人教版 八年级数学讲义 乘法公式 (含解析)
八年级上册数学人教版乘法公式讲解
八年级上册数学人教版乘法公式讲解
乘法公式是整式乘法的一个重要内容，它是指将一些特殊的多项式相乘，得到的结果用一个公式表达出来，这样可以简化计算过程，提高计算效率。
在乘法公式的教学中，首先需要了解什么是乘法公式。
乘法公式是形如（a+b）（a-b）的式子，它可以用来计算两个数的和与差的积。
接下来，需要掌握乘法公式的两种形式。
一种是平方差公式，即（a+b）（a-b）=a²-b²，该公式可以通过多项式乘法的法则进行验证；另一种是完全平方公式，即（a+b）²=a²+2ab+b²，（a-b）²=a²-2ab+b²，该公式可以通过多项式乘法的法则进行推导。
在应用乘法公式时，需要注意以下几点：
1. 掌握公式的结构特征，知道公式的左边是两个二项式相乘，右边是三个单项式的积。
2. 正确理解公式的意义，知道左边是两个数的和与差的积，右边是这两个数的
平方和与平方差的积。
3. 正确运用公式的条件，知道只有当左边是两个二项式相乘，右边是三个单项式的积时才能使用该公式。
4. 正确运用公式的逆用，知道将一些特殊的多项式相乘时，可以使用公式的逆用简化计算。
最后，为了巩固所学知识，可以进行适量的习题练习，以加深对乘法公式的理解和掌握。
同时，在做题时应该认真审题，注意观察公式的结构特征，以便能够正确运用公式进行计算。
(初二数学课件)人教版初中八年级数学上册第14章整式的乘法与因式分解14.2.1 平方差公式教学课件
=a4–16.
(2) (x–y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4). 解：原式=(x2–y2)(x2+y2)(x4+y4)
=(x4–y4)(x4+y4) =x8–y8.
课堂检测
能力提升题
先化简，再求值：(x＋1)(x–1)＋x2(1–x)＋x3， 其中x＝2.
1. 公式中的a和b，既可以是具体的数，也可以是单项 式或者多项式；
2. 左边是两个二项式的积，并且有一项完全相同，另 一项互为相反数；
3. 右边是相同项的平方减去相反项的绝对值的平方.
探究新知
(a–b)(a+b)
(1+x)(1–x) (–3+a)(–3–a) (1+a)(–1+a) (0.3x–1)(1+0.3x)
证明：(2n+1)2–(2n–1)2 =[(2n+1)+(2n–1)][(2n+1)–(2n–1)] =(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1) =4n×2 =8n 因为8n是8的倍数，所以结实际问题
例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居 李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少 4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大 妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
1.(a – b ) ( a + b) = a2 – b2 2.(b + a )( –b + a ) = a2 – b2
探究新知
平方差公式
相同为a
【精品讲义】人教版 八年级上册数学 乘法公式与因数分解 知识点讲解+练习题
讲 义(a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2 归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2 ③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2 ⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2=x 2y 2-(z +m )(z +m )=x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2)=x 2y 2-z 2-2zm -m 2⑥ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)=(x 2-y 2)(x 2+y 2)=x 4-y 4 1、计算下列各式：(1)[(x ＋y)3]4 ； (2) (a 4n )n －1 ；(3) (－a 3)2＋(－a 2)3－(－a 2)·(－a)4 ；(4) x 3·x 2·x 4＋(－x 4)2＋4(－x 2)4例. 计算：()()53532222x y x y +-(二)、连用:连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。
例. 计算：()()()()111124-+++a a a a例. 计算：()()57857822a b c a b c +---+例.（1）已知a b ab -==45，，求a b 22+的值。
(2) 已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
(3) 已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。
(4) 已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。
求x 2-z 2的值。
例：计算19992-2000×1998 例.已知13x x-=，求441x x +的值。
人教版八年级上册数学《公式法》整式的乘法与因式分解PPT课件(第2课时)
因此x=-5是原分式方程的解.
随堂练习
1.下列方程是分式方程的是（ B ）
A.
一元一次方程
B.
C. x2-1=0
D. 2x+1=3x 一元二次方程
一元一次方程
2.（2020·海南中考）分式方程 的解是（
A. x=-1
B. x=1 C. x=5
x-2=3
D. x=2
x=5
） C
解分式方程时，不要忘记检验哦.
用平方差公式分解因式 由于整式的乘法与因式分解是方向相反的变形，把整 式乘法的平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2的等号两边互换位 置，就得到了 a2-b2=(a+b)(a-b)
语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这 两个数的差的积.
用完全平方公式分解因式 把整式乘法的完全平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2 的等号两边互换位置，就可以得到 a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2. 语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数 的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.
分析：将b2看成一个整体a，则原式变形为(b2)2-b2-12，
可以看作a2-b-12.
1 -4
b4-b2-12 =(b2-4)(b2+3) =(b+2)(b-2)(b2+3).
13 1×3+1×(-4)=-1
2.（2020·乐山）已知y≠0，且x2-3xy-4y2=0，则 的值是
__4_或__-_1__.
分析：因为x2-3xy-4y2=0， 即(x-4y)(x+y)=0， 可得x=4y或x=-y， 所以 =4或 =−1.
人教版-八年级(初二)数学上册-整式的乘法与因式分解章节讲义-十字相乘、选主元、双十字相乘法(二)讲义
板块一：选主元【例1】 分解因式：1a b c ab ac bc abc +++++++【例2】 分解因式：2222223a b ab a c ac abc b c bc -+--++【例3】 分解因式：22(1)(1)(221)y y x x y y +++++【例4】 分解因式：222222()()(1)()()ab x y a b xy a b x y ---+-++【例5】 分解因式：322222422x x z x y xyz xy y z --++-板块二：双十字相乘双十字相乘法： 对于某些二元二次六项式22ax bxy cy dx ey f +++++，可以看作先将关于x 的二次三项式22()ax by d x cy ey f +++++的“常数项”2cy ey f ++用十字相乘法分解，然后再次运用十字相乘法将关于x 的二次三项式分解。
由于这种方法两次使用了十字相乘法，故称之为双十字相乘法.【例6】 分解因式：222332x xy y x y +-+++【例7】 分解因式：22344883x xy y x y +-+--【例8】 分解因式：2265622320x xy y x y --++-例题精讲十字相乘、选主元、双十字相乘（二）【例9】 分解因式：22276212x xy y x y -++--【例10】 分解因式：22121021152x xy y x y -++-+【例11】 分解因式：22243x y x y ----【例12】 分解因式：22534x y x y -+++【例13】 分解因式：2222()3103x a b x a ab b ++-+-【例14】 分解因式：22265622320x xy y xz yz z -----【例15】 已知：a 、b 、c 为三角形的三条边，且222433720a ac c ab bc b ++--+=，求证：2b a c =+【例16】 分解因式：222695156x xy y xz yz z -+-++1.分解因式：(6114)(31)2a a b b b +++--2.分解因式：2222a b ab bc ac --++3.分解因式：2262288x xy y x y +-+--4.分解因式：223224x xy y x y ++++课后练习。
八年级数学竞赛例题专题讲解：乘法公式(含答案)
专题02 乘法公式阅读与思考乘法公式是多项式相乘得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在整式的乘除、数值计算、代数式的化简求值、代数式的证明等方面有广泛的应用，学习乘法公式应注意：1．熟悉每个公式的结构特征；2．正用 即根据待求式的结构特征，模仿公式进行直接的简单的套用； 3．逆用 即将公式反过来逆向使用； 4．变用 即能将公式变换形式使用；5．活用 即根据待求式的结构特征，探索规律，创造条件连续综合运用公式．例题与求解【例1】 1，2，3，…，98共98个自然数中，能够表示成两个整数的平方差的个数是 ．（全国初中数字联赛试题）解题思路：因22()()a b a b a b -=+-，而a b +a b -的奇偶性相同，故能表示成两个整数的平方差的数，要么为奇数，要么能被4整除．【例2】（1）已知,a b 满足等式2220,4(2)x a b y b a =++=-，则,x y 的大小关系是( )A ．x y ≤B ．x y ≥C ．x y <D ．x y >（山西省太原市竞赛试题）（2）已知,,a b c 满足22227,21,617a b b c c a +=-=--=-，则a b c ++的值等于（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5（河北省竞赛试题）解题思路：对于（1），作差比较,x y 的大小，解题的关键是逆用完全平方公式，揭示式子的非负性；对于（2），由条件等式联想到完全平方式，解题的切入点是整体考虑．【例3】计算下列各题：（1） 2486(71)(71)(71)(71)1+++++；（天津市竞赛试题） （2）221.23450.76552.4690.7655++⨯；（“希望杯”邀请赛试题）（3）22222222(13599)(246100)++++-++++．解题思路：若按部就班运算，显然较繁，能否用乘法公式简化计算过程，关键是对待求式恰当变形，使之符合乘法公式的结构特征．【例4】设221,2a b a b +=+=，求77a b +的值． （西安市竞赛试题）解题思路：由常用公式不能直接求出77a b +的结构，必须把77a b +表示相关多项式的运算形式，而这些多项式的值由常用公式易求出其结果．【例5】观察：222123415;2345111;3456119;⨯⨯⨯+=⨯⨯⨯+=⨯⨯⨯+=（1）请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；（2）根据（1），计算20002001200220031⨯⨯⨯+的结果（用一个最简式子表示）．（黄冈市竞赛试题）解题思路：从特殊情况入手，观察找规律．【例6】设,,a b c 满足2223331,2,3,a b c a b c a b c ++=++=++=求：（1）abc 的值； （2）444a b c ++的值．（江苏省竞赛试题）解题思路：本题可运用公式解答，要牢记乘法公式，并灵活运用．能力训练A 级1．已知22(3)9x m x --+是一个多项式的平方，则m = ． （广东省中考试题） 2．数4831-能被30以内的两位偶数整除的是 ．3．已知222246140,x y z x y z ++-+-+=那么x y z ++= ．（天津市竞赛试题）4．若3310,100,x y x y +=+=则22x y += ．5．