05-4刚体的角动量定理和角动量守恒定律

双旋翼直升机不需要尾桨，它通过一对转向相反的螺 旋桨，保持系统的总角动量仍然为零
并轴双旋翼直升机通过在同轴心的内外两轴上安装 一对对转的螺旋桨来防止机身反向打转
鱼雷在其尾部也装有对转螺旋桨，其目的也是 为了消除单螺旋桨造成鱼雷自身的反转问题
为什么同手同脚地走路或 跑步会使人觉得别扭呢？ 当一侧的腿向前跨出时，另 一侧的臂必须同时向前摆出， 这样躯干的上端（肩）和下 端（髋）彼此向相反方向扭 转，而躯干的中段和头部则 大体保持在原来位置上，才 可以保证整个身体对于竖直 轴的角动量保持为零 腿臂的动作正确、协调配合，对加大步长、提高步频 都有一定作用，因而对提高跑步速度有明显影响
角动量守恒定律并不包含在动量守恒或能量守恒定
律中，所以它是自然界一个独立的基本定律，不仅 适用于经典力学领域，也适用于微观和高速领域
例1 一长为l、质量为M的均质棒，放在水平光滑桌面上， 棒可绕通过其一端的固定光滑轴O转动。初始时棒静止， 今有一水平运动的子弹垂直地射入棒的另一端并留在棒 中，如果子弹的质量为m，速率为v0，求棒开始和子弹 一起转动时角速度 取棒和子弹为一系统 由于转轴O处有冲力作用， 所以系统的动量不守恒！ 由于O处的冲力通过转轴， 所以系统受外力矩为零，系 统的角动量守恒
0
m
M
R
O
取人与转台为一系统，由于转 台和人的重力以及转轴对转台 的支承力都平行于转轴，这些 力对转轴的力矩为零，所以该 系统对转轴的角动量守恒
0
M
m
R
O
1 R 2 1 2 [ MR m( ) ]0 [ MR 2 mR 2 ] 2 2 2 2M m 0 2 M 4m

l
M
m
v0
系统的角动量守恒
mv0l J
1 2 2 J ? Ml ml 3

l
M
棒的转 子弹的转 动惯量 动惯量
m
v0
mv0 M ( m)l 3
例1 一质量为M，长为l 的均质细棒，可绕过其顶端的 水平轴自由转动。当杆静止时，一质量为m的子弹以 水平速度v0射入细杆底端并穿出，穿出后子弹速度损 失3/4，求子弹穿出后棒的角速度
例5 一质量为M、半径为R的圆形水平转台可绕通过其 中心的光滑竖直轴转动。质量为m的人站在转台边缘。 开始时人和转台都相对于地面静止。求当人沿转台边缘 走完一周时，转台对地面转过的角度 取人和转台作为系统，在人走 动过程中，人和转台之间的作 用力为内力，系统所受外力方 向都与转轴平行，对轴不产生 力矩，系统角动量守恒
取子弹和细杆作为系统，在子弹射入 棒端并从棒中穿出的过程中，子弹与 细杆之间的作用力为内力，转轴上的 作用力和重力不产生力矩，系统所受 外力矩为零，系统角动量守恒
O
M
m
v0
l
v0 / 4
1 1 2 mv0l Ml m v0l 3 4
9mv0 4Ml
例2 一长为l 的轻质细杆，两端分别固定质量为m 和2m 的小球，杆可绕水平光滑轴O转动，转轴O距杆的两端 分别为l/3和2l/3，今有一质量为m点小球以水平速度v0 与杆下端小球m做对心碰撞后以v0/2的速率返回，求碰 撞后细杆获得的角速度 2m
角动量定理

t2
t1
Mdt L2 L1
动量守恒定律 F外 0
角动量守恒定律
mi vi 恒量
M 0 L 恒量
i
质点的运动 力的功 W F dr
空 间 累 积
刚体的定轴转动
力矩 W M d 的功 转动 动能

1 2 动能 EK mv 2
4-3 刚体的角动量定理 角动量守恒定律
研究质点绕定点的圆周运动，
用角动量描述比较方便
L mr v
当刚体绕定轴转动时，刚体
上各质点都在围绕转轴做半 径不同的圆周运动
转动的刚体具有角动量 如何表示刚体绕定轴 转动的角动量呢？
一 定轴转动刚体的角动量
在定轴转动的刚体上，每个质元对 转轴都有确定的角动量
1
合外力矩的冲量矩
刚体角动量的增量
定轴转动刚体的角动量定理
dL M dt
——力矩是改变刚体角动量的原因 定轴转动刚体角动量定理的积分形式

t2
t1
Mdt L2 L1
——反映了力矩对时间的累积效果
作用在绕定轴转动刚体上的合外力矩在某段时间 内的冲量距等于刚体在同一时间内角动量的增量
三 刚体的角动量守恒定律
动能定理
1 2 Ek J 2
动能定理
1 2 1 2 W mv2 mv1 2 2
机械能守恒定律
1 2 1 2 W J2 J1 2 2
W外 W非保内 0
Ek E p 恒量
m
O
M
R
1 0 MR 21 mR 22 2
1 2 mR 2 MR 1 2
2
人在转台上走一周，对台走过2 对地走过的角度
d1 1 2 d 2 mR MR dt 2 dt 1 m 2 2 mR d1 MR d 2 2 1 2 1 2 mR d MR2d 0 0 2 1 m1 M 2 2
m v
O
v m

