第二章+扩散的机制、扩散方程及其解
材料科学基础_固体中的扩散
驱动扩散的真实动力是自由能
化学位的定义，某溶质i的化学位为
平衡条件是各处的化学位相等。如果存在一化学位 梯度，表明物质迁移 dx 距离，系统的能量将变化了。 好象有一作用力推动它移动一样，设这个力为 F，所作 的功为 Fdx 作为化学位的变化 。
称为扩散的驱动力，负号表示推动物质流向 化学位较低处
代替 Fick 第一定律的真实法则为：
扩散系数与化学位的关系
如果某组元的浓度提高反而可降低化学位(降低其吉 布斯自由能)，则组元会进行上坡扩散。组元的集中降低 吉布斯自由能的原因和原子之间的键结合能来决定。所 以在分析扩散过程时，应该从化学位来分析，不能单从 浓度梯度来分析。
当然在很多情况下，当
菲克定律的表达式是正确的，用它分析可以把 问题简化。 应用那种模式要具体分析。
数又称禀性扩散系数
N1、N2为组元的摩尔浓度(原子百分比)
代位扩散的方程（Darken方程）
扩散方程：
第三节
扩散中的热力学
• 菲克定律的局限性 • 驱动扩散的真实动力是自由能 • 扩散系数与化学位的关系
菲克定律的局限性
分析菲克定律，结论是扩散中物质的流动是从浓度 高处流向浓度低处，如果浓度梯度消失(dC/dx=0)，各处 的浓度相等，就不应该再出现物质的传输，在一般的情 况下可以解释许多现象。在固体材料中，还有些现象与 此相矛盾，物质的迁移(扩散)会出现从低浓度向高浓度 处聚集，例如过饱和固溶体的脱溶，从中析出第二相， 此外固体电解质中的带电离子在电场或磁场的作用下， 发生的扩散迁移也不一定是从高浓度处流向低浓度处， 这种反向的扩散称为“上坡扩散”。 为了解释上坡扩散的现象，正确分析扩散规律， 必需用热力学来讨论扩散过程的实质，因为扩散的自发 进行方向也必然是系统吉布斯自由能下降。
扩散方程 稳态扩散与非稳态扩散.
一、扩散方程稳态扩散与非稳态扩散1．稳态扩散下的菲克第一定律（一定时间内，浓度不随时间变化dc/dt=0）单位时间内通过垂直于扩散方向的单位截面积的扩散物质流量（扩散通量）与该面积处的浓度梯度成正比即J=－D（dc/dx）其中D：扩散系数，cm2/s，J：扩散通量，g/cm2·s ，式中负号表明扩散通量的方向与浓度梯度方向相反。
可见，只要存在浓度梯度，就会引起原子的扩散。
x轴上两单位面积1和2，间距dx，面上原子浓度为C1、C2则平面1到平面2上原子数n1=C1dx ，平面2到平面1上原子数n2=C2dx若原子平均跳动频率f, dt时间内跳离平面1的原子数为n1f·dt跳离平面2的原子数为n2fdt，但沿一个方向只有1/2的几率，则单位时间内两者的差值即扩散原子净流量。
令，则上式2．扩散系数的测定：其中一种方法可通过碳在γ-Fe中的扩散来测定纯Fe的空心园筒，心部通渗碳气氛，外部为脱碳气氛，在一定温度下经过一定时间后，碳原子从内壁渗入，外壁渗出达到平衡，则为稳态扩散单位时单位面积中碳流量：A：圆筒总面积，r及L：园筒半径及长度，q：通过圆筒的碳量则：即：则：q可通过炉内脱碳气体的增碳求得，再通过剥层法测出不同r处的碳含量，作出C-lnr曲线可求得D。
第一定律可用来处理扩散中浓度不因时间变化的问3．菲克第二定律：解决溶质浓度随时间变化的情况，即dc/dt≠0两个相距dx垂直x轴的平面组成的微体积，J1、J2为进入、流出两平面间的扩散通量，扩散中浓度变化为，则单元体积中溶质积累速率为（Fick第一定律）（Fick第一定律）（即第二个面的扩散通量为第一个面注入的溶质与在这一段距离内溶质浓度变化引起的扩散通量之和）若D不随浓度变化，则故：4．Fick第二定律的解：很复杂，只给出两个较简单但常见问题的解a. 无限大物体中的扩散设：1）两根无限长A、B合?金棒，各截面浓度均匀，浓度C2>C12）两合金棒对焊，扩散方向为x方向3）合金棒无限长，棒的两端浓度不受扩散影响4）扩散系数D是与浓度无关的常数根据上述条件可写出初始条件及边界条件初始条件：t=0时, x>0则C=C1，x<0, C=C2边界条件：t≥0时, x=∞,C=C1, x=－∞, C=C2令，代入则,则菲克第二定律为即（1）令代入式（1）则有（2）若代入（2）左边化简有而积分有（3）令，式（3）为由高斯误差积分：应用初始条件t=0时x>0, c=c1,x<0, c=c2,从式（4）求得(5)则可求得(6)将（5）和（6）代入（4）有：上式即为扩散偶经过时间t扩散之后，溶质浓度沿x方向的分布公式，其中为高斯误差函数，可用表查出：根据不同条件，无限大物体中扩散有不同情况（1）B金属棒初始浓度，则（2）扩散偶焊接面处溶质浓度c0，根据x=0时，，则，若B棒初始浓度，则。
热传导方程与扩散方程
∂u 2 ∂2u 0 < x < l, t > 0 ∂t = a ∂x2 , 混合问题： ux (0, t) = u(l, t) = 0, t > 0 u(x,0) = ϕ(x) 0≤ x ≤l
ut − a 2u xx = 0, 0 < x < L u x | x =0 = 0, u x | x = L = 0 u | = ϕ ( x) t =0
u ( x, t ) = X ( x)T (t )
T ' /( a 2T ) = X " / X = −λ
X ' ( 0) = X ' ( L ) = 0
t2
交换积分次序 ∂u ∂ ∂u ∂ ∂u ∂ ∂u ∫t1 ∫∫∫ cρ ∂t − ∂x k ∂x − ∂y k ∂y − ∂z k ∂z dxdydzdt = 0 Ω
t2
注意到t1 , t 2 及Ω均是任意的, 则有热传导的齐次方程
