平面向量的应用教学案 (5)

平面向量的应用一、教学目标1.能用向量方法解决某些简单的平面几何中的距离(线段长度)、夹角等问题．2.能用向量方法解决物理中的有关力、速度等方面的问题 二、教学重点1.能用向量方法解决某些简单的平面几何中的距离(线段长度)、夹角等问题．2.能用向量方法解决物理中的有关力、速度等方面的问题 三、教学难点能用向量方法解决物理中的有关力、速度等方面的问题 四、教学过程 知识提炼1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系； 第三步，把运算结果“翻译”成几何关系． 2．向量在物理中的应用(1)物理问题中常见的向量有力，速度，加速度，位移等．(2)向量的加减法运算体现在力，速度，加速度，位移的合成与分解． (3)动量mv 是向量的数乘运算． (4)功是力F 与所产生的位移s 的数量积.思考尝试1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)求力F 1和F 2的合力可按照向量加法的平行四边形法则．( ) (2)若△ABC 为直角三角形，则有AB →·BC →＝0.( ) (3)若向量AB →∥CD →，则AB ∥CD .( )解析：(1)正确．物理中的力既有大小又有方向，所以力可以看作向量，F 1，F 2的合力可按照向量加法的平行四边形法则求解．(2)错误．因为△ABC 为直角三角形，∠B 并不一定是直角，有可能是∠A 或∠C 为直角．(3)错误．向量AB →∥CD →时，直线AB ∥CD 或AB ，CD 重合．答案：(1)√ (2)× (3)×2．在四边形ABCD 中，若AB →＋CD →＝0，AC →·BD →＝0，则四边形为( ) A ．平行四边形 B ．矩形 C ．等腰梯形 D ．菱形解析：由题意可知，AB →∥CD →，|AB →|＝|CD →|，且AC →⊥BD →，所以四边形ABCD 为菱形．答案：D3．在△ABC 中，若(CA →＋CB →)·(CA →－CB →)＝0，则△ABC 为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．形状无法确定 解析：因为(CA →＋CB →)·(CA →－CB →)＝0，所以CA 2→－CB 2→＝0，CA 2→＝CB 2→，所以CA ＝CB ，△ABC 为等腰三角形． 4. 一物体受到相互垂直的两个力F 1，F 2的作用，两力大小都为5 3 N ，则两个力的合力的大小为________．解析：设合力为F ，则F 1⊥F 2，且F ＝F 1＋F 2，|F |＝（F 1＋F 2）2＝F 21＋2F 1·F 2＋F 22＝（53）2＋2×0＋（53）2＝5 6.答案：5 65．已知力F ＝(2，3)作用在一物体上，使物体从A (2，0)移动到B (－2，3)，则F 对物体所做的功为________焦耳．解析：由已知位移AB →＝(－4，3)，所以力F 做的功为W ＝F ·AB →＝2×(－4)＋3×3＝1.答案：1 类型1 平面几何中的垂直问题例1、如右图所示，四边形ADCB 是正方形，P 是对角线DB 上的一点，四边形PFCE 是矩形．试用向量证明： PA ⊥EF .证明：以点D 为坐标原点，DC 所在直线为x 轴，DA 所在直线为y 轴建立如右图所示的坐标系，设正方形的边长为1，|DP →|＝λ(λ∈R)， 则A (0，1)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22λ，22λ，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22λ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫22λ，0.于是PA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22λ，1－22λ，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22λ－1，－22λ.PA →·EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22λ⎝ ⎛⎭⎪⎫22λ－1＋⎝⎛⎭⎪⎫1－22λ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22λ＝－22λ⎝ ⎛⎭⎪⎫22λ－1＋1－22λ＝0，所以PA →⊥EF →，即PA ⊥EF . 归纳对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件，即向量的数量积为0.而对于这一条件的应用，可以用向量关系式的形式，也可以用坐标的形式． 变式训练 求证：菱形的两条对角线互相垂直．证明：如图所示，在菱形ABCD 中，AB ＝AD ，所以AB 2→＝AD 2→.(OB →－OA →)2＝(OD →－OA →)2，化简得：OB 2＋OA 2－2OA →·OB →＝OD 2→＋OA 2→－2OA →·OD →，又OB →＝－OD →，上式可化为： OA →·OB →－OA →·OD →＝OA →·(OB →－OD →)＝OA →·DB →＝0.所以OA →⊥DB →.所以AC ⊥BD .所以菱形的对角线互相垂直．类型2 平面几何中的长度问题例2、 已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，设AC ＝m ，BC ＝n .