例6 AB两飞轮的轴杆在同一直线上，设两轮的转动惯 量分别为 JA＝10 kg· 2 和 JB＝20kg· 2。开始时A轮转 m m 速为600 rev/min，B轮静止。当A和B啮合时，B轮加速 而A轮减速，直到两轮的转速相等为止。设轴光滑，求： 1) 两轮啮合后的转速； 2) 两轮各自所受的冲量矩
质量 力 运动规律
d d 2 2 dt dt
d dt
m
F ma
F
m r
2
i i
r dm
2
M z F d
M J
转动定律
质点的运动
动量
刚体的定轴转动
角动量
p mv
L J
动量定理
时间 累积

t2
t1
Fdt p2 p1
2m
O
1 l 3 2 l 3
3v0 2l
v0 2 v0
m
m
例3 一长度为L、质量为m的均质细棒的一端悬于O点， 并可绕过O点的水平轴自由转动。在O点又有一轻绳， 悬挂一质量也为m的小球。当小球偏离竖直方向某一角 度由静止开始释放，并与静止的细杆发生弹性碰撞，问 当绳为多长时，碰后小球刚好静止
z
O

ri
L mi ri vi mi ri
2
vi
mi
整个刚体对转轴的角动量等于刚体 上所有质元对转轴角动量的和
Lz mi ri ( mi ri )
2
2
刚体对转轴Oz的转动惯量J 刚体对定轴 Lz J ——描写刚体绕定轴转 的角动量 动状态的物理量 如何改变刚体的角动量？
对绕定轴转动的可变形物体而言，在不同状态下
物体对转轴的转动惯量可能不同，但是如果它所 受合外力矩为零，那么它的角动量也将保持不变
花样滑冰运动员利用四肢的伸缩改变自身的 转动惯量，可以改变绕自身竖直轴的角速度
合外力矩为零不仅是绕定轴转动刚体角动量守恒的
条件，也是任何质点系对角动量守恒的条件
两端带小球的轻质细杆 对转轴的转动惯量
O
1 l 3 2 l 3
2 2 1 2 J m( l ) 2m( l ) 3 3 2 2 ml 3
v0 2 v0
m
m
整个系统受外力矩为零，所以角动量守恒
v0 2 2 2 2 mv0 l m l ml 3 2 3 3
细杆获得的角速度
B 轮受的冲量矩

t2
t1
M B dt J B 4.19 10 N m s
2
两圆柱A、B分别绕自身的中心轴O1和O2转动，如果开 始时两圆柱分别以角速度10、20同向旋转，然后缓 缓使它们相互接触，当接触处无相对滑动时，两圆柱 各自的角速度分别为多少？
10
f
m1
O1 R1
2
O
M
R
1 2 2
4m 2 M 2m
一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O 转动， 如图射来两个质量相同，速度大小相同，方向相反 并在一条直线上的子弹，子弹射入圆盘并且留在盘 内，则子弹射入后的瞬间，圆盘的角速度
A. 增大 B. 不变 C. √ 减小 D. 不能确定
对于由几个物体组成的系统，如果它们都围绕同 一定轴转动，那么当该系统所受合外力矩为零时， 系统对该定轴的合角动量不变
M外 0
J ii 常量
如果该系统原来是静止的，则总角动量为零。当 通过内力使系统的一部分转动时，另一部分必会 沿反方向转动，而系统的总角动量仍将保持为零
当直升机上方的旋翼转动时，它必然引起机身反向打 转，以维持总角动量为零，而直升机侧ห้องสมุดไป่ตู้的尾桨可以 提供一个附加的水平力，保证机身不打转
根据

t2
t1
Mdt L2 L1
刚体所受外力矩为零
M 0
L J 常量
当作用在定轴转动刚体上的合外力 矩为零时，刚体的角动量保持不变
讨论：
由于刚体绕定轴转动的转动惯量为一常量，所以当
刚体所受合外力矩为零时，刚体转动的角速度不变
地球近似为一刚体，所以地球的自转周期基本恒定，但活跃的 地壳运动可以改变地球的转动惯量，从而影响地球的自转周期
A

A
B
A

A
B
选择A、B 两轮为系统，啮合过程中只有内力矩作用， 系统角动量守恒
J A A J BB ( J A J B )
J A A 200 rev/min J A JB
A

A
A 轮受的冲量矩
B
2

t2
t1
M Adt J A ( A ) 4.19 10 N m s
O
L
m
m
以单摆和细杆作为系统，在碰撞过程系统所受合 外力矩为零，系统角动量守恒
O
设小球绳长为l， 根据角动量守恒 弹性碰撞， 机械能守恒
mvl J
1 2 1 2 mv J 2 2
1 2 mL 3
L
l
m
m
3 l L 3
例4一质量为M、半径为R的圆形水平转台可绕通过其中 心的光滑竖直轴转动。质量为m的人站在转台上距转轴 为R/2处，设开始时转台与人相对于地面以角速度0匀 速转动，求此人走到转台边缘时，人和转台一起转动的 角速度
20
m2 O2 R2
1
2
O2 R2
O1 R1
f
取两圆柱为一系统，该系统受到的合外力矩为零，而 两圆柱相互接触处的摩擦力是内力矩，那么该系统是 否角动量守恒呢？
质点的运动
刚体的定轴转动
角速度 角加速度 转动 J 惯量 力矩
dr 速度 v dt 2 dv d r 2 加速度 a dt dt
二 定轴转动刚体的角动量定理
根据转 动定律
刚体对定轴的转动惯量不变
d M J J dt
z
k
O
F
r

作用在刚体上的合外力对转轴的力 矩等于刚体对转轴的角动量变化率
两边做积分
d( J ) dL M dt dt
t2
t Mdt L dL L2 L1
L2
1