分离结果的求解 空间方程解出 非零解条件 非零解 时间方程解出
X "+ω 2 X = 0 X ( 0) = X ( L) = 0
T '+ a 2ω 2T = 0
X ( x ) = C cos ω x + D sin ω x X ( 0) = C = 0 X ( L) = D sin ω L = 0
X = cos(wx), w = kπ / L, k = 0,1,2,L, λ = w2
扩散方程
扩散方程其中一种方法可通过碳在γ-Fe中的扩散来测定纯Fe的空心园筒，心部通渗碳气氛，外部为脱碳气氛，在一定温度下经过一定时间后，碳原子从内壁渗入，外壁渗出达到平衡，则为稳态扩散单位时单位面积中碳流量：A：圆筒总面积，r及L：园筒半径及长度，q：通过圆筒的碳量则：即：则：q可通过炉内脱碳气体的增碳求得，再通过剥层法测出不同r处的碳含量，作出C-lnr曲线可求得D。
第一定律可用来处理扩散中浓度不因时间变化的问3．菲克第二定律：解决溶质浓度随时间变化的情况，即dc/dt≠0两个相距dx垂直x轴的平面组成的微体积，J1、J2为进入、流出两平面间的扩散通量，扩散中浓度变化为，则单元体积中溶质积累速率为（Fick第一定律）（Fick第一定律）（即第二个面的扩散通量为第一个面注入的溶质与在这一段距离内溶质浓度变化引起的扩散通量之和）若D不随浓度变化，则故：4．Fick第二定律的解：很复杂，只给出两个较简单但常见问题的解a. 无限大物体中的扩散设：1）两根无限长A、B合?金棒，各截面浓度均匀，浓度C2>C12）两合金棒对焊，扩散方向为x方向3）合金棒无限长，棒的两端浓度不受扩散影响4）扩散系数D是与浓度无关的常数根据上述条件可写出初始条件及边界条件初始条件：t=0时, x>0则C=C1，x<0, C=C2边界条件：t≥0时, x=∞,C=C1, x=－∞, C=C2令，代入则,则菲克第二定律为即（1）令代入式（1）则有（2）若代入（2）左边化简有而积分有（3）令，式（3）为由高斯误差积分：应用初始条件t=0时x>0, c=c1,x<0, c=c2,从式（4）求得(5)则可求得(6)将（5）和（6）代入（4）有：上式即为扩散偶经过时间t扩散之后，溶质浓度沿x方向的分布公式，其中为高斯误差函数，可用表查出：根据不同条件，无限大物体中扩散有不同情况（1）B金属棒初始浓度，则（2）扩散偶焊接面处溶质浓度c0，根据x=0时，，则，若B棒初始浓度，则。
扩散
合金法、扩散法、离子注入法。 合金法、扩散法、离子注入法。
在lC制造中主要采用扩散法和离子注入法。 lC制造中主要采用扩散法和离子注入法。 制造中主要采用扩散法 高浓度深结掺杂采用热扩散法 浅结高精度掺杂用离子注入法 高浓度深结掺杂采用热扩散法，浅结高精度掺杂用离子注入法。 热扩散法， 离子注入法。 P (磷)、B(硼)、 As(砷)、Sb(锑) (磷 B(硼 As(砷 Sb(锑
4、费克第二定律的分析解 费克第二定律的分析解
费克简单扩散方程 2）第二种边界条件： (推进扩散) 第二种边界条件： 推进扩散) 扩散过程中初始的杂质总量 扩散过程中初始的杂质总量QJ是固定的 杂质总量Q 假设扩散长度远远大于初始杂质分布的深度 假设扩散长度远远大于初始杂质分布的深度，则初始分 扩散长度远远大于初始杂质分布的深度， 布可近似为一个δ 函数，边界条件可写为： 布可近似为一个δ 函数，边界条件可写为：
（一）费克一维扩散方程
描述扩散运动的基本方程一费克第一定律 描述扩散运动的基本方程一费克第一定律
其中，C是杂质浓度，D是扩散率(扩散系数)，J是杂质净流量 其中， 是杂质浓度， 是扩散率(扩散系数)
根据物质守恒定律 根据物质守恒定律，杂质浓度随时间的变化率与当地扩散 物质守恒定律， 流量的减小相等， 流量的减小相等，即：
（二）扩散率D 与扩散的原子模型 扩散率D
1、根据杂质在半导体材料晶格中所处的位置， 根据杂质在半导体材料晶格中所处的位置， 可将杂质分为两类 可将杂质分为两类： 两类： (1) 替位型杂质 (2) 填隙型杂质
2、杂质扩散机制
(1) 填隙扩散(Interstitial Diffusion Mechanism) 填隙扩散(Interstitial
扩散方程讲解
扩散方程研究气体的扩散，液体的渗透，半导体材料中的杂质扩散等问题所满足的微分方程。
在考虑扩散问题时，需用到相应的扩散定律和质量守恒定律扩散定律 扩散物质在单位时间内沿法线方向n 流过单位面积的曲面的质量与物质浓度(,,,)C x y z t 沿法线方向n 的方向导数C n∂∂成正比。
由扩散定律，扩散物质在时段dt 内沿法线方向n 流过面积为dS 的曲面的质量dm为：(,,)C dm D x y z dS dt n∂=-⋅⋅⋅∂ 其中(,,)D x y z 为扩散系数，出现负号是由于物质总是由浓度高的一侧向浓度低的一侧渗透。
