高二数学 等差数列的定义及性质
高二数学等差数列及其性质
(Ⅰ) 求Sp+q的值 (Ⅱ) 当n 为何值时，S n有最大值？ 例4 等差数列{an}中，a3=12 , S12>0 ,S13<0 ①求公差d 的取值范围 ②求S1, S2 , S3 ，··· ，S n中哪个值最大,说明理由
五.课堂小结
（1）数列一种特殊的函数。数列的通项公式和前n 项和的 公式都可以看成是关于正整数n的函数。许多数列问题可以 用函数和方程的思想加以解决。 （2）用数形结合的思想研究函数，就是借助函数的图象 进行直观分析，从而更有效地解决函数问题。“数形结合 千般好，形数分离万事休”。（华罗庚）
六 布置作业
三.等差数列的几何性质
性质1 ：等差数列{an}各项对应的点（n, an ）都在同一条 直线上，该直线的斜率就是数列的公差。
an dn (a1 d )
an
an
an
………
o
n
o
n
o
n
d=0
d<0
d>0
性质2 ：等差数列{an} 的前n 都在同一抛物线，且当d >0
项和S
时，S n
n 对应的点（n ,Sn ）
高中数学
3.2.3等差数列及其性质(3)
杭州实验外国语学校
一.复习回顾
1 等差数列的概念
（1）定义 ： （2）通项公式： （3）前n 项和公式：
an1 an d (常数）
an a1 (n 1)d
Sn
n(a1 2
an )
高二数学第一讲等差数列
高二数学第一讲等差数列数学讲义一、知识梳理1、等差数列的定义：数列{an}满足：anan1d(n≥2,nN某)（d是与n 的取值的常数）；2、等差数列的通项公式：（1）ana1d；（2）anamd(n,mN)；3、等差中项：三个数a,A,b组成等差数列，A叫做a,b的等差中项，且A=；4、等差数列前n项和的公式：Sn＝；5、等差数列{an}的常用性质：（1）数列{an}是等差数列，则数列{anp}、{pan}（p是常数）都是等差数列；（2）在等差数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即an,ank,an2k,an3k为等差数列，公差为kd（3）若mnpq，则特别地当pq2m时，（4）Sn,S2nSn,S3nS2n仍是等差数列，其公差为（5）两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，则等差数列anS2n1．bnT2n1二、典例研习类型一、等差数列的判断与证明例1、已知Sn为等差数列{an}的前n项和，bnSn(nN)，求证：数列{bn}是等差数列n-1-变式1、已知数列{an}中，a11，an1an(nN某)2an11（1）求证数列为等差数列；an（2）求数列{an}的通项公式方法点拨：等差数列的判定方法：①定义法：即证明an1and（d是常数，nN某）。
②中项公式法：即证明2an1anan2(nN某)。
类型二、等差数列的基本运算例2、已知等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a97,S20155，求：a11及S10变式2、（1）已知{an}为等差数列，且a72a41，a30，则公差d（）11B．C．D．2221（2）若数列{an}为等差数列，公差为，且S100145，则a2a4a100的值为（）2A．2A．60B．85C．1452D．其它值项重要的量，是解题的关键。
②等差数列{an}中，当项数为2n(nN)时，有SaS偶S奇nd,偶n1；S奇an-2-类型三、等差数列性质的运用例3、若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，求这个数列的项数n。
高二数学等差数列及其性质
4.在等差数列{an }中, (1)若a3 a4 a5 a6 a7 450, 则a2 a8 ___; (2)已知am n A, amn B, 则am ___; (3)已知a2 a3 a4 a5 34, a2 a5 52, 求公差d ; (4)若a1 a3 a5 12, a1a3a5 80, 求通项公式an .
1.若{an }为等差数列, 求 : (1)a p q, aq p, 且p q, 求a p q ; (2)a1 12, a6 27, 求an ; (3)已知a3 12, a6 27, 求a12 .
2.(1)若{an },{bn }成等差数列, 且a1 34, b1 66, a98 85, b98 15, 则a2004 b2004 ______ . (2)已知等差数列a1 , a2 , a3 , an的公差为d , 则ca1 , ca2 , ca3 , , can (c为常数)是( A公差为d的等差数列 C不是等差数列 ) B公差为cd的等差数列 D以上说法都不对
2n 1 2an an 2n 1 2bn bn
4、其他的题型：
1 1.在数列{an }中,已知a3 2, a7 1, 且{ }成等差数列, 1 an 则a11 _____; 4 1 2.已知数列{an }中, a1 4, an 4 (n 2)令bn , an 1 an 2 求证 :{bn }为等差数列; 并求{an }的通项公式.
(3)已知等差数列{an }的前3项分别为a 1, a 1, 2a 3, 则 此数列的通项公式是 _________ .
3.在等差数列{an }中, (1)若a3 50, a5 30, 则a7 ______; (2)若a1 a4 a7 39, a2 a5 a8 33, 则 a3 a6 a9 ______ (3)若a15 8, a60 20, 则a75 _____;
高二数学必修五--数列知识点总结及解题技巧(含答案)---强烈-推荐
数学数列部分知识点梳理一数列的概念1）数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++= 21； ⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n2）数列的分类：①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 ---④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >. 一、等差数列 1）通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差。
前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=. 2）等差中项：b a A +=2。
3）等差数列的判定方法：⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列；⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列.4）等差数列的性质：⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd .⑶d m n a a m n )(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a )⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a +=+；⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列； ⑹当项数为)(2+∈N n n ，则nn a aS S nd S S 1,+==-奇偶奇偶；当项数为)(12+∈-N n n ，则nn S S a S S n 1,-==-奇偶偶奇. (7)设是等差数列，则（是常数）是公差为的等差数列；(8)设，，，则有；(9)是等差数列的前项和，则；(10)其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为，则①．为等差数列，公差为；②．（即）为等差数列，公差；③．（即）为等差数列，公差为.二、等比数列 1）通项公式：11-=n n q a a ，1a 为首项，q 为公比 。
等差数列的概念(第二课时)等差数列的性质 课件 高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
思考：若数列 是等差数列，首项为 ，公差为 ，在 中每相邻两项之间都插入4个数，若要使之构成一个新的等差数列，你能求出它的公差吗？
解:
解1:
解2:
探究2 等差数列的综合问题
问题1：对于三个数成等差数列，某班同学给出了以下三种设法：
（1）设这三个数分别为 ， ， .
（2）设该数列的首项为 ,公差为 ,则这三个数分别为 , , .
（3）设该数列的中间项为 ,公差为 ,则这三个数分别为 , , .那么，哪种方法在计算中可能更便捷一些？
若下标成等差数列，则对应的项成等差数列.
新知运用
例1 （1）已知等差数列 ， ， ，求 的值；
（2）已知等差数列 ， ，求 的值；
（3）已知数列 ， 都是等差数列，且 ， ， ，求 的值．
[解析] （1）（法一）设 的公差为 ，则 解得 故 . （法二）因为 ，所以在等差数列 中有 ，从而 . （法三）因为5, , 成等差数列，所以 ， ， 也成等差数列，因此 ，即 ，解得 .
2A=a+b
第四章 数列
4.2 等差数列
课时2 等差数列的性质及其应用
学习目标
1.能用等差数列的定义推导等差数列的性质.2.能用等差数列的性质解决一些相关问题.3.能用等差数列的知识解决一些简单的应用问题.
探究：观察等差数列: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,……说出8是哪两项的等差中项？并找到它们满足的规律？
方法总结 等差数列项的常见设法：（1）通项法.（2）对称项设法.对称项设法的优点是：若有 个数构成等差数列，利用对称项设法设出这个数列，则其各项和为 .
