第二章+扩散的机制、扩散方程及其解
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在墙的一侧，B的活度保持极低的数 值，在墙的另一侧与纯B的气相保持 平衡。现假定整个墙的厚度为l， 则 ， 与 分别为 a l la lb la lb 相与 b 相厚度。在实际问题中，通 常给出墙中A的总量，其墙的厚度便 决定于B组元溶解的多少。
扩散：无数个原子的无规则热运动的统计结果
12 10
8
Net Displacement=8.2
227-step random walk in two dimensions
This random walk has 360 degrees of freedom per step!
6
Distance, y yn Distance,
一维稳态扩散
JH JH
a
a
1 dm dC JH D A dt dx
a ai a1 D D a i a a a l fH fH l fH fH
a a1l f H a2l a f Ha l f H l a f H ai a a D D D D
一体积
单元的速率等于进入该体积单元的速率。 J为一恒定值。
近似稳态扩散条件下
可以用菲克第一定律作定量或半定量的解析 1. 估算扩散型相变传质过程中扩散组元 的扩散通量
2. 估算由扩散控制的相界移动速度
2.1.1 菲克第一定律及其应用
单相系统中的稳态扩散 1 一维稳态扩散
C1 x1 x
2
C2
A
设想一种最简单的扩散：物质沿一个方向扩散且浓度不变，那 么此时的扩散方程是怎样的呢？
在稳态扩散建立起来之后，活度
分布如图所示
a
由稳态扩散条件
Ja J H H
aa
2.1.1 菲克第一定律及其应用 ①双相层厚度与扩散物质无关
氢在a、 两相区中的扩散
由稳态扩散条件
a JH Da
JH JH
a1 Da ai a a a l fH fH
热力学研究的问题是过程的可能性，即预言在给定条 件下某一过程的方向和限度； 动力学研究的是过程的现实性，即动力学是解决一个 过程是如何进行的问题。 热力学上可能的过程：通过动力学的研究来解决反应 速度问题； 热力学上不可能的过程：没有动力学研究价值
热力学研究的目标：提高过程的驱动力；
动力学研究的目标：如何降低过程的阻力；
一段时间后，C原子扩 散达到稳定，C / t 0 若圆柱体长度为l, C 原子经过半径为r,由 内向外扩散通量为：
纯铁制成的空心圆柱置于恒温炉中
dm 1 J dt 2rl
由菲克第一定律得：
dm C2 C1 2lD dt ln r2 / r1
或
dm dr 2lDdC dt r
扩散物质的流量
dm x2 x1 DA C2 C1 dt
C2 C1 C2 C1 dm DA DA dt l x2 x1
l ：x1与x2两点间距离
C2 C1 C2 C1 dm 2.1.1 菲克第一定律及其应用 DA DA dt x2 x1 l 例 8.1 推导欧姆定律
n
4
2
n= n=227 227
227 n=0 n =0
0
-2
1827年 Brown (英植物学家) 水面上花粉的无规则运动
-4 -10 -8 -6百度文库-4 -2 0 2 4 6
Distance, x Distance, n xn
扩散理论研究的两个方面
唯象模型
微观机制
扩散物质浓度分 布与时间的关系
2 多维系统中的扩散
在实际的生产应用中，我们需要解决的不仅仅是一维系统中的 稳态扩散，更多的是多维系统的情况，那么在多维系统中稳态 扩散是个什么样的形式呢？
多维 系统 中的 稳态 扩散
一般较为复杂 空心圆柱体
两种简单的情况
空心球体
2.1.1 菲克第一定律及其应用 2 多维系统中的扩散（空心圆柱体情况）
下图所示的扩散墙分别为α和γ相，扩散系数分别为Dα和Dγ
两相的扩散层厚度与扩散 物质的关系是怎样的呢？
扩散墙
两相层 厚度与 扩散物 质无关
两相层 厚度与 扩散物 质有关
2.1.1 菲克第一定律及其应用
①两相层厚度与扩散物质无关
例 8.2 氢在a、 两相区中的扩散（两相系统中的一维扩散）
例如一层可以是纯铁，另一层可以是奥氏体不锈钢
扩散过程中通过与周围环境进行有效的物质交换，使物体长度两端 X1 与 X2处的浓度C1和C2保持不变。这样就建立起一种沿物体长度上每一点浓度 都保持不变的稳态扩散。由于在此种扩散条件下扩散通量为常数，因此可 以通过对菲克 (Fick) 扩散第一定律积分求得扩散物质的流量。 m为扩散组元通过截面A的量