任取一封闭曲面Γ，它所围区域记为Ω，则从时刻1t 到时刻2t 进入此闭曲面的物质质量为21{(,,)}t t C m D x y z dS dt nΓ∂=∂⎰⎰⎰ 由高斯公式(,,){()()()}C C C C D x y z dS D D D dV n x x y y z z ΓΩ∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ ， 21{{()()()}}t t C C C m D D D dV dt x x y y z z Ω∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰ 同时，物质渗透到区域Ω内，使得内部的浓度发生变化，在时间间隔11[,]t t 内，浓度由1(,,,)C x y z t 变化为2(,,,)C x y z t ，增加的物质质量为221121((,,,)(,,,))()()t t t t C C C x y z t C x y z t dV dt dV dV dt t t ΩΩΩ∂∂-==∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 由质量守恒即有2211{{()()()}}()t t t t C C C C D D D dV dt dV dt x x y y z z t ΩΩ∂∂∂∂∂∂∂++=∂∂∂∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 于是得到扩散方程()()()C C C C D D D t x x y y z z∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂ 若扩散系数(,,)D x y z 为常数，则扩散方程为222222()C C C C D t x y z∂∂∂∂=++∂∂∂∂。
热扩散方程的推导与解析
热扩散方程的推导与解析热扩散方程是描述热量传输的一种方程形式，它在物理、工程和生物领域都有着广泛的应用。
本文将针对热扩散方程进行推导和解析，探讨其数学性质和实际应用。
一、热扩散方程的背景与引入热扩散方程是由法国物理学家让·巴蒂斯特·约瑟夫·傅科在1822年提出的。
它描述了热量在物质中的传输行为，可以用来研究材料的热传导性质以及温度分布情况。
在推导热扩散方程之前，我们需要先引入一些基本的概念。
首先，热量的传输方式主要有三种：导热、对流和辐射。
本文主要关注导热传输，即物质内部的热量传导。
其次，我们需了解热量传导的基本原理，即热量从高温区域流向低温区域。
最后，我们引入了温度概念，温度是描述物质内部热平衡程度的指标。
二、热扩散方程的推导过程为了推导热扩散方程，我们需要先了解热量传导的基本原理。
根据能量守恒定律，热量的传输必须满足能量平衡的条件。
根据热量与温度之间的关系，可以得到热量传输的基本方程：Q = -kA(dT/dx)dt其中，Q表示热量、k表示热导率、A表示传热面积、dT/dx表示温度梯度，dt 表示时间间隔。
这个方程描述了热量传输的基本规律。
接下来，我们将上述方程进行推导。
假设物体的热传导过程遵循一维情况，并假设物体是均匀的。
那么，我们可以得到以下方程：Q = -kA(dT/dx)dt = mc(dT/dx)dt其中，m表示物体的质量、c表示物体的比热容。
通过整理和化简上述方程，可以得到：dT/dt = (k/(mc))d²T/dx²这个方程就是热扩散方程的一维形式。
它描述了温度随时间和位置变化的规律。
三、热扩散方程的解析对于热扩散方程的解析，需要根据具体的边界条件和初值条件进行求解。
下面我们以一维无边界条件的情况进行讨论。
假设初始时刻物体的温度分布为f(x)，那么根据热扩散方程，我们可以得到：dT/dt = αd²T/dx²其中，α=k/(mc)表示热扩散系数。
扩散方程稳态扩散与非稳态扩散
一、扩散方程稳态扩散与非稳态扩散1．稳态扩散下的菲克第一定律（一定时间，浓度不随时间变化dc/dt=0）单位时间通过垂直于扩散方向的单位截面积的扩散物质流量（扩散通量）与该面积处的浓度梯度成正比即J=－D（dc/dx）其中D：扩散系数，cm2/s，J：扩散通量，g/cm2·s ，式中负号表明扩散通量的方向与浓度梯度方向相反。
可见，只要存在浓度梯度，就会引起原子的扩散。
x轴上两单位面积1和2，间距dx，面上原子浓度为C1、C2则平面1到平面2上原子数n1=C1dx ，平面2到平面1上原子数n2=C2dx若原子平均跳动频率f, dt时间跳离平面1的原子数为n1f·dt跳离平面2的原子数为n2fdt，但沿一个方向只有1/2的几率，则单位时间两者的差值即扩散原子净流量。
令，则上式2．扩散系数的测定：其中一种方法可通过碳在γ-Fe中的扩散来测定纯Fe的空心园筒，心部通渗碳气氛，外部为脱碳气氛，在一定温度下经过一定时间后，碳原子从壁渗入，外壁渗出达到平衡，则为稳态扩散单位时单位面积中碳流量：A：圆筒总面积，r及L：园筒半径及长度，q：通过圆筒的碳量则：即：则：q可通过炉脱碳气体的增碳求得，再通过剥层法测出不同r处的碳含量，作出C-lnr曲线可求得D。
第一定律可用来处理扩散中浓度不因时间变化的问3．菲克第二定律：解决溶质浓度随时间变化的情况，即dc/dt≠0两个相距dx垂直x轴的平面组成的微体积，J1、J2为进入、流出两平面间的扩散通量，扩散中浓度变化为，则单元体积中溶质积累速率为（Fick第一定律）（Fick第一定律）（即第二个面的扩散通量为第一个面注入的溶质与在这一段距离溶质浓度变化引起的扩散通量之和）若D不随浓度变化，则故：4．Fick第二定律的解：很复杂，只给出两个较简单但常见问题的解a. 无限大物体中的扩散设：1）两根无限长A、B合?金棒，各截面浓度均匀，浓度C2>C12）两合金棒对焊，扩散方向为x方向3）合金棒无限长，棒的两端浓度不受扩散影响4）扩散系数D是与浓度无关的常数根据上述条件可写出初始条件及边界条件初始条件：t=0时, x>0则C=C1，x<0, C=C2边界条件：t≥0时, x=∞,C=C1, x=－∞, C=C2令，代入则,则菲克第二定律为即（1）令代入式（1）则有（2）若代入（2）左边化简有而积分有（3）令，式（3）为由高斯误差积分：应用初始条件t=0时x>0, c=c1,x<0, c=c2,从式（4）求得(5)则可求得(6)将（5）和（6）代入（4）有：上式即为扩散偶经过时间t扩散之后，溶质浓度沿x方向的分布公式，其中为高斯误差函数，可用表查出：根据不同条件，无限大物体中扩散有不同情况（1）B金属棒初始浓度，则（2）扩散偶焊接面处溶质浓度c0，根据x=0时，，则，若B棒初始浓度，则。