高二选修一数学知识点归纳
高二选修一数学知识点归纳高二数学是学习的关键阶段，全面，系统地学习基础数学知识，为高考打下坚实的基础。
本文将对高二选修一数学知识点进行归纳，帮助同学们更好地掌握和记忆。
一、数列和数列的性质1. 等差数列：定义、通项公式和求和公式2. 等比数列：定义、通项公式和求和公式3. 递推数列：递推公式、通项公式和求和公式4. 数列的性质：首项、公差、项数、前n项和5. 数列的应用：在等差数列和等比数列中的应用问题二、三角函数及其应用1. 单位圆与三角函数2. 常用三角函数：正弦函数、余弦函数、正切函数及其性质3. 三角函数的基本关系4. 三角恒等式：同角三角比的关系、余角、和差化积等恒等式5. 三角方程的解法6. 三角函数在问题中的应用：三角函数的模型、角度的变化规律三、平面几何基础1. 平面几何中的基本概念：点、直线、线段、角度等2. 平面几何中的基本性质：角的性质、线段的性质、平行线与垂直线的性质3. 相似三角形的性质：相似三角形的判定条件、相似三角形的性质、应用题4. 平面向量的基本概念：向量的定义、向量的运算法则5. 利用平面向量解决平面几何问题：向量的共线性、平行性、垂直性、角平分线等四、概率与统计1. 随机事件与概率：基本概念、事件之间的关系、事件的运算2. 条件概率与独立事件：条件概率的定义与计算、互斥事件与独立事件的判定3. 排列与组合：排列的概念、计算排列数的方法、组合的概念与计算4. 概率的应用：加法定理、乘法定理、全概率公式、贝叶斯定理等5. 统计学基础：数据的整理与处理、频数分布表与频率分布直方图、平均数、中位数、众数等统计指标五、解析几何1. 平面直角坐标系与向量：平面直角坐标系的建立、向量的坐标表示、向量的数量积与线性运算2. 直线的方程：点斜式、斜截式、一般式、两直线的位置关系及其判定3. 圆的方程与性质：标准方程、一般方程、与直线的位置关系4. 曲线的方程：椭圆、双曲线、抛物线的方程及性质六、函数与导数1. 函数的概念与性质：函数的定义、函数的图像与性质、函数的分类与比较2. 初等函数与复合函数：基本初等函数、复合函数的性质与求导法则3. 导数与导数的应用：导数的定义与计算、函数的单调性与极值、函数的图像与特征以上是高二选修一数学知识的归纳总结。
等差数列的概念(第二课时)-2021-2022学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
相邻两项之间都插入3个数, 使它们和原数列的数一起构成
一个新的等差数列bn. (1)求数列bn的通项公式. bn 2n
(2)b29是不是数列an的项?若是,它是an的第几项?
若不是, 说明理由.
另解: 数列an的各项依次是数列
解:（2）由(1)知,b29 2 29 58, bn的第1,5,9,13， 项,
4.2.1 等差数列的概念
第二课时
上节课知识要点回顾
1.等差数列定义： 1，3，5，7，9 … 公差是2
如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的 差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列。这 个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。 递推公式：an－an－1=d（d是常数，n≥2，n∈N+） 2.等差中项： 注：（1）同一个常数，是由后项减前项；
请看课本P15：练习
4.已知在等差数列an中,a4 a8 20,a7 12.求a4.
a1 0, d 2, a4 6
5.在7和21中插入3个数, 使这5个数成等差数列.
a2 10.5, a3 14, a4 17.5
例3：某公司购置了一台价值为220万元的设备,随着设备在
使用过程中老化, 其价值会逐年减少, 经验表明, 每经过一年其 价值就会减少d (d为正常数)万元.已知这台设备的使用年限为
4.等差数列的性质：
（1）在等差数列an中，
① 若p q s t, 则a p aq as at ② 若m n 2k, 则am an 2ak
③ an1 an1 2an ④ ank ank 2an
学以致用：
1.在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a3＝32，a11＋a12＋
（2）等差数列的单调性： 9，7，5，3，1… 公差是－2 当d>0时，该等差数列是递增数列； 当d<0时，该等差数列是递减数列； 当d=0时，等差数列是常数列。2，2，2，2… d=0
高二数学等差数列知识点及典例
高二数学等差数列知识点及典例在高二数学学习中，等差数列是一个重要的数学概念。
它在应用数学和实际生活中都有广泛的应用。
本文将介绍等差数列的基本概念、性质及一些典型的例题。
一、等差数列的定义及性质等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之差都是一个常数，该常数被称为公差。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，则它的通项公式为an = a₁ + (n-1)d。
其中，n代表数列的第n项。
等差数列有几个重要的性质：1. 公差d的值决定了数列的增长趋势。
如果d> 0，则数列的项逐渐增大；如果d <0，则数列的项逐渐减小。
2. 数列的第n项可以通过通项公式计算得出，也可以通过前一项加上公差得到。
即an = an₋₁ + d。
3. 对于等差数列中的任意三项，其中间一项的值等于前一项与后一项之和的一半。
即an₋₁ + an₊₁ = 2an。
4. 对于等差数列中的任意两项，它们的平均值等于数列的中间项。
即(an + am)/2 = ak。
其中k为中间项的位置，k = (m + n)/2。
以上性质在等差数列的推导与证明中经常被使用。
二、等差数列的典型例题1. 例题一：已知等差数列的首项为2，公差为3，求该数列的前五项。
解：根据等差数列的通项公式an = a₁ + (n-1)d，代入已知条件，可以得到该数列的前五项为2，5，8，11，14。
2. 例题二：已知等差数列的首项为-1，公差为4，求该数列的第n项为25。
解：根据等差数列的通项公式an = a₁ + (n-1)d，代入已知条件，可以得到-1 + 4(n-1) = 25。
化简方程，解得n = 7。
通过以上两个例题，我们可以看到等差数列的运用和计算方法。
三、等差数列的应用等差数列在实际生活和应用数学中有广泛的应用。
1. 利用等差数列的性质，我们可以计算某个数列中的特定项。
例如，在实际工作中，我们经常需要计算各种指标的增长情况，往往可以利用等差数列的思想进行计算。
高二数学选择性必修一数列知识点
高二数学选择性必修一数列知识点数列是数学中一个非常重要的概念，它在高中数学中被广泛地涉及和应用。
在高二数学的选择性必修一课程中，学生将进一步学习和掌握数列的知识和技巧。
本文将详细介绍高二数学选择性必修一数列知识点，包括数列的定义、常见数列的分类和性质、数列的通项公式和前n项和公式等内容。
一、数列的定义数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的有序集合。
数列中的每个数称为该数列的项，用字母a1，a2，a3...表示。
根据数列中数值的个数可以分为有限数列和无限数列。
二、常见数列的分类和性质1.等差数列等差数列是指数列中的每一项与它前一项的差都相等。
记为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
性质：等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d；前n项和公式为Sn=n/2[2a1+(n-1)d]。
2.等比数列等比数列是指数列中的每一项与它前一项的比都相等的数列。
记为an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
性质：等比数列的通项公式为an=a1*r^(n-1)；前n项和公式为Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)。
3.等差-等比数列等差-等比数列是指数列中的每一项与它前一项的比等于公比且与公差之和相等的数列。
记为an=a1*q^(n-1)+(n-1)d，其中a1为首项，q为公比，d为公差。
性质：等差-等比数列的通项公式为an=a1*q^(n-1)+(n-1)d；前n 项和公式需要根据具体情况求解。
4.斐波那契数列斐波那契数列是指数列中的每一项都是它前两项的和。
首两项为1，记为1，1，2，3，5，8，13...性质：斐波那契数列的通项公式为Fn=F(n-1)+F(n-2)，其中F1=F2=1。
三、数列的通项公式和前n项和公式通项公式是指数列中的第n项与n的关系式，用于表示数列中任意一项的数值。
前n项和公式是指数列前n项之和与n的关系式，用于表示数列前n项的和。
根据不同的数列类型，我们可以通过一般的方法或特殊的性质推导出数列的通项公式和前n项和公式。
沪教版高二上数学知识点
沪教版高二上数学知识点一、数列与数列极限1. 等差数列与等差数列的常用性质等差数列是指数列中的任意两项之差都相等的数列。
其常用性质有：a) 第n项公式：$a_n = a_1 + (n-1)d$，其中$a_1$为首项，$d$为公差，$n$为项数。
b) 前n项和公式：$S_n = \frac{n}{2}(a_1+a_n)$，其中$S_n$表示前n项和。
2. 等比数列与等比数列的常用性质等比数列是指数列中的任意两项之比都相等的数列。
其常用性质有：a) 第n项公式：$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$，其中$a_1$为首项，$q$为公比，$n$为项数。
b) 前n项和公式：$S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，其中$S_n$表示前n项和。
二、函数与导数1. 基本初等函数基本初等函数是指由常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数构成的函数。
a) 常数函数：$y = c$，其中$c$为常数。
b) 幂函数：$y = x^a$，其中$a$为常数，$x$为自变量。
