平面向量的应用教学案 (5)

平面向量的应用

一、教学目标

1.能用向量方法解决某些简单的平面几何中的距离(线段长度)、夹角等问题．

2.能用向量方法解决物理中的有关力、速度等方面的问题 二、教学重点

1.能用向量方法解决某些简单的平面几何中的距离(线段长度)、夹角等问题．

2.能用向量方法解决物理中的有关力、速度等方面的问题 三、教学难点

能用向量方法解决物理中的有关力、速度等方面的问题 四、教学过程 知识提炼

1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”

第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系； 第三步，把运算结果“翻译”成几何关系． 2．向量在物理中的应用

(1)物理问题中常见的向量有力，速度，加速度，位移等．

(2)向量的加减法运算体现在力，速度，加速度，位移的合成与分解． (3)动量mv 是向量的数乘运算． (4)功是力F 与所产生的位移s 的数量积.

思考尝试

1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)求力F 1和F 2的合力可按照向量加法的平行四边形法则．( ) (2)若△ABC 为直角三角形，则有AB →·BC →

＝0.( ) (3)若向量AB →∥CD →

，则AB ∥CD .( )

解析：(1)正确．物理中的力既有大小又有方向，所以力可以看作向量，F 1，F 2的合力可按照向量加法的平行四边形法则求解．

(2)错误．因为△ABC 为直角三角形，∠B 并不一定是直角，有可能是∠A 或∠C 为直角．

(3)错误．向量AB →∥CD →

时，直线AB ∥CD 或AB ，CD 重合．

答案：(1)√ (2)× (3)×

2．在四边形ABCD 中，若AB →＋CD →＝0，AC →·BD →

＝0，则四边形为( ) A ．平行四边形 B ．矩形 C ．等腰梯形 D ．菱形

解析：由题意可知，AB →∥CD →，|AB →|＝|CD →|，且AC →⊥BD →

，所以四边形ABCD 为菱形．答案：D

3．在△ABC 中，若(CA →＋CB →)·(CA →－CB →

)＝0，则△ABC 为( )

A ．正三角形

B ．直角三角形

C ．等腰三角形

D ．形状无法确定 解析：因为(CA →＋CB →)·(CA →－CB →)＝0，

所以CA 2→－CB 2→＝0，CA 2→＝CB 2

→，所以CA ＝CB ，△ABC 为等腰三角形． 4. 一物体受到相互垂直的两个力F 1，F 2的作用，两力大小都为5 3 N ，则两个力的合力的大小为________．

解析：设合力为F ，则F 1⊥F 2，且F ＝F 1＋F 2，|F |＝

（F 1＋F 2）2＝

F 21＋2F 1·F 2＋F 22＝（53）2＋2×0＋（53）2

＝5 6.答案：5 6

5．已知力F ＝(2，3)作用在一物体上，使物体从A (2，0)移动到B (－2，3)，则F 对物体所做的功为________焦耳．

解析：由已知位移AB →＝(－4，3)，所以力F 做的功为W ＝F ·AB →

＝2×(－4)＋3×3＝1.答案：1 类型1 平面几何中的垂直问题

例1、如右图所示，四边形ADCB 是正方形，

P 是对角线DB 上的一点，四边形PFCE 是矩形．试用向量证明： PA ⊥EF .

证明：以点D 为坐标原点，DC 所在直线为x 轴，DA 所在直线为y 轴建立如右图所示的坐标系，设正方形的边长为1，|DP →

|＝λ(λ∈R)， 则A (0，1)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22λ，22λ，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫

1，22λ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫22λ，0.

于是PA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22λ，1－22λ，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫

22

λ－1，－22λ.

PA →·EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22λ⎝ ⎛⎭⎪⎫22λ－1＋⎝

⎛⎭⎪⎫1－22λ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22λ＝－22λ⎝ ⎛⎭⎪⎫

22λ－1＋1－22λ＝0，

所以PA →⊥EF →

，即PA ⊥EF . 归纳

对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件，即向量的数量积为0.而对于这一条件的应用，可以用向量关系式的形式，也可以用坐标的形式． 变式训练 求证：菱形的两条对角线互相垂直．

证明：如图所示，在菱形ABCD 中，AB ＝AD ，所以AB 2→＝AD 2

→.

(OB →－OA →)2＝(OD →－OA →)2，化简得：OB 2＋OA 2－2OA →·OB →＝OD 2→＋OA 2→－2OA →·OD →，又OB →＝－OD →，上式可化为： OA →·OB →－OA →·OD →＝OA →·(OB →－OD →)＝OA →·DB →＝0.

所以OA →⊥DB →

.所以AC ⊥BD .所以菱形的对角线互相垂直．

类型2 平面几何中的长度问题

例2、 已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，设AC ＝m ，BC ＝n .

(1)若D 为斜边AB 的中点，求证：CD ＝1

2

AB ；

(2)若E 为CD 的中点，连接AE 并延长交BC 于F .求AF 的长度(用m ，n 表示)． (1)证明：以C 为坐标原点，以边CB ，CA 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (0，m )，B (n ，0)，因为D 为AB 的中点，所以D ⎝ ⎛⎭

⎪⎫n 2，m 2，

所以|CD →|＝1

2

n 2

＋m 2

，|AB →

|＝

m 2

＋n 2

，所以|CD →|＝12|AB →|，即CD ＝1

2AB .

(2)解：因为E 为CD 的中点，所以E ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

n 4，m 4，

设F (x ，0)，则AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫

n 4，－34m ， AF →＝(x ，－m )．因为A ，E ，F 三点共线，

所以AF →＝λAE →.即(x ，－m )＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫n

4，－34m .

则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝n 4λ，

－m ＝－3

4m λ，故λ＝43，即x ＝n 3，所以F ⎝ ⎛⎭⎪⎫

n 3，0.