物体的转动运动量，描述物体绕参考点（轴）旋转倾向的强弱。
表5.1对质点、质点系、定轴刚体的角动量进行了比较。
表5.1质点、质点系和定轴刚体的角动量力矩：力的作用点对参考点的位矢与力的矢积叫做力对该参考点的力矩（图5.1）：即：大小：（力×力臂）方向：垂直于决定的平面，其指向由右手定则确定。
对于力矩的概念应该注意明确以下问题：•区分力对参考点的力矩和力对定轴的力矩：力对某轴的力矩是力对轴上任意一点的力矩在该轴上的投影。
例如：某力对x、y、z轴的力矩就是该力对原点的力矩在三个坐标轴上的投影：由上可知：力对参考点的力矩是矢量，而力对定轴的力矩是代数量。
角动量定理和角动量守恒定律
O
M
l
l /2
1 1 2 2 l 0 = Ml ω + (Mg ) 2 3 2
3g ω= l
m
第二阶段：碰撞瞬间角动量守恒（不是动量守恒） 第二阶段：碰撞瞬间角动量守恒（不是动量守恒） 1 1 2 1 2 ′ + mVl = ( M + m)lV ， V = ω′l Ml ω = Ml ω 3 3 3
t2
∫
例：水平面内，均质杆 (M, l) 水平面内， 子弹 (m,V ) 击穿杆的 自由端后速度降为 V / 2 求：杆转动的角速度 ω 解：角动量守恒 3mV V 1 2 mVl = m l + Ml ω ， ω = 2Ml 2 3
O
M
l
ω
m
V /2
V
例：rA = 0.2m ，mA = 2kg
ω0A = 50rads rB = 0.1m ，mB = 4kg ω0B = 200rads 1
dL d dω = (Iω) = I = Iβ = M dt dt dt dL = M ：角动量定理 dt dL = Mdt
L = ∫ Mdt
t1 t2
y
x
如果 M = 0 ，则 L = C ：角动量守恒定律 非刚体， 一般随时间变化， 非刚体， I 一般随时间变化， M = Iβ 不成立 角动量定理及角动量守恒定律仍成立！ 角动量定理及角动量守恒定律仍成立！ 定轴转动， dL = M ， dL = Mdt ， L = Mdt 定轴转动， dt t1 L = C ， L = Iω ， M = Iβ
如果合外力矩 M = 0
例：圆锥摆球在水平面内匀速转动 分别对固定点 A和 O ，讨论 小球受到的张力矩，重力矩， 小球受到的张力矩，重力矩， LA 合力矩和角动量 对 A: M = R ×T = 0
角动量定理和角动量守恒定律
角动量定理和角动量守恒定律
角动量定理和角动量守恒定律是描述刚体运动时的两个基本定律。
下面进行简单的介绍：
1. 角动量定理
角动量定理是描述角动量变化的定律。
它表示为：物体所受外力矩等于物体角动量对时间的变化率。
即
I*ω= ΔL/Δt
其中，I 为物体的转动惯量，ω为物体的角速度，L 为物体的角动量。
这个定理表明了一个物体的角动量发生变化时，必定受到了外部的力矩作用，即力矩等于角动量的变化率。
2. 角动量守恒定律
角动量守恒定律是描述角动量不变的定律，即如果没有外部力矩作用，系统的总角动量保持不变。
即：
L = L0
其中，L 为系统的总角动量，L0 为系统在某一时刻的总角动量。
这个定律表明，如果没有外部力矩作用，那么系统的总角动量保持不变。
如果一个物体在自由运动时，角动量发生变化，那么它将会改变自身的旋转状态（比如转速、方向等）。
总之，角动量定理和角动量守恒定律是描述刚体运动和角动量变化的基本定理，可以帮助我们更好地理解物体的运动和变化规律。
角动量、角动量守恒定律的分析
02
3
4. 求质量 m ,半径 R 的球体对直径的转动惯量
解：以距中心 r ，厚 dr 的球壳
R
dr
r
为积分元
o
dV 4r 2dr
m
m 4 R3
3
dJ
2 3
dm r 2
2mr 4dr R3
dm dV
J
R
dJ
0
2mr 4dr R3
2 5
mR2
注意： 对同轴的转动惯量才具有可加减性。
直于杆，分别过杆的中点和一端端点的轴的转动惯量。
解：(1) 轴过中点
dm
x
L2
ox
L 2
L
J
r 2dm
m L
1 3
L3 8
L
x2dm
x 2 2
L
L3 8
1 12
2
mL2
m dx L
m L
1 3
x3
2 L
2
(2) 轴过一端端点
dm
o
x
Lx
J r2dm x2dm L x2 mdx 0L m 1 x3 L 1 mL2 L3 0 3
o r m p
p
or
* 质点对某参考点的角动量反映质点绕该参考点旋
转运动的强弱。
*必须指明参考点，角动量才有实际意义。
2. 质点系角动量
L
系i统L内i vr所ii 有i vr质rcci 点 rvp对iii 同 无一有i'：'参：r对i对考参质考点m心点i角vi 动o量r1pr的c1 矢crrp量2ir2i和
i
i
i
式中 J ri2mi
i
刚体对轴的转动惯量
《大学物理》34刚体定轴转动的角动量定理角动量守恒定律.
