上海市2020-2021学年崇明区高三数学一模试卷-无答案

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2021年上海市崇明区高考数学一模试卷填空与解答题综合练习含答案

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）13．（5分）展开式为ad﹣bc的行列式是（）A．B．C．D．14．（5分）设a，b∈R，若a＞b，则（）A．＜B．lga＞lgb C．sin a＞sin b D．2a＞2b15．（5分）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）直线x=2与双曲线﹣y2=1的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线上任一点，若=a+b（a，b∈R，O为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（）A．a2+b2≥1 B．|ab|≥1 C．|a+b|≥1 D．|a﹣b|≥2三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．（14分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，A1C与底面ABCD所成的角为60°，（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1B与B1D1所成角的大小．18．（14分）已知f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．（1）求f（x）的最大值及该函数取得最大值时x的值；（2）在△ABC 中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若a=，b=，且f（）=，求边c的值．19．（14分）2016 年崇明区政府投资8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长50%．记2016 年为第 1 年，f （n）为第 1 年至此后第n （n∈N*）年的累计利润（注：含第n 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 f （n）为正值时，认为该项目赢利．（1）试求 f （n）的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．20．（16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：+y2=1 （a＞0，a≠1）的两个焦点分别是F1，F2，直线l：y=kx+m（k，m∈R）与椭圆交于A，B两点．（1）若M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，求a的值；（2）若k=1，且△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，求a与m满足的关系；（3）若a=2，且k OA•k OB=﹣，求证：△OAB的面积为定值．21．（18分）若存在常数k（k＞0），使得对定义域D内的任意x1，x2（x1≠x2），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，则称函数f（x）在其定义域D上是“k﹣利普希兹条件函数”．（1）若函数f（x）=，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；（2）判断函数f（x）=log2x 是否是“2﹣利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若y=f（x）（x∈R ）是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤1．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）13．（5分）展开式为ad﹣bc的行列式是（）A．B．C．D．【解答】解：根据叫做二阶行列式，它的算法是：ad﹣bc，由题意得，=ad﹣bc．故选B．14．（5分）设a，b∈R，若a＞b，则（）A．＜B．lga＞lgb C．sin a＞sin b D．2a＞2b【解答】解：由a＞b，利用指数函数的单调性可得：2a＞2b．再利用不等式的性质、对数函数的定义域与单调性、三角函数的单调性即可判断出A，B，C不正确．故选：D．15．（5分）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵S4+S6＞2S5，∴4a1+6d+6a1+15d＞2（5a1+10d），∴21d＞20d，∴d＞0，故“d＞0”是“S4+S6＞2S5”充分必要条件，故选：C16．（5分）直线x=2与双曲线﹣y2=1的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线上任一点，若=a+b（a，b∈R，O为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（）A．a2+b2≥1 B．|ab|≥1 C．|a+b|≥1 D．|a﹣b|≥2【解答】解：双曲线﹣y2=1的渐近线为：y=±x．把x=2代入上述方程可得：y=±1．不妨取A（2，1），B（2，﹣1）．=a+b=（2a+2b，a﹣b）．代入双曲线方程可得：﹣（a﹣b）2=1，化为ab=．∴=ab，化为：|a+b|≥1．故选：C．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．（14分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，A1C与底面ABCD所成的角为60°，（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1B与B1D1所成角的大小．【解答】解：（1）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，∴AA1⊥平面ABCD，AC==2，∴∠A1CA是A1C与底面ABCD所成的角，∵A1C与底面ABCD所成的角为60°，∴∠A1CA=60°，∴AA1=AC•tan60°=2•=2，∵S=AB×BC=2×2=4，正方形ABCD∴四棱锥A1﹣ABCD的体积：V===．（2）∵BD∥B1D1，∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成角（或所成角的补角）．∵BD=，A1D=A1B==2，∴cos∠A1BD===．∴∠A1BD=arccos．∴异面直线A1B与B1D1所成角是arccos．18．（14分）已知f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．（1）求f（x）的最大值及该函数取得最大值时x的值；（2）在△ABC 中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若a=，b=，且f（）=，求边c的值．【解答】解：f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+）（1）当2x+=时，即x=（k∈Z），f（x）取得最大值为2；（2）由f（）=，即2sin（A+）=可得sin（A+）=∵0＜A＜π∴＜A＜∴A=或∴A=或当A=时，cosA==∵a=，b=，解得：c=4当A=时，cosA==0∵a=，b=，解得：c=2．19．（14分）2016 年崇明区政府投资8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长50%．记2016 年为第 1 年，f （n）为第 1 年至此后第n （n∈N*）年的累计利润（注：含第n 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 f （n）为正值时，认为该项目赢利．（1）试求 f （n）的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．【解答】解：（1）由题意知，第1年至此后第n（n∈N*）年的累计投入为8+2（n﹣1）=2n+6（千万元），第1年至此后第n（n∈N*）年的累计净收入为+×+×+…+×=（千万元）．∴f（n）=﹣（2n+6）=﹣2n﹣7（千万元）．（2）方法一：∵f（n+1）﹣f（n）=[﹣2（n+1）﹣7]﹣[﹣2n﹣7]=[﹣4]，∴当n≤3时，f（n+1）﹣f（n）＜0，故当n≤4时，f（n）递减；当n≥4时，f（n+1）﹣f（n）＞0，故当n≥4时，f（n）递增．又f（1）=﹣＜0，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．∴该项目将从第8年开始并持续赢利．答：该项目将从2023年开始并持续赢利；方法二：设f（x）=﹣2x﹣7（x≥1），则f′（x）=，令f'（x）=0，得=≈=5，∴x≈4．从而当x∈[1，4）时，f'（x）＜0，f（x）递减；当x∈（4，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增．又f（1）=﹣＜0，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．∴该项目将从第8年开始并持续赢利．答：该项目将从2023年开始并持续赢利．20．（16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：+y2=1 （a＞0，a≠1）的两个焦点分别是F1，F2，直线l：y=kx+m（k，m∈R）与椭圆交于A，B两点．（1）若M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，求a的值；（2）若k=1，且△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，求a与m满足的关系；（3）若a=2，且k OA•k OB=﹣，求证：△OAB的面积为定值．【解答】解：（1）∵M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，∴△MF1F2为等腰直角三角形，∴OF1=OM，当a＞1时，=1，解得a=，当0＜a＜1时，=a，解得a=，（2）当k=1时，y=x+m，设A（x1，y1），（x2，y2），由，即（1+a2）x2+2a2mx+a2m2﹣a2=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∴y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2=，∵△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，∴•=0，∴x1x2+y1y2=0，∴+=0，∴a2m2﹣a2+m2﹣a2=0∴m2（a2+1）=2a2，（3）证明：当a=2时，x2+4y2=4，设A（x1，y1），（x2，y2），∵k OA•k OB=﹣，∴•=﹣，∴x1x2=﹣4y1y2，由，整理得，（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．∴x1+x2=，x1x2=，∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=++m2=，∴=﹣4×，∴2m2﹣4k2=1，∴|AB|=•=•=2•=∵O到直线y=kx+m的距离d==，=|AB|d==•==1∴S△OAB21．（18分）若存在常数k（k＞0），使得对定义域D内的任意x1，x2（x1≠x2），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，则称函数f（x）在其定义域D上是“k﹣利普希兹条件函数”．（1）若函数f（x）=，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；（2）判断函数f（x）=log2x 是否是“2﹣利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若y=f（x）（x∈R ）是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤1．【解答】解：（1）若函数f（x）=，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，则对于定义域[1，4]上任意两个x1，x2（x1≠x2），均有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，不妨设x1＞x2，则k≥=恒成立．∵1≤x2＜x1≤4，∴＜＜，∴k的最小值为．（2）f（x）=log2x的定义域为（0，+∞），令x1=，x2=，则f （）﹣f （）=log 2﹣log 2=﹣1﹣（﹣2）=1，而2|x1﹣x2|=，∴f（x1）﹣f（x2）＞2|x1﹣x2|，∴函数f（x）=log2x 不是“2﹣利普希兹条件函数”．证明：（3）设f（x）的最大值为M，最小值为m，在一个周期[0，2]内f（a）=M，f（b）=m，则|f（x1）﹣f（x2）|≤M﹣m=f（a）﹣f（b）≤|a﹣b|．若|a﹣b|≤1，显然有|f（x1）﹣f（x2）|≤|a﹣b|≤1．若|a﹣b|＞1，不妨设a＞b，则0＜b+2﹣a＜1，∴|f（x1）﹣f（x2）|≤M﹣m=f（a）﹣f（b+2）≤|a﹣b﹣2|＜1．综上，|f（x1）﹣f（x2）|≤1．。

2021届长宁区高三数学一模试卷及参考答案

2020学年第一学期高三数学教学质量检测试卷考生注意：1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码． 2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 不等式201x x -<+的解集为 . 2. 函数πsin(2)6y x =-的最小正周期为 .3. 计算：121lim 31n nn +→∞+=-__________． 4. 数组2.7、3.1、2.5、4.8、2.9、3.6的中位数为 .5. 在61()x x+的二项展开式中，2x 项的系数为__________．6. 若函数()y f x =的反函数()()1log 0,1a f x x a a -=>≠图像经过点3(8,)2，则1()2f -的值为 . 7. 若直线1201x y k-+=的法向量与直线10x y +-=的方向向量垂直，则实数k = . 8. 设集合{}21M x x =≤，{}N b =，若MN M =，则实数b 的取值范围为 .9. 设F 为双曲线()222:10y x b bΓ-=>的右焦点，O 为坐标原点，P 、Q 是以OF 为直径的圆与双曲线Γ渐近线的两个交点．若PQ OF =，则b = .10. 在ABC ∆中，3AB =，2AC =，点D 在边BC 上. 若1AB AD ⋅=， 53AD AC ⋅=，则AB AC ⋅的值为 .11. 设O 为坐标原点，从集合{}123456789，，，，，，，，中任取两个不同的元素x y 、，组成A 、B两点的坐标(),x y 、(),y x ，则12arctan3AOB ∠=的概率为 . 12. 设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S . 若数列{}n a 满足：存在三个不同的正整数,,r s t ，使得,,r s t a a a 成等比数列，222,,r s t a a a 也成等比数列，则1990nnS S a +的最小值为 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13. 设复数i z a b =+（其中a b ∈R 、，i 为虚数单位），则“0a =”是“z 为纯虚数”的（）.A. 充分非必要条件；B. 必要非充分条件；C. 充要条件；D. 既非充分又非必要条件. 14. 对任意向量a 、b ，下列关系式中不恒成立的是（）.A ．()22a ba b +=+； B ．()()22a b a b a b +⋅-=-；C ．a b a b ⋅≤⋅；D ．a b a b -≤-. 15. 设m 、n 为两条直线，α、β为两个平面，则下列命题中假命题是（）.A ．若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥；B ．若//m n ，m α⊥，//n β，则αβ⊥；C ．若m n ⊥，//m α，//n β，则//αβ；D ．若//m n ，m α⊥，n β⊥，则//αβ. 16. 设()1232f x x b kx b x b =-+---，其中常数0k >，123,,b b b ∈R .若函数()y f x =的图像如图所示，则数组()123,,b b b 的一组值可以是（）. A. ()3,1,1-； B. ()1,2,1--； C. ()1,2,2-； D. ()1,3,1-.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O，高为（1）求该圆锥的侧面积；（2）设OA 、OB 为该圆锥的底面半径，且︒=∠90AOB ，M为线段AB 的中点，求直线PM 与直线OB 所成的角的正切值．设抛物线2:4y x Γ=的焦点为F ，直线:0l x my n --=经过F 且与Γ交于A 、B 两点．（1）若8AB =，求m 的值；（2）设O 为坐标原点，直线AO 与Γ的准线交于点C ，求证：直线BC 平行于x 轴．某公共场所计划用固定高度的板材将一块如图所示的四边形区域ABCD 沿边界围成一个封闭的留观区. 经测量，边界AB 与AD 的长度都是20米，60BAD ∠=︒，120BCD ∠=︒.（1）若105ADC ∠=︒，求BC 的长（结果精确到米）；（2）求围成该区域至多需要多少米长度的板材（不计损耗，结果精确到米）.设()()322f x x ax x x =+-∈R ，其中常数a ∈R . （1）判断函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；（2）若不等式()332f x x >在区间1[,1]2上有解，求实数a 的取值范围；（3）已知：若对函数()y h x =定义域内的任意x ，都有()()22h x h m x n +-=，则函数()y h x =的图像有对称中心(),m n .利用以上结论探究：对于任意的实数a ，函数()y f x =是否都有对称中心？若是，求出对称中心的坐标(用a 表示)；若不是，证明你的结论.若对于数列{}n a 中的任意两项i a 、j a ()i j >，在{}n a 中都存在一项m a ，使得2i m ja a a =，则称数列{}n a 为“X 数列”；若对于数列{}n a 中的任意一项()3n a n ≥，在{}n a 中都存在两项k a 、()l a k l >，使得2kn la a a =，则称数列{}n a 为“Y 数列”．（1）若数列{}n a 为首项为1公差也为1的等差数列，判断数列{}n a 是否为“X 数列”，并说明理由；（2）若数列{}n a 的前n 项和()21nn S n =-∈*N，求证：数列{}na 为“Y 数列”；（3）若数列{}n a 为各项均为正数的递增数列，且既为“X 数列”，又为“Y 数列”，求证：1234,,,a a a a 成等比数列.2020学年第一学期高三数学质量检测试卷参考答案与评分标准一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7---12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．()1,2- 2．π 3．0 4．3.0 5．15 6．127．1- 8．[]1,1- 9．1 10．3- 11．1912．45二．选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13. B 14. D 15. C 16 . A三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必须的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）OP ⊥底面OAB由题意高h =2r =，所以母线4l = ………………2分圆锥的侧面积=S lr 2142221⨯⨯⨯=ππ8= ………………6分（2）取OA 的中点为N ，因为M 为AB 的中点所以//MN OB ，PMN ∠就是直线PM 与直线OB 所成的角 ………………2分因为OB OA ⊥，OB OP ⊥，所以OB ⊥平面POA ，MN ⊥平面POA ，MN PN ⊥ ………………4分在Rt △PNM 中，PN ==112MN OB == …………6分所以PMN ∠即直线PM 与直线OB ………………8分18．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）解：设()11,A x y ，()22,B x y ，（1）()1,0F ，得1n = …………2分直线l 的方程1x my =+代入24y x =得，2440y myx --= 所以124y y m +=，124y y =- …………4分AB ==()2418m =+=所以1m =± …………7分（2）抛物线24y x =的准线方程为1x =- …………1分设()31,C y -，由OA 的方程为11y y x x =，得13114y y x y =-=- …………4分由（1）知124y y =-，即214y y =-…………6分所以32y y =，BC 平行于x 轴 …………7分 19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）连接BD ，由题意ABD ∆是等边三角形，所以20BD =又因为，所以45DBC ∠= …………2分在BCD ∆中，sin sin BC BDBDC C=∠∠， …………4分得BC=3620≈16（米） …………6分（2）设θ=∠ADC ，则3BDC πθ∠=-，23CBD πθ∠=-， 105ADC ∠=在BCD ∆中，sin sin sin CD BC BDCBD BDC C==∠∠∠，所以3BC πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，23DC πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ …………4分所需板材的长度=40+⎪⎭⎫ ⎝⎛-3sin 3340πθ+⎪⎭⎫⎝⎛-θπ32sin 3340=θsin 334040+， …………6分答：当2ADC π∠=时，所需板材最长为334040+≈73（米）. …………8分 20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）解：（1）当0=a 时，()32f x x x =-，()32f x x x -=-+所以()()f x f x =--，()y f x =为奇函数. …………2分当0≠a 时，()11f a =-，()11f a -=+,因为()()11f f -≠±，所以()x f 既不是奇函数也不是偶函数. …………4分（2）原问题可化为122a x x >+在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21有解，…………1分函数122y x x =+在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21单调递减, …………3分所以min 52y =, …………4分所以a 的取值范围是5(,)2+∞…………6分（3）假设存在对称中心(),m n ，则()()()3232222222x ax x m x a m x m x n +-+-+---=恒成立得()()2232621248442m a x m a x m am m n +-+++-=恒成立…………2分所以23262012408442m a m am m am m n +=⎧⎪+=⎨⎪+-=⎩…………4分得3a m =-，322273a a n =+ 所以函数()y f x =有对称中心322(,)3273a a a -+ …………6分21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）解（1）数列{}n a 的通项为n a n =，22a =，33a =， …………2分因为不是正整数，所以不是数列{}n a 的项，所以数列{}n a 不是“X 数列”. …………4分（2）数列{}n a 的前n 项和()21n n S n =-∈*N ,所以12n n a -=. …………2分当时，取，， …………4分则221122k l n k n la a a ---===，所以数列{}n a 是“Y 数列”. …………6分（3）证明：记21a q a =，因为数列{}n a 是各项均为正数的递增数列，所以,且当k l >时, 1k la a >. …………1分若k l > ,2k k n k k l l la a a a a a a a ==⨯>>，则.① ………2分因为数列{}n a 是“X 数列”，所以存在i j >,且23i ja a a =，由①知,，所以即222311a a a q a ==，即1a ，2a ，3a 成等比数列. …………4分因为数列{}n a 是“X 数列”，存在正整数、，使得24k la a a =，由①得，,所以，进而22141k l k la a a q a --==，记. 因为数列{}n a 是“Y 数列”存在正整数，使得233312m a a q a a q a ==⨯=，由，得3m a a >. …………6分23292a a =3n ≥1k m =-2l m =-1q >n k l >>31i j >>≥2,1i j ==k l ()k l >4k l >>3k l ≥>421n k l =--∈*N m 1q >若43411n a a q a q =<，再由2314a a q a =<，得，与矛盾；若341m a a q a >=，则34m a a a <<，与数列{}n a 递增矛盾，所以341a a q =,即1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列. …………8分 423n <<4n ∈*N。