a a 1 dmB Da dxB a , S dt Vm dy b b 1 dmB D b dxB b S dt Vm dy
a b 当 Vm Vm
b b a dl b b dxB a dxB Vm D D a dy dy Vm dt b a x x B B
若D为常数有：
dm C2 C1 4r1r2 D dt r2 r1
将球壳厚度l=r1-r2代入上面的 式子可得：
dm C2 C1 4r1r2 D dt l
2.1.1 菲克第一定律及其应用 两相系统中的稳态扩散
对于多相系统来说，用计算的方法来描述扩散是很困难的，所 以我们仅讨论两相系统中的一维扩散。
扩散过程中各点浓度随时间而变化
2.1.1 菲克第一定律及其应用
单位时间内通过垂直于扩散方向的单位面积截面的扩散物质 量，即所谓的扩散通量J，与扩散物质的浓度梯度成正比。
体系各向同性 扩散沿 x 方向 三维表达式
C J D x
其中，负号表示扩散方向与浓度 梯度增长方向相反; J 为扩散物质 通量，D为扩散率或称扩散系数
C C C J D j i k D C y z x C C C J Dx j Dz i Dy k x y z
适用范围：稳态扩散 (
C 0) t
体系各向异性
2.1.1 菲克第一定律及其应用 稳态扩散：经过一定时间后，扩散组元B离开某
1 dm dC J D A dt dx
dm 1 . dt A
单位时间，单位面积上的流量 (kg / m2.s)
2.1.1 菲克第一定律及其应用
单相系统中的稳态扩散
C1 C2 A x1 x2
1 一维稳态扩散
1 dm dC J D A dt dx
x2 dm C2 dm dx C1 DAdC dx DAdC x1 dt dt
8.1.1 菲克第一定律及其应用
扩散型相变中新相相界移动长大速度 新相相界的迁移速度受原子扩散控制 例8.3 AB合金中，若D＝DA＝DB
一定律估算 新相相界的迁移速度 可用菲克第
即新相长大动力学问题。下面分析新相b 依靠母相a消耗而长大过程。
设：b相向左侧a相内长大距离为
Ca/b
dlb b相
长大方向
两相层的厚度
a相的厚度为 相的厚度为
la
l
aa
a
设扩散物质为氢 (H)，由 于它在a相与相中具有一 定的溶解度
aa fa C1
a f C2
浓度分布
活度分布
2.1.1 菲克第一定律及其应用 ①两相层厚度与扩散物质无关
设 aa 是 a 相层外面维持的活度;
a ai
是 相层外面维持的活度; 是 a/ 相界面上的活度;
ΔC 引起的电位差
C U K
电子浓度差
导线材料单位体积的电容 一维电子稳流状态
dQ dC C DAK DA DA U dt dx x l
电流强度 I dQ dt
DAK V I V l R
电压V=ΔU
其中
l R DAK
1 DK
电阻率
欧姆定律
2.1.1 菲克第一定律及其应用 单相系统中的稳态扩散
2.1.1 菲克第一定律及其应用 2 多维系统中的扩散（空心圆柱体情况）
考虑到r=r1时,C=C1;r=r2时,C=C2将上式积分得：
dm r2 ln 2lDC2 C1 dt r1
或
dm C2 C1 2lD dt ln r2 / r1
dm 1 J dt 4r 2
B B
b
相变后B元素增量
Sdl b b a dmB b xB xB Vm
a b
Ca/b
dlb b相
长大方向
增量由扩散引起 dmB dmB dmB
a dmB
a相中B原子扩散到a/b相界数量
b dmB
b相中B原子通过扩散离开a/b相界数量
a
b
2.1.1 菲克第一定律及其应用
菲克第一定律
ai 代入 J H
a D D （约大于100) 同一温度下， H H a1 a2 a1 a2 J H =D l fH l fH D
组合因子
扩散的阻力
扩散物质的扩散流量主要取决于组合因子具有最大值的那个相，该相 对扩散具有最大的阻力。这种情况与一栋房子墙壁进行的热传导极为 相似，房子通过墙所损失的热量就主要取决于最好的绝热层。
dl dla dl b
相界平衡浓度为
a b
Ca / b
a b
并令a及b相的摩尔体积相等
Vm Vm
2.1.1 菲克第一定律及其应用
扩散型相变中新相相界移动长大速度 新相相界的迁移速度受原子扩散控制
如截面面积为S，β相增加的体积为 Sdl 。B原子在 b 新相内增量 Sdl b / Vm mol，在该体积相变前后原 子总数相等，但B元素的摩尔分数却由 xa 变为 x b