第二章扩散
本体原子
杂质原子
不需要自填隙本体原子来推动扩散过程的进行
3、Fair空位模型：
建立在空位扩散机制的基础上
1）“空位电荷"：中性空位俘获电子，使其带负电；中性空位 的邻位原子失去电子，可使空位带正电。 2）空位模型：总扩散率是所有荷电状态的空位的扩散率的加权 总和，加权系数是这些空位存在的概率。 带电空位的数量 总扩散率表达式：
■
硅中杂质的扩散率曲线(低浓度本征扩散)：
■ 中性空位的扩散率：
其中，E0a是中性空位的激活能(eV)；
D00是一个与温度无关的系数，取决于晶格结构和振动频率。(cm2/s)
■
如果必须考虑带电空位的扩散率，则扩散率就是位置的函
数，因而费克第二定律方程必须采用数值方法来求解。
4、费克第二定律的分析解
1、横向扩散：杂质在纵向扩散的同时，也进行横向的扩散
■
一般横向扩散长度是纵向扩散深度的0.75 - 0.85；
横向扩散的存在影响IC集成度，也影响PN结电容。
■
2、内建电场的影响
高温下杂质处于离化状态，杂质离子与电子(空穴)同时向低浓 度方向扩散。电子(空穴)扩散速度快，形成空间电荷层，建立 一自建电场，使离子运动形式为扩散+漂移。 有效扩散系数Deff
费克简单扩散方程 1） 第一种边界条件：(预淀积扩散) 在任何大于零的时刻，表面的杂质浓度固定
此时扩散方程的解为： 被称为特征扩散长度(pm)； Cs是固定的表面杂质浓度(/cm3) 预淀积扩散又被称为恒定表面源(浓度)扩散；在实际工艺中， Cs的值一般都是杂质在硅中的高浓度，与温度有关。
2、杂质扩散机制
(3) 空位扩散(vacancy-assisted Diffusion Mechanism)
扩散理论
其中D：扩散系数，cm2/s；J：扩散通量，g/cm2·s ；dC/dx 为沿x方向的浓度梯度。负号表示扩散由高浓度向低浓度方向进 行，扩散的结果导致浓度梯度的减小，使成份趋于均匀。
扩散第一定律不仅 适合于固体，也适合 于液体和气体中原子 的扩散。
扩散第一定律可用 来处理扩散中浓度不 因时间变化的问题， 如有些气体在金属中 的扩散。
t＝0时：x 0,C C2 ; x 0,C C1
t≥0时： x ,C C2 ; x ,C C1
C C1 C2 2
C1
C2 2
erf
2
x Dt
erf（z）为误差函数，它的值通过查误差函数表可得。其中：
z x 2 Dt
高斯误差函数：
erf (z)
2
z e y2 dy
0
误差函数有如下的性质：erf(0) = 0，erf(∞) = 1，erf(-x) = erf(x)。
此时，扩散方程的初始条件和边界条件应为：
t = 0时：x > 0，C = C0 t≥0时： x = 0，C = Cs ；x =∞，C = C0
c(x,t) cs
(cs
c0
)erf
2
x Dt
式中C(x，t)为渗碳时间为t时距表面x处的浓度。
实际应用时：
cs c(x,t) erf x
cs c0
互扩散：原子通过进入对方元素晶体点阵而导致的扩 散。（有浓度变化）
2.根据扩散方向： 下坡扩散（顺扩散）：原子由高浓度处向低浓度处进行的扩 散。 上坡扩散（逆扩散）：原子由低浓度处向高浓度处进行的扩 散。
固态扩散的条件： 温度足够高；时间足够长；扩散原子能固溶；具有驱动力：
扩散第二定律
扩散第二定律扩散第二定律是描述质点扩散过程中的扩散速率的物理定律，也被称为菲克定律。
它描述了在稳态条件下，质点由高浓度区域向低浓度区域扩散的速率是由浓度梯度决定的。
扩散是指由高浓度区域向低浓度区域自发地传播的现象。
当浓度不均匀存在时，质点会受到无规则的碰撞，从而发生随机运动。
扩散过程中，质点会由高浓度区域向低浓度区域移动，直到达到浓度均匀分布的稳态。
具体地，扩散第二定律可以用以下方程来表示：∂C/∂t = D * ∇²C其中，∂C/∂t表示浓度变化的时间导数，C表示浓度分布函数，D表示扩散系数，∇²表示拉普拉斯算子。
扩散第二定律描述了浓度分布随时间的变化规律。
扩散第二定律可以通过下面的推导得到：考虑一个一维的情况，即扩散发生在一个长度为L的导体中。
假设浓度梯度在x方向上为Grad(C)，并假设扩散系数D是常数。
根据物质守恒定律，单位时间内从x处流出的物质量等于单位时间内通过x处横截面的物质量减去单位时间内通过x+Δx处横截面的物质量：J(x)ΔS - J(x+Δx)ΔS = - ∂C/∂t ΔV其中，J(x)表示单位面积横截面通过x处的物质流，ΔS表示横截面面积，ΔV表示长度为Δx的小段体积。
将上式展开并忽略二阶项，可以得到：-J(x)ΔS + [Δx∂(J(x)ΔS)/∂x] = - ∂C/∂t ΔV将J(x) = -D∂C/∂x代入上式，并取极限∆x趋近于0，可以得到：∂C/∂t = D∂²C/∂x²这就是一维情况下的扩散第二定律。
类似地，可以推导出二维和三维情况下的扩散第二定律：∂C/∂t = D(∂²C/∂x² + ∂²C/∂y²)∂C/∂t = D(∂²C/∂x² +∂²C/∂y² + ∂²C/∂z²)扩散系数D是一个与物质性质相关的常数。
它表示单位浓度梯度下的物质传递率。
环境流体力学第二章分子扩散..