设子弹射入后杆起摆的角速度为ω，则有：
1 m v 0 a ( ML2 ma 2 ) 3
子弹射入后一起摆动的过程只有重力做功，故系统机 械能守恒。
1 1 L 2 2 2 ( ML ma ) mga (1 cos60 ) Mg (1 cos60 ) 2 3 2
1
2.刚体的角动量定理及守恒定律
刚体所受合外力矩与角加速度关系为
d M J J dt
利用角动量表示
dJ dL M dt dt
刚体绕定轴转动时，作用于刚体的合外力矩等于刚 体绕此轴的角动量对时间的变化率。这是刚体角动 量定理的一种形式。
当合外力矩为零时
d J dL M dt dt
如果质点所受合外力矩为零，则质点的角动量保持不变， 这就是质点的角动量守恒定律。
1. 质点角动量定理及守恒定律
例：我国第一颗人造地球卫星沿椭圆轨道绕地球运动，地心为该椭圆 的一个焦点。已知地球半径 R ，卫星的近地点到地面距离 l ，卫星的远 地点到地面距离 l 。若卫星在近地点速率为 v1 ，求它在远地点速率 v2 。
3.4刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
一、冲量矩 角动量 1.冲量矩
定义：力矩与力矩作用时间的乘积称为冲量矩。
数学表达：
M dt
0
t
2.角动量
整个刚体的角动量就是刚体上每一个质元的角动 量——即每个质元的动量对转轴之矩的和。
2.1质点的角动量
o
r
v
o
L
m
L
r
m
J 恒量
如果物体所受合外力矩为零，或不受外力矩的作用， 物体的角动量保持不变，这就是角动量守恒定律。
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律课件
只与刚体的质量和各质点到转动轴 的距离有关，与转动角速度的大小 无关。
02
角动量定理
角动量的定义与性质
角动量的定义
角动量是描述刚体转动状态的物理量 ，等于刚体的转动惯量乘以角速度。
角动量的性质
角动量是矢量，具有方向和大小；对 于定轴转动，角动量位于转轴上；角 动量是相对量，与参考系的选择有关 。
理解角动量守恒定律的证明方法是深入理解该定律的重要途径。
详细描述
证明角动量守恒定律的方法主要有两种，一种是基于牛顿第二定律和转动定理推导，另一种是通过分析系统的能 量变化来证明。通过这些证明方法，可以更深入地理解角动量守恒定律的物理意义和适用条件。
04
刚体定轴转动的实例 分析
刚体定轴转动的实例介绍
角动量守恒定律的内容及应用
总结词
掌握角动量守恒定律的内容及应用是解决实际问题的关键。
详细描述
角动量守恒定律表明，对于不受外力矩或所受外力矩的矢量和为零的系统，其总角动量保持不变。这 一原理在日常生活、工程技术和科学研究中有广泛的应用，如行星运动、陀螺仪、火箭飞行等。
角动量守恒定律的证明方法
总结词
陀螺仪
风扇
陀螺仪是一个典型的刚体定轴转动实 例，其工作原理就是角动量守恒定律 。
当风扇的扇叶旋转时，可以将其视为 刚体定轴转动，这个过程涉及到角动 量定理的应用。
自行车轮
自行车轮在转动时，也是一个刚体定 轴转动的例子，其转动惯量对于理解 角动量定理和角动量守恒定律非常有 帮助。
刚体定轴转动的角动量定理应用实例
舞蹈演员在进行旋转动作时，可以通过改变身体的姿势来改变转动惯量，从而控制旋转的 速度。
刚体定轴转动的角动量守恒定律应用实例
定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律
定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律【教学设计思想】通过一个花样滑冰的视频引入新课，提出问题，引发同学思考，并将该问题做为悬念引导学生在接下来的听课中寻找答案。
再详细推导刚体对定轴转动角动量的计算公式，角动量定理，角动量守恒定律，强调角动量守恒定律不仅可适用于刚体，也可以适用于非刚体。