上海市2020-2021学年崇明区高三数学一模(PDF解析版)

有零点 .故 (4)不正确 . .三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）
如图,已知 AB ⊥ 平面 BCD, BC ⊥ BD, 直线 AD 与平面 BCD 所成的角为 30, 且 AB = BC = 2 (1)求三棱雉 A − BCD 的体积: (2)设 M 为 BD 的中点，求异面直线 AD 与 CM 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.
所以AM AN = (2cos −1, 2sin )(2cos −1, 2sin ) = 4cos cos − 2cos − 2cos +1+ 4sin sin = 1 即cos + cos = 2cos( − ),又OAOD = cos + cos .
所以 OAOD = cos + cos = 2cos( − ) 2
x +1 5.点(0,0)到章线 x + y = 2 的距离是, _________;
6.计算: lim 1+ 2 + 3 + + n = _________; n→ n(n + 2)
7.若关于
x、y
的方程组
4x ax
+6y −3y
= =
1 2
无解，则实数
a
=
_________;
8.用数字 0、1、2、3、4、5 组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为_________;
B.2 个
【答案】B
C.3 个
D.4 个
【解析】 (1) 若 y = f (x) 是奇函数 ,则 f (−x) = − f (x) f ( f (−x)) = f (− f (x)) = − f ( f (x)),也是奇函数，正确 ;

2020年上海崇明县高三一模数学试卷

2020年上海崇明县高三一模数学试卷一、填空题（本大题共12小题，1~6每题4分，7~12每题5分，共54分）1.已知集合，，则．2.不等式的解集是．3.半径为的球的表面积是．4.已知等差数列的首项为，公差为，则该数列的前项和．5.函数的反函数是．6.计算：．7.二项式的展开式中常数项的值等于．8.若双曲线的一个顶点坐标为，焦距为，则它的标准方程为．9.已知、，若直线与直线互相垂直，则的最大值等于．10.已知函数是定义在上的周期为的奇函数，当时，，则实数的值等于．11.某组委会要从五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中甲不能从事翻译工作，乙不能从事导游工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有种．12.正方形的边长为，是正方形的中心，过中心的直线与边交于点，与边交于点，为平面上一点，满足，则的最小值为．二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若，则下列不等式恒成立的是（）．A.B.C.D.14.已知，“”是“为纯虚数”的（）．A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件15.如图，在底面半径和高均为的圆锥中，、是底面圆的两条互相垂直的直径，是母线的中点，已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点的距离等于（）．A.B.C.D.16.若不等式对上恒成立，则（）．A.B.C.D.三、解答题（本大题共5小题，共76分）（1）（2）17.在直三棱柱中，，，．求异面直线与所成角的大小．求点与平面的距离．（1）（2）18.已知函数．求函数的最大值，并写出取得最大值时的自变量的集合．设的内角、、所对的边分别为、、，且，，若，求、的值．（1）（2）19.某辆汽车以公里/小时速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为升．欲使每小时的油耗不超过升，求的取值范围．求该汽车行驶公里的油耗关于汽车行驶速度的函数，并求的最小值．（1）（2）20.已知椭圆，其左右顶点分别为、，上下顶点分别为、，圆是以线段为直径的圆．求圆的方程．若点、是椭圆上关于轴对称的两个不同的点，直线、分别交轴于点、，求证：为定值．【答案】解析:集合，集合，∴．故答案为：．解析:不等式等价于，解得，∴不等式的解集是．故答案为：．解析:由题意，半径为的球的表面积是．故答案为．（3）若点是椭圆上不同于点的点，直线与圆的另一个交点为，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由．（1）（2）（3）21.已知无穷数列、、满足：对任意的，都有，，，记表示个实数、、中的最大值．若，，，求﹑、的值．若，，求满足的的所有值．设、、是非零实数，且、、互不相等，证明：存在正整数，使得数列、、中有且只有一个数列自第项起各项均为．1.2.3.∵等差数列的首项为，公差为，∴该数列的前项和．故答案为：．5.解析:∵的定义域为，值域为，∴，∴函数的反函数为．综上所述，答案为．6.解析:．7.解析:二项式展开式，通项，令，则，，所以展开式中常数项值为．由题意，，，则，故双曲线的标准方程为．9.解析:直线，变形为，斜率为，∵，，直线，变形为，由直线与直线垂直，则，即，由基本不等式，则（当，时等号成立），∴的最大值为．10.解析:∵是定义在上的周期为的奇函数，∴且，∴当时，，即，则，∵当时，，∴得，故答案为．11.解析:总共有种情况，其中甲从事翻译工作有种情况，乙从事导游工作有种情况，然后甲从事翻译工作同时乙从事导游工作有种情况，∴．解析:设，由向量共线定理，可知点在直线上，为中点，∴，∵，，∴．解析:对于复数，若，不一定为纯虚数，可以为，反之，若为纯虚数，则∴“”是“为纯虚数”的必要非充分条件．故选．解析:将抛物线放入坐标系，如图所示，12.C 13.B 14.D 15.∵，，∴，设抛物线，代入点，可得，∴焦点为，即焦点为中点，设焦点为，则，，∴．故选．解析:方法一：如图，作出函数在上的图象，为使不等式对上恒成立，当且仅当函数的图象经过函数的零点，则由，得，，所以，所以．故选．方法二：令，作出函数在上的图象，B 16.（1）（2）则函数的图象必需经过，两点，则．故选．方法三：当时，，，所以，，即，所以，当时，，，所以，则或，所以，综上．故选．解析:因为，所以就是异面直线与所成的角或补角．在三角形中，，，所以，所以．所以异面直线与所成角的大小是．因为，，所以平面所以设点与平面的距离为，则，由得：．（1）．（2）．17.（1）（2）（1）（2）解析:．函数，当且仅当，时取得最大值，即，，∴的最大值为，取得最大值的取值集合为．由，得，又，所以，得，由及正弦定理，得①，由余弦定理，得②，由①，②解得，．解析:由，得，所以，又因为，所以的取值范围是．设该汽车行驶公里的油耗为升，则：，因为，所以，所以当时，该汽车行驶公里的油耗取得最小值升．（1），集合为．（2），．18.（1）．（2），的最小值．19.（1）．（2）证明见解析．20.（1）（2）（3）解析:由题意，得，，所以圆的方程是．由题意，得，，设，，，则直线的方程是：，所以，同理，因为，所以．显然直线的斜率存在，设其方程为：．代入椭圆方程，得：，设，则，所以，因为圆心到直线的距离，所以，假设存在点，使得，则，所以（*），而方程（*）在实数范围内无解，故原假设错误，即不存在点，使得．（3）不存在，证明见解析．（1），，．（2），，，．21.（1）（2）（3）解析:，，．若，，记，则，，，，，，当时，，，，，由，得，不符合；当时，，，，由，得，符合；当时，，，，由，得，符合；综上，的所有取值是，，，．先证明“存在正整数，使，，中至少有一个为”，假设对任意正整数，，，都不为，由，，是非零整数，且，，互不相等，得，，若对任意，，，都不为，则，即对任意，．当时，，，，所以，，所以，单调递减，由为有限正整数，所以，必存在正整数，使得，矛盾．（3）证明见解析．所以，存在正整数，使，，中至少有一个为．不妨设，且，，，，则，且，否则，若，因为，则必有，矛盾，于是，，，且，所以，，，，依次递推，即有：对，，，，且，此时有且仅有一个数列自第项起各项均为，综上，结论成立．。

2020-2021学年上海市高三一模数学汇编-矩阵,行列式汇编--教师版

2020-2021学年一模汇编—矩阵、行列式汇编
一、填空题
【崇明7】若关于的方程组无解，则实数=__________
【参考答案】
【解析】
【虹口3】行列式的值等于．
【答案】1
【解析】考察三角比、行列式。

行列式展开得
【嘉定3】不等式的解为____________．
【答案】
【解析】由可得，所以
【浦东新区10】若等比数列的前项和为，且满足，则数列的
前项和为_________.
【参考答案】
【解析】
【青浦区3】行列式中，元素的代数余子式的值为．
【答案】
【解析】元素的代数余子式的值为
【徐汇区3】不等式的解集为
【参考答案】
【解析】也即，解得.
【杨浦区3】若关于的方程组无解，则实数_____________
【答案】
【解析】由方程组无解可知，
此时，方程组无解。

【长宁区7】若直线的法向量与直线的方向向量垂直，则实
数.
【答案】
【解析】易知直线直线平行，得.
二、选择题
【浦东新区14】若某线性方程组的增广矩阵为，则该线性方程组的解的个数为
（）
A.0个
B.1个
C.无数个
D.不确定
【参考答案】
【解析】由题目可知，两直线重合，故有无数个交点
【普陀区14】设、均为实数，且，则在以下各项中的可能取值只能是（）
A. B. C. D.
【参考答案】B
【解析】，代入点的坐标可得。

2024届上海市崇明区高三一模数学试卷及参考答案

共4页第1页2023学年第一学期高三第一次模拟考试数学考生注意：1．本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】1．不等式21x -<的解是．2．双曲线2214y x -=的焦距是．3．若复数24(2)i z m m =-++（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数m 的值为．4．已知等比数列{}n a 首项11a =，公比2q =，则5S =．5．522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为．（用数字作答）拉罐包装的饮料．在满足容积要求的情况下，饮料生产商总希望包装材料的成本最低，也就是易拉罐本身的质量最小．某数学兴趣小组对此想法通过数学建模进行验证．为了建立数学模型，他们提出以下3个假设：（1）易拉罐容积相同；（2）易拉罐是一个上下封闭的空心圆柱体；（3）易拉罐的罐顶、罐体和罐底的厚度和材质都相同．你认为以此3个假设所建立的数学模型与实际情况相符吗？若相符，请在以下横线上填写“相符”；若不相符，请选择其中的一个假设给出你的修改意见，并将修改意见填入横线．．11．已知不平行的两个向量,a b 满足1a = ，a b ⋅=．若对任意的t ∈R ，都有2b ta - ≥成立，则b 的最小值等于．共4页第2页12．已知正实数,,,a b c d 满足210a ab -+=，221c d +=，则当22()()a c b d -+-取得最小值时，ab =．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13～14题每题4分，15～16题每题5分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分．】13．已知集合{}23A x x =-≤≤，{}0B x x =>，则A B = （）A ．[]2,3-B ．[]0,3C ．(0,)+∞D ．[)2,-+∞11111q ：过点M 有且只有一个平面与1AA 和11B C 都平行；2q ：过点M 至少可以作两条直线与1AA 和11B C 所在的直线都相交．则以下说法正确的是A ．命题1q 是真命题，命题2q 是假命题B ．命题1q 是假命题，命题2q 是真命题C ．命题1q ，2q都是真命题D ．命题1q ，2q 都是假命题16．若存在实数,a b ，对任意实数[0,1]x ∈，使得不等式33x m ax b x m -++≤≤恒成立，则实数m 的取值范围是（）A．⎫+∞⎪⎪⎣⎭B．⎫+∞⎪⎪⎣⎭C ．⎫+∞⎪⎪⎣⎭D ．⎫+∞⎪⎪⎣⎭三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD，AB CD ∥，2PA AB AD ===，1CD =，90ADC ∠=︒，E 、F 分别为PB 、AB 的中点．（1）求证：CE ∥平面PAD ；（2）求点B 到平面PCF 的距离．共4页第3页18．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）在ABC △中，5a =，6b =．（1）若4cos 5B =-，求A 和ABC △外接圆半径R 的值；（2）若ABC △的面积S =c 的值．19．（本题满分14分，本题共有3个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路TPI 的统计数据如下图：（1）从2022年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率；（2）从2023年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路TPI 比2022年同日TPI 高的天数记为X ，求所有X 的可能值及其发生的概率．共4页第4页20．（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分）已知抛物线21:4y x Γ=，22:2y x Γ=，直线l 交抛物线1Γ于点A 、D ，交抛物线2Γ于点B 、C ，其中点A 、B 位于第一象限．（1）若点A 到抛物线1Γ焦点的距离为2，求点A 的坐标；（2）若点A 的坐标为(4,4)，且线段AC 的中点在x 轴上，求原点O 到直线l 的距离；（3）若2AB CD =，求AOD △与BOC △的面积之比．21．（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分）已知()sin (R 0)f x mx x m m =+∈≠且．（1）若函数()y f x =是实数集R 上的增函数，求实数m 的取值范围；（2）已知数列{}n a 是等差数列（公差0d ≠），()n n b f a =．是否存在数列{}n a 使得数列{}n b 是等差数列？若存在，请写出一个满足条件的数列{}n a ，并证明此时的数列{}n b 是等差数列；若不存在，请说明理由；（3）若1m =，是否存在直线y kx b =+满足：①对任意的x ∈R 都有()f x kx b +≥成立，②存在0x ∈R 使得00()f x kx b =+？若存在，请求出满足条件的直线方程；若不存在，请说明理由．共4页第5页崇明区2023学年第一学期高三第一次模拟考试参考答案及评分标准一、填空题1.（1，3）；2. 3.2；4.31；5.10；6.；7.3；8.9；9.0.42；10.假设2中，易拉罐的顶部类似于圆台；假设3中，易拉罐的罐顶和罐底材质比罐体的材质厚；11.；12.212+.二、选择题13.D ；14.C ；15.A ；16. A.三、解答题17.解（1）证明：取PA 中点G ，连接GE 、GD ，则//GE AB ，12GE AB =，由于//CD AB ，12CD AB =，所以//GE CD ，GE CD =，所以四边形CDGE 是平行四边形，所以//CE GD ，......................................4分由于CE 不在平面PAD 上，DG ⊂平面PAD ，所以CE //平面PAD ；.....................................................................................7分（2）设点B 到平面PCF 的距离为h ，由题意，CF AB ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，所以CF PF⊥在RT PAF △中，PF =，所以12PFC S CF PF =⋅=△分由P BCF B PCF V V --=得1133BCF PCF S PA S h⋅=⋅△△所以255h =，即点B 到平面PCF 的距离为255.......................................7分18.解（1）因为4cos 5B =-，()0,B π∈，所以3sin 5B ==...........2分由正弦定理，得2sin sin a b R A B ==，即5623sin 5R A ==，....................................4分所以1sin 2A =，5R =，因为a b <，所以0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因此6A π=，5R =..................................................6分（2）由1sin 2ABC S ab C =△得1572274sin 564ABC S C ab ⨯===⨯△，....................2分于是3cos 4C ==±.....................4分当3cos 4C =时，由余弦定理，得222356256164c =+-⨯⨯⨯=.....................6分共4页第6页当3cos 4C =-时，由余弦定理，得2223562561064c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭.日TPI 高的天数共有2天，故0,1,2X =.....................2分()3537C 1020C 357P X ====；()215237C C 2041C 357P X ⋅====；()125237C C 512C 357P X ⋅====...........................................................................................8分20.解（1）抛物线24y x =的准线为1x =-，因为点A 到抛物线1Γ焦点的距离为2，所以点A 到抛物线1Γ准线的距离为2，所以点A 的横坐标为1，故点A 的坐标为(1,2).....................4分（2）设00(,)C x y ，则线段AC 的中点坐标为0044(,22x y ++由题意，402y +=，故04y =-，所以(8,4)C -.....................2分所以直线l 的方程为：2120x y +-=.....................4分所以原点O 到直线l 的距离5d ==.....................6分（3）由题意，直线l 的斜率k 显然存在且0k ≠，设直线l 的方程为y kx b =+设11223344(,),(,),(,),(,)A x y D x yB x yC x y 由2AB CD =，得31242()y y y y -=-①，.....................2分由24y x y kx b ⎧=⎨=+⎩，得：204k y y b -+=，所以124y y k +=，124b y y k =同理，342y y k +=，342by y k=.....................4分所以12342()y y y y +=+②，12342y y y y =③由①，②得：23y y =-，代入③得142y y =-，代入②得2434y y =所以4412344442103473AOD BOCy y S y y S y y y y ---===---△△...............................................................8分共4页第7页21.解（1）因为函数()y f x =是实数集R 上的增函数，所以'()cos 0f x m x =+≥对任意的x ∈R 都成立.............................2分因为函数cos y m x =+的最小值为1m -，所以1m ≥.....................4分（2）sin n n n b a ma =+，若{}n b 是等差数列，则212n n n b b b +++=对一切正整数n 成立，即2211sin sin 2sin 2n n n n n n a ma a ma a ma +++++++=+，将212n n n a a a +++=代入化简得21sin sin 2sin n n n a a a +++=，即()()111sin sin 2sin n n n a d a d a +++-++=，展开化简得()12sin cos 10n a d +⋅-=对一切正整数n 成立，所以1sin 0n a +=或cos 1d =，故1n a n π+=或()20,d k k k π=≠∈Z ；......................................................3分注：这里只要给出合适的一个等差数列即可得分当()20,d k k k π=≠∈Z 时，()()11sin sin 1212n n n b a ma a n k m a n k ππ=+=+-++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()1112sin m n k ma a π=-++，所以12n n b b m k π+-=为常数，故{}n b 是等差数列......................................................................6分同理，当n a n π=时，亦可证明数列{}n b 为等差数列.（3）令()(sin )()(1)sin g x x x kx b k x x b=+-+=-+-则当m Z ∈时，(2)2(1)sin 11b bg m k m k kππ+=-+--1k >时，存在m Z ∈使得(2)01bg m kπ+<-，即存在x R ∈使得()f x kx b <+，与题意不符同理，1k <时，存在x R ∈使得()f x kx b <+，与题意不符.......................4分1k =时，()sin g x x b=-当1b >-时，显然存在存在x R ∈使得()0g x <，即存在存在x R ∈使得()f x kx b <+当1b <-时，对任意的x R ∈都有()0g x >，..................................6分当1b =时，存在02x π=-，使得00()=f x kx b +，且对任意的x R ∈都有()0g x ≥，即对任意的x R ∈都有()f x kx b≥+综上，存在直线1y x =-满足题意..................................8分。