(1)若D 为斜边AB 的中点，求证：CD ＝12AB ；(2)若E 为CD 的中点，连接AE 并延长交BC 于F .求AF 的长度(用m ，n 表示)． (1)证明：以C 为坐标原点，以边CB ，CA 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (0，m )，B (n ，0)，因为D 为AB 的中点，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2，m 2，所以|CD →|＝12n 2＋m 2，|AB →|＝m 2＋n 2，所以|CD →|＝12|AB →|，即CD ＝12AB .(2)解：因为E 为CD 的中点，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 4，m 4，设F (x ，0)，则AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n 4，－34m ， AF →＝(x ，－m )．因为A ，E ，F 三点共线，所以AF →＝λAE →.即(x ，－m )＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫n4，－34m .则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝n 4λ，－m ＝－34m λ，故λ＝43，即x ＝n 3，所以F ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 3，0.所以|AF →|＝13n 2＋9m 2，即AF 的长度为13n 2＋9m 2归纳用向量法求长度的方法1．利用图形特点选择基底，向量的数量积转化，用公式|a |2＝a 2求解． 2．建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.变式训练、 如图所示，已知在▱ABCD 中，AB ＝3，AD ＝1，∠DAB ＝π3，求对角线AC 和BD 的长．解：设AB →＝a ，AD →＝b ，a 与b 的夹角为θ，则|a |＝3，|b |＝1，θ＝π3.所以a·b ＝|a ||b |cos θ＝32.又因为AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b ，所以|AC →|＝ AC →2＝（a ＋b ）2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝13， |DB →|＝DB →2＝（a －b ）2＝a 2－2a·b ＋b 2＝7.所以AC 的长为13，DB 的长为7. 类型3 向量在物理中的应用例3、在重300 N 的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两则，与铅垂线的夹角分别为30°，60°(如右图所示)，求重物 平衡时，两根绳子拉力的大小．解：如右图所示，两根绳子的拉力之和OA →＋OB →＝OC →，且|OC →|＝|OG →|＝300(N)，∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°. 在△OAC 中，∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠AOC ＝30°，则∠OAC ＝90°，从而|OA →|＝|OC →|·cos 30°＝1503(N)，|AC →|＝|OC →|·sin 30°＝150(N)，|OB →|＝|AC →|＝150(N)．故与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N. 归纳利用向量处理物理问题的方法 1．利用向量处理力学问题的方法．解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题，即将力学各量之间的关系抽象成数学模型，再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象． 2．利用向量处理速度、位移问题的方法．解决此类问题的关键是利用平面向量的相关知识对速度、位移进行合成或分解． 变式训练、 用力F 推动一物体G ，使其沿水平方向运动s ，F 与G 的垂直方向的夹角为θ，则F 对物体G 所做的功为( )A ．F ·s cos θB ．F ·s sin θC ．|F ||s |cos θD ．|F ||s |sin θ解析：如下图所示，由做功公式可得：W ＝|F |·|s |sin θ. 答案：D五、课题练习：见变式训练 六、课题小结1．向量方法在平面几何中应用的五个主要方面(1)要证明两线段相等，如AB ＝CD ，则可转化为证明：AB →2＝CD →2.(2)要证明两线段平行，如AB ∥CD ，则只要证明：存在实数λ≠0，使AB →＝λCD →成立，且AB 与CD 无公共点．(3)要证明两线段垂直，如AB ⊥CD ，则只要证明数量积AB →·CD →＝0. (4)要证明A ，B ，C 三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使AB →＝λAC →. (5)要求一个角，如∠ABC ，只要求向量BA →与向量BC →的夹角即可． 2．