已知,,,a b x y 满足3,5,ax by ax by +=-=则2222()()a b x y ++的值为 ．（河北省竞赛试题）6．若n 满足22(2004)(2005)1,n n -+-=则(2005)(2004)n n --等于 ． 7．22221111(1)(1)(1)(1)2319992000----等于（ ） A ．19992000 B ．20012000 C ．19994000D ．200140008．若222210276,251M a b a N a b a =+-+=+++，则M N -的值是（ ）A ．正数B ．负数C ．非负数D ．可正可负9．若222,4,x y x y -=+=则19921992xy +的值是（ ）A ．4B ．19922C ．21992D ．4199210．某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个8列的长方形队列．如果原队列中增加120人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有多少名同学？ （“CASIO ”杯全国初中数学竞赛试题）11．设9310382a =+-，证明：a 是37的倍数． （“希望杯”邀请赛试题）12．观察下面各式的规律：222222222222(121)1(12)2;(231)2(23)3;(341)3(34)4;⨯+=+⨯+⨯+=+⨯+⨯+=+⨯+ 写出第2003行和第n 行的式子，并证明你的结论．B 级1．()na b +展开式中的系数，当n =1，2，3…时可以写成“杨辉三角”的形式（如下图），借助“杨辉三角”求出901.1的值为 ． （《学习报》公开赛试题）2．如图，立方体的每一个面上都有一个自然数，已知相对的两个面上的两数之和都相等，如果13，9，3的对面的数分别为,,a b c ，则222a b c ab bc ac ++---的值为 ．（天津市竞赛试题）3．已知,,x y z 满足等式25,9,x y z xy y +==+-则234x y z ++= ．4．一个正整数，若分别加上100与168，则可得两到完全平方数，这个正整数为 ．（全国初中数学联赛试题）5．已知19992000,19992001,19992002a x b x c x =+=+=+，则多项式222a b c ab bc ac ++---的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．36．把2009表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示法有（ ）A ．16种B ．14种C ．12种D ．10种（北京市竞赛试题）7．若正整数,x y 满足2264x y -=，则这样的正整数对(,)x y 的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4（山东省竞赛试题）8．已知3a b -=，则339a b ab --的值是（ ）A ．3B ．9C ．27D ．81（“希望杯”邀请赛试题）9．满足等式221954m n +=的整数对(,)m n 是否存在？若存在，求出(,)m n 的值；若不存在，说明理由．第2题图11 2 1 1 3 311 4 6 4 1 1510 10 5 1… … … … … … …。
乘法公式完全平方公式人教版八年级数学上册
a2+2ab+b2
a2-2ab+b2
新课学习a2+2ab+b2a2-2ab+b2
知识点.完全平方公式
a2+2ab+b2
a2-2ab+b2
知识点.完全平方公式a2+2ab+b2a2-2ab+b2
x2+2×x×2+22
x2+4x+4
a2-2×a×4+42
a2-8a+16
x2+2×x×2+22x2+4x+4a2-2×a×4+42
x2+2×x×1+12
x2+2x+1
a2-2×a×5+52
a2-10a+25
x2+2×x×1+12x2+2x+1a2-2×a×5+52a
4x2-4x+1
4x2+4xy+y2
4x2-4x+1 4x2+4xy+y2 乘法公式——完全平方
4x2-12xy+9y2
4x2+20xy+25y2
4x2-12xy+9y24x2+20xy+25y2乘法公式—
16x2+8xy+y2
16x2-24xy+9y2
16x2+8xy+y216x2-24xy+9y2 乘法公式—
4a2+12ab+9b2
4a2+12ab+9b2 乘法公式——完全平方公式人教版八年
x2-2x+1
人教版八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解小结与复习教学课件
考点二 整式的运算
例3 计算：[x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)] ÷3x2y,其中x=1,y=3.
解析：在计算整式的加、减、乘、除、乘方的运算中，一要注意运算顺序；二要熟练
正确地运用运算法则.
解：原式=(x3y2-x2y-x2y+x3y2) ÷3x2y
=(2x3y2-2x2y) ÷3x2y
例6 把多项式2x2－8分解因式，结果正确的是( C )
A．2(x2－8)
B．2(x－2)2
C．2(x＋2)(x－2) D．2x(x－ )
4 x
归纳总结
因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，它与整式乘法互为逆 运算，因式分解时，一般要先提公因式，再用公式法分解，因式分解要求 分解到每一个因式都不能再分解为止.
3.(1)已知3m=6,9n=2,求3m+2n,32m-4n的值. (2)比较大小：420与1510. 解：(1)∵3m=6,9n=2, ∴3m+2n=3m·32n=3m·(32)n=3m·9n=6×2=12. 32m-4n=32m÷34n=(3m)2÷(32n)2=(3m)2÷(9n)2=62÷22=9. (2) ∵420=（42）10=1610， ∵1610>1510,
=a2－(b－3)2=a2－b2＋6b－9. (3)原式＝[(3x－2y)(3x＋2y)]2
=(9x2－4y2)2=81x4－72x2y2＋16y4
11.用简便方法计算
(1)2002－400×199＋1992； (2)999×1 001. 解：(1)原式＝(200－199)2=1;
(2) 原式＝(1000－1)(1000+1) ＝10002－1 ＝999999.
人教版初中数学八年级上册14.2乘法公式(教案)示例
此外，我发现学生们在解决具体问题时，对于何时使用平方差公式和立方和差公式还不够自信。这可能是因为他们在公式选择和应用上缺乏足够的练习。因此，我计划在下一节课中增加更多针对性的练习，特别是那些涉及公式选择和综合应用的题目。
2.培养学生的数学运算能力，使学生能够熟练运用乘法公式进行简便计算，解决实际问题，增强数学运算的准确性。
3.培养学生的空间想象力和抽象思维能力，通过乘法公式的学习，引导学生从具体实例中提炼出数学规律，提升对数学概念的理解。
4.培养学生的团队协作和交流表达能力，课堂上鼓励学生进行小组讨论，分享乘法公式的发现与应用，提高学生的沟通能力。
-灵活运用乘法公式：学生在解决问题时，可能难以判断何时使用哪个乘法公式，需要通过大量练习和讲解，让学生掌握乘法公式的应用场景。
-识别并分解问题中的乘法结构：学生在面对复杂问题时，可能难以识别其中的乘法结构，需要教师指导如何分解问题，找到适用的乘法公式。
举例：
-难点突破：通过展开(a+b)²和(a-b)²，让学生观察并发现完全平方公式的规律，理解平方差公式的来源。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了乘法公式的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对乘法公式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
在小组讨论环节，我观察到学生们在讨论乘法公式在日常生活中的应用时，能够提出一些很有创意的想法。这表明他们能够将学到的知识应用到实际问题中。然而，我也发现有些小组在讨论时，成员之间的交流并不充分，导致部分学生的参与度不高。在未来的教学中，我需要更加注重引导学生之间的互动，确保每个学生都能积极参与讨论。
2023年人教版八年级上册数学必背公式(含解析)
2023年人教版八年级上册数学必背公式(含解析)1. 平方公式- 两个相同数的平方差公式：$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$2. 乘法公式- 平方差求积公式：$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$- 二次完全平方公式：$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$- 二次不完全平方公式：$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$3. 分式运算- 分式相乘公式：$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$- 分式相除公式：$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b}\times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c}$4. 代数运算- 求和公式：$a + b + c = c + b + a$- 求差公式：$a - b \neq b - a$- 求积公式：$a \times b = b \times a$- 求商公式：$\frac{a}{b} \neq \frac{b}{a}$5. 几何公式- 直角三角形斜边长度公式（勾股定理）：$c^2 = a^2 + b^2$- 三角形内角和公式：$a + b + c = 180^\circ$- 相似三角形边长比例公式：$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$- 三角形周长公式：$P = a + b + c$6. 统计与概率公式- 平均数计算公式：$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}$- 可能性计算公式：$P(A) = \frac{\text{有利事件的个数}}{\text{总事件的个数}}$以上是2023年人教版八年级上册数学必背公式的完整版及相应解析。
人教版八年级数学课件-乘法公式
(1)(x 7)(x 7) x2 7 (2)(2a 5)(2a 5) 2a2 25 (3)(1 3m)(1 3m) 1 9m2
（ ×）
（ ×） （ ×）
(4)(ab 1)(ab 1) a2b2 1 (5)(a b)(b a) a2 b2
（ ×） （ ×）
(6)(1 4xy)(1 4xy) 1 16x2 y2 （ √）
解: (1) 可 以
(2) 不可以
(3) 可 以
(4) 可 以
(1)(a+3)(a-3) (3)(a2+5b)(a2-5b) (4)(- -14x)(4x - )
3
(2)(2a+3b)(2a-3b)
1 3
解:(1)原式=a2-32 =a2-9
(3)原式=(a2)2-(5b)2
=a4-25b2
(2)原式=(2a)2-(3b)2
3
3
9
(7)(4x 3b)(4x 3b) 16x2 9 （ ×）
(8)(3a bc)(bc 3a) 9a2 b2c2（ √）
思考題： （1）(x4+y4)(x2+y2)(x+y)(x-y)
（2）(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1
作業設計
１、計算：
(1)(a+2b)(a-2b) (2)( a2+5b)( a2-5b) (3)(-2a-3b)(-2a+3b) (4) ( 1 a 1 b)(1 a 1 b)
乘法公式
分別用代數式表示a與b的和 、差、平方差。
解：a與b的和：a+b a與b的差 ：a-b a與b的平方差：a2-b2
計算：
人教版八年级数学上册课件 14.2 乘法公式(付,156)
（1）在运用平方差公式之前，一定要看是否具备公式 的结构特征；
（2）一定要找准哪个数或式相当于公式中的a，哪个 数或式相当于公式中的b；
（3）总结规律：一般地，“第一个数”a 的符号相同， “第二个数”b 的符号相反；
总结经验
从例题1和练习1中，你认为运用公式解决问题时应 注意什么？
（3） 51×49；
（4）（3x+ 4）（3 x- 4）-（2 x+3）（2 x-3）．
课堂小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）平方差公式的结构特征是什么？ （3）应用平方差公式时要注意什么？
布置作业
教科书习题14.2第1题．
八年级 上册
14.2 乘法公式 （第2课时）
课件说明
• 本课是在学生已经学习了平方差公式的基础上，研 究第二个乘法公式，它是具有特殊形式的两个多项 式相乘得到的一种特殊形式，也是后续学习因式分 解、分式运算的重要基础．
判定正误
练习 下面各式的计算是否正确？如果不正确，应 当怎样改正？ （1）（x+y）2 =x2+y2； （2）（x-y）2 =x2 -y2； （3）（x-y）2 =x2+2xy+y2； （4）（x+y）2 =x2+xy+y2.