2020届上海市崇明区高三上学期期末(一模)数学试题(解析版)

2020届上海市崇明区高三上学期期末（一模）数学试题一、单选题1．若0a b <<,则下列不等式恒成立的是 A ．11a b> B ．a b -> C ．22a b > D ．33a b <【答案】D【解析】∵0a b << ∴设1,1a b =-= 代入可知,,A B C 均不正确对于D ，根据幂函数的性质即可判断正确故选D2．“2p <”是“关于x 的实系数方程210x px ++=有虚数根”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】先求出关于x 的实系数方程210x px ++=有虚数根的充要条件为：240p =-<，即22p -<<，再由“2p <”与“22p -<<”的关系得解。

【详解】解：关于x 的实系数方程210x px ++=有虚数根的充要条件为：240p =-<，即22p -<<，又“2p <”不能推出“22p -<<”， “22p -<<”能推出“2p <”，即“2p <”是“关于x 的实系数方程210x px ++=有虚数根”的必要不充分条件，故选：B ．【点睛】本题考查了充分条件、必要条件、充要条件及简易逻辑知识，属简单题3．已知向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，且222a b c <<，则a b ⋅、b c ⋅、a c ⋅中最小的值是（） A.a b ⋅ B.b c ⋅ C.a c ⋅D.不能确定【答案】B【解析】利用已知条件作差比较可知. 【详解】因为0a b c ++=, 所以()b a c =-+rr r,所以()a b b c b a c ⋅-⋅=⋅-22()()()a c a c a c =-+-=--0>,所以a b b c ⋅>⋅, 同理可得,a c b c ⋅>⋅, 故b c ⋅最小. 故选B . 【点睛】本题考查了平面向量的数量积和比较法比较大小,属于中档题.4．函数()f x x =，()22.g x x x =-+若存在1x ，2x ，⋯，90,2n x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()()()()()121121n n n n f x f x f x g x g x g x g x f x --++⋯++=++⋯++，则n的最大值是（） A.11 B.13 C.14 D.18【答案】C【解析】由已知得(22221212(1)[(1)(1)1)n n n x x x x -⎤-=---+-+⋯+-⎦，又1x ，2x ，⋯，90,2n x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可求n 的最大值．【详解】解：()()()()21211212n n n n n f x f x f x g x x x x x x --++⋯++=++⋯++-+，()()()()()()22212112112121n n n n ng x g x g x f x x x x x x x n x ---++⋯++=++⋯+-++⋯++-+，()2222121(1)(1)(1)2(1)n n x x x n x -∴-+-+⋯+-+-=-，(22221212(1)[(1)(1)1)n n n x x x x -⎤∴-=---+-+⋯+-⎦当1211n x x x -==⋯==，92n x =时，2949(2)(1)24max n -=-=， 4924n ∴-≤，又n N ∈，14max n ∴=．故选：C ．【点睛】本题考查参数的最值，配方是关键，考查推理能力和计算能力，属中档题二、填空题5．20lim 31n n n →∞+=+______．【答案】13【解析】将分式2031n n ++ 分子、分母同时除以n ，再利用201lim 0,lim 0n n n n →∞→∞==，可求解．【详解】解：202011lim20101limlim 113130333limn n n n n n n n nn →∞→∞→∞→∞++++====++++ 故答案为：13．【点睛】本题考查了极限的运算，属简单题．6．已知集合{|12}A x x =-<<，{}1,0,1,2,3B =-，则A B =______．【答案】{}0,1【解析】直接利用交集运算得答案．【详解】解：{}0,1A B ⋂=．故答案为：{}0,1．【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题．7．若复数z 满足232z z i +=-，其中i 为虚数单位，则z =______．【答案】12i -【解析】设复数z a bi =+，(a 、b 是实数)，则z a bi =-，代入已知等式，再根据复数相等的含义可得a 、b 的值，从而得到复数z 的值．【详解】解：设z a bi =+，(a 、b 是实数)，则z a bi =-，232z z i +=-，2232a bi a bi i ∴++-=-， 33a ∴=，2b =-，解得1a =，2b =-，则12z i =- 故答案为：12i -．【点睛】本题着重考查了复数的四则运算和复数相等的含义，属于基础题． 8．281()x x-的展开式中x 7的系数为__________.（用数字作答）【答案】56-【解析】试题分析：展开式通项为281631881()()(1)rrr r r r r T C x C x x--+=-=-，令1637r -=，得3r =，所以展开式中7x 的系数为．故答案为56-．【考点】二项式定理【名师点睛】①求特定项系数问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n≥r ）；第二步是根据所求的指数，再求所要求的项． ②有理项是字母指数为整数的项．解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据数的整除性来求解．9．角θ的终边经过点()4,P y ，且3sin 5θ=-，则tan θ=______．【答案】34-【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tan θ的值．【详解】解：角θ的终边经过点()4,P y ，且3sin 5θ=-=，3y ∴=-，则3tan 44y θ==-，故答案为：34-．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线24y x =上一点P 到焦点的距离为5，则点P 的横坐标是______．【答案】4【解析】由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，已知5PF =，则P 到准线的距离也为5，即15x +=，即可求出x ．【详解】解：抛物线242y x px ==，2p ∴=，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，15PF x ∴=+=， 4x ∴=，故答案为：4．【点睛】考查了抛物线的定义、焦半径到焦点的距离常转化为到准线的距离求解，属于基础题. 11．圆22240x y x y +-+=的圆心到直线3450x y ++=的距离等于______．【答案】0【解析】先求圆的圆心坐标，利用点到直线的距离公式，求解即可．【详解】解：由已知得圆心为：()1,2P -，由点到直线距离公式得：0d ==，故答案为：0．【点睛】本题以圆为载体考查点到直线的距离公式，考查学生计算能力，是基础题． 12．已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为 .【答案】π33 【解析】试题分析：设圆锥的底面半径为r ，22⨯=ππr ，解得1=r ，根据勾股定理，圆锥的高等于31222=-，所以圆锥的体积ππ3331312=⨯⨯⨯=V . 【考点】旋转体的体积 13．若函数()2log 1x af x x -=+的反函数的图象过点()3,7-，则a =______．【答案】6【解析】()f x 的反函数图象过点()3,7-，所以原函数()f x 的图象过()7,3-，然后将点()7,3-代入()f x 可解得．【详解】解：()f x 的反函数图象过点()3,7-，所以原函数()f x 的图象过()7,3-，()73f ∴=-，即27log 371a -=-+，3728a--∴=，6a ∴=．故答案为：6 【点睛】本题考查了反函数,属基础题．14．2018年上海春季高考有23所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所高校录取，那么不同的录取方法有______种. 【答案】1518【解析】解决这个问题得分三步完成，第一步把三个学生分成两组，第二步从23所学校中取两个学校，第三步，把学生分到两个学校中，再用乘法原理求解【详解】解：由题意知本题是一个分步计数问题，解决这个问题得分三步完成，第一步把三个学生分成两组，第二步从23所学校中取两个学校，第三步，把学生分到两个学校中，共有12232231518C C A =，故答案为：1518．【点睛】本题考查分步计数问题，本题解题的关键是把完成题目分成三步，看清每一步所包含的结果数，本题是一个基础题．15．设()f x 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]0,1上单调递减，且满足()1f π=，()22f π=，则不等式组()1212x f x ≤≤⎧≤≤⎨⎩的解集为______．【答案】[]2,82ππ--【解析】根据()f x 是以2为周期的偶函数，并且在[]0,1上单调递减，便可由()1f π=，()22f π=得出()41f π-=，()262f π-=，并且由12x ≤≤得出021x ≤-≤，从而由()12f x ≤≤得出()()()4226f f x f ππ-≤-≤-，进而得出{122624x x ππ≤≤-≤-≤-，解该不等式组即可．【详解】解：()f x 是以2为周期的偶函数，且()f x 在[]0,1上单调递减；∴由()1f π=，()22f π=得，()41f π-=，()262f π-=，且4π-，[]260,1π-∈；由12x ≤≤得，021x ≤-≤；∴由()1212x f x ≤≤⎧≤≤⎨⎩得，()()()124226x f f x f ππ≤≤⎧-≤-≤-⎨⎩；{122624x x ππ≤≤∴-≤-≤-；解得282x ππ-≤≤-；∴原不等式组的解集为[]2,82ππ--．故答案为：[]2,82ππ--．【点睛】考查周期函数和偶函数的定义，以及减函数的定义，不等式的性质．16．已知数列{}n a 满足：①10a =，②对任意的*n N ∈都有1n n a a +>成立．函数()1()sinn n f x x a n=-，[]1,n n x a a +∈满足：对于任意的实数[)0,1m ∈，()n f x m =总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式是______．【答案】()12n n n a π-=【解析】利用三角函数的图象与性质、诱导公式、数列的递推关系可得1n n a a n π+-=，再利用“累加求和”方法、等差数列的求和公式即可得出．【详解】解：10a =，当1n =时，()()11sin sin f x x a x =-=，[]20,x a ∈，又对任意的[)0,1m ∈，()1f x m =总有两个不同的根，2a π∴=，()1sin f x x ∴=，[]0,x π∈，2a π=，又()()()2211sinsin cos 222xf x x a x π=-=-=，[]3,x a π∈，对任意的[)0,1m ∈，()1f x m =总有两个不同的根，33a π∴=，又()()()33111sinsin 3sin 333f x x a x ππ=-=-=，[]43,x a π∈，对任意的[)0,1b ∈，()1f x m =总有两个不同的根，46a π∴=，由此可得1n n a a n π+-=，()()()()12111012n n n n n a a a a a a n πππ--∴=+-+⋯+-=++⋯+-=，故答案为：()12n n n a π-=，【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质、诱导公式、数列的递推关系、“累加求和”方法、等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题17．如图，设长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，直线1A C 与平面ABCD 所成角为4π．()1求三棱锥1A A BD -的体积；()2求异面直线1A B 与1B C 所成角的大小．【答案】（1）3（2）2arccos 3．【解析】()1转换顶点，以1A 为顶点，易求体积；()12B C 平移至1A D ，化异面直线为共面直线，利用余弦定理求解．【详解】解：()1连接AC ，则1A CA ∠为1A C 与平面ABCD 所成的角，14ACA π∴∠=，2AB BC ==，AC ∴=，1AA ∴=11A A BD A ABD V V --∴=11132AB AD AA =⨯⨯⨯3=()2连接1A D ，易知11//A D B C ，1(BA D ∴∠或其补角)即为所求，连接BD ，在1A DB 中，1A D =，1A B =BD =，由余弦定理得：12cos 3BA D ∠==，12arccos 3BA D ∠=，故异面直线1A B ，1B C 所成角的大小为2arccos 3．【点睛】此题考查了三棱锥体积，异面直线所成角的求法等，难度不大．18．已知函数2()cos sin f x x x x =⋅ ()1求函数()f x 的单调递增区间；()2在锐角ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1()2f A =，3a =， 4.b =求ABC △的面积．【答案】（1）5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦；k Z ∈；（2）4+【解析】()1利用二倍角，辅助角公式化简，结合三角函数的单调性即可求解()f x 的单调递增区间；()2根据()12f A =，求解A ，3a =， 4.b =利用余弦定理求解c ，即可求解ABC△的面积．【详解】解：()1函数()21cos sin sin2sin 223f x x x x x x x π⎛⎫=⋅+==+ ⎪⎝⎭令222232k x k πππππ-≤+≤+，得51212k x k ππππ-≤≤+， ()f x ∴的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦；k Z ∈； ()2由()12f A =，即1sin 232A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，ABC △是锐角三角形，5236A ππ∴+= 可得4A π=余弦定理：22222243cos 2242b c a c A bc c +-+-===⨯⨯，即270(0)c c -+=>解得：1c =ABC △的面积1sin 42S bc A ==【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，余弦定理的应用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．19．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得25万元~ 1600万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%．(即:设奖励方案函数模型为y=f (x)时，则公司对函数模型的基本要求是:当x ∈[25，1600]时，①f(x)是增函数;②f (x) ≤75恒成立; ③()5xf x ≤恒成立． (1)判断函数() 1030x f x =+是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由;(2)已知函数()()51g x a =≥符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a 的取值范围．【答案】(1) 函数模型()1030xf x =+，不符合公司要求,详见解析(2) [1，2] 【解析】（1）依次验证题干中的条件即可；（2）根据题干得，要满足三个条件，根据三个条件分别列出式子得到a 的范围，取交集即可. 【详解】(1)对于函数模型()1030xf x =+, 当x ∈[25, 1600]时， f (x)是单调递增函数，则f (x) ≤f (1600) ≤75,显然恒成立，若函数()5x f x ≤恒成立，即10305x x +≤,解得x≥60．∴()5xf x ≤不恒成立，综上所述，函数模型()1030xf x =+，满足基本要求①②，但是不满足③，故函数模型()1030xf x =+，不符合公司要求．(2)当x ∈[25，1600]时，()5(1)g x a =≥单调递增，∴最大值(1600)540575g a ==-≤∴2a ≤设()55x g x =≤恒成立，∴22(5)5x a x ≤+恒成立，即225225x a x ≤++, ∵25225xx +≥，当且仅当x=25时取等号，∴a 2≤2+2=4 ∵a ≥1, ∴1≤a ≤2, 故a 的取值范围为[1，2] 【点睛】这个题目考查了函数模型的应用，这类题目关键是选对函数模型，读懂题意，将实际问题转化为数学问题，利用数学知识解决问题.20．已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b +=>>，1B ，2B 分别是椭圆短轴的上下两个端点，1F 是椭圆的左焦点，P 是椭圆上异于点1B ，2B 的点，若112B F B 的边长为4的等边三角形．()1写出椭圆的标准方程；()2当直线1PB 的一个方向向量是()1,1时，求以1PB 为直径的圆的标准方程； ()3设点R 满足：11RB PB ⊥，22RB PB ⊥，求证：12PB B 与12RB B 的面积之比为定值．【答案】（1）221164x y +=；（2）2282128()()5525x y ++-=；（3）证明见解析【解析】()1由112B F B 是边长为4的等边三角形得4a =，进一步求得2b =，则椭圆方程可求；()2由直线1PB 的一个方向向量是()1,1，可得直线1PB 所在直线的斜率1k =，得到直线1PB 的方程，由椭圆方程联立，求得P 点坐标，得到1PB 的中点坐标，再求出1PB ，可得以1PB 为直径的圆的半径，则以1PB 为直径的圆的标准方程可求；() 3方法一、设()00,P x y ，()11,R x y 求出直线1PB 的斜率，进一步得到直线1RB 的斜率，得到直线1RB 的方程，同理求得直线2RB 的方程，联立两直线方程求得R 的横坐标，再结合()00,P x y 在椭圆221164x y +=上可得1x 与0x 的关系，由12121PB B RB B S x S x =求解；方法二、设直线1PB ，2PB 的斜率为k ，得直线1PB 的方程为 2.y kx =+结合11RB PB ⊥，可得直线1RB 的方程为12y x k=-+，把2y kx =+与椭圆方程联立可得021641k x k -=+，再由()00,P x y 在椭圆221164x y +=上，得到220044x y -=-，从而得到200020002241'4y y y k k x x x -+-⋅=⋅==-，得1'.4k k=-结合22RB PB ⊥，可得直线2RB 的方程为4 2.y kx =-与线1RB 的方程联立求得124.41kx k =+再由12121PB B RB B S x S x =求解．【详解】()1解：如图，由112B F B 的边长为4的等边三角形，得4a =，且2b =．∴椭圆的标准方程为221164x y +=； ()2解：直线1PB 的一个方向向量是()1,1，∴直线1PB 所在直线的斜率1k =，则直线1PB 的方程为2y x =+，联立2221164y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得25160x x +=，解得165P x =-，65P y ∴=-．则1PB 的中点坐标为82,55⎛⎫-⎪⎝⎭，1PB == 则以1PB为直径的圆的半径5r =． ∴以1PB 为直径的圆的标准方程为2282128()()5525x y ++-=；()3证明：方法一、设()00,P x y ，()11,.R x y直线1PB 的斜率为1002PB y k x -=，由11RB PB ⊥，得直线1RB 的斜率为1002RB x k y =-．于是直线1RB 的方程为：0022x y x y =-+-．同理，2RB 的方程为：0022x y x y =--+．联立两直线方程，消去y ，得20104y x x -=．()00,P x y 在椭圆221164x y +=上，22001164x y ∴+=，从而220044x y -=-．14x x ∴=-， 121214PB B RB B S x Sx ∴==．方法二、设直线1PB ，2PB 的斜率为k ，，则直线1PB 的方程为2y kx =+．由11RB PB ⊥，直线1RB 的方程为12y x k=-+，将2y kx =+代入221164x y +=，得()2241160k x kx ++=，P 是椭圆上异于点1B ，2B 的点，00x ∴≠，从而021641kx k -=+． ()00,P x y 在椭圆221164x y +=上，22001164x y ∴+=，从而220044x y -=-．200020002241'4y y y k k x x x -+-∴⋅=⋅==-，得1'4k k=-． 22RB PB ⊥，∴直线2RB 的方程为42y kx =-．联立1242y x k y kx ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩，解得2441k x k =+，即12441k x k =+． 1212201216414441PB B RB B kS x k k Sx k -+∴===+．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21．已知数列{}n a ，{}n b 均为各项都不相等的数列，n S 为{}n a 的前n 项和，()*11n n n a b S n N +=+∈．()1若11,2n n a b ==，求4a 的值；()2若{}n a 是公比为()1q q ≠的等比数列，求证：数列11n b q ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭为等比数列；()3若{}n a 的各项都不为零，{}n b 是公差为d 的等差数列，求证：2a ，3a ，⋯，n a ，⋯成等差数列的充要条件是12d =．【答案】（1）8；（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】()1直接代入计算即可；()2通过设()111n n a a q q -=≠，利用等比数列的求和公式及11n n n a b S +=+，计算可知n b ，进而化简即得结论；()3通过数列{}n b 是公差为d 的等差数列，对()1n n n n n a b a b d a +--=变形可知111111n n n n n n n n a a b b da a a a d d--+---==----，然后分别证明充分性、必要性即可．【详解】解：()111n n n a b S +=+，11a =，2n n b =， 121111412a a b ++∴===，146132+++ 232114161S a b +++===， 34311461832S a b ++++===，证明：()2设()111n n a a qq -=≠，则()111nn a q S q-=-，11n n n a b S +=+，()()111111111111nn n n nnn a q S a a q q q b a a q q a q +-++-+--∴===-， ()()1111111111111n n n n a a q q a q b q q a q q q a q -+-+-∴+=+=----()11111111n n a q b q q a q +++-∴+=-- 1n nb q b +∴=，(q 为常数) ∴数列11n b q ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭为等比数列， ()3数列{}n b 是公差为d 的等差数列，∴当2n ≥时，()1n n n n n a b a b d a +--=，即()()11n n n n a a b d a +-=-，数列{}n a 的各项都不为零，10n n a a +∴-≠，10d -≠， ∴当2n ≥时，11n nn nb a d a a +=--，当3n ≥时，1111n n n n b a d a a ---=--，两式相减得：当3n ≥时，111111n n n n n n n n a a b b da a a a d d--+---==----．先证充分性：由12d =可知1111n n n n n n a a a a a a -+--=--， ∴当3n ≥时，1111n nn n n na a a a a a --++=--，又0n a ≠，11n n n n a a a a +-∴-=-，即2a ，3a ，⋯，n a ⋯成等差数列；再证必要性：2a ，3a ，⋯，n a ⋯成等差数列， ∴当3n ≥时，11n n n n a a a a +--=-，111111111n n n n n n n n n n n n a a a a d a a a a a a a a d---+---∴-=-==-----，12d ∴=．综上所述，2a ，3a ，⋯，n a ⋯成等差数列的充要条件是12d = 【点睛】本题考查数列的递推式，考查运算求解能力，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．。