分别介绍了角动量守恒定律在日常生活中的应用，如常平架回转仪，在此处又与课堂开始时的视频相呼应，解释视频中看到的现象。
接下来以两个关于角动量守恒定律的例题加深同学们对该定律的理解，解题过程注意受力分析，强调角动量守恒的适用条件。
最后以一个有趣的例子——猫背对地面从空中下落哪个部分先落地的问题作为结束，激发学生对物理知识的兴趣。
【教学目标】（1）掌握刚体绕定轴转动角动量的计算、角动量定理、角动量守恒定律。
（2）理解角动量守恒定律的适用条件，并学会应用。
【教学重点】(1) 概念：刚体定轴转动的角动量。
(2) 规律：刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律。
【教学难点】角动量守恒定律的应用【教学对象】电子信息科学与技术专业一年级本科生【教材】程守珠《普通物理学》第六版 【教学过程】 知识点复习刚体的定轴转动定律 z M J α=解释每个符号所代表的物理量。
并强调转动惯量J 与质元质量i m ∆以及质元到定轴的距离i r 有关。
新课的引入播放一段关于花样滑冰的视频。
引导学生变观看运动员转速变化与他双臂动作的关系。
设计问题：当运动员双臂展开时，他的转速是怎样的？当运动员收拢双臂时，他的转速又是怎样的?与学生互动，请一个同学回答上述问题。
得到结论：当手臂收拢，运动员转速变快。
当手臂伸展，运动员转速变慢。
反问学生如何解释该现象，留下悬念。
引导学生带着问题学习这堂课的知识。
一、刚体的角动量结合图形复习质点绕定点转动的角动量L r mv =⨯ 提出问题：如果把研究对象换成刚体，它的角动量该如何计算呢？ 以一细棒为模型推导刚体角动量计算公式。
刚体角动量和角动量守恒定律
• 刚体角动量介绍 • 角动量守恒定律 • 刚体角动量的应用 • 刚体角动量与现实世界的关系 • 刚体角动量与未来科技的关系
01
刚体角动量介绍
刚体的定义
刚体
在运动过程中，其内பைடு நூலகம்任意两点 间的距离始终保持不变的物体。
刚体的特性
在刚体的运动过程中，其形状和 大小不会发生变化，只改变其位 置和姿态。
刚体的角动量定义
角动量
一个物体绕固定点旋转时所具有的动 量，其大小等于物体质量、速度和旋 转半径的乘积。
刚体的角动量
当刚体绕固定点旋转时，其角动量等 于刚体质量、旋转轴上的速度和旋转 半径的乘积。
刚体的角动量的计算公式
角动量计算公式：L = mvr
其中，L表示角动量，m表示刚体的质量，v表示刚体上任意一点相对于旋转轴的速度，r表示该点到旋转 轴的距离。
证明方法一
证明方法二
证明方法三
03
刚体角动量的应用
在物理实验中的应用
陀螺仪
刚体角动量在陀螺仪中有着重要 的应用，通过测量旋转轴的角速 度，可以确定物体的方向和姿态。
摆锤实验
通过观察摆锤的摆动，可以验证 刚体角动量守恒定律，了解力矩 对刚体角动量的影响。
磁力矩实验
利用磁力矩对刚体角动量的作用， 可以研究刚体的旋转运动和磁场 的相互作用。
角动量守恒定律在设计和优化机械系 统，如电机、陀螺仪和风力发电机等 方面有广泛应用。
对体育运动的影响
在体育运动中，角动量守恒定律有助于理解旋转运动，如滑冰、花样滑冰和乒乓 球等项目的旋转动作和技巧。
运动员通过合理运用角动量守恒定律，可以调整旋转速度、方向和稳定性，提高 运动表现和竞技水平。
05-4刚体的角动量定理和角动量守恒定律
l
M
m
v0
系统的角动量守恒
mv0l J
1 2 2 J ? Ml ml 3
l
M
棒的转 子弹的转 动惯量 动惯量
m
v0
mv0 M ( m)l 3
例1 一质量为M，长为l 的均质细棒，可绕过其顶端的 水平轴自由转动。当杆静止时，一质量为m的子弹以 水平速度v0射入细杆底端并穿出，穿出后子弹速度损 失3/4，求子弹穿出后棒的角速度
二 定轴转动刚体的角动量定理
根据转 动定律