c) 指数函数：$y = a^x$，其中$a > 0$且$a \neq 1$，$x$为自变量。
d) 对数函数：$y = \log_a{x}$，其中$a > 0$且$a \neq 1$，$x$为自变量。
e) 三角函数和反三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等以及它们的反函数。
2. 导数与导数的应用a) 导数定义：函数$f(x)$在$x$点的导数为$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$。
b) 导数的计算：利用导数的四则运算法则和链式法则等进行计算。
c) 导数的应用：包括函数的极值、最值、曲线的切线方程以及函数图象和导函数之间的关系。
三、平面向量1. 平面向量的表示与运算a) 平面向量的表示：平面向量用带箭头的有序数对表示，如$\vec{AB}$表示从点$A$到点$B$的向量。
4.2.2 等差数列的性质(课件)高二数学课件(人教A版2019选择性必修第二册)
等差数列的性质
1．若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有
数列
结论
{c＋an}
公差为d的等差数列(c为任一常数)
{c·an}
公差为cd的等差数列(c为任一常数)
{an＋an＋k}
公差为 2d 的等差数列(k为常数，k∈N*)
{pan＋qbn}
公差为 pd＋qd′ 的等差数列(p，q为常数)
an a m
变形：d
, (m, n N *)
nm
考点1：等差数列通项公式的变形及其推广
等差数列中角标和的秘密
已知{an}是等差数列，用首项a1,公差d来表示下列各
项
①a1+a5 =2a1+4d
②a2+a4 =2a1+4d
③a3+a3 =2a1+4d
你有什么发现？
①中两项角标和
等于②中两项角标和
共项构成的数列 cn 的通项公式.
解法 1：（观察归纳法）2，5，8，…的公差为 3； bn 1，5，9，…的公差为 4；观察归纳
可知：他们的相同项是以 5 为首项,12 为公差（3、4 最小公倍数）的等差数列，
cn 5 n 112 12n 7, a40 119; b40 157; cn 119 n 10
am+an+at=ap+aq+ar
成立吗？
am+an=2a1+(m+n-2)d ,
ap+aq=2a1+(p+q-2)d
同样成立
因为m+n=p+q所以am+an=ap+aq
结论：在等差数列中对任意四项，
高二数学等差数列的所有知识点
高二数学等差数列的所有知识点等差数列是高中数学中一个重要的概念，它是指一个数列中的每个项与它的前一项之差都相等的数列。
在高二数学学习中，我们需要掌握等差数列的各种性质和应用。
本文将通过介绍等差数列的定义、公式、常用性质以及等差数列的求和公式等知识点，帮助大家更好地理解和运用等差数列。
1. 等差数列的定义等差数列是指一个数列中的每个项与它的前一项之差都相等的数列。
通常用字母"a"表示第一项，"d"表示公差，则等差数列的一般项公式为：an = a + (n-1)d，其中an表示第n项。
2. 等差数列的公式（1）第n项公式：an = a + (n-1)d（2）前n项和公式：Sn = (a + an) * n / 2，其中Sn表示前n项和。
3. 等差数列的常用性质（1）公差的性质：等差数列的任意两项之差都是一个固定的数，称为公差d。
（2）递推公式：等差数列的每一项都可以通过前一项加上公差得到，即an = an-1 + d。
（3）通项公式：对于已知的前一项或后一项可以通过公差求得，如果已知第一个或最后一个数列项，则可以直接写出通项公式，如an = a + (n-1)d。
（4）等差中项：等差数列中，如果n为奇数，则中项是唯一的，为第（n+1）/2项，如果n为偶数，则有两个中项，分别为第n/2项和第n/2 + 1项。
4. 等差数列的求和公式等差数列的前n项和公式为Sn = (a + an) * n / 2，其中a为第一项，an为第n项，n为项数。
此外，还可以通过等差数列的性质和等差数列前n项和的对称性得到更简洁的求和公式：Sn = n(a + l) / 2，其中l为最后一项。
5. 等差数列的应用（1）求等差数列的第n项：根据等差数列的通项公式，结合已知的前一项和公差，可以求得任意一项的值。
（2）求等差数列的前n项和：根据等差数列的求和公式，可以方便地求得等差数列前n项的和，对于一些数学问题的解决，特别是计算问题，求和公式的应用非常重要。
高二数学 专题 等差数列的概念(九个重难点突破)(解析版)
专题等差数列的概念知识点一等差数列的概念与通项公式1.等差数列的定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示.2.等差中项由三个数,,a A b 组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A 叫做a 与b 的等差中项.根据等差数列的定义可以知道,2A a b =+.3.等差数列的递推公式及通项公式已知等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d ，则递推公式为1n n a a d +-=，通项公式为()11n da a n =+-知识点二等差数列的性质与应用1.等差数列通项公式的变形及推广（1）()()*1n a dn a d n N =+-∈（2）()*(),n m a a n m d m n N=+-∈.（3）(* ,n ma a d m n N n m-=∈-,且)m n ≠.2.若{}{},n n a b 分别是公差为,d d '的等差数列,则有数列结论{}n c a +公差为d 的等差数列(c 为任一常数){}·n c a 公差为cd 的等差数列(c 为任一常数){}n k an a ++公差为2d 的等差数列(k 为常数,*k N ∈){}n n pa qb +公差为pd qd +'的等差数列(p,q 为常数)3.下标性质在等差数列{}n a 中,若),(,,*m n p q m n p q N +=+∈,则m n p q a a a a +=+.特别的,若)2,(,*m n p m n p N +=∈,则有2m n pa a a +=重难点1利用定义判断等差数列1．已知数列{}n a 中，12a =，12n n a a +=-，则8a =.【答案】12-【分析】先判断得{}n a 是等差数列，再利用等差数列的通项公式即可得解．【详解】因为12n n a a +=-，所以数列{}n a 是等差数列，公差2d =-，又12a =，所以()82(81)212a =+-⨯-=-．故答案为：12-．2．已知数列{}n a 的通项公式为n a pn q =+，其中p ，q 为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？【答案】{}n a 一定是等差数列．【分析】根据等差数列定义证明数列是等差数列.【详解】取数列{}n a 中任意相邻两项n a 与()12n a n -≥，作差得()11n n a a pn q p n q p --=+--+=⎡⎤⎣⎦，它是一个与n 无关的常数，所以数列{}n a 一定是等差数列．3．判断以下数列是否是等差数列？如果是，指出公差；如果不是，说明理由．(1)7，13，19，25，31；(2)2，4，7，11；(3)1,3,5,7----．【答案】(1)是，公差为6(2)不是等差数列(3)是，公差为2-【分析】结合等差数列的定义判断即可；【详解】（1）因为371913251931256-=-=-=-=，所以是等差数列，且公差为6．（2）因为422,743-=-=，所以4274-≠-，因此不是等差数列．（3）因为3(1)5(3)7(5)2---=---=---=-，所以是等差数列，且公差为2-4．判断下列数列是否为等差数列：(1)an=3-2n ；(2)an=n2-n .【答案】(1)是等差数列(2)不是等差数列【分析】（1）（2）根据等差数列的定义判断即可.【详解】（1）因为1[32(1)](32)2n n a a n n +-=-+--=-，是常数，所以数列{a n }是以2-为公差的等差数列．（2）因为221[(1)(1)]()2n n a a n n n n n +-=+-+--=，不是常数，所以数列{a n }不是等差数列．5．已知在数列{}n a 中，11a =，11112n n a a +=+，则10a 等于．【答案】211【分析】根据题意可得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，12为公差的等差数列，再利用等差数列的通项公式即可得解．【详解】解：因为11112n n a a +=+，所以11112n n a a +-=，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a =为首项，12为公差的等差数列，则()1111111222n n n a a =+-⨯=+，故101111110222a =⨯+=，所以10211a =．故答案为：211．6．（多选）若{}n a 是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是（）A ．{}n aB ．{}1n n a a +-C ．{}n pa q +(,p q 为常数)D ．{}2n a n +【答案】BCD【分析】根据等差数列的定义逐一进行检验即可求解.【详解】对于选项A ，数列1,1,3-是等差数列，取绝对值后1,1,3不是等差数列，故选项A 不符合题意；对于选项B ，若{}n a 为等差数列，根据等差数列的定义可知：数列1{}n n a a +-为常数列，故1{}n n a a +-为等差数列，故选项B 符合题意；对于选项C ，若{}n a 为等差数列，设其公差为d ，则11()n n n n pa q pa q p a a pd +++--=-=为常数列，故{}n pa q +为等差数列，故选项C 符合题意；对于选项D ，若{}n a 为等差数列，设其公差为d ，则121221n n a n a n d +++--=+为常数，故{2}n a n +为等差数列，故选项D 符合题意，故选：BCD.重难点2利用定义得到等差数列的通项公式7．等差数列3，11，19，27，…的通项公式是（）A ．