课件说明
• 学习目标： 1．理解完全平方公式，能用公式进行计算． 2．经历探索完全平方公式的过程，进而感受特殊 到一般、数形结合思想，发展符号意识和几何 直观观念．
• 学习重点： 完全平方公式．
导入新知
问题1 计算下列各式: （1）（p+1）2 =______；（m+2）2 =______； （2）（p-1）2 =______；（m-2）2 =______.
八年级数学人教版上册第14章整式的乘除与因式分解14.1.4整式的乘法(第1课时图文详解)
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
1.下列计算中，正确的是（ B ）
A.2a3·3a2=6a6
B.4x3·2x5=8x8
C.2x·2x5=4x5
D.5x3·4x4=9x7
2.下列运算正确的是（ D ）
A.x2·x3=x6
B.x2+x2=2x4
C.(-2x)2=-4x2
D.(-2x2)(-3x3)=6x5
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
第14章 整式的乘除与因式分解
八年级上册
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
14.1.4 整式的乘法
第1课时
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
1.探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则， 并运用它们进行运算． 2.让学生主动参与到探索过程中去，逐步形成独立思考、主 动探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题 的能力.
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
2.填空：
a4 26
(1)6 2
a9 28
9 x2 y4 4
1
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
光的速度约为3×105千米/秒，太阳光照射到地球上需 要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是 多少千米吗？ 分析：距离=速度×时间，即（3×105）×（5×102）； 怎样计算（3×105）×（5×102）? 地球与太阳的距离约是： （3×105）×（5×102）=(3 ×5)×(105×102) =15×10７=1.5×108（千米）
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
2.单项式与多项式相乘的法则: 单项式与多项式相乘，只要将单项式分别乘以多 项式的每一项，再将所得的积相加即可.
人教版八年级数学乘法公式讲义(含解析)(2020年最新)
第8讲乘法公式知识定位讲解用时：5分钟A 、适用范围：人教版初二，基础一般；B 、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习乘法公式。
乘法公式是很好的解题工具，初中阶段我们学习平方差公式、完全平方公式，灵活运用乘法公式能解答许多问题，乘法公式同时也是中考考查的重点，对今后数学的影响也很大，因此本节课要好好学习并掌握。
知识梳理讲解用时：20分钟平方差公式用多项式乘多项式法则，计算下面各题，你能发现什么规律？（x+1）（x-1）=x2-1 （a+2）（a-2）=a2-4 （3-x ）（3+x ）=9-x 2（2x+1）（2x-1）=4x2-1 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.平方差公式巧记：用符号相同的平方减符号不同的平方.22))((bab a b a注意：a 符号前后没有改变，b 的符号前后改变了，所以等号右边是a 的平方减去b 的平方（平方差公式展开只有两项）课堂精讲精练【例题1】计算：（2x+y ）（2x ﹣y ）=．【答案】4x 2﹣y2【解析】此题符合平方差公式的特征：（1）两个二项式相乘；（2）有一项相同，另一项互为相反数．直接利用平方差公式计算．解：（2x+y ）（2x ﹣y ），=（2x ）2﹣y 2，完全平方公式用多项式乘多项式法则，计算下面各题，你能发现什么规律？（a+b ）２=a2+2ab+b2（a-2）２=a2-4a+4=a2-2·a ·2+22（2a+b ）２=4a 2+4ab+b2=（2a ）２+2·2a ·b+b2完全平方公式：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.巧记：首平方，尾平方，乘积2倍放中央.拓展：a2+b2=（a+b ）２-2ab a 2+b2=（a-b ）２+2ab（a+b ）２=（a-b ）２+4ab2222)(bab ab a 注意：完全平方公式展开有三项，a 的平方加上b 的平方，加上（或减去）a 乘以b 的两倍=4x2﹣y2；故填4x2﹣y2．讲解用时：2分钟解题思路：本题主要考查平方差公式，运用平方差公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．教学建议：掌握平方差公式并灵活运用.难度：2 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习1.1】x2﹣（x﹣1）（x+1）= .【答案】1【解析】原式利用平方差公式计算，去括号合并即可得到结果．解：原式=x2﹣x2+1=1，故答案为：1讲解用时：2分钟解题思路：此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．教学建议：掌握平方差公式并灵活运用.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习1.2】若（x﹣ay）（x+ay）=x2﹣16y2，则a= ．【答案】±4【解析】将等式的左边利用平方差公式进行计算，求出a2=16，再利用平方根求解即可．解：∵（x﹣ay）（x+ay）=x2﹣（ay）2（x﹣ay）（x+ay）=x2﹣16y2，∴a2=16，∴a=±．即a=±4．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查平方差公式和平方根的求解，需要注意，正数的平方根有两个．教学建议：掌握平方差公式并注意平方等于16的有两个.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题2】计算（a﹣3b）（a+3b）﹣（﹣a﹣2b）（a﹣2b）【答案】2a2﹣13b2【解析】直接利用平方差公式计算得出答案．解：原式=a2﹣9b2﹣（4b2﹣a2）=2a2﹣13b2．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了平方差公式应用，正确应用公式是解题关键．教学建议：学会运用平方差公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2计算，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．难度： 4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习2.1】计算：（x+3）（x+1）（x﹣3）．【答案】x3+x2﹣9x﹣9【解析】直接利用多项式乘法结合平方差公式计算得出答案．解：原式=（x+3）（x﹣3）（x+1）=（x2﹣9）（x+1）=x3+x2﹣9x﹣9．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了平方差公式以及多项式乘法，正确掌握乘法公式是解题关键．教学建议：首先找到符合平方差公式的两个式子，掌握平方差公式计算法则和多项式乘法的计算法则.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习2.2】计算：20192﹣2017×2021【答案】4【解析】根据平方差公式即可求出答案．20192﹣2017×2021=20192﹣（2019﹣2）（2019+2）=20192﹣20192+22=4讲解用时：3分钟解题思路：本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．教学建议：掌握平方差公式并熟练运用.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题3】计算（a﹣3）（3﹣a）= .【答案】﹣a2+6a﹣9【解析】通过观察发现a-3和3-a互为相反数，因此将a-3提一个负号出来，演变为-（3-a）2，此时可以用完全平方公式计算.解：（a﹣3）（3﹣a）=-（3-a）２=-（9-6a+a2）=﹣a2+6a﹣9，讲解用时：3分钟解题思路：此题考查完全平方公式问题，关键是根据完全平方公式解答．教学建议：掌握完全平方公式的运算法则.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习3.1】运用完全平方公式计算：992．【答案】9801【解析】直接利用完全平方公式计算得出答案．解：992=（100﹣1）2=1002﹣2×100×1+12=9801．讲解用时：2分钟解题思路：此题主要考查了完全平方公式，正确将原式变形是解题关键．教学建议：熟练掌握完全平方公式的运算法则.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题4】计算：已知：a+b=3，ab=1，则a2+b2= ．【答案】7【解析】将所求式子利用完全平方公式变形后，把a+b与ab的值代入即可求出值．解：∵a+b=3，ab=1，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=32﹣2=9﹣2=7．故答案为：7讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了完全平方公式的运用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．教学建议：掌握完全平方公式的几种变形，灵活运用.难度： 4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习4.1】如果实数a，b满足a+b=6，ab=8，那么a2+b2= ．【答案】20【解析】原式利用完全平方公式化简，将已知等式代入计算即可求出值．解：∵a+b=6，ab=8，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=36﹣16=20，故答案为：20讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．教学建议：掌握完全平方公式的几种变形，灵活运用.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习4.2】若a+b=﹣3，ab=2，则a2+b2= ．【答案】5【解析】根据a2+b2=（a+b）2﹣2ab，代入计算即可．解：∵a+b=﹣3，ab=2，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=9﹣4=5．讲解用时：2分钟解题思路：本题要熟记有关完全平方的几个变形公式，本题考查对完全平方公式的变形应用能力．教学建议：掌握完全平方公式的几种变形，灵活运用.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题5】a2+b2=5，ab=2，则a﹣b= ．【答案】±1【解析】将所求式子平方，利用完全平方公式展开，将各自的值代入计算，开方即可求出a﹣b的值．