2.1.1 菲克第一定律及其应用
化简上式
a a1l f H a2l a f Ha l f H l a f H ai a a D D D D a1 a2 1 dm JH l f H l a f Ha A dt a D D
2 多维系统中的扩散（空心球体情况）
扩散通量为：
由菲克第一定律得：
稳态扩散的空心球体
dm 2 dC D 4r dt dr
2.1.1 菲克第一定律及其应用 2 多维系统中的扩散（空心球体情况）
根据已知的边界条件有：
稳态扩散的空心球体
r2
r1
C2 dm dr 4DdC 2 C1 dt r
溶体中的扩散 扩散:
大量原子的热运动引起的物质的宏观迁移
水 加入染料 部分混合 时间 完全混合
溶体中的扩散
碳的扩散方向
Fe-C合金
非均匀的单相合金试样
高碳含量区域 低碳含量区域 T=25时，C的浓度分布
扩散驱动力
浓度梯度（化学势梯度）
应力场梯度
电场梯度
分子，原子或离子等的定向，宏观迁移
体系自由能降低
a
aa a
Ca a C1 la
JH D
C2 C a l
ai D a l fH fH
C1 C2 分别为H在两相中的浓度;
aa a
fa f
分别为H在两相中的活度; 分别为H在两相中的活度系数;
2.1.1 菲克第一定律及其应用
原子无规则运动与 宏观物质流的关系
由德国生理学家菲克（1829-1901） 于1855年提出。
2.1 扩散基本定律
菲克第一定律 (Fick’s first law) 稳态扩散
C ( 0) t
扩散过程中各点浓度不随时间改变 菲克第二定律 (Fick’s second law) 非稳态扩散
C ( 0) t
材料动力学 与相变原理
材料学院 刘兴军 教授
2013 年3月
第二章
扩散动力学
动力学
本课程的参考教材
徐 瑞 荆天辅 《材料热力学与动力学》 哈尔滨工业大学出版社
孙振岩，刘春明 编著 《合金中的扩散与相变》 东北大学出版社，2002
1. 扩散动力学主要内容
（1） 扩散动力学
（2） 相变动力学
热力学与动力学
若只在a相中发生扩散，可得简单的长大速度公式
a Vmb dl b Da dxB b a a dt xB xB dy Vm
xB 与xa B 可由相图确定
b
相界长大速度
浓度梯度
2.1.1 菲克第一定律及其应用 ②两相层厚度与扩散物质有关
B B B B
例8.4 B组元通过A-B合金墙所进行
的扩散便属于这种情况
扩散：无数个原子的无规则热运动的统计结果
12 10
8
Net Displacement=8.2
227-step random walk in two dimensions
This random walk has 360 degrees of freedom per step!
6
Distance, y yn Distance,
一维稳态扩散
JH JH
a
a
1 dm dC JH D A dt dx
a ai a1 D D a i a a a l fH fH l fH fH
a a1l f H a2l a f Ha l f H l a f H ai a a D D D D
一体积
单元的速率等于进入该体积单元的速率。 J为一恒定值。
近似稳态扩散条件下
可以用菲克第一定律作定量或半定量的解析 1. 估算扩散型相变传质过程中扩散组元 的扩散通量
2. 估算由扩散控制的相界移动速度
2.1.1 菲克第一定律及其应用
单相系统中的稳态扩散 1 一维稳态扩散
C1 x1 x
2
C2
A
设想一种最简单的扩散：物质沿一个方向扩散且浓度不变，那 么此时的扩散方程是怎样的呢？
在稳态扩散建立起来之后，活度
分布如图所示
a
由稳态扩散条件
Ja J H H
aa
2.1.1 菲克第一定律及其应用 ①双相层厚度与扩散物质无关
氢在a、 两相区中的扩散
由稳态扩散条件
a JH Da
JH JH
a1 Da ai a a a l fH fH
热力学研究的问题是过程的可能性，即预言在给定条 件下某一过程的方向和限度； 动力学研究的是过程的现实性，即动力学是解决一个 过程是如何进行的问题。 热力学上可能的过程：通过动力学的研究来解决反应 速度问题； 热力学上不可能的过程：没有动力学研究价值
热力学研究的目标：提高过程的驱动力；
动力学研究的目标：如何降低过程的阻力；
一段时间后，C原子扩 散达到稳定，C / t 0 若圆柱体长度为l, C 原子经过半径为r,由 内向外扩散通量为：