85n a n =+B ．85n a n =-C ．85n a n =--D ．85n a n =-+【答案】B【分析】首先得到首项与公差，即可求出通项公式.【详解】因为等差数列{}n a 的首项13a =，公差1138d =-=，所以通项公式为()()1138185n a a n d n n =+-=+-=-.故选：B8．已知数列{}n a 满足11a =，11n n a a +=+（N n ∈，1n ≥），则n a =．【答案】n【分析】由题意得到{}n a 为等差数列，公差为1，从而求出通项公式.【详解】因为11n n a a +=+（N n ∈，1n ≥），故{}n a 为等差数列，公差为1，所以()111n a n n =+-⨯=.故答案为：n9．在数列{}n a 中，1a ==，则数列{}n a 的通项公式为.【答案】23n a n=可得为等差数列，从而可求{}na 的通项公式.，故为等差数列，()()11n n =-=-=，故23n a n =，故答案为：23n a n=10．已知数列{}n a 中，1231,4,9a a a ===，且{}1n n a a +-是等差数列，则6a =（）A ．36B ．37C ．38D ．39【答案】A【分析】根据等差数列的定义写出{}1n n a a +-的通项公式，再利用累加法求6a .【详解】因为21323,5a a a a -=-=，所以()()32212a a a a ---=，又{}1n n a a +-是等差数列，故首项为3，公差为2，所以132(1)21n n a a n n +-=+-=+，所以()()()665542112(54321)5136a a a a a a a a =-+-++-+=++++++= ．故选：A.11．在数列{}n a 中，11a =1=，则n a =（）A ．nB ．2nC ．2n +D【答案】B1=1=，再由等差数列的定义即可求出通项公式.1=1=，令n b =11n n b b +-=，所以数列{}n b 是以11b ==为首项，1为公差的等差数列，所以()111n b n n =+-⨯=n =，所以2n a n =.故选：B12．已知数列(){}2log 1n a -（*N n ∈）为等差数列，且13a =，39a =，则数列{}n a 的通项公式为.【答案】21nn a =+【分析】根据等差数列的概念可得数列(){}2log 1n a -的通项公式，进而可得n a .【详解】设等差数列(){}2log 1n a -的公差为d ，由13a =，39a =，得()()2321log 1log 12a a d -=-+，解得1d =，所以()()2log 1111n a n n -=+-⨯=，即21nn a =+，故答案为：21nn a =+.重难点3等差数列基本量的计算13．已知递增数列{}n a 是等差数列，若48a =，()26263a a a a +=⋅，则2024a =（）A ．2024B ．2023C ．4048D ．4046【答案】C【分析】设数列{}n a 的公差为d （0d >），解法一：根据题意结合等差数列的通项公式求1,a d ，即可得结果；解法二：根据等差数列的性质并以4a 为中心求d ，即可得结果.【详解】解法一：设数列{}n a 的公差为d （0d >），因为48a =，()26263a a a a +=⋅，则()()()1111132355a d a d a d a d a d +=⎧⎨+++=++⎩，解得122a d =⎧⎨=⎩，所以()202422202414048a =+⨯-=；解法二：设数列{}n a 的公差为d （0d >），由()26263a a a a +=⋅得()()4443222a a d a d ⨯=-+，又因为48a =，即()()488282=-+d d ，解得2d =，所以()202442202448220204048a a =+⨯-=+⨯=.故选：C ．14．已知等差数列{}n a 中，624a =-，3048a =-，则首项1a 与公差d 分别为（）A ．18,2--B ．18,1--C ．19,2--D ．19,1--【答案】D【分析】由题意列出方程组，即可求得答案.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，依题得115242948a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，解得1191a d =-⎧⎨=-⎩.故选：D15．已知等差数列{}n a 单调递增且满足1104a a +=，则8a 的取值范围是．【答案】()2,+∞【分析】根据题意求出首项和公差的关系，表示出8a 即可求出其取值范围.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为{}n a 单调递增，所以0d >，由11019442a d a a =++=⇒，所以1499222d da -==-，则18957272222a a d d d d =+=-+=+>，所以8a 的取值范围是()2,+∞.故答案为：()2,+∞16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且满足30a >，340a a +<，则1a d的取值范围是.【答案】5,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】根据已知判断等差数列{}n a 先正后负，是递减数列，即可得出0d <，再根据等差数列通项结合已知列不等式，即可解出答案.【详解】30a > ，340a a +<，40a ∴<，则0d <，31341120230a a d a a a d a d =+>⎧⎨+=+++<⎩解得11252a da d >-⎧⎪⎨<-⎪⎩，0d < ，1522a d ∴-<<-，即1a d 的取值范围是5,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故答案为：5,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭.17．已知在等差数列{}n a 中，4820a a +=，712a =，则11a =．【答案】20【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，进而列出方程求得1a ，d ，进而求解即可.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得，1113720612a d a d a d +++=⎧⎨+=⎩，解得10a =，2d =，则11110010220a a d =+=+⨯=.故答案为：20.18．已知等差数列{}n a 满足3681112a a a a +++=，则9112a a -的值为.【答案】3【分析】由等差数列通项公式得122441a d +=，即163a d +=，进而求出9111263a a a d -=+=【详解】由等差数列通项公式得11111225710d d d a a a d a ++++++=+，即122441a d +=，故163a d +=，()9111112281063a a a d a d a d -=+--=+=.故答案为：3重难点4等差中项及其应用19．一个直角三角形三边长a ，b ，c 成等差数列，面积为12，则它的周长是.【答案】【分析】方法一：设出直角三角形的三边以及公差，进而通过基本量结合面积公式和勾股定理建立方程组求出三边，进而得到答案；方法二：设出直角三角形的三边，利用等差中项建立等式，进而结合面积公式和勾股定理解出三边，进而得到答案.【详解】方法一：设c 为斜边，公差为d ，则a ＝b －d ，c ＝b ＋d ，所以2221()12,2()(),b b d b d b b d ⎧-=⎪⎨⎪+=+-⎩解得b ＝，d，从而a ＝c ＝，a ＋b ＋c ＝.方法二：设c 为斜边，因为是直角三角形且三边长a ，b ，c 成等差数列，且面积为12，可得：2222,112,2,b a c ab a b c =+⎧⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩解得a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩故三角形的周长为a ＋b ＋c ＝.故答案为：.20．已知等差数列{}n a 满足213544,1a a a a =+=+，则7a =.【答案】2-【分析】由等差数列的性质可得3542a a a +=，代入条件式，可求得4a ，再根据1742a a a +=，可得解.【详解】在等差数列{}n a 中，23541a a a +=+ ，又3542a a a +=，24421a a ∴=+，解得41a =，又14a =，而1742a a a +=，解得72a =-.故答案为：2-.21．记等差数列{}n a 的公差为()0d d ≥，若22a 是21a 与232a -的等差中项，则d 的值为（）A ．0B ．12C ．1D ．2【答案】C【分析】根据给定条件，利用等差数列通项公式及等差中项的意义列式求解即得.【详解】等差数列{}n a 的公差为d ，由22a 是21a 与232a -的等差中项，得22223122a a a =+-，即2221112()(2)2a d a a d ++=-+，整理得21d =，而0d ≥，解得1d =，所以d 的值为1.故选：C22．有穷等差数列{}n a 的各项均为正数，若20233a =，则20002046212a a +的最小值是.【答案】34/0.75【分析】利用等差中项易知200020466a a +=，再由基本不等式“1”的代换求目标式最小值，注意取值条件.【详解】由20232000204626a a a +==，且0n a >，则204620002000204620002046200020462000204622112115=()()()262622a a a a a a a a a a ++=+++153(624≥+=，当且仅当200020464,2a a ==时等号成立且满足题设.故答案为：3423．已知{}n a 是等差数列，且21a +是1a 和4a 的等差中项，则{}n a 的公差为【答案】2【分析】利用等差中项的性质和通项公式转化为关于首项和公差的方程，即可求得公差的值.