解：∵a2+b2=5，ab=2，∴（a﹣b）2=a2+b2﹣2ab=5﹣4=1，则a﹣b=±1．故答案为：±1．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．教学建议：掌握完全平方公式的几种变形，灵活运用.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习5.1】若a+b=，a﹣b=，则ab= ．【答案】1【解析】两式相加求出a的值，进而求出b的值，即可求出ab的值．解：将a+b=，a﹣b=两式相加得：2a=+，即a=，将a=5代入a﹣b=中，得：﹣b=，即b=，则ab==1．故答案为：1．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查完全平方公式，关键是把原式完全平方后整体代入计算．教学建议：掌握完全平方公式的几种变形，灵活运用.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习5.2】已知a2+b2=12，a﹣b=4，则ab= ．【答案】﹣2【解析】将a﹣b=4两边同时平方，然后将a2+b2=12代入所得结果进行计算即可．解：∵a﹣b=4，∴a2﹣2ab+b2=16，∴12﹣2ab=16，解得：ab=﹣2．故答案为：﹣2．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查的是完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．教学建议：掌握完全平方公式的几种变形，灵活运用.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题6】计算：9（a﹣1）2﹣（3a+2）（3a﹣2）．【答案】﹣18a+13【解析】利用平方差公式和完全平方公式计算．解：9（a﹣1）2﹣（3a+2）（3a﹣2）．=9a2﹣18a+9﹣9a2+4=﹣18a+13．讲解用时：2分钟解题思路：此题考查整式的混合运算，掌握计算方法和计算公式是解决问题的关键．教学建议：掌握平方差公式和完全平方公式的计算法则.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习6.1】计算：（1）2x（x+y）﹣3y（x+1）（2）（a﹣1）2+（a+1）（a﹣1）【答案】2a2﹣2a【解析】（1）利用整式的乘法计算，再进一步合并即可；（2）利用平方差公式和完全平方公式计算．解：（1）2x（x+y）﹣3y（x+1）=2x2+2xy﹣3xy﹣3y=2x2﹣xy﹣3y；（2）（a﹣1）2+（a+1）（a﹣1）=a2﹣2a+1+a2﹣1=2a2﹣2a．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查整式的混合运算，掌握计算方法和计算公式是解决问题的关键．教学建议：掌握整式的混合运算法则，掌握平方差公式和完全平方公式.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题7】计算：（x﹣2y+3）（x+2y﹣3）.【答案】x2﹣4y2+12y﹣9【解析】首先添括号，然后再利用平方差进行计算，再次利用完全平方公式进行计算即可．解：原式=[x﹣（2y﹣3）][x+（2y﹣3）]，=x2﹣（2y﹣3）2，=x2﹣4y2+12y﹣9．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了平方差和完全平方公式，关键是掌握（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．教学建议：掌握平方差公式和完全平方公式的计算法则.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习7.1】化简（1）（a+b）2﹣a（a+2b）（2）（2a﹣1）（2a+1）﹣a（4a﹣3）【答案】（1）b2；（2）3a﹣1【解析】（1）利用完全平方公式和单项式乘多项式进行化简计算，然后再合并同类项即可；（2）先利用平方差公式进行和单项式乘多项式进行化简计算，然后再合并同类项即可．解：（1）原式=a2+2ab+b2﹣a2﹣2ab=b2；（2）原式=4a2﹣1﹣4a2+3a=3a﹣1．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查的是完全平方公式和平方差公式的应用，熟练掌握相关公式是解题的关键．教学建议：掌握平方差公式和完全平方公式的计算法则.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018课后作业【作业1】计算：（1）（x+1）2+x（x﹣2）﹣（x+1）（x﹣1）（2）（x+y）2﹣x（2y﹣x）【答案】（1）x2+2;（2）2x2+y2【解析】（1）利用完全平方公式法和平方差公式法计算，再进一步合并即可；（2）利用完全平方公式和整式的乘计算．解：（1）（x+1）2+x（x﹣2）﹣（x+1）（x﹣1）=x2+2x+1+x2﹣2x﹣x2+1=x2+2；（2）（x+y）2﹣x（2y﹣x）=x2+2xy+y2﹣2xy+x2=2x2+y2．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018计算（1）﹣14﹣×[2﹣（﹣3）2]（2）（﹣x﹣y）（﹣x+y）【答案】（1）；（2）x2﹣y2【解析】（1）直接利用有理数的混合运算法则计算得出答案；（2）直接利用平方差公式计算得出答案．解：（1）﹣14﹣×[2﹣（﹣3）2]=﹣1﹣×（﹣7）=；（2）（﹣x﹣y）（﹣x+y）=x2﹣y2．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业3】已知：a+b=﹣3，ab=2，求a2+b2的值．【答案】5【解析】直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．解：∵a+b=﹣3，ab=2，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=（﹣3）2﹣2×2=9﹣4=5．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018已知：（x+y）2=6，（x﹣y）2=2，试求：（1）x2+y2的值；（2）xy的值．【答案】（1）4；（2）1【解析】（1）已知两式利用完全平方公式展开，相加即可求出x2+y2的值；（2）已知两式利用完全平方公式展开，相减即可求出xy的值．解：（1）∵（x+y）2+（x﹣y）2=x2+2xy+y2+x2﹣2xy+y2=2（x2+y2），则x2+y2=[（x+y）2+（x﹣y）2]=×（6+2）=4；（2）∵（x+y）2﹣（x﹣y）2=x2+2xy+y2﹣x2+2xy﹣y2=4xy，∴xy=[（x+y）2﹣（x﹣y）2]=×（6﹣2）=1．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业5】已知（x+y）2=25，xy=，求x﹣y的值．【答案】±4【解析】根据完全平方公式即可求出答案．解：∵（x+y）2=x2+2xy+y2，∴25=x2+y2+，∴x2+y2=∵（x﹣y）2=x2﹣2xy+y2，∴（x﹣y）2=﹣=16∴x﹣y=±4讲解用时：3分钟难度：4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018。
【精品讲义】人教版 八年级数学(上) 专题14.1 整式的乘法(知识点+例题+练习题)含答案
第十四章 整式的乘法与因式分解14.1 整式的乘法一、同底数幂的乘法一般地，对于任意底数a 与任意正整数m ，n ，a m ·a n =()m aa a a ⋅⋅⋅个·()n aa a a ⋅⋅⋅个=()m n aa a a +⋅⋅⋅个=m n a +．语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数__________．【拓展】1．同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用．m n p a a a ⋅⋅⋅=m n pa +++（m ，n ，…，p 都是正整数）．2．同底数幂的乘法法则的逆用：a m +n =a m ·a n （m ，n 都是正整数）． 二、幂的乘方1．幂的乘方的意义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（a 5）3是三个a 5相乘，读作a 的五次幂的三次方，（a m ）n 是n 个a m 相乘，读作a 的m 次幂的n 次方． 2．幂的乘方法则：一般地，对于任意底数a 与任意正整数m ，n ，()=mn mm n m m m m m mmn n a a a a a a a +++=⋅⋅⋅=个个．语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数__________．【拓展】1．幂的乘方的法则可推广为[()]m n p mnpa a =（m ，n ，p 都是正整数）．2．幂的乘方法则的逆用：()()mn m n n m a a a ==（m ，n 都是正整数）． 三、积的乘方1．积的乘方的意义：积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如（ab ）3，（ab ）n 等．3()()()()ab ab ab ab =⋅⋅（积的乘方的意义）=（a ·a ·a ）·（b ·b ·b ）（乘法交换律、结合律）=a 3b 3．2．积的乘方法则：一般地，对于任意底数a ，b 与任意正整数n ，()()()()=n n nn an bn ab ab ab ab ab a a a b b b a b =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅个个个．因此，我们有()nn nab a b =．语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别__________，再把所得的幂相乘． 四、单项式与单项式相乘法则：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别__________，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．1．只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，注意不要把这个因式遗漏． 2．单项式与单项式相乘的乘法法则对于三个及以上的单项式相乘同样适用． 3．单项式乘单项式的结果仍然是单项式．【注意】1．积的系数等于各项系数的积，应先确定积的符号，再计算积的绝对值． 2．相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算． 五、单项式与多项式相乘法则：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积__________．用式子表示：m （a +b +c ）=ma +mb +mc （m ，a ，b ，c 都是单项式）．【注意】1．单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，可以以此来检验在运算中是否漏乘某些项．2．计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号． 3．对于混合运算，应注意运算顺序，有同类项必须合并，从而得到最简结果． 六、多项式与多项式相乘1．法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积__________．