人教备战中考数学专题复习分类练习 旋转综合解答题及详细答案

一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．在Rt△ABC中，AB=BC=5，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点O处，将三角板绕点O旋转，三角板的两直角边分别交AB，BC或其延长线于E，F两点，如图①与②是旋转三角板所得图形的两种情况．

（1）三角板绕点O旋转，△OFC是否能成为等腰直角三角形？若能，指出所有情况（即给出△OFC是等腰直角三角形时BF的长）；若不能，请说明理由；

（2）三角板绕点O旋转，线段OE和OF之间有什么数量关系？用图①或②加以证明；（3）若将三角板的直角顶点放在斜边上的点P处（如图③），当AP:AC=1:4时，PE和PF 有怎样的数量关系？证明你发现的结论．

【答案】（1）△OFC是能成为等腰直角三角形，（2）OE=OF．（3）PE：PF=1：3．

【解析】

【小题1】由题意可知，①当F为BC的中点时，由AB=BC=5，可以推出CF和OF的长度，即可推出BF的长度，②当B与F重合时，根据直角三角形的相关性质，即可推出OF 的长度，即可推出BF的长度；

【小题2】连接OB，由已知条件推出△OEB≌△OFC，即可推出OE=OF；

【小题3】过点P做PM⊥AB，PN⊥BC，结合图形推出△PNF∽△PME，△APM∽△PNC，继而推出PM：PN=PE：PF，PM：PN=AP：PC，根据已知条件即可推出PA：AC=PE：PF=1：4．

2．如图，点A是x轴非负半轴上的动点，点B坐标为（0，4），M是线段AB的中点，将点M绕点A顺时针方向旋转90°得到点C，过点C作x轴的垂线，垂足为F，过点B作y

轴的垂线与直线CF相交于点E，连接AC，BC，设点A的横坐标为t．

（Ⅰ）当t=2时，求点M的坐标；

（Ⅱ）设ABCE的面积为S，当点C在线段EF上时，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；

（Ⅲ）当t为何值时，BC+CA取得最小值．

【答案】（1）（1，2）；（2）S=3

2

t+8（0≤t≤8）；（3）当t=0时，BC+AC有最小值

【解析】

试题分析：（I）过M作MG⊥OF于G，分别求OG和MG的长即可；

（II）如图1，同理可求得AG和OG的长，证明△AMG≌△CAF，得：AG=CF=1

2

t，

AF=MG=2，分别表示EC和BE的长，代入面积公式可求得S与t的关系式；并求其t的取值范围；

（III）证明△ABO∽△CAF，根据勾股定理表示AC和BC的长，计算其和，根据二次根式的意义得出当t=0时，值最小．

试题解析：解：（I）如图1，过M作MG⊥OF于G，∴MG∥OB，当t=2时，OA=2．∵M

是AB的中点，∴G是AO的中点，∴OG=1

2

OA=1，MG是△AOB的中位线，

∴MG=1

2OB=

1

2

×4=2，∴M（1，2）；

（II）如图1，同理得：OG=AG=1

2

t．∵∠BAC=90°，

∴∠BAO+∠CAF=90°．∵∠CAF+∠ACF=90°，∴∠BAO=∠ACF．∵∠MGA=∠AFC=90°，

MA=AC，∴△AMG≌△CAF，∴AG=CF=1

2

t，AF=MG=2，∴EC=4﹣

1

2

t，BE=OF=t+2，

∴S△BCE=1

2EC•BE=

1

2

（4﹣

1

2

t）（t+2）=﹣

1

4

t2+

3

2

t+4；

S△ABC=1

2

•AB•AC=

1

2

2

16t+2

1

16

2

t+

1

4

t2+4，∴S=S△BEC+S△ABC=

3

2

t+8．

当A与O重合，C与F重合，如图2，此时t=0，当C与E重合时，如图3，AG=EF，即

1 2t=4，t=8，∴S与t之间的函数关系式为：S=

3

2

t+8（0≤t≤8）；

（III）如图1，易得△ABO∽△CAF，∴AB

AC

=

OB

AF

=

OA

FC

=2，∴AF=2，CF=

1

2

t，由勾股定理

得：AC =

22

AF CF +=22

122t +

（）=2

144

t +，BC =22BE EC +=2

21242t t ++-

（）（）=21

544

t +（）

，∴BC +AC =（ 5+1）2

144

t +，∴当t =0时，BC +AC 有最小值．

点睛：本题考查了几何变换综合题，知识点包括相似三角形、全等三角形、点的坐标、几何变换（旋转）、三角形的中位线等，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．

3．如图，△ABC 是等边三角形，AB=6cm ，D 为边AB 中点．动点P 、Q 在边AB 上同时从点D 出发，点P 沿D→A 以1cm/s 的速度向终点A 运动．点Q 沿D→B→D 以2cm/s 的速度运动，回到点D 停止．以PQ 为边在AB 上方作等边三角形PQN ．将△PQN 绕QN 的中点旋转180°得到△MNQ ．设四边形PQMN 与△ABC 重叠部分图形的面积为S （cm 2），点P 运动的时间为t （s ）（0＜t ＜3）． （1）当点N 落在边BC 上时，求t 的值． （2）当点N 到点A 、B 的距离相等时，求t 的值． （3）当点Q 沿D→B 运动时，求S 与t 之间的函数表达式．

（4）设四边形PQMN 的边MN 、MQ 与边BC 的交点分别是E 、F ，直接写出四边形PEMF 与四边形PQMN 的面积比为2：3时t 的值．