多目标决策分析中的目标关联分析法_汪晓程

如果没有大量的历史数据, 可采用专家直接 对两两目标之间的 关联程度打分, 取平均值再归一 化的方
法. 具体实 现时, 可事 先将关联程 度在 0～1 值之 间分成几个 等级, 设定各个等 级所对应标 准化的等 级值
( 关联程度越大, 等级值越高) , 请 专家按等级值评定, 统计目标 i 与目标 j 关联程度 的专家打分 值的总和,
A F= A ( L TY) = ( A L T) Y= BY
所以
B= ALT
2. 4 方案选优
因为各 新目标对应的特征值 Ki 的大小反 映该目标对系统总 体目标的贡献程度, 因此确定 Y 的权 重为
关联矩阵 R 的特征值 K, 得到如下的评价表[2] .
表 4 各方案在新目标下的综合评价值
权重 方案
≤ 1, 其中, rij = 0 表示目标 i 与目标 j 间无关联, r ij = 1 表示目 标 i 与目标 j 间有最大关联. 如表 2 所示: 表 2 目标二元关系分析表
二元关系 目 标
目标 1
目标 2
…
目标 n
方 案
f1
f2
fn
目标 1( f 1)
r 11
r12
…
r 1n
目标 2( f 2)
摘要: 针对多目标决策中的各目标 之间存在相互联系, 提出了“目标关联分析法 ”, 通过建立目标关 联矩阵, 运用线性变换将原来相互关 联的目标变换成一组等价的独立目标, 进而确 定影响系统运行的 主要因素及权重, 同时将各方案的原 目标取值转换为独立目标下的取值, 为多目标 问题的分析和决策 提供了一种新方法. 关键词: 多目标决策; 目标关联分析法; 目标变换 中图分类号: O 223 a
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系统工程理论与实践
W k = max ( W 1, W 2, …, W m)
i
W k 所对应的方案 A k 为最优的决策方案.
2000 年 12 月
3Байду номын сангаас应用实例
某部 队为执行一项军事 任务初步提出了三 个机务保障方案, 三个方案各项 指标的数据 ( 表 5) , 试 从中
选出最优方案.
表 5 三个待选方案的 n 个目标取值
2 目标关联分析法
设多目标决策问题有 n 个目标 F= ( f 1 , f 2, …, f n) T, 各目标之间相互关联 . 共有 m 个替代方案: A 1, A 2, …, A m, 各方案在每个目标上的取值如表 1 所示:
a 收稿日期: 1998-11-16
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系统工程理论与实践
2000 年 12 月
T he Object ive Relation A nalysis M ethod for M ultiobject ive Decision M aking and Analysis
W ANG Xiao-cheng1, WAN G Ying2
( 1. Department of A er onautical Engineer ing M anag ement , T he A ir Fo rce I nstitute o f Engineer ing , X i'an 710038; 2. M anag ement Scho ol, X i'an Jiaot ong U niver sity , Xi'a n 710049)
各 特征根对于总体的贡 献率( 占总 体的百分比) 来确定取舍. 同样, 各方 案在原目标 空间 F 上的取 值为 A
( 经过数据规范化处理) , 映射到新的目标空间 Y 上的取值 B , 则 B 可表示为:
B = ALT
证明如下: ∵Y = L F , L - 1= L T ∴F= L T Y
Abstract : Because the objective is usually related t o each o ther in multio bjectiv e decision making , the o bjectiv e r elation analysis method is pr oposed. Wit h building object ive relation ma trix , the r elated object ives co uld be tr ansfo rmed into a g r oup o f independent o nes which is equal to the for mer . T hen the pr ima ry elements o f system and t heir weights ar e decided also. T he o rig inally o bjectiv e values of ar r ang ements ar e tr ansfo rm ed into the values based on independent o bjectiv es too . Keywords: multiobjective decisio n making ; o bjectiv e r elat ion analy sis method; object ive t ransfor ming
再除以专家总人数即为目标 i 与目标 j 的关联系数 rij.
2. 3 目标及各方案目标取值的变换
2. 3. 1 求变换 矩阵 L
采用线 性代数[2] 中化相关 向量为独立向量的 线性变换方法, 先求出线性 变换矩阵 L , L 的计算方 法如
下:
求出关联矩阵 R 的特征值 K和单位特 征向量 S. 设 R 有 k ( k ≤n) 个大于零的特征根, 记为: K1 > K2 > …
目标
目标 1 目标 2
…
目标 k
综合评价值
Y1
Y2
…
Yk
n
K1
K2
…
Kk
6 W i =
( Kj bij )
i= 1
方案 1(A 1)
b 11
b12
…
b1k
W1
方案 2(A 2)
b 21
b22
…
b2k
W2



方案 m( A m)
bm1
bm2
…
bmk
Wm
对方案 A i 求出综合评价值 W i, 取最大 的 W i 所对应的方案为最优的决策方案. 即:
r 21
r22
…
r 2n