2．多项式与多项式相乘时，要按一定的顺序进行．例如（m +n ）（a +b +c ），可先用第一个多项式中的每一项与第二个多项式相乘，得m （a +b +c ）与n （a +b +c ），再用单项式乘多项式的法则展开，即 （m +n ）（a +b +c ）=m （a +b +c ）+n （a +b +c ）=ma +mb +mc +na +nb +nc ． 【注意】1．运用多项式乘法法则时，必须做到不重不漏．2．多项式与多项式相乘，仍得多项式．在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积． 七、同底数幂的除法 同底数幂的除法法则：一般地，我们有m n m n a a a -÷=（a ≠0，m ，n 都是正整数，并且m >n ）． 语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数__________．【拓展】1．同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质，例如：m n p m n p a a a a --÷÷=（a ≠0，m ，n ，p 都是正整数，并且m >n +p ）． 2．同底数幂的除法法则的逆用：m n m n a a a -=÷（a ≠0，m ，n 都是正整数，并且m >n ）． 八、零指数幂的性质 零指数幂的性质：同底数幂相除，如果被除式的指数等于除式的指数，例如a m ÷a m ，根据除法的意义可知所得的商为1．另一方面，如果依照同底数幂的除法来计算，又有a m ÷a m =a m -m =a 0． 于是规定：a 0=1（a ≠0）．语言叙述：任何不等于0的数的0次幂都等于__________． 【注意】1．底数a 不等于0，若a =0，则零的零次幂没有意义． 2．底数a 可以是不为零的单顶式或多项式，如50=1，（x 2+y 2+1）0=1等． 3．a 0=1中，a ≠0是极易忽略的问题，也易误认为a 0=0． 九、单项式除以单项式单项式除以单项式法则：一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别__________作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．单项式除以单项式法则的实质是将单项式除以单项式转化为同底数幂的除法运算，运算结果仍是单项式． 【归纳】该法则包括三个方面：（1）系数相除；（2）同底数幂相除；（3）只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式．【注意】可利用单项式相乘的方法来验证结果的正确性． 十、多项式除以单项式多项式除以单项式法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商__________．【注意】1．多项式除以单项式是将其化为单项式除以单项式问题来解决，在计算时多项式里的各项要包括它前面的符号．2．多项式除以单项式，被除式里有几项，商也应该有几项，不要漏项． 3．多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算，可用其进行检验．一、相加 二、相乘 三、乘方四、相乘五、相加六、相加七、相减八、1九、相除十、相加1．同底数幂的乘法（1）同底数幂的乘法法则只有在底数相同时才能使用． （2）单个字母或数字可以看成指数为1的幂．（3）底数不一定只是一个数或一个字母，也可以是单项式或多项式．计算m 2·m 6的结果是A ．m 12B ．2m 8C ．2m 12D ．m 8【答案】D【解析】m 2·m 6=m 2+6=m 8，故选D ．计算-（a -b ）3（b -a ）2的结果为A ．-（b -a ）5B ．-（b ＋a ）5C ．（a -b ）5D ．（b -a）5【答案】D【解析】-（a-b ）3（b -a ）2=（b -a ）3（b -a ）2=（b -a ）5，故选D ．2．幂的乘方与积的乘方（1）每个因式都要乘方，不能漏掉任何一个因式．（2）要注意系数应连同它的符号一起乘方，尤其是当系数是-1时，不可忽略．计算24()a 的结果是A ．28aB ．4aC ．6aD ．8a【答案】D【解析】24()a =248a a ⨯=，故选D ．下列等式错误的是A ．（2mn ）2=4m 2n 2B ．（-2mn ）2=4m 2n 2C ．（2m 2n 2）3=8m 6n 6D ．（-2m 2n 2）3=-8m 5n 5【答案】D【解析】A ．（2mn ）2=4m 2n 2，该选项正确； B ．（-2mn ）2=4m 2n 2，该选项正确； C ．（2m 2n 2）3=8m 6n 6，该选项正确；D ．（-2m 2n 2）3=-8m 6n 6，该选项错误．故选D ．3．整式的乘法（1）单顶式与单顶式相乘，系数是带分数的一定要化成假分数，还应注意混合运算的运算顺序：先乘方，再乘法，最后加减．有同类顶的一定要合并同类顶．（2）单顶式与多顶式相乘的计算方法，实质是利用分配律将其转化为单项式乘单项式．计算：3x 2·5x 3的结果为A ．3x 6B ．15x 6C ．5x 5D ．15x 5【答案】D【解析】直接利用单项式乘以单项式运算法则，得3x 2·5x 3=15x 5．故选D ．下列各式计算正确的是A ．2x （3x -2）=5x 2-4xB ．（2y +3x ）（3x -2y ）=9x 2-4y 2C ．（x +2）2=x 2+2x +4D ．（x +2）（2x -1）=2x 2+5x -2【答案】B【解析】A 、2x （3x -2）=6x 2-4x ，故本选项错误； B 、（2y +3x ）（3x -2y ）=9x 2-4y 2，故本选项正确； C 、（x +2）2=x 2+4x +4，故本选项错误；D 、（x +2）（2x -1）=2x 2+3x -2，故本选项错误．故选B ．4．同底数幂的除法多顶式除以单项式可转化为单项式除以单顶式的和，计算时应注意逐项相除，不要漏项，并且要注意符号的变化，最后的结果通常要按某一字母升幂或降幂的顺序排列．计算2x 2÷x 3的结果是 A ．xB ．2xC ．x -1D ．2x -1【答案】D【解析】因为2x 2÷x 3=2x -1，故选D ．计算：4333a b a b ÷的结果是 A ．aB ．3aC ．abD ．2a b【答案】A【解析】因为43334333a b a b a b a --÷==．故选A ．计算：22(1510)(5)x y xy xy --÷-的结果是A ．32x y -+B ．32x y +C ．32x -+D ．32x --【答案】B【解析】因为2221111121(1510)(5)3232x y xy xy xyx y x y ------÷-=+=+．故选B ．5．整式的化简求值（1）化简求值题一般先按整式的运算法则进行化简，然后再代入求值．（2）在求整式的值时，代入负数时应用括号括起来，作为底数的分数也应用括号括起来．先化简，再求值：2[()(4)8]2x y y x y x x -+--÷，其中8x =，2018y =．【解析】原式222(248)2x xy y xy y x x =-++--÷2(28)2x xy x x =+-÷142x y =+-． 当8x =，2018y =时，原式182018420182=⨯+-=．1．计算3(2)a -的结果是 A ．38a -B ．36a -C ．36aD ．38a2．下列计算正确的是 A ．77x x x ÷=B ．224(3)9x x -=-C ．3362x x x ⋅=D ．326()x x =3．如果2(2)(6)x x x px q +-=++，则p 、q 的值为 A ．4p =-，12q =- B ．4p =，12q =- C ．8p =-，12q =-D ．8p =，12q =4．已知30x y +-=，则22y x ⋅的值是 A ．6B ．6-C ．18D ．85．计算3n ·（-9）·3n ＋2的结果是 A ．-33n -2B ．-3n ＋4C ．-32n ＋4D ．-3n ＋66．计算223(2)(3)m m m m -⋅-⋅+的结果是 A ．8m 5B ．–8m 5C ．8m 6D ．–4m 4+12m 57．若32144m nx y x y x ÷=，则m ，n 的值是 A ．6m =，1n = B ．5m =，1n = C ．5m =，0n =D ．6m =，0n =8．计算（-x ）2x 3的结果等于__________． 9．（23a a a ⋅⋅）³=__________．10．3119(1.210)(2.510)(410)⨯⨯⨯=__________． 11．计算：（a 2b 3-a 2b 2）÷（ab ）2=__________．12．若1221253()()m n n m a b a b a b ++-= ，则m +n 的值为__________． 13．计算：（1）21(2)()3(1)3x y xy x -⋅-+⋅-； （2）23(293)4(21)a a a a a -+--． （3）（21x 4y 3–35x 3y 2+7x 2y 2）÷（–7x 2y ）．14．先化简，再求值：（1）x （x -1）+2x （x +1）-（3x -1）（2x -5），其中x =2； （2）243()()m m m -⋅-⋅-，其中m =2-．15．“三角”表示3xyz ，“方框”表示-4a b d c ．求×的值．16．下列运算正确的是A ．326a a a ⨯=B ．842a a a ÷=C ．3(1)33a a --=-D ．32911()39a a =17．计算5642333312(3)2a b c a b c a b c ÷-÷，其结果正确的是A ．2-B ．0C ．1D ．218．计算：(7)(6)(2)(1)x x x x +---+=__________． 19．如果1()()5x q x ++展开式中不含x 项，则q =__________． 20．已知：2x =3，2y =6，2z =12，试确定x ，y ，z 之间的关系．21．在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：（2x +a ）（3x +b ），由于甲抄错了第一个多项式中的符号，得到的结果为6x 2+11x -10；由于乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为2x 2-9x +10． （1）试求出式子中a ，b 的值；（2）请你计算出这道整式乘法的正确结果．22．（2019•镇江）下列计算正确的是A ．236a a a ⋅=B ．734a a a ÷=C ．358()a a =D ．22()ab ab =23．（2019•泸州）计算233a a ⋅的结果是A ．54aB ．64aC ．53aD ．63a24．（2019•柳州）计算：2(1)x x -=A ．31x -B ．3x x -C ．3x x +D ．2x x -25．（2019•天津）计算5x x ⋅的结果等于__________． 26．（2019•绥化）计算：324()m m -÷=__________． 27．（2019•乐山）若392m n ==，则23m n +=__________． 28．（2019•武汉）计算：2324(2)x x x -⋅． 29．（2019•南京）计算：22()()x y x xy y +-+．1．【答案】A【解析】33(2)8a a -=-，故选A ． 2．【答案】D【解析】A 、76x x x ÷=，故此选项错误； B 、224(3)9x x =-，故此选项错误； C 、336x x x ⋅=，故此选项错误； D 、326()x x =，故此选项正确， 故选D ． 3．【答案】A【解析】已知等式整理得：x 2-4x -12=x 2+px +q ，可得p =-4，q =-12，故选A ．4．【答案】D【解析】∵x +y -3=0，∴x +y =3，∴2y ·2x =2x +y =23=8．