M x F( , )0 c Dt Dt
M x c( x, t ) f( ) 4 Dt 4 Dt
c ( x, t ) x =f ( ) M 4 Dt 4 Dt
式中:f为待定函数，在上式中写上4π和4，目的是使最终的 解较为简明; M是全部污染物的质量，量纲是[M]
确定待定函数f
第五节 一维扩散方程的基本解
Q ( x, t ) [Q ( x, t ) Q ( x, t ) c( x, t ) x ] x x t
Q c 0 x t
Fick定律：
Q D c x
c 2c D 2 t x
二阶线性抛物 型偏微分方程
如将Q(x,t)作为热通量（即热流密度），c(x,t)作为热浓度（即温度），以 热扩散系数a（或导温系数）代替分子扩散系数D,变为热传导傅里叶方程。 分子扩散与热传导是数学形式相同的两个过程。
进一步令 (h ) df ，有 2h f:
dh
d 0 dh
df dh f 2h ln f ln h
1 2
df 2h f k1 即θ =常数k1,因此有： 。 dh
ln A
以f的边界条件代入上式得k1=0，故上式变为:
2 df h 2h f 0 它的通解为： f k0e dh
令染液投入点为坐标原点
0
x
第五节 一维扩散方程的基本解
1.定解条件 一维分子扩散方程：
c 2c D t x 2
瞬时点源或称瞬时无限平面源在无界空间的定解条件下的 解析解。定解条件在数学上表达为： （1）初始条件： c(x,0)=M(x)
( x)
x 0 0 x 0
2
表示浓度分布对于平均浓度值的离散程度，2值愈大， 分布曲线愈平坦。
扩散方程稳态扩散与非稳态扩散
一、扩散方程稳态扩散与非稳态扩散1．稳态扩散下的菲克第一定律（一定时间，浓度不随时间变化dc/dt=0）单位时间通过垂直于扩散方向的单位截面积的扩散物质流量（扩散通量）与该面积处的浓度梯度成正比即J=－D（dc/dx）其中D：扩散系数，cm2/s，J：扩散通量，g/cm2·s ，式中负号表明扩散通量的方向与浓度梯度方向相反。
可见，只要存在浓度梯度，就会引起原子的扩散。
x轴上两单位面积1和2，间距dx，面上原子浓度为C1、C2则平面1到平面2上原子数n1=C1dx ，平面2到平面1上原子数n2=C2dx若原子平均跳动频率f, dt时间跳离平面1的原子数为n1f·dt跳离平面2的原子数为n2fdt，但沿一个方向只有1/2的几率，则单位时间两者的差值即扩散原子净流量。
令，则上式2．扩散系数的测定：其中一种方法可通过碳在γ-Fe中的扩散来测定纯Fe的空心园筒，心部通渗碳气氛，外部为脱碳气氛，在一定温度下经过一定时间后，碳原子从壁渗入，外壁渗出达到平衡，则为稳态扩散单位时单位面积中碳流量：A：圆筒总面积，r及L：园筒半径及长度，q：通过圆筒的碳量则：即：则：q可通过炉脱碳气体的增碳求得，再通过剥层法测出不同r处的碳含量，作出C-lnr曲线可求得D。
第一定律可用来处理扩散中浓度不因时间变化的问3．菲克第二定律：解决溶质浓度随时间变化的情况，即dc/dt≠0两个相距dx垂直x轴的平面组成的微体积，J1、J2为进入、流出两平面间的扩散通量，扩散中浓度变化为，则单元体积中溶质积累速率为（Fick第一定律）（Fick第一定律）（即第二个面的扩散通量为第一个面注入的溶质与在这一段距离溶质浓度变化引起的扩散通量之和）若D不随浓度变化，则故：4．Fick第二定律的解：很复杂，只给出两个较简单但常见问题的解a. 无限大物体中的扩散设：1）两根无限长A、B合?金棒，各截面浓度均匀，浓度C2>C12）两合金棒对焊，扩散方向为x方向3）合金棒无限长，棒的两端浓度不受扩散影响4）扩散系数D是与浓度无关的常数根据上述条件可写出初始条件及边界条件初始条件：t=0时, x>0则C=C1，x<0, C=C2边界条件：t≥0时, x=∞,C=C1, x=－∞, C=C2令，代入则,则菲克第二定律为即（1）令代入式（1）则有（2）若代入（2）左边化简有而积分有（3）令，式（3）为由高斯误差积分：应用初始条件t=0时x>0, c=c1,x<0, c=c2,从式（4）求得(5)则可求得(6)将（5）和（6）代入（4）有：上式即为扩散偶经过时间t扩散之后，溶质浓度沿x方向的分布公式，其中为高斯误差函数，可用表查出：根据不同条件，无限大物体中扩散有不同情况（1）B金属棒初始浓度，则（2）扩散偶焊接面处溶质浓度c0，根据x=0时，，则，若B棒初始浓度，则。
固体扩散机制及扩散动力学方程
求解过程
是两根成分均匀的等截面金属棒， 设A，B是两根成分均匀的等截面金属棒，长度符合上 ， 是两根成分均匀的等截面金属棒 述无穷长的要求。 的成分是 的成分是C 的成分是C 述无穷长的要求。A的成分是 2，B的成分是 1。将两根 的成分是 金属棒加压焊上，形成扩散偶。取焊接面为坐标原点， 金属棒加压焊上，形成扩散偶。取焊接面为坐标原点， 扩散方向沿X方向，扩散偶成分随时间的变化如图5所示， 所示， 扩散方向沿 方向，扩散偶成分随时间的变化如图 所示 方向 求解菲克第二定律。 求解菲克第二定律。