向量在物理中应用时要注意三个问题(1)把物理问题转化为数学问题，也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型． (2)利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象．(3)在解决具体问题时，要明确和掌握用向量方法研究物理问题的相关知识．七、教学反思平面向量的应用一、学习目标1.能用向量方法解决某些简单的平面几何中的距离(线段长度)、夹角等问题．2.能用向量方法解决物理中的有关力、速度等方面的问题 二、学习过程 知识提炼1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系； 第三步，把运算结果“翻译”成几何关系． 2．向量在物理中的应用(1)物理问题中常见的向量有力，速度，加速度，位移等．(2)向量的加减法运算体现在力，速度，加速度，位移的合成与分解． (3)动量mv 是向量的数乘运算． (4)功是力F 与所产生的位移s 的数量积.思考尝试1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)求力F 1和F 2的合力可按照向量加法的平行四边形法则． ( ) (2)若△ABC 为直角三角形，则有AB →·BC →＝0. ( )(3)若向量AB →∥CD →，则AB ∥CD . ( ) 2．在四边形ABCD 中，若AB →＋CD →＝0，AC →·BD →＝0，则四边形为( ) A ．平行四边形 B ．矩形 C ．等腰梯形 D ．菱形 3．在△ABC 中，若(CA →＋CB →)·(CA →－CB →)＝0，则△ABC 为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．形状无法确定 4. 一物体受到相互垂直的两个力F 1，F 2的作用，两力大小都为5 3 N ，则两个力的合力的大小为________．5．已知力F ＝(2，3)作用在一物体上，使物体从A (2，0)移动到B (－2，3)，则F 对物体所做的功为________焦耳． 类型1 平面几何中的垂直问题例1、如右图所示，四边形ADCB 是正方形，P 是对角线DB 上的一点，四边形PFCE 是矩形．试用向量证明： PA ⊥EF . 归纳对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件，即向量的数量积为0.而对于这一条件的应用，可以用向量关系式的形式，也可以用坐标的形式． 变式训练 求证：菱形的两条对角线互相垂直．类型2 平面几何中的长度问题例2、 已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，设AC ＝m ，BC ＝n .(1)若D 为斜边AB 的中点，求证：CD ＝12AB ；(2)若E 为CD 的中点，连接AE 并延长交BC 于F .求AF 的长度(用m ，n 表示)． 归纳用向量法求长度的方法1．利用图形特点选择基底，向量的数量积转化，用公式|a |2＝a 2求解． 2．建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a ＝(x ，y )，则|a |＝ x 2＋y 2.变式训练、 如图所示，已知在▱ABCD 中，AB ＝3，AD ＝1，∠DAB ＝π3，求对角线AC 和BD 的长．类型3 向量在物理中的应用例3、在重300 N 的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两则，与铅垂线的夹角分别为30°，60°(如右图所示)，求重物 平衡时，两根绳子拉力的大小． 归纳利用向量处理物理问题的方法1．利用向量处理力学问题的方法．解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题，即将力学各量之间的关系抽象成数学模型，再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象． 2．利用向量处理速度、位移问题的方法．解决此类问题的关键是利用平面向量的相关知识对速度、位移进行合成或分解．变式训练、 用力F 推动一物体G ，使其沿水平方向运动s ，F 与G 的垂直方向的夹角为θ，则F 对物体G 所做的功为( )A ．F ·s cos θB ．F ·s sin θC ．|F ||s |cos θD ．|F ||s |sin θ五、课题练习：见变式训练 六、课题小结1．向量方法在平面几何中应用的五个主要方面(1)要证明两线段相等，如AB ＝CD ，则可转化为证明：AB →2＝CD →2.(2)要证明两线段平行，如AB ∥CD ，则只要证明：存在实数λ≠0，使AB →＝λCD →成立，且AB 与CD 无公共点．(3)要证明两线段垂直，如AB ⊥CD ，则只要证明数量积AB →·CD →＝0. (4)要证明A ，B ，C 三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使AB →＝λAC →. (5)要求一个角，如∠ABC ，只要求向量BA →与向量BC →的夹角即可． 2．向量在物理中应用时要注意三个问题(1)把物理问题转化为数学问题，也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型． (2)利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象．(3)在解决具体问题时，要明确和掌握用向量方法研究物理问题的相关知识．七、教学反思。