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件，得14a a +=()221a +，即()()111321a a d a d ++=++，解得2d =.故答案为：2.24．已知数列{}n a 满足：11a =，()*2121211N 2n n n a n a a a ++==+∈，，则2015a =．【答案】12015【分析】由12211n n n a a a ++=+，得2111111n n n na a a a +++-=-，可知1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，从而可以求出1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，进而可求出2015a 的值．【详解】解：由12211n n n a a a ++=+，得2111111n n n na a a a +++-=-，∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列．又111a =，21111d a a =-=，∴1nn a =，∴1n a n =．∴201512015a =．故答案为12015．【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了通项公式的求法，证明数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列是解决本题的关键.重难点5等差数列的性质25．已知数列{}n a 为等差数列，则“4m =”是“2953m a a a a ++=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据等差数列的性质，结合已知可得充分性成立；举例即可说明必要性不成立.【详解】当4m =时，根据等差数列的性质可得()24915951955523a a a a a a a a a a a a ++=++=++=+=，故充分性成立；当{}n a 为常数列时，有1n a a =，由1293m a a a a ++=，529133m a a a a a ==++，此时*N m ∈即可，故必要性不成立．因此“4m =”是“2953m a a a a ++=”的充分不必要条件，故选：A ．26．已知正项等差数列{}n a ，若222985a a +=，3811a a +=，则n a =()A ．1B ．2C ．nD ．21n -【答案】C【分析】结合已知条件，利用等差数列的性质求出2a 和9a ，进而求出公差d 即可求解.【详解】在等差数列{}n a 中，依题意，293811a a a a +=+=，故()22929292121285a a a a a a +-=-=，解得，2918a a =，故2a 和9a 是211180x x -+=的两根，解得，12x =，29x =，因为{}n a 为正项等差数列，故公差0d ≥，从而22a =，99a =，则9277a a d -==，即1d =，所以2(2)1n a a n n =+-⨯=.故选：C .27．若{}n a 是公差不为0的等差数列，满足22223456a a a a +=+，则该数列的前8项和8S =（）A ．10-B ．5-C ．0D ．5【答案】C【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，可得0d ≠，根据题意求得34560a a a a +++=，然后利用等差数列的基本性质得出450a a +=，利用等差数列求和公式可求得8S 的值.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，可得0d ≠，22223456a a a a +=+ ，()()222253640a a a a ∴-+-=，即()()()()535364640a a a a a a a a -++-+=，()345620d a a a a ∴+++=，0d ≠ ，所以，34560a a a a +++=，由等差数列的基本性质可得()4520a a +=，即450a a +=，所以，()()188458402a a S a a +==+=.故选：C.【点睛】本题考查等差数列求和，考查了等差数列基本量和基本性质的应用，考查计算能力，属于中等题.28．已知等差数列{}n a 中，5a ，14a 是函数232()=--x x x f 的两个零点，则381116a a a a +++=（）A ．3B ．6C ．8D ．9【答案】B【分析】由等差数列的性质进行计算即可.【详解】由已知，函数232()=--x x x f 的两个零点，即方程2320x x --=的两根1x ，2x ，∴51412331a a x x -+=+=-=，∵数列{}n a 为等差数列，∴3168115143a a a a a a +=+=+=，∴3811166a a a a +++=.故选：B.29．已知等差数列{}n a 满足25815a a a ++=，则5a =．【答案】5【分析】根据等差数列下标和性质计算可得.【详解】因为25815a a a ++=，且2852a a a +=，所以5315a =，解得55a =.故答案为：530．在等差数列{}n a 中，若12023,a a 为方程210160x x -+=的两根，则210122022a a a ++=．【答案】15【分析】由等差数列的性质以及一元二次方程根与系数的关系求解即可.【详解】因为若12023,a a 为方程210160x x -+=的两根，由韦达定理可得1202310a a +=，所以由等差数列的性质得:2202212023101210,210,a a a a a +=+==10122101220225,15a a a a ∴=∴++=．故答案为：15.重难点6等差数列的证明31．已知数列{an }满足1311n n n a a a +-=+，13a =，令11n n b a =-.(1)证明：数列{}n b 是等差数列；(2)求数列{}n a 的通项公式．【答案】(1)证明见解析(2)21n a n=+【分析】（1）将递推关系代入1111n n n b b a ++-=-11n a --，利用定义证明{}n b 是等差数列；（2）由等差数列通项公式求n b ，进而得n a .【详解】（1）∵1111n n n b b a ++-=-11n a -=-1131111n n n a a a ----+11112131(1)12(1)2(1)2(1)2n n n n n n n n n a a a a a a a a a ++-=--==--+----，∴112n n b b +-=，又111112b a ==-，∴{}n b 是首项为12，公差为12的等差数列．（2）由（1）知()111222n n b n =+-=，21n a n ∴-=，∴21,n a n n*=+∈N .32．已知数列{}n a 满足12a =，112n n a a +=-（*n ∈N ），令11n n b a =-.(1)求23,a a 的值；(2)求证：数列{}n b 是等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式.【答案】(1)232a =，343a =(2)证明见解析，1n n a n+=【分析】（1）采用迭代法，可求2a ，3a ;（2）将112n n a a +=-转化为111111n n a a +=+--，即可证明数列{}n b 是等差数列，算出数列{}n b 的通项公式后即可计算数列{}n a 的通项公式.【详解】（1）因为12a =，且112n na a +=-，当1n =时，211322a a =-=，当2n =时，321423a a =-=.（2）因为112n na a +=-，所以11111n n n na a a a +--=-=，两边同时取倒数有：1111111111n n n n n n a a a a a a +-+===+----，令11n n b a =-，有11111b a ==-，11n n b b +-=，所以数列{}n b 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以n b n =，所以1n n a n+=.33．已知{}n a 满足11a =，且()21133n n na n a n n +-+=+.(1)求23,a a ；(2)证明数列{}na n是等差数列，并求{}n a 的通项公式.【答案】(1)238,21a a ==(2)证明详见解析，232n a n n=-【分析】（1）根据递推关系求得正确答案.（2）根据已知条件进行整理，结合等差数列的定义进行证明，进而求得n a .【详解】（1）依题意，11a =，()()1131n n na n a n n +-+=+，所以，()1131n n n a a n n++=++，所以213223328,332112a a a a =+⨯==+⨯=.（2）依题意，11a =，()()1131n n na n a n n +-+=+，所以131n n a a n n +-=+，所以n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =，公差为3的等差数列，所以()232,3232nn a n a n n n n n=-=-=-.34．数列{}n a 满足12211,2,22n n n a a a a a ++===-+.(1)求34,a a 的值；(2)设1n n n b a a +=-，证明{}n b 是等差数列.【答案】(1)345,10a a ==(2)证明见解析【分析】（1）根据数列的递推关系式求解即可；（2）结合递推关系式与等差数列的定义证明即可.【详解】（1）数列{}n a 满足12211,2,22n n n a a a a a ++===-+所以3212222125a a a =-+=⨯-+=，43222252210a a a =-+=⨯-+=（2）∵()()21112122n n n n n n n n n a a a b a a a b a ++++++---=+-=-=∴{}n b 为等差数列.35．