1）稳定扩散 稳定扩散是指在垂直扩散方向的任一平面上，单位时间内 通过该平面单位面积的粒子数一定，即任一点的浓度不随 时间而变化， J=const。
∂C = 0 ∂t
2）不稳定扩散 不稳定扩散是指扩散物质在扩散介质中浓度随时间发生变 化。扩散通量与位置有关。
二、 菲克第一定律
1858年，菲克（Fick）参照了傅里叶（Fourier）于 1822年建立的导热方程，获得了描述物质从高浓度区 向低浓度区迁移的定量公式。 假设有一单相固溶体， 横截面积为A，浓度C不均匀，在dt时间内，沿方向通 过处截面所迁移的物质的量与处的浓度梯度成正比：
（一） 一维稳态扩散 作为一个应用的实例，我们来讨论气体通过金 属膜的渗透过程。设金属膜两侧气压不变，是一个 稳定扩散过程。根据积分得：
x = δ c = s
x = 0
∫
J =
x
dx D
= s
2
− −
c = s
∫
1
Ddc
2
J
s
x
δ
1
氢对金属膜的一维稳态扩散
因为气体在金属膜中的溶解度与气体压力 有关，令S=kP，而且通常在金属膜两测的 气体压力容易测出。因此上述扩散过程可 方便地用通过金属膜的气体量F表示：
扩散模型详解
扩散模型详解扩散模型是一种描述物质在空气或水中传播的数学模型。
它可以用于研究许多现实生活中的问题，例如空气污染、水污染、疾病传播等等。
二、扩散模型的基本原理扩散模型的基本原理是描述物质在空气或水中的传播过程，即物质从高浓度区域向低浓度区域扩散的过程。
扩散模型通常包括三个主要组成部分：扩散方程、初始条件和边界条件。
三、扩散方程扩散方程是扩散模型的核心。
它描述了物质浓度随时间和空间的变化规律。
扩散方程通常采用偏微分方程来表示，其中涉及到时间、空间和浓度等参数。
扩散方程可以用于不同的物质传播情况，如二维扩散、三维扩散等。
四、初始条件初始条件是指在初始时间点，物质在空间中的浓度分布情况。
通常情况下，初始条件是一个简单的函数形式，例如高斯分布函数或正弦函数等。
五、边界条件边界条件是指在模型边界上，物质浓度的变化情况。
根据实际情况，边界条件可以设置为不同的形式。
例如，可以设置边界为完全反射型、部分反射型或者零浓度型。
六、应用扩散模型广泛应用于许多领域，例如环境污染、气象预测、电子设备散热等。
在环境污染方面，扩散模型可以用于预测空气中有害物质的浓度分布情况，有助于制定相应的治理计划。
在气象预测方面，扩散模型可以用于预测雾、霾等天气现象的变化情况。
在电子设备散热方面，扩散模型可以用于计算电子设备中热量的传导和散热情况，有助于优化设备结构和散热设计。
七、总结扩散模型是一种重要的数学模型，可以用于描述物质在空气或水中的传播过程。
扩散模型包括扩散方程、初始条件和边界条件。
扩散模型在环境污染、气象预测、电子设备散热等领域有广泛的应用。
金属物理之扩散
2.1
概述
一、扩散的定义
◆ 扩散就是物质中原子或分子的迁移现象，是物质传输的一种方式。 实践经验告诉我们，除了一些特殊情况外，一个成分不均匀的单 相体系会趋于变成成分均匀的体系。这一均匀化的过程就是原子或分 子扩散的过程。其实质是原子无规则布朗运动。 人们对气体和液体中的扩散现象并不陌生，如气味飘散，向静水 中滴加墨水等，虽然扩散现象在固态物质中不易察觉，但确实存在。 金属晶体中的扩散是指原子在晶体中的迁移过程，它与缺陷运动 密切相关。与液体或气体一样，金属中扩散的本质也是在热激活缺陷 的不断产生和复合过程中，原子不断由一处向另一处作无规则运动。 许多材料加工过程就是利用扩散来实现工艺目的的，比如铸件的 均匀化退火、金属扩散焊连接、金属表面渗碳、粉末合金烧结、高温 蠕变、金属凝固、相变等，都与扩散有密切联系。
一、稳态扩散
所谓稳态扩散，就是扩散的浓度场各处的浓度保持不变时，即浓 度场不随时间而变。
稳态扩散通常是在恒边界条件，即在边界浓度保持不变的情况下， 有限尺寸的试样经历比较长的时间扩散后达到的一种平衡状态。
当D为常数时：
c 0 2c 0 t
A和B是常数，根据边 界条件来确定
1、 一维扩散
如果在扩散系统内存在物质的 源和阱，那么系统内就有物质 的产生和湮灭。根据物质守恒 原理，在一个体积元内△v 内， 单位时间内流入这体积的物质 与流出这体积的物质的差值就 等于个体积单元在这一时间段 的物质积聚或消失的速度。 单位时间内的物质变化量：
J x,y,z J x i J y j J z k
2、按扩散方向与浓度梯度的方向的关系分为
① 下坡扩散 下坡扩散是沿着浓度降低的方向扩散，使浓度趋于均 匀化（如渗碳）。 ② 上坡扩散 沿着浓度提高的方向扩散即为上坡扩散，使浓度发生 两极分化 。上坡扩散的驱动力也可以是弹性应力梯度、电位梯度或温 度梯度。
材料科学基础第一节扩散现象与扩散方程
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1.在化学热处理中的应用 （1）微机控制扩散过程