2020-2021学年上海市崇明区高三年级一模考试数学试卷含答案解析

2020-2021学年上海市崇明区高三一模考试数学试卷2020.12一．填空题（本题有12题，1-6每题4分，7-12每题5分，满分54分）1、设集合，集合，则=_____________【参考答案】【解析】集合，集合，则=2、不等式的解集是_____________【参考答案】【解析】，得解集是3、已知复数满足，i是虚数单位，则z=____________【参考答案】【解析】共轭复数4、设函数的反函数为，则=___________【参考答案】【解析】反函数定义5、点到直线的距离是________________【参考答案】【解析】点到直线距离公式6、计算=______________【参考答案】【解析】考查等差数列前n项和与极限定义7、若关于的方程组无解，则实数__________【参考答案】【解析】8、用数字组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数是___________（结果用数值表示）【参考答案】【解析】先考虑个位，再看首位，则奇数个数9、若的二项式展开式中有一项为，则m=___________【参考答案】【解析】，令，得10、设O为坐标原点，直线与双曲线C：的两条渐近线分别相交于D、E两点，若面积为1，则双曲线的焦距最小值为______________【参考答案】【解析】双曲线的渐近线方程为，故因为面积为，所以又，所以11、已知函数，若对任意的，都有，（为常数），且当时，，则____________【参考答案】【解析】∵对任意，都有，（为常数）∴（为常数）,得,故的周期为 4.则12、已知点D为圆O：的弦的中点，点的坐标为，且则的取值范围为_________【参考答案】【解析】设，又，，则有，，又点在圆，上，则点D为圆O：的弦MN的中点，则点D的横坐标不能取则x的取值范围为，即的取值范围为二、选择题（本题有4题，每小题5分，满分20分）13、，则下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.【参考答案】D【解析】特殊值。