故选D ．5．【答案】C【解析】3n ·（-9）·3n ＋2=-3n ·32·3n ＋2=-32n +4，故选C ．6．【答案】A【解析】原式=4m 2·2m 3=8m 5，故选A ．7．【答案】B 【解析】因为33121444m n m n x y x y x y x --÷==，所以32m -=，10n -=，5m =，1n =，故选B ． 8．【答案】x 5【解析】根据积的乘方以及同底数幂的乘法法则可得：（-x ）2x 3=x 2·x 3=x 5．故答案为：x 5． 9．【答案】a 18【解析】（23a a a ⋅⋅）³=（6a ）³=a 18．故答案为：a 18． 10．【答案】241.210⨯【解析】原式=1.2×103×（2.5×1011）×（4×109）=12×1023=1.2×1024．故答案为：1.2×1024． 11．【答案】1b -【解析】（a 2b 3-a 2b 2）÷（ab ）2=（a 2b 3-a 2b 2）÷a 2b 2=a 2b 3÷a 2b 2-a 2b 2÷a 2b 2=1b -．故答案为：1b -． 12．【答案】2【解析】（a m +1b n +2）（a 2n –1b 2m ）=a m +1+2n –1·b n +2+2m =a m +2n ·b n +2m +2=a 5b 3， ∴25223m n n m +=++=⎧⎨⎩， 两式相加，得3m +3n =6，解得m +n =2，故答案为：2．13．【解析】（1）原式=2x 2y +3xy -x 2y=x 2y +3xy ．（2）原式=6a 3-27a 2+9a -8a 2+4a=6a 3-35a 2+13a ．（3）原式=21x 4y 3÷（–7x 2y ）–35x 3y ÷（–7x 2y ）+7x 2y 2÷（–7x 2y ）=–3x 2y 2+5xy –y ．14．【解析】（1）原式=x 2-x +2x 2+2x -6x 2+17x -5=（x 2+2x 2-6x 2）+（-x +2x +17x ）-5=-3x 2+18x -5．当x =2时，原式=19．（2）原式=-m 2·m 4·（-m 3）=m 2·m 4·m 3=m 9．当m =-2时，则原式=（-2）9=-512．15．【解析】由题意得×=（3mn ·3）×（–4n 2m 5） =[]526333(4)()()36m m n n m n ⨯⨯-⋅⋅⋅=-．16．【答案】C【解析】A 、2326a a a ⨯=，故本选项错误；B 、844a a a ÷=，故本选项错误；C 、()3133a a --=-，正确；D 、32611()39a a =，故本选项错误， 故选C ．17．【答案】A【解析】因为5642333352363341312(3)222a b c a b c a b c ab c ------÷-÷=-=-，故选A ． 18．【答案】2x -40【解析】原式=（x 2+x -42）-（x 2-x -2）=2x -40．故答案为：2x -40．19．【答案】15- 【解析】1()()5x q x ++=211()55x q x q +++，由于展开式中不含x 的项，∴105q +=，∴15q =-．故答案为：15-．20．【解析】因为2x =3，所以2y =6=2×3=2×2x =2x ＋1， 2z =12=2×6=2×2y =2y ＋1．所以y =x +1，z =y +1．两式相减，得y -z =x -y ，所以x +z =2y ．21．【解析】（1）由题意得：（2x -a ）（3x +b ）=6x 2+（2b -3a ）x -ab ，（2x +a ）（x +b ）=2x 2+（a +2b ）x +ab ， 所以2b -3a =11①，a +2b =-9②，由②得2b =-9-a ，代入①得-9-a -3a =11，所以a =-5，2b =-4，b =-2．（2）由（1）得（2x +a ）（3x +b ）=（2x -5）（3x -2）=6x 2-19x +10．22．【答案】B【解析】A 、a 2·a 3=a 5，故此选项错误；B 、a 7÷a 3=a 4，正确；C 、（a 3）5=a 15，故此选项错误；D 、（ab ）2=a 2b 2，故此选项错误，故选B ．23．【答案】C【解析】23533a a a ⋅=，故选C ．24．【答案】B【解析】23(1)x x x x -=-，故选B ．25．【答案】6x【解析】56⋅=x x x ，故答案为：6x ．26．【答案】2m【解析】原式64642m m m m ÷－＝＝＝，故答案为：m 2．27．【答案】4【解析】∵23=9=32=m n n ，∴2233339224+=⨯=⨯=⨯=m n m n m n ，故答案为：4．28．【解析】2324(2)x x x -⋅=668x x -67x =．29．【解析】22()()x y x xy y +-+322223x x y xy x y xy y =-++-+ 33x y =+．。
人教版八年级数学上册课件：14.2.2 乘法公式(完全平方公式)(共22张PPT)
公式右边特点：(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
1、积为二次三项式；
2、积中两项为两数的平方和；
3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中 间的符号相同。
4.简记为：首平方，尾平方，积的二倍在
中央，加减看前方。
(a ± b)2=a2±2ab+b2
运用完全平方公式计算 (1) ( x + 6 )2 (2) ( y - 5 )2 (3) ( -2x + 5 )2
点拨：(a－b＋c)(a＋b－c)＝[a－(b－c)][a＋(b－c)]＝a2－(b －c)2＝a2－b2＋2bc－c2.
4．计算：
3a
12b
2
3a
12b
2
＝_8_1_a_4－ __92_a_2_b_2_＋__11_6_b_4 _.
点拨：
3a
12b
2
3a
1 2
b
2
＝
3a
Hale Waihona Puke 12b把 1022 改写成 (a+b)2 还是(a−b)2 ? a，b怎样确定？
1022 =(100+2)2 =1002+2×100×2+22
=10000+400+4 =10404
1．计算：
(1)2 0022;
(2)1 9992.
能力拓展,我能行！ (a ± b)2=a2±2ab+b2 完全平方公式与平方差公式一样即可以正
添括号时，如果括号前面是正号，括到 括号里的各项都不变符号；如果括号前 面是负号，括到括号里的各项都改变符号。
遇“加”不变，遇“减”都变
人教版数学八年级上册36乘法公式(提高)知识讲解
乘法公式（提高）【学习目标】1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算. 【要点梳理】要点一、平方差公式平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，b a ,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如()()a b b a +-+利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如(35)(35)x y x y +- （3）指数变化：如3232()()m n m n +- （4）符号变化：如()()a b a b --- （5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+（6）增因式变化：如2244()()()()a b a b a b a b -+++ 要点二、完全平方公式完全平方公式：()2222a b a ab b +=++2222)(b ab a b a +-=-两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：()2222a b a b ab +=+-()22a b ab =-+()()224a b a b ab +=-+要点三、添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 要点四、补充公式2()()()x p x q x p q x pq ++=+++；2233()()a b a ab b a b ±+=±m ；33223()33a b a a b ab b ±=±+±；2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++. 【典型例题】类型一、平方差公式的应用1、计算(2＋1)(221+)( 421+)(821+)(1621+)(3221+)＋1．【思路点拨】本题直接计算比较复杂，但观察可以发现2＋1与2－1，221+与221-，421+与421-等能够构成平方差，只需在前面添上因式（2－1），即可利用平方差公式逐步计算. 【答案与解析】解：原式＝(2－1)(2＋1)( 221+)(421+)(821+)(1621+)(3221+) ＋1 ＝(221-)( 221+)( 421+)(821+)(1621+)(3221+)＋1 ＝642－1＋1＝642．【总结升华】对于式子较为复杂的数的计算求值问题，不妨先仔细观察，看是否有规律，然后去解决，会事半功倍，提高解题能力． 举一反三： 【变式1】计算：(1)2(3)(9)(3)x x x -++(2)(a ＋b )( a －b )( 22a b +)( 44a b +) 【答案】解：(1)原式＝[(x ＋3)(x －3)](29x +)＝(29x -)(29x +)＝481x -． (2)原式＝[(a ＋b )( a －b )]( 22a b +)( 44a b +) ＝[(22a b -)( 22a b +)]( 44a b +)＝(44a b -)( 44a b +)＝88a b -．【变式2】（2015•内江）（1）填空： （a ﹣b ）（a+b ）= ；（a ﹣b ）（a 2+ab+b 2）= ；（a ﹣b ）（a 3+a 2b+ab 2+b 3）= ． （2）猜想：（a﹣b）（a n﹣1+a n﹣2b+…+ab n﹣2+b n﹣1）= （其中n为正整数，且n≥2）．（3）利用（2）猜想的结论计算：29﹣28+27﹣…+23﹣22+2．【答案】解：（1）（a﹣b）（a+b）=a 2﹣b2；（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3+a2b+ab2﹣a 2b﹣ab2﹣b3=a3﹣b 3；（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4+a3b+a2b2+ab3﹣a3b﹣a2b2﹣ab3﹣b4=a4﹣b4；故答案为：a2﹣b2，a3﹣b3，a4﹣b4；（2）由（1）的规律可得：原式=a n﹣b n，故答案为：a n﹣b n；（3）29﹣28+27﹣…+23﹣22+2=（2﹣1）（28+26+24+22+2）=342．2、（2016春•户县期末）先化简，再求值．已知|m﹣1|+（n+）2=0，求（﹣m2n+1）（﹣1﹣m2n）的值．【思路点拨】先根据非负数的性质，求出m，n的值，再根据平方差公式求代数式的和即可．【答案与解析】解：∵|m﹣1|+（n+）2=0，∴m﹣1=0，n+=0，∴m=1，n=﹣，∴（﹣m2n+1）（﹣1﹣m2n）=m4n2﹣1==1×﹣1==﹣．【总结升华】本题考查了非负性的应用，解决本题的关键是熟记乘法公式，掌握公式的基本形式，才能使问题更加简单化．举一反三：【变式】解不等式组：(3)(3)(2)1, (25)(25)4(1). x x x xx x x x+--->⎧⎨---<-⎩【答案】解：(3)(3)(2)1, (25)(25)4(1).x x x xx x x x+--->⎧⎨---<-⎩①②由①得22921x x x --+>，210x >，5x >．由②得2225(2)44x x x -<-，2225444x x x -<-，425x -<-， 6.25x >．