（2）扩散速度问题快速深层渗氮技 术的应用 （3）提高表面化学热处理效果在相 变点A1或A3时循环加热,材料表面处 于活化状态，具有极大扩散能力,显 著提高化学热处理的渗入效果。
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c c D t x x
扩散第二定律
c c D 2 t x
2
2
D — 常数
2 2
c D c 2 2 2 t x y z
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四、扩散方程的应用 误差函数解 1.无限长棒的扩散第二方程解
钢铁的渗碳即可作为半无限长棒处理，对于初始含 量碳为C2的工件，置于温度为T的渗碳气氛中，在 扩散过程中初始保持工件表面的碳浓度为C1,且C1> C2，则距表面x处的碳浓度即可用上述解。
3.在渗碳问题中，常规定碳浓度作为渗碳层的界限， 令此给定值为C0，距表面为x处，则：
x C C1 (C1 C 2)erf 2 Dt x0 C 0 C1 (C1 C 2)erf 2 Dt
一、固相的相界面 1、共格晶面：新相与母相在界面上原子 匹配很好，最理想的情况是两相的晶体结 构相同，晶格常数也相等，两者能实现完 全的共格，界面能也最小（图7-16a）。如 fcc与hcp的共格晶面如图7-17。 2、半共格界面（图7-16b）。 3、非共格界面（图7-16c）。 后退 下页
C2 x C 1 erf 2 2 Dt
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若只在a相中发生扩散，可得简单的长大速度公式
a Vmb dl b Da dxB b a a dt xB xB dy Vm
xB 与xa B 可由相图确定
b
相界长大速度
浓度梯度
2.1.1 菲克第一定律及其应用 ②两相层厚度与扩散物质有关
B B B B
例8.4 B组元通过A-B合金墙所进行
的扩散便属于这种情况
一段时间后，C原子扩 散达到稳定，C / t 0 若圆柱体长度为l, C 原子经过半径为r,由 内向外扩散通量为：
纯铁制成的空心圆柱置于恒温炉中
dm 1 J dt 2rl
由菲克第一定律得：
dm C2 C1 2lD dt ln r2 / r1
或
dm dr 2lDdC dt r
材料动力学 与相变原理
材料学院 刘兴军 教授
2013 年3月
第二章
扩散动力学
动力学
本课程的参考教材
徐 瑞 荆天辅 《材料热力学与动力学》 哈尔滨工业大学出版社
孙振岩，刘春明 编著 《合金中的扩散与相变》 东北大学出版社，2002
1. 扩散动力学主要内容
（1） 扩散动力学
（2） 相变动力学
热力学与动力学
ai 代入 J H
a D D （约大于100) 同一温度下， H H a1 a2 a1 a2 J H =D l fH l fH D
组合因子
扩散的阻力
扩散物质的扩散流量主要取决于组合因子具有最大值的那个相，该相 对扩散具有最大的阻力。这种情况与一栋房子墙壁进行的热传导极为 相似，房子通过墙所损失的热量就主要取决于最好的绝热层。
扩散过程中通过与周围环境进行有效的物质交换，使物体长度两端 X1 与 X2处的浓度C1和C2保持不变。这样就建立起一种沿物体长度上每一点浓度 都保持不变的稳态扩散。由于在此种扩散条件下扩散通量为常数，因此可 以通过对菲克 (Fick) 扩散第一定律积分求得扩散物质的流量。 m为扩散组元通过截面A的量
热力学研究的问题是过程的可能性，即预言在给定条 件下某一过程的方向和限度； 动力学研究的是过程的现实性，即动力学是解决一个 过程是如何进行的问题。 热力学上可能的过程：通过动力学的研究来解决反应 速度问题； 热力学上不可能的过程：没有动力学研究价值
热力学研究的目标：提高过程的驱动力；
动力学研究的目标：如何降低过程的阻力；
溶体中的扩散 扩散:
大量原子的热运动引起的物质的宏观迁移
水 加入染料 部分混合 时间 完全混合
溶体中的扩散
碳的扩散方向
Fe-C合金
非均匀的单相合金试样
高碳含量区域 低碳含量区域 T=25时，C的浓度分布
扩散驱动力
浓度梯度（化学势梯度）
应力场梯度
电场梯度
分子，原子或离子等的定向，宏观迁移
体系自由能降低
2 多维系统中的扩散
在实际的生产应用中，我们需要解决的不仅仅是一维系统中的 稳态扩散，更多的是多维系统的情况，那么在多维系统中稳态 扩散是个什么样的形式呢？
多维 系统 中的 稳态 扩散
一般较为复杂 空心圆柱体
两种简单的情况
空心球体
2.1.1 菲克第一定律及其应用 2 多维系统中的扩散（空心圆柱体情况）
在稳态扩散建立起来之后，活度
分布如图所示
a
由稳态扩散条件
Ja J H H
aa
2.1.1 菲克第一定律及其应用 ①双相层厚度与扩散物质无关
氢在a、 两相区中的扩散
由稳态扩散条件
a JH Da
JH JH
a1 Da ai a a a l fH fH
dl dla dl b
相界平衡浓度为
a b
Ca / b
a b
并令a及b相的摩尔体积相等
Vm Vm