2021年上海市崇明区高考数学一模试卷有答案

2021年上海市崇明区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 已知集合A ={1, 2, 3}，集合B ={3, 4}，则A ∩B =________．2. 不等式x−1x+2<0的解集是________．3. 已知复数z 满足(z ¯−2)i =1（i 是虚数单位），则z =________．4. 设函数f(x)=1x+1的反函数为f −1(x)，则f −1(2)=________．5. 点(0, 0)到直线x +y =2的距离是________．6. 计算：limn→∞1+2+3+⋯+n n(n+2)=________．7. 若关于x 、y 的方程组{4x +6y ＝1ax −3y ＝2无解，则实数a =________．8. 用数字0、1、2、3、4、5组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为________.（结果用数值表示）9. 若(2a 2+b 3)n 的二项展开式中有一项为ma 4b 12，则m =________．10. 设O 为坐标原点，直线x =a 与双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2＝1(a >0, b >0)的两条渐近线分别交于D 、E 两点，若△ODE 的面积为1，则双曲线C 的焦距的最小值为________．11. 已知函数y =f(x)，对任意x ∈R ，都有f(x +2)⋅f(x)=k （k 为常数），且当x ∈[0, 2]时，f(x)=x 2+1，则f(2021)=________．12. 已知点D 为圆O:x 2+y 2=4的弦MN 的中点，点A 的坐标为(1, 0)，且AM →⋅AN →＝1，则OA →⋅OD →的最大值为________．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）若a <0<b ，则下列不等式恒成立的是（）A.1a >1bB.−a >bC.a 2>b 2D.a 3<b 3正方体上的点P ，Q ，R ，S 是其所在棱的中点，则直线PQ 与直线RS 异面的图形是( )A. B.C.D.设{a n }为等比数列，则“对于任意的m ∈N ∗，a m+2>a m ”是“{a n }为递增数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件设函数y =f(x)的定义域是R ，对于下列四个命题：（1）若函数y =f(x)是奇函数，则函数y =f （f(x)）是奇函数；（2）若函数y =f(x)是周期函数，则函数y =f （f(x)）是周期函数；（3）若函数y =f(x)是单调减函数，则函数y =f （f(x)）是单调减函数；（4）若函数y =f(x)存在反函数y =f −1(x)，且函数y =f(x)−f −1(x)有零点，则函数y =f(x)−x 也有零点；其中正确的命题共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD所成的角为30∘，且AB=BC=2；（1）求三棱锥A−BCD的体积；（2）设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．已知函数f(x)＝1sin2x−√3cos2x．2（1）求函数y=f(x)的最小正周期；，C＝（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若锐角A满足f(A)＝1−√32π，c=2，求△ABC的面积．6研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y与听课时间x（单位：分钟）之间的变化曲线如图所示，当x∈[0, 16]时，曲线是二次函数图象的一部分；当x∈(x+a)图象的一部分，当学生的注意力指数不[16, 40]时，曲线是函数y=80+log0.8高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”．（1）求函数y=f(x)的解析式；（2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟）+y2＝1的左右顶点分别为A、B，P为直线x=4上的动点，直线PA与已知椭圆Γ：x24椭圆Γ的另一交点为C，直线PB与椭圆Γ的另一交点为D．（1）若点C的坐标为(0, 1)，求点P的坐标；（2）若点P的坐标为(4, 1)，求以BD为直径的圆的方程；（3）求证：直线CD过定点．对于数列{a n}，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称{a n}为P数列．（1）若数列1，2，x，8是P数列，求实数x的取值范围；（2）设数列a1，a2，a3，…，a10是首项为−1、公差为d的等差数列，若该数列是P数列，求d的取值范围；（3）设无穷数列{a n}是首项为a、公比为q的等比数列，有穷数列{b n}、{c n}是从{a n}中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，起所有项和分别记为T1、T2，求证：当a>0且T1=T2时，数列{a n}不是P数列．参考答案与试题解析2021年上海市崇明区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.【答案】{3}【考点】交集及其运算【解析】直接利用集合的交集的求法，求出交集即可．【解答】解：因为集合A ={1, 2, 3}，集合B ={3, 4}，所以A ∩B ={3}故答案为：{3}．2.【答案】(−2, 1)【考点】其他不等式的解法【解析】问题转化为(x −1)(x +2)<0，求出不等式的解集即可．【解答】∵ x−1x+2<0，∴ (x −1)(x +2)<0，解得：−2<x <1，故不等式的解集是(−2, 1)，3.【答案】2+i【考点】复数的运算【解析】直接利用复数的运算和共轭复数的应用求出结果．【解答】因为(z ¯−2)i ＝1，所以z ¯＝1i +2＝2−i ，所以z =2+i ．4.【答案】−12【考点】反函数直接利用反函数的关系式的定义域和函数的值的对应关系求出结果．【解答】在f(x)＝1x+1中，令y=2，得x＝−12，所以f−1(2)＝−12．5.【答案】√2【考点】点到直线的距离公式【解析】直接利用点到直线的距离公式的应用求出结果．【解答】由点(0, 0)到直线x+y−2=0的距离公式得d√2√2．．6.【答案】12【考点】极限及其运算等差数列的前n项和【解析】直接利用极限和等差数列的求和的应用求出结果．【解答】lim n→∞1+2+3+⋯+nn(n+2)＝limn→∞n(n+1)2n(n+2)＝limn→∞n+12(n+2)＝12．7.【答案】−2【考点】二元一次不等式组【解析】直接利用直线平行的充要条件的应用求出结果．【解答】由题意得两直线无解，则直线平行，且该直线在y轴上的截距不相等，故4a ＝6−3，解得：a=−2，经检验满足题意，所以a=−2．8.48【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】直接利用组合数的应用求出结果．【解答】先挑个位，有C 31种；再挑百位，有C 41种；最后挑十位，有C 41种；故奇数的个数为C 31C 41C 41＝48个．9.【答案】154【考点】二项式定理及相关概念【解析】直接利用二项式的展开式的应用建立方程，进一步求出结果．【解答】根据二项式的展开式的通项为T r+1＝C n r 2n−r a 2n−2r b 3r ，令{2n −2r ＝43r ＝12，解得{n ＝6r ＝4，所以m ＝C 6422＝60．10.【答案】 2√2【考点】双曲线的离心率【解析】求出渐近线，确定D ，E 的坐标，根据三角形的面积得到ab =1，再根据基本不等式的性质求出2c 的最小值即可．【解答】双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，所以D(a, b)，E(a, −b)，因为△ODE 的面积为1，所以a ⋅2b ⋅12＝1，即ab =1，因为c 2=a 2+b 2，所以2c ＝2+b 2≥2√2ab ＝2√2，即双曲线的焦距的最小值为2√2，11.【答案】2【考点】函数的周期性【解析】根据f(x +2)⋅f(x)=k ，求出f(x)是周期为4的周期函数，从而求出函数值即可．【解答】因为对任意x ∈R ，都有f(x +2)⋅f(x)=k 为常数，所以f(x +4)⋅f(x +2)=k ，从而f(x +4)=f(x)，即f(x)的周期为4，所以f(2021)=f(1)=2，故答案为：2．12.【答案】2【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】设出点D 的坐标，利用AM →⋅AN →＝1，求出D 的轨迹方程，然后求解OA →⋅OD →的最大值．【解答】设D(x, y)，则AM →⋅AN →＝(AD →+DM →)⋅(AD →+DN →)＝(AD →−DN →)⋅(AD →+DN →)=AD →2−DN →2＝AD →2−(4−OD →2)＝AD →2+OD →2−4＝1，因为AD →＝(x −1,y)，OD →＝(x,y)，所以(x −1)2+y 2+x 2+y 2=5，整理得(x −12)2+y 2＝94，即为点D(x, y)的轨迹方程，所以OA →⋅OD →＝x ≤12+32＝2，故OA →⋅OD →的最大值为2．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）【答案】D【考点】不等式比较两数大小【解析】若a ＝−1，b ＝1，则A ，B ，C 不正确，对于D ，根据幂函数的性质即可判断正确．【解答】解：∵ a <0<b ，若a =−1，b =1，则A ，B ，C 不正确，对于D ，根据幂函数的性质即可判断正确.故选D .【答案】B【考点】异面直线的判定【解析】(1)分析：A 根据正方体上的点P 、Q 、R 、S 是其所在棱的中点，则知RS 平行于上底面一条对角线的连线，进一步确定RS // PQ ，故PQ 和RS 不是异面直线．(2)分析：C 根据正方体上的点P 、Q 、R 、S 是其所在棱的中点，延长PQ ，RS 以及外右侧的棱然后根据三角形的相似得PQ 和RS 是相交直线．(3)分析：D根据正方体上的点P、Q、R、S是其所在棱的中点，连接PS和RQ，利用平行公理得到PS // RQ，说明P、S、R、Q四点共面，进一步得到：PQ和RS是相交直线．【解答】解：A、根据正方体上的点P，Q，R，S是其所在棱的中点，则知RS平行于上底面一条对角线的连线，进一步确定RS // PQ，故PQ和RS不是异面直线，故A选项错误；C、根据正方体上的点P，Q，R，S是其所在棱的中点，延长PQ，RS以及外右侧的棱然后根据三角形的相似得PQ和RS是相交直线．故C选项错误；D、根据正方体上的点P，Q，R，S是其所在棱的中点，连接PS和RQ，利用平行公理得到PS // RQ，说明P，S，R，Q四点共面，进一步得到：PQ和RS是相交直线．故D选项错误.通过排除法，得B选项正确.故选B.【答案】C【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】利用充要条件，结合数列的单调性判断即可．【解答】对任意的m∈N∗，a m+2>a m，a m(q2−1)>0，【如果a m<0，则q2<1，此时q∈(−1, 0)或q∈(0, 1)，当q∈(−1, 0)时，数列是摆动数列，不满足a m+2>a m，当q∈(0, 1)时，也不满足a m+2>a m，所以a m<0，不成立．】必有a m>0，q2>1，即q>1时，所以{a n}为递增数列；反之，若{a n}为递增数列，则a m+2>a m+1>a m，故为充要条件，【答案】若y=f(x)是奇函数，则f(−x)=−f(x)，f（f(−x)）=f（−f(x)）=−f（f(x)），则y=f（f(x)）也是奇函数，故正确；若y=f(x)是周期函数，则f(x+T)=f(x)，f（f(x+T)）=f（f(x)），则y=f（f(x)）也是周期函数，故B【考点】命题的真假判断与应用【解析】利用奇函数的概念判断①；利用周期函数的概念判断②；由复合函数的单调性判断③；举例说明④不正确．【解答】若y=f(x)是奇函数，则f(−x)=−f(x)，f（f(−x)）=f（−f(x)）=−f（f(x)），则y=f（f(x)）也是奇函数，故正确；若y=f(x)是周期函数，则f(x+T)=f(x)，f（f(x+T)）=f（f(x)），则y=f（f(x)）也是周期函数，故正确；（1）若y =f(x)是单调递减函数，则根据复合函数的性质，y =f （f(x)）是单调递增函数，故（2）不正确；（3）函数y =f(x)−f −1(x)有零点，即y =f(x)与其反函数y =f −1(x)的图象有交点，则y =f(x)与y =x 不一定有交点，也就是函数y =f(x)−x 不一定有零点，如图，故（4）不正确．∴ 正确的命题共有2个．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）【答案】解：（1）如图，因为AB ⊥平面BCD ，所以AB ⊥CD ，又BC ⊥CD ，所以CD ⊥平面ABC ，因为AB ⊥平面BCD ，AD 与平面BCD 所成的角为30∘，故∠ADB =30∘，由AB =BC =2，得AD =4，AC =2√2，∴ BD =√16−4=2√3，CD =√(2√3)2−22=2√2，则V A−BCD =13×S △BCD ×AB =16×BC ×CD ×AB =16×2×2√2×2 =4√23．（2）以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，过C 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则A(0, 2, 2)，D(2√2, 0, 0)，C(0, 0, 0)，B(0, 2, 0)，M(√2,1,0)，AD →=(2√2, −2, −2)，CM →=(√2,1,0)，设异面直线AD 与CM 所成角为θ，则cos θ=|AD →|⋅|CM →|˙=43=√36．θ=arccos√36． ∴ 异面直线AD 与CM 所成角的大小为arccos √36．【考点】柱体、锥体、台体的体积计算异面直线及其所成的角【解析】（1）由AB ⊥平面BCD ，得CD ⊥平面ABC ，由此能求出三棱锥A −BCD 的体积．（2）以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，过C 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，由此能求出异面直线AD 与CM 所成角的大小．【解答】解：（1）如图，因为AB ⊥平面BCD ，所以AB ⊥CD ，又BC ⊥CD ，所以CD ⊥平面ABC ，因为AB ⊥平面BCD ，AD 与平面BCD 所成的角为30∘，故∠ADB =30∘，由AB =BC =2，得AD =4，AC =2√2，∴ BD =√16−4=2√3，CD =√(2√3)2−22=2√2，则V A−BCD =13×S △BCD ×AB =16×BC ×CD ×AB =16×2×2√2×2 =4√23．（2）以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，过C 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则A(0, 2, 2)，D(2√2, 0, 0)，C(0, 0, 0)，B(0, 2, 0)，M(√2,1,0)， AD →=(2√2, −2, −2)，CM →=(√2,1,0)，设异面直线AD 与CM 所成角为θ，则cos θ=|AD →|⋅|CM →|˙=43=√36． θ=arccos√36． ∴ 异面直线AD 与CM 所成角的大小为arccos √36．【答案】f(x)＝12sin2x−√3cos2x=12sin2x−√3(1+cos2x)2=12sin2x−√32cos2x−√32＝sin(2x−π3)−√32，∴函数y=f(x)的最小正周期T＝2π2＝π；∵f(A)＝sin(2A−π3)−√32＝1−√32，∴sin(2A−π3)＝12，又A为锐角，∴2A−π3∈(−π3,2π2)，则2A−π3＝π6，得A＝π4，又C＝π6，c＝2，由正弦定理得asin A＝csin C，即asinπ4＝2sinπ6，解得a＝2√2，而sin B＝sin(A+C)＝sin(π4+π6)＝√6+√24，∴△ABC的面积S＝12ac sin B＝2√2×√6+√24＝√3+1．【考点】正弦定理【解析】（1）利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，然后利用周期公式求周期；（2）由f(A)＝1−√32求解A，再由已知结合正弦定理求a，再求出sin B的值，代入三角形面积公式求面积．【解答】f(x)＝12sin2x−√3cos2x=12sin2x−√3(1+cos2x)2=12sin2x−√32cos2x−√32＝sin(2x−π3)−√32，∴函数y=f(x)的最小正周期T＝2π2＝π；∵f(A)＝sin(2A−π3)−√32＝1−√32，∴sin(2A−π3)＝12，又A为锐角，∴2A−π3∈(−π3,2π2)，则2A−π3＝π6，得A＝π4，又C＝π6，c＝2，由正弦定理得asin A＝csin C，即asinπ4＝2sinπ6，解得a＝2√2，而sin B＝sin(A+C)＝sin(π4+π6)＝√6+√24，∴△ABC的面积S＝12ac sin B＝2√2×√6+√24＝√3+1．【答案】当x∈(0, 16]时，设f(x)=b(x−12)2+84(b<0)，∵f(16)=b(16−12)2+84=80，∴b=−14，∴f(x)＝−14(x−12)2+84．当x∈(16, 40]时，f(x)=log0.8(x+a)+80，由f(16)=log0.8(16+a)+80=80，解得a=−15，∴f(x)=log0.8(x−15)+80．综上，f(x)＝{−14(x−12)2+84，x∈(0,16] log0.8(x−15)+80，x∈(16,40]；当x∈(0, 16]时，令f(x)＝−14(x−12)2+84<68，得x∈[0, 4]，当x∈(16, 40]时，令f(x)=log0.8(x−15)+80<68，得x≥15+0.8−12≈29.6，∴x∈[30, 40]，故学生处于“欠佳听课状态”的时间长为4−0+40−30=14分钟．【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】（1）当x∈(0, 16]时，设f(x)=b(x−12)2+84(b<0)，代入点的坐标求解b，当x∈(16, 40]时，直接在给出的函数模型中代入点的坐标求解a，则分段函数解析式可求；（2）分别求解二次不等式得到x的范围，即可求得学生处于“欠佳听课状态”的时长．【解答】当x∈(0, 16]时，设f(x)=b(x−12)2+84(b<0)，∵f(16)=b(16−12)2+84=80，∴b=−14，∴f(x)＝−14(x−12)2+84．当x ∈(16, 40]时，f(x)=log 0.8(x +a)+80，由f(16)=log 0.8(16+a)+80=80，解得a =−15， ∴ f(x)=log 0.8(x −15)+80．综上，f(x)＝{−14(x −12)2+84，x ∈(0,16]log 0.8(x −15)+80，x ∈(16,40]；当x ∈(0, 16]时，令f(x)＝−14(x −12)2+84<68，得x ∈[0, 4]，当x ∈(16, 40]时，令f(x)=log 0.8(x −15)+80<68，得x ≥15+0.8−12≈29.6， ∴ x ∈[30, 40]，故学生处于“欠佳听课状态”的时间长为4−0+40−30=14分钟．【答案】由椭圆方程可得A(−2, 0)，C(0, 1)，则k PA =k AC =12，所以直线PA 的方程为y ＝12x +1，令x =4，得y =3，所以P(4, 3)；因为A(−2, 0)，B(2, 0)，P(4, 1)，所以直线PB 的方程为y ＝12(x −2)，由{x 24+y 2＝1y ＝12(x −2)得x 2−2x =0，所以x D ＝0，y D ＝12(x D −2)＝−1，所以以BD 为直径的圆的方程为(x −2)x +y(y +1)=0，即(x −1)2+(y +12)2＝54；设P(4, t)，因为A(−2, 0)，B(2, 0)，直线PA 的方程为y ＝t6(x +2)，由{x 24+y 2＝1y ＝t6(x +2)得(t 2+9)x 2+4t 2x +4t 2−36=0，由韦达定理得−2x c ＝4t 2−36t 2+9，所以x c ＝−2t 2+18t 2+9，所以y C ＝t6(x C +2)＝6tt 2+9，同理，直线PB 的方程为y ＝t2(x −2)，由{x 24+y 2＝1y ＝t2(x −2)得(t 2+1)x 2−4t 2x +4t 2−4=0，由韦达定理得2x D ＝4t 2−4t 2+1，所以x D ＝2t 2−2t 2+1，所以y D ＝t 2(x D −2)＝−2tt 2+1，由椭圆的对称性知这样的定点在x 轴上，设为E(m, 0)，则C ，E ，D 三点共线，所以EC →＝(−2t 2+18t 2+9−m,6tt 2+9)，ED →＝(2t 2−2t 2+1−m,−2tt 2+1)共线，所以(−2t 2+18t 2+9−m)(−2tt 2+1)＝(2t 2−2t 2+1−m)(6tt 2+9)恒成立，整理得(4m −4)t 2+12m −12=0恒成立，所以m =1，故直线CD 过定点(1, 0)．【考点】椭圆的应用直线与椭圆的位置关系【解析】（1）由已知可求出直线AP 的斜率，进而可以求出直线的方程，即可求出P 的坐标；（2）由已知可求出直线PB 的方程，联立直线与椭圆求出点D 的坐标，进而求出以BD 为直径的圆的方程；（3）设出P 的坐标，求出直线PA 的方程，联立直线PA 与椭圆的方程，利用韦达定理求出点C 的坐标，同理求出点D 的坐标，再利用向量共线定理即可建立方程，利用恒成立思想即可求解．【解答】由椭圆方程可得A(−2, 0)，C(0, 1)，则k PA =k AC =12，所以直线PA 的方程为y ＝12x +1，令x =4，得y =3，所以P(4, 3)；因为A(−2, 0)，B(2, 0)，P(4, 1)，所以直线PB 的方程为y ＝12(x −2)，由{x 24+y 2＝1y ＝12(x −2)得x 2−2x =0，所以x D ＝0，y D ＝12(x D −2)＝−1，所以以BD 为直径的圆的方程为(x −2)x +y(y +1)=0，即(x −1)2+(y +12)2＝54；设P(4, t)，因为A(−2, 0)，B(2, 0)，直线PA 的方程为y ＝t6(x +2)，由{x 24+y 2＝1y ＝t6(x +2)得(t 2+9)x 2+4t 2x +4t 2−36=0，由韦达定理得−2x c ＝4t 2−36t 2+9，所以x c ＝−2t 2+18t 2+9，所以y C ＝t6(x C +2)＝6tt 2+9，同理，直线PB 的方程为y ＝t2(x −2)，由{x 24+y 2＝1y ＝t2(x −2)得(t 2+1)x 2−4t 2x +4t 2−4=0，由韦达定理得2x D ＝4t 2−4t 2+1，所以x D ＝2t 2−2t 2+1，所以y D ＝t 2(x D −2)＝−2tt 2+1，由椭圆的对称性知这样的定点在x 轴上，设为E(m, 0)，则C ，E ，D 三点共线，所以EC →＝(−2t 2+18t +9−m,6tt +9)，ED →＝(2t 2−2t +1−m,−2tt +1)共线，所以(−2t 2+18t 2+9−m)(−2tt 2+1)＝(2t 2−2t 2+1−m)(6tt 2+9)恒成立，整理得(4m −4)t 2+12m −12=0恒成立，所以m =1，故直线CD 过定点(1, 0)．【答案】由题意得{x >1+28>1+2+x ，所以3<x <5；由题意得，该数列的前n 项和为S n ＝−n +n(n−1)2d ，a n+1＝−1+nd ，由数列a 1，a 2，a 3，…，a 10是P 数列，得a 2>S 1=a 1，故公差d >0，S n −a n+1＝d2n 2−(1+32d)n +1<0对满足n =1，2，3…，9的所有n都成立，则d2⋅92−9(1+32d)+1<0，解得d <827，所以d 的取值范围是(0,827)；证明：若{a n }是P 数列，则a =S 1<a 2=aq ，因为a >0，所以q >1，又由a n+1>S n 对所有n 都成立，得aq n >a ⋅q n −1q−1恒成立，即2−q <(1q)n 恒成立，因为(1q )n >0，lim n→∞(1q )n ＝0，故2−q ≤0，所以q ≥2，若{b n }中的每一项都在{c n }中，则由这两数列是不同数列可知T 1<T 2，若{c n }中的每一项都在{b n }中，同理可得T 1>T 2，若{b n }中至少有一项不在{c n }中，且{c n }中至少有一项不在{b n }中，设{b ′n }，{c ′n }是将{b n }，{c n }中的公共项去掉之后剩余项依次构成的数列，它们的所有项之和分别为T′1，T′2，不妨设{b ′n }，{c ′n }中的最大项在{b ′n }中，设为a m (m ≥2)，则T ′2≤a 1+a 2+...+a m−1<a m ≤T ′1，故总有T ′2≠T ′1与T ′2=T ′1矛盾，故假设错误，原命题正确．【考点】数列的应用【解析】（1）根据数列的性质求出实数x 的范围；（2）利用等差数列的性质的应用求出d 的取值范围；（3）利用存在性问题的应用和假设法的应用求出结论．【解答】由题意得{x >1+28>1+2+x ，所以3<x <5；由题意得，该数列的前n 项和为S n ＝−n +n(n−1)2d ，a n+1＝−1+nd ，由数列a 1，a 2，a 3，…，a 10是P 数列，得a 2>S 1=a 1，故公差d >0，S n −a n+1＝d2n 2−(1+32d)n +1<0对满足n =1，2，3…，9的所有n都成立，则d2⋅92−9(1+32d)+1<0，解得d <827，所以d 的取值范围是(0,827)；证明：若{a n }是P 数列，则a =S 1<a 2=aq ，因为a >0，所以q >1，又由a n+1>S n 对所有n 都成立，得aq n >a ⋅q n −1q−1恒成立，即2−q <(1q)n 恒成立，因为(1q )n >0，lim n→∞(1q )n ＝0，故2−q ≤0，所以q ≥2，若{b n }中的每一项都在{c n }中，则由这两数列是不同数列可知T 1<T 2，若{c n }中的每一项都在{b n }中，同理可得T 1>T 2，若{b n }中至少有一项不在{c n }中，且{c n }中至少有一项不在{b n }中，设{b ′n }，{c ′n }是将{b n }，{c n }中的公共项去掉之后剩余项依次构成的数列，它们的所有项之和分别为T′1，T′2，不妨设{b ′n }，{c ′n }中的最大项在{b ′n }中，设为a m (m ≥2)，则T ′2≤a 1+a 2+...+a m−1<a m ≤T ′1，故总有T ′2≠T ′1与T ′2=T ′1矛盾，故假设错误，原命题正确．。