刚体对定轴的转动惯量不变
d M J J dt
z
k
O
F
r
作用在刚体上的合外力对转轴的力 矩等于刚体对转轴的角动量变化率
两边做积分
d( J ) dL M dt dt
t2
t Mdt L dL L2 L1
L2
1
20
m2 O2 R2
1
2
O2 R2
O1 R1
f
取两圆柱为一系统，该系统受到的合外力矩为零，而 两圆柱相互接触处的摩擦力是内力矩，那么该系统是 否角动量守恒呢？
质点的运动
刚体的定轴转动
角速度 角加速度 转动 J 惯量 力矩
dr 速度 v dt 2 dv d r 2 加速度 a dt dt
O
L
m
m
以单摆和细杆作为系统，在碰撞过程系统所受合 外力矩为零，系统角动量守恒
O
设小球绳长为l， 根据角动量守恒 弹性碰撞， 机械能守恒
mvl J
1 2 1 2 mv J 2 2
1 2 mL 3
L
l
动量矩定理,角动量守恒定律概论
解：此题可分为两个过程，(1) 碰撞过程；(2) 上摆过
程。碰撞过程以子弹和木杆组成的系统的角动量守
恒。上摆过程以子弹、木杆和地球组成的系统机械
能守恒。
(1)碰撞过程 系统在子弹射入之前的角动量
OO
M+
M
LLZZ12
L1 mlv
系统在子弹射入之后的角动量：
L2
J
(1 3
Ml 2
ml2 )
依角动量守恒定理：
演员N以速率u 跳起, 达到高度h´
h
u2 2g
l 2 2
8g
m
3m 6m
2
h
四、旋进(Precession)
陀螺的运动
Z
Z
r mg
Y
O
X
O
解释：
当陀螺绕其对称轴旋转时具有角动量
L
J
Z
L dL
' d
新的角动量 L dL ,也即刚体 绕新的轴运动，产生了进动。
进动角速度
dL (Lsin )d
由图： Lsin dt Jsin dt
M
dL
X
r
O
dL Mdt
mg Y M Jsin 考虑方向： M J
dL Mdt
受重力的力矩
M r mg
M mgr sin
mgrc mgrc J L
结论
1）旋进的角速度的大小与刚体绕对称轴转动 的角动量成反比，实际上是与刚体绕对称轴旋 转的角速度成反比。
对角动量大的物体则要施以大的角冲量，如是 人们对不同的转动物体，持有不同的态度。
三、定轴转动的角动量守恒
t2
动量矩定理
M Z dt J2 J1
大学物理第5章角动量守恒定律
1 ml2 3
l
m
m 1.73
z2
o
l 2
G
JZ2
1 ml2 3
RGC G 不是质心
转动惯量的计算
例: 求半径为 R,总质量为 m的均匀圆盘绕垂直于盘面
通过中心轴的转动惯量 如下图:
解:
质量面密度
m R 2
J z r 2dm R r 2ds 0
Z ds
R r 2 2rdr 0
R r 2 m 2rdr
a 法向分量
an
v2 r
r 2
O
匀变速直线运动
匀变速定轴转动
v dS dt
a dv dt
v v0 at
S
v0t
1 2
at 2
v2 v02 2aS
d
dt
d
dt
0 t
0t
1t2
2
2 02 2
5.4 定轴转动刚体的角动量定理
1.刚体对转轴的力矩和角动量
z
角动量守恒
质点系的角动量定理
M J
4g
t
3 4
R
1 2
gt
2
LA
r
p
1 2
mpt3gmvg
mgt 0
orRA r源自（2） 对 O 点的角动量m
mv
r r R
LO r p (R r) p R p R mgt
Rg
LO Rmgt
2. 质点的角动量定理
角动量的时间变化率
dL
d
(r
p)
dr
p
r
dp
r 表示从O到速度矢量 v 的垂直距离, 则有
r sin s rs 2
刚体力学第2讲——定轴转动中的功能关系刚体的角动量定理和角动量守恒定律
动相反方向作圆周运动(如图) 求：1) 圆盘对地的角速度．
2）欲使圆盘对地静止，人应沿着圆周对圆盘的速 度的大小及方向？
R
R/2 v
解：取人和盘为系统，
M 外 0 系统的角动量守恒.