2.1.1 菲克第一定律及其应用
扩散型相变中新相相界移动长大速度 新相相界的迁移速度受原子扩散控制
如截面面积为S，β相增加的体积为 Sdl 。B原子在 b 新相内增量 Sdl b / Vm mol，在该体积相变前后原 子总数相等，但B元素的摩尔分数却由 xa 变为 x b
扩散过程中各点浓度随时间而变化
2.1.1 菲克第一定律及其应用
单位时间内通过垂直于扩散方向的单位面积截面的扩散物质 量，即所谓的扩散通量J，与扩散物质的浓度梯度成正比。
体系各向同性 扩散沿 x 方向 三维表达式
C J D x
其中，负号表示扩散方向与浓度 梯度增长方向相反; J 为扩散物质 通量，D为扩散率或称扩散系数
a
aa a
Ca a C1 la
JH D
C2 C a l
ai D a l fH fH
C1 C2 分别为H在两相中的浓度;
aa a
fa f
分别为H在两相中的活度; 分别为H在两相中的活度系数;
2.1.1 菲克第一定律及其应用
a a 1 dmB Da dxB a , S dt Vm dy b b 1 dmB D b dxB b S dt Vm dy
a b 当 Vm Vm
b b a dl b b dxB a dxB Vm D D a dy dy Vm dt b a x x B B
在墙的一侧，B的活度保持极低的数 值，在墙的另一侧与纯B的气相保持 平衡。现假定整个墙的厚度为l， 则 ， 与 分别为 a l la lb la lb 相与 b 相厚度。在实际问题中，通 常给出墙中A的总量，其墙的厚度便 决定于B组元溶解的多少。
两相层的厚度
a相的厚度为 相的厚度为
la
l
aa
a
设扩散物质为氢 (H)，由 于它在a相与相中具有一 定的溶解度
aa fa C1
a f C2
浓度分布
活度分布
2.1.1 菲克第一定律及其应用 ①两相层厚度与扩散物质无关
设 aa 是 a 相层外面维持的活度;
a ai
是 相层外面维持的活度; 是 a/ 相界面上的活度;
C C C J D j i k D C y z x C C C J Dx j Dz i Dy k x y z
适用范围：稳态扩散 (
C 0) t
体系各向异性
2.1.1 菲克第一定律及其应用 稳态扩散：经过一定时间后，扩散组元B离开某
若D为常数有：
dm C2 C1 4r1r2 D dt r2 r1
将球壳厚度l=r1-r2代入上面的 式子可得：
dm C2 C1 4r1r2 D dt l
2.1.1 菲克第一定律及其应用 两相系统中的稳态扩散
对于多相系统来说，用计算的方法来描述扩散是很困难的，所 以我们仅讨论两相系统中的一维扩散。
扩散物质的流量
dm x2 x1 DA C2 C1 dt
C2 C1 C2 C1 dm DA DA dt l x2 x1
l ：x1与x2两点间距离
C2 C1 C2 C1 dm 2.1.1 菲克第一定律及其应用 DA DA dt x2 x1 l 例 8.1 推导欧姆定律
B B
b
相变后B元素增量
Sdl b b a dmB b xB xB Vm
a b
Ca/b
dlb b相
长大方向
增量由扩散引起 dmB dmB dmB
a dmB
a相中B原子扩散到a/b相界数量
b dmB
b相中B原子通过扩散离开a/b相界数量
a
b
2.1.1 菲克第一定律及其应用
菲克第一定律
一维稳态扩散
JH JH
a
a
1 dm dC JH D A dt dx
a ai a1 D D a i a a a l fH fH l fH fH
a a1l f H a2l a f Ha l f H l a f H ai a a D D D D
2.1.1 菲克第一定律及其应用 2 多维系统中的扩散（空心圆柱体情况）
考虑到r=r1时,C=C1;r=r2时,C=C2将上式积分得：
dm r2 ln 2lDC2 C1 dt r1
或
dm C2 C1 2lD dt ln r2 / r1
dm 1 J dt 4r 2
2.1.1 菲克第一定律及其应用
化简上式
a a1l f H a2l a f Ha l f H l a f H ai a a D D D D a1 a2 1 dm JH l f H l a f Ha A dt a D D
一体积
单元的速率等于进入该体积单元的速率。 J为一恒定值。
近似稳态扩散条件下
可以用菲克第一定律作定量或半定量的解析 1. 估算扩散型相变传质过程中扩散组元 的扩散通量
2. 估算由扩散控制的相界移动速度
2.1.1 菲克第一定律及其应用
单相系统中的稳态扩散 1 一维稳态扩散
C1 x1 x
2
C2
A
设想一种最简单的扩散：物质沿一个方向扩散且浓度不变，那 么此时的扩散方程是怎样的呢？
原子无规则运动与 宏观物质流的关系
由德国生理学家菲克（1829-1901） 于1855年提出。
2.1 扩散基本定律
菲克第一定律 (Fick’s first law) 稳态扩散
C ( 0) t
扩散过程中各点浓度不随时间改变 菲克第二定律 (Fick’s second law) 非稳态扩散