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上海市崇明区2020届高三一模数学试卷2019.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 已知集合{0,1,2,3}A =，{|02}B x x =<≤，则A B =I2. 不等式|2|1x -<的解集是3. 半径为1的球的表面积是4. 已知等差数列{}n a 的首项为1，公差为2，则该数列的前n 项和n S =5. 函数()f x =的反函数是6. 计算：1132lim 32n nn n n +-→∞-=+ 7. 二项式62()x x+的展开式中常数项的值等于 8. 若双曲线的一个顶点坐标为(3,0)，焦距为10，则它的标准方程是9. 已知a 、b +∈R ，若直线230x y ++=与直线(1)2a x by -+=互相垂直，则ab 的最大值等于10. 已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当01x <≤时，3()1f x x ax =-+，则实数a 的值等于11. 某组委会要从五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中甲不能从事翻译工作，乙不能从事导游工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有种12. 正方形ABCD 的边长为4，O 是正方形ABCD 的中心，过中心O 的直线l 与边AB 交于点M ，与边CD 交于点N ，P 为平面上一点，满足2(1)OP OB OC λλ=+-uu u r uu u r uuu r ，则PM PN ⋅uuu r uuu r的最小值为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 若0a b <<，则下列不等式恒成立的是（） A. 11a b> B. a b -> C. 33a b < D. 22a b > 14. 已知z ∈C ，“0z z +=”是“z 为纯虚数”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件15. AB 、CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点，已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离等于（）A. 12B. 1C. 4D. 216. 若不等式(||)sin()06x a b x ππ--+≤对[1,1]x ∈-恒成立，则a b +的值等于（） A.23 B. 56C. 1D. 2 三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，1AB BC ==，12BB =.（1）求异面直线11B C 与1A C 所成角的大小；（2）求点1B 与平面1A BC 的距离.18. 已知函数21()2cos 2f x x x =--. （1）求函数()f x 的最大值，并写出取得最大值时的自变量x 的集合；（2）设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且c =()0f C =，若sin 2sin B A =，求a 、b 的值.19. 某辆汽车以x 公里/小时速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求60120x ≤≤）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为14500(100)5x x-+升. （1）欲使每小时的油耗不超过9升，求x 的取值范围；（2）求该汽车行驶100公里的油耗y 关于汽车行驶速度x 的函数，并求y 的最小值.20. 已知椭圆22:14x y Γ+=，其左右顶点分别为A 、B ，上下顶点分别为C 、D ，圆O 是以线段AB 为直径的圆.（1）求圆O 的方程；（2）若点E 、F 是椭圆上关于y 轴对称的两个不同的点，直线CE 、DF 分别交x 轴于点M 、N ，求证：OM ON ⋅uuu r uuu r 为定值；（3）若点P 是椭圆Γ上不同于点A 的点，直线AP 与圆O 的另一个交点为Q ，是否存在点P ，使得13AP PQ =uu u r uu u r ？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.21. 已知无穷数列{}n a 、{}n b 、{}n c 满足：对任意的*n ∈N ，都有1||||n n n a b c +=-，1||||n n n b c a +=-，1||||n n n c a c +=-，记max{||,||,||}n n n n d a b c =（max{,,}x y z 表示3个实数x 、y 、z 中的最大值）.（1）若11a =，12b =，14c =，求4a 、4b 、4c 的值；（2）若11a =，12b =，求满足23d d =的1c 的所有值；（3）设1a 、1b 、1c 是非零实数，且1||a 、1||b 、1||c 互不相等，证明：存在正整数k ，使得数列{}n a 、{}n b 、{}n c 中有且只有一个数列自第k 项起各项均为0.。

2020年高三数学崇明一模

2021-2022学年上海市崇明区高三(上)期末数学试卷(一模)