R /2
Ro
v
(1)开始系统的角动量为
m
12 R
2
0
1 2
M
R 20
后来：
m
1 4
R 2 mE
1 2
M
R 2 ME
mE ME mM 21 M R 20 / 40
R /2
Ro
v
MR 40
2
ME
2v R
M
R 2 ME
/2
为
亦即l>6s；当‘’取负值，则棒向右摆，其条件为
3gl 3 2gs 0 亦即l<6s
棒的质心C上升的最大高度，与第一阶段情况相似，也可由 机械能守恒定律求得：
mgh 1 1 ml 2 2
23
把式（5）代入上式，所求结果为
h l 3s 6sl
解 这个问题可分为三个
阶段进行分析。第一阶段 是棒自由摆落的过程。这
O
时除重力外，其余内力与
外力都不作功，所以机械
能守恒。我们把棒在竖直
C
位置时质心所在处取为势
能零点，用表示棒这时
的角速度，则
mg l 1 J 2＝1 1 ml 2 2
22
23
（1）
刚体角动量定理
二、刚体（对轴）的角动量 L = Jω
三、角动量定理
M = dL = d (Jω) ⇒ Mdt = d (Jω)
dt dt
∫ ∫ t2 Mdt =
t1
L2 L1
dL
=
L2
−
L1
= J 2ω 2 − J 1ω 1
合外力矩M在dt时间内的冲量矩
刚体角动量定理 —作用在刚体上的冲量矩等于刚体角动量的增量
四.角动量守恒定律
acτ
=
rcα
=
Lα
2
联立可得：
RA
=
2 3
L
解
Fy
o
RA Rc
Fx c
A F
例6.
解
球打在A点，轴间仍没有x方向轴力
Fy
球和棒系统，水平方43; MVc
系统角动量守恒
RA Rc c A
RA
⋅
mv1
m=
= RA
M
⋅
mv2
RA
+
=
Jω
2L 3
=
RAmv2
+
1 3
ML2
弹性球碰撞，机械能守恒
水平桌面上。它可绕O点垂直于桌面的固定光滑轴转动。另有一
水平运动的质量为m的小滑块，从侧面垂直于棒方向与棒发生碰
撞，设碰撞时间极短。已知碰撞前后小滑块速度分别为V1和V2. 求细棒碰撞后直到静止所需的时间是多少？
解： m与M碰撞过程，
o
系统（m,M）对O轴角动量守恒
mv1 L = −mv 2 L + Jω （1）
3L θ
4 L
mv
Ep =0
M
）
例4.
3.4 刚体角动量定理和角动量守恒定律
3.4 刚体角动量定理及其守恒定律1刚体的角动量∑∑⨯==iii i i i v m r L L Δ∑∑==iii i i i r v m L L Δ∑=iii i r ωr m Δω⎪⎭⎫⎝⎛=∑i i i r m 2ΔJ ω=i i i i v m r L Δ⨯=刚体的角动量等于各质元角动量的矢量和2刚体的角动量定理质点的角动量定理：Lt M t t ∆=⎰21d 质点受到的外力矩的冲量 =质点的角动量的增量 将刚体视为质点系：）（ω J ∆=其中某一质元 对整个刚体it t i L t M ∆=⎰21d 外∑⎰∑∆=ii t t ii L t M 21d 外刚体受到的总的外力矩的冲量=刚体的角动量的增量∑⎰∑∆=i zittiizLtM2 1d外）（ωzJ∆=关于定轴z刚体的内力不改变刚体的角动量定轴转动的刚体：221ωJ E k =∆=⎰=21d θθθM A )(d 21ωJ t M t t ∆=⎰外从角动量定理来讲，多推几圈，外力矩的作用时间更长，外力矩的冲量就越大，对角动量的改变也就更大，获得的角速度也就越大；那么，使劲儿的推一下，作用时间虽然短，但是外力矩大，也能让转盘嗖嗖的转起来。
从功能关系上讲，多推几圈转盘，外力矩作用的角位移更大，做功更多，获得的动能更多，转盘可以嗖嗖的转起来陀螺仪就是运用物体高速旋转时，角动量很大，旋转轴会一直稳定指向一个方向的性质，所制造出来的定向仪器，被广泛用于航空、航天和航海领域高速旋转的陀螺，可以稳定的保持直立状态，就是因为旋转角动量很大，外力矩（重力矩）的影响相对较小。
2角动量守恒定律当 ,0=外M 常量=ωJ 当定轴转动的刚体受到的外力矩为零，刚体关于定轴的角动量守恒什么情况下定轴转动的刚体受到的外力矩为零？sin ,0===⨯=θrF M F r M①不受外力 ②外力的作用线穿过轴线 ③外力与轴线平行=F②③外力矩为零，角动量守恒常量=ωJ J 减小，ω 增大 J 增大， ω 减小 重力重力 重力转轴外力矩为零，角动量守恒 常量=ωJ J 增大， ω 减小 J 减小， ω 增大例 :已知均匀棒长l 、质量M ，在竖直面内转动，一质量为m 的子弹以水平速度v 射入棒的下端，求棒与子弹开始一起运动时的角速度。