目标 n( f n)
rn1
rn2
…
r nn
根据二元关系的性质, R 为实对称矩阵. 下面讨论 R 的计算方法. 可采用如下两 种方法得到 R , 即统 计分析
法和专家评估法.
2. 2. 1 统计分析 法
如果存在大量的历史数据 , 可通过统计分析充分利用这些数据, 得到相关关系矩阵. 这时 可将系统 n 个
0. 64 1 0. 7 0. 3 R=
0. 29 0. 7 1
0. 1 0. 3 0. 84 1
对应于以上特征值的特征向量矩阵 为:
表 6 特征值及其贡献率
0. 28 0. 67 0. 62 - 0. 14 0. 54 0. 36 - 0. 61 0. 46 U= 0. 59 - 0. 30 - 0. 20 - 0. 72 0. 47 - 0. 58 0. 45 0. 50 如要 求所取特征值反映 的信息量占总体 信息量的 90% 以上, 则从累计特征值 所占百分比 看, 只 需取前两 项即可, 也就是说, 只需取两个 主因子. 对应 于前两列 特征向量, 可求得变换矩阵 L :
2000 年 12 月
系统工程理论与实践
文章编号: 1000-6788( 2000) 12-0063-04
第 12 期
多目标决策分析中的目标关联分析法
汪晓程1, 王 瑛2
( 1. 空军工程学院航空工程管理系, 陕西 西安 710038; 2. 西安交通大学管理学院, 陕西 西安 710049)
纲, 使各指标之间具有可比性, 具体的计算方法有 很多, 如可采用如下计算公式:
a
′ ij
=
aij - a-j Sj
6 其中: a-j =
1 m
m
aij ,
i= 1
S
2 j
=
1 m-
2. 2 计算各目标的关联矩阵 R
m
61
( aij
i= 1
-
a-j ) 2 j =
1, 2, … , n
目标关联分析法的基本点是计算各 目标间的关联矩阵. 设各目标间相互关 联矩阵为 R, 并规定 0 ≤ rij
…, Sk) T = UT
2. 3. 2 目标及 各方案目标取值的变换
通过线性变换 Y = L F 可将原来 n 个相关的目标转换成 k( k≤n) 个独立的综合目标. 由于各目 标间线
性无关, 就使得在 分析与决策 各目标时, 切断相 关的干扰, 找出主 要目标, 作出更准 确的决策, 这时可 根据


样本 m
ym1
ym2
…
y mn
其中:
6 Y- j =
1 m
m
Y ij j
i= 1
=
1, 2, …, n
6 s2j =
1m
m-
1
(
i= 1
Yij
-
Y- j ) 2 j =
1, 2, …, n
得到标准 化后的样本 X , 可以证明 E( X ) = 0, 设 R
= E(XXT)
R = E( X X T ) = E( X ) õ E( X T ) + cov ( X X T ) = cov( X X T )
序号 特征值 占总体百分比 累计百分比
1 2. 49 2 1. 13 3 0. 35 4 0. 031
62. 25 68. 25 8. 74 0. 76
62. 25 90. 50 99. 24 100. 00
0. 28 0. 54 0. 59 0. 47 L=
0. 67 0. 36 - 0. 30 - 0. 58 可以看出, 两个因子中, f 1 是全面反映各指标情况的因子, 而 f 2 却不同, 它反映了对飞机 良好率、飞 机可用 率这两项增长有利, 而对维修工时率、航材消耗率 增长不利的因子. 也就是说, 按原有统计资料得出的相关
1 问题的提出
复杂系统的研究往往归结为一个 多目标决策问题, 各目标之间 常常存在相互联系, 这种相互联 系反映 了系统内部各要素之间的相互作 用和运行规律. 因此, 分析各目标 之间的相互联系, 将一组相互关 联的目 标转化为一组等价的独立目标, 确定影响系统运 行的主要因素, 为分析和简化多 目标决策问题提供 了解决 问题的思路. 基于这一思想, 我们在研究“航空维修质量分析”的项目中, 提出了“目标关联分析法”, 为解决 这一类多目标决策分析问题提供了一个 基本方法.
指 标 方 案
飞机良好率
飞机可用率
维修工时率
航材消耗率
A
89. 5
94. 0
74. 5
90. 0
B
82. 5
86. 5
58. 5
45. 0
C
95. 0
100. 0
82. 5
95. 0
这是 一个四指标决策 问题, 根据历史数 据, 各 指标间有较 强的相关性 , 采用 本文介绍的 目标关联 法计
算如下: 根据 50 个历史数据, 经数据规范化, 计算目标的关联矩阵 R 1 0. 64 0. 29 0. 1
其中:
第 12 期
多目标决策分析中的目 标关联分析法
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m
6 ( X ki õ X kj )
Rij =
k= 1
m
m
i, j = 1, 2, …, n
6 6 ( X ki) 2 ( X kj ) 2
k= 1
k= 1
R 为实对称的非负定的 n 阶协方差矩阵[1] , 将 R 作为关联矩阵 R.
2. 2. 2 专家评 估法
> Kk> 0, Sk 为 Kk 所对应的单位特征向量, 其 中:
RS= KS
( Kõ I - R ) S= 0 S非零
( 1)
ûKõ I - R û = 0
( 2)
由 ( 2) 求出特 征根( K1 , K2, …, Kk) , 带 入( 1) 得单位特征 向量矩阵 U = ( S1, S2 , …, Sk ) , 得变换矩 阵 L = ( S1, S2,
目标看作 n 维空间的 n 个随机变量[ 1] , 系统的 n 个目标取值的一组样本如表 3 所示:
表 3 n 个目标取值的一组样本数据
目标 样本
目标 1 目标 2
…
目标 n
对样本进行标准化处理, 其计算式为 :
xij =
Yij Sj
-Yj
样本 1
y 11
y 12
…
y1n
样本 2
y 21
y 22
…
y2n
表 1 各方案在每个目标的取值
取 值
目 标
目标 1
目标 2
…
目标 n
方 案
f1
f2
fn
方案 1( A 1)
a11
a 12
…
a1n
方案 2(A 2)
a21
a 22
…
a2n


方案 m( A m)
am1
am2
…
amn
2. 1 数据规范化 由于多目标问题目标间的不可 公度性, 对 表 1 中的所有数据要 进行标准化转换, 消除原来各指 标的量