纯铁制成的空心圆柱置于恒温炉中
dm 1 J dt 2rl
由菲克第一定律得：
dm C2 C1 2lD dt ln r2 / r1
或
dm dr 2lDdC dt r
扩散物质的流量
dm x2 x1 DA C2 C1 dt
C2 C1 C2 C1 dm DA DA dt l x2 x1
l ：x1与x2两点间距离
C2 C1 C2 C1 dm 2.1.1 菲克第一定律及其应用 DA DA dt x2 x1 l 例 8.1 推导欧姆定律
n
4
2
n= n=227 227
227 n=0 n =0
0
-2
1827年 Brown (英植物学家) 水面上花粉的无规则运动
-4 -10 -8 -6百度文库-4 -2 0 2 4 6
Distance, x Distance, n xn
扩散理论研究的两个方面
唯象模型
微观机制
扩散物质浓度分 布与时间的关系
2 多维系统中的扩散
在实际的生产应用中，我们需要解决的不仅仅是一维系统中的 稳态扩散，更多的是多维系统的情况，那么在多维系统中稳态 扩散是个什么样的形式呢？
多维 系统 中的 稳态 扩散
一般较为复杂 空心圆柱体
两种简单的情况
空心球体
2.1.1 菲克第一定律及其应用 2 多维系统中的扩散（空心圆柱体情况）
下图所示的扩散墙分别为α和γ相，扩散系数分别为Dα和Dγ
两相的扩散层厚度与扩散 物质的关系是怎样的呢？
扩散墙
两相层 厚度与 扩散物 质无关
两相层 厚度与 扩散物 质有关
2.1.1 菲克第一定律及其应用
①两相层厚度与扩散物质无关
例 8.2 氢在a、 两相区中的扩散（两相系统中的一维扩散）
例如一层可以是纯铁，另一层可以是奥氏体不锈钢
扩散过程中通过与周围环境进行有效的物质交换，使物体长度两端 X1 与 X2处的浓度C1和C2保持不变。这样就建立起一种沿物体长度上每一点浓度 都保持不变的稳态扩散。由于在此种扩散条件下扩散通量为常数，因此可 以通过对菲克 (Fick) 扩散第一定律积分求得扩散物质的流量。 m为扩散组元通过截面A的量
a a 1 dmB Da dxB a , S dt Vm dy b b 1 dmB D b dxB b S dt Vm dy
a b 当 Vm Vm
b b a dl b b dxB a dxB Vm D D a dy dy Vm dt b a x x B B
若D为常数有：
dm C2 C1 4r1r2 D dt r2 r1
将球壳厚度l=r1-r2代入上面的 式子可得：
dm C2 C1 4r1r2 D dt l
2.1.1 菲克第一定律及其应用 两相系统中的稳态扩散
对于多相系统来说，用计算的方法来描述扩散是很困难的，所 以我们仅讨论两相系统中的一维扩散。
扩散过程中各点浓度随时间而变化
2.1.1 菲克第一定律及其应用
单位时间内通过垂直于扩散方向的单位面积截面的扩散物质 量，即所谓的扩散通量J，与扩散物质的浓度梯度成正比。
体系各向同性 扩散沿 x 方向 三维表达式
C J D x
其中，负号表示扩散方向与浓度 梯度增长方向相反; J 为扩散物质 通量，D为扩散率或称扩散系数
C C C J D j i k D C y z x C C C J Dx j Dz i Dy k x y z
适用范围：稳态扩散 (
C 0) t
体系各向异性
2.1.1 菲克第一定律及其应用 稳态扩散：经过一定时间后，扩散组元B离开某
1 dm dC J D A dt dx
dm 1 . dt A
单位时间，单位面积上的流量 (kg / m2.s)
2.1.1 菲克第一定律及其应用
单相系统中的稳态扩散
C1 C2 A x1 x2
1 一维稳态扩散
1 dm dC J D A dt dx
x2 dm C2 dm dx C1 DAdC dx DAdC x1 dt dt
8.1.1 菲克第一定律及其应用
扩散型相变中新相相界移动长大速度 新相相界的迁移速度受原子扩散控制 例8.3 AB合金中，若D＝DA＝DB
一定律估算 新相相界的迁移速度 可用菲克第
即新相长大动力学问题。下面分析新相b 依靠母相a消耗而长大过程。
设：b相向左侧a相内长大距离为
Ca/b
dlb b相
长大方向
两相层的厚度
a相的厚度为 相的厚度为
la
l
aa
a
设扩散物质为氢 (H)，由 于它在a相与相中具有一 定的溶解度
aa fa C1
a f C2
浓度分布
活度分布
2.1.1 菲克第一定律及其应用 ①两相层厚度与扩散物质无关