已知数列{}n a 满足11a =，1144n na a +=-.(1)证明：121n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；(2)设12nn n na b -=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)证明见解析(2)332n nn T +=-【分析】(1)将已知表达式变形为11422n na a +-=-，通过配凑的方法可以得到121n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；(2)由第一问可以求得数列{}n a 的通项公式，代入{}n b ，用错位相减法可以求得前n 项和n T .【详解】（1）由题可知1211422n n n na a a a +--=-=，所以114221n n n a a a +=--，所以1221111121212121n n n n n n a a a a a a +-+===+----.所以11112121n n a a +-=--.又11121a =-，所以121n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是首项为1，公差为1的等差数列.（2）由（1）可得()111121n n n a =+-⨯=-，所以111122n n a n n+⎛⎫=+= ⎪⎝⎭所以1122n n n n na n b -+==.所以12323412222n n n T +=++++ .所以234112341222222n n n n n T ++=+++++L .两式相减，得111423111*********22122222222212n n n n n n n T ++⎛⎫- ⎪++⎝⎭=+++++-=+-- 113113322222n n n n n ++++=--=-所以332n nn T +=-.36．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，数列{}n S 的前n 项积为n T ，且满足n n n n S T S T +=⋅()*N n ∈．求证：11n S ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列；【答案】证明见解析【分析】根据所给递推公式及前n 项和、积的定义化简，由等差数列定义可得证；【详解】当1n =时，21111112S T S T a a +=⋅>=，解得12a =或10a =，又0n S ≠，所以10a ≠，故12a =，由n n n n S T S T +=⋅，可得1n S ≠，所以1nn n S T S =-，当2n ≥时，111n n n S T S ---=．所以11111n n n n n n T S S T S S ----=⨯-，即1111n n n n n S S S S S ---=⨯-，所以1111111n n n n S S S S --+==+-，即11111n n S S +-=-，所以11n S ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1111S =-为首项，1为公差的等差数列．37．已知数列{}n a 的前n项和为11,1,1n n S a a +==+是等差数列；【答案】证明见解析【分析】利用n a 与n S 的关系及等差数列的定义即可求解.【详解】因为11n n n a S S ++=-，11n a +=+，11n n S S +∴-=+)2111n n S S +=+=，1=1=，∴是1为首项，1为公差的等差数列．重难点7构造等差数列38．在数列{}n a 中，12211211,,23n n n n n n a a a a a a a a ++++===+，若135k a =，则k =（）A ．18B ．24C ．30D ．36【答案】A【分析】由已知可得12211n n n a a a ++=+，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，从而可求出1na ，进而可求得n a ，然后由135k a =可求得结果.【详解】由21122n n n n n n a a a a a a ++++=+且数列不存在为0的项，得12211n n na a a ++=+，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，且首项为111a =，公差为21112a a -=，所以()111221n n n a =+-⨯=-，所以121n a n =-．由112135k a k ==-，得18k =，故选：A ．39．已知数列{}n a 满足()*123N n n a a n n ++=+∈，则12024a a +=（）A ．2023B ．2024C ．2027D ．4046【答案】C【分析】由123n n a a n ++=+可得2125n n a a n +++=+，进而可得22n n a a +-=，则有数列{}n a 的偶数项是以2为公差的等差数列，再根据等差数列的通项即可得解.【详解】由123n n a a n ++=+①，得125a a +=，2125n n a a n +++=+②，由②-①得22n n a a +-=，所以数列{}n a 的偶数项是以2为公差的等差数列，则20242220242120222a a a ⎛⎫=+⨯-=+ ⎪⎝⎭，所以1202412270220a a a a +=+=++=.故选：C.40．已知各项均不为0的数列{}n a 满足111n n n a a a +=+，且112a =，则2023a =．【答案】12024/12024-【分析】将111n n n a a a +=+取倒数化简可得1111n na a +-=，即判断1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，即可求得{}n a 的通项公式，即可得答案.【详解】由题意知数列{}n a 满足111n n n a a a +=+，即11n n n a a a +=+，即11111111,n n n na a a a ++=+∴-=，即1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项是112a =，公差为1的等差数列，故112(1)11,1n n n n a n a =+-∴=⨯++=，故202312024a =，故答案为：1202441．已知数列{}n a 满足13a =，11n n a a +=+，则10a =.【答案】120【分析】根据11n n a a +=+，可得)2111n a ++=，从而可证得数列是等差数列，可求得数列{}n a 的通项，即可得解.【详解】因为11n n a a +=+，所以2111n a ++=+，即)2111n a ++=，1=1=，所以数列2=，公差为1的等差数列，()2111n n =+-⨯=+，所以22n a n n =+，所以2101020120a =+=.故答案为：120.42．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，11n n n S S a ++⋅=，则n a =．【答案】2,14,2(23)(25)n n n n =⎧⎪⎨≥⎪--⎩【分析】题中所给式子无法直接根据1n n n a S S -=-进行转化，考虑使用11n n n a S S ++=-进行转化，先求出n S ，再求n a ．【详解】由11n n n S S a ++⋅=，得到11n n n n S S S S ++⋅=-，然后两边同除以1n n S S +⋅得到1111n n S S +-=，即1111n n S S +-=-，于是数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1-的等差数列．而12a =，于是()1132122n n n S -=--=，进而得到232n S n=-，所以当2n ≥时，有()()122432522325n n n a S S n n n n -=-=-=----（2n ≥）．综上所述，2,14,2(23)(25)n n a n n n =⎧⎪=⎨≥⎪--⎩．故答案为：2,14,2(23)(25)n n n n =⎧⎪⎨≥⎪--⎩43．已知数列{}n a 满足14a =，()()1121n n na n a n n +-+=+.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设22n n nn b a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)222n a n n=+(2)()111212n n T n +=-+【分析】（1）利用构造法，先求得n a n ，进而求得n a .（2）利用裂项求和法求得n T .【详解】（1）由()()1121n n na n a n n +-+=+得：121n n a a n n +-=+，∵141a =，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为4，公差为2的等差数列，所以()41222n a n n n =+-⨯=+，所以222n a n n =+；（2）()()112211221212n n n n n n n n b a n n n n ++++===-+⋅+，所以123n nT b b b b =++++ ()22334111111111122222323242212n n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋅+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ()111212n n +=-+.重难点8等差数列的实际应用44．习近平总书记提出：乡村振兴，人才是关键．要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业．为鼓励返乡创业，黑龙江对青山镇镇政府决定投入创业资金和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员．