5 刚体的角动量定理和角动量守恒定律
角动量守恒定律
一．刚体的角动量定理
dL 刚体转动定理的 M dt 可以改写为 Mdt dL
对上式积分，得 式中 t
t2
1
t2
t1
t2 Mdt dL L2 L1
t1
Mdt
叫做合外力矩在
t 2 t1
时间内的冲量矩。上式表明：刚体所受合外力矩 的冲量矩，等于刚体在这段时间内刚体的角动量 的增量，这就是刚体的角动量定理。 在SI制中，冲量矩的单位式 N m s
I1 2kg m2 。 在外力推动后， 此系统开始以 n1 15 转/分转动， 转动中摩擦力矩忽略不计。
2 I 0 . 80 kg m 当人的两臂收回， 使系统的转动惯量就为 2 时， 它的转速 n2
。
光滑的水平桌面上有一长 2l、质量为 m 的匀质细杆，可绕过其中心、垂直于杆的竖直轴自 由转动。开始杆静止在桌面上。有一质量为 m 的小球沿桌面以速度 v 垂直射向杆一端，与 杆发生完全非弹性碰撞后，粘在杆端与杆一起转动。求碰撞后系统的角速度。
2 rel dt
0 T T 0
M 2m M
2M 因此，在此时间内，人相对ห้องสมุดไป่ตู้地面转过的角度为0 d t M 2m
T
M 2m M 2m T dt dt 0 M M
转台相对于地面转动的角度为
T
0
2m T 4m dt dt M 0 M 2m
2
二．角动量守恒定律 由刚体的角动量定理可见,当刚体所受的合外 力矩为零,则
L I 常量
3
上式说明,当刚体所受的合外力矩为零,或者不受外 力距的作用时,刚体的角动量保持不变,这就是角动量 守恒定律。 必须指出，这个定律不仅对一个刚体有效，对转动 惯量I会变化的物体，或者绕定轴转动的力学系统仍然 成立。如果转动过程中，转动惯量保持不变，则物体 以恒定的角速度转动；如果转动惯量发生改变，则物 体的角速度也随之改变，但两者之积保持恒定。 应用角动量守恒定律时，还应该注意的是，一个系 统内的各个刚体或质点的角动量必须是对于同一个固 定轴说的。
[理学]05-4刚体的角动量定理和角动量守恒定律
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双旋翼直升机不需要尾桨，它通过一对转向相反的螺 旋桨，保持系统的总角动量仍然为零
并轴双旋翼直升机通过在同轴心的内外两轴上安装 一对对转的螺旋桨来防止机身反向打转
鱼雷在其尾部也装有对转螺旋桨，其目的也是 为了消除单螺旋桨造成鱼雷自身的反转问题
为什么同手同脚地走路或 跑步会使人觉得别扭呢？ 当一侧的腿向前跨出时，另 一侧的臂必须同时向前摆出， 这样躯干的上端（肩）和下 端（髋）彼此向相反方向扭 转，而躯干的中段和头部则 大体保持在原来位置上，才 可以保证整个身体对于竖直 轴的角动量保持为零 腿臂的动作正确、协调配合，对加大步长、提高步频 都有一定作用，因而对提高跑步速度有明显影响
对绕定轴转动的可变形物体而言，在不同状态下
物体对转轴的转动惯量可能不同，但是如果它所 受合外力矩为零，那么它的角动量也将保持不变
花样滑冰运动员利用四肢的伸缩改变自身的 转动惯量，可以改变绕自身竖直轴的角速度
合外力矩为零不仅是绕定轴转动刚体角动量守恒的
条件，也是任何质点系对角动量守恒的条件
l
M
m
v0
系统的角动量守恒
mv0l J
1 2 2 J ? Ml ml 3
l
M
棒的转 子弹的转 动惯量 动惯量
m
v0
mv0 M ( m)l 3
例1 一质量为M，长为l 的均质细棒，可绕过其顶端的 水平轴自由转动。当杆静止时，一质量为m的子弹以 水平速度v0射入细杆底端并穿出，穿出后子弹速度损 失3/4，求子弹穿出后棒的角速度 O 取子弹和细杆作为系统，在子弹射入 棒端并从棒中穿出的过程中，子弹与 M 细杆之间的作用力为内力，转轴上的 l 作用力和重力不产生力矩，系统所受 m 外力矩为零，系统角动量守恒
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对绕定轴转动的可变形物体而言，在不同状态下