∴ 不等式组的解集为 6.25x >．类型二、完全平方公式的应用3、运用乘法公式计算：（1）2(23)a b +-；（2）(23)(23)a b c a b c +--+．【思路点拨】（1）是一个三项式的平方，不能直接运用完全平方公式，可以用加法结合律将23a b +-化成(23)a b +-，看成a 与(23)b -和的平方再应用公式；（2）是两个三项式相乘，其中a 与a 完全相同，2b ，3c -与2b -，3c 分别互为相反数，与平方差公式特征一致，可适当添加括号，使完全相同部分作为“一项”，互为相反数的部分括在一起作为“另一项”．【答案与解析】解：（1）原式222[(23)]2(23)(23)a b a a b b =+-=+-+-22464129a ab a b b =+-+-+ 22446129a b ab a b =++--+．（2）原式22222[(23)][(23)](23)4129a b c a b c a b c a b bc c =+---=--=-+-． 【总结升华】配成公式中的“a ”“b ”的形式再进行计算. 举一反三：【变式】运用乘法公式计算：(1)()()a b c a b c -++-； (2)()()2112x y y x -+-+； (3)()2x y z -+； (4)()()231123a b a b +---． 【答案】解：(1) ()()a b c a b c -++-＝[a －(b －c )][ a ＋(b －c )]＝()()222222a b c a b bc c--=--+＝2222a b bc c -+-．(2) ()()2112x y y x -+-+ ＝[2x ＋(y －1)][2x －(y －1)]＝()()()222221421x y x y y --=--+＝22421x y y -+-．(3)()()()()22222x y z x y z x y x y z z -+=-+=-+-+⎡⎤⎣⎦＝222222x xy y xz yz z -++-+．(4) ()()231123a b a b +---＝()2231a b -+-＝－22[(23)2(23)1]a b a b ＋－＋＋＝－()22(2)2233461a a b b a b ⎡⎤+⋅⋅+--+⎣⎦＝224129461a ab b a b －－－＋＋－4、已知△ABC 的三边长a 、b 、c 满足2220a b c ab bc ac ++---=，试判断△ABC的形状．【思路点拨】通过对式子变化，化为平方和等于零的形式，从而求出三边长的关系． 【答案与解析】解：∵ 2220a b c ab bc ac ++---=，∴ 2222222220a b c ab bc ac ++---=，即222222(2)(2)(2)0a ab b b bc c a ac c -++-++-+=． 即222()()()0a b b c a c -+-+-=． ∴ 0a b -=，0b c -=，0a c -=，即a b c ==，∴ △ABC 为等边三角形．【总结升华】式子2220a b c ab bc ac ++---=体现了三角形三边长关系，从形式上看与完全平方式相仿，但差着2ab 中的2倍，故想到等式两边同时扩大2倍，从而得到结论． 举一反三：【变式】多项式222225x xy y y -+++的最小值是____________. 【答案】4；提示：()()2222222514x xy y y x y y -+++=-+++，所以最小值为4.。
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第7讲乘法公式知识定位讲解用时：5分钟A、适用范围：人教版初二，基础较好；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习乘法公式。
乘法公式是很好的解题工具，初中阶段我们学习平方差公式、完全平方公式，灵活运用乘法公式能解答许多问题，乘法公式同时也是中考考查的重点，对今后数学的影响也很大，因此本节课要好好学习并掌握。
知识梳理讲解用时：20分钟整式的乘法一、单项式乘单项式：单项式乘单项式，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式.例如：3a·4b=12ab二、单项式乘多项式：单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.例如：m（a+b+c）=ma+mb+mc三、多项式乘多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.例如：（a+b）·（c+d）=ac+bc+ad+bd1、同底数幂的乘法：底数不变，指数相加(m,n 都是整数)2、幂的乘方：底数不变，指数相乘(m,n 都是整数) 3、积的乘方：积中每个因式分别乘方()n n n ab a b =⋅(n 是整数) 4、同底数幂的除法：底数不变，指数相减 m n m n a a a -÷=（m 、n 都是整数且a≠0） 引申：01a = 1n n a a -=(n 是正整数) 一个数的负指数幂等于正指数幂的倒数. n m n m a a a +=⋅mn n m a a =)(课堂精讲精练【例题1】（﹣p ）2•（﹣p ）3= ．【答案】﹣p 5【解析】同底数幂的乘法：底数不变，指数相加．解：（﹣p ）2•（﹣p ）3=（﹣p ）2+3=（﹣p ）5=﹣p 5；完全平方公式 用多项式乘多项式法则，计算下面各题，你能发现什么规律？ （a+b ）²=a ²+2ab+b ² （a -2）²=a ²-4a+4=a ²-2·a ·2+2² （2a+b ）²=4a ²+4ab+b ²=（2a ）²+2·2a ·b +b ² 完全平方公式： 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍. 巧记：首平方，尾平方，乘积2倍放中央. 拓展：a ²+b ²=（a+b ）²-2ab a ²+b ²=（a-b ）²+2ab （a+b ）²=（a-b ）²+4ab2222)(b ab a b a +±=±注意：完全平方公式展开有三项，a 的平方加上b 的平方，加上（或减去）a 乘以b 的两倍故答案是：﹣p5．讲解用时：2分钟解题思路：本题主要考查同底数幂的乘法，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加．教学建议：熟练掌握同底数幂的乘法计算法则.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：河东区一模年份：2018【练习1.1】计算：﹣x2•x4= ．【答案】﹣x6【解析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得答案．解：﹣x2•x4=﹣x6，故答案为：﹣x6．讲解用时：2分钟解题思路：本题考查了同底数幂的乘法，底数不变指数相加是解题关键．教学建议：熟练掌握同底数幂的乘法计算法则，注意负号要照写.难度：2 适应场景：当堂练习例题来源：榆社县期中年份：2018【练习1.2】计算﹣a3•（﹣a）2= ．【答案】﹣a5【解析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．解：﹣a3•（﹣a）2=﹣a3•a2=﹣a5．故答案为：﹣a5．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．教学建议：熟练掌握同底数幂的乘法计算法则，注意符号的变化.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：苏州期中年份：2018【例题2】计算（﹣a2b）3的结果是（）A．﹣a6b3B．a6b C．3a6b3D．﹣3a6b3【答案】A【解析】利用积的乘方性质：（ab）n=a n•b n，幂的乘方性质：（a m）n=a mn，直接计算．解：（﹣a2b）3=﹣a6b3．故选：A．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了幂运算的性质，注意结果的符号确定，比较简单，需要熟练掌握．教学建议：熟练掌握积的乘方公式和幂的乘方公式.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习2.1】计算：（2m2n﹣2）2•3m﹣3n3．【答案】12mn﹣1【解析】先根据积的乘方，把每一个因式分别乘方，再把所得幂相乘和同底数幂相乘：底数不变指数相加的性质计算．解：（2m2n﹣2）2•3m﹣3n3，=4m4n﹣4•3m﹣3n3，=12m4﹣3n﹣4+3，=12mn﹣1．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查幂的运算性质，熟练掌握性质是解题的关键，是基础题．教学建议：熟练掌握积的乘方公式和同底数幂的乘法计算.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习2.2】计算（1）（﹣3a）•（2ab）（2）（﹣2x2）3+4x3•x3．【答案】（1）﹣6a2b；（2）﹣4x6【解析】（1）直接利用单项式乘以单项式运算法则求出答案；（2）直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则化简，进而合并同类项即可得出答案．解：（1）（﹣3a）•（2ab）=﹣6a2b；（2）（﹣2x2）3+4x3•x3=﹣8x6+4x6=﹣4x6．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了单项式乘以单项式运算以及积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．教学建议：熟练掌握单项式乘单项式、积的乘方、幂的乘方运算法则.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题3】计算：【答案】﹣8a4b3﹣a3b3+a2b4【解析】首先进行积的乘方运算，再利用单项式乘以多项式得出答案．解：原式=a2b2（﹣a2b﹣12ab+b2）=﹣8a4b3﹣a3b3+a2b4．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了单项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键．教学建议：熟练掌握单项式乘以多项式、积的乘方、同底数幂的乘法计算法则. 难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习3.1】如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a=3，b=2时的绿化面积．【答案】5a2+3ab 63【解析】根据多项式乘多项式的法则求出阴影部分的面积，代入计算即可．解：阴影部分的面积=（3a+b）（2a+b）﹣（a+b）2=6a2+5ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2=5a2+3ab，当a=3，b=2时，原式=5×32+3×3×2=63．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查的是多项式乘多项式，多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．教学建议：学会观察图形并掌握多项式乘多项式的运算法则.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习3.2】（1）已知2x=3，2y=5，求2x+y的值；（2）x﹣2y+1=0，求：2x÷4y×8的值．