预计该镇政府每年投入的创业资金构成一个等差数列{}n a （单位万元，n N *∈），每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金1a 的3倍，已知221272a a +=．则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为（）A ．72万元B ．96万元C ．120万元D ．144万元【答案】C 【分析】本题可设等差数列{}n a 的公差为d ，然后根据题意得出五年累计总投入资金为()1210a a +，最后通过基本不等式即可求出最值.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可知，五年累计总投入资金为：()12345111212532010101010a a a a a a a d a a a a +++++创=+=+=+，因为221272a a +=，所以()1210120a a +=£=，当且仅当12a a =时取等号，故预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为120万元，故选：C.45．稠环芳香烃化合物中有不少是致癌物质，比如学生钟爱的快餐油炸食品中会产生苯并芘，它是由一个苯环和一个芘分子结合而成的稠环芳香烃类化合物，长期食用会致癌.下面是一组稠环芳香烃的结构简式和分子式：名称萘蒽并四苯…并n 苯结构简式……分子式108C H 1410C H 1812C H ……由此推断并十苯的分子式为.【答案】4224C H 【分析】根据等差数列的定义可以判断出稠环芳香烃的分子式中C 、H 的下标分别成等差数列，结合等差数列的通项公式可以求出并n 苯的分子式，最后求出并十苯的分子式即可.【详解】因为稠环芳香烃的分子式中C 下标分别是：10,14,18 ，H 的下标分别是：8,10,12所以稠环芳香烃的分子式中C 下标成等差数列，首项为10，公差为4，所以通项公式为：10(1)446n C n n =+-⋅=+，稠环芳香烃的分子式中H 下标成等差数列，首项为8，公差为2，所以通项公式为：8(1)226n H n n =+-⋅=+，所以并n 苯的分子式为：42n C +24(2,)n H n n N *+≥∈，因此当10n =时，得到并十苯的分子式为：4224C H .故答案为：4224C H 【点睛】本题考查了等差数列的定义，考查了等差数列的通项公式的应用，考查了数学运算能力和推理论证能力.46．百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德.因父母年事已高，大张与小张兄弟俩约定：如果两人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”.由于工作的特殊性，大张每工作三天休息一天，小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日.已知2021年共有365天，2021年1月1日（星期五）是他们约定的首个“家庭日”，则2021年全年他们约定的“家庭日”是星期五的天数为；2021年全年他们约定的“家庭日”共有个.【答案】14；27.【分析】根据等差数列的性质进行求解即可.【详解】设大张的休息日构成的等差数列为{}n a ，显然大张在2021年第1,5,9, 天放假，所以有14(1)43n a n n =+-=-，若小张每周星期五休息，小张休息日构成等差数列为{}n b ，则有17(1)76n b n n =+-=-，此时两数列的公共项为：1,29,57, ，首项为1，公差为28，末项为365，设共有m 项，所以有3651(1)2814m m =+-⋅⇒=；若小张每周星期一休息，小张休息日构成等差数列为{}n c ，则有47(1)73n c n n =+-=-，此时两数列的公共项为：25,53,81, ，首项为1，公差为28，末项为361，设共有t 项，所以有36125(1)2813t t =+-⋅⇒=，所以2021年全年他们约定的“家庭日”共有141327+=天，故答案为：14；2747．某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少d （d 为正常数）万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废．请确定d 的取值范围．【答案】1920.9<≤d 【分析】这台设备使用n 年后的价值构成一个数列{}n a ．由题意可知，10年之内（含10年），这台设备的价值应不小于2205%11⨯=万元；而10年后，这台设备的价值应小于11万元．可以利用{}n a 的通项公式列不等式求解．【详解】解：设使用n 年后，这台设备的价值为n a 万元，则可得数列{}n a ．由已知条件，得1(2)n n a a d n -=-≥．由于d 是与n 无关的常数，所以数列{}n a 是一个公差为d -的等差数列．因为购进设备的价值为220万元，所以1220a d =-，于是1(1)()220n a a n d nd =+--=-．根据题意，得10112205%112205%11a a ≥⨯=⎧⎨<⨯=⎩，即22010112201111d d -≥⎧⎨-<⎩，解这个不等式组，得1920.9<≤d ．所以d 的取值范围为1920.9<≤d ．重难点9等差数列与数学文化的结合48．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为9.5尺，春分当日日影长为6尺，则小满当日日影长为（）A ．332尺B ．13尺C ．52尺D ．43尺【答案】D【分析】由题意，利用等差数列的定义和性质，得出结论．【详解】设十二个节气其日影长依次成等差数列{}n a ，公差为d ，则由题意可得49.5a =，76a =，74736a a d -∴==-，则小满当日日影长11774464()63a a d =+=+⨯-=．故选：D ．49．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，在1980年庚申年，我国正式设立经济特区，请问：在100年后的2080年为（）A ．戊戌年B ．辛丑年C ．己亥年D ．庚子年【答案】D 【分析】将天干和地支分别看作等差数列，结合1001010÷=，1001284÷= ，分别求出100年后天干为庚，地支为子，得到答案.【详解】由题意得，天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列，由于1001010÷=，余数为0，故100年后天干为庚，由于1001284÷= ，余数为4，故100年后地支为子，综上：100年后的2080年为庚子年.故选：D.50．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积是（）A ．6766升B ．176升C ．10933升D ．1336升【答案】A【分析】设此等差数列为{}n a ，利用方程思想求出1a 和d ，再利用通项公式进行求解．【详解】根据题意得该竹子自上而下各节的容积形成等差数列{}n a ，设其首项为1a ，公差为d ，由题意可得123478934a a a a a a a +++=⎧⎨++=⎩，所以114633214a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得113=227=66a d ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，所以511376744226666a a d =+=+⨯=，即第5节竹子的容积为6766升．故选：A ．51．中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题：“今有七人差等均钱，甲乙均七十七文，戊己庚均七十五文，问乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚这七个人，所分到的钱数成等差数列，甲、乙两人共分到77文，戊、己、庚三人共分到75文，问乙、丁两人各分到多少文钱？则下列说法正确的是（）A ．乙分到37文，丁分到31文B ．乙分到40文，丁分到34文C ．乙分到31文，丁分到37文D ．乙分到34文，丁分到40文【答案】A【分析】设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为3a d -，2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +，3a d +，再根据题意列方程组可解得结果.【详解】依题意，设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为3a d -，2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +，3a d +，则32772375a d a d a d a d a d -+-=⎧⎨+++++=⎩，解得313a d =⎧⎨=-⎩，所以乙分得237a d -=（文），丁分得31a =（文），故选：A.52．诺沃尔（Knowall ）在1740年发现了一颗彗星，并推算出在1823年、1906年……人类都可以看到这颗彗星，即该彗星每隔83年出现一次.从现在（2023年）开始到公元3000年，人类可以看到这颗彗星的次数为.【答案】12【分析】由题意可知：彗星出现的年份构成一个公差为83，首项为1740的等差数列，求出通项公式，再解不等式即可.【详解】由题意可知：彗星出现的年份构成一个公差为83d =，首项为11740a =的等差数列，所以1(1)174083(1)831657n a a n d n n =+-=+-=+，令20233000n a ≤≤，即20238316573000n ≤+≤，解得36613438383n ≤≤，又*n ∈N ，所以5n =、6、L 、16，所以从现在开始到公元3000年，人类可以看到这颗彗星的次数为165112-+=次.故答案为：12.53．中国古代经典数学著作《孙子算经》记录了这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），问物几何？”现将1到200共200个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则该数列最大项和最小项之和为．【答案】196【分析】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，再通过等差数列求数列最大项和最小项之和即可.【详解】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，则815(1)157n a n n =+-=-，令157200n -≤，解得13.8n ≤，则数列{}n a 的最大项为15137188⨯-=，所以该数列最大项和最小项之和为1888196+=．故答案为：196.。