物体对转轴的转动惯量可能不同，但是如果它所 受合外力矩为零，那么它的角动量也将保持不变
花样滑冰运动员利用四肢的伸缩改变自身的 转动惯量，可以改变绕自身竖直轴的角速度
合外力矩为零不仅是绕定轴转动刚体角动量守恒的
条件，也是任何质点系对角动量守恒的条件
双旋翼直升机不需要尾桨，它通过一对转向相反的螺 旋桨，保持系统的总角动量仍然为零
并轴双旋翼直升机通过在同轴心的内外两轴上安装 一对对转的螺旋桨来防止机身反向打转
鱼雷在其尾部也装有对转螺旋桨，其目的也是 为了消除单螺旋桨造成鱼雷自身的反转问题
为什么同手同脚地走路或 跑步会使人觉得别扭呢？ 当一侧的腿向前跨出时，另 一侧的臂必须同时向前摆出， 这样躯干的上端（肩）和下 端（髋）彼此向相反方向扭 转，而躯干的中段和头部则 大体保持在原来位置上，才 可以保证整个身体对于竖直 轴的角动量保持为零 腿臂的动作正确、协调配合，对加大步长、提高步频 都有一定作用，因而对提高跑步速度有明显影响
O
L
m
m
以单摆和细杆作为系统，在碰撞过程系统所受合 外力矩为零，系统角动量守恒
O
设小球绳长为l， 根据角动量守恒 弹性碰撞， 机械能守恒
mvl J
1 2 1 2 mv J 2 2
1 2 mL 3
L
l
m
m
3 l L 3
例4一质量为M、半径为R的圆形水平转台可绕通过其中 心的光滑竖直轴转动。质量为m的人站在转台上距转轴 为R/2处，设开始时转台与人相对于地面以角速度0匀 速转动，求此人走到转台边缘时，人和转台一起转动的 角速度
二 定轴转动刚体的角动量定理
根据转 动定律
刚体对定轴的转动惯量不变
d M J J dt
z
k
O
F
r
作用在刚体上的合外力对转轴的力 矩等于刚体对转轴的角动量变化率
两边做积分
d( J ) dL M dt dt
t2
t Mdt L dL L2 L1
L2
1
质量 力 运动规律
d d 2 2 dt dt
d dt
m
F ma
F
m r
2
i i
r dm
2
M z F d
M J
转动定律
质点的运动
动量
刚体的定轴转动
角动量
p mv
L J
动量定理
时间 累积
t2
t1
Fdt p2 p1
两端带小球的轻质细杆 对转轴的转动惯量
O
1 l 3 2 l 3
2 2 1 2 J m( l ) 2m( l ) 3 3 2 2 ml 3
v0 2 v0
m
m
整个系统受外力矩为零，所以角动量守恒
v0 2 2 2 2 mv0 l m l ml 3 2 3 3
细杆获得的角速度
取子弹和细杆作为系统，在子弹射入 棒端并从棒中穿出的过程中，子弹与 细杆之间的作用力为内力，转轴上的 作用力和重力不产生力矩，系统所受 外力矩为零，系统角动量守恒
O
M
m
v0
l
v0 / 4
1 1 2 mv0l Ml m v0l 3 4
9mv0 4Ml
例2 一长为l 的轻质细杆，两端分别固定质量为m 和2m 的小球，杆可绕水平光滑轴O转动，转轴O距杆的两端 分别为l/3和2l/3，今有一质量为m点小球以水平速度v0 与杆下端小球m做对心碰撞后以v0/2的速率返回，求碰 撞后细杆获得的角速度 2m
0
m
M
R
O
取人与转台为一系统，由于转 台和人的重力以及转轴对转台 的支承力都平行于转轴，这些 力对转轴的力矩为零，所以该 系统对转轴的角动量守恒
0
M1 2 [ MR m( ) ]0 [ MR 2 mR 2 ] 2 2 2 2M m 0 2 M 4m
角动量定理
t2
t1
Mdt L2 L1
动量守恒定律 F外 0
角动量守恒定律
mi vi 恒量
M 0 L 恒量
i
质点的运动 力的功 W F dr
空 间 累 积
刚体的定轴转动
力矩 W M d 的功 转动 动能
1 2 动能 EK mv 2
z
O
ri
L mi ri vi mi ri
2
vi
mi
整个刚体对转轴的角动量等于刚体 上所有质元对转轴角动量的和
Lz mi ri ( mi ri )
2
2
刚体对转轴Oz的转动惯量J 刚体对定轴 Lz J ——描写刚体绕定轴转 的角动量 动状态的物理量 如何改变刚体的角动量？