【答案】（1）15；（2）4【解析】（1）直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案；（2）直接利用同底数幂的乘除运算法则将原式变形得出答案．解：（1）∵2x=3，2y=5，∴2x+y=2x×2y=3×5=15；（2）∵x﹣2y+1=0，∴x﹣2y=﹣1，∴2x÷4y×8=2x﹣2y+3=22=4．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了同底数幂的乘除运算，正确将原式变形是解题关键．教学建议：熟练掌握同底数幂的乘除法计算.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题4】计算：（1）（x+2y）（2x﹣y）（2）（2a﹣3b）（﹣2a﹣3b）【答案】（1）2x2+3xy﹣2y2；（2）9b2﹣4a2【解析】（1）根据多项式乘以多项式，即可解答；（2）根据平方差公式，即可解答．解：（1）（x+2y）（2x﹣y）=2x2+3xy﹣2y2；（2）（2a﹣3b）（﹣2a﹣3b）=（﹣3b）2﹣（2a）2=9b2﹣4a2．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了平方差公式，解决本题的关键是熟记平方差公式．教学建议：熟练掌握平方差公式的运算法则.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习4.1】计算（x+2）•（x﹣2）•（x2+4）【答案】x4﹣16【解析】首先利用平方差公式求得（x+2）•（x﹣2）的值，继而再利用平方差公式求得答案．解：原式=（x2﹣4）（x2+4）=x4﹣16．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了平方差公式．此题难度不大，注意熟记平方差公式是解题的关键．教学建议：熟练掌握平方差公式的计算，本题2次运用平方差公式.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习4.2】计算：（1）（2a+1）（﹣a﹣2）；（2）（x+y﹣3）（x﹣y+3）．【答案】（1）﹣2a2﹣5a﹣2；（2）=x2﹣y2+6y﹣9【解析】（1）直接利用多项式乘以多项式运算法则计算得出答案；（2）直接利用平方差公式再结合完全平方公式计算得出答案．解：（1）原式=﹣2a2﹣4a﹣a﹣2=﹣2a2﹣5a﹣2；（2）原式=[x+（y﹣3）][x﹣（y﹣3）]=x2﹣（y﹣3）2=x2﹣（y2﹣6y+9）=x2﹣y2+6y﹣9．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了平方差公式以及完全平方公式，正确应用公式是解题关键．教学建议：熟练掌握平方差公式和完全平方公式的计算方法.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题5】计算（2a﹣3b）2= ．计算：（2x+3）2= ．【答案】4a2﹣12ab+9b2 4x2+12x+9【解析】根据完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2分别进行计算，即可得出答案．解：（2a﹣3b）2=（2a）2﹣2•2a•3b﹣（3b）2=4a2﹣12ab+9b2；故答案为：4a2﹣12ab+9b2．（2x+3）2=4x2+12x+9．故答案为：4x2+12x+9．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2是解题的关键，是一道基础题，注意符号的变化．教学建议：熟练掌握完全平方公式的计算.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习5.1】已知a+b=4，则= ．【答案】8【解析】利用完全平方和公式将所求的代数式转化为含有（a+b）的代数式，然后将a+b=4代入求值．解：=（a2+2ab+b2）=（a+b）2=×42=8．故答案是：8．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查完全平方公式．解答该题时，需要牢记完全平方和公式（a+b）2=a2+2ab+b2及其变形的几种形式．教学建议：灵活运用完全平方公式进行解题.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习5.2】已知x2﹣3x+1=0，则= ．【答案】7【解析】首先由x2﹣3x+1=0，求得x+的值，然后由（x+）2=x2++2，即可求得答案．解：∵x2﹣3x+1=0，∴x+=3，∴（x+）2=x2++2=9，∴x2+=7．故答案为：7．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了完全平方公式的应用．解题的关键是掌握（x+）2=x2++2与整体思想的应用．教学建议：灵活掌握完全平方公式的应用.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题6】已知a x=﹣2，a y=3．求：（1）a x+y的值；（2）a3x的值；（3）a3x+2y的值．【答案】（1）-6；（2）-8；（3）-72【解析】（1）先根据同底数幂的乘法进行变形，再代入求出即可；（2）先根据幂的乘方进行变形，再代入求出即可；（3）先根据同底数幂的乘法进行变形，再根据幂的乘方进行变形，最后代入求出即可．解：（1）∵a x=﹣2，a y=3，∴a x+y=a x•a y=﹣2×3=﹣6；（2）∵a x=﹣2，a y=3，∴a3x=（a x）3=（﹣2）3=﹣8；（3）∵a x=﹣2，a y=3，∴a3x+2y=（a3x）•（a2y）=（a x）3•（a y）2=（﹣2）3×32=﹣8×9=﹣72．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方等知识点，能根据同底数幂的乘法、幂的乘方进行变形是解此题的关键．教学建议：灵活掌握幂的有关计算.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习6.1】若3x+1=27，2x=4y﹣1，求x﹣y．【答案】0【解析】首先化成同底数可得x+1=3，x=2y﹣2，解方程可得x、y的值，进而可得答案．解：由题意得：x+1=3，x=2y﹣2，解得：x=2，y=2，则x﹣y=0．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了同底数幂的乘法，关键是掌握27=33，4=22．教学建议：灵活掌握幂的有关计算.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题7】已知a2+b2=5，ab=﹣1，则a+b= ．【答案】【解析】根据完全平方公式得到（a+b）2=a2+2ab+b2，再把ab=﹣1，a2+b2=5整体代入即可．解：∵（a+b）2=a2+2ab+b2，∴a+b=，故答案为讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．关键是整体思想的运用．教学建议：灵活掌握完全平方公式的应用.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习7.1】若a+b=，a﹣b=，则ab= ．【答案】1【解析】两式相加求出a的值，进而求出b的值，即可求出ab的值．解：将a+b=，a﹣b=两式相加得：2a=+，即a=，将a=5代入a﹣b=中，得：﹣b=，即b=，则ab==1．故答案为：1．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查完全平方公式，关键是把原式完全平方后整体代入计算．教学建议：掌握完全平方公式的几种变形，灵活运用.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习7.2】已知a2+b2=12，a﹣b=4，则ab= ．【答案】﹣2【解析】将a﹣b=4两边同时平方，然后将a2+b2=12代入所得结果进行计算即可．解：∵a﹣b=4，∴a2﹣2ab+b2=16，∴12﹣2ab=16，解得：ab=﹣2．故答案为：﹣2．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查的是完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．教学建议：掌握完全平方公式的几种变形，灵活运用.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018课后作业【作业1】若a3•a m=a9，则m= ．【答案】6【解析】根据同底数幂的运算即可求出答案．解：由题意可知：3+m=9，∴m=6，故答案为：6讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业2】计算题（1）（﹣x）3（﹣x）2（2）（﹣）2016×161008（3）7x4•x5•（﹣x）7+5（x4）4﹣（﹣5x8）2．【答案】（1）﹣x5 （2）1 （3）﹣27x16【解析】（1）直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案；（2）直接利用积的乘方运算法则将原式变形求出答案；（3）直接利用同底数幂的乘法运算法则以及积的乘方运算法则计算得出答案．解：（1）（﹣x）3（﹣x）2=﹣x5；（2）（﹣）2016×161008=（﹣）2016×42016=（﹣×4）2016=1；（3）7x4•x5•（﹣x）7+5（x4）4﹣（﹣5x8）2．=﹣7x16+5x16﹣25x16=﹣27x16．讲解用时：4分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业3】请你参考黑板中老师的讲解，用乘法公式简便计算；（1）6992（2）20192﹣2017×2021【答案】（1）488601；（2）4【解析】（1）根据完全平方公式即可求出答案．（2）根据平方差公式即可求出答案．解：（1）6992=（700﹣1）2=7002﹣2×700×1+1=490000﹣1400+1=488601（2）20192﹣2017×2021=20192﹣（2019﹣2）（2019+2）=20192﹣20192+22=4讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业4】已知：a+b=1，ab=﹣3，求下列代数式的值．（1）a2b+ab2；（2）（a﹣b）2．【答案】（1）-3；（2）13.【解析】（1）直接将原式分解因式，进而代入已知求出答案；（2）直接将原式变形，进而代入已知求出答案．解：（1）a2b+ab2=ab（a+b）∵a+b=1，ab=﹣3，∴原式=﹣3×1=﹣3；（2）（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2+4ab﹣4ab=（a+b）2﹣4ab把a+b=1，ab=﹣3代入上式可得：原式═1+12=13．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业5】已知实数m，n满足m+n=6，mn=﹣3．（1）求（m﹣2）（n﹣2）的值；（2）求m2+n2的值．【答案】（1）-11；（2）42【解析】（1）将原式展开后，再将m+n，mn代入即可求出答案．（2）根据完全平方公式即可求出答案．解：（1）因为m+n=6，mn=﹣3，所以（m﹣2）（n﹣2）=mn﹣2m﹣2n+4=mn﹣2（m+n）+4=﹣3﹣2×6+4=﹣11．（2）m2+n2=（m+n）2﹣2mn=62﹣2×（﹣3）=36+6=42．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018。