等差数列的概念与等差数列的通项公式高二数学(苏教版2019选择性必修第一册)
4.2.1&4.2.2 等差数列的概念与等差数列的通项公式一、等差数列的定义1、文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．2、符号语言：若()12n n a a d n --=≥，则数列{}n a 为等差数列（通常可称为AP 数列） 【注意】（1）“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合． （2）“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序； ②这两项必须相邻．（3）定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列．二、等差数列的通项公式与等差中项 1、等差数列的通项公式已知等差数列{}n a 的首项为a 1，公差为d ，则通项公式为：()()11n a a n d n N *=+-∈等差数列通项公式的推导过程：如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，根据等差数列的定义得到：21a a d -=，32a a d -=，43a a d -=，…所以21a a d =+，32112a a d a d d a d =+=++=+， 431123a a d a d d a d =+=++=+， ……由此归纳出等差数列的通项公式为()11n a a n d =+-． 2、等差中项如果三个数a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项． 这三个数满足的关系式是A ＝a ＋b2. 三、判断或证明一个数列是等差数列的方法1、定义法：1n n a a d +-=（常数）()n N *∈⇒{}n a 是等差数列；2、中项法：122n n n a a a ++=+()n N *∈⇒{}n a 是等差数列；3、通项公式法：n a kn b =+（k ，b 为常数）{}n a ⇒是等差数列。
【数学】等差数列的概念第2课时等差数列的性质及应用课件-高二上数学人教A版2019选择性必修第二册
，
Q(q,aq)
‧
p
∵p q s t ,∴p s t q .
∴a p a s at aq ,即a p aq a s at .
‧
‧
图4.2-2
qtBiblioteka n课本P154. 已知在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝ 12. 求a4.
(a1 3d ) (a1 7d ) 20
解：数列的图象如图示.
an
18 •
15
12
9
6
由等差数列定义可知,数列{an }是等差数列,且a1 18,d 3. 3
∴an 18 3( n 1) 3n 21.
∴由通项公式可得通过图象上所有点的直线斜率为 3.
O
•
•
•
•
•
1 2 3 4 56
n
课本P18
3. 在等差数列{an}中， an = m，am = n，且n ≠ m，求am+n .
2
21
7 35
∴a2 a1 d
,a3 a1 2d 14,a4 a1 3d 7
.
2
2 2
21
35
∴在7和21中插入 ,14, ,可使这5个数成等差数列.
2
2
解 2 : 设a1 7,a5 21，则由2a3 a1 +a5 ,得a3 14,
21
35
－6.5
《同步导练》9页 “初试身手” 第3题和例2
3.在等差数列{an}中，a3=2，d=6.5，求a7?
例2.（1）在等差数列{an}中，已知a4=7，a10=25，求通项公式an；
高二数学数列知识点总结
高二数学数列知识点总结一、数列的概念1. 数列的定义：数列是由按照一定顺序排列的一列数构成的。
2. 通项公式：表示数列中第n项的公式，通常表示为 \( a_n \)。
3. 序列的分类：根据数列的项是否有限，分为有限数列和无限数列。
二、等差数列1. 等差数列的定义：每一项与它的前一项的差是常数的数列。
2. 公差：等差数列中相邻两项的差。
3. 通项公式：\( a_n = a_1 + (n - 1)d \)，其中 \( a_1 \) 是首项，\( d \) 是公差。
4. 求和公式：\( S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n - 1)d] \)。
三、等比数列1. 等比数列的定义：每一项与它的前一项的比是常数的数列。
2. 公比：等比数列中相邻两项的比。
3. 通项公式：\( a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \)，其中 \( a_1 \) 是首项，\( q \) 是公比。
4. 求和公式：\( S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \)，当\( |q| < 1 \) 时。
四、数列的极限1. 极限的定义：数列的项随着项数的增加趋近于某个值。
2. 极限的性质：唯一性、有界性、保号性。
3. 极限的运算法则：加法、减法、乘法、除法。
五、无穷数列1. 无穷等比数列的极限：\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \) 当\( |q| < 1 \)。
2. 级数的收敛与发散：根据部分和的性质判断级数是否收敛。
六、递推数列1. 递推关系式：用前一项或前几项来定义数列中下一项的表达式。
2. 递推数列的求解：通过递推关系式求解数列的通项公式。
七、数学归纳法1. 原理：通过证明基础情况和归纳步骤来证明与自然数相关的命题。
2. 应用：证明数列的性质、计算数列的和等。
八、典型例题分析1. 等差数列和等比数列的性质应用。
2. 利用数列极限解决实际问题。
高二数学选择性必修件等差数列的概念
高阶等差数列
高阶等差数列是指等差数列的公差构成更高 阶的等差数列，其性质和应用需要进一步研 究和探讨。
CHAPTER 06
练习题与答案解析
练习题选编
01
02
03
练习题1
已知等差数列 {an} 中， a1 = 3，d = -2，求 a10 。
练习题2
已知等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn，且 S10 = 100，d = 2，求 a1。
练习题3
在等差数列 {an} 中，a3 + a7 = 20，求 a5。
答案解析及思路点拨
01
练习题1解析
根据等差数列的通项公式 an = a1 + (n - 1)d，将 a1 = 3，d = -2，n
= 10 代入公式，得到 a10 = 3 + (10 - 1) × (-2) = -15。
02 03
CHAPTER 03
等差数列求和公式及推导
求和公式介绍
• 等差数列求和公式：对于等差数列 {a_n}，其前 n 项和 S_n = n/2 (2a_1 + (n-1)d) 或 S_n = n/2 (a_1 + a_n)。其中，a_1 是首项，d 是公差，n 是项数。
推导过程演示
方法一
倒序相加法。将等差数列倒序写出，与原数列对应项相加，得到 n 个相同的和，即 n(a_1 + a_n)，再除以 2 即可得到前 n 项和公式。
CHAPTER 05
等差数列与其他知识点联系
与一次函数关系探讨
等差数列通项公式与一次函数关系
等差数列的通项公式$a_n=a_1+(n-1)d$可以看作是一次函数$y=mx+b$的形式，其中$m$为公差 $d$，$b$为首项$a_1-d$。
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等差数列的定义及性质
•等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a n+1-a n=d。
•等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a m＝a n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a s+a t=a p+a q，其中a s，a t，a p，a q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a s+a t=2a p；
（5）若数列｛a n｝，｛b n｝均是等差数列，则数列｛ma n+kb n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即
（8）仍为等差数列，公差为
•对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同
一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有
还有
③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数
列；当d<0时，数列为递减数列；
④是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a n+1-a n是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，a n，S n，知道其中任意三
个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．。