设 aa 是 a 相层外面维持的活度;
a ai
是 相层外面维持的活度; 是 a/ 相界面上的活度;
ΔC 引起的电位差
C U K
电子浓度差
导线材料单位体积的电容 一维电子稳流状态
dQ dC C DAK DA DA U dt dx x l
电流强度 I dQ dt
DAK V I V l R
电压V=ΔU
其中
l R DAK
1 DK
电阻率
欧姆定律
2.1.1 菲克第一定律及其应用 单相系统中的稳态扩散
2.1.1 菲克第一定律及其应用 2 多维系统中的扩散（空心圆柱体情况）
考虑到r=r1时,C=C1;r=r2时,C=C2将上式积分得：
dm r2 ln 2lDC2 C1 dt r1
或
dm C2 C1 2lD dt ln r2 / r1
dm 1 J dt 4r 2
B B
b
相变后B元素增量
Sdl b b a dmB b xB xB Vm
a b
Ca/b
dlb b相
长大方向
增量由扩散引起 dmB dmB dmB
a dmB
a相中B原子扩散到a/b相界数量
b dmB
b相中B原子通过扩散离开a/b相界数量
a
b
2.1.1 菲克第一定律及其应用
菲克第一定律
ai 代入 J H
a D D （约大于100) 同一温度下， H H a1 a2 a1 a2 J H =D l fH l fH D
组合因子
扩散的阻力
扩散物质的扩散流量主要取决于组合因子具有最大值的那个相，该相 对扩散具有最大的阻力。这种情况与一栋房子墙壁进行的热传导极为 相似，房子通过墙所损失的热量就主要取决于最好的绝热层。
dl dla dl b
相界平衡浓度为
a b
Ca / b
a b
并令a及b相的摩尔体积相等
Vm Vm
2.1.1 菲克第一定律及其应用
扩散型相变中新相相界移动长大速度 新相相界的迁移速度受原子扩散控制
如截面面积为S，β相增加的体积为 Sdl 。B原子在 b 新相内增量 Sdl b / Vm mol，在该体积相变前后原 子总数相等，但B元素的摩尔分数却由 xa 变为 x b
2.1.1 菲克第一定律及其应用
化简上式
a a1l f H a2l a f Ha l f H l a f H ai a a D D D D a1 a2 1 dm JH l f H l a f Ha A dt a D D
2 多维系统中的扩散（空心球体情况）
扩散通量为：
由菲克第一定律得：
稳态扩散的空心球体
dm 2 dC D 4r dt dr
2.1.1 菲克第一定律及其应用 2 多维系统中的扩散（空心球体情况）
根据已知的边界条件有：
稳态扩散的空心球体
r2
r1
C2 dm dr 4DdC 2 C1 dt r
溶体中的扩散 扩散:
大量原子的热运动引起的物质的宏观迁移
水 加入染料 部分混合 时间 完全混合
溶体中的扩散
碳的扩散方向
Fe-C合金
非均匀的单相合金试样
高碳含量区域 低碳含量区域 T=25时，C的浓度分布
扩散驱动力
浓度梯度（化学势梯度）
应力场梯度
电场梯度
分子，原子或离子等的定向，宏观迁移
体系自由能降低
a
aa a
Ca a C1 la
JH D
C2 C a l
ai D a l fH fH
C1 C2 分别为H在两相中的浓度;
aa a
fa f
分别为H在两相中的活度; 分别为H在两相中的活度系数;
2.1.1 菲克第一定律及其应用
原子无规则运动与 宏观物质流的关系
由德国生理学家菲克（1829-1901） 于1855年提出。
2.1 扩散基本定律
菲克第一定律 (Fick’s first law) 稳态扩散
C ( 0) t
扩散过程中各点浓度不随时间改变 菲克第二定律 (Fick’s second law) 非稳态扩散
C ( 0) t
材料动力学 与相变原理
材料学院 刘兴军 教授
2013 年3月
第二章
扩散动力学
动力学
本课程的参考教材
徐 瑞 荆天辅 《材料热力学与动力学》 哈尔滨工业大学出版社
孙振岩，刘春明 编著 《合金中的扩散与相变》 东北大学出版社，2002
1. 扩散动力学主要内容
（1） 扩散动力学
（2） 相变动力学
热力学与动力学
若只在a相中发生扩散，可得简单的长大速度公式
a Vmb dl b Da dxB b a a dt xB xB dy Vm
xB 与xa B 可由相图确定
b
相界长大速度
浓度梯度
2.1.1 菲克第一定律及其应用 ②两相层厚度与扩散物质有关
B B B B
例8.4 B组元通过A-B合金墙所进行
的扩散便属于这种情况