双变量问题典例

双变量问题典例

1、已知函数()ln 1f x x a x =--（a 为常数）与x 轴有唯一的公共点A ． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；

（Ⅱ）曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为23a a --，若存在不相等的正实数12x x ，满足

12|()||()|f x f x =，证明：121x x <．

答案第2页，总7页

2．已知函数()2ln f x a x =， ()()1g x f x x x

=+-

. （1）当1a =时，求函数()f x 的曲线上点()()

,e f e 处的切线方程； （2）当1a ≤时，求()g x 的单调区间；

（3）若()g x 有两个极值点1x ， 2x ，其中110,3

x ⎛⎤∈ ⎥⎝

⎦

，求()()12g x g x -的最小值

3．已知函数()22ln ax b

f x x x

-=-的图象在1x =处的切线过点()0,22a -， ,R a b ∈. （1）若8

5

a b +=

，求函数()f x 的极值点； （2）设()1212,x x x x ≠是函数()f x 的两个极值点，若

11

1e

x <<，证明： ()()211f x f x -<.（提示2e 7.40≈）

答案第4页，总7页

4、已知函数)1ln()12()(2

++-+=x x a ax x f 有两个极值点21,x x (1)求a 的取值范围；(2)证明:452ln 2)()(21-<+x f x f

5、

已知函数1

()ln f x x a x x =-+．（2018全国1卷理数第21题）

（1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：()()

1212

2f x f x a x x -<--．

6、

答案第6页，总7页

7、已知函数()ln()f x x a x =+-有且只有一个零点，其中0a >．

（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若对任意的(0,)x ∈+∞，有2

()f x kx ≥成立，求实数k 的最大值；

（Ⅲ）设()()h x f x x =+，对任意1212,(1,)()

x x x x ∈-+∞≠, 证明：不等式

12

12()()x x h x h x ->-