例5 一质量为M、半径为R的圆形水平转台可绕通过其 中心的光滑竖直轴转动。质量为m的人站在转台边缘。 开始时人和转台都相对于地面静止。求当人沿转台边缘 走完一周时，转台对地面转过的角度 取人和转台作为系统，在人走 动过程中，人和转台之间的作 用力为内力，系统所受外力方 向都与转轴平行，对轴不产生 力矩，系统角动量守恒
m
O
M
R
1 0 MR 21 mR 22 2
1 2 mR 2 MR 1 2
2
人在转台上走一周，对台走过2 对地走过的角度
d1 1 2 d 2 mR MR dt 2 dt 1 m 2 2 mR d1 MR d 2 2 1 2 1 2 mR d MR2d 0 0 2 1 m1 M 2 2
2m
O
1 l 3 2 l 3
3v0 2l
v0 2 v0
m
m
例3 一长度为L、质量为m的均质细棒的一端悬于O点， 并可绕过O点的水平轴自由转动。在O点又有一轻绳， 悬挂一质量也为m的小球。当小球偏离竖直方向某一角 度由静止开始释放，并与静止的细杆发生弹性碰撞，问 当绳为多长时，碰后小球刚好静止
1
合外力矩的冲量矩
刚体角动量的增量
定轴转动刚体的角动量定理
dL M dt
——力矩是改变刚体角动量的原因 定轴转动刚体角动量定理的积分形式
t2
t1
Mdt L2 L1
——反映了力矩对时间的累积效果
作用在绕定轴转动刚体上的合外力矩在某段时间 内的冲量距等于刚体在同一时间内角动量的增量
三 刚体的角动量守恒定律
动能定理
1 2 Ek J 2
动能定理
1 2 1 2 W mv2 mv1 2 2
机械能守恒定律
1 2 1 2 W J2 J1 2 2
W外 W非保内 0
Ek E p 恒量
m v
O
v m
例6 AB两飞轮的轴杆在同一直线上，设两轮的转动惯 量分别为 JA＝10 kg· 2 和 JB＝20kg· 2。开始时A轮转 m m 速为600 rev/min，B轮静止。当A和B啮合时，B轮加速 而A轮减速，直到两轮的转速相等为止。设轴光滑，求： 1) 两轮啮合后的转速； 2) 两轮各自所受的冲量矩
对于由几个物体组成的系统，如果它们都围绕同 一定轴转动，那么当该系统所受合外力矩为零时， 系统对该定轴的合角动量不变
M外 0
J ii 常量
如果该系统原来是静止的，则总角动量为零。当 通过内力使系统的一部分转动时，另一部分必会 沿反方向转动，而系统的总角动量仍将保持为零
当直升机上方的旋翼转动时，它必然引起机身反向打 转，以维持总角动量为零，而直升机侧向的尾桨可以 提供一个附加的水平力，保证机身不打转
B 轮受的冲量矩
t2
t1
M B dt J B 4.19 10 N m s
2
两圆柱A、B分别绕自身的中心轴O1和O2转动，如果开 始时两圆柱分别以角速度10、20同向旋转，然后缓 缓使它们相互接触，当接触处无相对滑动时，两圆柱 各自的角速度分别为多少？
10
f
m1
O1 R1
角动量守恒定律并不包含在动量守恒或能量守恒定
律中，所以它是自然界一个独立的基本定律，不仅 适用于经典力学领域，也适用于微观和高速领域
例1 一长为l、质量为M的均质棒，放在水平光滑桌面上， 棒可绕通过其一端的固定光滑轴O转动。初始时棒静止， 今有一水平运动的子弹垂直地射入棒的另一端并留在棒 中，如果子弹的质量为m，速率为v0，求棒开始和子弹 一起转动时角速度 取棒和子弹为一系统 由于转轴O处有冲力作用， 所以系统的动量不守恒！ 由于O处的冲力通过转轴， 所以系统受外力矩为零，系 统的角动量守恒
2
O
M
R
1 2 2
4m 2 M 2m
一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O 转动， 如图射来两个质量相同，速度大小相同，方向相反 并在一条直线上的子弹，子弹射入圆盘并且留在盘 内，则子弹射入后的瞬间，圆盘的角速度
A. 增大 B. 不变 C. √ 减小 D. 不能确定
l
M
m
v0
系统的角动量守恒
mv0l J
1 2 2 J ? Ml ml 3
l
M
棒的转 子弹的转 动惯量 动惯量
m
v0
mv0 M ( m)l 3
例1 一质量为M，长为l 的均质细棒，可绕过其顶端的 水平轴自由转动。当杆静止时，一质量为m的子弹以 水平速度v0射入细杆底端并穿出，穿出后子弹速度损 失3/4，求子弹穿出后棒的角速度
根据
t2
t1
Mdt L2 L1
刚体所受外力矩为零
M 0