2021-2022学年上海市崇明区高三（上）期末数学试卷（一模）试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）已知集合A={1，2}，B={a，3}，若A∩B={1}，则A∪B=___ ．2.（填空题，4分）已知复数z满足z•i=1+i（i是虚数单位），则复数z的模等于 ___ ．3.（填空题，4分）若线性方程组的增广矩阵是(12c134c2)，解为{x=0y=2，则c1+c2=___ ．4.（填空题，4分）计算：n→∞[1−n21+2n2+(34)n] =___ ．5.（填空题，4分）已知（1+2x）n的展开式的各项系数之和为81，则n=___ ．6.（填空题，4分）直线y-2=0与直线y=2x-1的夹角大小等于 ___ .（结果用反三角函数值表示）7.（填空题，5分）在△ABC中，已知a=8，b=5，c= √153，则△ABC的面积为 ___ ．8.（填空题，5分）若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成角的大小等于 ___ ．9.（填空题，5分）第24届冬季奥林匹克运动会计划于2022年2月4日在北京开幕，北京冬奥会的顺利举办将成为人类摆脱和超越疫情的标志性事件，展现人类向更美好的未来进发的期望和理想．组织方拟将4名志愿者全部分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作（每个场馆至少分配一名志愿者），不同的分配方案有 ___ 种．10.（填空题，5分）设函数f（x）=sinx-m（x∈[0，5π2]）的零点为x1，x2，x3，若x1，x2，x3成等比数列，则m=___ ．11.（填空题，5分）已知双曲线Γ1：x2- y2b2=1的左、右焦点分别为F1、F2，以O为顶点F2为焦点作抛物线Γ2，若双曲线Γ1与抛物线Γ2交于点P，且∠PF1F2=45°，则抛物线Γ2的准线方程是 ___ ．12.（填空题，5分）已知无穷数列{a n}各项均为整数，且满足a2=-1，a4n-1＜a4n（n=1，2，3，…），a m+n∈{a m+a n+1，a m+a n+2}（m，n=1，2，…），则该数列的前8项和S8=___ ．13.（单选题，5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A. y=(13) xB.y=log3xC. y=1xD.y=（x-1）214.（单选题，5分）不等式 2−3xx−1＞0 的解集为（） A. (−∞，34) B. (−∞，23)C. (−∞，23)∪(1，+∞)D. (23，1)15.（单选题，5分）设O 为△ABC 所在平面上一点．若实数x 、y 、z 满足x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +yOB ⃗⃗⃗⃗⃗ +zOC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ (x 2+y 2+z 2≠0) ，则“xyz=0”是“点O 在△ABC 的边所在直线上”的（） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.非充分也非必要条件16.（单选题，5分）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：x 2+y 2=1+|x|y 就是其中之一（如图），给出下列两个命题：命题q 1：曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过 √2 ；命题q 2：曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3．则下列说法正确的是（）A.命题q 1是真命题，命题q 2是假命题B.命题q 1是假命题，命题q 2是真命题C.命题q 1，q 2都是真命题D.命题q 1，q 2都是假命题17.（问答题，14分）如图，正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，高为2，M 为线段AB 的中点．（1）求三棱锥C 1-MBC 的体积；（2）求异面直线CD 与MC 1所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）18.（问答题，14分）已知函数f（x）=6cos2ωx+ √3sin2ωx-3（ω＞0）的最小正周期为8．（1）求ω的值及函数f（x）的单调减区间；（2）若f（x0）= 8√35，且x0∈（−103，23），求f（x0+1）的值．19.（问答题，14分）保障性租赁住房，是政府为缓解新市民、青年人住房困难，作出的重要决策部署.2021年7月，国务院办公厅发布《关于加快发展保障性租赁住房的意见》后，国内多个城市陆续发布了保障性租赁住房相关政策或征求意见稿．为了响应国家号召，某地区计划2021年新建住房40万平方米，其中有25万平方米是保障性租赁住房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新建住房中，保障性租货住房的面积均比上一年增加5万平方米．（1）到哪一年底，该市历年所建保障性租赁住房的累计面积（以2021年为累计的第一年）将首次不少于475万平方米？（2）到哪一年底，当年建造的保障性租赁住房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？20.（问答题，16分）如图，已知椭圆C：x24+y23=1的左焦点为F1，点P是椭圆C上位于第一象限的点，M，N是y轴上的两个动点（点M位于x轴上方），满足PM⊥PN且F1M⊥F1N，线段PN交x轴于点Q．，求点P的坐标；（1）若|F1P|= 52（2）若四边形F1MPN为矩形，求点M的坐标；为定值．（3）求证：|PQ||QN|21.（问答题，18分）对于定义域为D的函数y=f（x），区间I⊆D．若{y|y=f（x），x∈I}=I，则称y=f（x）为I上的闭函数．若存在常数α∈（0，1]，对于任意的x1，x2∈I，都有|f（x1）-f（x2）|≤α|x1-x2|，则称y=f（x）为I上的压缩函数．（1）判断命题“函数f（x）= √x（x∈[0，1]）既是闭函数，又是压缩函数”的真假，并说明理由；（2）已知函数y=f（x）是区间[0，1]上的闭函数，且是区间[0，1]上的压缩函数，求函数y=f（x）在区间[0，1]上的解析式，并说明理由；|，是否存在实数a、b（a＜b），使得（3）给定常数k＞0，以及关于x的函数f(x)=|1−kxy=f（x）是区间[a，b]上的闭函数，若存在，求出a、b的值，若不存在，说明理由．2021-2022学年上海市崇明区高三（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）已知集合A={1，2}，B={a，3}，若A∩B={1}，则A∪B=___ ．【正确答案】：[1]{1，2，3}【解析】：由题意可得a=1，再求A∪B即可．【解答】：解：∵A={1，2}，B={a，3}，A∩B={1}，∴a=1，故A∪B={1，2，3}，故答案为：{1，2，3}．【点评】：本题考查了集合的运算，属于基础题．2.（填空题，4分）已知复数z满足z•i=1+i（i是虚数单位），则复数z的模等于 ___ ．【正确答案】：[1] √2【解析】：利用复数模的运算法则化简求解即可．【解答】：解：复数z满足z•i=1+i（i是虚数单位），可得|z•i|=|1+i|，即|z|•|i|= √2，所以|z|= √2．故答案为：√2．【点评】：本题考查复数的模的运算法则的应用，模的求法，是基础题．3.（填空题，4分）若线性方程组的增广矩阵是(12c134c2)，解为{x=0y=2，则c1+c2=___ ．【正确答案】：[1]12【解析】：利用增广矩阵还原线性方程组，结合方程组的解，求解c1+c2即可．【解答】：解：由题意，增广矩阵是 (12c 134c 2) ，对应的线性方程组为： {x +2y =c 13x +4y =c 2，方程组的解为 {x =0y =2，代入可得c 1=4，c 2=8，所以c 1+c 2=12．故答案为：12．【点评】：本题考查增广矩阵与线性方程组的关系，方程组的解法，考查计算能力，是基础题． 4.（填空题，4分）计算： n→∞[1−n 21+2n 2+(34)n] =___ ．【正确答案】：[1] −12【解析】：利用数列极限的运算法则求解即可．【解答】：解： n→∞[1−n 21+2n 2+(34)n ] = lim n→∞[1n 2−11n2+2+(34)n ] = −12 ．故答案为：- 12．【点评】：本题考查数列极限的运算法则的应用，是基础题．5.（填空题，4分）已知（1+2x ）n 的展开式的各项系数之和为81，则n=___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：x=1得各项系数和，建立方程进行求解即可．【解答】：解：令x=1得各项系数和为（1+2）n =3n =81，得n=4，故答案为：4．【点评】：本题主要考查二项式定理的应用，利用变量等于1可得各项式系数和是解决本题的关键，是基础题．6.（填空题，4分）直线y-2=0与直线y=2x-1的夹角大小等于 ___ .（结果用反三角函数值表示）【正确答案】：[1]arctan2【解析】：由题意利用两条直线的夹角公式，反三角函数的定义，得出结论．【解答】：解：直线y-2=0与直线y=2x-1的斜率分别为0和2，设它们的夹角为θ，则tanθ=| 2−01+2×0 |=2，∴θ=arctan2，故答案为：arctan2．【点评】：本题主要考查两条直线的夹角公式，反三角函数的应用，属于中档题． 7.（填空题，5分）在△ABC 中，已知a=8，b=5，c= √153 ，则△ABC 的面积为 ___ ．【正确答案】：[1]12【解析】：由余弦定理算出cosC ，结合同角三角函数的平方关系得sinC ，最后由正弦定理的面积公式，可得△ABC 的面积．【解答】：解：∵△ABC 中，a=6，b=5，c=4， ∴由余弦定理，得cosC=82+52−(√153)22×8×5=- 45，∵C∈（0，π），∴sinC= √1−cos 2C = 35 ，由正弦定理的面积公式，得：△ABC 的面积为S= 12 basinC= 12 ×5×8× 35 =12，故答案为：12．【点评】：本题给出三角形的三边长，求它面积．着重考查了同角三角函数基本关系和利用余弦定理解三角形等知识，属于中档题．8.（填空题，5分）若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成角的大小等于 ___ ．【正确答案】：[1] π3【解析】：设圆锥的底面半径为R ，母线长为l ，由题意求出l=2R ，利用线面角的定义求解即可．【解答】：解：设圆锥的底面半径为R ，母线长为l ，因为圆锥的侧面积是底面积的2倍，所以πRl=2πR 2，解得l=2R ，设该圆锥的母线与底面所成角α，则 cosα=R l=12 ，所以α= π3 ．故答案为： π3 ．【点评】：本题考查了线面角的求解，圆锥的侧面展开图的理解与应用，解题的关键是确定所求解的角，属于基础题．9.（填空题，5分）第24届冬季奥林匹克运动会计划于2022年2月4日在北京开幕，北京冬奥会的顺利举办将成为人类摆脱和超越疫情的标志性事件，展现人类向更美好的未来进发的期望和理想．组织方拟将4名志愿者全部分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作（每个场馆至少分配一名志愿者），不同的分配方案有 ___ 种．【正确答案】：[1]36【解析】：首先把4名志愿者分为3组，则有一个组有2个，共有 C 42种方法，再把分好的3组分到不同的3个场馆，则有 A 33 种分法，再结合分步乘法计数原理，即可求解．【解答】：解：首先把4名志愿者分为3组，则有一个组有2个，共有 C 42 种方法，再把分好的3组分到不同的3个场馆，则有 A 33 种分法，所以共有 C 42A 33 =36种分法．故答案为：36．【点评】：本题主要考查组合数的求解，掌握分步乘法计数原理是解本题的关键，属于基础题． 10.（填空题，5分）设函数f （x ）=sinx-m （x∈[0， 5π2 ]）的零点为x 1，x 2，x 3，若x 1，x 2，x 3成等比数列，则m=___ ．【正确答案】：[1] √22【解析】：将函数f （x ）的零点转化为y=sinx 与y=m 的交点的横坐标，结合函数的图形及等比数列的性质可求m ．【解答】：解：因为f （x ）=sinx-m （x∈[0， 5π2 ]）的零点为x 1，x 2，x 3，即y=sinx 与y=m 在[0， 5π2 ]的交点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3，且x 1，x 2，x 3成等比数列，所以 {x 1+x 2=πx 2+x 3=3πx 1x 3=x 22，解得，x 1= π4 ，x 2= 3π4 ，x 3= 9π4 ，所以m=sin π4 = √22．故答案为：√22．【点评】：本题主要考查了函数零点，等比数列的性质，体现了转化思想及数形结合思想的应用，属于中档题．11.（填空题，5分）已知双曲线Γ1：x2- y2b2=1的左、右焦点分别为F1、F2，以O为顶点F2为焦点作抛物线Γ2，若双曲线Γ1与抛物线Γ2交于点P，且∠PF1F2=45°，则抛物线Γ2的准线方程是 ___ ．【正确答案】：[1]x=-1- √2【解析】：直线PF2的方程与抛物线方程联立，求得P点的坐标，判断出PF2⊥F1F2，结合双曲线定义求得c，由此求得抛物线的准线方程．【解答】：解：设F1（-c，0），F2（c，0），则抛物线方程为y²=4cx，直线PF1的方程为y=x+c，联立{y=x+cy2=4cx，解得P（c，2c），所以PF2⊥F1F2，且|PF2|=|F1F2|=2c，|PF1|=2 √2 c，根据双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a，2 √2 c-2c=2，解得c= √2 +1，所以抛物线的准线方程为x=-c=- √2 -1，故答案为：- √2 -1．【点评】：本题考查了抛物线的定义以及双曲线的定义和性质，考查了学生的运算推理能力，属于中档题．12.（填空题，5分）已知无穷数列{a n}各项均为整数，且满足a2=-1，a4n-1＜a4n（n=1，2，3，…），a m+n∈{a m+a n+1，a m+a n+2}（m，n=1，2，…），则该数列的前8项和S8=___ ．【正确答案】：[1]-2【解析】：首先利用数列的递推关系求出数列的各项的值，进一步求出数列的和．【解答】：解：由于无穷数列{a n}各项均为整数，且满足a2=-1，a4n-1＜a4n（n=1，2，3，…），所以a3＜a4，a7＜a8，由于a m+n∈{a m+a n+1，a m+a n+2}（m，n=1，2，…），所以当m=n=1时，a2∈{2a1+1，2a1+2}，由于数列{a n}各项均为整数，所以a2=-1，a1=-1；当m=1，n=2时，a3∈{a1+a2+1，a1+a2+2}，即a3∈{-1，0}；当m=n=2时，a4∈{2a1+1，2a1+2}，即a4∈{-1，0}，由于a3＜a4，所以a3=-1，a4=0；同理可求得：a5=0，a6=0，a7=0，a8=1；所以S8=（-1）+（-1）+（-1）+1=-2．故答案为：-2．【点评】：本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．13.（单选题，5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A. y=(13) xB.y=log3xC. y=1xD.y=（x-1）2【正确答案】：B【解析】：结合基本初等函数的单调性分别检验各选项即可判断．【解答】：解：根据指数函数的性质可知，y=（13）x在区间（0，+∞）上为减函数，不符合题意；根据对数函数的性质可知，y=log3x在区间（0，+∞）上为增函数，符合题意；根据幂函数的性质可知，y= 1x 在区间（0，+∞）上为减函数，不符合题意；根二次函数的性质可知，y=（x-1）2在区间（0，+∞）上先减后增，不符合题意．故选：B ．【点评】：本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础题． 14.（单选题，5分）不等式 2−3xx−1＞0 的解集为（）A. (−∞，34) B. (−∞，23)C. (−∞，23)∪(1，+∞)D. (23，1) 【正确答案】：D【解析】：转化分式不等式为二次不等式求解即可．【解答】：解：不等式 2−3xx−1＞0 的解集就是（x-1）（3x-2）＜0，解得 23＜x ＜1 ．故选：D ．【点评】：本题考查分式不等式的解法，考查转化思想的应用，也可以利用特殊值验证法判断． 15.（单选题，5分）设O 为△ABC 所在平面上一点．若实数x 、y 、z 满足x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +yOB ⃗⃗⃗⃗⃗ +zOC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ (x 2+y 2+z 2≠0) ，则“xyz=0”是“点O 在△ABC 的边所在直线上”的（） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.非充分也非必要条件【正确答案】：C【解析】：先由xyz=0得x 、y 、z 中只能有一个为0，假设x=0，可得O 只能在△ABC 边BC 上，满足充分性；点O 在△ABC 的边所在直线上，假设在边AB 上，可得z=0，满足必要性，则可得答案．【解答】：解：∵O 为△ABC 所在平面内一点．实数x 、y 、z 满足x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +yOB ⃗⃗⃗⃗⃗ +zOC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ (x 2+y 2+z 2≠0) ，∴x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若xyz=0”则x 、y 、z 中只能有一个为0，（否则若x=y=0，可推出z=0，这与x 2+y 2+z 2≠0矛盾），假设x=0（y 、z 不为0），可得y OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴ OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =- z yOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴向量 OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，∴O 只能在△ABC 边BC 上；若点O 在△ABC 的边所在直线上，假设在边AB 上，说明向量 OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线， ∴z=0，∴xyz=0，∴“xyz=0”是“点O 在△ABC 的边所在直线上”的充要条件．故选：C ．【点评】：本题以三角形和平面的向量为载体，考查了必要条件和充分条件的定义及其判断，属于中档题．16.（单选题，5分）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：x 2+y 2=1+|x|y 就是其中之一（如图），给出下列两个命题：命题q 1：曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过 √2 ；命题q 2：曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3．则下列说法正确的是（）A.命题q 1是真命题，命题q 2是假命题B.命题q 1是假命题，命题q 2是真命题C.命题q 1，q 2都是真命题D.命题q 1，q 2都是假命题【正确答案】：A【解析】：先判断出曲线C 关于y 轴对称，结合基本不等式和对称性可以得到曲线经过的6个整数点，再结合这6个点的坐标就可以判断出两个命题的真假，进而选出答案．【解答】：解：因为曲线C ：x 2+y 2=1+|x|y ，用（-x ，y ）替换曲线中的（x ，y ），方程不变，所以曲线C 关于y 轴对称，当x≥0时，C ：x 2+y 2=1+xy ，所以x 2+y 2=1+xy≤1+x 2+y 22，可得x 2+y 2≤2，所以曲线经过点（0，1），（0，-1），（1，0）（1，1）再根据对称性可知，曲线还经过点（-1，0），（-1，1）；对于q1，当x≥0时，x2+y2≤2，即曲线C右侧部分的点到原点的距离都不超过√2，再根据对称性可知，曲线C上的所有点到原点的距离都不超过√2，故q1正确；对于q2，因为在x轴上方，图形面积大于四点（-1，0），（1，0），（1，1），（-1，1）围成的矩形面积1×2=2，在x轴下方，图形面积大于三点×2×1 =1，所以曲线C所（-1，0），（1，0），（0，-1）围成的等腰直角三角形的面积12围成的“心形”区域的面积的面积大于3，故q2错误．故选：A．【点评】：对命题q1的判断关键是找出图象上的点（x，y）满足x2+y2≤2，对q2的判断关键是观察出面积大于四点（-1，0），（1，0），（1，1），（-1，1）围成的矩形面积和大于三点（-1，0），（1，0），（0，-1）围成的等腰直角三角形的面积，属于中档题．17.（问答题，14分）如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，高为2，M为线段AB的中点．（1）求三棱锥C1-MBC的体积；（2）求异面直线CD与MC1所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【正确答案】：【解析】：（1）利用正四棱柱的几何性质，得到三棱锥C1-MBC的高为C1C，然后由锥体的体积公式求解即可；（2）利用异面直线所成角的定义，得到∠C1MB就是异面直线CD与MC1所成的角（或其补角），在三角形中，由边角关系求解即可．【解答】：解：（1）由题意可得，BC=2，BM=1，BC⊥BM，C1C⊥平面ABCD，所以三棱锥C1-MBC的体积V=13S△BMC⋅C1C=13×12×1×12×2=16；（2）因为AB || CD，所以∠C1MB就是异面直线CD与MC1所成的角（或其补角），因为AB⊥平面BCC1B1，所以AB⊥BC1，在Rt△MC1B中，BC1=√5，MB=12，所以tan∠C1MB=BC1BM=2√5所以∠C1MB=arctan2√5，所以异面直线CD与MC1所成的角大小为arctan2√5．【点评】：本题考查了棱锥体积的求解以及异面直线所成角的求解，解题的关键是由异面直线所成角的定义确定所要求解的角，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．18.（问答题，14分）已知函数f（x）=6cos2ωx+ √3sin2ωx-3（ω＞0）的最小正周期为8．（1）求ω的值及函数f（x）的单调减区间；（2）若f（x0）= 8√35，且x0∈（−103，23），求f（x0+1）的值．【正确答案】：【解析】：（1）利用二倍角公式，两角和的正弦公式化简函数解析式可得f（x）=2 √3 sin （2ωx+ π3），利用周期公式可求ω的值，进而根据正弦函数的单调性即可求解．（2）由题意可求sin(π4x0+π3)=45，可求范围π4x0+π3∈(−π2，π2)，利用同角三角函数基本关系式可求cos(π4x0+π3)=√1−sin2(π4x0+π3)=35，进而根据两角和的正弦公式即可求解．【解答】：解：（1）因为f（x）=6cos2ωx+ √3sin2ωx-3= 3cos2ωx+√3sin2ωx= 2√3sin(2ωx+π3)，由题意，得：T=2π2ω=8，所以ω=π8，所以f(x)=2√3sin(π4x+π3)，由2kπ+π2≤π4x+π3≤2kπ+3π2，k∈Z，得：8k+23≤x≤8k+143，k∈Z，所以函数y=f（x）的单调减区间是[8k+23，8k+143]，k∈Z．（2）由f(x0)=8√35，得：2√3sin(π4x0+π3)=8√35，所以sin(π4x0+π3)=45，因为x0∈(−103， 23)，所以π4x0+π3∈(−π2，π2)，所以cos(π4x0+π3)=√1−sin2(π4x0+π3)=35，所以f(x0+1)=2√3sin(π4x0+π3+π4)=2√3[sin(π4x0+π3)cosπ4+cos(π4x0+π3)sinπ4] =2√3 ×（45 × √22+ 35× √22）= 7√65．【点评】：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象和性质的应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．19.（问答题，14分）保障性租赁住房，是政府为缓解新市民、青年人住房困难，作出的重要决策部署.2021年7月，国务院办公厅发布《关于加快发展保障性租赁住房的意见》后，国内多个城市陆续发布了保障性租赁住房相关政策或征求意见稿．为了响应国家号召，某地区计划2021年新建住房40万平方米，其中有25万平方米是保障性租赁住房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新建住房中，保障性租货住房的面积均比上一年增加5万平方米．（1）到哪一年底，该市历年所建保障性租赁住房的累计面积（以2021年为累计的第一年）将首次不少于475万平方米？（2）到哪一年底，当年建造的保障性租赁住房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？【正确答案】：【解析】：（1）设从2021年起，每年建造的保障性租赁住房的面积形成数列{a n}．由题意，可知{a n}是等差数列，其中a1=25，d=5，再结合等差数列的前n项和公式，即可求解．（2）设从2021年起，每年建造的住房面积形成数列{b n}，由题意，可知{b n}是等比数列，其中b1=40，q=1.08，故b n=40×(1.08)n−1，令a n＞0.85b n，求出对应的n，即可求解．【解答】：解：（1）设从2021年起，每年建造的保障性租赁住房的面积形成数列{a n}，由题意，可知{a n}是等差数列，其中a1=25，d=5，故历年所建保障性租赁住房的累计面积S n=25n+n(n−1)2×5=52n2+452n，令52n2+452n≥475，因为n∈N*，所以解得n≥10，因此到2030年底，该市历年所建保障性租赁住房的累计面积（以2021年为累计的第一年）将首次不少于475万平方米．（2）设从2021年起，每年建造的住房面积形成数列{b n}，由题意，可知{b n}是等比数列，其中b1=40，q=1.08，故b n=40×(1.08)n−1，又由（1）知，a n=25+5（n-1）=5n+20，令a n＞0.85b n，即5n+20＞40×（1.08）n-1×0.85，于是(1.08)n−1＜5n+2034，使用计算器计算出相应的数据，列表如下：故到2026年底，当年建造的保障性租赁住房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%．【点评】：本题主要考查函数的实际应用，掌握等差数列的前n项和公式和等比数列的性质是解本题的关键，属于中档题．20.（问答题，16分）如图，已知椭圆C：x24+y23=1的左焦点为F1，点P是椭圆C上位于第一象限的点，M，N是y轴上的两个动点（点M位于x轴上方），满足PM⊥PN且F1M⊥F1N，线段PN 交x 轴于点Q ．（1）若|F 1P|= 52 ，求点P 的坐标；（2）若四边形F 1MPN 为矩形，求点M 的坐标；（3）求证： |PQ||QN| 为定值．【正确答案】：【解析】：（1）设P （x 1，y 1）（x 1＞0，y 1＞0），|F 1P|= 52 ，结合椭圆方程，求解P 的坐标即可．（2）连结F 1P ，交MN 于点R ，则R 为F 1P 中点，且R 为MN 中点，求出PR 坐标，设M （0，m ）（m ＞0），N （0，n ），推出 m +n =32，通过向量的数量积，求解M 的坐标．（3）利用向量的数量积推出 n =−1m ，转化求解P 的纵坐标，推出 |PQ||QN| 为定值．【解答】：解：（1）设P （x 1，y 1）（x 1＞0，y 1＞0），由题意，F 1（-1，0），所以 |F 1P |=√(x 1+1)2+y 12=52 ，又 x 124+y 123=1 ，解得 {x 1=1y 1=32，所以点P 坐标为 (1，32) ．........................（4分）（2）连结F 1P ，交MN 于点R ，则R 为F 1P 中点，且R 为MN 中点，所以 P (1，32) ， R (0，34) ，设M （0，m ）（m ＞0），N （0，n ），则 m +n =32，........................（2分）又 F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，m)⋅(1，n)=1+mn =0 ，........................（4分）所以m=2，故点M 的坐标是（0，2）．........................（5分）（3）证明：由（2）知， F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，m)⋅(1，n)=1+mn =0 ，所以 n =−1m ，由题意， MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1，y 1−m)⋅(x 1，y 1−n)=x 12+y 12−(m +n )y 1+mn =0 ，又x 124+y 123=1 ，所以 y 12+3(m −1m )y 1−9=0 ，.......................（4分）所以 y 1=3m 或y 1=-3m （舍去），所以 |PQ||QN|=|y 1||y N |=3m 1m=3 ，为定值．.......................（7分）【点评】：本题考查椭圆方程的求法与应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．21.（问答题，18分）对于定义域为D 的函数y=f （x ），区间I⊆D ．若{y|y=f （x ），x∈I}=I ，则称y=f （x ）为I 上的闭函数．若存在常数α∈（0，1]，对于任意的x 1，x 2∈I ，都有|f （x 1）-f （x 2）|≤α|x 1-x 2|，则称y=f （x ）为I 上的压缩函数．（1）判断命题“函数f （x ）= √x （x∈[0，1]）既是闭函数，又是压缩函数”的真假，并说明理由；（2）已知函数y=f （x ）是区间[0，1]上的闭函数，且是区间[0，1]上的压缩函数，求函数y=f （x ）在区间[0，1]上的解析式，并说明理由；（3）给定常数k ＞0，以及关于x 的函数 f (x )=|1−kx |，是否存在实数a 、b （a ＜b ），使得y=f （x ）是区间[a ，b]上的闭函数，若存在，求出a 、b 的值，若不存在，说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）利用定义判断函数是闭函数，但是不是压缩函数，再判断得解；（2）假设f （a ）=0，f （b ）=1，a ，b∈[0，1]，a≠b 利用两边夹的思想，求出a=1，|a-b|=1，然后分类讨论，利用反证法证明f （x ）=x ，同理可得f （x ）=1-x ；（3）分类讨论，当k≤a ＜b 时，利用函数的单调性建立方程，可得a ，b 是方程的两个根，由求根公式求解即可，当a ＜b≤k ，a ＜k ＜b 时，分析得到矛盾，故无解，即可得到答案．【解答】：解：（1）命题为假命题，∵函数f （x ）= √x ，x∈[0，1]的值域是[0，1]，所以函数f （x ）= √x ，x∈[0，1]是闭函数．当x 1=x 2时，0≤α×0，存在常数α∈（0，1]，对于任意的x 1，x 2∈I ，都有|f （x 1）-f （x 2）|≤α|x 1-x 2|；当x 1≠x 2时，取x 1=0， x 2=14 ， |f (x 1)−f (x 2)|=12，|x 1−x 2|=14 ，所以不存在常数α∈（0，1]，对于任意的x 1，x 2∈I ，都有|f （x 1）-f （x 2）|≤α|x 1-x 2|，即函数 f (x )=√x （x∈[0，1]）不是压缩函数．（2）因为函数y=f （x ）是[0，1]上的闭函数，所以{y|y=f （x ），x∈[0，1]}=[0，1]，设a ，b∈[0，1]，f （a ）=0，f （b ）=1，则1=|f （a ）-f （b ）|≤α|a -b|≤α≤1，所以α=1，|a-b|=1，所以 {a =0b =1 或 {a =1b =0 ，当 {a =0b =1 时，任取x 0∈（0，1），若f （x 0）＞x 0，则|f （x 0）-f （0）|＞|x 0-0|，与函数y=f （x ）是[0，1]上的闭函数矛盾，若f （x 0）＜x 0，则|f （x 0）-f （1）|=1-f （x 0）＞1-x 0=|x 0-1|，与函数y=f （x ）是[0，1]上的闭函数矛盾，所以f （x ）=x ；同理，当 {a =1b =0时，f （x ）=1-x综上所述，函数f （x ）=x 或f （x ）=1-x ．（3）因为 f (x )=|1−kx |≥0 ，所以0≤a ＜b ，当a=0时，函数值f （0）不存在，所以a ＞0，故k ＜a ＜b 或a ＜b ＜k ， ① 当k ＜a ＜b 时， f (x )=1−kx ，函数在区间[a ，b]上单调递增，所以 {f (a )=a f (b )=b，所以a ，b 是 1−kx =x ，即x 2-x+k=0的两个根，所以 {Δ=1−4k ＞01=a +b ＞2kab =k ＞k 2(k ＞0)，即 0＜k ＜14 ，此时 a =1−√1−4k2，b =1+√1−4k2； ② 当a ＜b ＜k 时， f (x )=kx −1 ，函数区间[a ，b]上单调递减，所以 {f (a )=ka−1=bf (b )=kb −1=a ，所以a=b ，与a ＜b 矛盾，综上所述，当 0＜k ＜14 ，此时 a =1−√1−4k2，b =1+√1−4k2，当 k ≥14 时，a ，b 不存在．【点评】：解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可．。

2020-2021学年上海市崇明区、金山区高三(上)联考数学试卷(10月份)

2020-2021学年上海市崇明区、金山区高三（上）联考数学试卷（10月份）一.填空题1. 已知集合A ＝{−2, 3, 4, −1}，B ＝{x|−2≤x ≤3}，则A ∩B ＝________．【答案】{−2, 3, −1}【考点】交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2. 函数y ＝的定义域是________．【答案】R【考点】函数的定义域及其求法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3. 方程log 5(x+1)−log 15(x−3)=1的解是________．【答案】x =4【考点】对数的运算性质【解析】先由对数的运算法则将等式左侧转化为log 5[(x +1)(x −3)]，只要真数相等即可．还要注意到对数函数的定义域．【解答】解：log 5(x+1)−log 15(x−3)=log 5(x+1)+log 5(x−3) =log 5（x+1）（x−3）=1=log 55∴ {x +1>0x −3>0(x +1)(x −3)=5解得x =4故答案为：x =44. 函数和函数________同一函数（填：是或不是）．【答案】不是【考点】判断两个函数是否为同一函数【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答>0的解集为________．5. 不等式ax−b>0解集为(1, +∞)，则不等式x−2ax+b【答案】(−∞, −1)∪(2, +∞)【考点】一元二次不等式的应用【解析】根据关于x的不等式ax−b>0的解集是(1, +∞)，可解得a=b>0，然后解分式不等式即可求出所求．【解答】解：因为不等式ax−b>0的解集是(1, +∞)，所以a=b>0，>0等价于(x+1)(x−2)>0，所以x−2ax+b所以x<−1或x>2故答案为：(−∞, −1)∪(2, +∞)6. 对于集合A、B，定义运算A−B＝{x|x∈A且x∉B}，若A＝(−1, 1)，B＝(0, 2)，则A−B＝________．【答案】(−1, 0]【考点】子集与交集、并集运算的转换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7. 已知实数x，y满足x+3y=1，则2x+8y的最小值为________．【答案】2√2【考点】基本不等式【解析】先判断2x与8y的符号，利用基本不等式建立关系，结合x+3y=1可求出2x+8y的最小值．【解答】解：由于2x>0，8y>0，所以2x+8y=2x+23y≥2√2x⋅23y=2√2x+3y=2√21=2√2当且仅当2x=23y，x=3y，即x=12，y=16时取得最小值．故答案为：2√28. 函数f(x)＝x2+bx+4的图象总在x轴上方，则b的取值范围是________．【答案】(−4, 4)【考点】二次函数的图象二次函数的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9. 已知a>0且a≠1，函数f(x)＝log a(x2−2x+3)有最小值，则关于x的不等式log a(x−1)<0的解集是________．【答案】(1, 2)【考点】指、对数不等式的解法函数的最值及其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10. 已知α:x<3a−1或x>−a，β:x<2或x≥4，如果α是β的必要非充分条件，那么实数a的取值的集合为________．【答案】[1, +∞)【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11. 已知指数函数f(x)＝a x，方程f(||x−9|−7|)＝4的解集为{0, 4, x1, x2}(x1<x2)，则x22−x12的值为________．【答案】128【考点】指数函数的图象与性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12. 函数的图象绕着坐标原点旋转θ(0<θ<2π)弧度，若仍是函数图象，则θ可取值的集合为________．【答案】(0，]∪[π，]【考点】函数的图象与图象的变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二.选择题集合，N＝{(x, y)|y＝0, x∈R}，则M∩N＝（）A.{(1, 0)}B.{(−1, 0)}C.{(1, 0)}或{(−1, 0)}D.{(1, 0), (−1, 0)}【答案】D【考点】交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答函数为偶函数的充要条件是（）A.a>2B.0<a≤2C.a≥0D.a>0【答案】C【考点】函数奇偶性的性质与判断充分条件、必要条件、充要条件【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答在P(1, 1)，Q(2, 2)，M(2, 4)和四点中，函数y＝log a x(x>0)的图象与其反函数的图象的公共点（）A.只能是PB.只能是P、QC.只能是Q、MD.只能是Q、N【答案】D【考点】反函数【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答关于函数的周期有如下三个命题：甲：已知函数y＝f(x)和y＝g(x)定义域均为R，最小正周期分别为T1、T2，如果，则函数y＝f(x)+g(x)一定是周期函数；乙：y＝f(x)不是周期函数，y＝|f(x)|一定不是周期函数；丙：函数y＝f(x)在R上是周期函数，则函数y＝f(x)在[0, +∞)上也是周期函数．其中正确的命题的个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【考点】命题的真假判断与应用函数的周期性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三.解答题已知，a∈R．（1）当a＝1时，求不等式f(x)+1<f(x+1)的解集；（2）若f(x)是奇函数，求a的值．【答案】根据题意，当a＝1时＝x+，因为f(x)+1<f(x+1)，所以x++8，变形可得<7，即不等式的解集为(−1, 0)，根据题意，若f(x)是奇函数，即a(x+2)++a(−x+1)+，则a＝0，故a＝0．【考点】函数奇偶性的性质与判断其他不等式的解法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答如图，已知点P在圆柱OO1的底面圆O上，AB为圆O的直径，AA1、BB1为圆柱的母线，OA＝2，圆柱的体积为12π，∠AOP＝120∘．（1）求异面直线A1B与AP所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求点B到平面A1AP的距离．【答案】如图，在上底面圆周上取点Q，使∠A1O1Q＝120∘，可得A7Q // AP，则∠BA1Q为异面直线A1B与AP所成的角．∵圆柱OO3的体积V为12π，OA＝2，∴π×24×AA1＝12π，得AA1＝6．由OA＝2，∠AOP＝120∘，，QB＝，．在△A4QB中，由余弦定理可得cos∠BA1Q＝＝．∴异面直线A2B与AP所成的角为arccos；，由（1）知AA5＝3，AP＝，则．设B到平面A1AP的距离为ℎ，由，得，得ℎ＝2．即点B到平面A4AP的距离为2．【考点】异面直线及其所成的角点、线、面间的距离计算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答已知对于正数a、b，存在一些特殊的形式，如：、、等．（1）判断上述三者的大小关系，并证明；（2）定义：间距，间距，判断两者的大小关系，并证明．【答案】，证明如下：因为（）3−＝＝，又a，b是正数5+b2>0，(a+b)8>0，(a−b)2≥4，所以（）4≥，当且仅当a＝b时，故≥；因为-（）2＝＝≥2，取等号，所以≥；故．因为a，b是正数+＝≥＝＝2，当且仅当2(a8+b2)＝(a+b)2，即a＝b时取等号，所以+≥2，所以△1−△2＝+−2，所以△1≥△2．【考点】利用不等式比较两数大小【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答在平面直角坐标系中，曲线Γ：F(x, y)＝0和函数的图象关于点(1, 2)对称．（1）函数的图象和直线y＝k⋅x+4交于A、B两点，O是坐标原点，求证：；（2）求曲线Γ的方程；（3）对于（2），依据课本章节《圆锥曲线》的抛物线的定义，求证：曲线Γ为抛物线．【答案】证明：设A(x1, y1)，B(x3, y2)，联立直线y＝kx+4与y＝x2可得x3−4kx−16＝0，则x7+x2＝4k，x4x2＝−16，y1y8＝(kx1+4)(kx6+4)＝k2x5x2+4k(x6+x2)+16＝−16k2+16k7+16＝16，所以•＝x1x2+y2y2＝−16+16＝0，所以⊥，即∠AOB＝；设曲线Γ上任一点的坐标为(x, y)，可得它关于点(1, 2)对称的点的坐标为(8−x，由点(2−x, 4−y)在函数，可得6−y＝7，整理可得曲线Γ的方程为y＝-x2+x+3；证明：设曲线Γ上任一点P(x, y)满足y＝-x2+x+3，设F(4, 3)，则|PF|2＝(x−3)2+(y−3)6＝(x−2)2+(−x2+x+4−3)2＝x4+x2+7−x8−4x+x2＝（x2−x+4)2＝（-x2+x+3−7)2＝(y−5)8，所以曲线Γ上任一点P(x, y)到F(2，根据抛物线的定义可得曲线Γ为抛物线．【考点】直线与抛物线的位置关系轨迹方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答已知有穷数列{a n}、{b n}(n＝1, 2,…,k)，函数f(x)＝a1|x−b1|+a2|x−b2|+...+a k|x−b k|．（1）如果{a n}是常数列，a n＝1，b n＝n，k＝3，在直角坐标系中在画出函数f(x)的图象，据此写出该函数的单调区间和最小值，无需证明；（2）当a n＝b n＝n，k＝7m(m∈N∗)时，判断函数f(x)在区间[5m, 5m+1]上的单调性，并说明理由；（3）当a n＝n，，k＝100时，求该函数的最小值．【答案】{a n}是常数列，a n＝1，b n＝n，k＝3，则其图象为如图，由图象可得减区间(−∞, 2],+∞)；a n＝b n＝n，k＝7m时，5m+3]，所以f(x)＝(x−1)+2(x−5)+3(x−3)+...+7m(x−5m)+(5m+2)((5m+1)−x)+...+4m(7m−x)，所以f(x)＝-((5m+1)7+(5m+2)8+...+(7m)2)，所以f(x)＝+((7m+1)2+(8m+2)2+...+(8m)2)−(13+22+...+(2m)2)且，所以f(x)在[2m, 5m+1]上单调递增；因为f(x)＝|x−4|+|2x−1|+|8x−1|+...+|100x−1|，显然当x∈[7, +∞)时，当x∈(−∞, f(x)单调递减，设存在一个值(t∈N∗)，使得，时f(x)单调递增，此时最小值为，下面证明因为若要时f(x)单调递减，，则有解得：t≥71，且(t≠5)，所以71≤t<72，所以t＝71满足条件，综上可知：f(x)在上单调递减，在，f(x)的最小值为＝．【考点】数列的函数特性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

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崇明区2021届第一次高考模拟考试试卷
数学-无答案
一、填空题（本大题共有10题，满分54分，其中1～6题每题5分，7～10题每题6分）
1．设集合{1,2,3}A =，集合{3,4}B =，则A B = ．
2．不等式
1
02
x x -<+的解集是． 3．已知复数z 满足(z 2)i 1-=（i 是虚数单位），则z = ． 4．设函数1
()1
f x x =
+的反函数为1()f x -，则1(2)f -= ． 5．点(0,0)到直线2x y +=的距离是． 6．计算：123lim
(2)
n n
n n →∞+++⋅⋅⋅+=+ ．
7．若关于x 、y 的方程组461
32x y ax y +=⎧⎨-=⎩
无解，则实数a = ．
8．用数字0、1、2、3、4、5组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为．（结
果用数值表示）
9．若23(2)n a b +的二项展开式中有一项为412ma b ，则m = ．
10．设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的两条渐近线分别交
于,D E 两点，若ODE △的面积为1，则双曲线C 的焦距的最小值为．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）
【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，
否则一律得零分．】
11．若0a b <<，则下列不等式恒成立的是（）
A ．
11
a b
> B ．a b ->
C ．22a b >
D ．33a b <
12．正方体上的点P 、Q 、R 、S 是其所在棱的中点，则直线PQ 与直线RS 异面的图形是（）
S
R
P
Q
Q
P
R
S
Q
P
S
R
R
P
S
Q
A ．
B ．
C ．
D ．
13．设{}n a 为等比数列，则“对于任意的*2,m m m a a +∈>N ”是“{}n a 为递增数列”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
14．设函数()y f x =的定义域是R ，对于下列四个命题：（1）若函数()y f x =是奇函数，则函数()()y f f x =是奇函数；（2）若函数()y f x =是周期函数，则函数()()y f f x =是周期函数；（3）若函数()y f x =是单调减函数，则函数()()y f f x =是单调减函数；
（4）若函数()y f x =存在反函数1()y f x -=，且函数1()()y f x f x -=-有零点，则函数()y f x x =-
也有零点；
其中正确的命题共有（） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】
15．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分）如图，已知AB ⊥平面BCD ，BC BD ⊥，直线AD 与平面BCD 所成的角为30°，且
2AB BC ==．
（1）求三棱锥A BCD -的体积；
（2）设M 为BD 的中点，求异面直线AD 与CM 所成角
的大小（结果用反三角函数值表示）.
16．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）
已知函数21
()sin 23cos 2
f x x x =-．
（1）求函数()y f x =的最小正周期；
（2）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若锐角A 满足13()f A -=
，6
C π
=， 2c =，求ABC △的面积．
17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）
研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y 与听课时间x （单位：分钟）之间的变化曲线如图所示．
当[0,16]x ∈时，曲线是二次函数图像的一部分；当[16,40]x ∈时，曲线是函数
0.8log ()80y x a =++图像的一部分．当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课
状态”．
（1）求函数()y f x =的解析式；
（2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”
的时间有多长？（精确到1分钟）
y
x 12 16 40
80 84 O
· · ·
· ·
· · ·
18．（本题满分16分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小
题满分7分）
已知椭圆2
2:14
x y Γ+=的左右顶点分别为A 、B ，P 为直线4x =上的动点，直线P A 与椭圆
Γ的另一交点为C ，直线PB 与椭圆Γ的另一交点为D ．
（1）若点C 的坐标为(0,1)，求点P 的坐标；
（2）若点P 的坐标为(4,1)，求以BD 为直径的圆的方程；（3）求证：直线CD 过定点．
19．（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小
题满分8分）
对于数列{}n a ，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称{}n a 为P 数列．（1）若数列1,2,,8x 是P 数列，求实数x 的取值范围；（2）设数列12310,,,
,a a a a 是首项为1-、公差为d 的等差数列，若该数列是P 数列，
求d 的取值范围；
（3）设无穷数列{}n a 是首项为a 、公比为q 的等比数列，有穷数列{}n b ，{}n c 是从{}n a
中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别记为1T ，2T ．求证：当0a >且12T T =时，数列{}n a 不是P 数列．。